4.1 三角形 第13课时 线、角、相交线与平行线-【教与学·广东中考夺冠】2026年中考数学课件PPT

数 学 返回目录 返回目录 第一部分 知识梳理 第四章 三 角 形 第13课时　线、角、相交线与平行线 返回目录 目 录 CONTENTS 01 课前循环练 02 课标解读 03 知识梳理 04 重点突破 05 中考演练 06 命题预测 返回目录 课前循环练 1. （广东真题）下列式子是完全平方式的是（　D　） A． a2＋ab＋b2 B． a2＋2a＋2 C． a2－2b＋b2 D． a2＋2a＋1 D 返回目录 2. （广东真题）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形 的（　D　） A． 三条中线的交点 B． 三条高的交点 C． 三条边的垂直平分线的交点 D． 三条角平分线的交点 D 返回目录 3. （广东真题）如图4－13－1，某数学兴趣小组将边长为3的正方 形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝 的粗细），则所得扇形DAB的面积为（　D　） A． 6 B． 7 C． 8 D． 9 D 　图4－13－1 返回目录 4. （广东真题）一个正数的平方根分别是x＋1和x－5，则 x= ⁠． 5. （广东真题）在一个不透明的盒子中，有五个完全相同的小 球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，随机摸出一个小球，摸出 的小球标号为偶数的概率是  　 　． 2 返回目录 课标解读 内容 课标要求 点、线、 面、角 ①通过实物和模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等概念 ②会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义 ③掌握基本事实：两点确定一条直线 ④掌握基本事实：两点之间线段最短 ⑤理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离 ⑥理解角的概念，能比较角的大小；认识度、分、秒等角的度量单位，能进行简单的单位换算，会计算角的和、差 ⑦理解角平分线的概念 返回目录 内容 课标要求 相交线与 平行线 ①理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对 顶角相等、同角（或等角）的余角相等、同角（或 等角）的补角相等的性质 ②理解垂线、垂线段等概念，能用三角板或量角器 过一点画已知直线的垂线 ③掌握基本事实：在同一平面内，过一点有且只有 一条直线与已知直线垂直 返回目录 　　内容 课标要求 相交线与 平行线 ④理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离 ⑤识别同位角、内错角、同旁内角 ⑥理解平行线的概念 ⑦掌握平行线基本事实Ⅰ：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 ⑧掌握平行线基本事实Ⅱ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 ⑨探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等（或同旁内角互补），那么这两条直线平行 ⑩掌握平行线的性质定理Ⅰ：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．*了解定理的证明 返回目录 　　内容 课标要求 相交线与 平行线 ⑪探索并证明平行线的性质定理Ⅱ：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等（或同旁内角互补） ⑫能用三角板和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线 ⑬了解平行于同一条直线的两条直线平行 定义、命 题、定理 ①通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义 ②结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念．会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立 ③知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，知道可以用不同的形式表述证明的过程，会用综合法的证明格式 ④了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的 ⑤通过实例体会反证法的含义 返回目录 知识梳理 对接教材　人教：七上第四章　几何图形初步；七下第五章　 相交线与平行线 北师：七上第四章　基本平面图形；七下第二章　相交线与平 行线； 八上第七章　平行线的证明 返回目录 1. 直线、射线与线段 （1）直线 端点，射线有1个端点，线段有 ⁠个端点． （2）经过 ⁠有且只有一条直线，简述为两点确定一条 直线． 没有 2 两点 （3）两点之间的所有连线中， ⁠最短，简述为两点之间 线段最短． （4）两点之间线段的 ⁠，叫做这两点之间的距离 线段 长度 返回目录 例1. （1）木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后 过这两点弹出一条墨线，其依据的数学原理是 ⁠ ⁠； 　 两点确定一条直 线 （2）如图4－13－2，从公园甲到公园乙的三条路线 中，最短的是 （填序号），这是因为 ⁠ ⁠． ③ 两点之间线段最 短 　图4－13－2 返回目录 2. 角的相关概念 （1）由两条具有公共端点的 ⁠所组成的图形叫做角．两条 射线的公共端点是这个角的顶点． （2）按照角的大小，角可分为锐角、 、 ⁠、平角 和周角． （3）1周角=2平角=4直角=360°． （4）1°=60′，1′=60″． 射线 直角 钝角 返回目录 （5）余角、补角： 如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，同角或等角 的余角 ⁠；如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为 补角，同角或等角的补角 ⁠ 相等 相等 返回目录 例2. （1）如图4－13－3，O是角的顶点，用三种不同的方法表示 这个角为 ， ， ⁠； 　　（2）计算：13.17°= ° ′ ⁠″； ∠AOB ∠1 ∠O 13 10 12 返回目录 　　（3）若∠A=35°，则∠A的余角为 ，∠A的补角 为 ⁠； 　　（4）如图4－13－4，过直线AB上一点O作射线OC， ∠BOC=29°18′，则∠AOC的度数为 ⁠． 55° 145° 150°42′ 返回目录 3. 角的平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个 ⁠的 角，这条射线叫做这个角的平分线 相等 例3. 如图4－13－5，已知O是直线AB上一点，∠1=50°，OF平 分∠BOE，则∠2的度数为 ⁠． 65° 　图4－13－5 返回目录 4. 对顶角 对顶角 ⁠． 互为对顶角的两个角相等，但相等的两个角不 一定是对顶角 相等 返回目录 例4. 如图4－13－6是对顶角量角器，用它测量角的原理是 ⁠ ⁠． 对顶 角相等 　图4－13－6 返回目录 5. 垂直的性质 （1）在同一平面内，过一点 ⁠一条直线与已知直 线垂直． （2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， ⁠ 最短 有且只有 垂线段 返回目录 例5. 如图4－13－7，村庄 A 到公路 BC 的最短距离是 AD 的长，其 根据的数学原理是 ⁠． 　 垂线段最短 　图4－13－7 返回目录 6. 三线八角（如图4－13－8） （1）同位角：∠1 与∠5，∠2 与∠6，∠4 与 ⁠， ∠3 与 ⁠． （2）内错角：∠2 与 ⁠，∠3 与∠5. （3）同旁内角：∠3 与∠8，∠2 与 ⁠ ∠8 ∠7 ∠8 ∠5 　图4－13－8 返回目录 例6. 如图4－13－9，同位角有 对，内错角有 ⁠对，同旁 内角有 ⁠对． 图4－13－9 6 4 4 返回目录 7. 平行线的判定与性质（如图4－13－10） 　图4－13－10 （1）同位角 ⁠⇔ 两直线平行． 判定：∵∠1=∠2，∴l1∥l2. 性质：∵l1∥l2，∴∠1=∠2. 相等 返回目录 （2）内错角相等 ⇔ 两直线 ⁠． 判定：∵∠2=∠3，∴l1∥l2. 性质：∵l1∥l2，∴∠2=∠3. （3）同旁内角 ⁠⇔ 两直线平行． 判定：∵∠2＋∠4=180°，∴l1∥l2. 性质：∵l1∥l2，∴∠2＋∠4=180° 平行 互补 　图4－13－10 返回目录 例7. 如图4－13－11，填空： 图4－13－11 　　（1）若∠A=∠3，则 ∥ ⁠； 　　（2）若∠2=∠E，则 ∥ ⁠； 　　（3）若∠A＋∠ABE=180°，则 ∥ ⁠； AD BE BD CE AD BE 返回目录 　　（4）若BD∥CE，则∠DBC= ⁠； 　　（5）若AD∥BE，则∠D= ⁠； 　　（6）若BD∥CE，则∠DBC＋∠4= ⁠． ∠5 ∠2 180° 返回目录 8. 平行公理 （1）过直线外一点， ⁠一条直线与这条直线平行． （2）平行于同一条直线的两条直线 ⁠ 有且只有 平行 返回目录 例8. 如图4－13－12，已知 AB∥CD，求证：∠BED=∠B＋ ∠D． （完成证明过程） 　　证明：过点E作 EF∥AB． ∴∠1= ⁠． 　　∵AB∥CD（已知）， 　　∴EF∥CD（ ⁠）． ∠B 平行于同一条直线的两条直线平行 　图4－13－12 　　 ∴∠2= ⁠． 　　 ∴∠BED=∠1＋∠2=∠B＋∠D． ∠D 返回目录 9. 定义、命题、定理 （1）对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，即给出它 们的 ⁠． 定义 　（2）判断一件事情的句子，叫做 ⁠．每个命题都由题设 （或条件）和 两部分组成．正确的命题称为 ⁠ ，不正确的命题称为 ⁠．要说明一个命题是假命 题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命 题的结论，这种例子称为 ⁠． 命题 结论 真命 题 假命题 反例 返回目录 （3）题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题．如果把其中 一个叫做原命题，那么另一个叫做它的 ⁠． （4）公认的真命题称为公理．除公理外，其他命题的真假都需要 通过演绎推理的方法进行判断．演绎推理的过程称为 ⁠， 经过证明的 ⁠命题称为定理． （5）证明方法：综合法、分析法、反证法等 　 逆命题 证明 真 返回目录 例9. （1）命题“如果两个角相等，那么这两个角是同位角”的条 件是 ，结论是 ⁠； 　 两个角相等 这两个角是同位角 　　（2）要说明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题，可以举的 反例是a= ⁠； －2（答案不唯一）　 　　（3）命题“对顶角相等”的逆命题是 ⁠ ，这个逆命题是 ⁠（填“真”或 “假”）命题； 　　（4）“如果 ＞a，那么a＜0”．用反证法证明时，第一 步应先假设 ⁠． 如果两个角相等，那 么这两个角是对顶角 假 a≥0 返回目录 重点突破 【考点突破】平行线的判定与性质 得分点分析 1. （2025∙广东改编）如图4－13－13，点B，C，D在同一直线 上． 现有以下命题： 命题1：若CE∥AB，∠A=∠B，则CE平分∠ACD． 命题2：若CE∥AB，CE平分∠ACD，则∠A=∠B． 命题3：若∠A=∠B，CE平分∠ACD，则CE∥AB． 先判断上述命题的真假，再选一个进行证明或举反例． 图4－13－13 返回目录 解：上述三个命题都正确，.…………3分（每个命题判断正确各得1分） 现选择命题2进行证明： ∵CE∥AB，∴∠ACE=∠A，∠DCE=∠B． .…………5分（利用平行线的性质得2分） ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE=∠DCE．.………… 6分（利用角平分线的定义得1分） ∴∠A=∠B． .…………7分（等量代换得1分） 返回目录 温馨提示：此类考题常见于广东省中考数学试卷的第18小题，分 值一般为7分，答题时要注意书写格式，分步书写，慢做会求全 对，评卷老师是分步给分的哦! 返回目录 【易错点突破】没有正确运用平行线的判定与性质 2. 如图4－13－14，已知∠1=∠2，∠B=∠C，求证：AB∥CD． 以下是小乐的证明过程： 证明：∵∠1=∠2（已知）， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）． 判断小乐的证明过程是否正确？若不正确， 请指出错误的原因， 并写出你的正确证明过程． 　图4－13－14 返回目录 解：小乐的证明过程不正确，错误的原因是：内错角所对应的平 行线不对． 正确证明过程如下： ∵∠1=∠2，∴AC∥BD（内错角相等，两直线平行）． ∴∠CAB＋∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵∠B=∠C，∴∠CAB＋∠C=180°． ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）． 返回目录 【生长式突破】知识生长→综合创新 3. （中考创新，原创题）如图4－13－15，已知直线GH分别与直 线AB，CD交于点E，F，且EM∥FN． 　图4－13－15 返回目录 考点种子：基本概念 （1）①若∠AEG=∠CFE，则直线AB与CD的位置关系 是 ⁠； ②若∠NFE=60°，则∠MEF的度数为 ⁠； 考点生长：平行线的判定与性质 （2）若EM平分∠BEF，FN平分∠CFE． AB∥CD 60°　 　图4－13－15 返回目录 ①求证：AB∥CD； ②若∠AEF=46°，求∠NFE的度数； ①证明：∵EM∥FN，∴∠MEF=∠NFE． ∵EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，∴∠BEF=2∠MEF， ∠CFE=2∠NFE． ∴∠BEF=∠CFE． ∴AB∥CD． ②解：∵AB∥CD，∴∠AEF＋∠CFE=180°． ∵∠AEF=46°，∴∠CFE=180°－∠AEF=134°． ∵FN平分∠CFE，∴∠NFE= ∠CFE=67°． 　图4－13－15 返回目录 （3）如图4－13－16，若EM平分∠AEF交CD于点M，且 ∠FEM=∠EMF． 求证：AB∥CD； 　图4－13－16 证明：∵EM平分∠AEF，∴∠AEM=∠FEM． 又∵∠FEM=∠EMF，∴∠AEM=∠EMF． ∴AB∥CD． 返回目录 考点成树：综合创新 （4）在（3）的条件下，若G是射线MD上一动点（不与点M， F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点 N，设∠EHN=α，∠EGF=β．试判断α与β的数量关系，并说明 理由． 返回目录 解：α=90°－ β或α= β． 理由：如答图4－13－1，当点G在点F的左侧时， ∵AB∥CD，∴∠AEG=∠EGF=β． ∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF， ∴∠HEF= ∠FEG，∠MEF= ∠AEF． ∴∠MEH=∠MEF－∠HEF= （∠AEF－ ∠FEG）= ∠AEG= β． 　答图4－13－1 返回目录 ∵HN⊥EM，∴∠EHN=90°－∠MEH，即α=90°－ β； 如答图4－13－2，当点G在点F的右侧时， ∵AB∥CD，∴∠AEG＋∠EGF=180°． ∴∠AEG=180°－∠EGF=180°－β． ∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF， ∴∠HEF= ∠FEG， ∠MEF= ∠AEF． 　答图4－13－2 返回目录 ∴∠MEH=∠MEF＋∠HEF= （∠AEF＋∠FEG）= ∠AEG= （180°－β）=90°－ β． ∵HN⊥EM，∴∠EHN=90°－∠MEH=90°－ = β， 即α= β． 综上所述，α与β的数量关系为α=90°－ β或α= β． 　答图4－13－2 返回目录 中考演练 1. （2022∙广东题4）如图4－13－17，直线a∥b，∠1=40°，则 ∠2=（　B　） A． 30° B． 40° C． 50° D． 60° 图4－13－17　　　 （2022∙广东题4） B 返回目录 2. （2023∙广东题4）如图4－13－18，街道AB与CD平行，拐角 ∠ABC=137°，则拐角∠BCD=（　D　） A． 43° B． 53° C． 107° D． 137° D 图4－13－18　　　 返回目录 3. （2024∙广东题4）如图4－13－19，一把直尺、两个含30°的三 角尺拼接在一起，则∠ACE的度数为（　C　） A． 120° B． 90° C． 60° D． 30° C 图4－13－19 返回目录 1. （2025∙新疆）如图4－13－20，AB∥CD，∠1=50°，则∠2的度 数是（　B　） A． 40° B． 50° C． 60° D． 70° 图4－13－20　　　　 B 返回目录 图4－13－21　　　　 2. （2025∙苏州）如图4－13－21，在A，B两地间修一条笔直的公 路，从A地测得公路的走向为北偏东70°． 若A，B两地同时开 工，要使公路准确接通，则∠α的度数应为（　C　） A． 100° B． 105° C． 110° D． 115° C 返回目录 3. （2025∙自贡）如图4－13－22，一束平行光线穿过一张对边平 行的纸板，若∠1=115°，则∠2的度数为（　D　） A． 75° B． 90° C． 100° D． 115° D 图4－13－22　　　　 返回目录 4. （2025∙凉山州）如图4－13－23，DF∥AB，∠BAC=120°， ∠ACE=100°，则∠CED=（　B　） A． 30° B． 40° C． 60° D． 80° B 图4－13－23 返回目录 5. （2025∙甘肃）如图4－13－24①，三根木条a，b，c相交成 ∠1=80°，∠2=110°，固定木条b，c，将木条a绕点A顺时针转 动至如图4－13－24②所示，使木条a与木条b平行，则可将木条 a旋转（　A　） A． 30° B． 40° C． 60° D． 80° 图4－13－24　　 A 返回目录 6. （2025∙广州）如图4－13－25，直线AB，CD相交于点O，若 ∠1=36°，则∠2的度数为 ⁠°． 7. （2024∙广州）如图4－13－26，直线l分别与直线a，b相交， a∥b，若∠1=71°，则∠2的度数为 ⁠． 144 109° 图4－13－25　　 图4－13－26　　 返回目录 8. （2024∙连云港）如图4－13－27，直线a∥b，直线l⊥a， ∠1=120°，则∠2= ⁠°． 30 图4－13－27 返回目录 9. （2025∙江西）如图4－13－28，已知点C在AE上，AB∥CD， ∠1=∠2. 求证：AE∥DF． 　图4－13－28 证明：∵AB∥CD， ∴∠ACD=∠1. ∵∠1=∠2， ∴∠ACD=∠2. ∴AE∥DF． 返回目录 10. （广东中考改编）如图4－13－29，已知AC∥FE，∠1＋ ∠2=180°． （1）求证：∠FAB=∠BDC； （1）证明：∵AC∥EF，∴∠1＋∠FAC=180°． ∵∠1＋∠2=180°，∴∠FAC=∠2. ∴FA∥CD． ∴∠FAB=∠BDC． 　图4－13－29 返回目录 （2）若AC平分∠FAD，EF⊥BE于点E，∠FAD=80°，求∠BCD的度数． 　图4－13－29 （2）解：∵AC平分∠FAD，∴∠FAC=∠CAD， ∠FAD=2∠FAC． 由（1）知∠FAC=∠2，∴∠FAD=2∠2， 即∠2= ∠FAD． ∵∠FAD=80°，∴∠2= ×80°=40°． ∵EF⊥BE，AC∥EF， ∴AC⊥BE． ∴∠ACB=90°． ∴∠BCD=90°－∠2=50°． 返回目录 命题预测 （教材改编）在数学课上，老师提出了这样一个问题： 如图4－13－30，点E在AB的延长线上，请从①AB∥CD；② AC∥BD；③∠DBE＋∠C=180°中，选取两个作为题设，第三个 作为结论，组成一个命题，判断其真假，并证明． 小明的做法如下：选取①②作为题设， ③作为结论． 即“如果 AB∥CD，AC∥BD， 那么∠DBE＋∠C=180°” 是一个真命题． 　图4－13－30 返回目录 （1）请你帮助小明写出命题的证明过程，并标注每一步的推 理依据； （1）证明：∵AB∥CD（已知）， ∴∠A＋∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∵AC∥BD（已知）， ∴∠A=∠DBE（两直线平行，同位角相 等）． ∴∠DBE＋∠C=180°（等量代换）． 　图4－13－30 返回目录 （2）请作出与小明不同的选择，组成两个 新的命题，判断其真假，然后证明． （2）解：组成新命题如下． 命题2：如果AB∥CD，∠DBE＋∠C=180°，那么AC∥BD． 命题3：如果AC∥BD，∠DBE＋∠C=180°，那么AB∥CD． 以上两个命题都是真命题，证明如下： 证明命题2：∵AB∥CD，∴∠A＋∠C=180°． ∵∠DBE＋∠C=180°，∴∠A=∠DBE． ∴AC∥BD． 证明命题3：∵AC∥BD，∴∠DBE=∠A． ∵∠DBE＋∠C=180°，∴∠A＋∠C=180°．∴AB∥CD． 　图4－13－30 返回目录 命题解读：根据最新课程标准和近三年广东中考命题动向，预测 2026年广东中考命题方向可能更加注重线、角、相交线与平行线 知识与实际问题的结合，设置更多具有现实背景的情境题，考查 学生运用所学知识解决实际问题的能力．同时要特别注重开放式 题目的考查． 返回目录 谢 谢 ! 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