专题 2.4 一元一次不等式组（知识梳理+题型精析+中考真题）- 2025-2026学年北师大版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 2.4 一元一次不等式组（知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】一元一次不等式组定义 1 ★【题型 1】一元一次不等式组的识别 1 【知识点二】一元一次不等式组的解集 2 ★【题型 2】求一元一次不等式组的解集 2 ★【题型 3】求一元一次不等式组的整数解 3 【知识点三】已知不等式组解集，求参数值或参数取值范围 3 ★★【题型 4】已知不等式组的解集求参数 4 【知识点四】不等式组与方程组综合问题 4 ★★【题型 5】一元一次不等式组与方程组综合 4 ★★【题型 6】不等式组的应用 5 二.中考真题 6 （一）单选题（6题） 6 （二）填空题（6题） 7 （三）解答题（4题） 7 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题 【知识点一】一元一次不等式组定义 一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. ★【题型 1】一元一次不等式组的识别 【例题1】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列属于一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·云南昆明·期末）限制高度是公路交通标志中的重要类别，这类标志通常设置在立交桥下方、跨路桥附近等净空受限区域，明确对于通过该路段车辆最大高度的限制要求．如图所示，能通过该路段的车辆高度x（单位：米）的范围可表示为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列不等式组中，是一元一次不等式组的有 ．（填序号） ①    ②    ③   ④    ⑤ 【变式3】（2024·河南周口·三模）某生物兴趣小组要在温箱里同时培养A，B两种菌苗，已知A种菌苗生长的适宜温度的范围是 ，B种菌苗生长的适宜温度 的范围是 ，那么温箱里的温度应该设定的范围是 ． 【知识点二】一元一次不等式组的解集 1. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集.求不等式组解集的过程，叫做解不等式组. 2.解一元一次不等式组的方法步骤： （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集． （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集． ★【题型 2】求一元一次不等式组的解集 【例题2】（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期末） （1）解不等式组： （2）解不等式组：． 【变式1】（23-24七年级下·全国·课后作业）把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）若一次函数的图像不经过第二象限，则的取值范围是 ． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列不等式组： (1) (2) ★【题型 3】求一元一次不等式组的整数解 【例题3】（25-26七年级下·全国·课后作业）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来，并求出它的所有整数解的和． 【变式1】（25-26九年级上·湖北·期末）不等式组的所有整数解的和为（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【变式2】（2025·黑龙江大庆·三模）求不等式组：整数解之和 ． 【变式3】（25-26七年级下·全国·周测）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来，并写出所有的整数解． 【知识点三】已知不等式组解集，求参数值或参数取值范围 解题步骤： （1）分别解出不等式组中每个不等式，用参数表示其解集； （2）根据已知的不等式组解集，结合 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到” 的口诀，建立关于参数的等式或不等式； （3）求解并检验参数的合理性。 ★★【题型 4】已知不等式组的解集求参数 【例题4】（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）已知关于x的不等式组的解集是．求m的值． （2）已知关于x的不等式组无解．求a的取值范围． 【变式1】（25-26八年级上·山西太原·月考）已知关于的不等式组有且只有两个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·浙江温州·期中）已知关于的不等式组的解集是，则关于的不等式组的解集是 ． 【变式3】（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）已知关于的不等式组． (1)当为何值时，该不等式组的解集为； (2)若该不等式组只有个正整数解，求的取值范围． 【知识点四】不等式组与方程组综合问题 解题步骤： （1）选择合适的方法解方程组：将方程组的解用含未知数或参数的代数式表示出来； （2）代入不等式组：将方程组的解代入到不等式组中，得到一个只含参数的新不等式组； 解这个新的不等式组，得到参数的取值范围； （3）检验与作答：检验参数的取值范围是否符合题意，根据参数的取值范围，确定问题的最终答案。 ★★【题型 5】一元一次不等式组与方程组综合 【例题5】（25-26七年级下·全国·周测）已知关于，的二元一次方程组的解满足不等式． (1)求实数的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，请求出整数的值． 【变式1】（2025·四川广元·三模）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【变式3】（2026七年级下·全国·专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组回答下列问题： (1)若方程组的解满足，求a的取值范围． (2)若方程组的解均为正数，则a的取值范围为___________． ★★【题型 6】不等式组的应用 【例题6】（25-26八年级上·陕西西安·期末）为了提升学生的审美素养与艺术实践能力，学校计划采购画笔套装与音乐礼盒两种美育资源共40套，作为美育课堂的辅助材料．已知画笔套装单价为80元，音乐礼盒单价为30元．学校经费预算不超过2000元．在保证学生能同时接触绘画与音乐两类美育资源的前提下，学校最多能购买多少套画笔套装？ 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·山东枣庄·月考）春雨中学九年级（1）班和九年级（2）班的同学外出参观，将两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人．则预定每组学生有 人． 【变式3】（25-26八年级上·山东菏泽·期末）已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．现要将34吨货物一次性运完，且要求租用的车辆都载满．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，共有几种租车方案？哪种方案租车费用最少？ 二.中考真题 （一）单选题（6题） 1．（2025·吉林长春·中考真题）下列不等式组无解的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·四川攀枝花·中考真题）不等式组的解集是（   ） A． B． C． D．或 3．（2025·内蒙古·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·湖南·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（    ） A． B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个 C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10 5．（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（   ） A．8 B．14 C．18 D．38 6．（2025·四川泸州·中考真题）对于任意实数，定义新运算：，给出下列结论：①；②若，则；③；④若，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 （二）填空题（6题） 7．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）不等式组，的解集是 ． 8．（2024·黑龙江大庆·中考真题）不等式组的整数解有 个． 9．（2024·黑龙江大兴安岭·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ． 10．（2025·黑龙江大庆·中考真题）不等式组的整数解有 个． 11．（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，点在第三象限，则的取值范围是 ． 12．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）对于实数，定义运算“※”为，例如，则关于的不等式有且只有一个正整数解时，的取值范围是 ． （三）解答题（4题） 13．（2025·广东深圳·中考真题）解一元一次不等式组，并在数轴上表示． 解：由不等式①得：__________， 由不等式②得：__________， 在数轴上表示为： 所以，原不等式组的解集为__________． 14．（2025·西藏·中考真题）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 15．（2025·四川凉山·中考真题）（1）解不等式：； （2）先化简，再求值：，求值时请在内取一个使原式有意义的x（x为整数）． 16．（2025·河北·中考真题）（1）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （2）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （3）直接写出不等式组的解集． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.4 一元一次不等式组（知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】一元一次不等式组定义 1 ★【题型 1】一元一次不等式组的识别 1 【知识点二】一元一次不等式组的解集 3 ★【题型 2】求一元一次不等式组的解集 3 ★【题型 3】求一元一次不等式组的整数解 5 【知识点三】已知不等式组解集，求参数值或参数取值范围 9 ★★【题型 4】已知不等式组的解集求参数 9 【知识点四】不等式组与方程组综合问题 11 ★★【题型 5】一元一次不等式组与方程组综合 12 ★★【题型 6】不等式组的应用 15 二.中考真题 18 （一）单选题（6题） 18 （二）填空题（6题） 22 （三）解答题（4题） 25 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题 【知识点一】一元一次不等式组定义 一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. ★【题型 1】一元一次不等式组的识别 【例题1】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列属于一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式组的定义，需由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成，逐一判断各选项． 解：A、包含等式，不是全由不等式组成，不符合题意； B、包含不等式，其中未知数的次数为，不是一元一次不等式，不符合题意； C、含有和两个未知数，不是一元，不符合题意； D、两个不等式都只含一个未知数，且未知数的次数为，都是一元一次不等式，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，解题关键是抓住“一元”（一个未知数）和“一次”（未知数次数为）两个核心特征，同时确保组内全是不等式． 【变式1】（24-25七年级下·云南昆明·期末）限制高度是公路交通标志中的重要类别，这类标志通常设置在立交桥下方、跨路桥附近等净空受限区域，明确对于通过该路段车辆最大高度的限制要求．如图所示，能通过该路段的车辆高度x（单位：米）的范围可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了不等式组的应用，根据实际意义列出不等式组即可． 解：由图形可得能通过该路段的车辆高度x（单位：米）的范围可表示为， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列不等式组中，是一元一次不等式组的有 ．（填序号） ①    ②    ③   ④    ⑤ 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的定义，熟练掌握定义并灵活运用是解题的关键．根据一元一次不等式组的定义，含有两个或两个以上的不等式，不等式中的未知数相同，并且未知数的最高次数是一次，对各选项判断后即可得解． 解：根据一元一次不等式组的定义，①②④都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，所以都是一元一次不等式组； ③含有两个未知数， ⑤含有一个未知数，但未知数的最高次数是2， 所以③⑤都不是一元一次不等式组． 故答案为：①②④． 【变式3】（2024·河南周口·三模）某生物兴趣小组要在温箱里同时培养A，B两种菌苗，已知A种菌苗生长的适宜温度的范围是 ，B种菌苗生长的适宜温度 的范围是 ，那么温箱里的温度应该设定的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求不等式组解集的意义；由题意知，温度要同时适宜两种菌苗的生长，就是求这两个范围的公共部分． 解：这两个温度范围的公共部分是：； 故答案为：． 【知识点二】一元一次不等式组的解集 1. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集.求不等式组解集的过程，叫做解不等式组. 2.解一元一次不等式组的方法步骤： （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集． （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集． ★【题型 2】求一元一次不等式组的解集 【例题2】（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期末） （1）解不等式组： （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了求不等式组的解集．分别求解每个不等式组中的两个一元一次不等式，再根据不等式组解集的确定规则，得出每个不等式组的最终解集，即可求解． （1）解： 解不等式① 得 解不等式② 得 ∴不等式组的解集为 （2）解： 解不等式① 得 解不等式② 两边同时乘3得 移项得 得 ∴不等式组的解集为 【变式1】（23-24七年级下·全国·课后作业）把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解不等式的步骤，能求出不等式组中各不等式的公共解集． 先解出每个不等式，再求出不等式组的解集即可． 解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）若一次函数的图像不经过第二象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质、解一元一次不等式组，根据一次函数的图像不经过第二象限，可得关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得到的取值范围． 解：一次函数的图像不经过第二象限， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式的解集为：． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列不等式组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤． （1）（2）根据解一元一次不等式组的一般步骤，求出各个不等式的解集，然后根据判断不等式组解集的口诀求出各个不等式组的解集即可． （1）解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴这个不等式组的解集为． （2）解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴这个不等式组的解集为． ★【题型 3】求一元一次不等式组的整数解 【例题3】（25-26七年级下·全国·课后作业）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来，并求出它的所有整数解的和． 【答案】，数轴见解析，9． 【分析】先分别解出不等式组中的两个不等式，求出它们的公共解集，再在数轴上表示解集，最后找出所有整数解并计算它们的和． 解：①解不等式①： ． ②解不等式②： ． ③确定不等式组的解集： 两个不等式的解集分别为和 ∴不等式组的解集为． ④在数轴上表示解集： ⑤求整数解并求和： 解集中的整数解为：． 整数解的和为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法、数轴表示解集以及整数解的求和，解题关键是准确求解每个不等式，正确确定公共解集，并在数轴上规范表示． 【变式1】（25-26九年级上·湖北·期末）不等式组的所有整数解的和为（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】先解每个不等式，得到解集的范围，然后找出所有整数解，并求和即可． 本题考查了不等式组的解法，熟练掌握解不等式组是解题的关键． 解： 解不等式组： 对于第一个不等式： ∵ ∴ ∴ （除以负数，不等号方向改变） 对于第二个不等式： ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 不等式组的解集为 整数解为： 和为：， 故选：B． 【变式2】（2025·黑龙江大庆·三模）求不等式组：整数解之和 ． 【答案】0 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键． 先求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解再作和． 解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是， 所以不等式组的整数解是，，0，1，2， ， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·全国·周测）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来，并写出所有的整数解． 【答案】，见解析，所有的整数解 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键； 分别解出两个不等式的解，再求出不等式组的解，并在数轴上表示出来，观察数轴写出所有整数解． 解：解不等式①， 得， 解不等式②， 得， 所以原不等式组的解集为． 不等式组的解集在数轴上的表示如图所示， ∴原不等式组所有的整数解为． 【知识点三】已知不等式组解集，求参数值或参数取值范围 解题步骤： （1）分别解出不等式组中每个不等式，用参数表示其解集； （2）根据已知的不等式组解集，结合 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到” 的口诀，建立关于参数的等式或不等式； （3）求解并检验参数的合理性。 ★★【题型 4】已知不等式组的解集求参数 【例题4】（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）已知关于x的不等式组的解集是．求m的值． （2）已知关于x的不等式组无解．求a的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了根据不等式组的解集情况求参数，熟练掌握不等式组的解法是解答本题的关键． （1）根据解集为列方程求解即可； （2）先求出不等式组两个不等式的解集，再根据解集为列不等式求解即可． 解：（1）∵关于x的不等式组的解集是，且， ， 解得：； （2）， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵关于x的不等式组无解， ， 解得：． 【变式1】（25-26八年级上·山西太原·月考）已知关于的不等式组有且只有两个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式组的整数解，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先解不等式组，得到解集为，由于有且只有两个整数解，可知整数解为和，因此需满足，从而求出的取值范围． 解：解不等式，得； 解不等式，得； ∴不等式组的解集为； ∵有且只有两个整数解， ∴整数解为和； ∴； ∴； 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·浙江温州·期中）已知关于的不等式组的解集是，则关于的不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】该题考查了不等式组的解集，由已知不等式组的解集为，可确定参数，再代入第二个不等式组求解解集． 解：∵不等式组，解集为． ∴，且（即)， 设不等式①的解为，不等式②的解为， 解集为， 因此，解得． 将代入第二个不等式组， 得， 解得：． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）已知关于的不等式组． (1)当为何值时，该不等式组的解集为； (2)若该不等式组只有个正整数解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是掌握解一元一次不等式的能力，并根据不等式组的整数解个数得出关于的不等式组． （1）先解每个不等式得出其解集，结合已知的不等式组的解集得出关于的方程，解之即可； （2）根据不等式组只有个正整数解知解之即可． （1）解不等式，得：， 解不等式， 则不等式组的解集为 该不等式组的解集为， 解得； （2）不等式组只有个正整数解， 解得． 【知识点四】不等式组与方程组综合问题 解题步骤： （1）选择合适的方法解方程组：将方程组的解用含未知数或参数的代数式表示出来； （2）代入不等式组：将方程组的解代入到不等式组中，得到一个只含参数的新不等式组； 解这个新的不等式组，得到参数的取值范围； （3）检验与作答：检验参数的取值范围是否符合题意，根据参数的取值范围，确定问题的最终答案。 ★★【题型 5】一元一次不等式组与方程组综合 【例题5】（25-26七年级下·全国·周测）已知关于，的二元一次方程组的解满足不等式． (1)求实数的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，请求出整数的值． 【答案】(1) (2)整数的值为， 【分析】本题考查了二元一次方程组的整体解法、一元一次不等式的解法及解集与系数的关系，掌握整体相加求解的技巧和不等式系数正负与解集方向的关系是解题的关键． （1）通过将方程组的两个方程整体相加，直接得到的表达式，无需单独解出，再根据建立关于的不等式求解范围； （2）先整理不等式，根据解集判断不等式系数的正负，得到 m 的新范围，并结合（1）中所得结果确定的取值范围，然后确定其整数解即可． （1）解： ①+②，得， 解得． ， ， ，． （2）解：移项，得． 的解集为， ， ． ， ， ∴整数的值为，． 【变式1】（2025·四川广元·三模）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先用整体法解二元一次方程组，再代入不等式即可求解． 解：， ，得：， 不等式整理可得：， ∴， ， 解得：． 故选：A ． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先将方程组中的两个方程相加可得，则，再根据可得一个关于的不等式组，解不等式组即可得． 解：， 由①②得：，即， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式3】（2026七年级下·全国·专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组回答下列问题： (1)若方程组的解满足，求a的取值范围． (2)若方程组的解均为正数，则a的取值范围为___________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法与不等式（组）的应用，掌握整体代入求、解方程组后根据解的正负列不等式组是解题的关键． （1）将两个方程相加，整体求出的表达式，代入不等式求解的范围； （2）先解方程组得到的表达式，再根据解为正数列不等式组求解的范围． （1）解： ，得，③ ，得． ∵， ∴， 解不等式，得， ∴的取值范围为． （2）解：由（1）可知，．④ ，得． 将代入④中， 解得， ∴方程组的解是 ∵方程组的解均为正数， ∴ 解不等式组，得， ∴的取值范围为． ★★【题型 6】不等式组的应用 【例题6】（25-26八年级上·陕西西安·期末）为了提升学生的审美素养与艺术实践能力，学校计划采购画笔套装与音乐礼盒两种美育资源共40套，作为美育课堂的辅助材料．已知画笔套装单价为80元，音乐礼盒单价为30元．学校经费预算不超过2000元．在保证学生能同时接触绘画与音乐两类美育资源的前提下，学校最多能购买多少套画笔套装？ 【答案】16 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确理解题意、找准相等关系和不等关系是解题的关键； 设画笔套装购买套，则音乐礼盒购买套，根据预算和同时接触两种资源的条件，列出不等式组并求解 解：设画笔套装购买套，则音乐礼盒购买套 根据题意： 解得：1 因此的最大值为16， 答：学校最多能购买16套画笔套装． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 设小朋友人数为，则苹果总数为，当每个小朋友分个苹果时，前个小朋友分得个苹果，最后一个小朋友分得的苹果数为，该值大于且小于，由此可列不等式组． 解：∵苹果总数为， 前个小朋友分得个苹果， ∴最后一个小朋友分得的苹果数为， 由题意，， 即不等式组为 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·山东枣庄·月考）春雨中学九年级（1）班和九年级（2）班的同学外出参观，将两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人．则预定每组学生有 人． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，根据题意列出不等式组是解题的关键． 设预定每组分配人，根据两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人，列出不等式方程组求解即可． 解：设预定每组分配人，根据题意可得： 解得： ∵为整数， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·山东菏泽·期末）已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．现要将34吨货物一次性运完，且要求租用的车辆都载满．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，共有几种租车方案？哪种方案租车费用最少？ 【答案】(1)1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨 (2)共有3种租车方案；方案3租用A型车2辆、B型车7辆最省钱，最少租车费为1040元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用以及在实际问题中寻找最优解方案的能力．问题分为两个部分：第一部分是通过已知运输组合建立方程组，求出每种车型的载货量；第二部分是在总运量固定的前提下，结合租金费用，找出满足运输需求的所有可行方案，并比较各方案的总费用，确定最经济的一种．解题核心在于正确列出方程，合理分析整数解情况，并进行成本比较． （1）解：设1辆A型车载满货物一次可运货吨，1辆B型车载满货物一次可运货吨． 根据题意： 得 将第一个方程乘以2： 减去第二个方程： 代入第一个原方程： 解得： 答：1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨． （2）设租用A型车辆，B型车辆，依题意，租用的车辆需恰好运完34吨货物，故有 其中为非负整数． 由方程得： 要求为非负整数，则必须是3的非负倍数． 得到三组解： A型车100元/辆，B型车120元/辆 方案1：10×100+1×120=1000+120=1120元 方案2：6×100+4×120=600+480=1080元 方案3：2×100+7×120=200+840=1040元 共有3种租车方案，其中方案3总费用最低，为1040元． 答：共有3种租车方案，租用2辆A型车和7辆B型车时费用最少，为1040元． 【点睛】本题综合考查学生对实际运输问题建模的能力，涉及二元一次方程组的建立与求解、不定方程的整数解分析以及成本最优化比较．解题时需注意变量的非负整数限制，并逐一验证可能解，避免遗漏或误判．最终通过计算比较得出最优方案，体现了数学建模在物流运输中的实际应用价值． 二.中考真题 （一）单选题（6题） 1．（2025·吉林长春·中考真题）下列不等式组无解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式组的解集，根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出每个选项中不等式组的解集即可得到答案． 解：A、原不等式组的解集为，不符合题意； B、原不等式组无解，符合题意； C、原不等式组的解集为，不符合题意； D、原不等式组的解集为，不符合题意； 故选：B． 2．（2025·四川攀枝花·中考真题）不等式组的解集是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查不等式组的解集，分别求出不等式①②的解集，再求出不等式组的解集即可． 解：， 解①得，， 解②得，， ∴不等式组的解集是； 故选：A． 3．（2025·内蒙古·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．先解一元一次不等式组，再在数轴上表示即可． 解：， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集在数轴上表示是： 故选：C． 4．（2024·湖南·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（    ） A． B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个 C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，点到坐标轴的距离，各象限内点的特征等知识，利用各象限内点的特征求出a的取值范围，即可判断选项A，利用“整点”定义即可判断选项B，利用“超整点”定义即可判断选项C，利用“超整点”和点到坐标轴的距离即可判断选项D． 解：∵点在第二象限， ∴， ∴，故选项A错误； ∵点为“整点”， ， ∴整数a为，，0，1， ∴点P的个数为4个，故选项B错误； ∴“整点”P为，，，， ∵，，， ∴“超整点”P为，故选项C正确； ∵点为“超整点”， ∴点P坐标为， ∴点P到两坐标轴的距离之和，故选项D错误， 故选：C． 5．（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（   ） A．8 B．14 C．18 D．38 【答案】B 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，解分式方程，先解不等式组，确定出a的取值范围，再解分式方程，结合解为正整数的条件筛选出a的值，最后求和即可． 解： 解①得： 解②得：， ∵关于x的不等式组至少有两个正整数解 ∴不等式组的解集为． ∵不等式组的解集至少有两个正整数解，则解集需包含至少两个整数． 当时，解集包含， 此时． 分式方程化简为：， 解得． 要求解为正整数且，则为大于等于2的整数， 即为大于等于6的偶数． ∵， ∴或8， 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 则所有满足条件的整数之和为， 故选：B． 6．（2025·四川泸州·中考真题）对于任意实数，定义新运算：，给出下列结论：①；②若，则；③；④若，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了实数的新定义运算，解一元一次不等式组，根据新定义运算分类讨论是解题的关键．根据新定义运算法则，逐项分析判断，即可求解． 解：①∵， ∴，故①正确， ②∵， 当时，， 当时，，即，故②不正确； ③不成立，例如，则，故③不正确； ④当即时， 则：， 解得：， ∴； 当，即时， 则：， 解得：， ∴， 综上所述，，故④正确， 故正确的有①和④，共2个， 故选：B． （二）填空题（6题） 7．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）不等式组，的解集是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握和运用一元一次不等式组的解法是解决本题的关键．首先解每一个不等式，求得每一个不等式的解集，据此再求不等式组的解集即可． 解：， 解①得：， 解②得：， 所以不等式的解集为：； 故答案为： 8．（2024·黑龙江大庆·中考真题）不等式组的整数解有 个． 【答案】 【分析】本题主要考查了求不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其整数解即可． 解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：， ∴整数解有，，，共4个， 故答案为：． 9．（2024·黑龙江大兴安岭·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式（组，一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 先解出不等式组中每个不等式的解集，然后根据不等式组恰有3个整数解，即可得到关于的不等式组，然后求解即可． 解：由，得：， 由，得：， 不等式组恰有3个整数解， 这3个整数解是0，1，2， ， 解得， 故答案为：． 10．（2025·黑龙江大庆·中考真题）不等式组的整数解有 个． 【答案】2 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组的整数解．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，找出整数解即可得答案． 解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 原不等式组的解集为， 原不等式组的整数解为3，2共2个． 故答案为：2． 11．（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，点在第三象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中第三象限的点的坐标的符号特点，根据平面直角坐标系中第三象限内的点的横坐标小于0，纵坐标小于0，列出关于a的不等式组，求解即可． 解：点在第三象限， ， 解得， 即的取值范围是， 故答案为：． 12．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）对于实数，定义运算“※”为，例如，则关于的不等式有且只有一个正整数解时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，解一元一次不等式组，根据新定义和正整数解列出关于的不等式组是解题的关键．根据新定义列出不等式，解关于的不等式，再由不等式的解集有且只有一个正整数解得出关于的不等式组求解可得． 解：根据题意可知， 解得： 有且只有一个正整数解 解不等式①，得： 解不等式②，得： 故答案为：． （三）解答题（4题） 13．（2025·广东深圳·中考真题）解一元一次不等式组，并在数轴上表示． 解：由不等式①得：__________， 由不等式②得：__________， 在数轴上表示为： 所以，原不等式组的解集为__________． 【答案】；；；见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无法找”确定不等式组的解集， 解：， 解不等式①，得： 解不等式②，得： 在数轴上表示如下： 所以不等式组的解集为：， 故答案为：；； 14．（2025·西藏·中考真题）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，在数轴上表示见详解 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并在数轴上表示不等式的解集，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次不等式． 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可． 解：， 由①得：， 由②得：， 所以不等式组的解为． 在数轴上表示为： 15．（2025·四川凉山·中考真题）（1）解不等式：； （2）先化简，再求值：，求值时请在内取一个使原式有意义的x（x为整数）． 【答案】（1）；（2）；当时，值为；当时，值为 【分析】本题考查了解一元一次不等式，分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则和解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）先去分母，然后去括号，合并同类项，系数化1即可求解； （2）先将除法化为乘法计算，再进行分式的减法计算，根据分式有意义的条件得到，再选择合适的整数代入求值即可． （1）解：， ， ， 解得：， ∴原不等式的解集为：； （2）解： ， ∵分式有意义， ∴， ∴或； 当时，原式； 当时，原式． 16．（2025·河北·中考真题）（1）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （2）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （3）直接写出不等式组的解集． 【答案】（1），见解析；（2），见解析；（3） 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，求不等式组的解集，熟知解不等式和解不等式组的方法是解题的关键． （1）把不等式两边同时除以2求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可； （2）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可； （3）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 解：（1） 不等式两边同时除以2得， 数轴表示如下所示： （2） 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： （3） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $