7.3 正切函数的图象与性质（教学课件）数学北师大版必修第二册

7.3 正切函数的图象与性质 第一章 三 角 函 数 北师大版必修第二册·高一 学 习 目 标 1 2 3 能够利用“描点法”正确画出y＝tan x的图象. 利用正弦函数的图象认识其性质（定义域、周期性、单调性、最值、值域、奇偶性、对称性等性质）. 通过正切函数图象与性质的探究，培养学生数形结合、类比和整体代换的思想方法． 读教材 阅读课本P60-P64，5分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“正切函数的图象与性质”吧！ 1.如何利用正切函数的周期和奇偶性作图？如何在绘制的图象？如何由上的图象得到的图象？ 2.如何利用正切函数的图象研究其性质？利用正切函数的性质可以解决哪些问题？ 单击此处添加备注 3 温故知新 1.周期性 2.奇偶性 由诱导公式且, 可知，正切函数是周期函数，其最小正周期为. 由诱导公式且, 可知，正切函数是奇函数. 学习过程 01 03 02 目录 1 正切函数的图象 3 当堂检测 2 正切函数的性质 单击此处添加备注 5 新知探究 问题：类比画正弦函数图象的方法，我们如何利用正切函数的周期y=的图象呢？ 由于正切函数y=是以为周期，且定义域为,因此，我们需要画出的图象，再利用周期性将其延拓到整个定义域上． 利用周期性，向左、右平移 （每次平移个单位长度） 正切函数整个定义域上的图象 正切函数在上的图象 新知探究 思考1：如何利用描点法作出正切函数y=上的图象吗？ 在区间上取一系列的值（的值取得越多，图象越精确，曲线越光滑），例如，，，，列表，描点做出图象： 0 y＝ 0 1 描点并用光滑的曲线连接 新知探究 如图，设∈[0, ，在直角坐标系中画出角的终边与单位圆的交点B（, ）过点B作轴的垂线，垂足为M； 过点A（１，０）作轴的垂线与角的终边交于点T，则 === 描点，用光滑曲线顺次连接，就得到在区间 上的图象． 思考2：如何利用单位圆更准确的作出正切函数y=上的图象吗？ 新知探究 思考2：如何利用单位圆更准确的作出正切函数y=上的图象吗？ 故的图象也可通过单位圆画出 x y 0 A 1 －1 2.平移正切线并描点 3.用光滑的曲线连接正切线的终点 1. 等分：把圆⊙O右半圆分成8等份 新知探究 y=tanx x y=tanx tan(x+k)=tanx 思考3：如何得到函数y=tan x,的图象?你能想到什么方法? 新知探究 正切曲线是由被互相平行的直线Z 所隔开的无穷多支曲线组成的．这些直线称作正切曲线各支的渐近线． 正切函数的图象称作正切曲线. 正切函数的图象特征： 学习过程 01 03 02 目录 1 正切函数的图象 3 当堂检测 2 正切函数的性质 单击此处添加备注 12 新知探究 思考4：函数的性质有哪些？ 定义域 周期性 单调性 最大（小）值和值域 奇偶性 接下来我们通过正切函数的图象，进一步理解正切函数的性质. 对称性 新知探究 问题：观察正切函数图象，你能从中看到哪些性质，并将看到的性质用数学语言描述． 定义域 正切函数的定义域是 最大（小）值和值域 当 从左侧趋近，k∈Z时； 趋近正无穷大； 当 从右侧趋近，k∈Z时；趋近负无穷大； 即的值域是实数集 R . 周期性 新知探究 正切函数是周期函数，周期是，0，最小正周期是 π 奇偶性 由可知，正切函数是奇函数.正切曲线关于原点对称. 单调性 正切函数在每一个区间，单调递增 思考交流 思考5：借助函数图象探究正切函数图象的对称性，它有对称轴吗？有对称中心吗？ x O y 思考交流 思考5：借助函数图象探究正切函数图象的对称性，它有对称轴吗？有对称中心吗？ x O y 新知探究 思考5：借助函数图象探究正切函数图象的对称性，它有对称轴吗？有对称中心吗？ 对称性 对称中， 无对称轴 归纳小结 正切函数性质可总结为下表 函数 定义域 值域 R 奇偶性 奇函数 周期性 周期函数，周期是，最小正周期是 对称性 关于原点对称，都是它的对称中心 单调性 ，单调递增 思考：如何确定函数y＝tan ωx(ω＞0)的周期？ 是函数的最小正周期. 典例分析 例4.画出下列函数的图象，并求出定义域、周期和单调区间： (1)； (2) 解：(1) 函数的图象如右图， 函数的自变量应满足2， 即． 所以定义域是． ，因此最小周期是 ． 由，，解得，， 因此，单调递增区间是，． 典例分析 例4.画出下列函数的图象，并求出定义域、周期和单调区间： (1)； (2) (2) 函数的图象如右图， 函数的自变量应满足 ，即． 所以定义域是． 由于， 因此函数的最小周期是 π． 典例分析 例4.画出下列函数的图象，并求出定义域、周期和单调区间： (1)； (2) (2) 函数的图象如右图， 由，， 解得，． 因此，函数的单调递增区间是， 典例分析 例5.比较下列各组中三角函数值的大小． (1)与； (2)与 解：(1)， ． 由于在区间上单调递增，且， 因此，即 典例分析 例5.比较下列各组中三角函数值的大小． (1)与； (2)与 解：(2) . 由于在区间上单调递增，且， 因此，，即． 新知探究 定义域 值域 周期 单调性 奇偶性 对称性 渐近线 R 增区间：， 当时，奇函数 对称中心： “整体代入法” 学习过程 01 03 02 目录 1 正切函数的图象 3 当堂检测 2 正切函数的性质 单击此处添加备注 26 当堂检测 1.求下列函数的定义域和值域: 当堂检测 当堂检测 当堂检测 D 课堂小结 感谢聆听! 由此可见，当时，线段AT的长度就是相应角x的正切值. 形如的函数性质的求解方法： (2)依题意-tan x≥0,所以tan x≤. 结合函数y=tan x的图象可知,在上,满足tan x≤的角x应满足-<x≤, 所以函数y=的定义域为{x|kπ-<x≤kπ+,k∈Z},其值域为[0,+∞). (1)f(x)=tan; (2)f(x)=. 解 ：(1)依题意得x≠kπ+,k∈Z,所以x≠2kπ+,k∈Z. 所以函数的定义域是. 由正切函数的值域可知该函数的值域也是R. 2求不等式tan2x+≥-1的解集. 解：由正切函数的图象,可知+kπ≤2x++kπ,k∈Z, 解得≤x<,k∈Z, 所以原不等式的解集为x≤x<,k∈Z. 3.求函数y=tan的单调区间. 解： y=tan=-tan, 由+kπ<x-+kπ(k∈Z)得π+4kπ<x<3π+4kπ,k∈Z, 所以函数y=tan的单调递减区间是(π+4kπ,3π+4kπ)(k∈Z). 4.若函数在上单调递增，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 解：由函数在上单调递增， 根据正切函数的性质，可得， 当时，可得， 则，解得．故选D $