4.6 三角形 第18课时 锐角三角函数与解直角三角形-【教与学·广东中考夺冠】2026年中考数学课件PPT

数 学 返回目录 返回目录 第一部分 知识梳理 第四章 三 角 形 第18课时　锐角三角函数与解直角三角形 返回目录 目 录 CONTENTS 01 课前循环练 02 课标解读 03 知识梳理 04 重点突破 05 中考演练 06 命题预测 返回目录 课前循环练 1. （广东真题）化简a4∙a2＋（a3）2的结果是（　C　） A． a8＋a6 B． a6＋a9 C． 2a6 D． a12 2. （广东真题）已知OP=5，⊙O的半径为5，则点P在 （　A　） A． ⊙O上 B． ⊙O内 C． ⊙O外 D． 圆心上 C A 返回目录 3. （广东真题）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的 点数之和为7的概率是（　B　） A． B． C． D． B 返回目录 4. （广东真题）抛物线y=2x2＋6x＋c与x轴的一个交点为（1， 0），则这个抛物线的顶点坐标是 　 　． 5. （广东真题）如图4－18－1，若△OAD≌△OBC，且 ∠O=65°，∠C=20°，则∠OAD= ⁠． 95° 　图4－18－1 返回目录 课标解读 内容 课标要求 锐角三角 函数 ①利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数 （ sin A， cos A，tan A），知道30°，45°，60°角 的三角函数值 ②会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已 知三角函数值求它的对应锐角 ③能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解 决一些简单的实际问题 返回目录 知识梳理 对接教材　人教：九下第二十八章　锐角三角函数 北师：九下第一章　直角三角形的边角关系 返回目录 1. 特殊角的三角函数值 锐角三角函数 角α 30° 45° 60° sin α  　 ⁠  　 ⁠ cos α  　 ⁠  　 ⁠ tan α  　 ⁠ ⁠ 1 返回目录 例1. 计算： sin 30°＋ tan 60°－2 cos 45°． 解：原式= ＋ ×　 －2× = ＋3－ = － ． 返回目录 2. 直角三角形中的边角关系 如图4－18－2，在Rt△ABC 中，∠C=90°，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边． （1）三边的关系为 ⁠． a2＋b2=c2 图4－18－2 （2）三角的关系为 ⁠． （3）边角的关系为 sin A=  　 　， cos A= 　　，tan A= 　 ⁠ ∠A＋∠B=∠C 返回目录 例2. 如图4－18－3，在△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则 tan A= 　 　， sin A= 　 　， cos A= 　 　． 图4－18－3 返回目录 3. 解直角三角形 在直角三角形的六个元素中，除直角外，只要再知道 ⁠ （其中至少有一个是 ⁠），就可以求出其余三个未知 元素． 两个元 素 边 返回目录 解直角三角形的基本类型可分为以下 几种情况（如图4－18－2）： 已知条件 解法 一条 边和 一个 锐角 斜边c和 锐角∠A ∠B= ⁠， a= ⁠， b= ⁠ 90°－∠A c∙ sin A c∙ cos A 图4－18－2 返回目录 已知条件 解法 一条 边和 一个 锐角 直角边a和锐角∠A ∠B= ⁠， b= 　 　， c= 　 ⁠ 90°－∠A 图4－18－2 返回目录 已知条件 解法 两条 边 两条直角边a和b c= 　 　， 由 求∠A， ∠B= ⁠ 直角边a和斜边c b= 　 　， 由 求∠A， ∠B= ⁠ tan A= 90°－∠A sin A= 90°－∠A 返回目录 例3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为 a，b，c，根据下列条件解直角三角形． 　　（1）c=30，∠A=60°； 　　解：（1）∵∠C=90°，∠A=60°， 　　∴∠B=90°－∠A=30°． 　　∵c=30， 　　∴a=c∙ sin A=30× sin 60°=15　 ， 　　b=c∙ cos A=30× cos 60°=15. 返回目录 　　（2）b=5，c=10. 　　解：　　（2）∵∠C=90°，b=5，c=10， 　　∴a= = =5 ， 　　 sin B= = = ． 　　∴∠B=30°． 　　∴∠A=90°－∠B=60°． 返回目录 4. 解直角三角形的应用 （1）仰角、俯角 如图4－18－4，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方 的是 ，视线在水平线下方的是 ⁠． 图4－18－4　　　 仰角　 俯角 返回目录 （2）方位角 如图4－18－5，从正北方向线或正南方向线到目标方向线所成的 小于90°的角（如α，β），叫做方位角． 图4－18－5 返回目录 （3）坡度（坡比）、坡角 如图4－18－6，坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或 坡比），记作i，即i= 　 　；坡面与水平面的夹角叫做 ⁠ ，记作α，则i= = ⁠ 图4－18－6 坡 角 tan α 返回目录 例4. （1）如图4－18－7，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰 角α为30°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，无人机与楼的水平 距离为60 m，则这栋楼的高度为 　m； 80 图4－18－7　 返回目录 （2）如图4－18－8，湖中有一个小岛A，一艘轮船由西向东 航行，它在B处测得小岛A在北偏东60°方向上，航行20 n mile到 达C处，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，则小岛A到航线 BC的距离为 　n mile； 10 图4－18－8 返回目录 　　（3）如图4－18－9，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD， AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α=45°，坡长 AB=10 m，背水坡CD的坡度i=1 ∶ ，则背水坡的坡长CD 为 ⁠m． 图4－18－9 20 返回目录 重点突破 1. （2025∙广东题21）综合与实践 【阅读材料】 如图4－18－10，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别 为a，b，c，则有 = = ． 这是解三角形的重要结论， 可用于解决实际问题． 【考点突破】解直角三角形的应用 得分点分析 　图4－18－10 返回目录 1. 【问题提出】 万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地． 某综合与实践 小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中A，B 两岛间的实际距离（如图4－18－11）． 由于地形原因，无法利 用洲距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究． 　图4－18－11 返回目录 【方案设计】 工具：测角仪、测距仪、无人机（如图4－18－12，只能测角度、 水平面高度）． 图4－18－12　　 返回目录 测量过程： 步骤1：如图4－18－13，在空旷地找一点C； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠A≈43°， ∠B≈51°； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得BC≈341 m， AC≈388.5 m． 图4－18－13 返回目录 【问题解决】 （1）请你利用【阅读材料】中的结论计算A，B两岛间的距离． （参考数据： sin 43°≈0.682， sin 51°≈0.777， sin 86°≈0.998） 【评价反思】 （2）设计其他方案计算A，B两岛间的距离． 要求：选用【方案 设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识． 返回目录 解：（1） ∵∠A≈43°，∠B≈51°， ∴∠C=180°－∠A－∠B≈180°－43°－51°=86°．.…………1分（利用三角形内角和得1分） 由题意，得 = ．.…………2分（引用公式得1分） 又∵BC≈341 m， ∴AB= = ≈ =499（m）．.…………3分（代入公式计算结果得1分） 返回目录 答：A，B两岛间的距离为499 m．.………… 4分（作答得1分） （2）测量方案： 步骤1：如图4－18－14，在空地上找一点E； 　图4－18－14 步骤2：利用测距仪多次测量并取平均值，测出AE，BE的长度； 返回目录 步骤3：延长AE至点A′，延长BE至点B′，利用测距仪多次测量并取平均值，测出A′E= AE，B′E= BE（n为正整数）； 步骤4：利用测距仪多次测量并取平均值，测出A′B′的长度； 步骤5：用相似三角形的判定与性质求出A，B两岛间的距离．.…………9分（写出测量方案和所用的数学知识得4分，画出图形得1分） 返回目录 温馨提示：此类考题常见于广东省中考数学试卷的第21小题，分 值一般为9分，答题时要注意书写格式，分步书写，慢做会求全 对，评卷老师是分步给分的哦! 返回目录 【易错点突破】对仰角、俯角的概念理解不清致错 2. 如图4－18－15，直升机在长江大桥AB上方P点处，此时飞机 离地面高度为a km，且A，B，O三点在一条直线上，测得点A 的俯角为α，点B的俯角为β，求长江大桥AB的长度． 小亮和小强 分别求出了OA和OB的长度，下面是小亮和小强的求解过程： 　图4－18－15 返回目录 小亮： 由题意，得在Rt△AOP中， ∠AOP=90°，∠APO=α， PO=a km， ∴OA=OP∙tan α=α∙tan α． 小强： 由题意，得在Rt△BOP中， ∠BOP=90°，∠PBO=∠CPB=β， PO=a km， ∴OB= = ． 返回目录 （1）两人发现解题过程不一致，请你帮忙看看谁的解题过程是错 误的，并说明原因； 解：（1）小亮的解答过程不正确，错误的原因是 把从点P观测点A的俯角误认为是∠APO，实际上 俯角是∠CPA． 答：长江大桥AB的长度为 km． 　图4－18－15 返回目录 解：（2）由题意，得∠AOP=∠BOP=90°， ∠PAO=∠CPA=α，∠PBO=∠CPB=β． ∴在Rt△AOP中，OA= = ， 在Rt△BOP中，OB= = ． ∴AB=OA－OB= km． （2）请你按照正确的解题方法求出长江大桥AB的长度． 　图4－18－15 返回目录 【生长式突破】知识生长→综合创新 3. （中考创新，原创题）如图4－18－16，在△ABC中，AC=6. （1）若∠A=90°，AB=8，则 sin B= 　 　； cos B= 　 　； tan B= 　 　； 考点种子：基本概念 　图4－18－16 返回目录 （2）如图4－18－17，若∠B=45°，∠C=75°，求BC的长； 考点生长：解直角三角形 　图4－18－17 解：如答图4－18－1，过点C作CD⊥AB于点D． ∵∠B=45°，∴∠BCD=90°－∠B=45°． ∵∠ACB=75°，∴∠ACD=∠ACB －∠BCD=30°． 在Rt△ACD中，AC=6，∠ACD=30°， ∴CD=AC∙ cos ∠ACD=6× cos 30°=3 ． 在Rt△BCD中，CD=3 ，∠B=45°， ∴BC= = =3 ． 　答图4－18－1 返回目录 考点成树：综合创新 （3）在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一 个重要的设计参数．如图4－18－18，已知一风电塔筒AH垂直于 地面，测角仪BD，CE在AH两侧（点D，H，E在同一条直线 上），BD=CE=1.6 m，点D与点E相距182 m，在B处测得筒尖 顶点A的仰角为45°，在C处测得筒尖顶点A的仰角为53°．求 风电塔筒AH的高度．（参考数据： sin 53°≈ ， cos 53°≈ ， tan 53°≈ ） 　图4－18－18 返回目录 解：如答图4－18－2，连接BC交AH于点G． 由题意，得BD=CE=GH=1.6 m，BC=DE=182 m，BC⊥AH． 在Rt△ABG中，∠ABG=45°，∴BG= = =AG． 在Rt△ACG中，∠ACG=53°，∴CG= = ≈ AG． ∵BG＋CG=BC，∴AG＋ AG=182.解得AG=104. ∴AH=AG＋GH=104＋1.6=105.6（m）． 答：风电塔筒AH的高度约为105.6 m． 　答图4－18－2 返回目录 中考演练 1. （2022∙广东题11） sin 30°= 　 　． 2. （2025∙广东题14）计算20－2 sin 30°的结果是 ⁠． 3. （2021∙广东题16）如图4－18－19，在▱ABCD中，AD=5， AB=12， sin A= ． 过点D作DE⊥AB，垂足为E，则 sin ∠BCE= 　 　． 0 图4－18－19 返回目录 4. （2023∙广东题18）2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射 取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站． 如图4－18－ 20，照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态． 当两臂 AC=BC=10 m，两臂夹角∠ACB=100°时，求A，B两点间的距 离． （结果精确到0.1 m，参考数据： sin 50°≈0.766， cos 50°≈0.643，tan 50°≈1.192） 图4－18－20 返回目录 解：如答图4－18－3，连接AB，过点C作CD⊥AB于点D． ∵AC=BC，CD⊥AB，∠ACB=100°， ∴AB=2AD，∠ACD= ∠ACB=50°． 在Rt△ACD中，AC=10 m，∠ACD=50°， ∴AD=AC∙ sin ∠ACD=10× sin 50°≈7.66（m）． ∴AB=2AD=2×7.66=15.32≈15.3（m）． 答：A，B两点间的距离约为15.3 m． 　答图4－18－3 返回目录 5. （2024∙广东题18）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色 低碳转型作出了巨大贡献． 为满足新能源汽车的充电需求，某小 区增设了充电站，如图4－18－21是矩形PQMN充电站的平面示意 图，矩形ABCD是其中一个停车位． 经测量，∠ABQ=60°， AB=5.4 m，CE=1.6 m，GH⊥CD，GH是另一个车位的宽，所有 车位的长宽相同，按图示并列划定． 根据以上信息回答下列问题：（结果精确到0.1 m，参考数据： ≈1.73） 返回目录 （1）求PQ的长； 解：（1）∵四边形PQMN是矩形， ∴∠Q=∠P=90°． 在Rt△ABQ中，AB=5.4 m， ∠ABQ=60°， ∴AQ=AB∙ sin ∠ABQ=5.4× sin 60°= （m）． ∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC， ∠ABC=∠DAB=90°． 返回目录 ∴∠CBE=90°－∠ABQ=30°，∠QAB=90°－∠ABQ=30°． 在Rt△BCE中，CE=1.6 m，∠CBE=30°， ∴BC= = = （m）． 在Rt△ADP中，∠PAD=90°－∠QAB=60°， AD=BC= m， ∴AP=AD∙ cos ∠PAD= × cos 60°= （m）． ∴PQ=AP＋AQ= ＋ = ≈6.1（m）． 返回目录 （2）该充电站有20个停车位，求PN的长． 解：（2）在Rt△BCE中，CE=1.6 m，∠CBE=30°，∴BE=2CE=3.2 m． 在Rt△ABQ中，AB=5.4 m， ∠QAB=30°，∴QB= AB=2.7 m． ∵四边形PQMN是矩形，该充电站有 20个停车位， ∴PN=QM=QB＋20BE=2.7＋ 20×3.2=66.7（m）． 返回目录 1. （2025∙广西）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=7，AC=3，则 sin B=（　B　） A． B． C． D． B 返回目录 　图4－18－22 2. （2024∙云南）如图4－18－22，在△ABC中，若∠B=90°， AB=3，BC=4，则tan A=（　C　） A． B． C． D． C 返回目录 3. （2024∙临夏州）如图4－18－23，在△ABC中，AB=AC=5， sin B= ，则BC的长是（　B　） A． 3 B． 6 C． 8 D． 9 B 图4－18－23　　　　　　 返回目录 4. （2025∙深圳）如图4－18－24为人行天桥的示意图，若高BC长 为10 m，斜道AC长为30 m，则 sin A的值为（　D　） A． B． 3 C． D． 图4－18－24 D 返回目录 5. （2025∙长春）如图4－18－25，已知某山峰的海拔高度为m m，一位登山者到达海拔高度为n m的点A处，测得山峰顶端B的 仰角为α，则A，B两点之间的距离为（　B　） 图4－18－25 B A． （m－n） sin α m B． m C． （m－n） cos α m D． m 返回目录 6. （2025∙辽宁）如图4－18－26，为了测量树AB的高度，在水平 地面上取一点C，在C处测得∠ACB=51°，BC=6 m，则树AB的 高约为 m．（结果精确到0.1 m，参考数据： sin 51°≈0.78， cos 51°≈0.63，tan 51°≈1.23） 图4－18－26　　　　　 7.4 返回目录 图4－18－27　　　　　 7. （2025∙绥化）如图4－18－27，某水库堤坝横断面迎水坡AB的 斜面坡度i=1 ∶ （斜面坡度是指坡面的铅直高度BC与水平宽 度AC的比），堤坝高BC=15 m，则迎水坡面AB的长度是 ⁠ m． 15 返回目录 8. （2025∙眉山）人字梯为现代家庭常用的工具． 如图4－18－ 28，若AB，AC的长都为2 m，当α=65°时，人字梯顶端离地面的 高度是 m．（结果精确到0.1 m，参考依据： sin 65°≈0.91， cos 65°≈0.42，tan 65°≈2.14） 1.8 图4－18－28 返回目录 9. （2025∙广安）随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广 泛． 如图4－18－29，O，C是同一水平线上的两点，无人机从O 点竖直上升到A点，在A点测得C点的俯角为30°，A，C两点的 距离为24 m． 无人机继续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯 角为36.9°． 求无人机从A点到B点的上升高度AB（结果精确到 0.1 m）． （点O，A，B，C在同一平面内， 参考数据： sin 36.9°≈0.60， cos 36.9°≈0.80， tan 36.9°≈0.75， ≈1.73） 　图4－18－29 返回目录 解：如答图4－18－4. 由题意，得DB∥AE∥CO． ∴∠DBC=∠BCO=36.9°， ∠EAC=∠ACO=30°． 在Rt△ACO中，AC=24 m， ∴AO= AC=12 m，CO= AO=12 m． 在Rt△BCO中，BO=CO∙tan 36.9°≈12 ×0.75=9 （m）． ∴AB=BO－AO=9 －12≈3.6（m）． 答：无人机从A点到B点的上升高度AB约为3.6 m． 　答图4－18－4 返回目录 10. （2025∙长沙）如图4－18－30，某景区内两条互相垂直的道路 a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上． 为 了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优 美的景点D． 经测得景点C位于景点B的北偏东60°方向上，位 于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西45° 方向上． 已知AB=800 m． 　图4－18－30 返回目录 （1）求∠ACB的度数； 解：（1）如答图4－18－5，由题意，得 ∠CBE=60°，∠CAF=30°，∠BDM=45°， BM⊥DM，BE∥AF∥DM． ∴∠BCM=∠CBE=60°，∠ACM=∠CAF=30°． ∴∠ACB=∠BCM－∠ACM=60°－30°=30°． 　答图4－18－5 返回目录 （2）求景点C与景点D之间的距离． （结果保留根号） 解：（2）∵∠CBE=60°，∴∠CBM=90°－∠CBE=90°－60°=30°． 由（1）得∠ACB=30°，∴∠ABC=∠ACB=30°． 又∵AB=800 m，∴AB=AC=800 m． 在Rt△ACM中， sin ∠ACM= ， cos ∠ACM= ， 返回目录 ∴AM=AC∙ sin ∠ACM=800× sin 30°=800× =400（m）， CM=AC∙ cos ∠ACM=800× cos 30°=800× =400 （m）． ∴BM=BA＋AM=800＋400=1 200（m）．∵∠BDM=45°， BM⊥DM，∴DM=BM=1 200 m． ∴DC=DM－CM=（1 200－400 ）m． 答：景点C与景点D之间的距离为（1 200－400 ）m． 返回目录 命题预测 （中考创新）（2025∙新疆）某数学兴趣小组在校园内开展综合实 践活动，撰写实验报告如下： 返回目录 实验主题 测量校徽的高度 工具准备 测角仪，卷尺等 实验过 程 1. 站在与教学楼底部A同一水平地面的B处，由于大树 CD的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽顶部E处（此时 F，C，E三点在同一直线上）； 2. 测量A，D两点和B，D两点间的距离； 3. 用测角仪测得从眼睛F处看校徽顶部E处的仰角 ∠EFG； 4. 向后退至点H处时，视线恰能看到校徽底部M处（此 时N，C，M三点在同一直线上），测量B，H两点间 的距离； 5. 用测角仪测得从眼睛N处看校徽底部M处的仰角 ∠MNG 返回目录 实验图 示 图4－18－31 测量数 据 1. AD=4 m 2. BD=10 m 3. BH=13.5 m 4. ∠EFG=43° 5. ∠MNG=21.8° 备注 1. 图上所有点均在同一平面内； 2. AE，CD，FB，NH均与地面垂直． 参考数据： sin 21.8°≈0.37， cos 21.8°≈0.93，tan 21.8°≈0.40， sin 43°≈0.68， cos 43°≈0.73，tan 43°≈0.93 返回目录 请你根据以上实验过程和测量的数据，计算校徽的高度EM的值． 解：由题意，得四边形FGAB，四边形NHAG为矩形． ∴FG=AB=AD＋BD=4＋10=14（m），NG=AH=AD＋BD＋ BH=4＋10＋13.5=27.5（m）． 在Rt△EFG中，tan∠EFG= ，∴tan 43°= ≈0.93. ∴EG=14×0.93=13.02（m）． 在Rt△MNG中，tan∠MNG= ，∴tan 21.8= ≈0.40. ∴MG=27.5×0.40=11（m）．∴EM=EG－MG=13.02－11=2.02（m）． 答：校徽的高度约为2.02 m． 返回目录 命题解读：根据最新课程标准和近三年广东中考命题动向，预测 2026年广东中考命题方向可能更加注重锐角三角函数与解直角三 角形在实际问题中的应用，如与建筑、测量、航海等相关的问题 结合更加紧密．同时，可能会增加与其他几何图形、方向角、坡 度坡角等知识的综合考查，题型也会更加多样化．解题拓展与延 伸方面，学生应注重提高对实际问题的分析和解决能力，学会将 实际问题转化为数学模型．此外，要积累相关解题经验，提高应 对复杂问题的能力，以更好地适应中考的挑战． 返回目录 谢 谢 ! 返回目录 $