专题03整式乘法（2）（知识梳理+题型精析+寒假预习讲义）2025-2026学年苏科版七年级数学下册

专题03整式乘法（2） 【题型01 运用平方差公式进行运算】.................................2 【题型02 平方差公式与几何图形】...................................3 【题型03 运用完全平方公式进行运算】...............................4 【题型04 通过对完全平方公式变形求值】.............................4 【题型05 完全平方公式在几何图形中的应用】.........................5 【题型06 求完全平方式中的字母系数】...............................6 【题型07 完全平方式在几何图形中的应用】...........................6 【题型08 整式的混合运算】.........................................7 【题型09 解答题6题】.............................................8 知识梳理 核心公式：平方差公式、完全平方公式； 核心思想：数形结合、整体代换。 知识点01:平方差公式 1.公式：(a+b)(a−b)=a2−b2 2.文字表述：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差。 3.结构特征：左为两二项式相乘，一项相同、一项互为相反数；右为相同项平方减相反项平方。 4.字母意义：a、b 可代表数、单项式或多项式。 5.常见变式： 位置变化 (b+a)(−b+a)； 系数变化 (3x+2y)(3x−2y)； 符号变化 (−a−b)(−a+b)； 增项变化 (a+b−c)(a+b+c)（把 a+b 看作整体）。 知识点02:完全平方公式 1.公式：(a+b)2=a2+2ab+b2； (a−b)2=a2−2ab+b2 2.文字表述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们积的 2 倍。 3.结构特征：左为二项式的平方；右为二次三项式，首尾为平方项（恒正），中间为两数积的 2 倍（符号与左边一致）。 4.记忆口诀：首平方，尾平方，积的 2 倍放中央，符号看前方。 5.字母意义：a、b 可代表数、单项式或多项式。 6.重要变形： a2+b2=(a+b)2−2ab=(a−b)2+2ab； (a+b)2−(a−b)2=4ab。 知识点03:几何意义（数形结合） 1.平方差：边长为 a 的大正方形减去边长为 b 的小正方形，面积等于 (a+b)(a−b)。 2.完全平方：边长为 a+b 的正方形面积为 (a+b)2；边长为 a 的正方形减去长 a 宽 b 的两个矩形，再加回边长为 b 的小正方形，得 (a−b)2。 知识点04:添括号法则（公式应用配套） 1.法则：括号前是 “+”，括到括号里的各项符号不变；括号前是 “−”，各项符号都改变。 2.应用：将多项式整体看作 a 或 b，如 (x−y+z)2=[(x−y)+z]2。 知识点05:易错点与应用要点 1.易错点： 完全平方漏中间项，如 (a+b)2a2+b2； 平方差符号错误，如 (a−b)(b−a)a2−b2； 系数未平方，如 (2x+3)24x2+6x+9。 2.应用步骤：观察结构（是否符合公式特征）→ 确定 a、b（可整体代换）→ 套用公式 → 化简。 3.核心策略：优先用公式简化运算，再用整式加减法则；逆向运用公式进行因式分解或求值。 【题型1.运用平方差公式进行运算】 【典例】计算：（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】 ． 【跟踪专练2】代数式的值是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练3】 ． 【题型2.平方差公式与几何图形】 【典例】如图（1），在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分拼成一个长方形，如图（2），此过程可以验证（    ）    A． B． C． D． 【跟踪专练1】以下四种方法中能够验证公式的有 （填序号）． 【跟踪专练2】如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，点，，在同一直线上，大正方形与小正方形的面积之差是24，则阴影部分的面积的大小是 ． 【题型3.运用完全平方公式进行运算】 【典例】计算： 【跟踪专练1】问题探究  求代数式的最小值． 可对变形为， 当，即时，取最小值． 类比迁移，代数式的最小值是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知．求 ． 【跟踪专练3】若，则y与x满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【题型4.通过对完全平方公式变形求值】 【典例】若，则 ． 【跟踪专练1】已知，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．12 【跟踪专练2】若，则代数式的值等于 ． 【跟踪专练3】已知，，，则代数式的值为（    ） A．4 B． C．8 D．6 【题型5.完全平方公式在几何图形中的应用】 【典例】观察下面图形，你能利用图中面积的相等关系写出一个你熟悉的公式吗？ 答： ． 【跟踪专练1】如图，将边长为的小正方形和边长为的大正方形拼在一起，且，，三点在同一直线上，连接和，若两个正方形的边长满足，，则阴影部分的面积为（   ） A．12 B．14 C．16 D．20 【跟踪专练2】如图1是中国数学会的会徽，它是由四个相同的直角三角形拼成的一个正方形．将会徽抽象为图2，记．对图2进行图形运动得到图3，图形运动后，原正方形与六边形的面积相等，由此可得关于的等式为 ． 【跟踪专练3】如图，有三种规格的卡片共张，其中边长为的正方形卡片张，边长为的正方形卡片张，长，宽分别为，的长方形卡片张．现使用这张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（  ） A． B． C． D． 【题型6.求完全平方式中的字母系数】 【典例】多项式加上一个单项式后，可以用完全平方公式进行因式分解，那么加上的单项式可以是 ．（填上一个你认为正确的即可） 【跟踪专练1】若，则的值可以是（   ） A．或25 B．或15 C．15 D．20 【跟踪专练2】关于的整式是个完全平方式，则 ． 【跟踪专练3】若是完全平方式，且，则（　　） A． B．或 C．27或 D．或 【题型7.完全平方式在几何图形中的应用】 【典例】杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图是杨辉三角形的部分排列规律，则第八行从左数第三个数为（    ）    A．十五 B．二十一 C．二十五 D．三十五 【跟踪专练1】现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片4块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片 块．    【跟踪专练2】如图，长方形ABCD的周长是12cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为20cm2，那么长方形ABCD的面积是（  ） A．6cm2 B．7cm2 C．8cm2 D．9cm2 【跟踪专练3】现有一张边长为a的大正方形卡片和三张边长为b的小正方形卡片，如图1，取出两张小正方形卡片放入大正方形卡片内拼成图2；则图2中阴影部分的边长为 （用含有a，b的代数式表示）；再重新用三张小正方形卡片放入大正方形卡片内拼成图3．则图3中阴影部分的面积为 ．（用含有a，b的代数式表示）； 已知图3中的阴影部分的面积比图2中的阴影部分的面积大，则小正方形卡片的面积是 ． 【题型8.整式的混合运算】 【典例】下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】对于任意有理数、、、，定义一种新运算：，按照这种新运算方式化简，结果是 ． 【跟踪专练2】图为“”型钢材的截面，要计算其截面面积，下列给出的算式中，错误的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练3】计算： ； ； ； ； ； ； ；（n为整数）＝ ； ； ． 解答题 1．计算下列各式． (1)； (2)； (3)； (4)． 2．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2） (1)上述图1到图2的操作能验证的等式是 ． (2)应用所得的公式计算：． (3)应用所得的公式计算：． 3．阅读理解：完全平方公式适当的变形，可以解决很多的数学问题． 已知，，求的值． 解：，，即． ，． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，则_____，_____； (2)若，．求的值； (3)若，，则_____． 4．某公园有一块边长为的正方形绿地，为了便于游人通行，决定修两条互相垂直的小路，如图所示，小路宽，问：剩余绿地的面积是多少？ 5．先化简，再求值：，其中，． 6．阅读与思考 仔细阅读下列材料并完成相应任务． 利用因式分解解决代数式的最值问题 我们把形如的式子称为完全平方式，除了利用完全平方式进行多项式的因式分解外，也可以将一个多项式进行局部因式分解从而解决代数式的最值问题． 例如：． ∵，∴，∴， ∴当时，取得最小值，最小值为2． 任务： (1)代数式的最小值为 ． (2)求代数式的最大值，并写出相应的x的值． (3)小明的爸爸计划用一段长为8米的篱笆围成一个长方形的小型宠物围栏，请你帮助小明的爸爸规划一下怎样围面积才最大，最大面积为多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03整式乘法（2） 【题型01 运用平方差公式进行运算】..................................2 【题型02 平方差公式与几何图形】....................................4 【题型03 运用完全平方公式进行运算】................................7 【题型04 通过对完全平方公式变形求值】..............................9 【题型05 完全平方公式在几何图形中的应用】.........................11 【题型06 求完全平方式中的字母系数】...............................13 【题型07 完全平方式在几何图形中的应用】...........................15 【题型08 整式的混合运算】.........................................18 【题型09 解答题6题】.............................................21 知识梳理 核心公式：平方差公式、完全平方公式； 核心思想：数形结合、整体代换。 知识点01:平方差公式 1.公式：(a+b)(a−b)=a2−b2 2.文字表述：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差。 3.结构特征：左为两二项式相乘，一项相同、一项互为相反数；右为相同项平方减相反项平方。 4.字母意义：a、b 可代表数、单项式或多项式。 5.常见变式： 位置变化 (b+a)(−b+a)； 系数变化 (3x+2y)(3x−2y)； 符号变化 (−a−b)(−a+b)； 增项变化 (a+b−c)(a+b+c)（把 a+b 看作整体）。 知识点02:完全平方公式 1.公式：(a+b)2=a2+2ab+b2； (a−b)2=a2−2ab+b2 2.文字表述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们积的 2 倍。 3.结构特征：左为二项式的平方；右为二次三项式，首尾为平方项（恒正），中间为两数积的 2 倍（符号与左边一致）。 4.记忆口诀：首平方，尾平方，积的 2 倍放中央，符号看前方。 5.字母意义：a、b 可代表数、单项式或多项式。 6.重要变形： a2+b2=(a+b)2−2ab=(a−b)2+2ab； (a+b)2−(a−b)2=4ab。 知识点03:几何意义（数形结合） 1.平方差：边长为 a 的大正方形减去边长为 b 的小正方形，面积等于 (a+b)(a−b)。 2.完全平方：边长为 a+b 的正方形面积为 (a+b)2；边长为 a 的正方形减去长 a 宽 b 的两个矩形，再加回边长为 b 的小正方形，得 (a−b)2。 知识点04:添括号法则（公式应用配套） 1.法则：括号前是 “+”，括到括号里的各项符号不变；括号前是 “−”，各项符号都改变。 2.应用：将多项式整体看作 a 或 b，如 (x−y+z)2=[(x−y)+z]2。 知识点05:易错点与应用要点 1.易错点： 完全平方漏中间项，如 (a+b)2a2+b2； 平方差符号错误，如 (a−b)(b−a)a2−b2； 系数未平方，如 (2x+3)24x2+6x+9。 2.应用步骤：观察结构（是否符合公式特征）→ 确定 a、b（可整体代换）→ 套用公式 → 化简。 3.核心策略：优先用公式简化运算，再用整式加减法则；逆向运用公式进行因式分解或求值。 【题型1.运用平方差公式进行运算】 【典例】计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方差公式，利用平方差公式直接计算． 【详解】解： ． 故选：A． 【跟踪专练1】 ． 【答案】1 【分析】本题考查平方差公式的应用，通过将变形为，利用平方差公式简化计算． 【详解】解： ， 故答案为：1． 【跟踪专练2】代数式的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式的连续运用和幂的运算性质，熟练掌握平方差公式 的结构特征是解题的关键．本题可以连续运用平方差公式进行化简，最后得出结果并选择对应选项． 【详解】解： 故选：C． 【跟踪专练3】 ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式、数字类规律，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 观察每个因式，利用平方差公式化为，再通过分子分母约分后，得到结果即可． 【详解】解：观察每个因式发现规律：， 故答案为：． 【题型2.平方差公式与几何图形】 【典例】如图（1），在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分拼成一个长方形，如图（2），此过程可以验证（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别表示图（1）和图（2）中阴影部分的面积即可得出答案． 【详解】解：图（1）中阴影部分的面积为：， 图（2）中阴影部分的面积为， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示各个图中阴影部分的面积是得出答案的关键． 【跟踪专练1】以下四种方法中能够验证公式的有 （填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的定义是解题的关键． 用不同的方法分别用代数式表示各个图形中阴影部分面积即可得出等式，然后再逐个进行判断即可． 【详解】解：①阴影部分是两个正方形的面积差，即，拼成的是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故阴影部分面积等于平行四边形的面积，可以验证平方差公式； ②阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的是长为，宽为的长方形，面积为， ∴，故阴影部分面积等于长方形的面积，可以验证平方差公式； ③阴影部分面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的是长为2a，宽为2b的长方形，面积为， ∴，故图③不能验证平方差公式； ④阴影部分面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的是底为，高为的平行四边形，面积为． ∴，故图④可以验证平方差公式． 综上所述，能验证平方差公式的有①②④． 故答案为：①②④． 【跟踪专练2】如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用几何方法验证平方差公式．解决问题的关键是根据拼接前后的面积不变得到等量关系． 边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后的面积为，新的图形面积等于，由两图中阴影部分面积相等，即可得到结论． 【详解】解：图中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差， 即； 剩余部分通过割补，拼成的矩形的面积为， ∵前后两个图形中阴影部分的面积相等， ∴． 故选：B． 【跟踪专练3】如图，点，，在同一直线上，大正方形与小正方形的面积之差是24，则阴影部分的面积的大小是 ． 【答案】12 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 设正方形的边长为，正方形的边长为，得出，再根据阴影部分面积的计算方法得出即可． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 则． ∵两个正方形的面积之差是24， ， ． 故答案为：． 【题型3.运用完全平方公式进行运算】 【典例】计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用， 根据，可得答案. 【详解】解：. 故答案为：. 【跟踪专练1】问题探究  求代数式的最小值． 可对变形为， 当，即时，取最小值． 类比迁移，代数式的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，类比题干中的方法，将代数式通过完全平方公式变形，利用平方的非负性求最小值即可． 【详解】解：∵， 当时，取最小值． 故选：B． 【跟踪专练2】已知．求 ． 【答案】 34 【分析】本题考查完全平方公式的应用，能够熟练运用完全平方公式是解题关键； 由已知方程变形得到 ，然后利用完全平方公式求值． 【详解】解：∵， ∴ ， 即 ． 则 ． 故答案为： 34． 【跟踪专练3】若，则y与x满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查幂的乘方的逆用．通过消去参数建立与的关系式，将转化为，再用含的式子代换即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， 将代入，得： ，即． 故选：A 【题型4.通过对完全平方公式变形求值】 【典例】若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式的变形，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式．设，，则，，利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：设，， 则，， ∴ ． 故选：C． 【跟踪专练2】若，则代数式的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值，运用整体代入求值法，整体代入求值法是将已知条件适当变形，然后作为一个整体，代入到经过变形的待求的代数式中去求值的一种方法．由已知条件 可得 ，将代数式 利用平方差公式变形后整体代入求值． 【详解】解：∵ ， ∴ ． ． 故答案为：． 【跟踪专练3】已知，，，则代数式的值为（    ） A．4 B． C．8 D．6 【答案】D 【分析】此题考查了代数式求值，完全平方公式的运用，正确掌握完全平方公式是解题的关键．先分别计算，，，再将多项式根据完全平方公式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ， ， ， ， 故选：D． 【题型5.完全平方公式在几何图形中的应用】 【典例】观察下面图形，你能利用图中面积的相等关系写出一个你熟悉的公式吗？ 答： ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积的计算，掌握完全平方公式是解题的关键． 根据题意，大正方形的边长为，其面积等于，等于边长为的正方形的面积加上长、宽为的两个长方形的面积加上边长为的正方形的面积，由此即可求解． 【详解】解：， 故答案为： ． 【跟踪专练1】如图，将边长为的小正方形和边长为的大正方形拼在一起，且，，三点在同一直线上，连接和，若两个正方形的边长满足，，则阴影部分的面积为（   ） A．12 B．14 C．16 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的应用．根据图形特征，得，结合，，据此计算即可作答． 【详解】解： 由题意可知： ， ∵，， ∴． 故选：B． 【跟踪专练2】如图1是中国数学会的会徽，它是由四个相同的直角三角形拼成的一个正方形．将会徽抽象为图2，记．对图2进行图形运动得到图3，图形运动后，原正方形与六边形的面积相等，由此可得关于的等式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题时注意数形结合思想的运用． 六边形可以看作由四个直角三角形和中间的小正方形组成分别表示出面积可得等式． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴ ∵六边形可以看作由四个直角三角形和中间的小正方形组成， ∴每个直角三角形的面积为，四个总面积为．中间小正方形的边长为，面积为 ． ∵正方形与六边形面积相等： ∴ ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，有三种规格的卡片共张，其中边长为的正方形卡片张，边长为的正方形卡片张，长，宽分别为，的长方形卡片张．现使用这张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用完全平方公式分解因式，根据拼成大正方形的卡片的边长，可知拼成的大正方形的面积为，利用完全平方公式分解因式可得：，根据正方形的面积是边长的平方可知大正方形的边长为． 【详解】解：由题意可知， 拼成的大正方形的面积为， 分解因式可得：， 大正方形的边长为． 故选：C． 【题型6.求完全平方式中的字母系数】 【典例】多项式加上一个单项式后，可以用完全平方公式进行因式分解，那么加上的单项式可以是 ．（填上一个你认为正确的即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了完全平方式的应用，解答此题的关键是熟知公式．判断出要添加的单项式是哪一项即可． 【详解】解：可以加上单项式，则， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】若，则的值可以是（   ） A．或25 B．或15 C．15 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，将右边的式子展开是解决本题的关键． 根据完全平方公式即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 综上所述，的值为或25． 故选A． 【跟踪专练2】关于的整式是个完全平方式，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据完全平方公式，将整式与的形式比较系数，求出与的关系，进而得到的值，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：由整式是一个完全平方式， 设， ∴比较系数得，即，，即，又， ∴，即或， 当时，，当时，， 故答案为：或． 【跟踪专练3】若是完全平方式，且，则（　　） A． B．或 C．27或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方式，负整数幂，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．根据平方项确定出，求出的值，再求出的值，代入计算即可． 【详解】解：因为是完全平方式， 所以或， 解得或． 因为， 所以， 所以或． 故选：D． 【题型7.完全平方式在几何图形中的应用】 【典例】杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图是杨辉三角形的部分排列规律，则第八行从左数第三个数为（    ）    A．十五 B．二十一 C．二十五 D．三十五 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，各项是按a的降幂排列的，它的两端都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和． 从第3行开始依次确定第三个数，即是完全平方公式中的第三项的系数，找到规律即可确定第八行第三个数． 【详解】解：依据规律可得到：的展开式的系数是杨辉三角第8行的数， 第3行第三个数为1， 第4行第三个数为， 第5行第三个数为， … 第8行第三个数为：． 故选：B． 【跟踪专练1】现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片4块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片 块．    【答案】12 【分析】根据完全平方式进行配方可得此题结果． 【详解】解：∵， ∴还需取丙纸片12块， 故答案为：12． 【点睛】此题考查了解决完全平方式几何背景问题的能力，关键是能结合图形构造完全平方式． 【跟踪专练2】如图，长方形ABCD的周长是12cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为20cm2，那么长方形ABCD的面积是（  ） A．6cm2 B．7cm2 C．8cm2 D．9cm2 【答案】C 【分析】用矩形的长和宽分别表示矩形的周长和面积，正方形的面积和，从而运用完全平方公式的变形计算即可． 【详解】解：设AB=x，AD=y， ∵长方形ABCD的周长是12cm，正方形ABEF和ADGH的面积之和为20 cm2， ∴x+y=6，x2+y2=20， ∴x2+y2=(x+y)2−2xy=20， ∴62−2xy=20， ∴xy=8， 故选：C． 【点睛】此题考查了图形与公式，解题的关键是熟练掌握矩形的面积，周长的计算公式，正方形的面积的个数，两数和的完全平方公式． 【跟踪专练3】现有一张边长为a的大正方形卡片和三张边长为b的小正方形卡片，如图1，取出两张小正方形卡片放入大正方形卡片内拼成图2；则图2中阴影部分的边长为 （用含有a，b的代数式表示）；再重新用三张小正方形卡片放入大正方形卡片内拼成图3．则图3中阴影部分的面积为 ．（用含有a，b的代数式表示）； 已知图3中的阴影部分的面积比图2中的阴影部分的面积大，则小正方形卡片的面积是 ． 【答案】 5 【分析】先根据正方形的性质得出图2和图3中阴影部分的面积，进而列出等量关系并化简整理，即可求解． 【详解】解：根据题意，图3中阴影部分的面积为， 图2中阴影部分为正方形，边长为，故图2中阴影部分面积为， ∵图3中的阴影部分的面积比图2中的阴影部分的面积大， ∴， ， 解得：，即小正方形卡片的面积是5， 故答案为：，，5． 【点睛】本题考查正方形的性质，列代数式，整式的混合运算，完全平方公式，正方形的面积公式，正确得出阴影部分的面积是解答的关键． 【题型8.整式的混合运算】 【典例】下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项法则、完全平方公式、单项式乘多项式、单项式的除法法则判断即可． 【详解】解：A．不是同类项，不能合并，所以A选项错误，不符合题意； B．，所以B选项错误，不符合题意； C．，所以C选项正确，符合题意； D．，所以D选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的运算，掌握合并同类项法则、完全平方公式、单项式乘多项式、单项式的除法法则是解题的关键． 【跟踪专练1】对于任意有理数、、、，定义一种新运算：，按照这种新运算方式化简，结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是整式的混合运算，理解新定义并熟练掌握其运算法则是解题的关键．根据新运算的规则，可得：，再根据整式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：根据新运算的规则，可得： ． 故答案为：． 【跟踪专练2】图为“”型钢材的截面，要计算其截面面积，下列给出的算式中，错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式表示，整式的混合运算，根据图形中的字母，可以表示出“”型钢材的截面的面积，本题得以解决．解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由图可得， “”型钢材的截面的面积为：，故选项B正确； 由图可得， “”型钢材的截面的面积为：，故选项C正确； 由图可得， ， “”型钢材的截面的面积为：，故选项D正确，选项A错误， 故选：A． 【跟踪专练3】计算： ； ； ； ； ； ； ；（n为整数）＝ ； ； ． 【答案】 1 【分析】此题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公式，同底数幂的乘除法，积的乘方与幂的乘方，负整数指数幂法则，以及单项式乘单项式法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．根据整式的运算法则分别进行计算即可． 【详解】解：； ； ； ； ； ； ； ； ； ． 故答案为：；；；；；；；1；；． 解答题 1．计算下列各式． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查单项式乘法，多项式乘法，平方差公式与完全平方公式的应用，解决本题的关键是需熟练掌握运算法则和公式． （1）根据单项式乘法运算计算即可； （2）根据单项式乘法运算计算即可； （3）根据多项式乘法运算计算即可； （4）使用平方差公式与完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2） (1)上述图1到图2的操作能验证的等式是 ． (2)应用所得的公式计算：． (3)应用所得的公式计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，平方差公式的应用，用不同的方法表示图形的面积是得出正确答案的前提． （1）图1的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积，图2长方形的长为，宽为，因此面积为，由图1和图2阴影部分的面积相等，即可得出等式； （2）将原式变形为，再由平方差公式计算即可； （3）将原式变形为，再连续使用平方差公式计算． 【详解】（1）解：图1中，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形， 则剩余部分面积为：； 将剩余部分拼成一个长方形，则长为，宽为， 所以面积为， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： 3．阅读理解：完全平方公式适当的变形，可以解决很多的数学问题． 已知，，求的值． 解：，，即． ，． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，则_____，_____； (2)若，．求的值； (3)若，，则_____． 【答案】(1)5，1 (2)124 (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式可得，则，据此可得第一空答案，再由可得第二空答案； （2）根据完全平方公式可得，再根据已知条件求解即可； （3）根据题意可求出，，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，即， ∴，即， ∵， ∴； （3）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．某公园有一块边长为的正方形绿地，为了便于游人通行，决定修两条互相垂直的小路，如图所示，小路宽，问：剩余绿地的面积是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，根据“剩余绿地的面积正方形的面积小路的面积”进行计算即可． 【详解】解： ． 故剩余绿地的面积为． 5．先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的混合运算，原式先将中括号内的利用完全平方公式，多项式乘多项式的法则进行计算，再根据多项式除以单项式的运算法则进行计算，得到最简结果，再把x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ； 当，时，原式． 6．阅读与思考 仔细阅读下列材料并完成相应任务． 利用因式分解解决代数式的最值问题 我们把形如的式子称为完全平方式，除了利用完全平方式进行多项式的因式分解外，也可以将一个多项式进行局部因式分解从而解决代数式的最值问题． 例如：． ∵，∴，∴， ∴当时，取得最小值，最小值为2． 任务： (1)代数式的最小值为 ． (2)求代数式的最大值，并写出相应的x的值． (3)小明的爸爸计划用一段长为8米的篱笆围成一个长方形的小型宠物围栏，请你帮助小明的爸爸规划一下怎样围面积才最大，最大面积为多少？ 【答案】(1) (2)代数式的最大值为，对应x的值为1 (3)小明的爸爸规划一个边长为2的正方形宠物围栏，面积才最大，最大面积为8平方米． 【分析】本题主要考查了非负数的性质、完全平方公式的应用等知识点，利用完全平方公式确定最值问题是解题的关键． （1）根据非负数的性质求解即可； （2）先把原式变形为，再根据非负数的性质即可解答； （3）设当小型宠物围栏的长为x，则宽为，然后列出小型宠物围栏的面积，然后运用配方法求最值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴代数式的最小值为． 故答案为：． （2）解：∵，， ∴， ∴当时，代数式的最大值为． （3）解：设当小型宠物围栏的长为x米，则宽为米， 则小型宠物围栏的面积为， ∵， ∴， ∴当时，代数式的最大值为4． ∴小明的爸爸规划一个边长为2的正方形宠物围栏，面积才最大，最大面积为8平方米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $