4.5 三角形 第17课时 相似三角形-【教与学·广东中考夺冠】2026年中考数学课件PPT

数 学 返回目录 返回目录 第一部分 知识梳理 第四章 三 角 形 第17课时 　相似三角形 返回目录 目 录 CONTENTS 01 课前循环练 02 课标解读 03 知识梳理 04 重点突破 05 中考演练 06 命题预测 返回目录 课前循环练 1. （广东真题）坐标平面内下列各点中，在x轴上的点是 （　B　） A． （0，3） B． （－3，0） C． （－1，2） D． （－2，－3） B 返回目录 2. （广东真题）水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后 面、上面、下面、左面、右面”表示，如图4－17－1是一个正方 体的表面展开图，若图中“2”在正方体的前面，则这个正方体的 后面是（　B　） A． 0 B． 6 C． 快 D． 乐 图4－17－1　　　 B 返回目录 3. （广东真题）如图4－17－2，三条平行线l1，l2，l3分别与另外 两条直线相交于点A，C，E和点B，D，F，且AC≠CE， AC≠BD，则下列四个式子中，错误的是（　C　） A． = B． = C． = D． = C 图4－17－2　　　 返回目录 4. （广东真题）如图4－17－3，菱形ABCD的对角线AC=24， BD=10，则菱形的周长为 ⁠． 52 图4－17－3　　　 返回目录 5. （广东真题）如图4－17－4，在△ABC中，AC=BC，∠BAC的 外角平分线交BC的延长线于点D，若∠ADC= ∠CAD，则 ∠ABC= ⁠． 36° 图4－17－4 返回目录 课标解读 内容 课标要求 比例线段 ①了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割 ②掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 相似三 角形 ①了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似． *了解相似三角形判定定理的证明 ②了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方 返回目录 内容 课标要求 相似多 边形 ①通过具体实例认识图形的相似． 了解相似多边形 和相似比 ②了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形 放大或缩小 ③会利用图形的相似解决一些简单的实际问题 ④在平面直角坐标系中，探索并了解将一个多边形 的顶点坐标（有一个顶点为原点）分别扩大或缩小 相同倍数时对应的图形与原图形是位似的 返回目录 知识梳理 对接教材　人教：九下第二十七章　相似　　北师：九上第四 章　图形的相似 返回目录 1. 比例线段的性质 （1）如果 = ，那么 ⁠． （2）如果ad=bc（a，b，c，d都不等于0），那么 = 　 　． （3）如果 = =…= （b＋d＋…＋n≠0），那么 = 　 　． （4）平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所 截，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截 其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例 ad=bc 返回目录 例1. （1）如果线段 a，b，c，d 满足 = = ，那么 = 　 　； （2）如图4－17－5，l1∥l2∥l3，直线 a，b 与 l1，l2，l3 分别相 交于点 A，B，C 和点 D，E，F． 若 = ，DE=4，则 DF 的长 是 （　C　） C 图4－17－5 A． B． C． 10 D． 6 返回目录 2. 黄金分割 一般地，点C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC（AC＞BC），如 果 = ，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的 黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金比，黄金比为 ≈0.618 返回目录 例2. 已知点C是线段 AB 的黄金分割点，并且 AC＞CB，如果 AB=1，那么 AC 的长度为（　C　） A． B． C． D． C 返回目录 3. 相似三角形 三角分别 、三边 ⁠的两个三角形叫做相似三角 形，相似三角形对应边的比叫做 ⁠ 相等 成比例 相似比 例3. 已知△ABC∽△ACD，若 AB=5，AC=4，则 AD= ⁠． 返回目录 4. 相似三角形的判定 （1）两角分别 ⁠的两个三角形相似． （2）两边 且夹角 ⁠的两个三角形相似． （3）三边 ⁠的两个三角形相似． （4）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形 与原三角形相似 相等 成比例 相等 成比例 返回目录 例4. 如图4－17－6，P是▱ABCD 边 AB 上的一点，射线 CP 交 DA 的延长线于点 E，请从图中找出两对相似三角 形： ⁠． 图4－17－6 △EAP∽△EDC，△EAP∽△CBP（答案不唯一） 返回目录 5. 相似三角形的性质 （1）相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比 都等于 ⁠． （2）相似三角形的周长比等于 ，面积比等于 ⁠ ⁠ 相似比 相似比 相似比 的平方 返回目录 例5. 已知△ABC∽△DEF． （1）若△ABC 与△DEF 的相似比为 ，则△ABC 与△DEF 对应中线的比为 　 　； （2）若△ABC与△DEF的面积比为 ，则△ABC与△DEF 的周长比为 　 　． 返回目录 6. 相似多边形 各角分别 、各边 ⁠的两个多边形叫做相似多边 形，相似多边形对应边的比叫做 ⁠ 相等 成比例 相似比 返回目录 例6. 如图4－17－7所示的两个四边形相似，则 x＋y= ⁠， α= ⁠． 63 85° 图4－17－7 返回目录 7. 相似多边形的性质 （1）相似多边形的对应角相等，对应边的比等于相似比． （2）相似多边形的周长比等于 ，面积比等于 ⁠ ⁠ 相似比 相似比 的平方 返回目录 例7. 已知正方形 ABCD 的面积为 9 cm2，正方形A1B1C1D1的面积 为 16 cm2，则两个正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的相似比 为 ⁠． 3∶4 返回目录 8. 图形的位似 （1）位似图形的定义：如果两个图形不仅相似，而且每组对应点 所在直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这 个点叫做位似中心，此时相似比又称位似比． （2）位似图形的性质 ①位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 ⁠ ⁠； 相似 比 返回目录 ②位似图形的对应角 ，对应边 ⁠； ③位似图形的对应线段 ⁠（或在同一条直线上）； ④在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐 标都乘同一个数 k（k≠0），所对应的图形与原图形 ⁠， 位似中心是 ，它们的相似比为 　 ⁠ 相等 成比例　 平行　 位似 坐标原点 返回目录 例8. 如图4－17－8，在边长为 1 的正方形网格中，有一个 △ABC，已知 A，B，C 三点的坐标分别是 A（1，0），B（2， －1），C（3，1）． 返回目录 　　（1）请在网格图形中画出平面直角坐标系； 　　（2）以原点O 为位似中心，将△ABC 放大 2 倍，画出放大后 的△A′B′C′；（画一个即可） 　　解：（1）（2）如答图4－17－1. 答图4－17－1 返回目录 　　（3）写出△A′B′C′各顶点的坐标：A′ ⁠， B′ ，C′ ⁠． 　　 （－2，0） （－4，2） （－6，－2） 返回目录 重点突破 【考点突破】相似三角形的判定与性质 得分点分析 1. （2024∙广东题22节选）如图4－17－9，在△ABC中（AB＜ BC），DE是△ABC的中位线． 连接CD，将△ADC绕点D按逆 时针方向旋转，得到△A′DC′，连接A′B，C′C，作△A′BD的中 线DF． 求证：2DF∙CD=BD∙CC′． 返回目录 证明：如图4－17－10，连接AA′．1分（作辅助线得1分） 由旋转的性质，得∠ADA′=∠CDC′，A′D=AD，C′D=CD，.…………2分 （利用旋转的性质得1分） ∴ = ．.…………3分（列出比例式得1分） ∴△ADA′∽△CDC′．.…………4分（利用相似三角形的判定得1分） ∴ = ，即AA′∙CD=AD∙CC′．.…………5分（利用相似三角形的性质得1分） ∵DE是△ABC的中位线，DF是△A′BD的中线，∴AD=BD，A′F=BF． ∴DF是△AA′B的中位线．.…………7分（利用中位线的判定得2分） ∴AA′=2DF．.………… 8分（利用中位线的性质得1分） ∵AA′=2DF，AD=BD，∴2DF∙CD=BD∙CC′．.…………9分（等量代换得1分） 返回目录 温馨提示：此类考题常见于广东省中考数学试卷的第19小题（或 22题的一个小问题），分值一般为9分，答题时要注意书写格式， 分步书写，慢做会求全对，评卷老师是分步给分的哦! 返回目录 【易错点突破】相似三角形中的分类讨论 2. 如图4－17－11，在△ABC中，AB=8，AC=6，点D在边AC 上，且AD=2，在AB上是否存在一点E，使得△ADE与△ABC相 似？若存在，求出所有符合条件的AE的长；若不存在，说明理 由． 小刘的解答过程如下： 返回目录 　图4－17－12 解：在AB上存在一点E，使得△ADE与△ABC相似． 理由：如图4－17－12. ∵∠A=∠A，∠ADE=∠C， ∴△ADE∽△ACB． ∴ = ，即 = ． ∴AE= ． 请判断小刘的解答过程是否正确？若不正确，请指出错误的原 因，并写出你的正确解答过程． 返回目录 解：小刘的解答过程不正确，错误的原因 是：没进行分类讨论导致漏解，需要按 ∠ADE=∠C和∠ADE=∠B两种情况进行讨 论． 正确的解答过程如下： 在AB上存在点E，使得△ADE与△ABC相似． 理由如下：①如答图4－17－2，当∠ADE=∠C时， ∵∠A=∠A，∠ADE=∠C， ∴△ADE∽△ACB． ∴ = ，即 = ．∴AE= ； 答图4－17－2 返回目录 ②如答图4－17－3，当∠ADE=∠B时， ∵∠A=∠A，∠ADE=∠B， ∴△ADE∽△ABC． ∴ = ，即 = ．∴AE= ． ∴在AB上存在点E，使得△ADE与△ABC相似，符合条件的AE 的长是 或 ． 答图4－17－3 返回目录 【生长式突破】知识生长→综合创新 3. （中考创新，原创题）如图4－17－13，若△ABC内一点P满足 ∠PAB=∠PBC=∠PCA=∠α，则点P是△ABC的布洛卡点，∠α是布 洛卡角． 图4－17－13　　　　　 返回目录 考点种子：基本概念 （1）如图4－17－14，点P为等边三角形ABC的布洛卡点，则布 洛卡角的度数是 ；PA，PB，PC的数量关系 是 ⁠； 30° PA=PB=PC 图4－17－14 返回目录 考点生长：相似三角形的判定 （2）如图4－17－15，点P为等腰直角三角形ABC（其中 ∠BAC=90°）的布洛卡点，且∠1=∠2=∠3.求证： △ABP∽△BCP； 图4－17－15 证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°， ∴CA=AB． ∴∠ABC=∠ACB=45°． ∵∠2=∠3， ∴∠ABC－∠2=∠ACB－∠3， 即∠ABP=∠BCP． ∵∠1=∠2， ∴△ABP∽△BCP． 返回目录 考点成树：综合创新 （3）在（2）的条件下，若△ABC的面积为 ，求△PBC的面积． 解：过点A作AH⊥BP交BP的延长线于点H，如答图4－17－4. 设AP=m． ∵∠APH=∠1＋∠ABP=∠2＋∠ABP=45°，AH⊥BP， ∴△APH是等腰直角三角形．∴AH=PH= m． ∵∠BAC=90°，∠1=∠3， ∴∠1＋∠PAC=∠3＋∠PAC=90°． ∴∠APC=180°－（∠3＋∠PAC）=90°． 由（2）知△ABP∽△BCP，∠ABC=45°， 　答图4－17－4 返回目录 ∴ = = = ．∴ = = ， =2=2= ． ∴BP= m，CP=2m，S△BCP=2S△ABP． ∴S△APC= AP∙CP= ×m×2m=m2，S△ABP= BP∙AH= × m× m= m2. 　答图4－17－4 返回目录 ∴S△BCP=2S△ABP=m2. ∴S△ABC=S△APC＋S△ABP＋S△BCP=m2＋ m2 ＋m2= m2. ∵△ABC的面积为 ，∴ m2= ． 解得m=1或m=－1（舍去）． ∴S△PBC=m2=1. 　答图4－17－4 返回目录 中考演练 1. （2023∙广东题6）我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出 重要贡献． 优选法中有一种0.618法应用了（　A　） A． 黄金分割数 B． 平均数 C． 众数 D． 中位数 A 返回目录 2. （2025∙广东题12）如图4－17－16，把△AOB放大后得到 △COD，则△AOB与△COD的相似比是 ⁠． 图4－17－16　　　　 1 ∶3 返回目录 3. （2023∙广东题15）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一 起，它们的底边在同一直线上（如图4－17－17），则图中阴影部 分的面积为 ⁠． 15 图4－17－17 返回目录 1. （2025∙贵州）如图4－17－18，已知△ABC∽△DEF， AB ∶DE=2 ∶1，若DF=2，则AC的长为（　C　） A． 1 B． 2 C． 4 D． 8 图4－17－18　　　　　 C 返回目录 2. （2025∙云南）如图4－17－19，在△ABC中，已知D，E分别 是AB，AC边上的点，且DE∥BC． 若 = ，则 =（　A　） A． B． C． D． A 图4－17－19　　　　　 返回目录 3. （2025∙乐山）如图4－17－20，l1∥l2∥l3，AB=2，DE=3， BC=4，则EF的长为（　B　） A． 4 B． 6 C． 8 D． 10 B 图4－17－20 返回目录 4. （2025∙眉山）如图4－17－21，在4×3的方形网格中，每个小 正方形的边长均为1，将△OAB以点O为位似中心放大后得到 △OCD，则△OAB与△OCD的周长之比是（　B　） A． 2 ∶1 B． 1 ∶2 C． 4 ∶1 D． 1 ∶4 B 　图4－17－21 返回目录 5. （2024∙山西改编，数学文化）黄金分割是汉字结构最基本的规 律． 借助如图4－17－22所示的正方形习字格书写的汉字“晋” 端庄稳重、舒展美观． 已知一条分割线的端点A，B分别在习字 格的边MN，PQ上，且AB∥NP，“晋”字的笔画“、”的位置 在AB的黄金分割点C处，且 = ．若NP=2 cm，则BC的长 是（　B　） A． （2 －1）cm B． （ －1）cm C． （ －2）cm D． （ ＋1）cm B 图4－17－22　　　　　 返回目录 6. （2025∙成都）若 =3，则 的值为 ⁠． 7. （2024∙滨州）如图4－17－23，在△ABC中，点D，E分别在 边AB，AC上． 添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可 以是 ⁠． （写出一种情况即可） 4 ∠ADE=∠C（答案不唯一） 图4－17－23　　　　　 返回目录 8. （2025∙广州）如图4－17－24，在△ABC中，点D，E分别在 AB，AC上，DE∥BC，若 = ，则 = 　 　． 图4－17－24 返回目录 9. （2023∙邵阳）如图4－17－25，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线 段AD上的一点，且CB⊥BE． 已知AB=8，AC=6，DE=4. （1）求证：△ABC∽△DEB； （1）证明：∵CA⊥AD，ED⊥AD，CB⊥BE， ∴∠A=∠CBE=∠D=90°． ∴∠C＋∠CBA=90°，∠CBA＋∠DBE=90°． ∴∠C=∠DBE． ∴△ABC∽△DEB． 　图4－17－25 返回目录 （2）求线段BD的长． （2）解：∵△ABC∽△DEB， ∴ = ，即 = ． 解得BD=3. ∴线段BD的长为3. 　图4－17－25 返回目录 10. （广东中考改编）如图4－17－26，在等边三角形ABC中，点 P是边BC上一动点（P点不与端点重合），作∠DPE=60°，PE 交边AC于点E，PD交边AB于点D． （1）求证：△BPD∽△CEP； 　图4－17－26 （1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°．∴∠BDP=180°－∠B－ ∠BPD=120°－∠BPD． ∵∠DPE=60°，∴∠CPE=180°－∠DPE－ ∠BPD=120°－∠BPD． ∴∠BDP=∠CPE． ∴△BPD∽△CEP． 返回目录 （2）若AB=15，BD=6，BP ∶CP=4 ∶1，求CE的长． （2）解：∵在等边三角形ABC中，AB=15， BD=6，BP ∶CP=4 ∶1，∴BC=AB=15. ∴BP= BC= BC= ×15=12，CP= BC= BC= ×15=3. ∵△BPD∽△CEP，∴ = ，即 = ． ∴CE=6.∴CE的长是6. 　图4－17－26 返回目录 命题预测 （中考创新）如图4－17－27，在正方形ABCD中，点E在AD 上，点F是CD上信息，给出以下三个信息：①E是AD的中点， ②△ABE∽△DEF，③F是CD的四等分点． 从以上信息中选择 两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题． （1）你选择的条件是 ，结论是 ；（填序号）（答 案不唯一） ①② ③ （答案不唯一） 　图4－17－27 返回目录 （2）证明你构造的真命题． （2）证明：∵四边形ABCD是正方形，E是AD的中点， ∴AB=AD=DC，AE=ED= AD． ∵△ABE∽△DEF，∴ = ，即 = ． ∵AB=AD=DC，∴DF= DC． ∴F是CD的四等分点． 　图4－17－27 返回目录 命题解读：根据最新课程标准和近三年广东中考命题动向，预测 2026年广东中考命题方向可能更注重相似三角形的解题拓展与延 伸，包括与其他几何图形的综合运用，如与圆、四边形结合，解 决更复杂的问题．还可深入研究相似比的性质、周长比和面积比 等．可能会更加注重实际应用，设置与生活相关的情境，考查学 生运用相似三角形知识解决问题的能力．同时，题型可能会更具 创新性，如增加开放式、探究性问题等． 返回目录 谢 谢 ! 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