4.3 三角形 第15课时 等腰三角形、等边三角形、直角三角形-【教与学·广东中考夺冠】2026年中考数学课件PPT

数 学 返回目录 返回目录 第一部分 知识梳理 第四章 三 角 形 第15课时　等腰三角形、等边三角形、直角三角形 返回目录 目 录 CONTENTS 01 课前循环练 02 课标解读 03 知识梳理 04 重点突破 05 中考演练 06 命题预测 返回目录 课前循环练 1. （广东真题）关于x的方程2（x－1）－a=0的根是3，则a的值 为（　A　） A． 4 B． －4 C． 5 D． －5 A 返回目录 　图4－15－1 2. （广东真题）如图4－15－1，某个反比例函数的图象经过点 P，则它的解析式为（　D　） A． y= （x＞0） B． y=－ （x＞0） C． y= （x＜0） D． y=－ （x＜0） D 返回目录 3. （广东真题）下列说法正确的是（　C　） A． 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 B． 等腰三角形是轴对称图形，也是中心对称图形 C． 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D． 有两边平行的四边形是梯形 C 4. （广东真题）若∠A是锐角， cos A= ，则∠A= ⁠． 30° 返回目录 5. （广东真题）如图4－15－2，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， 垂足为P． 若AP ∶PB=1∶4，CD=8，则AB= ⁠． 10 　图4－15－2 返回目录 课标解读 内容 课标要求 等腰三 角形与等边三角形 ①理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合． 探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形 ②探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°． 探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形 直角三 角形 ①理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 掌握有两个角互余的三角形是直角三角形 ②探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题 返回目录 内容 课标要求 角平分 线与垂直平分线 ①探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 ②理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 返回目录 知识梳理 对接教材　人教：八上第十三章　轴对称（13.3等腰三角形）； 八下第十七章　勾股定理 北师：八上第一章　勾股定理；八下第一章　三角形的证明 返回目录 1. 等腰三角形的概念 有 ⁠相等的三角形是等腰三角形 两边 例1. 如图4－15－3，AB=AC，AD=BD=DE=CE=AE，则图中共 有 个等腰三角形，有 ⁠个等边三角形． 图4－15－3 4 1 返回目录 2. 等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的两条腰 ，两个底角 ⁠，简称等 边对等角． （2）等腰三角形顶角的 、底边上的 ⁠及底边上 的高线互相重合，简称“三线合一”． （3）等腰三角形是轴对称图形，有 ⁠条对称轴 相等 相等 平分线 中线 1 返回目录 　图4－15－4 例2. 如图4－15－4，在△ABC中，AB=AC，AD 是边 BC上的 高，BC=8 cm，则 BD= ⁠cm． 4 返回目录 3. 等腰三角形的判定 （1）有两条边相等的三角形是等腰三角形． （2）有两个 ⁠相等的三角形是等腰三角形，简称等角对等边 角 例3. 如图4－15－5，AD 是△ABC 的边 BC 上的高，添加一个条件 使△ABC 是等腰三角形： ⁠．（写一 个即可） BD=CD（答案不唯一） 　图4－15－5 返回目录 4. 等边三角形的性质 （1）等边三角形的三条边都 ，每个角都等于 ⁠． （2）等边三角形是轴对称图形，有 ⁠条对称轴 相等 60° 3 例4. 如图4－15－6，△ABC 是等边三角形，边长为 2， AD⊥BC，则∠B= ，∠BAD= ，BD= ⁠， △ABC 的周长为 ⁠． 60° 30° 1 6 　图4－15－6 返回目录 5. 等边三角形的判定 （1）三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角等于60° 的 ⁠是等边三角形． （4）有两个角等于 ⁠的三角形是等边三角形 等腰三角形 60° 例5. 在△ABC 中，如果 AB=AC， ⁠ （只添加一个条件），则△ABC 为等边三角形． BC=AB（答案不唯一） 返回目录 6. 直角三角形的性质 （1）直角三角形的两个锐角 ⁠． （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的 ⁠． （3）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直 角边等于 ⁠． （4）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这 条直角边所对的角等于 ⁠．（解答题需证明使用） （5）勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边 的 ⁠ 互余 一半 斜边的一半 30° 平方 返回目录 例6. （1）如图4－15－7，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．若 AC=2BC，则∠A= ；若D为斜边AC的中点，且AC=5， 则BD=  　 　； 30° 返回目录 （2）如图4－15－8，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°， DE垂直平分AB，交BC于点E，BE=4，则∠EAC= ⁠， AC= ⁠； （3）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，则AB的长 是 　 　． 60° 2 返回目录 7. 直角三角形的判定 （1）有一个角是 ⁠的三角形是直角三角形． （2）有两个角 ⁠的三角形是直角三角形． （3）勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的 平方，那么这个三角形是直角三角形． （4）如果三角形一边上的 ⁠等于这边的一半，那么这个三 角形是直角三角形（解答题需证明使用） 90° 互余 中线 返回目录 例7. （1）如图4－15－9，已知P是射线 ON 上一动点（即点P可 在射线 ON 上运动），若∠AON=30°，则当∠A= ⁠ 时，△AOP是直角三角形； 60°或90° （2）如图4－15－10，在△ABC中，AD=DC=BD，则 ∠ABC= ⁠． 90° 返回目录 8. 角平分线的性质与判定 （1）性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离 ⁠ ⁠． （2）判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离 ⁠的点 在这个角的平分线上 相 等 相等 返回目录 例8. 如图4－15－11，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD 是∠BAC 的 平分线，DC=2，AB=6，则△ABD的面积为 ⁠． 图4－15－11 6 返回目录 9. 线段的垂直平分线 （1）线段的垂直平分线：垂直于一条线段，并且平分这条线段的 直线叫做这条线段的垂直平分线． （2）性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距 离 ⁠． （3）判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段 的 ⁠上 相等 垂直平分线 返回目录 例9. 如图4－15－12，在△ABC 中，边 AB 的中垂线分别交 BC， AB 于点 D，E，AE=3 cm，△ADC 的周长为 9 cm，则△ABC 的 周长是 ⁠cm． 图4－15－12 15 返回目录 重点突破 【考点突破】等腰三角形的判定 得分点分析 1. （2020∙广东）如图4－15－13，在△ABC中，点D，E分别是 边AB，AC上的点，BD=CE，∠ABE=∠ACD，BE与CD相交于 点F． 求证：△ABC是等腰三角形． 图4－15－13 返回目录 证明：在△BDF和△CEF中， .…………1分（列出三角形全等的条件得1分） ∴△BDF≌△CEF（AAS）．.…………2分（写出三角形全等的结论及依据得1分） ∴BF=CF． .…………3分（利用全等三角形的对应边相等的性质得1分） ∴∠FBC=∠FCB．.………… 4分（利用“等边对等角”得1分） ∴∠FBC＋∠ABE=∠FCB＋∠ACD，即∠ABC=∠ACB． 5分（此步得1分） ∴AB=AC． .…………6分（利用“等角对等边”得1分） ∴△ABC是等腰三角形．.…………7分（利用等腰三角形的判定得1分） 返回目录 温馨提示：此类考题常见于广东省中考数学试卷的第18小题，分 值一般为7分，答题时要注意书写格式，分步书写，慢做会求全 对，评卷老师是分步给分的哦! 返回目录 【易错点突破】等腰三角形性质的综合运用漏解 2. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，求该等腰三角 形顶角的度数． 阅读小果的解答过程： 如图4－15－14. ∵BD为AC边上的高，∴∠ADB=90°． 又∵∠ABD=50°，∴∠A=90°－∠ABD=40°． ∴该等腰三角形顶角的度数为40°． 图4－15－14 返回目录 请判断小果的解答过程是否正确？若不正确，请指出错误的原 因，并写出你的正确解答过程． 解：小果的解答过程不正确，错误的原因是：缺少了分 类讨论，需要按等腰三角形的顶角是钝角和等腰三角形 的顶角是锐角两种情况进行讨论． 答图4－15－1 正确解答过程如下： 当三角形为锐角三角形时，如答图4－15－1. ∵∠ABD=50°，BD⊥AC， ∴∠A=90°－∠ABD=40°．∴三角形 的顶角为40°； 当三角形为钝角三角形时，如答图4－15－2. 返回目录 ∵BD⊥AC，∴∠BDA=90°． ∵∠ABD=50°，∴∠BAC=∠ABD＋∠BDA=140°． ∴三角形的顶角为140°． 综上所述，该等腰三角形顶角的度数为40°或140°． 答图4－15－2 返回目录 【生长式突破】知识生长→综合创新 3. （中考创新，原创题）如图4－15－15，在△ACB和△DCE 中，点A，D，E在同一直线上，连接BE． 考点种子：基本概念 （1）若△ACB和△DCE均为等边三角形，∠AEB的度数 为 ；线段BE与AD之间 的数量关系是 ⁠； 60° BE=AD 　图4－15－15 返回目录 考点生长：等腰三角形的性质 （2）如图4－15－16，若△ABC与△ADE均是顶角为40°的等腰 三角形，BC，DE分别是底边，求证：BD=CE； 　图4－15－16 证明：∵∠BAC=∠DAE=40°， ∴∠BAC－∠DAC=∠DAE－∠DAC， 即∠BAD=∠CAE． 在△BAD和△CAE中， ∴△BAD≌△CAE（SAS）．∴BD=CE． 返回目录 考点成树：综合创新 （3）如图4－15－17，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形， ∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE 中DE边上的高，连接BE． 求线段CM，AE，BE之间的数量关 系，并说明理由． 　图4－15－17 返回目录 解：AE=BE＋2CM． 理由：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形， ∠ACB=∠DCE=90°， ∴AC=BC，CD=CE． ∴∠ACB－∠DCB=∠DCE－∠DCB，即∠ACD=∠BCE． 在△ACD和△BCE中， ∴△ACD≌△BCE （SAS）．∴AD=BE． ∵CM为△DCE中DE边上的高，∴CM⊥DE． ∵△DCE为等腰直角三角形，∠DCE=90°， ∴DM=EM=CM． ∴DE=2CM． ∴AE=AD＋DE=BE＋2CM． 返回目录 中考演练 1. （2020∙广东题17）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑， 一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时 扑捉． 把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或 点，模型如图4－15－18.∠ABC=90°，点M，N分别在射线 BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN=4，E为MN的中点， 点D到BA，BC的距离分别为4和2. 在此 滑动过程中，猫与老鼠的 距离DE的最小值为 ⁠． 2 －2 　图4－15－18 返回目录 2. （2021∙广东题20）如图4－15－19，在Rt△ABC中， ∠A=90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使 CE=AB． 　图4－15－19 返回目录 （1）若AE=1，求△ABD的周长； 解：（1）作图如答图4－15－3，连接 BD． ∴BD=CD． ∵AB=CE，∴△ABD的周长为AB＋ AD＋BD=CE＋AD＋CD=AE=1. 　答图4－15－3 返回目录 （2）若AD= BD，求tan∠ABC的值． 解：（2）设AD=x，则BD=3x． ∵BD=CD，∴AC=AD＋CD=4x． 在Rt△ABD中，由勾股定理，得 AB= = =2 x． ∴在Rt△ABC中，tan∠ABC= = = ． 　图4－15－19 返回目录 3. （2025∙广东题22）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式 的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意 义． 若直角三角形的三边长a，b，c都是正整数，则a，b，c为 一组“勾股数”． 如表中的每一组数都是勾股数． （2025∙广东题22） 返回目录 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112， 113 19，180， 181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144， 145 21，28，35 6，8，10 10， ⁠ ，26 14，48，50 18，80，82 22，120， 122 24 返回目录 （1）请补全如表中的勾股数； （2）根据如表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分 别表示a，b，c，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并 证明； 解：（2）由题意，可设a=m2－n2，b=2mn， c=m2＋n2（m＞n＞0，m，n互质且一奇一偶）； 若勾股数为非本原勾股数，可设a=k（m2－n2）， b=k（2mn），c=k（m2＋n2）（k为正整数）． 返回目录 证明：对于本原勾股数， a2＋b2=（m2－n2）2＋（2mn）2 =m4－2m2n2＋n4＋4m2n2 =m4＋2m2n2＋n4 =（m2＋n2）2 =c2. 对于非本原勾股数， a2＋b2=k2［（m2－n2）2＋（2mn）2］ =k2（m2＋n2）2 =c2. 返回目录 （3）某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图4－15－20所示 的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成． 种花要求：仅 在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻 两株花之间的距离均为1 m． 如果每个三角形最短边都种21株 花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 　图4－15－20 返回目录 解：（3）依题意设a=20，且直角三角形三边长 均为正整数． 由勾股定理可得a2＋b2=c2，则有 c2－b2=202，即（c＋b）（c－b）=400，下面 分4种情况讨论： ① 解得 ∵a＜b，∴b=15 （舍去）； ② 解得 所需花为 4×120=480（株）； 　图4－15－20 返回目录 ③ 解得 所需花为4×220=880（株）； ④ 解得 所需花为4×70=280（株）． 答：这块绿地最少需要种植 280株花． 　图4－15－20 返回目录 1. （2025∙扬州）在如图4－15－21的房屋人字梁架中，AB=AC， 点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是（　B　） A． ∠ADB=∠ADC B． ∠B=∠C C． BD=CD D． AD平分∠BAC 图4－15－21　　　　　　 B 返回目录 2. （2025∙德阳）如图4－15－22，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 将△ABC沿CB方向向右平移至△EGF处，使EF恰好过边AB的 中点D，连接CD，若CD=1，则GE=（　B　） A． 3 B． 2 C． 1 D． B 图4－15－22 返回目录 3. （2025∙安徽）如图4－15－23，在△ABC中，∠A=120°， AB=AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC． 若 DE= ，则AC的长是（　B　） A． 4 B． 6 C． 2 D． 3 图4－15－23　　　　　　 B 返回目录 4. （2025∙连云港）如图4－15－24，在△ABC中，BC=7，AB的 垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交 AC，BC于点F，G，则△AEG的周长为（　C　） A． 5 B． 6 C． 7 D． 8 C 图4－15－24 返回目录 5. （2025∙陕西）如图4－15－25，在△ABC中，∠ACB=90°， ∠A=20°，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的 角共有（　C　） A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个 图4－15－25　　　　 C 返回目录 图4－15－26　　　　 6. （2025∙福建）某房梁如图4－15－26所示，立柱AD⊥BC，E， F分别是斜梁AB，AC的中点． 若AB=AC=8 m，则DE的长 为 ⁠m． 4 返回目录 7. （2025∙连云港）如图4－15－27，长为3 m的梯子靠在墙上，梯 子的底端离墙脚线的距离为1.8 m，则梯子顶端的高度h 为 ⁠m． 8. （2025∙资阳）如图4－15－28，在四边形ABCD中，∠A=∠B， 点E在线段AB上，CE∥DA． 若使△BCE成为等边三角形，可增 加的一个条件是 ⁠． 2.4 ∠BCE=∠B（答案不唯一） 图4－15－27 图4－15－28 返回目录 9. （广东中考改编）如图4－15－29，∠AOP=∠BOP=15°， PC∥OA，PD⊥OA，PE⊥OB，若PC=4，求PD的长． 　图4－15－29 解：∵PC∥OA，∠AOP=∠BOP=15°， ∴∠CPO=∠AOP=15°． ∴∠PCE=∠BOP＋∠CPO=15°＋15°=30°． ∵PE⊥OB，PC=4，∴PE= PC= ×4=2. ∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD=PE=2. 返回目录 10. （2024∙自贡）如图4－15－30，在△ABC中，DE∥BC， ∠EDF=∠C． （1）求证：∠BDF=∠A； （1）证明：∵DE∥BC，∴∠C=∠AED． ∵∠EDF=∠C， ∴∠AED=∠EDF． ∴DF∥AC． ∴∠BDF=∠A． 返回目录 （2）若∠A=45°，DF平分∠BDE，请直接写出△ABC的形状． （2）解：△ABC是等腰直角三角形． 【提示】∵∠A=45°，∠BDF=∠A，∴∠BDF=45°． ∵DF平分∠BDE，∴∠BDE=2∠BDF=90°． ∵DE∥BC，∴∠BDE＋∠B=180°． ∴∠B=180°－∠BDE=90°． ∴△ABC是直角三角形． 又∵∠C=180°－∠A－∠B=45°， ∴∠A=∠C． ∴BA=BC． ∴△ABC是等腰直角三角形． 返回目录 命题预测 （中考创新，开放式题型）如图4－15－31，在△ABC中，D，E 分别是AB，AC上的点，BE与CD交于点O． 现有以下命题： 命题1：若∠DBO=∠ECO，BD=CE，则△ABC是等腰三角形； 命题2：若∠DBO=∠ECO，OB=OC，则△ABC 是等腰三角形； 命题3：若∠BDO=∠CEO，△ABC是等腰三角形， 则BD=CE； 命题4：若∠BDO=∠CEO，△ABC是等腰三角形， 则OB=OC． 返回目录 先判断上述命题的真假，再选其中一个进行证明或举反例． 　图4－15－31 解：上述四个命题都是真命题． 选择命题1，证明如下： ∵∠DBO=∠ECO，BD=CE，∠DOB=∠EOC， ∴△DOB≌△EOC（AAS）． ∴OB=OC． ∴∠OBC=∠OCB． ∴∠DBO＋∠OBC=∠ECO＋∠OCB， 即∠ABC=∠ACB． ∴AB=AC． ∴△ABC是等腰三角形． （四个命题皆可进行证明） 返回目录 命题解读：根据最新课程标准和近三年广东中考命题动向，预测 2026年广东中考命题方向可能更加注重等腰三角形、等边三角形 和直角三角形与其他知识点的综合考查，如与三角形全等、相 似、四边形、圆等结合，同时要特别注重开放式题目的考查． 返回目录 谢 谢 ! 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