23.3 正方形课后练习2025--2026 学年人教版数学八年级下册（重庆专用）

课后作业——正方形 【题组一 正方形的判定】 1．（重庆期末）下列命题中是真命题的是（　　） A．一组对边平行，另外一组对边相等的四边形是平行四边形 B．有一组邻边相等的四边形是菱形 C．有一个角是直角的四边形是矩形 D．四边相等且对角线相等的四边形是正方形 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理，根据定理逐一分析各命题的正确性． 【详解】解：A． 一组对边平行且另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形满足条件但不是平行四边形，故A为假命题； B． 菱形的定义是“有一组邻边相等的平行四边形”，仅有一组邻边相等但无平行条件，不能判定为菱形，故B为假命题； C．矩形的定义是“有一个角是直角的平行四边形”，仅有一个直角的四边形可能为直角梯形，故C为假命题； D． 四边相等的四边形是菱形，若其对角线相等，则菱形四个角均为直角，符合正方形的定义，故D为真命题． 故选：D． 2．如图，在中，，垂足为．添加下列哪个条件，不能使成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形、菱形、正方形的判定定理，首先明确平行四边形、菱形、正方形的判定关系：平行四边形中，对角线互相垂直的是菱形；菱形要成为正方形，需满足有一个内角为直角或对角线相等．本题先由得出是菱形，再分析各选项能否让菱形变为正方形． 【详解】四边形是平行四边形，且， 是菱形． 若，菱形的对角线相等．根据“对角线相等的菱形是正方形”，此时菱形是正方形，故A不符合“不能使”的要求． 若，菱形的一个内角为直角．根据“有一个角是直角的菱形是正方形”，此时菱形是正方形，故B不符合“不能使”的要求． 若，是菱形的边，是对角线．仅“边与对角线相等”无法推出菱形有直角或对角线相等，因此不能保证菱形是正方形，故C符合“不能使”的要求． 若，因菱形对角线互相平分（，），则，，即．结合“对角线相等的菱形是正方形”，此时菱形是正方形，故D不符合“不能使”的要求． 故选C 【题组二 正方形为背景的小几何】 3．（江北期末）如图，正方形中，点是对角线上一点，连接、，点是边上一点，，连接．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，由正方形的性质可证，得到，，即得，进而由得，，即得，，得到，即得到，再求出即可求解，掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 4．（重庆月考）如图，正方形中，点在上，点在的延长线上，且，连接，，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，通过证明得出是等腰直角三角形是解题的关键． 由正方形的性质可得 ，进而可得再结合，利用可证得，于是可得，，进而可得，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，由可得可得，进而可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ，， ， ， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 5．（一外月考）如图，在边长为3的正方形中，点E是上一点，点F是延长线上一点，连接，，平分交于点M．若，则的长度为（  ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查正方形的性质、三角形全等的判定及性质等，勾股定理等知识，根据正方形的性质及三角形全等的判定及性质，证明，利用角平分线的性质及三角形全等的判定及性质，证明，设，则，，，在中根据勾股定理求解即可，掌握正方形的性质、三角形全等的判定及性质和角平分线的性质、勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ， ∴在和中， ， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ，， 设，则，， ， 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得：， ∴， 故选：B． 6．（礼嘉期中）如图，在正方形中，，是的中点，将沿翻折至，连接，则的长度是（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握折叠的性质是本题的关键． 连接，交于H，由勾股定理可求的长，由折叠的性质可得，由面积法可求，根据勾股定理可求的长，由三角形中位线定理即可得出结果． 【详解】解：如图，连接，交于H，    ∵在正方形中，，E是的中点， ∴， ∴， ∵将沿翻折至， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ， 故选：B． 7．（北碚月考）如图，正方形中，，点、分别在边、上，、相交于点，，点是中点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，根据正方形的性质证明，可得，然后利用角的和差证明，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得的长，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵四边形是正方形， ∴，， ∵ ∴， ∴。 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∵点是中点， ∴， 在正方形中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题组三 四边形为背景的大几何证明】 8．（渝北开学）正方形对角线，相交于点，为线段上一点，连接． (1)如图，若，，求的长度； (2)如图，为上一点，连接，为上一点，连接，，若，，，求证：； 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）过点作于，由正方形的性质可得，推出为等腰直角三角形，推出，在中，根据勾股定理求出，即可求解的长； （2）过点作直线，交延长线于，交延长线于，连接，根据平行线的性质结合已知的，推出，得到，由可得，结合正方形的性质可得 ，，结合平行线的性质得到，从而证明，得到，， 结合角的等量代换推出，进而可证明四边形是平行四边形，结合平行四边形的性质可证明，得到，即为的中点，根据直角三角形的中线定理即可证明； 【详解】（1）解：如图，过点作于， 四边形为正方形， ， 为等腰直角三角形， ， 在中，由勾股定理得：， ； （2）证明：如图，过点作直线，交延长线于，交延长线于，连接， 四边形是正方形， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， 在与中， ， ， ，即为的中点， ， ， ； 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $课后作业一一 正方形 【题组一正方形的判定】 1.(重庆期末)下列命题中是真命题的是() A.一组对边平行，另外一组对边相等的四边形是平行四边形 B.有一组邻边相等的四边形是菱形 C.有一个角是直角的四边形是矩形 D.四边相等且对角线相等的四边形是正方形 2.如图，在口ABCD中，AC⊥BD,垂足为O,添加下列哪个条件，不能使□ABCD成为正方形 的是() A.AC=BDB.∠ABC=90·C.AD=BD D.OA=OB D B 【题组二正方形为背景的小几何】 3,(江北期末)如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，连接AE、CE,点F是边CD上一 点，EF=EC,连接AF.若∠ECF=a,则∠DAF等于() A.90°-uB.a-45o C.135°-2a D.154a 2 4.(重庆月考)如图，正方形ABCD中，点E在CD上，点F在DA的延长线上，且AF=CE,连接 BF,EF,BE,若∠DFE=《,则∠ABE等于() A.90°-aB.45°-a C.2a D.45°+c 第1页 E B 5.(一外月考)如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点， 连接AE,AF,AM平分∠EAF交CD于点M.若BE=DF=1,则EM的长度为() A.多 B. C.2 D.号 D M 6.(礼嘉期中)如图，在正方形ABCD中，AB=4,E是CD的中点，将△ADE沿AE翻折至 △AFE,连接CF,则CF的长度是() A.2 B. 45 C.3 D.5 5 D B 7.(北碚月考)如图，正方形ABCD中，AB=4,点E、F分别在边CD、AD上，BE、CF相交于 点G,BE=CF=V17,点0是BF中点，则0G的长为一 第2页 O E 1 B 【题组三四边形为背景的大几何证明】 8.(渝北开学)正方形ABCD对角线AC,BD相交于点O,E为线段AO上一点，连接BE, ()如图1，若BE=V5,AE=2,求AB的长度； (2)如图2，F为BC上一点，连接DF,G为DF上一点，连接OG,CG,若∠D0G=∠BEO, ∠FGC=∠BDF,AE=CG,求证：BE=2CG; E E B 图1 图2 第3页