3.3 函数 第11课时 反比例函数-【教与学·广东中考夺冠】2026年中考数学课件PPT

数 学 返回目录 返回目录 第一部分 知识梳理 第三章 函 数 第11课时　反比例函数 返回目录 目 录 CONTENTS 01 课前循环练 02 课标解读 03 知识梳理 04 重点突破 05 中考演练 06 命题预测 返回目录 课前循环练 1. （广东真题）把x3－9x分解因式，结果正确的是（　D　） A． x（x2－9） B． x（x－3）2 C． x（x＋3）2 D． x（x＋3）（x－3） 2. （广东真题）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周 长为（　A　） A． 17 B． 15 C． 13 D． 13或17 D A 返回目录 3. （广东真题）如图3－11－1，▱ABCD中，下列说法一定正确 的是（　C　） A． AC=BD B． AC⊥BD C． AB=CD D． AB=BC 图3－11－1　　　 C 返回目录 4. （广东真题）若两个相似三角形的周长比为2 ∶3，则它们的面积 比是 ⁠． 5. （广东真题）如图3－11－2，菱形ABCD的边长为6， ∠ABC=60°，则对角线AC的长是 ⁠． 4 ∶9 6 图3－11－2 返回目录 课标解读 内容 课标要求 反比例函 数 ①结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知 条件确定反比例函数表达式 ②能画出反比例函数的图象，根据图象和表达式y= （k≠0）探索并理解k＞0或k＜0时图象的变化情况 ③能用反比例函数解决简单实际问题 返回目录 知识梳理 对接教材　人教：九下第二十六章　反比例函数　　北师：九 上第六章　反比例函数 返回目录 1. 反比例函数 一般地，如果两个变量x，y 之间的对应关系可以表示成 ⁠ （k 为常数，k≠0）的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数． 其中反 比例函数的自变量 x 的取值范围是 ⁠的实数 y= 不为 0 返回目录 例1. 下列式子中，表示y是x的反比例函数的有 ⁠．（填 序号） 　　①y= ；②y=－ ； ③xy=21； 　　④y= ；⑤y= ；⑥y= ； 　　⑦y=x－4. ②③⑤ 返回目录 2. 反比例函数的图象与性质 k的 符号 k＞0 k＜0 图象 所在象限 第① ⁠象限 第② ⁠象限 性质 在每一象限内，y随x的 增大而③ ⁠ 在每一象限内，y随x的增大而 ④ ⁠ 一、三 二、四 减小 增大 返回目录 　 反比例函数y= （k 为常数，k≠0）的图象是 ⁠，它 有两个分支且关于 ⁠对称 双曲线 原点 返回目录 例2. 下列关于反比例函数y=－ 的结论正确的是（　B　） A． 图象过点（2，3） B． 图象在第二、四象限内 C． 在每个象限内，y随x的增大而减小 D． 当x＞－1时，y＞6 B 返回目录 3. 反比例函数解析式的确定 求反比例函数的解析式跟求一次函数的解析式一样，也是用待定 系数法 例3. 已知反比例函数的图象经过点（2，4），那么这个反比例函 数的表达式是 ⁠． y= 　 返回目录 4. 反比例函数比例系数k的几何意义 如图3－11－3，从双曲线 y= （k≠0）上任意一点P向两坐标轴 作垂线段，两垂线段与坐标轴围成的矩形PEOF的面积为 　 ⁠ 图3－11－3 返回目录 例4. 如图3－11－4，在平面直角坐标系中，点 P 是反比例函数 y= （x＞0）的图象上的一点，分别过点 P作 PA⊥x 轴于点 A， PB⊥y 轴于点 B． 若四边形 OAPB 的面积为 4，则 k的值为 （　B　） 　　 　图3－11－4 B A． 2 B． ±2 C． 4 D． －4 返回目录 5. 反比例函数的应用 利用反比例函数解决实际问题，要做到：①能把实际的问题转化 为数学问题，建立反比例函数的数学模型；②注意在自变量和函 数值的取值上的实际意义；③问题中出现的不等关系转化成相等 的关系来解，然后在作答中说明 返回目录 例5.（跨学科融合）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时， 电流I（A）与电阻R（Ω）是反比例函数关系，它的图象如图3－ 11－5所示．下列说法正确的是（　C　） 　　 　图3－11－5 C A． 函数解析式为I= B． 蓄电池的电压是18 V C． 当I≤10 A时，R≥3.6 Ω D． 当R=6 Ω时，I=4 A 返回目录 重点突破 【考点突破】反比例函数的综合运用 得分点分析 1. （2024∙广东改编）【问题背景】 如图3－11－6①，在平面直角坐标系中，点A，D的坐标分别是 （6，0），（0，2），以AD为边向外作矩形ABCD，对角线 BD∥x轴，反比例函数y= （k＞0）的图象经过矩形对角线的交 点E． 【构建联系】 （1）求BD的长； 图3－11－6　　 返回目录 （2）如图3－11－6②，点D的坐标（0，2）保持不变，点A向 右移动，当点C刚好在反比例函数图象上时，求点A的坐标及k 的值． 图3－11－6　　 返回目录 解：（1）如图3－11－7①，过点B作BF⊥x轴于点F，则 ∠BFA=∠AOD=90°． ∵A（6，0），D（0，2），BD∥x轴， ∴AO=6，DO=BF=2，OF=BD． .…………1分（写出AO，DO的长得1分） ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=90°． ∴∠DAO＋∠BAF=90°． 又∵∠DAO＋∠ADO=90°， ∴∠ADO=∠BAF． .…………2分（证明 ∠ADO=∠BAF得1分） 图3－11－7 返回目录 ∴△ADO∽△BAF． .…………3分（证明相似得1分） ∴ = ，即 = ． 解得AF= ．.…………5分（利用相似求出AF得2分） ∴BD=OF=AO＋AF=6＋ = ．.…………6分（求出BD得1分） （2）∵BD∥x轴，∴yE=yB=yD=2. ∵E是矩形ABCD对角线的交点，∴E是AC，BD的中点． ∵yA=0，yE=2，∴yC=4. .…………7分（求出yC得1分） 返回目录 设C（n，4），B（m，2），则E ．.………… 8分（表示点E的坐标得1分） ∵点C，E在反比例函数y= 的图象上， ∴k=n×4= ×2，即m=4n．.………… 9分（求出m，n的关系得1分） ∴E（2n，2），B（4n，2）． ∵xC=n，xE=2n，∴xA=3n． ∴A（3n，0）， 即AO=3n．.………… 10分 （表示点A的坐标得1分） 如图3－11－7②，过点B作BG⊥x轴于点G， 图3－11－7 返回目录 则BG=2，AG=4n－3n=n． 同（1）可得△ADO∽△BAG． ∴ = ，即 = ． 解得n= （负值已舍去）．.………… 11分（利用相似求出n的值得1 分） ∴点A的坐标为（2 ，0）， k=n×4= ．.………… 13分（计算结 果得2分） 图3－11－7 返回目录 温馨提示：此类考题常见于广东省中考数学试卷的第22或23题， 分值一般为13或14分，答题时要注意书写格式，分步书写，慢做 会求全对，评卷老师是分步给分的哦! 返回目录 【易错点突破】忽略反比例函数的性质导致成立的条件出错 2. 在函数y= （m为常数）的图象上有三点（3，y1）， （1，y2），（－2，y3），求y1，y2，y3的大小关系．小源同学解 答过程如下： 解：∵m2＋1＞0，且3＞1＞－2， ∴根据反比例函数的性质知，函数值y随着x的增大而减小． ∴y3＞y2＞y1． 请判断小源同学的解答过程是否正确．若不正确，请说明原因并 写出正确的解答过程． 返回目录 解：小源同学的解答不正确． 理由：反比例函数的性质是当反比例函数的图象在第一、三象限 时，在每个象限内，y随x的增大而减小，题中所给的三个点不在 同一个象限内． 返回目录 正确解答过程为： ∵m2＋1＞0，∴反比例函数的图象在第一、三象限． ∴在第一象限内的点的函数值大于在第三象限内的函数值． ∴y3最小． ∵当反比例函数的图象在第一、三象限时，在每个象限内，y随x 的增大而减小，3＞1， ∴y1＜y2. ∴y3＜y1＜y2. 返回目录 【生长式突破】知识生长→综合创新 3. （中考创新，原创题）如图3－11－8，点P为反比例函数y= （x＞0）图象上的一点，点Q为反比例函数y= （x＜0）图象上 的一点，连接OP，OQ，PQ，过点P作PA⊥x轴于点A． 　图3－11－8 返回目录 考点种子：基本概念 （1）若点Q的坐标为（－1，2），则k= ⁠， S△AOP= ⁠； －2 2 返回目录 （2）若OP⊥OQ，且 = ，求k的值； 解：如答图3－11－1，过点Q作QB⊥x轴于 点B，则∠QBO=∠OAP=90°． ∵点Q在反比例函数y= （x＜0）的图象上，∴S△BQO= ． ∵OP⊥OQ，∴∠POQ=90°． ∴∠QOB＋∠POA=90°． 又∵∠POA＋∠OPA=90°，∴∠QOB=∠OPA． 考点生长：k的几何意义 　答图3－11－1 返回目录 ∴△BQO∽△AOP． ∴ =2=2= ． 由（1）知S△AOP=2，∴S△BQO= S△AOP= ． ∴ = ． 解得k=±1. ∵反比例函数y= （x＜0）图象位于 第二象限，∴k＜0. ∴k的值为－1. 　答图3－11－1 返回目录 考点成树：综合创新 （3）如图3－11－9，在（2）的条件下，把反比例函数y= （x＜ 0）的图象沿y轴折叠，使它落到第一象限． 过点P分别作x轴和 y轴的平行线，交折叠后的函数图象于点M，N，直线MN与y 轴、x轴分别交于点E，F． 当点P在 函数y= （x＞0）的图象上 运动时，△PMN的面积是否发生变化？ 请说明理由． 　图3－11－9 返回目录 解：△PMN的面积不发生变化． 理由：由题意，得折叠后的函数的解析式为y= （x＞0）． 设P ，则M ，N ． ∴PM=t－ = t，PN= － = ． ∴△PMN的面积为 PM∙PN= × t× = ． ∴△PMN的面积为定值，面积不发生变化． 返回目录 中考演练 1. （2022∙广东题9）点（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4， y4）在反比例函数y= 图象上，则y1，y2，y3，y4中最小的是 （　D　） A． y1 B． y2 C． y3 D． y4 2. （2023∙广东题13）某蓄电池的电压为48 V，使用此蓄电池时， 电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的函数表达式为 I= ．当R=12 Ω时，I的值为 A． （2022∙广东题9） D （2023∙广东题13） 4 返回目录 3. （2019∙广东题23节选）如图3－11－10，一次函数y=k1x＋b的 图象与反比例函数y= 的图象相交于A，B两点，其中点A的坐 标为（－1，4），点B的坐标为（4，n）． （2019∙广东题23节选） 　图3－11－10 返回目录 　图3－11－10 （1）根据图象，直接写出满足k1x＋b＞ 的x的取值范围； 解：（1）由图象可知，k1x＋b＞ 的x的取值 范围是x＜－1或0＜x＜4. 返回目录 （2）求这两个函数的表达式． 解：（2）∵反比例函数y= 的图象经过点A （－1，4），B（4，n）， ∴k2=－1×4=－4，k2=4n． ∴n=－1. ∴B（4， －1）． ∵一次函数y=k1x＋b的图象经过点A（－1， 4），B（4，－1），∴ 解得 ∴一次函数的解析式为y=－x＋3，反比例函数的解析式为y=－ ． 　图3－11－10 返回目录 4. （2024∙广东题23节选）【问题背景】 如图3－11－11，在平面直角坐标系中，点B，D是直线y=ax（a ＞0）上第一象限内的两个动点（OD＞OB），以线段BD为对角 线作矩形ABCD，AD∥x轴． 反比例函数y= 的图象经过点A． 【构建联系】（1）求证：函数y= 的图象必经过点C； 　图3－11－11 返回目录 证明：∵点B，D在直线y=ax上， ∴设点B，D的坐标分别为（x1，ax1），（x2，ax2）． ∵四边形ABCD是矩形，且AD∥x轴，∴BC∥AD∥x轴，AB∥CD∥y 轴． ∴点A，C的坐标分别为（x1，ax2），（x2，ax1）． ∵点A在反比例函数y= 的图象上， ∴k=ax1x2. ∴反比例函数的解析式为y= ． 当x=x2时，y= =ax1，∴函数y= 的图象必经过点C． 返回目录 （2）如图3－11－12，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为 E． 当点E落在y轴上，且点B的坐标为（1，2）时，求k的值． 　图3－11－12 返回目录 解：如答图3－11－2，延长DA交y轴于点F，延长CB交y轴于 点G． ∵点B（1，2）在直线y=ax上，∴a=2. ∴直线BD的解析式为 y=2x． ∵点D在直线y=2x上， ∴设点D（2t，4t）（t＞0），则点C （2t，2）． ∴DF=2t，BC=2t－1，CD=4t－2. 由折叠的性质，得BE=BC=2t－1， ED=CD=4t－2， ∠DEB=∠DCB=90°． ∴∠DEF＋∠BEG=90°． 　答图3－11－2 返回目录 ∵BC∥AD∥x轴，∴DF⊥y轴，BG⊥y轴． ∴∠DFE=∠EGB=90°． ∴∠EBG＋∠BEG=90°． ∴∠DEF=∠EBG． ∴△DEF∽△EBG． ∴ = = ，即 = = =2. 解得EG=t，EF=2. ∵∠DFE=∠EGB=∠DCB=90°， ∴四边形CDFG是矩形． ∴FG=CD． ∴EF＋EG=CD，即2＋t=4t－2. 解得t= ． ∴点C的坐标为 ． ∵点C在反比例函数y= 的图象上， ∴k= ×2= ． 　答图3－11－2 返回目录 1. （2025∙重庆）反比例函数y=－ 的图象一定经过的点是 （　D　） A． （2，6） B． （－4，－3） C． （－3，－4） D． （6，－2） 2. （2025∙兰州）若点A（2，y1）与B（－2，y2）在反比例函数 y= 的图象上，则y1与y2的大小关系是（　C　） A． y1＜y2 B． y1≤y2 C． y1＞y2 D． y1≥y2 D C 返回目录 3. （2025∙湖南）对于反比例函数y= ，下列结论正确的是 （　D　） A． 点（2，2）在该函数的图象上 B． 该函数的图象分别位于第二、第四象限 C． 当x＜0时，y随x的增大而增大 D． 当x＞0时，y随x的增大而减小 D 返回目录 4. （2025∙连云港）如图3－11－13，正比例函数y1=k1x（k1＜0） 的图象与反比例函数y2= （k2＜0）的图象交于A，B两点，点A 的横坐标为－1. 当y1＜y2时，x的取值范围是（　C　） A． x＜－1或x＞1 B． x＜－1或0＜x＜1 C． －1＜x＜0或x＞1 D． －1＜x＜0或0＜x＜1 C 　图3－11－13 返回目录 5. （2024∙大庆）在同一平面直角坐标系中，函数y=kx－k （k≠0）与y= 的大致图象为（　C　） C 返回目录 6. （2025∙辽宁）在电压不变的情况下，电流I（单位：A）与电 阻R（单位：Ω）是反比例函数关系．当R=4时，I=5. 则电流I与 电阻R之间的函数表达式为I= 　 　． 返回目录 7. （2025∙武汉）在平面直角坐标系中，某反比例函数y= 的图象 分别位于第一、第三象限．写出一个满足条件的k的值是 ⁠ ⁠． 8. （2025∙深圳）如图3－11－14，同一平面直角坐标系下的正比 例函数y=ax与反比例函数y= 相交于点 A和点B． 若A的横坐 标为1，则B的坐标为 ⁠． 1（答 案不唯一） （－1，－1） 　图3－11－14 返回目录 9. （2025∙苏州）如图3－11－15，一次函数y=2x＋4的图象与x 轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y= （k≠0，x＞ 0）的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数y= （k≠0，x＞0）的图象交于点D． 连接CD． 　图3－11－15 返回目录 （1）求A，B两点的坐标； 解：（1）在y=2x＋4中，令y=0，得2x＋4=0. 解 得x=－2. ∴点A的坐标为（－2，0）． 令x=0，得y=4. ∴点B的坐标为（0，4）． 返回目录 （2）若△BCD是以BD为底边的等腰三角形，求k的值． 解：（2）如答图3－11－3，过点C作CE⊥BD，垂 足为E． ∵△BCD是以BD为底边的等腰三角形， ∴CB=CD． ∵CE⊥BD，∴BE=DE． 在y= 中，令y=4，得 x= ． ∴D ． ∴BE=DE= ． 　答图3－11－3 返回目录 在y= 中，令x= ，得y=8. ∴C ． ∵点C在一次函数y=2x＋4的图象上， ∴8=2× ＋4. 解得k=16. ∴k的值为16. 　答图3－11－3 返回目录 10. （2025∙贵州）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔 槔（gāo）的古代汲水工具（如图3－11－16①），有一横杆固定 于桔槔上点O，并可绕点O转动．在横杆A处连接一竹竿，在横 杆B处固定300 N的物体，且OB=1 m．若图中人物竖直向下施加 的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状 态，小星发现F与l有一定的关系，记录了拉力的大小F与l的变 化，如表： 点A与点O的距离l/m 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小F/N 300 200 150 120 a 返回目录 （1）表格中a的值是 ⁠； （2）小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画F与l之间的 关系．在如图3－11－16②所示的平面直角坐标系中，描出表中对 应的点，并画出这个函数的图象； 解：（2）画出F与l的函数图象如答 图3－11－4. 100 　答图3－11－4 返回目录 （3）根据以上数据和图象判断，当OA的长增大时，拉力F是增 大还是减小？请说明理由． 解：（3）当OA的长增大时，拉力F是减小． 理由如下： ∵F，l都是正数，Fl=300， ∴这条曲线是反比例函数的一支， 其函数表达式为 F= （l＞0）． ∵300＞0， ∴在第一象限内，F随l的增大而减小， 即当OA的长增大时，拉力F是减小． 返回目录 命题预测 （2025∙广东题23改编）把一条线段分割为两部分，较长部分与全 长的比值等于较短部分与较长部分的比值．这个比例被公认为是 最能引起美感的比例，被称为黄金分割；其比值是 ，称之 为“黄金比”．如图3－11－17，点A，C是反比例函数y= （k ＞0）在第一象限内图象上的任意点，AB⊥x轴于点B，连接 BC． 返回目录 （1）若k=1，OB=a＋1，AB=a，试求a的值； （1）解：∵AB⊥x轴于点B， ∴OB∙AB=k=1.∴（a＋1）a=1. 解得a= （负值舍去）． 　图3－11－17 返回目录 （2）若BC∥OA，求证： 的值是“黄金比”． （2）证明：如答图3－11－5，过点C作CH⊥x 轴于点H． ∵A，C是反比例函数y= （k＞0）在第一象限内图象上的任意 点，AB⊥x轴于点B， ∴设点A ，C ． ∴AB= ，OB=m，OH=n，CH= ．∴BH=n－m． ∵OA∥BC，∴∠AOB=∠CBH． 　答图3－11－5 返回目录 ∵∠ABO=∠CHB=90°，∴△AOB∽△CBH． ∴ = = ．∴ = ． ∴m2=n2－mn．∴m= n（负值舍去）． ∴ = = = = = ． ∴ 的值是“黄金比”． 　答图3－11－5 返回目录 命题解读：根据最新课程标准和近三年广东中考命题动向，预测 2026年广东中考命题方向可能更加注重反比例函数与实际问题的 紧密结合，设置更多实际情境问题，如物理、经济等领域的应 用．同时，可能会加强与其他函数、几何图形的综合考查，反刷 题、反套路，要求学生具备较强的分析和解决问题的能力． 返回目录 谢 谢 ! 返回目录 $