2.3 方程(组)与不等式(组) 第7课时 一元二次方程及其应用-【教与学·广东中考夺冠】2026年中考数学课件PPT

数 学 返回目录 返回目录 第一部分 知识梳理 第二章 方程（组）与不等式（组） 第7课时　 一元二次方程及其应用 返回目录 目 录 CONTENTS 01 课前循环练 02 课标解读 03 知识梳理 04 重点突破 05 中考演练 06 命题预测 返回目录 课前循环练 1. （广东真题）下列图形中有稳定性的是（　A　） A． 三角形 B． 平行四边形 C． 长方形 D． 正方形 A 返回目录 2. （广东真题）如图2－7－1，直线a∥b，∠1=40°，则∠2= （　B　） A． 30° B． 40° C． 50° D． 60° 图2－7－1　　　　　 B 返回目录 3. （广东真题）关于x的一元二次方程x2－3x＋m=0有两个不相 等的实数根，则实数m的取值范围为（　B　） A． m＞ B． m＜ C． m= D． m＜－ B 返回目录 图2－7－2 4. （广东真题）不等式3x－9＞0的解集是 ⁠． 5. （广东真题）如图2－7－2，AB与⊙O相切于点B，AO的延长 线交⊙O于点C，连接BC，若∠A=40°，则∠C= ⁠． x＞3 25° 返回目录 课标解读 内容 课标要求 一元二次 方程 ①能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解的意义，经历估计方程解的过程 ②理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解 数字系数的一元二次方程 根的判别 式及根与系数的关系 ①会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等 ②了解一元二次方程的根与系数的关系 返回目录 知识梳理 对接教材　人教：八下第二十七章　一元二次方程 北师：九上第二章　一元二次方程 返回目录 1. 一元二次方程 （1）等号两边都是 ，只含有 ⁠个未知数，并且未知 数的最高次数是 ⁠的方程，叫做一元二次方程． （2）一般形式：ax2＋bx＋c=0（a，b，c为常数，a≠0） 整式 一 2 返回目录 例1. 下列方程中，是一元二次方程的有 ⁠．（填序号） 　　①x2＋2x－ =0；②x =x2＋1； 　　③x2=x；④（k－1）x2－kx＋1=0（k 为常数）． 　　 ③ 返回目录 2. 用直接开平方法解一元二次方程 形如（x＋m）2=n（n≥0）的方程，两边开平方转化为两个一元 一次方程求解 例2. 填空（直接开平方法）： 　　（1）方程x2=49 的根是 ⁠； 　　（2）方程2x2=6 的根是 ⁠； 　　（3）方程（x－1）2=2 的根是 ⁠． x1=7，x2=－7　 x1= ，x2=－ x1=1＋ ，x2=1－ 　 返回目录 3. 用配方法解一元二次方程 把一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）通过配方化成（x＋m） 2=n（n≥0）的形式，再直接开平方 返回目录 例3. 用配方法解方程：2x2－5x－3=0. 　　解：方程两边同除以2，得 ⁠． 　　移项，得 ⁠． 　　配方，得 ⁠． 　　两边开平方，得 ⁠． 　　∴x1= ，x2= ⁠． x2－ x－ =0 x2－ x= 2= x－ =± 3 － 返回目录 4. 用公式法解一元二次方程 当一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）满足b2－4ac≥0时，可 利用求根公式x=  　 　 求解 返回目录 例4. 用公式法解方程：2x2－2x－3=0. 　　解：a=2，b=－2，c=－3，b2－4ac= ⁠． 　　∴x= = 　 　． 　　∴x1= 　 　，x2= 　 　． 28 返回目录 5. 用因式分解法解一元二次方程 当一元二次方程的一边为0，而另一边易分解成两个一次因式的乘 积时，即可化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次 式分别等于0，得到两个一元一次方程，解之即可 返回目录 例5. 用因式分解法解方程： =－6. 　　解：化简方程，得 ⁠． 　　因式分解，得 ⁠=0. 　　∴ =0或 ⁠=0. 　　∴x1= ，x2= ⁠． x2－x=0 x（x－1） x x－1 0 1 返回目录 6. 一元二次方程根的判别式 叫做一元二次方程 ax2＋bx＋c=0（a≠0）根的判别 式，通常用希腊字母“Δ”表示它． 判别式的符号决定了方程根 的情况，具体如下： Δ＞0⇔ 方程有两个 ⁠的实数根； Δ=0⇔ 方程有两个 ⁠的实数根； Δ＜0⇔ 方程 ⁠实数根 b2－4ac　 不相等 相等 没有 返回目录 例6. 已知关于x的方程x2－4x＋k=0. 　　（1）当k ⁠时，方程有实数根； 　　（2）当k ⁠时，方程有两个相等的实数根； 　　（3）当k ⁠时，方程没有实数根． ≤4 =4 ＞4 返回目录 7. 一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）有两个实数根x1，x2，则 x1＋x2= 　－ 　， x1x2= 　 ⁠ － 　 返回目录 例7. 已知 α，β 是方程 x2＋2x－5=0 的两根，则 　　（1）α＋β= ⁠； 　　（2）αβ= ⁠． －2 －5 返回目录 8. 一元二次方程的应用 （1）变化率问题 ①设a为基础量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的 量，则b=a（1＋m）n； ②设a为基础量，p为平均下降率，q为下降次数，c为下降后的 量，则c= ⁠． a（1－p）q 返回目录 （2）传播问题 设a为传播源数，m为每个传播源每轮传播的数量，n为传播的轮 次，b为传播后的总数量． 分析如下： a a＋am a＋am＋m（a＋ am）=a（1＋m）2 总结：b= ⁠． （3）互赠、握手、循环赛制问题 ①若x人互赠礼物，则一共赠送x（x－1）件； a（1＋m）n 返回目录 ②若x人两两握手，则一共握手 ⁠次； x（x－1） a场比赛 （4）营销问题 ①总利润=单利润×销售量=（售价－进价）×销售量； x(x-1) 　 x(x-1) 　 x队进行 ③ 返回目录 ② 返回目录 （5）面积问题 注：图形经过移动，它的面积大小不会改变． 设图①、图②、图③中大矩形的长为a，宽为b，阴影部分的宽 为x；图④是由一面墙和篱笆围成，设篱笆总长度为m，平行于 墙的一边长为y． 　　　 　 　 　　 　　　 　　　　 返回目录 ①S空白= ⁠ ②S空白= ⁠ ③S空白= ⁠ ④S空白= ⁠ （a－2x）（b－2x）　 （a－x）（b－x）　 （a－x）（b－x） ∙y 返回目录 （6）动点问题： ①一般设运动时间为t，表示出动点运动的距离； ②通过几何性质表示出其他所需的线段； ③根据面积、勾股定理等数量关系建立方程； ④通过解方程找出动点的位置或其他相关信息 返回目录 例8. （1）某厂今年一月份的总产量为500 t，三月份的总产量为 720 t，平均每月增长率是x，则可列方程为（　D　） A． 500（1＋2x）=720 B． 720（1＋x）2=500 C． 500（1＋x2）=720 D． 500（1＋x）2=720 D 返回目录 　　（2）有一人患流感，经过两轮传染后共有121人患了流感， 求每轮传染中平均一个人传染了几个人．如果设每轮传染中平均 一个人传染了x个人，那么依题意可得方程为（　B　） A． 1＋x＋x2=121 B． 1＋x＋x（1＋x）=121 C． x2=121 D． 1＋2x=121 B 返回目录 　　（3）学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间只进行一 场比赛），共进行了28场比赛．设参加这次比赛的队有x个，则 可列方程为（　A　） A． x（x－1）=28 B． x（x－1）=28 C． x（x＋1）=28 D． x（x＋1）=28 A 返回目录 　　（4）某商场销售一款毛衣，平均每天可售出30件，每件获利 28元． 受气温影响，商场决定适当降价出售． 据调查，毛衣单价 每降低1元，每天可多售出3件． 要使每天获利1 080元，每件应降 价多少元？设每件降价x元，则可列方程为 ⁠ ⁠． 　　 （28－x）（30＋ 3x）=1 080　　　 返回目录 　　（5）如图2－7－3，在长为30 m，宽为20 m的长方形田地中 开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为468 m2， 求道路的宽度．设道路的宽度为x m，则可列方程为 ⁠ ⁠． （30－ 2x）（20－x）=468 返回目录 　　（6）如图2－7－4，在△ABC中，∠B=90°，AB=6 cm， BC=3 cm，点P以1 cm/s的速度从点A开始沿边AB向点B移动， 点Q以2 cm/s的速度从点B开始沿边BC向点C移动，当点Q移动 至点C后停止，点P也随之停止移动．如果点P，Q分别从点A， B同时出发，那么 　 　s后， P，Q两点之间的距离等于4 cm． 　　 返回目录 重点突破 【考点突破】运用公式法解一元二次方程 得分点分析 1. （人教九上P12练习）用公式法解方程：x2－ x－ =0. 解：∵a=1，b=－ ，c=－ ，1分（写出a，b，c的值得1分） ∴Δ=b2－4ac=（－ ）2－4×1× =3＋1=4＞0.3分（求出Δ的值得2分） ∴x= = = ．6分（代入求根公式计算得3分） ∴x1= ＋1，x2= －1. 7分（写出结果得1分） 返回目录 温馨提示：此类考题可能见于广东省中考数学试卷的第17题，分 值一般为7分，答题时要注意书写格式，分步书写，慢做会求全 对，评卷老师是分步给分的哦! 返回目录 【考点突破】一元二次方程的应用 2. （教材改编）电子犬是应用于海关领域的智能机器人，通过融 合人工智能与多种探测技术，可执行爆炸物线索收集及低温、核 辐射监测等查验检测任务，同时具备税率查询、多语种翻译等交 互功能，深受大众喜爱．某玩具厂家制作了一款“电子犬”智能 玩具． （1）某玩具批发店2025年6月份销售这种“电子犬”智能玩具500 只，到2025年8月份的销售量是720只，若月平均增长率相同，求 月平均增长率； 返回目录 解：（1）设月平均增长率为x． 根据题意，得500（1＋x）2=720. 解得x1=0.2=20%，x2=－2.2（不符合题意，舍去）． 答：月平均增长率是20%． 答：售价应降低20元． 返回目录 （2）某实体店以每只60元购进一批“电子犬”智能玩具，若售价 定为每只100元，则每天能销售20只，经市场调查发现，售价每降 价1元，每天可多售出2只，为了推广宣传，实体店决定降价促 销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1 200元，则售价应 降低多少元？ 解：（2）设售价应降低y元． 根据题意，得（100－y－60）（20＋2y）=1 200. 整理，得y2－30y＋200=0.解得y1=10，y2=20. 又∵要尽量减少库存，∴y=20. 返回目录 温馨提示：此类考题可能见于广东省中考数学试卷的第20题小 题，分值一般为9分，答题时要注意书写格式，分步书写，慢做会 求全对，评卷老师是分步给分的哦! 返回目录 【易错点突破】配方过程出现错误 3. 小明在学习了配方法解一元二次方程后，用配方法解方程2x2－ 8x＋3=0的过程如下： 第一步：2x2－8x=－3. 第二步：x2－4x=－3. 第三步：x2－4x＋4=－3＋4. 第四步：（x－2）2=1. 第五步：x－2=±1. 第六步：x1=3，x2=1. （1）上述解方程的过程中，小明从第 ⁠ 步开始出现错误， 这一步的依据是 ⁠； （2）上述解方程的过程中，第 ⁠步属于配方； 二 等式的性质 三 返回目录 （3）请你正确用配方法解方程2x2－8x＋3=0. 解：（3）移项，得2x2－8x=－3. 两边同时除以2，得x2－4x=－ ． 配方，得x2－4x＋4=－ ＋4，即（x－2）2= ． 由此可得x－2=± ． 解得x1=2＋ ，x2=2－ ． 返回目录 【生长式突破】知识生长→综合创新 4. （中考创新，原创题）已知a，b是关于x的一元二次方程x2－ 18x＋3m=0（m＞0）的两个实数根． 考点种子：基本概念 （1）m的取值范围是 ⁠； 0＜m≤27 返回目录 考点生长：根与系数的关系求值 （2）若m=2，求：①a＋ab＋b；② ＋ ； 解：当m=2时，原方程可化为x2－18x＋6=0. ∴a＋b=18，ab=6. ①a＋ab＋b=a＋b＋ab=18＋6=24. ② ＋ = = = =52. 返回目录 考点成树：综合创新 （3）为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园 ABCD（如图2－7－5），生态园一面靠墙（墙长9 m），另外三 面用篱笆围成． 已知当AD的长为a m，CD的长为b m时，生态 园的面积为80 m2，求此时AD的长． 　图2－7－5 返回目录 解：由题意，得a＋b=18. ∴b=18－a． ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC=AD=a m，AB=CD=（18－a） m． ∵生态园的面积为80 m2， ∴a（18－a）=80. 解得a1=8，a2=10. 当a=8时，AB=18－a=10＞9，不合题意，舍去； 当a=10时，AB=18－a=8＜9，符合题意． 答：此时AD的长为10 m． 　图2－7－5 返回目录 中考演练 1. （2025∙广东题7）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技 术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达 到2 500万元，预计7月产值将增至9 100万元．设该公司6，7两个 月产值的月均增长率为x，可列出的方程为（　A　） A． 2 500（1＋x）2=9 100 B． 2 500（1－x）2=9 100 C． 2 500（1－2x）2=9 100 D． 2 500（1＋2x）2=9 100 （2025∙广东题7） A 返回目录 2. （2024∙广东题13）若关于x的一元二次方程x2＋2x＋c=0有两 个相等的实数根，则c= ⁠． 3. （2022∙广东题14）若x=1是方程x2－2x＋a=0的根，则 a= ⁠． 4. （2025∙广东题13）不解方程，判断一元二次方程2x2＋x－1=0 的根的情况是 ⁠． （2024∙广东题13） 1 （2022∙广东题14） 1 （2025∙广东题13） 方程有两个不相等的实数根 返回目录 1. （2024∙贵州）一元二次方程x2－2x=0的解是（　B　） A． x1=3，x2=1 B． x1=2，x2=0 C． x1=3，x2=－2 D． x1=－2，x2=－1 2. （2025∙广西）已知x1，x2是方程x2－20x－25=0的两个实数 根，则x1＋x2=（　C　） A． －25 B． －20 C． 20 D． 25 3. （2025∙德阳）若关于x的一元二次方程－2x2＋4x＋k=0有两个 相等的实数根，则k的值是（　C　） A． 2 B． 0 C． －2 D． －4 B C C 返回目录 4. （2025∙新疆）若关于x的一元二次方程x2－2x＋a=0无实数 根，则实数a的取值范围是（　B　） A． a＜1 B． a＞1 C． a≤1 D． a≥1 B 返回目录 5. （2025∙黑龙江）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新 能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车 的月销售量由一月份的8 000辆增加到三月份的12 000辆，设该汽 车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为 （　B　） A． 8 000（1＋2x）=1 200 B． 8 000（1＋x）2=12 000 C． 8 000＋8 000（1＋x）＋8 000（1＋x）2=12 000 D． 8 000×2（1＋x）=12 000 B 返回目录 6. （2025∙贵州）一元二次方程x2－1=0的根是 ⁠． 7. （2025∙青海）若x=1是一元二次方程x2－4x＋c=0的一个根， 则c的值为 ⁠． 8. （2025∙眉山）已知方程x2－2x－5=0的两根分别为x1，x2，则 （x1＋1）（x2＋1）的值为 ⁠． 9. （2024∙齐齐哈尔）解方程：x2－5x＋6=0. x=±1 3 －2 解：∵a=1，b=－5，c=6， ∴Δ=b2－4ac=（－5）2－4×1×6=25－24=1＞0. ∴x= = = ． ∴x1=2，x2=3. 返回目录 10. （2025∙威海）如图2－7－6，某校有一块长20 m、宽14 m的矩 形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度 相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为24 m2 的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 　图2－7－6 返回目录 解：设小路的宽度为x m，则9块矩形地块可合成长为（20－4x） m，宽为（14－4x）m的矩形． 根据题意，得（20－4x）（14－4x）=24×9. 整理，得2x2－17x＋8=0. 解得x1= ，x2=8（不符合题意，舍去）． 答：小路的宽度为 m． 　图2－7－6 返回目录 命题预测 （中考创新题）小明计划在水亭门“有礼摊位”进行手工编织挂 件售卖，每个挂件的成本为13元，每天最多售出100个．经过市场 调查发现：若挂件以单价25元售出，一天能售出70个；若每个降 价1元，则一天可多售出10个． 返回目录 （1）当每个挂件定价为22元时，一天能卖出多少个？ 解：（1）由题意，得70＋（25－22）×10=100（个）． 答：当每个挂件定价为22元时，一天能卖出100个． 返回目录 （2）要使当天利润达到880元，则每个挂件应降价多少元？ 解：（2）设每个挂件降价x元，则每个挂件定价为（25－x）元． 由题意，得（25－x－13）（70＋10x）=880. 整理，得x2－5x＋4=0. 解得x1=1，x2=4. 当x=1 时，每天售出：70＋1×10=80（个），符合题意； 当x=4 时，每天售出：70＋4×10=110（个），不符合题意， 舍去． 答：每个挂件应降价1元． 返回目录 命题解读：根据最新课程标准和近三年广东中考命题动向，预测 2026年广东中考命题方向可能注重考查一元二次方程的基本概 念，如根的判别式、方程的解等；强调解方程的能力，包括公式 法、配方法、因式分解法等；突出方程在实际问题中的应用，如 销售、增长率、几何类型等问题． 返回目录 谢 谢 ! 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