专题 2.2 一元一次不等式（知识梳理+题型精析+中考真题）- 2025-2026学年北师大版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 2.2 一元一次不等式（知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【基础篇】 1 【知识点一】一元一次不等式的概念 2 ★【题型 1】一元一次不等式的识别 2 【知识点二】一元一次不等式的解法 3 ★【题型 2】求一元一次不等式的解集 3 ★★【题型 3】求一元一次不等式的解集 6 【知识点三】数轴上表示一元一次不等式 9 ★【题型 4】数轴上表示不等式的解集 9 ★★【题型 5】数轴上表示不等式的解集 12 【知识点四】一元一次不等式的应用 14 ★★【题型 6】用一元一次不等式解决实际问题 14 【培优篇】 17 ★★【题型 7】求一元一次不等式的整数解与最值 17 ★★【题型 8】二元一次方程与一元一次不等式综合求值 19 ★★★【题型 9】已知一元一次不等式的解集的情况求参数或参数取值范围 23 二.中考真题 26 （一）单选题（6题） 26 （二）填空题（6题） 28 （三）解答题（4题） 31 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题 【基础篇】 【知识点一】一元一次不等式的概念 定义：只含一个未知数，未知数的次是一次不等式，叫做一元一次不等式。 要点提示： （1）构成一元一次不等式条件：左右两边都是整式；只含有一个未知数；未知为的最高次数为1. （2）一元一次不等式与一元一次方程的区别与联系. 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“<”、“”、“”或“>”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向． ★【题型 1】一元一次不等式的识别 【例题1】（24-25七年级下·重庆·期末）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键．利用一元一次不等式的定义判断即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴，， 解得：， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·浙江温州·月考）下列各式中是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的判断，根据一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式，判断各选项即可． 【详解】解：A、，只含未知数x，次数为1，且有不等号“”，故是一元一次不等式； B、，含有两个未知数x和y，故不是一元一次不等式； C、，没有不等号，故不是一元一次不等式； D、，未知数x的最高次数为2，故不是一元一次不等式； 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁营口·期末）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为（   ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】根据一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义得到，求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴， ∴． 故选：A 【变式3】（24-25八年级下·甘肃张掖·月考）已知是关于x的一元一次不等式，求m的值． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义．利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 【详解】解：依题意得，且， 解得：或，且 ． 【知识点二】一元一次不等式的解法 1.解不等式：求不等式的过程叫做解不等式。 2.一元一次不等式的解法： （1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）化为（或）的形式（其中）；（5）两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集. ★【题型 2】求一元一次不等式的解集 【例题1】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）解下列一元一次不等式． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题考查一元一次不等式的解法，关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤：对于不含分母的不等式，通过移项、合并同类项、系数化为1求解；对于含分母的不等式，需先去分母，再依次进行去括号、移项、合并同类项、系数化为1的操作，注意系数化为1时，若系数为负数，不等号方向要改变． （1）是不含分母的一元一次不等式，直接通过移项、合并同类项、系数化为1即可得到解集； （2）是含分母的一元一次不等式，先去分母消除分母，再按步骤逐步化简求解． 【详解】（1）解：， 移项得，即， 系数化为1，两边同时除以2得． （2）解：， 两边同时乘以6去分母得， 去括号得， 合并右边常数项得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1，两边同时除以5得． 【变式1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的方法求解即可，掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 解得：， 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·安徽滁州·期末）已知一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解一元一次不等式，解题的关键是掌握待定系数法． 根据图象利用待定系数法求出直线解析式，然后列出一元一次不等式进行求解即可． 【详解】解：将代入得， ， 解得， ∴， ∴， 解得， 故选：D． 【变式3】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）已知一次函数（m为常数，）的图象经过点． (1)求m的值； (2)不等式的解集是 ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数图象，掌握待定系数法，根据函数值求自变量的取值范围是关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）根据得到，解不等式即可求解． 【详解】（1）解：∵把点代入一次函数中， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，一次函数的解析式为 ∵， ∴， 解得，, 故答案为：． ★★【题型 3】求一元一次不等式的解集 【例题3】（25-26八年级下·全国·月考）数学课上，老师展示了嘉嘉同学解不等式的过程： 解：，第一步 ，第二步 ，第三步 ．第四步 (1)该同学的解题过程第____________步开始出现错误． (2)求出原不等式的正确解集． 【答案】(1)一 (2) 【分析】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键． （1）观察嘉嘉同学解题过程，找出错误的步骤即可； （2）利用解不等式的一般步骤解题即可． 【详解】（1）解：一．根据去分母，去括号的计算得到从第一步开始出错，当分子上是多项式时，去分母时，要用括号将分子放在括号中，去括号时，当括号外面是减号时，括号里各项要变号． （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知实数，满足． (1)当时，则的取值范围为 ； (2)在(1)的条件下，实数，满足，若存在在的取值范围中，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式，理解题意并列得正确的不等式是解题的关键． （1）根据题意列得关于的不等式，解不等式即可； （2）根据题意列得关于的不等式，解不等式即可． 【详解】解：（1）已知实数，满足， 当时， ， 解得：， 故答案为：； （2）在（）的条件下，实数，满足，若存在在的取值范围中， ， 解得：， 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级上·上海金山·月考）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】此题考查了解不等式，分母有理化，首先解不等式，然后根据分母有理化化简即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）当取什么值时，代数式的值是负数？ （2）当取什么值时，代数式的值小于的值？ （3）当取什么值时，代数式的值不大于的值？ 【答案】（）；（）；（）． 【分析】本题考查了列不等式，解不等式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列出不等式，然后解不等式即可； （）根据题意列出不等式，然后解不等式即可； （）根据题意列出不等式，然后解不等式即可． 【详解】解：（）根据题意得，， ， ∴； （）根据题意得， ， ∴； （）根据题意得，， ， ， ， ， ∴． 解不等式注意事项： ①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；②移项时不要忘记变号； ③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变． 【知识点三】数轴上表示一元一次不等式 在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助． ★【题型 4】数轴上表示不等式的解集 【例题4】（25-26七年级上·江苏泰州·月考）解不等式，将解集在数轴上表示出来 (1) (2) 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 先求出不等式的解集，再将解集在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解： 将解集在数轴上表示如下： （2）解： 将解集在数轴上表示如下： 【变式1】（25-26八年级下·全国·单元测试）要使有意义，则的取值范围在数轴上表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，在数轴上表示不等式组的解集． 根据二次根式有意义的条件求出x的取值范围，进而在数轴上表示即可． 【详解】解：∵有意义， ∴且 解得：且 即， 在数轴上表示为：． 故选：C． 【变式2】（2024·湖北·模拟预测）解不等式，下列在数轴上表示的解集正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式的解集为 在数轴上表示不等式的解集，应从表示的点向右画，并且不包含的点，即表示的点画空心圆圈即可. 【详解】解： ， 则解集在数轴上表示如下： 故选C 【变式3】（23-24八年级下·全国·期中）解不等式，并将解集表示在数轴上． (1)； (2)． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，正确求出不等式的解集是解题的关键． （1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，然后在数轴上表示出不等式的解集即可； （2）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，然后在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】（1）解： 解得， 把解集表示在数轴上如图： （2）解：， ， ， ， 解得， 将解集表示在数轴上如图： ★★【题型 5】数轴上表示不等式的解集 【例题5】（25-26七年级下·全国·课后作业）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)． (2)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法与解集的数轴表示，掌握解一元一次不等式的步骤，以及系数为负时不等号方向改变是解题的关键． （1）（2）按照解一元一次不等式的步骤，先去分母，再依次进行去括号、移项、合并同类项，最后将系数化为，求出不等式的解集并把解集在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以，得． 其解集在数轴上表示如图． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以，得． 其解集在数轴上表示如图． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）若关于的取值范围如下图所示，用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式．观察数轴进行作答即可． 【详解】解：由数轴可知，不等式表示为， 故答案为：． 【变式2】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，这是在数轴上表示的一个不等式组的解集，则这个不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】根据数轴表示不等式组解集的方法可得答案．本题考查数轴表示不等式的解集，掌握在数轴上表示不等式组解集的方法是正确解答的前提． 【详解】解：由数轴表示不等式解集的方法可得这个不等式组的解集为， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)． (2)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题考查了知识点一元一次不等式的解法及解集的数轴表示，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的步骤，并注意系数化为时不等号方向的变化． （1）先通过去括号、移项、合并同类项、系数化为来解一元一次不等式，最后在数轴上表示解集； （2）先去分母，再按解一元一次不等式的步骤求解，最后在数轴上表示解集． 【详解】（1）解： ． 解集在数轴上表示如图． （2）解： ． 解集在数轴上表示如图． 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左． 【知识点四】一元一次不等式的应用 1.解题中的关键词：（1）“至少、不低于、不少于”对应用“≥”连接；（2）至多、不超过、不大于用“≤”连接；（3）超过、大于用“＞”连接；（4）不足、小于用“＜”连接； 2.常见模型：（1）分配问题（物品分给人或房间）；（2）方案选择问题（费用比较、哪种更划算）；（3）积分或得分问题；（4）行程、工程、购物优惠问题； 3.解的要求：求整数解（人数、件数、次数必须为正整数）或求最小与最大值. ★★【题型 6】用一元一次不等式解决实际问题 【例题6】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）某校八年级上学期举行了趣味运动会，为了奖励获奖的同学，需要购买文具盒和透明笔袋作为奖品．已知1个文具盒和3个透明笔袋共需24元；2个文具盒和2个透明笔袋共需36元． (1)求文具盒和透明笔袋的单价各为多少元？ (2)学校购买文具盒和透明笔袋两种奖品共150个，且文具盒的数量不少于透明笔袋的数量，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【答案】(1)文具盒的单价为15元，透明笔袋的单价为3元 (2)当购买文具盒75个，购买透明笔袋75个时，购买总费用最少，最少为1350元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确列出方程组是解题的关键． （1）设文具盒的单价为元，透明笔袋的单价为元，根据“1个文具盒和3个透明笔袋共需24元；2个文具盒和2个透明笔袋共需36元”列出方程组求解即可； （2）设购买文具盒个，则购买透明笔袋个，根据文具盒的数量不少于透明笔袋的数量列出不等式求出的范围，再列出w关于的一次函数关系式，最后利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设文具盒的单价为元，透明笔袋的单价为元， 由题意得， 解得， 答：文具盒的单价为15元，透明笔袋的单价为3元； （2）解：设购买文具盒个，则购买透明笔袋个， 由题意得，， ∴， 设总费用为w元，由题意得，， ∵， ∴w随m增大而增大， ∴当时，w最小，最小值为， ∴， 答：当购买文具盒75个，购买透明笔袋75个时，购买总费用最少，最少为1350元． 【变式1】（25-26八年级下·全国·周测）小唯准备用204元班费买小风扇和水杯，已知小风扇每个30元，水杯每个22元，她买了3个水杯．如果设小唯还可以买个小风扇，那么可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的实际应用，掌握不超过对应不等号≤，以及正确计算两种物品的总花费是解题的关键． 根据题意，小唯已买个水杯，每个元，花费元；还可以买个小风扇，每个元，花费元，总花费不超过班费元，故用小于等于号． 【详解】解：∵总花费为水杯花费加小风扇花费，即， 且总花费不超过元， ∴不等式为. 故选：D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·周测）某服装网店购进男装、女装共100件，其进价和售价如下表所示： 进价/（元/件） 售价/（元/件） 男装 260 320 女装 240 290 该服装网店预计获得利润不低于5200元．设购进件男装．根据题意可列一元一次不等式为 ． 【答案】 【分析】设购进件男装，则女装为件；男装每件利润为元，女装每件利润为元；总利润为元，根据利润不低于元，列出不等式． 本题考查由实际问题抽象出不等式，熟练掌握并运用是解决问题的关键． 【详解】解：男装每件利润为元，女装每件利润为元； 总利润为元， 由题意，总利润不低于元， 故， 即； 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·山东泰安·期末）泰安市是樱桃的重要产地，全市拥有一百多个樱桃专业村，种植面积达5万亩，2025年产值达4亿元．今年5月份，某水果商到樱桃产地收购“黄蜜”和“红灯”两个品种，已知每箱的收购价“黄蜜”比“红灯”贵5元，收购6箱“红灯”的总价比收购5箱“黄蜜”的总价多40元（两个品种每箱均装樱桃10斤）． (1)问“黄蜜”与“红灯”每箱的收购价各是多少元？ (2)若水果商对外销售“红灯”每斤为9元，“黄蜜”每斤的售价为10元．现水果商购进两种樱桃共180箱，在销售过程中每箱均有的重量消耗（脱水或腐烂），水果商计划两天将全部樱桃售完后总利润不低于3200元，则该水果店应如何设计购进方案？ 【答案】(1)“黄蜜”每箱的售价为70元，“红灯”每箱的售价为65元 (2)水果商购进黄蜜不能低于80箱，且不能高于180箱 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）设“黄蜜”每箱的收购价为元，“红灯”每箱的售价为元，由题意列出二元一次方程组并求解即可； （2）设水果商至少购进黄蜜m箱，则购进红灯箱，依题意列出一元一次不等式并求解即可． 【详解】（1）解：设“黄蜜”每箱的收购价为元，“红灯”每箱的售价为元，由题意，得 ，         解得， 答：“黄蜜”每箱的售价为70元，“红灯”每箱的售价为65元； （2）解：设水果商购进黄蜜m箱，则购进红灯箱，依题意，得 化简，得， 解得， ∴且m为整数， 答：水果商购进黄蜜不能低于80箱，且不能高于180箱． 【培优篇】 ★★【题型 7】求一元一次不等式的整数解与最值 【例题7】（25-26七年级下·全国·周测）已知不等式． (1)求它的非负整数解； (2)若该不等式的最大整数解是方程的解，求的值． 【答案】(1)或或或 (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，一元一次方程的解法，非负整数解的确定等知识点，掌握一元一次不等式的解法和方程的代入求解是解题的关键． （1）先解不等式得到解集，再在解集中找出所有非负整数； （2）先确定不等式的最大整数解，将其代入方程，解关于的一元一次方程． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项、合并同类项，得， 它的非负整数解为或或或． （2）解：由（1）可知该不等式的最大整数解为． 把代入方程，得， 解得． 【变式1】（23-24七年级下·广东汕头·期末）已知是不等式的一个解，则整数k的最小值为（    ） A．3 B．-3 C．4 D．-4 【答案】A 【分析】将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可． 【详解】∵是不等式的一个解， ∴， 解得， ∴整数k的最小值是3． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【变式2】（23-24八年级下·山东聊城·期中）已知关于x的方程的解是非负数，则k的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次方程及一元一次不等式，列出关于k的不等式求出k的取值范围是解题关键． 把k看作已知数表示出方程的解，根据解为非负数，确定出k的范围，即可得出答案． 【详解】解： 解得：， 由题意得：， 解得：， ∴k的最小值为． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知x是整数，当代数式与的差不小于时，x有最大值还是最小值？是多少？ 【答案】有最大值，4 【分析】该题考查了解一元一次不等式，根据题意，可以列出，然后解方程，最后根据x是整数，而得出答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得：． 所以有最大值，是4． ★★【题型 8】二元一次方程与一元一次不等式综合求值 【例题8】（23-24七年级下·四川遂宁·期末）阅读理解： 【形成概念】我们把关于的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合” 【初步感知】 （1）请判断下列组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由； （Ⅰ）； （Ⅱ）． 【问题解决】 （2）若关于的组合是“无缘组合”，求的取值范围 【答案】（1）组合（Ⅰ）是“无缘组合”； 组合（Ⅱ）是“有缘组合”； （2） 【分析】本题考查一元一次不等式组和新定义，关键是对“有缘组合”与“无缘组合”的理解． （1）先求方程的解，再解不等式，根据“有缘组合”和“无缘组合“的定义，判断即可； （2）先解方程和不等式，然后根据“无缘组合”的定义求a的取值范围． 【详解】解：（1）（Ⅰ）∵， ∴， ∵， ∴， ∵2不在范围内， ∴（Ⅰ）组合是“无缘组合”； （Ⅱ）， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：． 解不等式， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 化系数为1，得：． ∵在范围内， ∴（Ⅱ）组合是“有缘组合”； （2）解方程， 去分母，得， 移项，合并同类项，得：， 化系数为1得：， 解不等式， 去分母，得：， 移项，合并同类项，得：， ∵关于x的组合是“无缘组合， ∴， 解得：． 【变式1】（23-24七年级下·安徽芜湖·期末）已知关于x的一元一次方程的解为负数，则m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程、解一元一次不等式等知识点，先把当作已知条件求出的值，再根据x的值是负数列出关于的不等式，求出的取值范围即可．掌握解一元一次方程和不等式的方法是解答本题的关键． 【详解】解：∵ ∴， ∵关于x的方程的解是负数， ∴，解得． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·山东德州·月考）若关于的一元一次方程的解是负数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求解方程得出的表达式，再根据解是负数这一条件列不等式，进而求出的取值范围．本题主要考查一元一次方程的求解与一元一次不等式的应用，熟练掌握方程的解法和根据条件列不等式求解是解题的关键． 【详解】解：解方程得， 因为方程的解是负数，即， 所以， ， ， 故答案为：． 【变式3】（23-24七年级下·山西临汾·期末）（1）下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务 解：……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 任务一： 填空：①以上解题过程中，第二步是依据________（运算律）进行变形的； ②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________； 任务二：请直接写出该一元一次方程的正确解是________． （2）解不等式：，把解集表示在下面的数轴上，并完成下列任务． 任务：请你根据平时的学习经验，就解不等式还需要注意的事项给同学们提一条建议． 你的建议是：_____________________________________________________________． 【答案】（1）任务一： ①乘法分配律；②一，去分母时常数项没有乘以最简公分母6；任务二： （2），数轴见解析，去分母时不要漏乘没有分母的项 【分析】此题考查了解一元一次方程和一元一次不等式，熟练掌握解题步骤是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的正确步骤进行解答即可； （2）按照解一元一次不等式的步骤正确解不等式，并把解集表示在数轴上，提出自己的建议即可． 【详解】（1）任务一： 填空：①以上解题过程中，第二步是依据乘法分配律（运算律）进行变形的； ②第一步开始出现错误，这一步错误的原因是去分母时常数项没有乘以最简公分母6； 故答案为：①乘法分配律；②一，去分母时常数项没有乘以最简公分母6； 任务二： 解：……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 ∴该一元一次方程的正确解是． 故答案为： （2）， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得， 系数化为1得， 把解集表示在下面的数轴上， 我提出的建议是：去分母时不要漏乘没有分母的项 故答案为：去分母时不要漏乘没有分母的项 ★★★【题型 9】已知一元一次不等式的解集的情况求参数或参数取值范围 【例题9】（2026七年级下·全国·专题练习）已知整式的值为． (1)当时，求的值； (2)若的取值范围如图所示，求的非正整数值． 【答案】(1)-3 (2)，0 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集以及代数式求值，根据题意列出不等式组是解答本题的关键． （1）把代入整式计算即可； （2）根据题意可得不等式，再解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意，得． （2）解：由题意，得， 解得， 的非正整数值为，． 【变式1】（2024·浙江杭州·一模）已知点在直线上，且，则（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】A 【分析】将点代入直线中,得到m、n的关系式，分别表示代入不等式即可判断的最值； 【详解】解：将点代入直线中， 得，则 将代入中，解得： 将代入中，解得： ∴当，时，=有最大值 故选：A 【点睛】本题主要考查一次函数与一元一次不等式的综合应用，掌握相关知识点并灵活应用是解题的关键． 【变式2】（25-26八年级上·福建三明·期末）若是方程的解，，是正整数，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解及一元一次不等式的求解，核心是利用方程的解得到与的数量关系，再结合正整数的约束条件求的最小值．先将方程的解代入方程，得到的关系式；再将转化为关于的代数式；最后根据的正整数取值范围，确定使最小的值，进而求出结果． 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即． ∴， ∵，是正整数， ∴，解得， 又为正整数， ∴的取值为． ∴要使最小，需取最大值， 当时，，满足正整数条件，此时； 故答案为：． 【变式3】（2026七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式的最大整数解为3，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的整数解，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤． 先解关于的不等式，再根据不等式的最大整数解是，列出关于的不等式，解不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：， 去括号得：， 移项得：， 系数化为得：， ∵关于的不等式的最大整数解为， ， 解得：． 故答案为：． 二.中考真题 （一）单选题（6题） 1．（2025·福建·中考真题）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求不等式的解集，在数轴上表示解集，先求出不等式的解集，定边界，定方向，表示出不等式的解集即可． 【详解】解：， ， ， ∴； 在数轴上表示如图： 故选C． 2．（2025·吉林·中考真题）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题关键． 解一元一次不等式，通过移项即可求解． 【详解】解：不等式为， 移项，得：， 不等式的解集为． 故选：A． 3．（2025·西藏·中考真题）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ， ， 故选：D． 4．（2025·四川宜宾·中考真题）采采中学举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道题，答对得10分．答错或不答扣5分．若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数是（　　） A．14道 B．13道 C．12道 D．11道 【答案】C 【分析】设小明答对x道题，则答错或不答的题数为道，根据得分规则建立不等式，解不等式后求解x的最小整数值即可． 本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【详解】解：设答对x道题，则答错或不答的题数为道． 根据题意得：， 解得：， ∴x的最小值为12， ∴他至少要答对12道题． 故选：C． 5．（2024·宁夏·中考真题）已知，则的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，解一元一次不等式．根据绝对值的性质，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 则的取值范围在数轴上表示正确的是： 故选：A． 6．（2025·福建泉州·模拟预测）、是直线图象上相异的两点，若，则m的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，由已知条件可判断出y随x的增大而增大，则，然后解不等式即可． 【详解】解：∵、是直线图象上相异的两点，， ∴y随x的增大而增大， ∴， ∴， 故选：A． （二）填空题（6题） 7．（2025·江苏宿迁·中考真题）要使分式有意义，实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不能为0，即可求解． 【详解】解：要使分式有意义，则， 解得， 故答案为：． 8．（2025·四川泸州·中考真题）若点在第一象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查象限内点的符号特征，解一元一次不等式．解题的关键是掌握坐标系中每个象限内点的符号特点如下：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 根据第一象限内点的坐标符号为，得到，再解一元一次不等式即可． 【详解】解：∵点在第一象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 9．（2024·山东烟台·中考真题）关于的不等式有正数解，的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元一次不等式的求解，先求出不等式的解集，根据不等式有正数解可得关于的一元一次不等式，即可求出的取值范围，进而可得的值，求出的取值范围是解题的关键． 【详解】解：不等式移项合并同类项得，， 系数化为得，， ∵不等式有正数解， ∴， 解得， ∴的值可以是， 故答案为：． 10．（2025·四川凉山·中考真题）若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义则被开方数非负，分式有意义则分母不为0是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件得到，再求解即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得：， ∴m的取值范围是， 故答案为：． 11．（2024·内蒙古·中考真题）关于x的不等式的解集是 ，这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式的解大，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键．先分别求出不等式的解集，再根据题意列出关于的不等式，求解即可得． 【详解】解：， ， ， ． 解不等式得：， ∵不等式任意一个解都比关于的不等式的解大， ∴， 解得， 故答案为：；． 12．（2025·上海·模拟预测）如果不等式的解集为，那么直线（）一定会经过一个定点，这个定点的坐标为 ． 【答案】 【分析】解不等式（）得，又由不等式的解集为，可得，进而得，代入直线中得，取得，从而可得，定点坐标为． 本题主要考查一次函数与一元一次不等式的关系．根据题意得出是解题的关键． 【详解】解：由， 得， ∵， ∴， 又∵不等式的解集为， ∴， ∴， ∴直线变为， 当时，， ∴直线（）一定会经过定点． 故答案为：． （三）解答题（4题） 13．（2025·陕西·中考真题）解不等式，把它的解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】，见解析 【分析】本题考查了不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的解法为解题的关键． 将原不等式去括号得到，，通过移项、合并同类项得到，最后将系数化为1得到，将解集画在数轴上即可． 【详解】解： 去括号得：， 移项、合并同类项得： 系数化为1得： 原不等式的解集在数轴上表示如解图． 14．（2025·四川达州·中考真题）（1）计算：； （2）解不等式：并把解集表示在数轴上． 【答案】（1）2；（2），数轴见解析 【分析】本题考查了实数的运算，解一元一次不等式，在数轴上表示解集，涉及零指数幂和绝对值等知识点，熟练掌握运算法则和解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）分别计算零指数幂和有理数的平方以及计算绝对值，再进行加减计算； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1的步骤求出解集，再在数轴上表示解集即可． 【详解】（1）解： ； （2）， ， ， ， ， 解得：， ∴原不等式的解为：， 数轴表示为： 15．（2025·河北邯郸·模拟预测）王老师在数学课上带领同学们做数学游戏，规则如下： 游戏规则： 甲同学任报一个有理数传给乙同学； 乙同学把这个数减后报给丙同学； 丙同学把接收到的数的二倍减，报出答案． 根据游戏规则，回答下面的问题： (1)若甲报的数为，则丙报的数是多少； (2)若甲报了一个整数，丙报出的是正数，求甲报的最小整数是多少？ 【答案】(1)； (2)甲报的最小整数是． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次不等式，根据题意列出关于的不等式是解题的关键． （）按照游戏中的规则，将甲报的数为代入，然后依次进行计算即可解答； （）设甲报出的数为，根据运算顺序，列出不等式，解之取最小整数即可． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：甲报出的数为， 则， ， ∴甲报的最小整数是． 16．（2025·河北石家庄·三模）如图，小明设计了一个计算程序．输入x值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到m，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到n．如：输入，得到，． (1)若输入，则________，________； (2)若得到，求输入的x值及相应n的值； (3)若得到的m值比n值大，那么输入的x值需要满足什么条件？ 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，理解程序图是解题的关键． （1）根据程序图输入，即可求解； （2）根据程序图可得，从而得到，即可求解； （3）根据得到的m值比n值大，可得到关于x的不等式，即可求解． 【详解】（1）解：输入，得到，； 故答案为：2；1； （2）解：由题意得： ， 解得：， ∴； （3）解：由计算程序，可知，． ∵m值比n值大， ∴， 解得：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.2 一元一次不等式（知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【基础篇】 1 【知识点一】一元一次不等式的概念 2 ★【题型 1】一元一次不等式的识别 2 【知识点二】一元一次不等式的解法 2 ★【题型 2】求一元一次不等式的解集 2 ★★【题型 3】求一元一次不等式的解集 3 【知识点三】数轴上表示一元一次不等式 4 ★【题型 4】数轴上表示不等式的解集 4 ★★【题型 5】数轴上表示不等式的解集 5 【知识点四】一元一次不等式的应用 5 ★★【题型 6】用一元一次不等式解决实际问题 5 【培优篇】 6 ★★【题型 7】求一元一次不等式的整数解与最值 6 ★★【题型 8】二元一次方程与一元一次不等式综合求值 7 ★★★【题型 9】已知一元一次不等式的解集的情况求参数或参数取值范围 8 二.中考真题 9 （一）单选题（6题） 9 （二）填空题（6题） 9 （三）解答题（4题） 10 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题 【基础篇】 【知识点一】一元一次不等式的概念 定义：只含一个未知数，未知数的次是一次不等式，叫做一元一次不等式。 要点提示： （1）构成一元一次不等式条件：左右两边都是整式；只含有一个未知数；未知为的最高次数为1. （2）一元一次不等式与一元一次方程的区别与联系. 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“<”、“”、“”或“>”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向． ★【题型 1】一元一次不等式的识别 【例题1】（24-25七年级下·重庆·期末）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 【变式1】（25-26八年级上·浙江温州·月考）下列各式中是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁营口·期末）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为（   ） A． B．1 C． D．0 【变式3】（24-25八年级下·甘肃张掖·月考）已知是关于x的一元一次不等式，求m的值． 【知识点二】一元一次不等式的解法 1.解不等式：求不等式的过程叫做解不等式。 2.一元一次不等式的解法： （1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）化为（或）的形式（其中）；（5）两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集. ★【题型 2】求一元一次不等式的解集 【例题1】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）解下列一元一次不等式． (1)； (2)． 【变式1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·安徽滁州·期末）已知一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）已知一次函数（m为常数，）的图象经过点． (1)求m的值； (2)不等式的解集是 ． ★★【题型 3】求一元一次不等式的解集 【例题3】（25-26八年级下·全国·月考）数学课上，老师展示了嘉嘉同学解不等式的过程： 解：，第一步 ，第二步 ，第三步 ．第四步 (1)该同学的解题过程第____________步开始出现错误． (2)求出原不等式的正确解集． 【变式1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知实数，满足． (1)当时，则的取值范围为 ； (2)在(1)的条件下，实数，满足，若存在在的取值范围中，则的取值范围为 ． 【变式2】（23-24八年级上·上海金山·月考）不等式的解集是 ． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）当取什么值时，代数式的值是负数？ （2）当取什么值时，代数式的值小于的值？ （3）当取什么值时，代数式的值不大于的值？ 解不等式注意事项： ①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；②移项时不要忘记变号； ③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变． 【知识点三】数轴上表示一元一次不等式 在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助． ★【题型 4】数轴上表示不等式的解集 【例题4】（25-26七年级上·江苏泰州·月考）解不等式，将解集在数轴上表示出来 (1) (2) 【变式1】（25-26八年级下·全国·单元测试）要使有意义，则的取值范围在数轴上表示为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·湖北·模拟预测）解不等式，下列在数轴上表示的解集正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（23-24八年级下·全国·期中）解不等式，并将解集表示在数轴上． (1)； (2)． ★★【题型 5】数轴上表示不等式的解集 【例题5】（25-26七年级下·全国·课后作业）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)． (2)． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）若关于的取值范围如下图所示，用不等式表示为 ． 【变式2】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，这是在数轴上表示的一个不等式组的解集，则这个不等式组的解集是 ． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)． (2)． 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左． 【知识点四】一元一次不等式的应用 1.解题中的关键词：（1）“至少、不低于、不少于”对应用“≥”连接；（2）至多、不超过、不大于用“≤”连接；（3）超过、大于用“＞”连接；（4）不足、小于用“＜”连接； 2.常见模型：（1）分配问题（物品分给人或房间）；（2）方案选择问题（费用比较、哪种更划算）；（3）积分或得分问题；（4）行程、工程、购物优惠问题； 3.解的要求：求整数解（人数、件数、次数必须为正整数）或求最小与最大值. ★★【题型 6】用一元一次不等式解决实际问题 【例题6】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）某校八年级上学期举行了趣味运动会，为了奖励获奖的同学，需要购买文具盒和透明笔袋作为奖品．已知1个文具盒和3个透明笔袋共需24元；2个文具盒和2个透明笔袋共需36元． (1)求文具盒和透明笔袋的单价各为多少元？ (2)学校购买文具盒和透明笔袋两种奖品共150个，且文具盒的数量不少于透明笔袋的数量，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【变式1】（25-26八年级下·全国·周测）小唯准备用204元班费买小风扇和水杯，已知小风扇每个30元，水杯每个22元，她买了3个水杯．如果设小唯还可以买个小风扇，那么可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·周测）某服装网店购进男装、女装共100件，其进价和售价如下表所示： 进价/（元/件） 售价/（元/件） 男装 260 320 女装 240 290 该服装网店预计获得利润不低于5200元．设购进件男装．根据题意可列一元一次不等式为 ． 【变式3】（25-26九年级上·山东泰安·期末）泰安市是樱桃的重要产地，全市拥有一百多个樱桃专业村，种植面积达5万亩，2025年产值达4亿元．今年5月份，某水果商到樱桃产地收购“黄蜜”和“红灯”两个品种，已知每箱的收购价“黄蜜”比“红灯”贵5元，收购6箱“红灯”的总价比收购5箱“黄蜜”的总价多40元（两个品种每箱均装樱桃10斤）． (1)问“黄蜜”与“红灯”每箱的收购价各是多少元？ (2)若水果商对外销售“红灯”每斤为9元，“黄蜜”每斤的售价为10元．现水果商购进两种樱桃共180箱，在销售过程中每箱均有的重量消耗（脱水或腐烂），水果商计划两天将全部樱桃售完后总利润不低于3200元，则该水果店应如何设计购进方案？ 【培优篇】 ★★【题型 7】求一元一次不等式的整数解与最值 【例题7】（25-26七年级下·全国·周测）已知不等式． (1)求它的非负整数解； (2)若该不等式的最大整数解是方程的解，求的值． 【变式1】（23-24七年级下·广东汕头·期末）已知是不等式的一个解，则整数k的最小值为（    ） A．3 B．-3 C．4 D．-4 【变式2】（23-24八年级下·山东聊城·期中）已知关于x的方程的解是非负数，则k的最小值为 ． 【变式3】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知x是整数，当代数式与的差不小于时，x有最大值还是最小值？是多少？ ★★【题型 8】二元一次方程与一元一次不等式综合求值 【例题8】（23-24七年级下·四川遂宁·期末）阅读理解： 【形成概念】我们把关于的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合” 【初步感知】 （1）请判断下列组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由； （Ⅰ）； （Ⅱ）． 【问题解决】 （2）若关于的组合是“无缘组合”，求的取值范围 【变式1】（23-24七年级下·安徽芜湖·期末）已知关于x的一元一次方程的解为负数，则m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·山东德州·月考）若关于的一元一次方程的解是负数，则的取值范围是 ． 【变式3】（23-24七年级下·山西临汾·期末）（1）下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务 解：……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 任务一： 填空：①以上解题过程中，第二步是依据________（运算律）进行变形的； ②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________； 任务二：请直接写出该一元一次方程的正确解是________． （2）解不等式：，把解集表示在下面的数轴上，并完成下列任务． 任务：请你根据平时的学习经验，就解不等式还需要注意的事项给同学们提一条建议． 你的建议是：_____________________________________________________________． ★★★【题型 9】已知一元一次不等式的解集的情况求参数或参数取值范围 【例题9】（2026七年级下·全国·专题练习）已知整式的值为． (1)当时，求的值； (2)若的取值范围如图所示，求的非正整数值． 【变式1】（2024·浙江杭州·一模）已知点在直线上，且，则（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 【变式2】（25-26八年级上·福建三明·期末）若是方程的解，，是正整数，则的最小值是 ． 【变式3】（2026七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式的最大整数解为3，则a的取值范围为 ． 二.中考真题 （一）单选题（6题） 1．（2025·福建·中考真题）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·吉林·中考真题）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·西藏·中考真题）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·四川宜宾·中考真题）采采中学举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道题，答对得10分．答错或不答扣5分．若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数是（　　） A．14道 B．13道 C．12道 D．11道 5．（2024·宁夏·中考真题）已知，则的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（2025·福建泉州·模拟预测）、是直线图象上相异的两点，若，则m的取值范围（   ） A． B． C． D． （二）填空题（6题） 7．（2025·江苏宿迁·中考真题）要使分式有意义，实数的取值范围是 ． 8．（2025·四川泸州·中考真题）若点在第一象限，则的取值范围是 ． 9．（2024·山东烟台·中考真题）关于的不等式有正数解，的值可以是 （写出一个即可）． 10．（2025·四川凉山·中考真题）若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是 ． 11．（2024·内蒙古·中考真题）关于x的不等式的解集是 ，这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式的解大，则m的取值范围是 ． 12．（2025·上海·模拟预测）如果不等式的解集为，那么直线（）一定会经过一个定点，这个定点的坐标为 ． （三）解答题（4题） 13．（2025·陕西·中考真题）解不等式，把它的解集表示在如图所示的数轴上． 14．（2025·四川达州·中考真题）（1）计算：； （2）解不等式：并把解集表示在数轴上． 15．（2025·河北邯郸·模拟预测）王老师在数学课上带领同学们做数学游戏，规则如下： 游戏规则： 甲同学任报一个有理数传给乙同学； 乙同学把这个数减后报给丙同学； 丙同学把接收到的数的二倍减，报出答案． 根据游戏规则，回答下面的问题： (1)若甲报的数为，则丙报的数是多少； (2)若甲报了一个整数，丙报出的是正数，求甲报的最小整数是多少？ 16．（2025·河北石家庄·三模）如图，小明设计了一个计算程序．输入x值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到m，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到n．如：输入，得到，． (1)若输入，则________，________； (2)若得到，求输入的x值及相应n的值； (3)若得到的m值比n值大，那么输入的x值需要满足什么条件？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $