专题01 数列的概念六大题型（高效培优专项训练）数学人教B版选择性必修第三册

专题01 数列的概念六大题型 题型一：数列的概念与辨析 题型二：求数列中的某项 题型三：由通项公式确定某项 题型四：根据数列的前几项求数列的通项公式 题型五：数列的单调性 题型六：数列单调性求参数 题型一：数列的概念与辨析 1．设数列为常数列，定义，则“是常数列”是“是常数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若是常数列，不妨设（为常数），则为常数， 即“是常数列”可推出“是常数列”， 取，，显然有，且是常数列，但不是常数列， 所以“是常数列”推不出“是常数列”，即“是常数列”是“是常数列”的充分不必要条件， 故选：A. 2．（多选）下列叙述不正确的有（    ） A．数列与是同一数列 B．数列的通项公式是 C．是常数列 D．是递增数列，也是无穷数列 【答案】ABC 【详解】对于A选项，数列是按一定顺序排成的一列数，即数列与是两个数列，故A错误； 对于B选项，数列的通项公式是，故B错误； 对于C选项，数列是摆动数列，故C错误； 对于D选项，数列是递增数列，也是无穷数列，故D正确. 故选：ABC 3．（多选）下列叙述错误的是（    ） A．数列10，9，8，7可表示为 B．数列1，3，5，7与3，1，5，7是相同的数列 C．数列的项可以相等 D．数列和可能是同一数列 【答案】AB 【详解】对于A，数列10，9，8，7与由实数10，9，8，7组成的集合是两个不同的概念，故A错误； 对于B，根据数列的定义，如果组成两个数列的数相同，而排列顺序不同， 那么这两个数列是不同的数列，故B错误； 对于C，同一个数在数列中可以重复出现，如常数列1，1，1，…，故C项正确； 对于D，当时，数列和表示同一数列，故D项正确． 故选：AB. 4．下列各式是数列的是 ；是有穷数列的是 ；是无穷数列的是 ． ①；②4，3，2，1，0；③所有无理数；④1，2，3，4，…；⑤2，2，2，2，2． 【答案】 ②④⑤ ②⑤ ④ 【详解】①是集合，不是数列，③不能构成数列，因为无法把所有的无理数按照一定顺序排列起来， 根据数列定义知：是数列的是②④⑤；是有穷数列的是②⑤；是无穷数列的是④． 故答案为：②④⑤；②⑤；④． 题型二：求数列中的某项 5．观察数列（   ），，，，，（   ），…的特点，则括号中应填入的适当的数为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】因为， 数列的通项公式，则有，， 故选：D. 6．观察下列数列的特点，在划线处应填的数是（   ） 1，1，2，3，5，__________，13，...... A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【详解】因为， 所以划线处填的数为，， 故选：B 7．数列，…中，根据规律，有序实数对可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由数列中的项可发现规律：， 即得，解得． 故选：D. 8．已知数列，2，，，，…，，，…，则是这个数列的（    ） A．第19项 B．第20项 C．第21项 D．第22项 【答案】C 【详解】令，解得， 所以是这个数列的第项. 故选：C. 9．已知数列0，，，，…，根据该数列的规律，该数列中小于1的项有（    ） A．8项 B．9项 C．10项 D．11项 【答案】B 【详解】根据规律可得该数列的通项公式为， 由得，． ∵，∴该数列中小于1的项有9项． 故选：B. 10．将正整数排成下表 则在表中数字2020出现在（    ） A．第44行第85列 B．第45行第85列 C．第44行第84列 D．第45行第84列 【答案】D 【详解】因为每行的最后一个数分别为1，4，9，16，…，所以由此归纳出第行的最后一个数为． 因为，，所以出现在第45行上， 又由，故出现在第84列. 故选：D 11．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的做法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，把图①、图②、图③、图④中图形的面积依次记为，则＝ ． 【答案】/ 【详解】由题意可知，，， ，. 故答案为： 题型三：由通项公式确定某项 12．已知数列的通项公式为，则17是这个数列的（   ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【答案】B 【详解】令，化为：，，解得， 故选：B． 13．已知数列满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据反比例函数性质可知， 故 . 故选：B. 14．已知数列的通项公式为，则（   ） A． B． C． D．19 【答案】B 【详解】由，则. 故选：B. 15．已知，则数列中相等的连续两项是（    ） A．第9项，第10项 B．第10项，第11项 C．第11项，第12项 D．第12项，第13项 【答案】B 【详解】，的对称轴为， 数列中相等的连续两项为第10项，第11项. 故选：B. 16．已知数列的通项公式为，则下列说法正确的是（    ） A．这个数列的第10项为 B．是该数列中的项 C．数列中的各项都在区间内 D．数列是递减数列 【答案】C 【详解】对于A，令，得，故选项A不正确； 对于B，令，得，此方程无正整数解，所以不是该数列中的项，故选项B不正确； 对于CD，因为，所以数列是递增数列， 所以，即数列中的各项都在区间内，故选项C正确，选项D不正确． 故选：C. 17．数列的第5项为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：数列的第5项为. 故选：C 18．已知数列的一个通项公式为，且，则（   ） A．1 B．2 C．26 D．80 【答案】D 【详解】因为，代入通项公式可得：， 解得，所以， 所以， 故选：D 19．已知数列的通项公式为，去掉数列中所有的，得到新数列，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】根据题意，数列的通项公式为， 则， 又由是将中所有能被3整除的项去掉后剩余的项， 则 故选: 题型四：根据数列的前几项求数列的通项公式 20．数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的通项公式为（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，， ，…， 所以所求通项公式为. 故选：C 21．数列：的一个通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由 观察可得它的一个通项公式为：， 故选：D. 22．将数列和数列的公共项按从小到大的次序组成数列，则（   ） A．441 B．361 C．121 D．100 【答案】B 【详解】由题意，数列的项是奇数， 由数列的项是数列和数列的公共项，得数列的项为奇数的平方， 即， 如，，， 所以. 故选：B. 23．已知数列，，，3，…，则是这个数列的第（  ）项 A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【详解】由题意可得根号下为奇数，则数列的通项， 验证：，，，，符合题意. 令，解得. 故选：B. 24．数列的一个通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】数列， 对于A选项，，当时，，不满足题意，A选项错误； 对于B选项，，当时，，不合题意，B选项错误； 对于C选项，，满足，符合题意，C选项正确； 对于D选项，，当时，，不合题意，D选项错误； 故选：C. 25．（多选）下列选项中能满足数列的通项公式的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A：因为， 所以符合题意，故A正确； 对于B：因为，又， 所以，所以符合题意，故B正确； 对于C：，则，，，不符合题意，故C错误； 对于D：，显然满足题意，故D正确； 故选：ABD 26．正方形，，，…，正方形按如图方式放置，点、、、…在直线上，点、、、…在轴上.已知点的坐标是，则点的横坐标是 .（用含的式子表示）    【答案】 【详解】由点的坐标是，且四边形为正方形，得点的坐标为， 当时，，即点的坐标为， 又四边形为正方形，则点的坐标为，同理得点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为；依此类推：得点的横坐标为. 故答案为： 题型五：数列的单调性 27．已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因对于数列，取，显然不是递增数列， 所以“”不是“为递增数列”的充分条件， 若为递增数列，则， 所以“”是“为递增数列”的必要条件， 所以“”是“为递增数列”的必要而不充分条件， 故选：B 28．已知数列的通项公式为 ，则的最小项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知， 当时，由二次函数性质可知函数单调递增，所以的最小项为. 故选：A 29．数列的通项公式如下，则递增数列是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A，可得，，，则 ，故数列不是递增数列，故A错误； B，可得，，，则 ，故数列不是递增数列，故B错误； C，，则，即对任意恒成立，故数列是递增数列，故C正确； D，，则，，则 ，故数列不是递增数列，故D错误. 故选：C 30．已知数列的通项公式为，则数列为（   ） A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列 【答案】B 【详解】由，显然随的增加，逐渐变小并趋向于，所以为递减数列. 故选：B 31．已知数列的通项公式为，求数列的最大项． 【答案】最大项为． 【分析】 【详解】法一：． 当时，；当时，． 因此， 所以数列的最大项为． 法二：设数列的最大项为，则，即，解得， 因为，所以，故数列的最大项为． 32．已知数列的通项公式是，画出该数列的图象．并根据图象，判断从第几项起，这个数列是递增的． 【答案】图象见解析；从第二项开始递增． 【详解】列表如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 …… -30 -30 -28 -24 -18 -10 0 12 …… 作图如下： 如图所示，易知数列首项与第二项相同，从第二项开始每一项都大于前一项，即从第二项开始递增． 题型六：数列单调性求参数 33．已知数列的通项公式为，若数列是递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 若数列是递增数列，则， 则，即. 故选：D. 34．已知函数数列满足，若为递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，则有时，， 当时，， 因为为递增数列， 设， 当时，数列单调递增， 则有，且 即，， 整理得，因为，所以， 设，易得时单调递增， 且有，即，，解得， 综上，的取值范围是， 故选：C. 35．（多选）已知，若数列不是递增数列，则下列数值中的可能取值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】BD 【详解】若数列是递增数列，则有， 而因为不是递增数列， 所以或，解得，故BD正确. 故选：BD 36．已知数列的通项公式为，若是递增数列，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，， 而， 若是递增数列，则恒成立， 得到的最小值是，解得； 当时，， 若是递增数列，则恒成立， 即，解得，且，解得， 综上，，即. 故答案为：. 37．已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】数列是递增数列，当时，有；当时，有，且， 即，解得. 故答案为： 38．已知数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知， 时，，是斜率为的一次函数，单调递增， ，函数为开口向下的二次函数， 对正整数，递增，即相邻的项满足：， 代入得：，解得：， 故要使时数列递增，需， 同时分段点处需满足， 即， 综上取值范围是. 故选：C 七、单选题 39．已知，数列满足，则“数列为严格增数列”是“”的（    ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【详解】因为数列满足，所以， 当时，若数列为严格增数列，则， 当时，若数列为严格增数列， 则，可得，解得， 而数列为严格增数列，得到，解得， 综上可得，即， 则“数列为严格增数列”是“”的必要非充分条件，故B正确. 故选：B 40．设数列的通项公式为，（），若数列是递增数列，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由数列为递增数列，得，， 而，（），则，， 即对恒成立，即小于的最小值， 因为当时，的最小值为，所以. 故选：B. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数列的概念六大题型 题型一：数列的概念与辨析 题型二：求数列中的某项 题型三：由通项公式确定某项 题型四：根据数列的前几项求数列的通项公式 题型五：数列的单调性 题型六：数列单调性求参数 题型一：数列的概念与辨析 1．设数列为常数列，定义，则“是常数列”是“是常数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（多选）下列叙述不正确的有（    ） A．数列与是同一数列 B．数列的通项公式是 C．是常数列 D．是递增数列，也是无穷数列 3．（多选）下列叙述错误的是（    ） A．数列10，9，8，7可表示为 B．数列1，3，5，7与3，1，5，7是相同的数列 C．数列的项可以相等 D．数列和可能是同一数列 4．下列各式是数列的是 ；是有穷数列的是 ；是无穷数列的是 ． ①；②4，3，2，1，0；③所有无理数；④1，2，3，4，…；⑤2，2，2，2，2． 题型二：求数列中的某项 5．观察数列（   ），，，，，（   ），…的特点，则括号中应填入的适当的数为（   ） A．， B．， C．， D．， 6．观察下列数列的特点，在划线处应填的数是（   ） 1，1，2，3，5，__________，13，...... A．7 B．8 C．9 D．10 7．数列，…中，根据规律，有序实数对可以是（   ） A． B． C． D． 8．已知数列，2，，，，…，，，…，则是这个数列的（    ） A．第19项 B．第20项 C．第21项 D．第22项 9．已知数列0，，，，…，根据该数列的规律，该数列中小于1的项有（    ） A．8项 B．9项 C．10项 D．11项 10．将正整数排成下表 则在表中数字2020出现在（    ） A．第44行第85列 B．第45行第85列 C．第44行第84列 D．第45行第84列 11．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的做法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，把图①、图②、图③、图④中图形的面积依次记为，则＝ ． 题型三：由通项公式确定某项 12．已知数列的通项公式为，则17是这个数列的（   ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 13．已知数列满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 14．已知数列的通项公式为，则（   ） A． B． C． D．19 15．已知，则数列中相等的连续两项是（    ） A．第9项，第10项 B．第10项，第11项 C．第11项，第12项 D．第12项，第13项 16．已知数列的通项公式为，则下列说法正确的是（    ） A．这个数列的第10项为 B．是该数列中的项 C．数列中的各项都在区间内 D．数列是递减数列 17．数列的第5项为（   ） A．0 B． C． D． 18．已知数列的一个通项公式为，且，则（   ） A．1 B．2 C．26 D．80 19．已知数列的通项公式为，去掉数列中所有的，得到新数列，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 题型四：根据数列的前几项求数列的通项公式 20．数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的通项公式为（   ）. A． B． C． D． 21．数列：的一个通项公式为（   ） A． B． C． D． 22．将数列和数列的公共项按从小到大的次序组成数列，则（   ） A．441 B．361 C．121 D．100 23．已知数列，，，3，…，则是这个数列的第（  ）项 A．9 B．10 C．11 D．12 24．数列的一个通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 25．（多选）下列选项中能满足数列的通项公式的有（    ） A． B． C． D． 26．正方形，，，…，正方形按如图方式放置，点、、、…在直线上，点、、、…在轴上.已知点的坐标是，则点的横坐标是 .（用含的式子表示）    题型五：数列的单调性 27．已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 28．已知数列的通项公式为 ，则的最小项为（    ） A． B． C． D． 29．数列的通项公式如下，则递增数列是（    ） A． B． C． D． 30．已知数列的通项公式为，则数列为（   ） A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列 31．已知数列的通项公式为，求数列的最大项． 32．已知数列的通项公式是，画出该数列的图象．并根据图象，判断从第几项起，这个数列是递增的． 题型六：数列单调性求参数 33．已知数列的通项公式为，若数列是递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 34．已知函数数列满足，若为递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 35．（多选）已知，若数列不是递增数列，则下列数值中的可能取值为（   ） A．1 B． C． D． 36．已知数列的通项公式为，若是递增数列，则实数的取值范围是 . 37．已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是 . 38．已知数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 39．已知，数列满足，则“数列为严格增数列”是“”的（    ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 40．设数列的通项公式为，（），若数列是递增数列，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $