专题02整式乘法（1)（知识梳理+题型精析+寒假预习讲义）2025-2026学年苏科版七年级数学下册

专题02整式乘法（1） 【题型01 计数单项式乘单项式】.......................................2 【题型02 利用单项式乘法求字母或代数式的值】.........................3 【题型03 计数单项式乘多项式及求值】.................................5 【题型04 单项式乘多项式的应用】.....................................7 【题型05 利用单项式乘多项式求字母值】...............................9 【题型06 计算多项式乘多项式】......................................11 【题型07 (x+p)(x+q)型多项式乘法】..................................13 【题型08 多项式乘多项式-化简求值】.................................14 【题型09 已知多项式乘积不含某项求字母的值】........................16 【题型10 多项式乘多项式与图形面积】................................19 【题型11 多项式乘法中的规律性问题】................................21 【题型12 整式乘法混合运算】........................................25 【题型13 解答题7题】..............................................27 知识梳理 知识点01:单项式 × 单项式 1.法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 2.步骤： (1)系数相乘（注意符号） (2)同底数幂相乘（底数不变，指数相加） (3)单独字母照抄 3.公式：(ab)(cd)=acbd 4.易错点：漏乘单独字母、符号出错、指数运算错误。 知识点02:单项式 × 多项式 1.法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 2.公式：m(a+b+c)=ma+mb+mc 3.关键： 不漏项（多项式有几项，结果就有几项） 注意符号（负号乘进去各项都变号） 4.本质：转化为单项式 × 单项式再求和。 知识点03:多项式 × 多项式 1.法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 2.公式：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 3.步骤： (1)逐项相乘（不重不漏） (2)合并同类项 4.常用特例： (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 5.易错点：漏乘、符号错、未合并同类项。 【题型1.计算单项式乘单项式】 【典例】计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式乘单项式，根据单项式乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘，指数相加． 【详解】解：， 故选：B． 【跟踪专练1】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的运算法则解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练2】下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，掌握单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键． 利用单项式乘以单项式的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，故该选项错误，不符合题意； B．，故该选项正确，符合题意； C．，故该选项错误，不符合题意；     D．，故该选项错误，不符合题意． 故选B． 【跟踪专练3】“三角”表示，“方框”表示，则 ． 【答案】 【分析】考查新定义和单项式与单项式相乘相结合，按照法则计算即可求解． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【题型2.利用单项式乘法求字母或代数式的值】 【典例】已知单项式与的积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要查了单项式乘以单项式．根据单项式乘以单项式法则可得，即可求解． 【详解】解：∵单项式与的积为， ∴， 即， ∴． 故选：A 【跟踪专练1】如果与相乘的结果是，那么 ， ， ． 【答案】 3 4 32 【分析】本题考查单项式乘单项式，熟练掌握法则是解答此题的关键． 根据单项式乘以单项式法则即可求出m、n的值，进而即可求出的值． 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∴， 解得， ∴ ， 故答案为：3；4；32． 【跟踪专练2】设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题关键． 先根据单项式乘单项式法则列出关于m、n的方程，进而求得m、n的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ，解得：， ∴． 故选：A． 【跟踪专练3】若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查单项式乘单项式，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于m，n的方程，解得，的值后代入中计算即可． 【详解】解：， 则，， 解得：，， 那么， 故答案为：2． 【题型3.计算单项式乘多项式及求值】 【典例】若，则■内应填写（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了整式的运算，掌握单项式乘多项式的法则，就是用单项式去乘多项式里面的每一项，再把所得的积相加是解题的关键． 运用单项式乘以多项式法则展开，再根据对应项相等，即可求解． 【详解】解：， ， ， 故选：A ． 【跟踪专练1】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，单项式乘多项式，正确计算是解题的关键． 先计算积的乘方，然后利用单项式乘多项式法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为． 【跟踪专练2】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据合并同类项的法则，幂的运算法则，单项式乘多项式法则，逐一进行计算后，判断即可 【详解】解：A．与不是同类项，不能直接合并．所以，故该选项计算错误，不符合题意； B．，故该选项计算错误，不符合题意； C．，故该选项计算错误，不符合题意； D．，故该选项计算正确错误，符合题意． 故选：D． 【跟踪专练3】已知，则 ． 【答案】2026 【分析】本题考查代数式求值，根据，得到，整体代入法进行计算即可． 【详解】解：由，得． 则． 所以． 故答案为：2026 【题型4.单项式乘多项式的应用】 【典例】若，则式子的值是（    ） A．负数 B．正数 C．0 D．不能确定 【答案】A 【分析】因为，所以，根据：“奇数个负数相乘为负，偶数个负数相乘为正”即可判断原式的正负． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以的值是负数． 故选：A 【点睛】本题考查整式乘法的符号判断，理解各个因式的符号判断是解题的关键． 【跟踪专练1】如果一个长方形的长是，宽是，则这个长方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以单项式的实际应用，解题关键是列出算式． 先列出算式，再计算． 【详解】解：∵长方形的长是，宽是， ∴这个长方形的面积为， 故答案为：． 【跟踪专练2】长和宽分别为，和，的长方形与长方形如图摆放，其中点B、C、E三点在同一条直线上，图中空白部分面积记为，阴影部分面积记为，若想要得到的值，只需要测量的线段为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘法与图形面积，熟练掌握长方形的性质，三角形的面积公式，整式的加减运算是解决问题的关键． 依题意得，根据三角形和长方形的面积公式得，进而得，，则，据此即可得出答案． 【详解】解：依题意得， ， ， ∵，     ， ， ∴想要得到的值，只需要测量的线段和的长即可． 故选：A． 【跟踪专练3】如图，正方形的边长为，点在边上，四边形也是正方形，它的边长为，连接，，． （1） （用含，的代数式表示）； （2）若，三角形的面积为，则 ． 【答案】 32 【分析】本题考查了列代数式，整式乘法的应用，求代数式的值等知识，正确表示出相图形的面积是解题的关键． （1）由即可求解； （2）利用即可求解． 【详解】解：（1）， ； 故答案为：； （2） ． 故答案为：32． 【题型5.利用单项式乘多项式求字母的值】 【典例】若a，b均为整数，且，则等于（    ） A．6 B．8 C．9 D．16 【答案】C 【分析】根据得到，则，求出，代入即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选：C 【点睛】此题考查了单项式乘多项式和多项式相等，熟练掌握单项式乘多项式乘法法则是解题的关键． 【跟踪专练1】要使成立，则 ， ． 【答案】 2 【分析】此题考查了单项式乘多项式，涉及的知识有：去括号法则，合并同类项法则，以及多项式相等的条件，熟练掌握法则是解本题的关键． 将等式左边展开并整理后，比较两边多项式的对应系数 【详解】解：左边表达式展开： = =， 与右边 比较，得系数方程：一次项系数 ，常数项 ， 解得 , ． 故答案为：，． 【跟踪专练2】设实数满足，若，则的值为（   ） A． B．14 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握换元法是解题的关键．利用换元法，设，则，可得：，，，再代入计算即可． 【详解】解：根据题意，设， ， ， ，，， ， 故选：B． 【跟踪专练3】一个多项式因式分解得到的结果是，则M表示的式子是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解与多项式乘法的互逆关系，解题的关键是利用多项式乘法将分解的结果展开，再通过对比确定M的表达式． 根据因式分解与整式乘法互为逆运算，先将展开；再与原式进行对比，通过移项求出M表示的式子． 【详解】解：∵多项式因式分解的结果是， ∴将右边展开可得：． 又∵，移项可得． 故答案为：． 【题型6.计算多项式乘多项式】 【典例】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法，根据多项式乘多项式的运算进行运算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【跟踪专练1】若，则代数式的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，代数式求值． 根据多项式乘以多项式的计算法则得到，据此得到，再代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【跟踪专练2】设，则M与N的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，利用作差法求出的结果即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘法运算、平方差公式，根据多项式乘多项式的运算法则及平方差公式逐项展开计算即可得出结论． 【详解】A、，与题目结果一致，正确； B、利用平方差公式展开得，，与题目结果一致，正确； C、，题目结果为，系数错误，实际应为，故选项C错误； D、，与题目结果一致，正确． 故选：C． 【题型7.(x+p)(x+q)型多项式乘法】 【典例】如果 ，那么 ． 【答案】1 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的运算法则进行计算，再比较等式两边即可求解． 【详解】解：， ∴， 故答案为： 【跟踪专练1】若多项式，则a，b的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，根据多项式乘法法则展开，再利用对应项系数相等即可求出的值． 【详解】解：∵， 又∵， ∴ 比较系数得：， 故选：B 【跟踪专练2】若，  则的值是 【答案】 【分析】本题考查了多项式相乘，代数式求值，解题的关键在于熟练掌握多项式相乘的运算法则．根据多项式相乘的运算法则，结合题意建立等式，得到，的值，进而即可求出的值． 【详解】解：， ，， 解得，， ， 则的值是， 故答案为：． 【跟踪专练3】规定，若，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了新定义的整式运算． 根据新定义即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故选：B． 【题型8.多项式乘多项式-化简求值】 【典例】若，，则的值是（     ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】将变形为，整体代入，即可． 【详解】解：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键． 【跟踪专练1】已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值，多项式乘以多项式，解题关键是利用多项式乘以多项式正确计算． 先利用多项式乘以多项式展开，再合并同类项，然后整体代入求值． 【详解】解： ∵， ∴， ∴原式． 故答案为： 【跟踪专练2】已知，，则的值为（    ） A．3 B．7 C．-7 D．-17 【答案】A 【分析】由多项式乘以多项式进行化简和变形，然后整体代入计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ． 故选A． 【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，掌握运算法则正确的进行化简是解题的关键． 【跟踪专练3】对，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．例如：，． （1）当，，则 ； （2）当时，对任意有理数，都成立，则，满足的关系式是 ． 【答案】 9 【分析】（1）根据新运算的定义，得，，故，．那么，． （2）由，得，故．由当时，对任意有理数，都成立，故当时，对任意有理数，都成立．那么，． 【详解】解：（1），， ，． ，． ，． 所以． （2）∵，， ∴． ． 若当时，对任意有理数，都成立， 当时，对任意有理数，都成立． 当时，对任意有理数，都成立． ． 故答案为：9，． 【题型9.已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【典例】若将展开的结果中不含有的一次项，则，满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．原式利用多项式乘以多项式法则计算，由结果不含有的一次项，得出与的关系即可． 【详解】解：， 将展开的结果中不含有的一次项， ， 故选：A． 【跟踪专练1】已知的展开式中不含和项，则 ， ． 【答案】 3 9 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算及多项式的相关概念，关键知识点是：多项式中不含某一项，则该项的系数为0．先利用多项式乘多项式法则展开原式，合并同类项后，根据展开式中不含和项，分别令这两项的系数为0，得到关于、的方程，解方程即可求出、的值． 【详解】解：． ∵展开式中不含和项， ∴项的系数，项的系数， 解得，； 故答案为：，． 【跟踪专练2】使乘积中不含与项的的值是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘以多项式的法则．根据多项式乘多项式把式子展开，合并同类项后，令和项的系数分别为，列式求解即可． 【详解】解： ∵乘积中不含与项， ∴，， ∴，． 故选：D． 【跟踪专练3】关于x的二次三项式，关于x的三次三项式，下列说法中正确是 ． ①当多项式乘积不含时，则； ②当M能被整除时，； ③； 【答案】①② 【分析】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．①根据多项式乘以多项式的运算法则展开，再由题意可得；②由题意可知则，即可求得；③由题意可得从而得到，分别求出的值即可判定． 【详解】解：①， ， ， 多项式乘积不含， ，则， 故①符合题意； ②， ， ， 即， 故②符合题意； ③， ， ， ， ， 解得：， ， 故③不符合题意； 故答案为：①②． 【题型10.多项式乘多项式与图形面积】 【典例】小曹租了一块长为a米，宽为b米（）的长方形土地用于种植新品种脱毒种薯，研究如何提高马铃薯产量．第二年，由于田地重新规划，小曹租的这块地的长增加10米，宽减少10米，那么小曹租的这块地的面积（    ） A．变大了 B．变小了 C．没有变化 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘多项式，根据长方形的面积公式表示出这块地原来的面积和现在的面积，再把原来地的面积与现在地的面积进行比较即可求解，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得： 原来这块地的面积为， 现在这块地的面积为：， ， ， ， 小曹租的这块地的面积变小了， 故选：B． 【跟踪专练1】若一个三角形的一边长为，这边上的高为，则它的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的乘法运算，关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则以及三角形面积公式．首先根据“三角形面积底高”列出面积表达式，再利用多项式乘多项式的法则展开括号，合并同类项后乘以，最终得到化简结果． 【详解】解：根据三角形面积公式，该三角形的面积为： ； 故答案为：． 【跟踪专练2】我们知道对于一个几何图形，可以采用两种不同的方法计算它的面积，从而得到一个数学等式．如图，可以得到的数学等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式乘法的几何意义，体现数形结合的思想．图中的面积可表示为一个大的正方形的面积或所分成的9个图形的面积之和，由此可得到答案． 【详解】解：图中的面积可表示为：， 或， 故可以得到的数学等式是：， 故选：D． 【跟踪专练3】如图，长为，宽为的大长方形被分割为小块，除阴影，两块外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为，当取何值时，阴影与阴影的面积差不会随着的变化而变化，则这个的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式在几何图形中的应用，正确表示出，的面积是解题的关键．根据已知并结合图形先求出阴影的面积和阴影的面积，然后再求出阴影的面积阴影的面积，从而根据题意可得，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： 阴影的面积， 阴影的面积， 阴影的面积阴影的面积， 阴影与阴影的面积差不会随着的变化而变化， ， ， 故答案为：． 【题型11.多项式乘法中的规律性问题】 【典例】我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（    ） 1…………………………………………1 …………………………………1         1 ………………………1       2        1 ………………1     3          3       1 ……1     4        6        4       1 A．15 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二项和的乘方的展开，运用杨辉三角来确定展开式中各项系数是解决本题的关键．根据上面规律，先找出的展开式中各项系数，再确定展开后的各项系数，即可确定展开后的各项系数，从而得出答案． 【详解】解：根据上面的规律，得，各项系数为：1，5，10，10，5，1 展开后的各项系数为：1，6，15，20，15，6，1， 展开后的各项系数为：1，，15，，15，，1． 含项的是奇数次方， 含项的系数是． 故选：B． 【跟踪专练1】如果将（为非负整数）展开后的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别是1，1； ，它有三项，系数分别是1，2，1； ，它有四项，系数分别是1，3，3，1； ，它有五项，系数分别是1，4，6，4， … 将上述式子的各项系数排成如图所示的数表，按照规律可以续写数表，该数表在我国南宋数学家杨辉的著作《九章算法》中提过，因而叫作杨辉三角．根据上述研究方法可以确定展开后的第四项的系数为（   ） A．1 B．5 C．6 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查数字的变化规律，多项式乘法规律探究，解题的关键是根据所给杨辉三角系数间的关系得出展开后系数．利用所给的“杨辉三角”中各项系数间的关系求解即可． 【详解】解：展开后系数分别是1，5，10，10，5，1， 所以展开后的第四项的系数为10， 故选：D． 【跟踪专练2】我国南宋数学家杨辉用三角形系数表解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．“杨辉三角”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： 若，请根据上述规律，写出的值等于 ． 【答案】2 【分析】本题考查多项式乘法中的规律性问题，由“杨辉三角”得出，再将代入的展开式，即可求解． 【详解】解：由“杨辉三角”可得， 当时， 又， ， ， ， 故答案为：2． 【跟踪专练3】观察下列等式： ； ； ； … 根据以上规律，计算的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律． 根据规律求出的值，再减去1即可解答． 【详解】解：∵； ； ； …… （为正整数） ∴ 当时， ∴ 故选：A． 【题型12.整式乘法混合运算】 【典例】我们在学习单项式（多项式）乘以多项式时，通过乘法分配律将其归结为了单项式与单项式相乘，这个过程体现的数学思想是（    ） A．化归思想 B．类比思想 C．数形结合思想 D．建模思想 【答案】A 【分析】本题考查了化归数学思想及整式的混合运算，根据整式的乘法混合运算过程即可求解，熟练掌握数学思想方法是解题的关键． 【详解】解：依题意得： 这个过程体现的数学思想是化归思想， 故选A． 【跟踪专练1】若定义，则 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，根据题中定义列出算式，利用单项式乘多项式运算，再合并即可求解． 【详解】解：根据题意，得 ． 故答案为：． 【跟踪专练2】一个长方体的长，宽，高分别是，，，这个长方体的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了长方体的得体积公式，整式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据长方体的体积公式，列出算式，然后根据整式乘法法则计算即可； 【详解】解：长方体的体积长宽高； ∴长方体的体积 ； 故选：D． 【跟踪专练3】如图，有A，B，C三种不同型号的卡片，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，现用x张A型卡片，100张B型卡片，y张C型卡片拼成一个正方形（无缝隙，不重叠），若，则x+y的最小值为 ． 【答案】8 【分析】此题主要考查了整式的运算的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 设拼成的正方形的边长为L，则面积为L2，则可得到即根据正方形的特征则可知：也为整数，最接近300的倍数为289，设则令进而即可求解． 【详解】解：设拼成的正方形的边长为L，则面积为， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵正方形的边长为L，它必须是整数．同时也为整数， ∴也为整数， ∵最接近300的平方数为， 。 ∴， ∴x+y的最小值为8， 故答案为：8． 解答题 1．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据单项式乘多项式法则展开，再合并同类项； （2）直接利用单项式乘多项式法则，将单项式分别与多项式的每一项相乘，再整理结果． 【详解】（1）解：原式 =． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了单项式乘多项式的运算，解题关键是熟练掌握单项式乘多项式的法则，注意同底数幂相乘的运算法则． 2．阅读：已知，求的值． 分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解： ． 你能用上述方法解决以下问题吗？ (1)已知，求的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2)2026 【分析】本题考查了单项式乘以多项式运算，积的乘方逆运算，代数式求值． （1）先利用单项式乘以多项式运算法则计算，再利用积的乘方逆运算变形，然后代入求值； （2）先将原式变形为，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ． 3．如图，长方形的长，宽分别为米，米，，满足，一动点从出发以米/秒的速度沿运动，另一动点从出发以米/秒的速度沿运动，设、同时出发，运动的时间为． (1)求、的值； (2)用含的式子表示的面积（写出推理过程）． 【答案】(1)，； (2)当时，；当时，；当时，． 【分析】（1）由绝对值非负性即可得解； （2）分三种情况分析：、、，结合不同时间点、点的运动情况即可得解． 【详解】（1）解：根据题意得：且， 解得：，； （2）解：当时，在上，在上，（米）． 则；． 当时，在上，在上，， ∴， 则； 当时，和都在上，在的左边，，， 则，． 综上，当时，； 当时，； 当时，． 【点睛】本题考查的知识点是绝对值非负性、列代数式、整式的乘法、整式的加减，解题关键是根据点、点的运动情况分时段讨论． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】本题考查多项式与多项式的乘法运算及整式的加减运算，关键是熟练掌握多项式乘多项式法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，之后合并同类项化简． （1）需要运用多项式乘法的分配律，将第一个多项式的每一项与第二个多项式的每一项相乘，再合并同类项； （2）可以通过多项式乘法展开后合并同类项； （3）先计算多项式乘法，再去括号，最后合并同类项，注意去括号时符号的变化； （4）运用多项式乘法的分配律，将和分别与后面的三项式相乘，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 5．如图，嘉嘉用2张同样大小的长方形硬纸片拼接成一个面积为的正方形，按要求回答下面的问题． (1)求长方形硬纸片的长和宽； (2)嘉嘉想用该正方形硬纸片制作一个体积为的正方体无盖笔筒，该硬纸片是否够用？若够用，请求出剩余的硬纸片的面积；若不够用，请求出缺少的硬纸片的面积． 【答案】(1)长为20cm   宽为10cm (2)够用    【分析】本题考查了正方形面积的计算，长方形的拼接关系，正方体的体积与表面积计算，掌握正方形面积与边长的关系，正方体体积与棱长的关系，无盖几何体的表面积计算方法是解题的关键． （1）由正方形面积求出边长，根据两个长方形的拼接方式得到长与宽的倍数关系，列方程求解； （2）由正方体体积求出棱长，计算无盖笔筒所需的纸片面积，与原正方形面积比较判断是否够用，再计算剩余面积． 【详解】（1）解：设长方形硬纸片的长为，宽为． 由题意，得，且． ， ，， 长方形硬纸片的长为，宽为． （2）解：该硬纸片够用． 由题意可知，正方体无盖笔筒的棱长为， 共需要5张边长为8cm的小正方形硬纸片，其总面积为． ， 该硬纸片够用， 剩余的硬纸片的面积为． 6．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键． （1）先计算幂的乘方，再计算单项式乘以单项式即可得解； （2）先计算幂的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后计算加减即可得解． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 7．先化简，再求值： (1)已知，求的值． (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了整式的混合运算和代数式求值，涉及整体代入思想，掌握多项式乘法展开后合并同类项的化简技巧，以及通过整体代入简化计算是解题的关键． （1）先展开多项式乘法，合并同类项后，发现化简结果与已知条件表达式完全一致，直接整体代入求值； （2）先展开两个多项式乘法，合并同类项化简表达式，再代入的具体值计算． 【详解】（1）解：原式 ． 当时， 原式． （2）解： ． 当，时， 原式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02整式乘法（1） 【题型01 计数单项式乘单项式】......................................2 【题型02 利用单项式乘法求字母或代数式的值】........................2 【题型03 计数单项式乘多项式及求值】................................3 【题型04 单项式乘多项式的应用】....................................3 【题型05 利用单项式乘多项式求字母值】..............................4 【题型06 计算多项式乘多项式】......................................4 【题型07 (x+p)(x+q)型多项式乘法】..................................5 【题型08 多项式乘多项式-化简求值】.................................5 【题型09 已知多项式乘积不含某项求字母的值】........................5 【题型10 多项式乘多项式与图形面积】................................6 【题型11 多项式乘法中的规律性问题】................................7 【题型12 整式乘法混合运算】........................................8 【题型13 解答题7题】..............................................9 知识梳理 知识点01:单项式 × 单项式 1.法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 2.步骤： (1)系数相乘（注意符号） (2)同底数幂相乘（底数不变，指数相加） (3)单独字母照抄 3.公式：(ab)(cd)=acbd 4.易错点：漏乘单独字母、符号出错、指数运算错误。 知识点02:单项式 × 多项式 1.法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 2.公式：m(a+b+c)=ma+mb+mc 3.关键： 不漏项（多项式有几项，结果就有几项） 注意符号（负号乘进去各项都变号） 4.本质：转化为单项式 × 单项式再求和。 知识点03:多项式 × 多项式 1.法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 2.公式：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 3.步骤： (1)逐项相乘（不重不漏） (2)合并同类项 4.常用特例： (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 5.易错点：漏乘、符号错、未合并同类项。 【题型1.计算单项式乘单项式】 【典例】计算：（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】计算： ． 【跟踪专练2】下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】“三角”表示，“方框”表示，则 ． 【题型2.利用单项式乘法求字母或代数式的值】 【典例】已知单项式与的积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如果与相乘的结果是，那么 ， ， ． 【跟踪专练2】设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【跟踪专练3】若，则 ． 【题型3.计算单项式乘多项式及求值】 【典例】若，则■内应填写（   ） A． B． C． D．1 【跟踪专练1】计算： ． 【跟踪专练2】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练3】已知，则 ． 【题型4.单项式乘多项式的应用】 【典例】若，则式子的值是（    ） A．负数 B．正数 C．0 D．不能确定 【跟踪专练1】如果一个长方形的长是，宽是，则这个长方形的面积为 ． 【跟踪专练2】长和宽分别为，和，的长方形与长方形如图摆放，其中点B、C、E三点在同一条直线上，图中空白部分面积记为，阴影部分面积记为，若想要得到的值，只需要测量的线段为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【跟踪专练3】如图，正方形的边长为，点在边上，四边形也是正方形，它的边长为，连接，，． （1） （用含，的代数式表示）； （2）若，三角形的面积为，则 ． 【题型5.利用单项式乘多项式求字母的值】 【典例】若a，b均为整数，且，则等于（    ） A．6 B．8 C．9 D．16 【跟踪专练1】要使成立，则 ， ． 【跟踪专练2】设实数满足，若，则的值为（   ） A． B．14 C． D．6 【跟踪专练3】一个多项式因式分解得到的结果是，则M表示的式子是 ． 【题型6.计算多项式乘多项式】 【典例】计算： ． 【跟踪专练1】若，则代数式的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【跟踪专练2】设，则M与N的大小关系为 ． 【跟踪专练3】下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【题型7.(x+p)(x+q)型多项式乘法】 【典例】如果 ，那么 ． 【跟踪专练1】若多项式，则a，b的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练2】若，  则的值是 【跟踪专练3】规定，若，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【题型8.多项式乘多项式-化简求值】 【典例】若，，则的值是（     ） A． B．1 C． D． 【跟踪专练1】已知，则的值是 ． 【跟踪专练2】已知，，则的值为（    ） A．3 B．7 C．-7 D．-17 【跟踪专练3】对，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．例如：，． （1）当，，则 ； （2）当时，对任意有理数，都成立，则，满足的关系式是 ． 【题型9.已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【典例】若将展开的结果中不含有的一次项，则，满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知的展开式中不含和项，则 ， ． 【跟踪专练2】使乘积中不含与项的的值是（    ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练3】关于x的二次三项式，关于x的三次三项式，下列说法中正确是 ． ①当多项式乘积不含时，则； ②当M能被整除时，； ③； 【题型10.多项式乘多项式与图形面积】 【典例】小曹租了一块长为a米，宽为b米（）的长方形土地用于种植新品种脱毒种薯，研究如何提高马铃薯产量．第二年，由于田地重新规划，小曹租的这块地的长增加10米，宽减少10米，那么小曹租的这块地的面积（    ） A．变大了 B．变小了 C．没有变化 D．无法确定 【跟踪专练1】若一个三角形的一边长为，这边上的高为，则它的面积为 ． 【跟踪专练2】我们知道对于一个几何图形，可以采用两种不同的方法计算它的面积，从而得到一个数学等式．如图，可以得到的数学等式是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，长为，宽为的大长方形被分割为小块，除阴影，两块外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为，当取何值时，阴影与阴影的面积差不会随着的变化而变化，则这个的值为 ． 【题型11.多项式乘法中的规律性问题】 【典例】我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（    ） 1…………………………………………1 …………………………………1         1 ………………………1       2        1 ………………1     3          3       1 ……1     4        6        4       1 A．15 B． C．6 D． 【跟踪专练1】如果将（为非负整数）展开后的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别是1，1； ，它有三项，系数分别是1，2，1； ，它有四项，系数分别是1，3，3，1； ，它有五项，系数分别是1，4，6，4， … 将上述式子的各项系数排成如图所示的数表，按照规律可以续写数表，该数表在我国南宋数学家杨辉的著作《九章算法》中提过，因而叫作杨辉三角．根据上述研究方法可以确定展开后的第四项的系数为（   ） A．1 B．5 C．6 D．10 【跟踪专练2】我国南宋数学家杨辉用三角形系数表解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．“杨辉三角”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： 若，请根据上述规律，写出的值等于 ． 【跟踪专练3】观察下列等式： ； ； ； … 根据以上规律，计算的值是（   ） A． B． C． D． 【题型12.整式乘法混合运算】 【典例】我们在学习单项式（多项式）乘以多项式时，通过乘法分配律将其归结为了单项式与单项式相乘，这个过程体现的数学思想是（    ） A．化归思想 B．类比思想 C．数形结合思想 D．建模思想 【跟踪专练1】若定义，则 ． 【跟踪专练2】一个长方体的长，宽，高分别是，，，这个长方体的体积是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，有A，B，C三种不同型号的卡片，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，现用x张A型卡片，100张B型卡片，y张C型卡片拼成一个正方形（无缝隙，不重叠），若，则x+y的最小值为 ． 解答题 1．计算： (1)． (2)． 2．阅读：已知，求的值． 分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解： ． 你能用上述方法解决以下问题吗？ (1)已知，求的值； (2)已知，求代数式的值． 3．如图，长方形的长，宽分别为米，米，，满足，一动点从出发以米/秒的速度沿运动，另一动点从出发以米/秒的速度沿运动，设、同时出发，运动的时间为． (1)求、的值； (2)用含的式子表示的面积（写出推理过程）． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．如图，嘉嘉用2张同样大小的长方形硬纸片拼接成一个面积为的正方形，按要求回答下面的问题． (1)求长方形硬纸片的长和宽； (2)嘉嘉想用该正方形硬纸片制作一个体积为的正方体无盖笔筒，该硬纸片是否够用？若够用，请求出剩余的硬纸片的面积；若不够用，请求出缺少的硬纸片的面积． 6．计算： (1)． (2)． 7．先化简，再求值： (1)已知，求的值． (2)，其中，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $