专题16.1 变量与函数（高效培优讲义）数学新教材华东师大版八年级下册

专题16.1 变量与函数 教学目标 1.理解常量、变量及函数的概念，能识别函数关系。 2.掌握自变量取值范围的确定方法，会求函数值。 3.能根据实际问题列函数关系式，熟悉函数的三种表示方法。 4.能结合图象识别函数，体会函数刻画变化规律的作用。 教学重难点 重点 （1）函数的概念（核心是“唯一对应”关系）。 （2）自变量取值范围的确定（代数式意义+实际情境）。 （3）根据实际问题列函数关系式。 （4）函数三种表示方法的识别与简单应用。 难点 （1）函数概念中“对于的每一个值，有唯一值对应”的理解。 （2）实际问题中自变量取值范围的精准限制（如几何、行程问题）。 （3）几何动态问题中函数关系的建立。 （4）从图象中提取有效信息并分析函数变化规律。 【即学即练】 知识点01：常量与变量 1.定义：在某一变化过程中，取值始终不变的量叫作常量；可以取不同数值的量叫作变量。 2.相对性：常量与变量是相对某一变化过程而言的，同一量在不同过程中可能转换（如中，可为常量或变量）。 【即学即练】 1．（22-23八年级下·山西晋城·月考）一个圆形花坛，周长C与半径r的函数关系式为，其中关于常量和变量的表述正确的是（    ） A．常量是2，变量是C，π，r B．常量是2，变量是r，π C．常量是2，变量是C，π D．常量是，变量是C，r 【答案】D 【分析】本题主要考查了常量和变量，解题的关键是熟练掌握常量和变量的定义，根据定义进行判断即可． 【详解】解：根据题意得：函数关系式中常量是，变量是C、r． 故选：D． 知识点02：函数的概念 1.核心定义：在一个变化过程中，有两个变量（自变量）和（因变量），对于的每一个确定值，都有唯一的值与之对应，则称是的函数。 2.关键特征：①两个变量；②对应关系唯一（“多对一”成立，“一对多”不成立）；③函数是变量间的关系，而非具体数值。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·全国·假期作业）有以下关于x，y的等式：①；②；③；④，其中y是x的函数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查函数的定义，判断每个等式是否满足函数的定义，即对于每一个x值，只能有一个y值与之对应． 【详解】解：∵ ① 可化为，对于每一个x值，y有唯一确定值， ∴ ①y是x的函数； ∵ ②，例如当时，或，一个x对应两个y， ∴ ②y不是x的函数； ∵ ③，例如当时，或，一个x对应两个y， ∴ ③y不是x的函数； ∵ ④可化为（），对于每一个非零x值，y有唯一确定值， ∴ ④y是x的函数； ∴ ①和④是函数，共2个， 故选：B． 知识点03：自变量的取值范围 1.定义：使函数关系式有意义且符合实际情境的自变量的全体。 2.常见类型及要求： 类型 核心要求 示例及说明 整式型 自变量取值为全体实数 、，x可取任意实数 分式型 分母不能为0 ，需满足 偶次根式型 被开方数为非负数（≥0） ，需满足 零次幂/负整数次幂型 底数不能为0 、，需满足 实际问题型 符合实际情境（如长度、时间为正） 路程（t为行驶时间），需满足 【即学即练】 1．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查求函数自变量取值范围，根据分式有意义的条件，分母不能为零列式求解即可． 【详解】解：在函数中，分母， 解得． 故答案为：． 知识点04：函数值 1.定义：当自变量时，对应的因变量的值叫作时的函数值。 2. 求法：将自变量的值代入函数关系式，计算得出结果；反之可根据函数值求自变量的值。 【即学即练】 1．（25-26九年级上·上海浦东新·月考）如果，那么 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查了求函数值，将代入函数表达式计算求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：11． 知识点05：函数的表示方法 1.解析法：用等式（函数关系式）表示，优点是精准反映对应关系，缺点是部分关系无法表达。 2.列表法：用表格列出自变量与函数值的对应关系，优点是直观易查，缺点是对应值有限。 3.图象法：用坐标系中的曲线表示，优点是直观体现变化趋势，缺点是数值不够精准。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）若中，，的周长是12，设长为，长为，则关于的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，函数关系式，熟练掌握等腰三角形判定与性质是解本题的关键． 根据三边相加等于周长即可得出y关于x的函数表达式． 【详解】解：∵， ∴， 根据题意得：， ∴． 由题意可得：，即， 解得， 故答案为：． 题型01常量与变量的识别 方法技巧：紧扣“变化过程”，判断量的取值是否改变，不变的为常量，可变的为变量，注意常量可能是数字或固定字母。 【典例1】. （24-25八年级下·天津·月考）一支笔2元，买支共付元，则2和分别是（    ） A．常量，常量 B．变量，变量 C．常量，变量 D．变量，常量 【答案】C 【分析】本题考查了函数的定义，根据常量、变量的意义进行判断即可． 【详解】解：笔的单价是2元不变的，因此2是常量， 而购买的支数x，总费用y是变化的量，因此x和y是变量． 故选：C． 【变式1】. （2025八年级上·全国·专题练习）球的体积是M，球的半径为R，则，其中变量和常量分别是（    ） A．变量是M，R；常量是， B．变量是R，π；常量是 C．变量是M，R；常量是3，4，π D．变量是M，R；常量是 【答案】A 【分析】本题主要考查了常量和变量，解题的关键是熟练掌握常量和变量的定义． 根据变量和常量的定义，变量是数值发生变化的量，常量是数值始终不变的量，在球的体积公式中，体积M和半径R是变量，而常数系数是常量． 【详解】解：∵ 公式 中，M和R的值随球的大小变化而变化， ∴M和R是变量； ∵ 和π是固定不变的数值， ∴ 它们是常量。 因此，变量是M、R，常量是， 故选：A． 【变式2】. （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，张开大拇指和中指，两手指指尖间的距离为“一拃”．据统计，通常情况下，人的一拃长（单位：）与本人的身高（单位：）之间的关系式为，则下列关于变量和常量的说法正确的是（   ） A．是变量，是常量 B．是变量，是常量 C．0.3与是变量，与是常量 D．与是变量，0.3与是常量 【答案】D 【分析】本题考查了变量与常量的概念，解题关键是区分“变化的量”和“固定不变的量”． 要判断变量和常量，需明确：变量是在变化过程中数值发生改变的量，常量是数值固定不变的量，结合关系式分析即可． 【详解】解：在关系式中： （身高）和（一拃长）的数值会随不同的人发生变化，因此与是变量； 和是固定不变的数值，因此是常量． A、是变量，是常量，错误，不符合题意； B、是变量，是常量，错误，不符合题意； C、与是变量，与是常量，错误，不符合题意； D、与是变量，与是常量，正确，符合题意． 故选：D ． 【变式3】. （24-25七年级下·全国·期中）要画一个面积为的长方形，其长为，宽为，在这一变化过程中，常量与变量分别是（   ） A．常量为；变量为x，y B．常量为，y；变量为x C．常量为，x；变量为y D．常量为x，y；变量为 【答案】A 【分析】本题主要考查了常量与变量的概念，熟练掌握在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量，数值发生变化的量为变量是解题的关键．先根据长方形面积公式确定等式，再依据常量与变量的定义，判断在变化过程中数值不变的量和数值变化的量． 【详解】解：∵长方形面积为， ∴是固定不变的量， ∵长为，宽为， ∴，是可以变化的量， ∴常量为；变量为，， 故选：A． 题型02函数关系的判断（关系式型） 方法技巧：看是否满足“两个变量+唯一对应”，若存在一个对应多个（如），则不是的函数。 【典例2】. （25-26九年级上·山东淄博·月考）下列各式中，y不是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的定义，对应两个变量、，若对于任意的的确定值，都有唯一的值与之对应，那么就叫作的函数，据此求解即可． 【详解】解：在，和中，对于任意的x的确定值，y都有唯一的值与之对应，符合函数的定义； 在中，对于任意的正数x，y都有两个值与之对应，不符合函数的定义， 故选：B． 【变式1】. （24-25八年级下·北京·期末）下列关系式中，不是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量． 根据函数的定义，对于每个x的取值，y必须有唯一确定的值与之对应．逐一分析各选项是否符合该定义． 【详解】解：A． ：对于任意x，代入计算后y的值唯一，是函数． B． ：当x≠0时，每个x对应唯一的y值，是函数． C． ：当x>0时，y可解得或，即一个x对应两个y值，不满足函数定义． D． ：对于任意x，代入计算后y的值唯一，是函数． 故选：C． 【变式2】. （24-25八年级上·全国·课后作业）下列关于两个变量的关系，表述不正确的是（   ） A．圆的面积公式中，S是r的函数 B．在匀速运动公式中，s是t的函数 C．光线照到平面镜上，入射角为，反射角为，则是的函数 D．表达式中，y是x的函数 【答案】D 【分析】本题的解题思路是逐一分析每个选项，看是否满足对于自变量的每一个确定的值，函数都有唯一确定的值与之对应； 本题考查了函数的定义，掌握函数的定义是解题的关键． 【详解】解：A、在圆的面积公式中，对于r的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，所以S是r的函数，表述正确，不符合题意； B、在匀速运动公式中，对于t的每一个确定的值，s都有唯一确定的值与之对应，所以s是t的函数，表述正确，不符合题意； C、根据光的反射定律，反射角等于入射角，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值（等于）与之对应，所以是的函数，表述正确，不符合题意； D、在表达式中，当时，对于的每一个确定的值，都有两个值，不满足函数定义中“唯一确定”的条件，所以不是的函数，表述不正确，符合题意． 故选：D． 【变式3】. （24-25八年级下·河北石家庄·期中）下列四个选项中，说法不正确的是（   ） A．在匀速运动公式中，是的函数，是常量 B．在圆的周长公式中，2是常量，，，均为变量 C．入射光线照射到平面镜上，如果入射角的角度为，反射角的角度为，那么是的函数 D．一种金属，其质量是体积的函数 【答案】B 【分析】本题考查函数的概念、常量与变量，掌握常量与变量的定义是解题的关键，直接根据常量与变量的定义，函数的概念对各选项进行判断． 【详解】解：A．在匀速运动公式中，是的函数，是常量，正确，不符合题意； B．在圆的周长公式中，2，是常量，，均为变量，不正确，符合题意； C．入射光线照射到平面镜上，如果入射角的角度为，反射角的角度为，那么是的函数．正确，不符合题意； D．根据质量密度体积，可知密度为常数，质量是体积的函数，正确，不符合题意． 故选：B． 题型03函数关系的判断（图象型） 方法技巧：作垂直于轴的直线，若直线与图象仅有一个交点，则是的函数；反之则不是。 【典例3】. （25-26八年级上·贵州六盘水·期中）下列各图象中表示y是x的函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数的定义，理解函数的定义并结合图象作出判断是解题关键． 在一个变化的过程中有两个变量x和y，对于x每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说y是x的函数，据此即可作出判断． 【详解】解：A、对于x每一个确定的值，y不是唯一确定的值与其对应，y不是x的函数； B、对于x每一个确定的值，y不是唯一确定的值与其对应，y不是x的函数； C、对于x每一个确定的值，y不是唯一确定的值与其对应，y不是x的函数； D、对于x每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，y是x的函数． 故选：D． 【变式1】. （24-25八年级下·山东德州·月考）下列曲线中不能表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的定义，正确理解函数定义是解题的关键．根据函数的定义观察判断即可． 【详解】解：观察上述选项，C选项中，在x轴上取一个点有多个y值与之对应， 则不能表示y是x的函数． 故选：C． 【变式2】. （25-26八年级上·广西崇左·月考）如图，y不是x的函数的是（　　） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数的识别，根据函数的定义，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，进行判断即可． 【详解】解：A，B，C选项，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，符合函数的定义，故选项均不符合题意； D选项，除原点外，对于x的每一个取值，y有两个值，不符合函数的定义，故本选项符合题意． 故选D． 【变式3】. （25-26八年级上·江苏无锡·月考）下列图像中，表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的定义，函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量． 根据函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图像； B、对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图像； C、对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图像； D、对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图像． 故选：B． 题型04求自变量的取值范围 方法技巧：整式型取全体实数；分式型分母≠0；偶次根式型被开方数≥0；综合型需同时满足所有条件（如需且）。 【典例4】. （25-26九年级上·湖南株洲·期末）函数的自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．全体实数 【答案】B 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为0即可得到答案． 【详解】解：由题意得，函数的自变量x的取值范围是， 故选：B． 【变式1】. （25-26八年级上·安徽合肥·期末）函数中，自变量的取值范围选取正确的是（　　） A．取全体实数 B．取的实数 C．取的实数 D．取的实数 【答案】A 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围． 无论x取何值，函数解析式均有意义，即取全体实数． 【详解】解：∵无论x取何值，函数解析式均有意义， ∴取全体实数． 故选：A． 【变式2】. （25-26八年级上·浙江宁波·期末）函数的自变量x的取值范围是 ； 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，求函数自变量的取值范围，根据分式有意义的条件分母不为零求解即可 【详解】解：有意义， 不能为零，即，解得． 故答案为： 【变式3】. （25-26八年级上·浙江温州·期末）函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求自变量的取值范围，分式有意义的条件． 根据分式的分母不能为零，求解自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴分母， ∴． 因此，自变量的取值范围是． 故选：C． 题型05求函数值与自变量的值 方法技巧：求函数值时，将自变量值代入关系式计算；根据函数值求自变量时，代入后解方程，结果需检验是否在自变量取值范围内。 【典例5】. （2024·广东·模拟预测）自由落体运动是由于引力的作用而造成的，月球上物体自由下落的时间和下落的距离 的关系大约是， 物体下落时，在月球上下落的距离是 米． 【答案】 【分析】此题考查了函数求值，把的值代入公式，求解即可． 【详解】解：把代入公式得：， 则物体下落时，在月球上下落的距离是米． 故答案为：． 【变式1】. （25-26八年级上·全国·课前预习）在函数中，当时，函数值为 ；当函数值为4时，自变量x的值为 ． 【答案】 9 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数上点的坐标特征，分别将和代入函数解析式求解即可． 【详解】解：当时，， ∴当时，函数的值为9； 当时，即， 解得， ∴当函数值为4时，自变量x的值为． 故答案为：9；． 【变式2】. （25-26八年级上·安徽安庆·期末）已知函数，则当函数值为8时，自变量的值为 ． 【答案】5或 【分析】本题考查了求自变量的值，将代入分段函数的两个分支，分别求解的值，并验证是否满足对应的定义域条件，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：当时，函数为，代入可得， 解得：； 当时，函数为，代入可得， 解得：（不符合题意，舍去）或； 综上所述，自变量的值为5或， 故答案为：5或． 【变式3】. （2025八年级上·江苏连云港·专题练习）根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值为2时，输出的值为1，则输入的值为4时，输出的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了函数值，分类讨论思想，根据输入的值为2时，输出的的值为1求出的值是解答关键. 利用输入的值为2时，输出的的值为1求出，再将代入计算求解. 【详解】解：当时，， ， 当时，. 故答案为：7. 题型06列函数关系式 方法技巧：实际问题紧扣等量关系，明确因变量与自变量，结合实际意义或几何条件列关系式。 【典例6】. （25-26八年级下·全国·课后作业）已知某植物园的收费标准为成人票每张50元，学生票每张20元．设植物园已收门票的总费用为y元，植物园内有成人游客x名，学生游客1名，则y与x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】根据题意，总费用由成人票费用和学生票费用组成，成人票费用为元，学生票费用为20元，因此与的函数关系式为． 本题考查了利用关系式表示变量之间的关系，找准题中的等量关系是解决本题的关键． 【详解】解：依题意，成人游客名，每张成人票50元，故成人票费用为元； 学生游客1名，每张学生票20元，故学生票费用为20元． 总费用为成人票费用与学生票费用之和，因此． 故答案为：． 【变式1】. （24-25七年级上·广东广州·期末）语文老师布置同学们寒假阅读一本名著，共计256页．子涵同学计划每天读页，共天读完．用式子表示与的关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式 ，理解题意列出是解题的关键． 根据总页数每天读的页数读完所需的天数得出，从而得出关系式． 【详解】解：根据题意得，即， 故答案为：． 【变式2】. （25-26七年级上·辽宁鞍山·期末）学校图书馆购进一批图书，管理员在整理过程中发现，每天整理的图书数量与整理的天数之间的关系如下表： 每天整理的图书数量 1200 600 240 120 … 整理的天数 1 2 5 10 … (1)若学校计划用4天的时间完成整理，管理员每天需要整理多少本图书？ (2)若用a表示每天整理的图书数量，用t表示整理的天数，用式子表示t与a的关系，并说明t与a成什么比例关系？ 【答案】(1)管理员每天需要整理300本图书 (2)，与a成反比例关系 【分析】本题主要考查了反比例关系， （1）先求出图书的总数，再除以天数可得答案； （2）根据题意写出关系式，再判断比例关系即可． 【详解】（1）解：这批图书共有：（本）， 4天完成整理，每天需要整理（本）， 答：管理员每天需要整理300本图书； （2）解：由题意可知：（或或）， 与a成反比例关系． 【变式3】. （25-26八年级下·全国·课后作业）下表是一次实验中测得的弹簧的长度y（单位：cm）与所挂物体的质量x（单位：kg）的几组对应值． 所挂物体的质量x/kg 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度y/cm 18 20 22 24 26 28 (1)表格反映的是弹簧的长度y与所挂物体的质量x这两个变量之间的关系，其中自变量是 ，因变量是 ． (2)用含x的代数式来表示弹簧的长度y为 ；在弹簧的弹性限度内，当弹簧的长度为时，所挂物体的质量为 kg． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了函数关系式和常量与变量的知识，解答本题的关键在于熟读题意并求出弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式． （1）根据表格标注的内容结合自变量和因变量的概念解答即可； （2）由表格可知，物体每增加，弹簧长度增加，据此即可写出弹簧长度与所挂物体质量的关系式；把代入关系式计算即可求出所挂物体的质量． 【详解】（1）解：上述表格反映了弹簧的长度与所挂物体的质量这两个变量之间的关系．其中所挂物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量． （2）解：∵物体每增加，弹簧长度增加，且弹簧的初始长度为， ∴； 当时，， 解得：，即所挂物体的质量为． 一、单选题 1．下列关系中，不能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的定义，对应两个变量x、y，若对于变量x的每一个确定值，变量y都有唯一的值与之对应，那么y是x的函数，据此可得答案． 【详解】解：由函数的定义可知，只有C选项不能表示是的函数， 故选：C． 2．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（）与所挂的物体的质量x（）（）有下面的关系： x 0 1 2 3 4 5 y 10 11 12 下列说法不正确的是（    ） A．y是x的函数，且x是自变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度y增加 D．所挂物体质量为时，弹簧长度为 【答案】B 【分析】本题考查了根据表格判断变量之间的关系． 通过表格数据，分析弹簧长度与物体重量的关系，发现y随x均匀变化，每增加，y增加，且时，进而逐一判断即可． 【详解】解：x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量， ∴A正确，不符合题意； 当时，， ∴弹簧不挂重物时的长度为， ∴B不正确，符合题意； 物体质量每增加，弹簧长度y增加， ∴C正确，不符合题意； ∵弹簧不挂重物时的长度为，物体质量每增加，弹簧长度y增加， ∴y与x之间的函数关系式为， 当时，， ∴所挂物体质量为时，弹簧长度为， ∴D正确，不符合题意． 故选：B． 3．某汽车匀速行驶在高速公路上，有下列各量：①行驶速度；②行驶时间；③行驶路程；④汽车油箱中的剩余油量．其中变量的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了常量与变量的概念，掌握常量是固定不变的量，变量是随过程变化的量是解题的关键． 汽车匀速行驶，速度恒定；时间、路程和剩余油量均变化． 【详解】解：∵汽车匀速行驶， ∴行驶速度①为常量；行驶时间②、行驶路程③和剩余油量④均随过程变化， ∴变量有②、③、④，共3个． 故选：C． 4．有下列式子：①；②；③；④．其中是的函数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查函数的概念，熟练掌握其定义是解题的关键． 判断每个式子是否满足函数的定义，即对于每个自变量，有唯一的因变量对应． 【详解】解：∵ 函数要求对于每个，有唯一的对应， ①，对于每个，唯一，是函数； ② ，对于，有两个值（正负根），不满足唯一性，不是函数； ③ ，即，对于每个，唯一，是函数； ④ ，对于，唯一（算术平方根），是函数. ∴ 是函数的个数为=． 故选：C． 二、填空题 5．在生物实践课的生态瓶搭建项目中，同学们需采购相应实验用具．购买一套价值15元的生态瓶基础工具包，同时购买若干个玻璃瓶，已知每个玻璃瓶定价为6元．设某小组购买x个玻璃瓶，付款总金额为y元，则y与x的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查列函数关系式，根据“付款总金额生态瓶基础工具包费用玻璃瓶的费用”列式即可． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 6．在关系式中，下列说法：是自变量，是因变量；可以选择任意实数；③是变量，它的值与无关；④用关系式表示的不能用图象表示；⑤与的关系还可以用列表法和图象法表示，其中说法正确的是 ．（填序号） 【答案】①②⑤ 【分析】本题考查函数，根据函数的基本概念，自变量和因变量的定义，函数的表示方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：在关系式 中，是自变量，是因变量，说法①正确； 的数值可以取任意实数，说法②正确； 是变量，但它的值随的变化而变化，与有关，说法③错误； 用关系式表示的函数可以用图象表示，说法④错误； 与的关系可以用列表法和图象法表示，说法⑤正确． 故答案为：①②⑤． 7．如图所示，在中，．若其周长为8，腰长为x，底边长为y，则y与x之间的函数关系式为 ，自变量x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是列函数关系式，三角形的三边关系，利用三角形的三边关系确定出自变量的取值范围是解题的关键． 根据三角形的三边关系列出关系式，确定取值范围即可解题． 【详解】解：∵，且，， ∴． ∵即 解得． 故答案为：；． 8．已知等腰三角形的周长为10，设底边长为x，腰长为y，则y关于x的函数表达式为 ，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系，求函数解析式．根据已知列方程，再根据三角形三边的关系确定自变量x的取值范围即可． 【详解】解：①∵， ∴； ②由三角形三边关系，两边之和大于第三边，得， 即， 整理得，所以． 同时，边长大于零，故且， 由得， 但结合，故取值范围为． 故答案为：①；②． 三、解答题 9．分别指出下列关系式中的变量和常量： (1)设地面气温是，如果每升高，气温下降，气温与高度的关系式是． (2)一个长方体盒子高为，底面是正方形，这个长方体的体积与底面边长的关系式是． 【答案】(1)变量∶t，h；常量∶ ，6； (2)变量∶V，a；常量∶ ． 【分析】本题考查了变量、常量，本题的关键是找到所求量的等量关系． （1）根据常量与变量的定义分析关系式中数值不变的量(常量)和数值变化的量(变量)； （2）根据常量与变量的定义分析关系式中数值不变的量(常量)和数值变化的量(变量)． 【详解】（1）解：在关系式中，高度h可以取不同的值气温t会随着h的变化而变化，所以t和h是变量．而地面气温和每升高气温下降的是固定不变的，所以和6是常量． 变量∶t，h； 常量∶ ，6； （2）解：在关系式中，底面边长a可以取不同的值，体积V会随着a的变化而变化，所以V和a是变量．而长方体盒子的高是固定不变的，所以是常量． 变量∶V，a； 常量∶ ． 10．心理学家研究发现，学生对一个新概念的接受能力y与提出概念所用时间x（单位：min）之间有下表所示的关系： 提出概念所用时间x 7 10 12 13 14 17 20 对概念的接受能力y 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55 (1)上表中，自变量是____________，因变量是__________． (2)根据表格中的数据，提出概念所用时间是________min时，学生的接受能力最强． (3)学生对一个新概念的接受能力从什么时间开始逐渐减弱？ 【答案】(1)提出概念所用时间；对概念的接受能力 (2)13 (3)从第13min以后 【分析】本题考查函数的表示方法、常量与变量，掌握变量、自变量、因变量的定义，从表格中获取有用的信息是解题的关键． （1）根据变量、自变量、因变量的定义作答即可； （2）（3）根据观察表格即可． 【详解】（1）解：表中反映的是提出概念所用时间和对概念的接受能力两个变量之间的关系，其中提出概念所用时间是自变量，对概念的接受能力是因变量． 故答案为：提出概念所用时间；对概念的接受能力． （2）解：根据表格中的数据，提出概念所用时间是分钟时，学生的接受能力最强，达到了． （3）解：由表格可知，学生对一个新概念的接受能力从分钟后开始逐渐减弱． 11．某印刷厂装订一批练习本，每天装订的本数与需要的天数的关系如下表： 每天装订的本数 需要的天数 请回答以下问题： (1)需要的天数随着每天装订的本数的增大而_________（增大、不变、减少）； (2)这批练习本一共有多少本？ (3)用表示需要的天数，用表示每天装订的本数，用式子表示与的关系，并判断与成什么比例关系． 【答案】(1)减少 (2)2000本 (3)，反比例关系 【分析】本题主要考查了反比例关系的判断、反比例函数的表达式以及总量的计算，熟练掌握反比例关系的定义（两个相关联的量，乘积一定则成反比例）是解题的关键． （1）观察表格中每天装订本数和对应天数的变化趋势，判断增减性． （2）根据“总本数=每天装订本数天数”，用表格中任意一组数据计算即可． （3）先根据总本数不变写出与的关系式，再依据反比例关系的定义判断比例类型． 【详解】（1）解：由表格可得需要的天数随着每天装订的本数的增大而减少， 故答案为：减少； （2）解：∵， ， ， ， ∴这批练习本一共有2000本． （3）解：由题意可得， ， ∴与成反比例关系． 12．按如图方式摆放餐桌和椅子．若用x来表示餐桌的张数，y来表示可坐人数，则随着餐桌数的增加： (1)写出y与x之间的关系式； (2)当时，求可坐人数． 【答案】(1) (2)当时，可坐34人 【分析】本题考查探究规律，列函数关系式，求函数值．根据图中所给出的图形，得出规律是解答本题的关键． （1）根据所给图形总结规律，每增加一张桌子，增加4张椅子，据此可得到y关于x之间的关系式； （2）把代入（1）中的式子，求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，当时，； 当时，； 当时，； 由此类推，每增加一张桌子，增加4张椅子，可得， ∴y与x之间的关系式为． （2）解：当时，， 即当时，可坐34人． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16.1 变量与函数 教学目标 1.理解常量、变量及函数的概念，能识别函数关系。 2.掌握自变量取值范围的确定方法，会求函数值。 3.能根据实际问题列函数关系式，熟悉函数的三种表示方法。 4.能结合图象识别函数，体会函数刻画变化规律的作用。 教学重难点 重点 （1）函数的概念（核心是“唯一对应”关系）。 （2）自变量取值范围的确定（代数式意义+实际情境）。 （3）根据实际问题列函数关系式。 （4）函数三种表示方法的识别与简单应用。 难点 （1）函数概念中“对于的每一个值，有唯一值对应”的理解。 （2）实际问题中自变量取值范围的精准限制（如几何、行程问题）。 （3）几何动态问题中函数关系的建立。 （4）从图象中提取有效信息并分析函数变化规律。 【即学即练】 知识点01：常量与变量 1.定义：在某一变化过程中，取值始终不变的量叫作 ；可以取不同数值的量叫作 。 2.相对性：常量与变量是相对某一变化过程而言的，同一量在不同过程中可能 （如中，可为常量或变量）。 【即学即练】 1．（24-25八年级下·山西晋城·月考）一个圆形花坛，周长C与半径r的函数关系式为，其中关于常量和变量的表述正确的是（    ） A．常量是2，变量是C，π，r B．常量是2，变量是r，π C．常量是2，变量是C，π D．常量是，变量是C，r 知识点02：函数的概念 1.核心定义：在一个变化过程中，有两个变量（自变量）和（因变量），对于的每一个 ，都有 与之对应，则称是的函数。 2.关键特征：① ；② （“多对一”成立，“一对多”不成立）；③函数是变量间的关系，而非具体数值。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·全国·假期作业）有以下关于x，y的等式：①；②；③；④，其中y是x的函数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点03：自变量的取值范围 1.定义：使函数关系式有意义且符合实际情境的自变量的全体。 2.常见类型及要求： 类型 核心要求 示例及说明 整式型 自变量取值为 、，x可取任意实数 分式型 分母不能为 ，需满足 偶次根式型 被开方数为 （≥0） ，需满足 零次幂/负整数次幂型 底数不能为 、，需满足 实际问题型 符合实际情境（如长度、时间为正） 路程（t为行驶时间），需满足 【即学即练】 1．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）在函数中，自变量的取值范围是 ． 知识点04：函数值 1.定义：当自变量时，对应的因变量的值叫做时的 。 2. 求法：将自变量的值代入函数关系式，计算得出结果；反之可根据函数值求 的值。 【即学即练】 1．（25-26九年级上·上海浦东新·月考）如果，那么 ． 知识点05：函数的表示方法 1.解析法：用等式（函数关系式）表示，优点是 ，缺点是 。 2.列表法：用表格列出自变量与函数值的对应关系，优点是直 ，缺点是 。 3.图象法：用坐标系中的曲线表示，优点是 ，缺点是 。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）若中，，的周长是12，设长为，长为，则关于的函数表达式为 ． 题型01常量与变量的识别 方法技巧：紧扣“变化过程”，判断量的取值是否改变，不变的为常量，可变的为变量，注意常量可能是数字或固定字母。 【典例1】. （24-25八年级下·天津·月考）一支笔2元，买支共付元，则2和分别是（    ） A．常量，常量 B．变量，变量 C．常量，变量 D．变量，常量 【变式1】. （2025八年级上·全国·专题练习）球的体积是M，球的半径为R，则，其中变量和常量分别是（    ） A．变量是M，R；常量是， B．变量是R，π；常量是 C．变量是M，R；常量是3，4，π D．变量是M，R；常量是 【变式2】. （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，张开大拇指和中指，两手指指尖间的距离为“一拃”．据统计，通常情况下，人的一拃长（单位：）与本人的身高（单位：）之间的关系式为，则下列关于变量和常量的说法正确的是（   ） A．是变量，是常量 B．是变量，是常量 C．0.3与是变量，与是常量 D．与是变量，0.3与是常量 【变式3】. （24-25七年级下·全国·期中）要画一个面积为的长方形，其长为，宽为，在这一变化过程中，常量与变量分别是（   ） A．常量为；变量为x，y B．常量为，y；变量为x C．常量为，x；变量为y D．常量为x，y；变量为 题型02函数关系的判断（关系式型） 方法技巧：看是否满足“两个变量+唯一对应”，若存在一个对应多个（如），则不是的函数。 【典例2】. （25-26九年级上·山东淄博·月考）下列各式中，y不是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】. （24-25八年级下·北京·期末）下列关系式中，不是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】. （24-25八年级上·全国·课后作业）下列关于两个变量的关系，表述不正确的是（   ） A．圆的面积公式中，S是r的函数 B．在匀速运动公式中，s是t的函数 C．光线照到平面镜上，入射角为，反射角为，则是的函数 D．表达式中，y是x的函数 【变式3】. （24-25八年级下·河北石家庄·期中）下列四个选项中，说法不正确的是（   ） A．在匀速运动公式中，是的函数，是常量 B．在圆的周长公式中，2是常量，，，均为变量 C．入射光线照射到平面镜上，如果入射角的角度为，反射角的角度为，那么是的函数 D．一种金属，其质量是体积的函数 题型03函数关系的判断（图象型） 方法技巧：作垂直于轴的直线，若直线与图象仅有一个交点，则是的函数；反之则不是。 【典例3】. （25-26八年级上·贵州六盘水·期中）下列各图象中表示y是x的函数的是（） A． B． C． D． 【变式1】. （24-25八年级下·山东德州·月考）下列曲线中不能表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26八年级上·广西崇左·月考）如图，y不是x的函数的是（　　） A．B．C． D． 【变式3】. （25-26八年级上·江苏无锡·月考）下列图像中，表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 题型04求自变量的取值范围 方法技巧：整式型取全体实数；分式型分母≠0；偶次根式型被开方数≥0；综合型需同时满足所有条件（如需且）。 【典例4】. （25-26九年级上·湖南株洲·期末）函数的自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．全体实数 【变式1】. （25-26八年级上·安徽合肥·期末）函数中，自变量的取值范围选取正确的是（　　） A．取全体实数 B．取的实数 C．取的实数 D．取的实数 【变式2】. （25-26八年级上·浙江宁波·期末）函数的自变量x的取值范围是 ； 【变式3】. （25-26八年级上·浙江温州·期末）函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型05求函数值与自变量的值 方法技巧：求函数值时，将自变量值代入关系式计算；根据函数值求自变量时，代入后解方程，结果需检验是否在自变量取值范围内。 【典例5】. （2024·广东·模拟预测）自由落体运动是由于引力的作用而造成的，月球上物体自由下落的时间和下落的距离 的关系大约是， 物体下落时，在月球上下落的距离是 米． 【变式1】. （25-26八年级上·全国·课前预习）在函数中，当时，函数值为 ；当函数值为4时，自变量x的值为 ． 【变式2】. （25-26八年级上·安徽安庆·期末）已知函数，则当函数值为8时，自变量的值为 ． 【变式3】. （2025八年级上·江苏连云港·专题练习）根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值为2时，输出的值为1，则输入的值为4时，输出的值为 ． 题型06列函数关系式 方法技巧：实际问题紧扣等量关系，明确因变量与自变量，结合实际意义或几何条件列关系式。 【典例6】. （25-26八年级下·全国·课后作业）已知某植物园的收费标准为成人票每张50元，学生票每张20元．设植物园已收门票的总费用为y元，植物园内有成人游客x名，学生游客1名，则y与x之间的函数关系式为 ． 【变式1】. （24-25七年级上·广东广州·期末）语文老师布置同学们寒假阅读一本名著，共计256页．子涵同学计划每天读页，共天读完．用式子表示与的关系为 ． 【变式2】. （25-26七年级上·辽宁鞍山·期末）学校图书馆购进一批图书，管理员在整理过程中发现，每天整理的图书数量与整理的天数之间的关系如下表： 每天整理的图书数量 1200 600 240 120 … 整理的天数 1 2 5 10 … (1)若学校计划用4天的时间完成整理，管理员每天需要整理多少本图书？ (2)若用a表示每天整理的图书数量，用t表示整理的天数，用式子表示t与a的关系，并说明t与a成什么比例关系？ 【变式3】. （25-26八年级下·全国·课后作业）下表是一次实验中测得的弹簧的长度y（单位：cm）与所挂物体的质量x（单位：kg）的几组对应值． 所挂物体的质量x/kg 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度y/cm 18 20 22 24 26 28 (1)表格反映的是弹簧的长度y与所挂物体的质量x这两个变量之间的关系，其中自变量是 ，因变量是 ． (2)用含x的代数式来表示弹簧的长度y为 ；在弹簧的弹性限度内，当弹簧的长度为时，所挂物体的质量为 kg． 一、单选题 1．下列关系中，不能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 2．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（）与所挂的物体的质量x（）（）有下面的关系： x 0 1 2 3 4 5 y 10 11 12 下列说法不正确的是（    ） A．y是x的函数，且x是自变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度y增加 D．所挂物体质量为时，弹簧长度为 3．某汽车匀速行驶在高速公路上，有下列各量：①行驶速度；②行驶时间；③行驶路程；④汽车油箱中的剩余油量．其中变量的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．有下列式子：①；②；③；④．其中是的函数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 5．在生物实践课的生态瓶搭建项目中，同学们需采购相应实验用具．购买一套价值15元的生态瓶基础工具包，同时购买若干个玻璃瓶，已知每个玻璃瓶定价为6元．设某小组购买x个玻璃瓶，付款总金额为y元，则y与x的表达式为 ． 6．在关系式中，下列说法：是自变量，是因变量；可以选择任意实数；③是变量，它的值与无关；④用关系式表示的不能用图象表示；⑤与的关系还可以用列表法和图象法表示，其中说法正确的是 ．（填序号） 7．如图所示，在中，．若其周长为8，腰长为x，底边长为y，则y与x之间的函数关系式为 ，自变量x的取值范围为 ． 8．已知等腰三角形的周长为10，设底边长为x，腰长为y，则y关于x的函数表达式为 ，自变量x的取值范围是 ． 三、解答题 9．分别指出下列关系式中的变量和常量： (1)设地面气温是，如果每升高，气温下降，气温与高度的关系式是． (2)一个长方体盒子高为，底面是正方形，这个长方体的体积与底面边长的关系式是． 10．心理学家研究发现，学生对一个新概念的接受能力y与提出概念所用时间x（单位：min）之间有下表所示的关系： 提出概念所用时间x 7 10 12 13 14 17 20 对概念的接受能力y 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55 (1)上表中，自变量是____________，因变量是__________． (2)根据表格中的数据，提出概念所用时间是________min时，学生的接受能力最强． (3)学生对一个新概念的接受能力从什么时间开始逐渐减弱？ 11．某印刷厂装订一批练习本，每天装订的本数与需要的天数的关系如下表： 每天装订的本数 需要的天数 请回答以下问题： (1)需要的天数随着每天装订的本数的增大而_________（增大、不变、减少）； (2)这批练习本一共有多少本？ (3)用表示需要的天数，用表示每天装订的本数，用式子表示与的关系，并判断与成什么比例关系． 12．按如图方式摆放餐桌和椅子．若用x来表示餐桌的张数，y来表示可坐人数，则随着餐桌数的增加： (1)写出y与x之间的关系式； (2)当时，求可坐人数． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $