5.2 四边形 第20课时 菱形、矩形、正方形、梯形-【教与学·广东中考夺冠】2026年中考数学课件PPT

数 学 返回目录 返回目录 第一部分 知识梳理 第五章 四 边 形 第20课时　菱形、矩形、正方形、梯形 返回目录 目 录 CONTENTS 01 课前循环练 02 课标解读 03 知识梳理 04 重点突破 05 中考演练 06 命题预测 返回目录 课前循环练 1. （广东真题）在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心 对称图形的是（　C　） 2. （广东真题）一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球， 其中3个红球，4个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是 红球的概率是（　B　） A． B． C． D． C B 返回目录 3. （广东真题）如图5－20－1，在▱ABCD中，对角线AC，BD 交于点O，下列式子中一定成立的是（　B　） A． AC⊥BD B． OA=OC C． AC=BD D． AO=OD 图5－20－1 B 返回目录 4. （广东真题）方程x2=2x的解是 ⁠． 5. （广东真题）如图5－20－2，在⊙O中，已知半径为5，弦AB 的长为8，那么圆心O到AB的距离为 ⁠． x1=0，x2=2 3 图5－20－2 返回目录 课标解读 内容 课标要求 菱形、 矩形、 正方 形、 梯形 ①理解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概 念，以及它们之间的关系 ②探索并证明矩形、菱形的性质定理：矩形的四个角都 是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相 垂直．探索并证明矩形、菱形的判定定理：三个角是直 角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形； 四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边 形是菱形．正方形既是矩形，又是菱形；理解矩形、菱 形、正方形之间的包含关系 返回目录 知识梳理 对接教材　人教：八下第十八章　平行四边形（18.2 特殊的平 行四边形） 北师：九上第一章　特殊平行四边形 返回目录 1. 矩形的概念 有一个角是 ⁠的平行四边形叫做矩形 直角 例1. 在四边形 ABCD 中，AB∥DC，AD∥BC，如果添加一个条 件，即可推出该四边形是矩形，那么这个条件可以是（　A　） A． ∠D=90° B． AB=CD C． AD=BC D． BC=CD A 返回目录 2. 矩形的性质 （1）具有平行四边形的所有性质． （2）矩形的四个角都是 ⁠． （3）矩形的对角线 ⁠． （4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有 ⁠条对 称轴 直角 相等 2 返回目录 例2. 如图5－20－3，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O， ∠AOD=60°，AD=2，则 AC 的长是（　B　） 　图5－20－3 A． 2 B． 4 C． 2 D． 4 B 返回目录 3. 矩形的判定 （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）对角线 ⁠的平行四边形是矩形． （3）有三个角是 ⁠的四边形是矩形 相等 直角 返回目录 例3. 如图5－20－4，在▱ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，则下面条件能判定四边形 ABCD 是矩形的是（　A　） 图5－20－4 A． AC=BD B． AC⊥BD C． OA=OC D． AB=AD A 返回目录 4. 菱形的概念 有一组邻边 ⁠的平行四边形叫做菱形 相等 例4. 下面四个定义中不正确的是 （　B　） A． 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 B． 有一组邻边相等的四边形叫做菱形 C． 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正 方形 D． 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 B 返回目录 5. 菱形的性质 （1）具有平行四边形的所有性质． （2）菱形的四条边都 ⁠． （3）菱形的对角线互相 ⁠，每条对角线平分一组对角． （4）菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有 ⁠条对 称轴 相等 垂直 2 返回目录 例5. 在菱形 ABCD 中，AC，BD 为对角线，下列说法一定正确的 是 （　B　） A． AC=BD B． AC⊥BD C． ∠ABD=∠BAC D． ∠BAC＋∠CAD=90° B 返回目录 6. 菱形的判定 （1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形． （2）四条边 ⁠的四边形是菱形． （3）对角线互相 ⁠的平行四边形是菱形 相等 垂直 返回目录 例6. 如图5－20－5，下列选项：① AC⊥BD；② BA⊥AD；③ AB=BC；④ AC=BD． 能证明▱ABCD是菱形的条件有 （　D　） 　图5－20－5 D A． ①②③ B． ②③ C． ③④ D． ①③ 返回目录 7. 正方形的概念 有一组邻边 ，并且有一个角是 ⁠的平行四边形叫 做正方形 相等 直角 例7. 在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠D，∠A=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是 （　C　） A． ∠D=90° B． AB=CD C． BC=CD D． AC=BD C 返回目录 8. 正方形的性质 正方形具有矩形和菱形的性质： （1）边：四条边都 ⁠，对边平行． （2）角：四个角都是 ⁠． （3）对角线：对角线相等且 ，每条对角线 ⁠ ⁠一组对角． （4）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有 ⁠条对 称轴 相等 直角 互相垂直平分 平 分 4 返回目录 例8. 如图5－20－6，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC，BD 交 于点 O． 下列结论：① OA=OB；② ∠ACB=45°；③ AC⊥BD； ④正方形 ABCD 有4条对称轴． 上述结论正确的有（　A　） 　图5－20－6 A A． ①②③④ B． ①②③ C． ②③④ D． ①③④ 返回目录 9. 正方形的判定 （1）有一组邻边 ⁠的矩形是正方形． （2）对角线互相 ⁠的矩形是正方形． （3）有一个角是 ⁠的菱形是正方形． （4）对角线 ⁠的菱形是正方形 相等 垂直 直角 相等 返回目录 例9. （1）在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，要使该矩 形成为正方形，可添加的一个条件是 ⁠ ⁠； 　　（2）在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，要使该菱 形成为正方形，可添加的一个条件是 ⁠ ⁠． AB=AD（答案不唯 一）　 AC=BD（答案不唯 一）　 返回目录 10. 平行四边形、矩形、菱形与正方形的关系 （1）从边、角分析： 返回目录 10. （2）从对角线分析： 返回目录 例10. 如图5－20－7，已知▱ABCD的对角线AC与BD相交于点 O，请你添加两个适当的条件： ⁠ ，使▱ABCD变为正方形． 图5－20－7 AB=BC，∠ABC=90°（答案 不唯一）　 返回目录 11. 梯形的概念 只有一组对边 ⁠的四边形叫做梯形．其中有一个角是直角 的梯形叫做 梯形，两腰相等的梯形叫做 ⁠梯形 平行　 直角　 等腰　 例11. 如图5－20－8，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3， AB=CD=4，∠A=120°，则下底BC的长为 ⁠． 图5－20－8 7 返回目录 重点突破 1. （2025∙广东节选）如图5－20－9，CD是Rt△ABC斜边AB上 的中线，过点A，C分别作AE∥DC，CE∥AB，AE与CE相交于 点E． 现有以下命题： 命题1：若连接BE交CA于点F，则S△CFB=2S△CEF； 命题2：若连接ED，则ED⊥AC． 先判断真假，再证明或举反例． 【考点突破】特殊平行四边形的判定与性质 得分点分析 图5－20－9　　　 返回目录 解：命题1是真命题． 1分（判断得1分） 证明：如图5－20－10，连接DE，交AC于点O，连接BE，交AC 于点F． ∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴CD=DA=DB= AB．.………… 2分（利用斜边上的中线定理得1分） ∵AE∥DC，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形．.………… 3分（利用平行四边形的判定得1分） ∵DA=DC，∴四边形ADCE是菱形． 图5－20－10 返回目录 ∴AC⊥DE，且OA=OC，OE=OD．.………… 4分（利用菱形的判定及性质得1分） ∵O为AC的中点，D为AB的中点，∴DO是△ABC的中位线．.………… 5分（利用中位线的判定得1分） ∴OD= BC．.………… 6分（利用中位线的性质得1分） ∴S△CFB= CF∙BC，S△CEF= CF∙OE，则S△CFB=2S△CEF．.………… 7分 （利用等量代换得1分） 返回目录 命题2是真命题． .…………8分（判断得1分） 证明：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴CD=DA=DB= AB． .…………（已证，同上得分） ∵AE∥DC，CE∥AB， ∴四边形ADCE是平行四边形． .…………（已证，同上得分） ∵DA=DC，∴四边形ADCE是菱形． .…………（已证，同上得分） ∴AC⊥DE．.………… 9分（利用菱形的性质得1分） 返回目录 温馨提示：此类考题常见于广东省中考数学试卷的第19小题，分 值一般为9分，答题时要注意书写格式，分步书写，慢做会求全 对，评卷老师是分步给分的哦! 返回目录 【易错点突破】没掌握特殊平行四边形的判定方法 2. 如图5－20－11，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点E， CF∥BE，BF∥CE． 当BC平分∠EBF时，求证：▱ABCD为矩 形． 　图5－20－11 返回目录 小洁的证明过程如下： ∵CF∥BE，BF∥CE，∴四边形BECF为平行四边形． 又∵BC平分∠EBF，∴∠EBC=∠FBC． ∴▱BECF为矩形． ∴∠BEC=90°． ∴BD⊥AC． ∴▱ABCD为矩形． 判断以上小洁的证明过程是否正确？若不正确，请写出正确的证 明过程． 返回目录 解：小洁的证明过程不正确． 正确的证明过程如下： ∵BF∥CE，∴∠ACB=∠CBF． 又∵BC平分∠EBF，∴∠DBC=∠CBF． ∴∠ACB=∠DBC． ∴BE=CE． 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC=2CE，BD=2BE． ∴AC=BD． ∴▱ABCD是矩形． 返回目录 【生长式突破】知识生长→综合创新 3. （中考创新，原创题）如图5－20－12①，将矩形纸片ABCD沿 对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD，并且测得AB=3 cm， BC=4 cm． 图5－20－12 返回目录 返回目录 考点种子：基本概念 （1）将这两张三角形纸片按图5－20－12②的方式摆放，连接 BD，则AC与BD的位置关系是 ⁠； AC⊥BD 图5－20－12 返回目录 考点生长：矩形的判定与性质 （2）如图5－20－12③，将图5－20－12②中的△A′C′D纸片沿 射线CA方向平移，连接BC′，BA′，直至BC′∥A′D． ①判断四边形A′BC′D的形状，并说明理由； ②求平移的距离AC′； 图5－20－12 返回目录 解：①四边形A′BC′D是矩形． 理由：如图5－20－12①，在矩形ABCD中，∠D=90°， AD=BC，AD∥BC， ∴∠ACB=∠CAD． ∴在图5－20－12③中，BC=A′D，∠ACB=∠C′A′D， ∠D=90°． ∵BC′∥A′D，∴∠C′A′D=∠A′C′B． ∴∠A′C′B=∠ACB． ∴BC′=BC． ∴BC′=A′D． ∴四边形A′BC′D是平行四边形． 又∵∠D=90°，∴四边形A′BC′D是矩形． 返回目录 ②如答图5－20－1，过点B作BH⊥AC于点H． 在Rt△ABC中，AB=3 cm，BC=4 cm， ∴AC= = =5（cm）． ∵S△ABC= AB∙BC= AC∙BH， ∴BH= = = （cm）． 在Rt△ABH中，AH= = = （cm）． 在Rt△C′BH中，BC′=BC=4 cm，∴C′H= = = （cm）． ∴AC′= C′H－AH= － = （cm）． 　答图5－20－1 返回目录 考点成树：综合创新 （3）如图5－20－13①，将图5－20－12①中的△ACD以点A为旋 转中心，按逆时针方向旋转，使B，A，D三点在同一条直线 上，得到△AC′D，连接CC′，取CC′的中点F，连接AF并延长至 点G，使FG=AF，连接CG，C′G． 　图5－20－13 返回目录 ①判断四边形ACGC′的形状，并说明理由； ②如图5－20－13②，将图5－20－13①中△ABC沿着BD方向平 移，使点B与点A重合，此时点A平移至点A′，A′C与BC′交于点 P，连接CC′，求tan∠C′CP的值． 　图5－20－13 返回目录 解：①四边形ACGC′是正方形． 理由：∵F为CC′的中点，∴C′F=CF． 又∵FG=AF，∴四边形ACGC′是平行四边形． 又∵AC=AC′，∴四边形ACGC′是菱形． ∵∠AC′D=∠BAC，∠AC′D＋∠DAC′=90°， ∴∠BAC＋∠DAC′=90°． ∴∠CAC′=180°－（∠BAC＋∠DAC′）=90°． ∴四边形ACGC′是正方形． 返回目录 ②由题意，得A′A= C′D=3 cm，AD=4 cm，A′C=AC′=5 cm， A′C⊥AC′． 在Rt△ADC′中， sin ∠DAC′= = ， cos ∠DAC′= = ． 在Rt△A′AP中，A′P= A′A∙ sin ∠DAC′= cm，AP= A′A∙ cos ∠DAC′= cm． ∴C′P=AC′－AP=5－ = （cm），CP=A′C－A′P=5－ = （cm）． 在Rt△C′PC中，tan∠C′CP= = ． 返回目录 中考演练 1. （2025∙广东题10）如图5－20－14，在矩形ABCD中，E，F 是BC边上的三等分点，连接DE，AF相交于点G，连接CG． 若 AB=8，BC=12，则tan∠GCF的值是（　B　） A． B． C． D． 图5－20－14　　　　 B 返回目录 2. （2022∙广东题13）菱形的边长为5，则它的周长是 ⁠． 3. （2024∙广东题15）如图5－20－15，菱形ABCD的面积为24， E是AB的中点，F是BC上的动点． 若△BEF的面积为4，则图中 阴影部分的面积为 ⁠． 20 10 图5－20－15 返回目录 1. （2025∙德阳）如图5－20－16，要使平行四边形ABCD是矩 形，需要增加的一个条件可以是（　D　） A． AB∥CD B． AB=BC C． ∠B=∠D D． AC=BD 图5－20－16　　　 D 返回目录 2. （2025∙湖南）如图5－20－17，在四边形ABCD中，对角线AC 与BD互相垂直平分，AB=3，则四边形ABCD的周长为 （　C　） A． 6 B． 9 C． 12 D． 18 C 图5－20－17　　 返回目录 3. （2025∙贵州）如图5－20－18，小红想将一张矩形纸片沿 AD，BC剪下后得到一个▱ABCD，若∠1=70°，则∠2的度数是 （　B　） A． 20° B． 70° C． 80° D． 110° B 图5－20－18　　 返回目录 4. （2025∙广州）如图5－20－19，菱形ABCD的面积为10，E， F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH 的面积为（　B　） A． B． 5 C． 4 D． 8 B 图5－20－19 返回目录 5. （2025∙兰州）如图5－20－20，四边形ABCD是矩形，对角线 AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AB，BC上，连接EF交 对角线BD于点P． 若P为EF的中点，∠ADB=35°，则∠DPE的 度数为（　C　） A． 95° B． 100° C． 110° D． 145° 图5－20－20　　　 C 返回目录 6. （2025∙青海）如图5－20－21，在菱形ABCD中，BD=6，E， F分别为AB，BC的中点，且EF=2，则菱形ABCD的面积 为 ⁠． 12 图5－20－21　　　 返回目录 7. （2025∙乐山）如图5－20－22，在▱ABCD中，对角线AC与 BD相交于点O． 小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正 方形，现有三个条件可供选择：①AC⊥BD；②AC=BD；③ ∠ADC=90°． 则正确的组合是 ⁠． （只需填一种 组合即可） ①②或①③ 图5－20－22 返回目录 8. （2025∙凉山州）如图5－20－23，四边形ABCD是菱形，对角 线AC，BD相交于点O，E是边CD的中点，过点E作EF⊥BD于 点F，EG⊥AC于点G． 若AC=12，BD=16，则FG的长 为 ⁠． 5 　图5－20－23 返回目录 9. （2024∙宿迁）如图5－20－24，在四边形ABCD中，AD∥BC， 且AD=DC= BC，E是BC的中点． 下面是甲、乙两名同学得到 的结论： 　图5－20－24 甲：若连接AE，则四边形ADCE是菱形． 乙：若连接AC，则△ABC是直角三角形． 请选择一名同学的结论给予证明． 返回目录 解：选择甲． 证明如下：如答图5－20－2，连接AE． ∵E是BC的中点，∴EC= BC． ∵AD= BC，∴AD=EC． ∵AD∥BC，∴四边形ADCE是平行四边形． ∵AD=DC，∴四边形ADCE是菱形． 　答图5－20－2 返回目录 选择乙． 证明如下：如答图5－20－2，连接AC． 同上证明可得AE=CE=BE，∴∠EAC=∠ECA，∠EAB=∠B． ∵∠EAC＋∠ECA＋∠EAB＋∠B=180°， ∴2∠EAC＋2∠EAB=180°． ∴∠EAC＋∠EAB=90°，即∠BAC=90°． ∴△ABC是直角三角形． 　答图5－20－2 返回目录 10. （2025∙北京）如图5－20－25，在△ABC中，D，E分别为 AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上， DG=FC． （1）求证：四边形DFCG是矩形； （1）证明：∵D，E分别为AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线． ∴DE∥BC． ∵DG=FC，∴四边形DFCG是平行四边形． 又∵DF⊥BC，∴∠DFC=90°． ∴平行四边形 DFCG是矩形． 返回目录 （2）若∠B=45°，DF=3，DG=5，求BC和AC的长． （2）解：∵DF⊥BC，∴∠DFB=90°． ∵∠B=45°，∴△BDF是等腰直角三角 形． ∴BF=DF=3. ∵FC=DG=5，∴BC=BF＋FC=3＋5=8. 由（1）可知DE是△ABC的中位线，四边形 DFCG是矩形， ∴DE= BC=4，CG=DF=3，∠G=90°． ∴EG=DG－DE=5－4=1. ∴CE= = = ． ∵E为AC的中点，∴AC=2CE=2 ． 返回目录 命题预测 2025∙广州）宽与长的比是 （约为0.618）的矩形叫做黄金 矩形． 现有一张黄金矩形纸片ABCD，AD= ＋1. 如图5－20－ 26①，折叠纸片ABCD，使点B落在AD上的点E处，折痕为AF， 连接EF，然后将纸片展开． （1）求AB的长； （1）解：∵AD= ＋1，矩形ABCD是黄金矩形， ∴ = ． ∴AB= ×（ ＋1）=2. 返回目录 （2）求证：四边形CDEF是黄金矩形； （2）证明：由折叠，可得AB=AE，∠B=∠AEF． 又∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAE=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=2，AD=BC= ＋1. ∴∠BAE=∠B=∠AEF=90°． ∴四边形ABFE是矩形． ∵AB=AE，∴四边形ABFE是正方形． ∴AB=BF=EF=AE=2. ∴DE=CF= ＋1－2= －1. ∵∠C=∠D=∠DEF=90°，∴四边形CFED是矩形． ∴ = ． ∴四边形CDEF是黄金矩形． 返回目录 （3）如图5－20－26②，G为AE的中点，连接FG，折叠纸片 ABCD，点B落在FG上的点H处，折痕为FP，过点P作PQ⊥EF 于点Q． 四边形BFQP是否为黄金矩形？如果是，请证明；如果 不是，请说明理由． 　图5－20－26 返回目录 （3）解：四边形BPQF是黄金矩形． 证明如下： ∵PQ⊥EF，四边形ABFE是正方形， ∴∠B=∠BFQ=∠PQF=90°． ∴四边形BFQP是矩形． 由（2）可知AB=BF=AE=EF=2. ∵G为AE的中点，∴AG=EG=1. ∴FG= = = ． 　答图5－20－3 返回目录 如答图5－20－3，连接PG． 由折叠，可得FH=FB=2，BP=PH，∠PHF=∠B=90°． 设BP=PH=x，则AP=2－x． ∵S△APG＋S△PBF＋S△PGF=S梯形ABFG， ∴ ×1×（2－x）＋ ×2x ＋ × x= ×（1＋2）×2. 解得x= －1. ∴BP= －1. ∴ = ． ∴四边形BFQP是黄金矩形． 　答图5－20－3 返回目录 命题解读：根据最新课程标准和近三年广东中考命题动向，预测 2026年可能会更加注重菱形、矩形、正方形与其他几何图形的综 合考查，如与三角形、平行四边形、圆等结合，要求学生具备较 强的综合运用能力和空间想象能力；也可能会注重开放式试题的 考查，要求学会从不同角度思考问题，如通过添加辅助线等方式 构造特殊图形等． 返回目录 谢 谢 ! 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