4.2 三角形 第14课时 三角形与多边形的有关概念及性质-【教与学·广东中考夺冠】2026年中考数学课件PPT

数 学 返回目录 返回目录 第一部分 知识梳理 第四章 三 角 形 第14课时　三角形与多边形的有关概念及性质 返回目录 目 录 CONTENTS 01 课前循环练 02 课标解读 03 知识梳理 04 重点突破 05 中考演练 06 命题预测 返回目录 课前循环练 1. （广东真题）函数y= 与y=x的图象在同一平面直角坐标系内 的交点有（　B　） A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 0个 B 返回目录 2. （广东真题）如图4－14－1，⊙O中 的度数为60°，AC是 ⊙O的直径，那么∠BOC等于（　C　） A． 150° B． 130° C． 120° D． 60° 图4－14－1　　　　　 C 返回目录 3. （广东真题）在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=2AC，则 cos A的值等于（　C　） A． B． C． D． C 返回目录 4. （广东真题）如图4－14－2，在不等边三角形ABC中， DE∥BC，∠ADE=60°，图中等于60°的角还有 ⁠． 5. （广东真题）池塘中放养了鲤鱼8 000条，鲢鱼若干． 在几次随 机捕捞中，共抓到鲤鱼320条，鲢鱼400条． 估计池塘中原来放养 了鲢鱼 ⁠条． ∠ABC 10 000 图4－14－2 返回目录 课标解读 内容 课标要求 三角形的基本 概念与性质 ①理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性；了解四边形的不稳定性 ②探索并证明三角形的内角和定理．掌握该定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 ③证明三角形的任意两边之和大于第三边 ④了解三角形重心的概念 ⑤探索并证明三角形的中位线定理 多边形的概念 ①了解多边形的概念及多边形的顶点、边、内角、外角与对角线 ②探索并掌握多边形内角和与外角和公式 返回目录 知识梳理 对接教材　人教：八上第十一章　三角形 北师：七下第四章　三角形；八上第七章　平行线的证明（7.5三 角形内角和定理）； 八下第六章　平行四边形（6.3三角形的中位线、6.4多边形的内角 和与外角和） 返回目录 1. 三角形的分类 （1）三角形按角分类：锐角三角形、 ⁠三角形、钝角 三角形． （2）三角形按边分类： 三角形 直角 返回目录 例1. 在△ABC 中，若∠A=2∠B=3∠C，则△ABC 是（　B　） A． 锐角三角形 B． 钝角三角形 C． 等腰三角形 D． 直角三角形 B 返回目录 2. 三角形的边的关系 （1）三角形任意两边之和 ⁠第三边． （2）三角形任意两边之差 ⁠第三边 大于 小于 例2. 下列三条线段不能构成三角形的三边的是（　B　） A． 3 cm，4 cm，5 cm B． 5 cm，6 cm，11 cm C． 5 cm，6 cm，10 cm D． 2 cm，3 cm，4 cm B 返回目录 3. 三角形的稳定性 三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这 个性质叫做三角形的稳定性． 三角形具有稳定性，而四边形没有 稳定性 返回目录 例3. 下列图形具有稳定性的是（　B　） B 返回目录 4. 三角形的角的关系 （1）三角形三个内角的和等于 ⁠；特别地，当有一个内 角是 90° 时，其余的两个内角互余． （2）三角形的外角和等于 ⁠． （3）三角形的任意一个外角 ⁠与它不相邻的两个内角的 和，三角形的任意一个外角 ⁠任意一个与它不相邻的内角 180° 360° 等于 大于 返回目录 例4. 如图4－14－3，在△ABC 中，D，E，F分别是BC，CA， AB延长线上一点． （1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，则 ∠BAC= ⁠°； 　　（2）若∠ACD=120°，∠BAE=110°，则 ∠CBF= ⁠°； 60 130 　图4－14－3 （3）若∠ABC=50°，∠ACD=120°，则∠BAC= ⁠°． 　　 70 返回目录 5. 三角形的中线 （1）在三角形中，连接一个顶点与它对边 ⁠的线段，叫做 这个三角形的中线． （2）一个三角形有三条中线，都在三角形的内部，三条中线交于 一点，这点叫做三角形的 ⁠． （3）三角形的一条中线把原三角形分成 ⁠相等的两部分 中点 重心 面积 返回目录 例5. 如图4－14－4，已知 AE 是△ABC 的中线，AD是△ABE的中 线．若CE=4，则 BD 的长为 ；若S△ABD=3，则 S△ABC= ⁠． 图4－14－4 2 12 返回目录 6. 三角形的高 （1）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂 足之间的线段叫做 ⁠． （2）一个三角形有三条高，可能在三角形内部，也可能在三角形 上，还可能在三角形的外部 三角形的高 返回目录 例6. △ABC 中 BC 边上的高作法正确的是 （　C　） C 返回目录 7. 三角形的角平分线 在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点 与交点之间的线段叫做三角形的 ⁠ 角平分线 返回目录 例7. 如图4－14－5，BD 平分∠ABC，CD 平分∠ACB，若 ∠A=50°，则∠D 等于 （　C　） A． 120° B． 130° C． 115° D． 110° C 　图4－14－5 返回目录 8. 三角形的中位线 （1）连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线． （2）一个三角形有 ⁠条中位线，都在三角形的内部． （3）三角形的中位线 ⁠于第三边，且等于第三边 的 ⁠ 3 平行 一半 返回目录 例8. 如图4－14－6，DE 是△ABC 的中位线，若BC=8，则 DE 的 长为（　B　） 　图4－14－6 A． 2 B． 4 C． 6 D． 8 B 返回目录 9. 多边形的内、外角和 n（n≥3）边形的内角和是 ⁠，外角和 是 ． 正 n 边形每个内角的度数 是 　 　 ，每个外角的度数是 　 ⁠ （n－2）∙180° 360° 返回目录 例9. （1）若一个多边形的内角和是外角和的 3 倍，则这个多边形 的边数是 ⁠； 　　（2）若一个正多边形的每个外角都是40°，则这个正多边形 是正 ⁠边形． 8 九 返回目录 10. 多边形的对角线 连接多边形 ⁠的两个顶点的线段叫做多边形的对角 线． 从 n（n≥4）边形的一个顶点可作 ⁠条对角 线，n 边形对角线的总条数为 　 　条 不相邻 （n－3） 返回目录 例10. （1）若一个多边形从同一个顶点出发可以作4条对角线，则 这个多边形的边数为（　C　） C A． 5 B． 6 C． 7 D． 8 （2）五边形对角线的总条数为 ⁠条． 5 返回目录 重点突破 【考点突破】三角形角平分线、中线、高和中位线的综合运用 得分点分析 1. （原创题）如图4－14－7，CD平分∠ACB，BE是△ABC的中 线，AG是△ADC的高，延长AG交BC于点F． 求证：（1）GE∥BC； （2）GE= FC． 　图4－14－7 返回目录 证明：（1）∵CD平分∠ACB， ∴∠1=∠2..…………1分（利用角平分线的定义得1分） ∵AG是△ADC的高，∴AG⊥CD．.………… 2分（利用三角形高的定义得1分） ∵BE是△ABC的中线，∴EA=EC．.………… 3分（利用三角形中线的定义得1分） ∴EG=EA=EC= AC．.………… 4分（利用直角三角形的性质得1分） ∴∠3=∠1. ∴∠3=∠2. .…………5分（利用“等边对等角”并等量代换得1分） ∴GE∥BC． 6分（利用“内错角相等，两直线平行”得1分） （2）由（1）知GE∥BC，EA=EC， ∴ = =1. .…………7分（利用平行线分线段成比例得1分） ∴AG=GF． ∴GE是△AFC的中位线．.…………8分（利用三角形中位线的定义得1分） ∴GE= FC．.………… 9分（利用三角形中位线的性质得1分） 返回目录 温馨提示：此类考题常见于广东省中考数学试卷的第19小题，分 值一般为9分，答题时要注意书写格式，分步书写，慢做会求全 对，评卷老师是分步给分的哦! 返回目录 【易错点突破】忽视判断三角形的高是在三角形的内部还是外部 2. 在△ABC中，BD为AC边上的高，∠ABD=30°，求∠BAC的 度数． 阅读小明的解答过程： 如图4－14－8，∵BD为AC边上的高， ∴∠BDA=90°． ∴∠BAC=90°－∠ABD=90°－30°=60°． 判断小明的解答过程是否正确？若不正确， 请指出错误的原因， 并写出你的正确解答过程． 　图4－14－8 返回目录 答图4－14－1 解：小明的解答过程不正确，错误的原因是：缺少了分类讨论， 需要按高BD在△ABC的内部时和高BD在△ABC的外部时分别 进行计算解答． 正确解答过程如下： 返回目录 ∵BD为AC边上的高，∴∠BDA=90°． 当∠BAC是锐角时，如答图4－14－1. ∴∠BAC=90°－∠ABD=90°－30°=60°； 当∠BAC是钝角时，如答图4－14－2. ∴∠BAD=90°－∠ABD=90°－30°=60°． ∴∠BAC=180°－∠BAD=180°－60°=120°． 综上所述，∠BAC的度数为60°或120°． 答图4－14－2 返回目录 【生长式突破】知识生长→综合创新 3. （中考创新，原创题）如图4－14－9，在△ABC中，D是边 BC上的一点． 　图4－14－9 考点种子：基本概念 （1）①若AB=5，AC=3，则BC的取值范围是 ⁠； ②若∠B=30°，AD=BD，则∠ADC的度数为 ⁠； 2＜BC＜8 60°　 返回目录 考点生长：三角形的角平分线 （2）如图4－14－10，若AD是△ABC的角平分线，且 ∠C=2∠B，AC=3，CD=2，求AB的长； 　图4－14－10 返回目录 解：如答图4－14－3，延长AC到点P，使得CP=CD=2. ∴∠P=∠CDP． ∴∠ACB=∠P＋∠CDP=2∠P． 又∵∠ACB=2∠B，∴∠B=∠P． ∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠PAD． 在△BAD和△PAD中， ∴△BAD≌△PAD （AAS）． ∴AB=AP． ∵AC=3，CP=2， ∴AP=AC＋CP=3＋2=5.∴AB=5. 　答图4－14－3 返回目录 考点成树：综合创新 （3）如图4－14－11，AD是△ABC的中线，过点A分别向外作AE⊥AB，AF⊥AC，使得AE=AB，AF=AC，连接EF，延长DA交EF于点P，判断线段EF与AD的数量关系和位置关系，并说明理由． 解：EF=2AD，EF⊥AD． 理由：如答图4－14－4，延长AD到点N， 使得ND=AD，连接BN． 易得△ADC≌△NDB， ∴NB=AC=AF，∠DAC=∠DNB． ∴AC∥BN． ∴∠BAC＋∠ABN=180°． 　图4－14－11 　答图4－14－4 返回目录 ∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠BAE=∠FAC=90°． ∴∠BAC＋∠EAF=360°－∠BAE－ ∠FAC=180°．∴∠ABN=∠EAF． 在△ABN和△EAF中， ∴△ABN≌△EAF（SAS）． ∴AN=EF，∠BAN=∠E． ∵AD=ND，∴AN=2AD． ∴EF=2AD． ∵∠EAN=∠BAN＋∠BAE=∠E＋∠APE，∠BAN=∠E， ∴∠APE=∠BAE=90°．∴EF⊥AD． 　答图4－14－4 返回目录 中考演练 1. （2022∙广东题3）下列图形有稳定性的是（　A　） A． 三角形 B． 平行四边形 C． 长方形 D． 正方形 2. （2020∙广东题4）若一个多边形的内角和是540°，则该多边形 的边数为（　B　） A． 4 B． 5 C． 6 D． 7 （2022∙广东题3） A （2020∙广东题4） B 返回目录 3. （2022∙广东题5）如图4－14－12，在△ABC中，BC=4，D， E分别为AB，AC的中点，则DE=（　D　） A． B． C． 1 D． 2 图4－14－12　　　　　　 （2022∙广东题5） D 返回目录 4. （2025∙广东题5）如图4－14－13，点D，E，F分别是△ABC 各边上的中点，∠A=70°，则∠EDF=（　C　） A． 20° B． 40° C． 70° D． 110° C 图4－14－13 返回目录 1. （2025∙连云港）下列长度（单位：cm）的3根小木棒能搭成三 角形的是（　B　） A． 1，2，3 B． 2，3，4 C． 3，5，8 D． 4，5，10 B 返回目录 2. （2025∙南充）如图4－14－14，把含有60°的直角三角板斜边 放在直线l上，则∠α的度数是（　D　） A． 120° B． 130° C． 140° D． 150° 3. （2025∙资阳）三角形的周长为48 cm，则它的三条中位线组成 的三角形的周长是（　B　） A． 12 cm B． 24 cm C． 28 cm D． 30 cm D B 　图4－14－14 返回目录 4. （2024∙遂宁，数学文化）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染 技术，得到一个内角和为1 080°的正多边形图案，这个正多边形 的每个外角为（　C　） A． 36° B． 40° C． 45° D． 60° C 返回目录 5. （2025∙河南）如图4－14－15所示的网格中，每个小正方形的 边长均为1，△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，点D，E分 别是边BA，CA与网格线的交点，连接DE，则DE的长为 （　B　） A． B． 1 C． D． B 图4－14－15　　　　 返回目录 6. （2025∙扬州）若多边形的每个内角都是140°，则这个多边形 的边数为 ⁠． 7. （2025∙乐山）如图4－14－16，∠1的度数为 ⁠． 8. （2024∙凉山州）如图4－14－17，△ABC中，∠BCD=30°， ∠ACB=80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则 ∠AEB的度数是 ⁠． 9 100° 100° 图4－14－16　　　　 图4－14－17 返回目录 9. （广东中考改编）如图4－14－18，在△ABC中，AD，AF分 别为△ABC的中线和高，BE为△ABD的角平分线． （1）若∠BED=60°，∠BAD=40°，求∠BAF的度数； 解：（1）∵∠BED是△ABE的外角， ∴∠ABE=∠BED－∠BAD=60°－ 40°=20°． ∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABE=40°． ∵AF为△ABC的高，∴∠AFB=90°． ∴∠BAF=90°－∠ABC=90°－40°=50°． 　图4－14－18 返回目录 （2）若△ABC的面积为40，BD=5，求AF的长． 解：（2）∵AD为△ABC的中线，BD=5， ∴BC=2BD=10. ∵S△ABC= BC∙AF=40， ∴AF= = =8. 　图4－14－18 返回目录 10. （广东中考改编）如图4－14－19，已知AD，AE分别是 △ABC的高和角平分线，∠CAB=90°，∠B=50°． （1）求∠DAE的度数； 解：（1）∵AE平分∠BAC，∠CAB=90°， ∴∠EAB= ∠CAB= ×90°=45°． ∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°． ∴∠DAB=90°－∠B=90°－50°=40°． ∴∠DAE=∠EAB－∠DAB=45°－40°=5°． 　图4－14－19 返回目录 解：（2）∵∠CAB=90°，AB=6 cm，AC=8 cm， BC=10 cm， ∴S△ACB= AC∙AB= BC∙AD． ∴AD= = =4.8（cm）． ∴AD的长为4.8 cm． （2）若AB=6 cm，AC=8 cm，BC=10 cm，求AD的长． 　图4－14－19 返回目录 命题预测 （中考创新）如图4－14－20，在△ABC中，∠ACB=90°． 现给 出以下3个信息：①CD⊥AB，②BE平分∠ABC， ③∠CFE=∠CEF，请你从中任选 两个作为条件，另一个作为结论构 成一个命题，并证明该命题的正确性． 　图4－14－20 返回目录 解：选择①②作为条件，③作为结论． 证明：∵CD⊥AB， ∴∠CDA=∠ACB=90°． ∴∠BCF＋∠DCA=90°，∠DCA＋∠A=90°． ∴∠BCF=∠A． ∵BE平分∠ABC， ∴∠EBC=∠EBA． ∵∠CFE=∠BCF＋∠EBC，∠BEC=∠A＋∠EBA， ∴∠CFE=∠CEF． （也可选①③作为条件，②作为结论或选②③作为条件，①作为结论进行证明） 返回目录 命题解读：根据最新课程标准和近三年广东中考命题动向，预测 2026年广东中考命题方向可能更加注重三角形与多边形知识的综 合应用，设置更多开放式问题，如给出相关命题，从中任选两个 命题，先判断真假，再证明或举反例等，考查学生运用所学知识 解决问题的能力． 返回目录 谢 谢 ! 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