3.4 函数 第12课时 二 次 函 数-【教与学·广东中考夺冠】2026年中考数学课件PPT

数 学 返回目录 返回目录 第一部分 知识梳理 第三章 函 数 第12课时　二 次 函 数 返回目录 目 录 CONTENTS 01 课前循环练 02 课标解读 03 知识梳理 04 重点突破 05 中考演练 06 命题预测 返回目录 课前循环练 1. （广东真题）已知∠A=70°，则∠A的补角为（　A　） A． 110° B． 70° C． 30° D． 20° A 返回目录 2. （广东真题）如图3－12－1，AB∥CD，∠DEC=100°， ∠C=40°，则∠B的大小是（　B　） A． 30° B． 40° C． 50° D． 60° B 　图3－12－1 返回目录 3. （广东真题）二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的大致图象如 图，与x轴交点为（－1，0）和（2，0），关于该二次函数，下 列说法错误的是（　D　） A． 函数有最小值 B． 对称轴是直线x= C． 当x＜ ，y随x的增大而减小 D． 当－1＜x＜2时，y＞0 D 　图3－12－2 返回目录 4. （广东真题）把抛物线y=2x2＋1向左平移1个单位长度，再向 下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ⁠ ⁠． y=2（x＋1）2 －2或y=2x2＋4x 返回目录 5. （广东真题）如图3－12－3，△ABC三边的中线AD，BE， CF的公共点为G． 若S△ABC=12，则图中阴影部分的面积 是 ⁠． 4 　图3－12－3 返回目录 课标解读 内容 课标要求 二次 函数 ①通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义 ②能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系 ③会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题 ④知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次 函数的图象求一元二次方程的近似解 返回目录 知识梳理 对接教材　人教：九上第二十二章　二次函数 北师：九下第二章　二次函数 返回目录 1. 二次函数的概念 一般地，形如y=ax2＋bx＋c（a，b，c 为常数，a≠0）的函 数，叫做二次函数 返回目录 例1. 下列函数是二次函数的是 ⁠．（填序号） 　　①y=－2x2＋x3－1； 　　②y=2－ x2；③y=52＋2x； 　　④s=（t－1）2；⑤y=x（x＋1）． 　　 ②④⑤ 返回目录 2. 二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与性质 函数 二次函数y=ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0） 对称 轴 直线x=－ 顶点 坐标  　 ⁠ 返回目录 图象 a＞0 a＜0 开口 方向 向上 向下 最值 抛物线有最低 点，当x=－ 时，y最小值= 抛物线有最高点，当x=－ 时，y最大值= 返回目录 增减 性 当x＜－ 时，y随x的增 大而 ⁠ ⁠； 当x＞－ 时，y随x的增 大而 ⁠ 当x＜－ 时，y随x的增大而 ⁠ ⁠； 当x＞－ 时，y随x的增大而 ⁠ 减 小 增大 增 大 减小 返回目录 例2. 已知抛物线y=x2－2x－8. 　　（1）开口方向是 ⁠； 　　（2）对称轴是 ，顶点坐标是 ⁠； 　　（3）与x轴的交点坐标是 ⁠； 　　（4）当x 时，y随x的增大而增大，当x 时， y随x的增大而减小； 　　（5）当x= 时，y有最 值为 ⁠． 向上 直线x=1 （1，－9） （4，0），（－2，0） ＞1 ＜1 1 小 －9 返回目录 3. 抛物线y=a（x－h）2＋k与y=ax2的关系 （1）抛物线y=a（x－h）2＋k与y=ax2的形状相同，位置不 同，y=a（x－h）2＋k是由y=ax2通过平移得到的，平移后的顶 点坐标为 ⁠． （h，k）　 返回目录 （2）y=ax2的图象 y=a（x－h）2的图象 y=a（x－h）2＋k的图象 返回目录 例3. 将抛物线y=3x2向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位 长度，所得到的抛物线解析式为 ⁠．（写成一 般式） y=3x2＋12x＋11　 返回目录 4. 确定二次函数的解析式 （1）若已知抛物线上三个点的坐标，可设解析式为一般 式： ⁠； （2）若已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，可设解析式为顶 点式： ⁠； （3）若已知抛物线与x轴两个交点的横坐标，可设解析式为两点 式： ⁠ y=ax2＋bx＋c（a≠0）　 y=a（x－h）2＋k（a≠0）　 y=a（x－x1）（x－x2）（a≠0）　 返回目录 例4. 在直角坐标系中，点 A，B，C 的坐标分别为（－1，0）， （3，0），（0，3）．求过A，B，C 三点的抛物线的解析式． 　　解：设抛物线的解析式为 y=a（x＋1）（x－3）． 　　将点（0，3）代入上式，得－3a=3. 　　解得a=－1. 　　∴ 抛物线的解析式为 y=－（x＋1）（x－3）=－x2＋2x＋3. 返回目录 5. 二次函数的图象与各项系数之间的关系 代 数 式 作用 字母符 号 图象的特征 a 决定开口 方向 a＞0 开口 ⁠ a＜0 开口 ⁠ 向上　 向下　 返回目录 c 决定抛物线与y轴 的交点坐标（0，c） c＞0 交点在x轴上方 c=0 抛物线经过 ⁠ c＜0 交点在x轴 ⁠ － 决定对称轴的位 置，对称轴是直线x=－ ab＞0 对称轴在y轴左侧 b=0 对称轴是 ⁠ ab＜0 对称轴在y轴 ⁠ 原点　 下方　 y轴　 右侧　 返回目录 b2－ 4ac 决定抛物线与x轴 的交点个数 b2－4ac＞ 0 与x轴有两个交点 b2－4ac=0 与x轴有 ⁠交点 b2－4ac＜ 0 与x轴 ⁠交点 一个 没有　 返回目录 例5. 如图3－12－4，二次函数y=ax2＋bx＋c的图象经过点A（－ 3，0），其对称轴为直线x=－1.有下列结论：①abc＜0；②a＋ b＋c＜0；③2a－b=0；④4ac－b2＞0；⑤若P（－5，y1），Q （m，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，则实数m的取值范围是 －5＜m＜3.其中正确的结论有（　C　） 　　 C 图3－12－4 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 返回目录 6. 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 （1）二次函数与一元二次方程的关系 Δ=b2 －4ac 方程ax2＋bx ＋c=0 的实数根情况 抛物线y=ax2＋bx＋c 与x轴的交点情况 Δ＞0 两个不相等的 实数根 两个交点 返回目录 Δ=0 ⁠ ⁠ ⁠ Δ＜0 ⁠ ⁠ ⁠ 方程ax2＋bx＋c=0的根是抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴的交点的 横坐标 两个相等的 实数根　 一个交点　 没有实数 根　 没有交点　 返回目录 6. （2）二次函数与不等式的关系 ①不等式ax2＋bx＋c＞0的解集⇔抛物线y=ax2＋bx＋c的图象位 于x轴上方对应的点的横坐标的取值范围； ②不等式ax2＋bx＋c＜0的解集⇔抛物线y=ax2＋bx＋c的图象位 于x轴下方对应的点的横坐标的取值范围 返回目录 例6. 二次函数 y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图3－12－5所 示，根据图象解答下列问题： 　　 （1）写出方程ax2＋bx＋c=0 的两个根： ⁠； （2）写出不等式ax2＋bx＋c＞0 的解集： ⁠； x1=1，x2=3 1＜x＜3 　图3－12－5 返回目录 　　（3）写出y 随 x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围： ⁠ ⁠； 　　（4）若方程ax2＋bx＋c=k 有两个不相等的实数根，根据图 象写出 k 的取值范围： ⁠． 　　 x＞ 2 k＜2 　图3－12－5 返回目录 7. 二次函数的应用 运用二次函数解决实际问题，首先要用二次函数表示问题中变量 之间的关系，然后利用二次函数的图象和性质求解，从而获得实 际问题的答案 例7. 某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按 每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品 的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定 为 ⁠元时，才能使每天所获销售利润最大． 11　 返回目录 重点突破 【考点突破】二次函数的应用 得分点分析 1. （2025∙广东）如图3－12－6，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7 km，主塔高0.27 km，主缆可视为抛物线，主缆垂度0.1785 km， 主缆最低处距离桥面0.0015 km，桥面距离海平面约0.09 km．请在 示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式． 图3－12－6 返回目录 解：建立平面直角坐标系，如图3－12－7.1.…………分（建立平面直角坐标系得1分） 图3－12－7 返回目录 则抛物线顶点坐标为（0，0），点A坐标为 ， 即A（0.85，0.178 5）．3分（写出顶点坐标和点A的坐标得2分） 设该抛物线的表达式为y=ax2.4分（设出抛物线表达式得1分） 将A（0.85，0.178 5）代入y=ax2， 得0.178 5=0.852a．5分（代入表达式得1分） 解得a= ．6分（解方程得1分） ∴该抛物线的表达式为y= x2.7分（写出表达式得1分） 返回目录 温馨提示：此类考题常见于广东省中考数学试卷的第18小题，分 值一般为7分，答题时要注意书写格式，分步书写，慢做会求全 对，评卷老师是分步给分的哦! 返回目录 【易错点突破】求二次函数的顶点坐标 2. 阅读下面题目的解答过程，并解答问题： 用配方法求二次函数y=2x2－4x＋4的顶点坐标． 小明的做法如下：y=x2－2x＋2（第一步） =x2－2x＋1＋1（第二步） =（x－1）2＋1. （第三步） ∴这个二次函数的顶点坐标是（1，1）．（第四步） （1）小明的做法从第 ⁠ 步开始出现错误； 一 返回目录 （2）请写出此题正确的解答过程． 解：（2）正确的解答过程如下： y=2x2－4x＋4 =2（x2－2x＋2） =2（x2－2x＋1＋1） =2（x－1）2＋2. ∴这个二次函数的顶点坐标是（1，2）． 返回目录 【生长式突破】知识生长→综合创新 3. （中考创新，原创题）如图3－12－8，已知抛物线y= x2－x－ 4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接BC． 　图3－12－8 返回目录 考点种子：基本概念 （1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ⁠ ，点C的坐标为 ⁠； （－2，0） （4， 0） （0，－4） 返回目录 考点生长：存在性问题 （2）抛物线上是否存在点M，使∠BCM=∠ABC？若存在，求出 点M的坐标；若不存在，请说明理由； 解：存在． 由（1）知B（4，0），C（0，－4），∴OB=OC=4. 又∵∠BOC=90°，∴△BOC是等腰直角三角 形． ∴∠ABC=∠OCB=45°． ∵∠BCM=∠ABC，∴∠BCM=45°． ∴点M只能位于直线BC的下方． 如答图3－12－1，过点C作CM∥x轴， 交抛物线于点M，则∠BCM=∠ABC． ∵CM∥x轴，∴yM=yC=－4. 把y=－4代入y= x2－x－4，得 x2－x－4=－4. 解得x1=2，x2=0（不合题意，舍去）． ∴点M的坐标为（2，－4）． 答图3－12－1 返回目录 （3）在第一象限内的抛物线上是否存在点N，使∠BCN=15°？ 若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由； 解：存在． 如答图3－12－2，设点N为第一象限内的抛物线上 的一点，且∠BCN=15°，CN与x轴交于点D． 由（2）知OC=4，∠OCB=45°，∴∠OCD=∠OCB－∠BCN=30°． 　答图3－12－2 返回目录 在Rt△COD中，OD=OC∙tan∠OCD=4×tan 30°= ． ∴D ． 设直线CD的解析式为y=kx＋b． 把点C（0，－4），D 代入，得 解得 ∴直线CD的解析式为y= x－4. 返回目录 联立 解得 或 （不合题意，舍去）． ∴点N的坐标为（2＋2 ，2＋2 ）． 返回目录 考点成树：综合创新 （4）如图3－12－9，若D是抛物线第二象限上一动点，过点D作 DF⊥x轴于点F，过点A，B，D的圆与DF交于点E，连接BE， AE，求△ABE的面积． 　图3－12－9 返回目录 解：如答图3－12－3，设过点A，B，D的圆的圆心为G，连接 DG，AG． 则点G在线段AB和线段DE的垂直平分线上，DG=AG． 由（1）知A（－2，0），B（4，0）， ∴xG= =1，AB=4－（－2）=6. 设G（1，t），D（m，n）． ∵DG=AG，∴DG2=AG2，即（1－m）2＋ （t－n）2=（－2－1）2＋（0－t）2. 整理，得m2－2m＋n2－2nt－8=0. 　答图3－12－3 返回目录 ∵点D（m，n）在抛物线y= x2－x－4上，∴n= m2－m－4， 即m2－2m=2n＋8. ∴2n＋8＋n2－2nt－8=0， 即2nt=n2＋2n． ∵n＞0，∴2t=n＋2. ∴t= ． ∴G ． ∵点G在线段DE的垂直平分线上， ∴yG= ． ∴yE=2yG－yD=2× －n=2. ∴S△ABE= AB∙yE= ×6×2=6. 　答图3－12－3 返回目录 中考演练 1. （2024∙广东题8）若点（0，y1），（1，y2），（2，y3）都在 二次函数y=x2的图象上，则（　A　） A． y3＞y2＞y1　　 B． y2＞y1＞y3 C． y1＞y3＞y2　　 D． y3＞y1＞y2 A 返回目录 2. （2023∙广东题10）如图3－12－10，抛物线y=ax2＋c经过正方 形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为 （　B　） A． －1 B． －2 C． －3 D． －4 B 　图3－12－10 返回目录 3. （2025∙广东题15）已知二次函数y=－x2＋bx＋c的图象经过点 （c，0），但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是 ⁠ ⁠．（写出一个即可） y=－ x2＋x＋2（答案不唯一） 返回目录 4. （2024∙广东题20）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展 工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远 销欧美． 某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国 外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100 t． 市场调查反 映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50 t． 该果商如何 定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大 值． （题中“元”为人民币） 返回目录 解法一：（求利润）设该果商定价为每吨x万元，每天的利润为 w万元． 由题意，得w=（x－2）［100＋50（5－x）］=－50（x－4.5）2 ＋312.5. ∵－50＜0，∴当x=4.5时，w有最大值，最大值为312.5. 答：该果商定价为每吨4.5万元时，每天的利润最大，最大值为 312.5万元． 返回目录 解法二：（求销售收入）设该果商定价为每吨x万元，每天的销 售收入为w万元． 由题意，得w=x［100＋50（5－x）］=－50（x－3.5）2＋612.5. ∵－50＜0，∴当x=3.5时，w有最大值，最大值为612.5. 答：该果商定价为每吨3.5万元时，每天的销售收入最大，最大值 为612.5万元． 返回目录 1. （2024∙哈尔滨）二次函数y=2（x＋1）2＋3的最小值是 （　D　） A． －1 B． 1 C． 2 D． 3 2. （2024∙包头）将抛物线y=x2＋2x向下平移2个单位长度后，所 得新抛物线的顶点式为（　A　） A． y=（x＋1）2－3 B． y=（x＋1）2－2 C． y=（x－1）2－3 D． y=（x－1）2－2 D A 返回目录 3. （2025∙威海）已知点（－2，y1），（3，y2），（7，y3）都在 二次函数y=－（x－2）2＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系 是（　C　） A． y1＞y2＞y3 B． y1＞y3＞y2 C． y2＞y1＞y3 D． y3＞y2＞y1 C 返回目录 4. （2024∙陕西）关于x的二次函数y=x2－2mx＋m2－1（m＞1） 的图象可能是（　C　） C 返回目录 5. （2025∙安徽）已知二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如 图3－12－11所示，则（　C　） A． abc＜0 B． 2a＋b＜0 C． 2b－c＜0 D． a－b＋c＜0 C 返回目录 6. （2025∙上海）抛物线y=3x2向下平移两个单位所得的抛物线解 析式为 ⁠． 7. （2025∙广州）若抛物线y=x2－6mx＋6m2＋5m＋3的顶点在直 线y=x＋2上，则m的值为 ⁠． 8. （2024∙泰安）如图3－12－12，小明的父亲想用长为60 m的栅 栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形 的菜园．已知房屋外墙长40 m， 则可围成的菜园的最大 面积是 m2. y=3x2－2 1或－ 450 图3－12－12 返回目录 9. （2025∙青海节选）如图3－12－13，在平面直角坐标系中，抛 物线y=ax2＋bx－3（a≠0）与x轴交于A，B两点，点B的坐标 为（1，0），点C（2，5）在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； 解：（1）将B（1，0），C（2，5）代入 y=ax2＋bx－3（a≠0）， 得 解得 ∴抛物线的解析式为y=x2＋2x－3. 　图3－12－13 返回目录 （2）①求点A的坐标； ②当y＜0时，根据图象直接写出x的取值范围 ⁠． 解：（2）①令y=0，则x2＋2x－3=0. 解得x=－3或x=1. ∴点A的坐标为（－3，0）． －3＜x＜1 　图3－12－13 返回目录 10. （2025∙广州节选）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水 线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察 了如图3－12－14所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的 部分记录，请认真阅读，解决问题． 返回目录 发现问题 确定目标 限高架设置 数学抽象 绘制图形 如图3－12－15为隧道横截面示意图，由抛物线的一 部分ACB和矩形ADEB的三边构成． 返回目录 信息收集 资料整理 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压 线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部ACB在竖直 方向的空隙不小于0.3 m． 实地考察 数据采集 隧道的最高点C到地面DE距离为5.4 m，两侧墙面 高AD=BE=3 m，地面跨度DE=10 m．车辆行驶方向 的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1 m． 返回目录 问题解决： （1）在图3－12－15中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线 ACB的解析式； 解：（1）以点C为坐标原点，建立平 面直角坐标系，如答图3－12－4. 设抛物线ACB的解析式为y=ax2（a＜0）． ∵隧道的最高点C到地面DE距离为5.4 m，两侧墙面高AD=BE=3 m，地面 跨度DE=10 m，∴B（5，－2.4）． 把B（5，－2.4）代入y=ax2，得－2.4=25a． ∴a=－ ．∴抛物线ACB的解析式为y=－ x2. 　答图3－12－4 返回目录 （2）限高架上标有警示语“车辆限高h m”（即最大安全限 高），求h的值（精确到0.1 m）． 解：（2）如答图3－12－4，车辆行驶 方向的右侧车道线（宽度忽略不计） 与墙面的距离为1 m，必须保证车辆 顶部与隧道顶部ACB在竖直方向的空 隙不小于0.3 m， ∴10÷2－1=4（m）．∴当x=4时，y= － ×42=－1.536. 则CG=1.536（m）． 　答图3－12－4 返回目录 ∴GH=CH－CG=5.4－1.536=3.864（m）． ∵限高架上标有警示语“车辆限高h m”（即最大安全限高）， ∴h=GH－0.3=3.864－0.3=3.564（m）． ∵涉及安全问题，∴h=3.564≈3.5（m）． 　答图3－12－4 返回目录 命题预测 （2025∙广东改编）某校羽毛球队为了提高运动员成绩，训练中心 配备了一架高度可调的羽毛球发球机器人．如图3－12－16，发球 机器人固定站在地面的点O处，其弹射出口记为点A，所发出的 羽毛球的运动路径呈抛物线状，设飞行过程中羽毛球与发球机器 人之间的水平距离为x（单位：m），羽毛球到地面的高度为y （单位：m），已知当点A的高度为1.25 m时，羽毛球的最高点离 地面的距离为2.25 m，羽毛球在最高点处离发球机器人的水平距 离为2 m（发球机器人的半径忽略不计）． 返回目录 （1）求y关于x的函数解析式； （2）调整弹射出口A的高度可以改变球的落地点．为了训练运动 员的后场能力，需要使羽毛球的落地点到点O的水平距离增加1 m．若此过程中抛物线的形状和对称轴位置都不变，则发球机器 人的弹射出口高度OA应调整为多少米？ 　图3－12－16 返回目录 解：（1）由题可知，抛物线的顶点为（2，2.25），A（0， 1.25）， 设抛物线的解析式为y=a（x－2）2＋2.25. 将点A（0，1.25）代入，得1.25=4a＋2.25. 解得a=－0.25. ∴y关于x的函数解析式为y=－0.25（x－2）2＋2.25. 返回目录 （2）当y=0时，得－0.25（x－2）2＋2.25=0. 解得x1=5，x2=－1（不合题意，舍去）． ∴可设抛物线的解析式为y=－0.25（x－2）2＋k． ∵要使发射出的羽毛球落地点到O点的水平距离增加1 m， ∴当y=0时，得x=5＋1=6. ∴0=－0.25×（6－2）2＋k． 解得k=4. ∴y=－0.25（x－2）2＋4. 当x=0时，y=－0.25×（0－2）2＋4=3. ∴发球机的弹射口高度OA应调整为3 m． 返回目录 命题解读：根据最新课程标准和近三年广东中考命题动向，预测 2026年广东中考命题方向可能更加注重二次函数与实际问题的紧 密结合，设置更多实际情境问题，如经济、科技、生活等领域的 应用．同时，可能会加强与其他数学知识的综合考查，如与一次 函数、方程、不等式、几何图形等相结合，要求学生具备较强的 分析和解决问题的能力． 返回目录 谢 谢 ! 返回目录 $