第14讲 线段的垂直平分线 精讲提升培优讲义 2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学下册

本讲义聚焦线段垂直平分线的定义、性质与判定定理，通过尺规作图（作垂直平分线、过点作垂线等）及三角形外心概念，构建从基础原理到实际应用的完整知识链，形成递进式学习支架。 资料以历年真题精讲为核心，结合分层练习设计，通过几何证明题培养推理意识（数学思维），尺规作图步骤强化空间观念（数学眼光），课后针对性练习助力学生查漏补缺，提升规范表达与应用能力（数学语言）。

第14讲 等腰三角形的判定 精讲提升培优讲义 2026年沪教新版七年级下18.4 本讲义内容设置：①重点知识梳理；②历年真题精讲；③随堂练习；④课后针对性练习。 1.理解线段垂直平分线的定义； 2.掌握其性质定理和判定定理；能用尺规作垂直平分线； 3.了解三角形的外心。 知识点一 线段的垂直平分线及其性质 1.线段的垂直平分线 我们已经知道，等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线(底边上的中线、底边上的高)所在的直线. 定义：过线段中点且垂直于这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线. 2.线段的垂直平分线的性质 如图18-4-1,如果直线CD是线段AB的垂直平分线，垂足为O,那么OA=OB,且CD⊥AB. 我们有下面的线段垂直平分线的性质定理： 定理 线段的垂直平分线上的任意一点到该线段两个端点的距离相等. 如图18-4-2,已知：直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为C,点P在直线MN上. 求证：PA=PB. 证明 因为直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为C,所以MN⊥AB,AC=BC. 如果点P不在线段AB上，由MNLAB,得∠PCA=∠PCB=90°.又因为PC是公共边，由“边角边”,得△PCA≌ △PCB.由此推出PA=PB. 如果点P在线段AB上，那么点P与点C重合，仍有PA=PB. 知识点二 线段的垂直平分线的判定 这个定理的逆命题也是成立的，即有： 定理 与一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 如图18-4-3,已知：线段AB和一点Q,且QA=QB 求证：点Q在线段AB的垂直平分线上. 分析 要证点Q在线段AB的垂直平分线上，可以先经过点Q作线段AB的垂线，然后证明该垂线平分线段AB. 证明 如果点Q在线段AB上，由QA=QB,可知Q为线段AB的中点，即点Q必在线段AB的垂直平分线上. 如果点Q不在线段AB上，过点Q作QC⊥AB,垂足为C(图18-4-4).由QA=QB,QC⊥AB,根据“等腰三角形三线合一”,可得AC=BC,即C是线段AB的中点.由此可见，点Q在线段AB的垂直平分线上. 注：也可以先平分线段AB,如设线段AB的中点为C,连接QC,然后证明QC垂直于线段AB. 知识点三 尺规作图 例1作已知线段的垂直平分线. 如图18-4-5,已知线段AB,求作线段AB的垂直平分线. 分析 根据“与一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”,只需要作出两个点，使每一个点到线段AB的两个端点的距离都相等，这两点所确定的直线就是线段AB的垂直平分线. 作法 (1)以点A为圆心、以AB的长为半径作弧； (2)以点B为圆心、以AB的长为半径作弧； (3)两弧分别相交于点E、F,过点E、F作直线EF 直线EF就是线段AB的垂直平分线(图18-4-6). 图18-4-6中，由于直线EF与线段AB的交点C就是线段AB的中点，因此我们也可以用这种方法作线段的中点 例2过直线外一点作已知直线的垂线. 如图18-4-7,已知直线l和l外一点P,过点P求作直线L的垂线. 分析 只需在直线l上找出两点A和B,使点P在线段AB的垂直平分线上，就可以将问题转化为作线段AB的垂直平分线。 作法 (1)任意取一点K,使点K和点P分别在直线l的两侧； (2)以点P为圆心、以PK的长为半径作弧，与直线L相交于点A、B; (3)作线段AB的垂直平分线CD. 直线CD就是所求的垂线(图18-4-8). 请自行完成证明. 例3已知底边和底边上的高作等腰三角形. 如图18-4-9,已知线段a、h.求作△ABC,使AB=AC,且BC=a,高AD=h. 分析 先画出符合条件的示意图，根据BC=a,可以确定点B、C的位置.由“等腰三角形三线合一”,作BC的垂直平分线MN,交BC于点D.由AD=h,可知点D到点A的距离为h,这就是说，点A在以定点D为圆心、以h为半径的圆上.因此，这个圆与MN的交点就是A. 作法 (1)作线段BC=a; (2)作线段BC的垂直平分线MN,MN与BC相交于点D; (3)以点D为圆心、以h的长为半径作弧，交MN于点A; (4)分别连接AB、AC. △ABC就是所求的三角形(图18-4-10). 知识点四 三角形的外形 例4如图18-4-11,已知：在△ABC中，OM、ON分别是边AB、AC的垂直平分线，OM与ON相交于点O. 求证：点O在边BC的垂直平分线上. 证明 如图18-4-12,分别连接OB、OA、OC. ∵OM、ON分别是边AB、AC的垂直平分线， ∴OA=OB,OC=OA(线段垂直平分线的性质定理). ∴OB=OC. ∴点O在边BC的垂直平分线上(与一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上). 本题的结论表明：三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，这个交点叫作三角形的外心. 三角形的外心的性质：三角形的外心到三个顶点的距离相等. 一．线段垂直平分线的性质（共16小题） 1．在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（　　） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条高的交点 【分析】根据线段的垂直平分线的性质解答． 【解答】解：∵点到三角形三个顶点的距离相等， ∴这个点一定是三角形三条边的垂直平分线的交点， 故选：C． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 2．如图，等腰三角形ABC底边BC的长为5cm，面积是18cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的动点，M为线段EF上一动点，则BM+DM最小值为（　　）cm． A． B． C． D． 【分析】连接AD，AM，由线段垂直平分线的性质得到AM＝BM，则当A、D、M三点共线，且AD⊥BC时，AM+DM有最小值，即此时BM+DM有最小值，最小值为线段AD的长，据此根据三角形面积计算公式求出线段AD的长即可得到答案． 【解答】解：连接AD，AM，如图， ∵AB的垂直平分线EF交AC于点F， ∴AM＝BM， ∴BM+DM＝AM+DM， ∵AM+DM≥AD，且垂线段最短， ∴当A、D、M三点共线，且AD⊥BC时，AM+DM有最小值，即此时BM+DM有最小值，最小值为线段AD的长， ∵等腰三角形ABC底边BC的长为5cm，面积是18cm2， ∴， ∴， ∴BM+DM的最小值为， 故选：D． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键． 3．如图，在△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F．若△ABC的周长为20，DC＝6，则AC的长为（　　） A．5 B．4 C．10 D．8 【分析】根据条件得出等腰三角形，依据等腰三角形的三线合一，得出相等线段，然后依据垂直平分线的性质找出相等的线段，利用线段的和差即可求出结果． 【解答】解：∵AB＝AE，且AD⊥BC， ∴△ABE是等腰三角形， ∴BD＝DE， ∵EF是线段AC的垂直平分线， ∴AE＝CE， ∴AB＝AE＝CE， ∴AB+BD＝DE+EC＝DC＝6， ∵△ABC的周长为20，DC＝6， ∴AC＝20﹣（AB+BD）﹣DC＝8， 故选：D． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，线段的和差，解题的关键是根据性质找出相等的线段． 4．如图，直线DE是△BAC的边AB的垂直平分线，已知AC＝5cm，△ADC的周长为18cm，则BC的长为（　　） A．4cm B．10cm C．12cm D．13cm 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵直线DE是AB的垂直平分线， ∴DA＝DB， 由条件可知AC+CD+DA＝18cm， ∴AC+CD+DB＝18cm， ∵AC＝5cm， ∴BC＝13cm， 故选：D． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 5．如图，从△ABC内一点O出发，把△ABC剪成三个三角形（如图1），边AB，BC，AC放在同一直线上，点O都落在直线MN上（如图2），直线MN∥AC，则点O是△ABC的（　　） A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点 C．三条中线的交点 D．三边中垂线的交点 【分析】利用平行线间的距离处处相等，可知点O到BC、AC、AB的距离相等，然后可作出判断． 【解答】解：如图1，过点O作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F． ∵MN∥AB， ∴OD＝OE＝OF（夹在平行线间的距离处处相等）． 如图2：过点O作OD'⊥BC于D'，作OE'⊥AC于E'，作OF'⊥AB于F'． 由题意可知：OD＝OD'，OE＝OE'，OF＝OF'， ∴OD'＝OE'＝OF'， ∴图2中的点O是三角形三个内角的平分线的交点， 故选：A． 【点评】此题主要考查了平行线间的距离处处相等，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解本题的关键是判断出OD＝OE＝OF． 6．如图，依据尺规作图的痕迹，∠ACP＝　25　 °． 【分析】由尺规作图痕迹可知，DE为线段AC的垂直平分线，CP为∠ACB的角平分线，结合线段垂直平分线的性质以及角平分线的定义可得答案． 【解答】解：如图，标记点D、点E， ∵∠ADB＝100°， ∴∠ADC＝180°﹣100°＝80°， 由尺规作图可知，DE为线段AC的垂直平分线，CP为∠ACB的角平分线， ∴AD＝CD，DE⊥AC，∠ACP＝∠BCP， ∴， ∴∠ACD＝180°﹣90°﹣40°＝50°， ∴∠ACP∠ACD50°＝25°． 故答案为：25． 【点评】本题考查作图—基本作图，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，解答本题的关键是熟练掌握角平分线与线段垂直平分线的作法． 7．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，如果DA⊥AC，BC＝8，，那么BD＝ 　2　 ． 【分析】设BD＝a，根据线段垂直平分线性质得AD＝BD＝a，进而得CD＝8﹣a，然后在Rt△ACD由勾股定理求出a＝2，继而可得出BD的长． 【解答】解：设BD＝a， ∵边AB的垂直平分线交BC于点D， ∴AD＝BD＝a， ∵BC＝8， ∴CD＝BC﹣BD＝8﹣a， ∵DA⊥AC， ∴△ACD是直角三角形， 在Rt△ACD中，AC， 由勾股定理得：CD2＝AD2+AC2， ∴， 解得：a＝2， ∴BD＝a＝2． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质，勾股定理是解决问题的关键． 8．如图，DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，若∠BAC＝110°，则∠DAE＝ 　40　 °． 【分析】根据三角形内角和定理得到∠B+∠C＝70°，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据等腰三角形的性质计算，得到答案． 【解答】解：∵∠BAC＝110°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣110°＝70°， ∵DF垂直平分AB，EG垂直平分AC， ∴DA＝DB，EA＝EC， ∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C， ∴∠DAB+∠EAC＝∠B+∠C＝70°， ∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝40°， 故答案为：40． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 9．如图，△ABC的两边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，若∠BAC+∠DAE＝150°，则∠BAC的度数是 　110°　 ． 【分析】根据垂直平分线性质和等腰三角形的性质得到，∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC．则有∠B+∠C+2∠DAE＝150°，即 180°﹣∠BAC+2∠DAE＝150°，再与∠BAC+∠DAE＝150°联立解方程组即可． 【解答】解：∵△ABC的两边AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E， ∴DA＝DB，EA＝EC， ∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC． ∵∠BAC+∠DAE＝150°①， ∴∠B+∠C+2∠DAE＝150°． ∵∠B+∠C+∠BAC＝180°， ∴180°﹣∠BAC+2∠DAE＝150°， 即∠BAC﹣2∠DAE＝30°②， 由①②组成的方程组， 解得∠BAC＝110°． 故答案为：110°． 【点评】此题考查了线段的垂直平分线、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，解题的关键是得到∠BAC和∠DAE的数量关系． 10．如图，在△ABC中，I是三角形三条角平分线的交点，O是三边垂直平分线的交点，连接AI，BI，AO，BO，若∠AOB＝140°，则∠AIB的度数是 　125°　 °． 【分析】连接CO，根据三角形内角和定理求出∠OAB+∠OBA，根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OC，OB＝OC，进而得到∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，求出∠CAB+∠CBA，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可解答． 【解答】解：如图，连接CO， ∵∠AOB＝140°， ∴∠OAB+∠OBA＝180°﹣140°＝40°， ∴∠OCA+∠OAC+∠OCB+∠OBC＝180°﹣40°＝140°， ∵O是三边垂直平分线的交点， ∴OA＝OC，OB＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC， ∴∠OCA+∠OCB＝70°， ∴∠CAB+∠CBA＝180°﹣70°＝110°， ∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC， ∴，∠IBA∠CBA， ∴∠IAB+∠IBA（∠CAB+∠CBA）＝55°， ∴∠AIB＝180°﹣55°＝125°， 故答案为：125°． 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握以上知识点是解题的关键． 11．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E．若AE＝2cm，△BCD的周长为20cm，则△ABC的周长为　24　 cm． 【分析】根据中垂线的性质得到AD＝CD，AC＝2AE，进而推出△BCD的周长为BC+AB的长，再根据△ABC的周长公式进行计算即可． 【解答】解：∵AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，AE＝2cm， ∴AD＝CD，AC＝2AE＝4cm， ∴△BCD的周长＝BC+CD+BD＝BC+BD+AD＝BC+AB＝20cm， ∴AB+BC+AC＝20+4＝24cm，所以△ABC的周长为24cm， 故答案为：24． 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是相关性质的熟练掌握． 12．如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，点M的速度为4cm/s，点N的速度为6cm/s，当点M、N第一次相遇时间时停止运动．设点M、点N的运动时间为t（t＞0）秒，当线段MN的垂直平分线经过△ABC的某一顶点时，t的值为 　或或或　 ． 【分析】由题易得0＜t≤6；然后分四种情况讨论：①当线段MN的垂直平分线经过点A时，AM＝AN；②当线段MN的垂直平分线经过点B时，BM＝BN，进而AN＝CM；③当线段MN的垂直平分线经过点C时，CM＝CN，④第一种情况的MN位置互换，分别建立方程求解即可． 【解答】解：由题可知当M和N第一次相遇时，6t﹣12＝4t， 解得t＝6， 即0＜t≤6； ①当线段MN的垂直平分线经过点A时，如图， 此时△AMN为等边三角形， ∴AM＝AN， ∴12﹣6t＝4t， 解得t； ②当线段MN的垂直平分线经过点B时，如图， 此时BM＝BN， ∵∠A＝∠C，AB＝CB， ∴△ABN≌△CBM（SAS）， ∴AN＝CM， 即6t﹣12＝12﹣4t， 解得t； ③当线段MN的垂直平分线经过点C时，如图， 此时CN＝CM， 即24﹣6t＝4t﹣12， 解得t； ④当线段MN的垂直平分线经过点A时， ∴CE＝BE，NE＝ME， ∴CN＝BM， ∴24﹣4t＝6t﹣24， 解得t； 综上，t的值为或或或； 故答案为：或或或． 【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于D，E．若∠CAE＝∠B+30°，求∠AEB的度数． 【分析】根据线段垂直平分线求出AE＝BE，推出∠B＝∠EAB，根据已知和三角形内角和定理得出∠B+30°+∠B+∠B＝90°，求出∠B，即可得出答案． 【解答】解：∵DE垂直平分AB， ∴AE＝BE， ∴∠B＝∠EAB， ∵∠C＝90°，∠CAE＝∠B+30°， ∴∠B+30°+∠B+∠B＝90°， ∴∠B＝20°， ∴∠AEB＝180°﹣20°﹣20°＝140°． 【点评】本题考查了线段垂直平分线，三角形内角和定理，等腰三角形的性质的应用，解此题的关键是得出关于∠B的方程，题目比较好，难度适中． 14．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE． （1）求证：AB＝EC； （2）若△ABC的周长为20cm，AC＝9cm，求DC长． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AE＝EC，AB＝AE，等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到AB+BC+AC＝20，根据AB＝EC，BD＝DE计算，得到答案． 【解答】（1）证明：∵EF垂直平分AC， ∴AE＝EC， ∵AD⊥BC，BD＝DE， ∴AD垂直平分BE， ∴AB＝AE， ∴AB＝EC； （2）解：∵△ABC的周长为20cm， ∴AB+BC+AC＝20cm， ∵AC＝9cm， ∴AB+BC＝11cm， ∵AB＝EC，BD＝DE， ∴ ＝5.5cm． 【点评】本题考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE． （1）求证：AB＝EC； （2）若△ABC的周长为42cm，AC＝16cm，求DC的长． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AE＝EC，AB＝AE，等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到AB+BC+AC＝42cm，根据AB＝EC，BD＝DE计算，得到答案． 【解答】（1）证明：∵EF垂直平分AC， ∴AE＝EC， ∵AD⊥BC，BD＝DE， ∴AB＝AE， ∴AB＝EC； （2）解：∵△ABC的周长为42cm， ∴AB+BC+AC＝42cm， ∵AC＝16cm， ∴AB+BC＝26cm， ∵AB＝EC，BD＝DE， ∴． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 16．如图，在△ABC中，l是AB的垂直平分线，与边AC交于点E，点D在l上，且DB＝DC，连接AD． （1）求证：点D在边AC的垂直平分线上； （2）连接BE，若BD⊥CD，求证：BE⊥AC． 【分析】（1）利用垂直平分线性质得DA＝DB，结合DB＝DC推出DA＝DC，进而证明D在AC的垂直平分线上． （2）连接AD得到DA＝DB＝DC，设角并结合BD⊥CD求出相关角度，得出∠BAE＝45°，再利用垂直平分线性质和角度关系证明BE⊥AC． 【解答】证明：（1）由线段的垂直平分线可知，DA＝DB， ∵DB＝DC， ∴DA＝DC． ∴点D在AC的垂直平分线上． （2）由（1）可知DA＝DB＝DC，由“等边对等角”， 设∠DAB＝∠DBA＝α，∠DCA＝∠DAC＝β， ∵BD⊥CD， ∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠BDC＝90°，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠DBC+∠DCB+α+α+β+β＝180°， 即90°+2（α+β）＝180°，则α+β＝45°， 即∠BAE＝45°， 由线段的垂直平分线上可知，AE＝BE， ∴∠EBA＝∠BAE＝45°， ∴∠AEB＝180°﹣∠EBA﹣∠EAB＝90°，则BE⊥AC． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定、等边对等角、三角形内角和定理等知识．解题的关键是熟练运用垂直平分线的性质和判定，结合三角形内角和定理推导角度关系． 二．三角形的外接圆与外心（共9小题） 17．在锐角三角形ABC中，AB＝AC，BC＝8，它的外接圆O的半径长为5，若点D是边BC的中点，以点D为圆心的圆和⊙O相交，那么⊙D的半径长可以是（　　） A．2 B．5 C．8 D．10 【分析】根据题意，等腰△ABC 的外接圆半径为5，由等腰三角形的性质、勾股定理求得OD＝3；当⊙D与⊙O相交时，圆心距需满足条件|5﹣r|＜OD＜5+r，代入数值求解r的范围，进而确定选项． 【解答】解：如图，连接AD并延长交⊙O于点E， ∵AB＝AC，D为BC中点， ∴BD＝DC＝4，OD⊥BC， 锐角三角形ABC中，AB＝AC， ∴外接圆心O在AD上， 连接OB，由勾股定理得：， 设以D为圆心的圆的半径为r，⊙D，⊙O相交应满足：|5﹣r|＜OD＜5+r， 即|5﹣r|＜3＜5+r， 解得：2＜r＜8，在此范围的半径只有选项B， 故选：B． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，两圆相交的条件等知识，掌握两圆相交的条件是关键． 18．三角形的外心是（　　） A．三条中线的交点 B．三个内角的角平分线的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条高的交点 【分析】根据三角形的外心的定义（三角形的外心是指三角形三边的垂直平分线的交点）即可得出答案． 【解答】解：∵三角形的外心是三角形的三边垂直平分线的交点， ∴选项A错误；选项B错误；选项C正确；选项D错误； 故选：C． 【点评】本题考查了对三角形的外接圆与外心的应用，主要考查学生的理解能力和记忆能力，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目，学生容易把三角形的外心和三角形的内心相混淆． 19．如图，等边三角形ABC边长为1，点D，E，F分别在边CA，AB，BC的延长线上，AD＝BE＝CF＝1，连接DE，EF，FD，EC．给出下面四个结论中正确的是（　　） ①△DEF是等边三角形；②DC⊥EC；③△ABC的面积为与△DEF面积之比为1：6；④△DEF的外心与△ABC的外心重合． A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【分析】利用SAS证明△DAE≌△EBF≌△FCD，推出DE＝EF＝FD，证明△DEF是等边三角形；利用三角形的外角性质求得∠BEC＝∠BCE∠ABC＝30°，可证明DC⊥EC；利用勾股定理求得CE，求得S△ABC＝S△DEF；利用等边三角形的外心和内心的性质即可求解． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形且边长为1， ∴AB＝BC＝CA＝1，∠ABC＝∠BCA＝∠CAB＝60°， ∵AD＝BE＝CF＝1， ∴AE＝BF＝CD＝2，∠DAE＝∠EBF＝∠FCD＝180°﹣60°＝120°， ∴△DAE≌△EBF≌△FCD（SAS）， ∴DE＝EF＝FD， ∴△DEF是等边三角形， 故①正确； ∵BE＝BC＝1，∠ABC＝60，∠BEC＝∠BCE∠ABC＝30°， ∴∠DCE＝60°+30°＝90°，即DC⊥EC， 故②正确； ∵∠ACE＝90°，AC＝1，AE＝2， ∴CE， ∴DE， ∵△ABC和△DEF是等边三角形， ∴S△ABC1，S△DEF， ∴△ABC的面积为与△DEF面积之比为1：7，故③错误； 设△ABC的外心为O， ∵△ABC是等边三角形， ∴点O也是△ABC的内心，作OG⊥AC于点G，OH⊥BC于点H， ∴OG＝OH，AG＝CH， ∴DG＝FH， ∴△DGO≌△FHO（SAS）， ∴OD＝OF， 同理OD＝OE，则OD＝OE＝OF， ∴△DEF的外心与△ABC的外心重合， 故④正确． 综上，正确的有①②④， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是作出辅助线，构造全等三角形． 20．已知在△ABC中，O是三角形的外心（三条中垂线的交点），∠BOC＝50°，则∠A＝ 　25°或155°　 ． 【分析】分圆心O与点A在BC的同侧和圆心O与点A在BC的两侧两种情况解答，利用一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半即可求得结论；延长BO交⊙O于点D，连接CD，利用一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半即可求得∠D，再利用圆内接四边形的性质即可求得结论． 【解答】解：如图，当圆心O与点A在BC的同侧时， ∴∠BAC25°； 如图，当圆心O与点A在BC的两侧时， 延长BO交⊙O于点D，连接CD， ∵25°， ∵四边形ACDB为圆的内接四边形， ∴∠BAC+∠D＝180°． ∴∠BAC＝180°﹣∠D＝180°﹣25°＝155°． 综上，∠BAC＝25°或155°． 故答案为：25°或155°． 【点评】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键． 21．如图，⊙O的半径为10cm，△ABC内接于⊙O，圆心O在△ABC内部．如果AB＝AC，BC＝12cm，那么△ABC的面积为 　108　 cm2． 【分析】连接AO并延长交BC于D，连接OB，根据勾股定理的推论得到AD⊥BC，根据垂径定理求出BD，根据勾股定理求出OD，进而求出AD，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【解答】解：连接AO并延长交BC于D，连接OB， ∵AB＝AC， ∴， ∴AD⊥BC， ∴BD＝DCBC＝6cm， 在Rt△OBD中，OD8（cm）， ∴AD＝18cm， ∴S△ABC12×18＝108（cm2）， 故答案为：108． 【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理的推论、勾股定理是解题的关键． 22．三角形的外心是三角形　三条边垂直平分线　 的交点． 【分析】根据三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，解答即可． 【解答】证明：如图， ∵OA＝OB＝OC， ∴点O是△ABC三边垂直平分线的交点；（线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等） 故答案为：三条边垂直平分线． 【点评】本题主要考查了三角形的外心，找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 23．如果点O为△ABC的外心，∠BOC＝80°，那么∠BAC等于 　40°或140°　 ． 【分析】根据题意画出图形、运用分情况讨论思想和圆周角定理解得即可． 【解答】解：①当点O在三角形的内部时， 则∠BAC∠BOC＝40°； ②当点O在三角形的外部时， 则∠BAC（360°﹣80°）＝140°． 故答案为：40°或140°． 【点评】本题考查的是三角形的外接圆和外心的概念以及圆周角定理，掌握三角形的外心的概念、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 24．⊙O是等边△ABC的外接圆，若AB＝3，则⊙O的半径是　　 ． 【分析】连接OB，过点O作OE⊥BC，结合三角形外心和垂径定理分析求解． 【解答】解：连接OB，过点O作OE⊥BC， ∵⊙O是等边△ABC的外接圆， ∴OB平分∠ABC， ∴∠OBE＝30°， 又∵OE⊥BC， ∴BEBCAB， 在Rt△OBE中，cos30°， ∴， 解得：OB， 故答案为：． 【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，掌握等边三角形的性质，应用垂径定理和特殊角的三角函数值解题是关键． 25．小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【分析】要使三棵树都在花坛的边上则应使花坛为△ABC的外接圆，故只要作出三角形两边垂直平分线的交点即为△ABC的外接圆圆心，再以此点为圆心，以此点到点A的长度为半径画圆，此圆即为花坛的位置． 【解答】解：①分别以A、B为圆心，以大于AB为半径画圆，两圆相交于D、E两点，连接DE； ②分别以A、C为圆心，以大于AC为半径画圆，两圆相交于G、F两点，连接GF； ③直线DE与GF相交于点O，以O为圆心，以OA的长为半径画圆，则此圆即为花坛的位置． 【点评】本题考查的是三角形外接圆的作法，解答此题的关键是熟知三角形外接圆的圆心即为三角形三边垂直平分线的交点． 三．作图—基本作图（共4小题） 26．尺规作图：已知AB＝a、CD＝b． （1）①画射线OL； ②在射线OL上截取OE＝EF＝a； ③在射线FO上截取FP＝b． （2）根据所作图形，可知OP＝　2a﹣b ．（用含有a、b的代数式表示） 【分析】（1）先作射线OL，以点O为圆心，线段a的长为半径画弧交射线OL于点E，再以点E为圆心，线段a的长为半径画弧交射线EL于点F，最后以点F为圆心，线段b的长为半径画弧交射线FO于点P； （2）根据线段的和差关系求解即可． 【解答】解：（1）先作射线OL，以点O为圆心，线段a的长为半径画弧交射线OL于点E，再以点E为圆心，线段a的长为半径画弧交射线EL于点F，最后以点F为圆心，线段b的长为半径画弧交射线FO于点P，如图所示，即为所求； （2）由（1）得OP＝OE+EF﹣FP＝a+a﹣b＝2a﹣b， 故答案为：2a﹣b． 【点评】本题主要考查了线段的和差计算，线段的尺规作图，正确作出对应的图形是解题的关键． 27．用直尺和圆规作钝角△ABC边BC上的高． 【分析】过点A作AH⊥CB，交CB的延长线于点H，线段AH即为所求． 【解答】解：如图，线段AH即为所求． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图． 28．如图，已知点O在直线AB上，∠COD＝90°． （1）用直尺和圆规，在∠COD的内部作∠COE，使∠COE＝∠BOD；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下， ①若∠AOC比∠BOD大20°，则∠DOE＝ 　55°　 ． ②图中互余的角共有 　4　 对． 【分析】（1）过点O作OE⊥AB即可； （2）①根据条件求出∠BOD＝35°，可得结论； ②根据互余的定义判断即可． 【解答】解：（1）如图，COE即为所求； （2）①∵∠COD＝90°， ∴∠AOC+∠BOD＝90°， ∵∠AOC﹣∠BOD＝20°， ∴∠AOC＝55°，∠BOD＝35°， ∵OE⊥AB， ∴∠EOB＝90°， ∴∠EOD＝90°﹣35°＝55°． 故答案为：55°； ②互余的角有：∠AOC与∠COE，∠AOC与∠DOB，∠COE与∠EOD，∠EOD与∠BOD． 故答案为：4． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，垂线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 29．如图1，已知∠AOB＝180°，射线ON，尺规作出∠BON的平分线OC，∠AON的平分线OD． （1）如果∠AON＝52°，射线OA、OB分别表示从点O出发东、西两个方向，那么射线OD表示 　北偏东64°　 方向，射线OC表示 　北偏西26°　 方向． （2）如果将∠AOB沿着ON剪开分为两个角，再将∠AON逆时针旋转n°，到图2中∠AON′的位置，求此时∠COD＝　（90﹣n）　 °．（用n表示） 【分析】（1）根据方向角的定义判断即可； （2）根据角平分线的定义和三角形内角和定理即可解决问题． 【解答】解：（1）如图，OC，OD即为所求； ∵∠AON＝52°，∠AOB＝180°， ∴∠BON＝180°﹣∠AON＝128°， ∵OC平分∠BON，OD平分∠AON， ∴∠BOC64°， 26°， ∴90°﹣26°＝64°， ∴射线OD表示北偏东64°方向， 射线OC表示北偏西26°方向． 故答案为：北偏东64°；北偏西26°； （2）根据旋转可知，∠MON＝n°，∠AON＝52°， ∵OD平分∠AON， ∴∠NOD26°， 由①知，∠BOC64°，∠BON＝128°， ∴∠DON＝∠NON′﹣∠N′OD＝n°﹣26°＝（n﹣26）°， ∴∠COD＝∠BON﹣∠DON＝128°﹣64°﹣（n﹣26）°＝（90﹣n）°． 故答案为：（90﹣n）． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 四．创新及压轴题（共6小题） 30．小海在解答练习册P37第4题后进行了拓展探究： 如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交边BC于点D，AE⊥BC，垂足为E． 小海猜想：通过∠C的度数可求出∠CAE的度数，再结合∠B、∠C的度数可求出∠CAD的度数，从而确定∠B、∠C与∠DAE之间存在固定的数量关系．他尝试代入了几组∠B、∠C的度数后（∠B＜∠C），验证了这一猜想． （1）请补全下表： ∠B 36° 30° 24° … ∠C 44° 60° 72° … ∠DAE 4° 　15°　 　24°　 … （2）如图2，若∠B＝α，∠C＝β（α＜β），那么∠DAE＝ 　　 （用含α、β的代数式表示），并加以证明； （3）在（2）的基础上作AD的垂直平分线，交BC的延长线于点F，连接AF．如图3，如果∠ACB＝64°，请直接写出∠BAF＝ 　116°　 °． 【分析】（1）由垂线的定义可得∠AEC＝90°，则由三角形内角和定理可得∠CAE＝90°﹣∠C，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，再由角平分线的定义可得，则可求出，据此计算求解即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）由（1）可得，则可求出；由线段垂直平分线的性质可得FD＝FA，则，求出，即可得到． 【解答】解：（1）∵AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∴∠CAE＝180°﹣∠C﹣∠AEC＝90°﹣∠C， ∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，∠BAC的平分线AD交边BC于点D， ∴， ∴， 当∠B＝30°，∠C＝60°时，； 当∠B＝24°，∠C＝72°时，； 故答案为：15°，24°； （2）由（1）可得， ∵∠B＝α，∠C＝β（α＜β）， ∴， 故答案为：； （3）由（1）可得， ∵AE⊥BC， ∴∠AED＝90°， ∴； 由线段垂直平分线的性质可得FD＝FA， ∴， ∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，∠BAC的平分线AD交边BC于点D， ∴， ∴ 故答案为：116°． 【点评】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，线段垂直平分线的性质，等边对等角等等，熟知三角形内角和定理是解题的关键． 31．通过“三角形全等的判定”的学习，大家知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形全等吗？下面请你来探究． 任务：已知△ABC，求作△DEF，使EF＝BC，∠E＝∠B，DF＝AC（即两边和其中一边所对的角分别相等）． （1）【实践与操作】请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程（保留作图痕迹）． ①作线段EF＝BC； ②在线段EF的上方作∠MEF＝∠B； ③作FD＝AC，交射线EM于点D； ④连接DF得所求三角形． （2）【观察与小结】观察你作的图形，你会发现满足条件的三角形有　1　 个；其中　△D2EF （填三角形的名称）与△ABC不全等． 因此可得：“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形全等”是：　假　 命题．（填“真”或“假”）． 【分析】（1）根据步骤尺规作图，得两个三角形； （2）如图，满足条件的三角形有两个，△D1EF，△D2EF，其中△D2EF与△ABC明显不全等，因此可得结论：两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定相等． 【解答】解：（1）如图， ； （2）观察（1）所作图形，只有1个三角形满足条件；其中△D2EF与△ABC不全等． 因此可得：“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形全等”是假命题． 故答案为：1；△D2EF；假． 【点评】本题考查尺规作图，全等三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键． 32．“风筝飞满天，笑语乐无边”，由喜闻乐见的风筝可以抽象得到一种特殊的四边形﹣筝形．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．初步认识筝形后，数学活动小组的同学通过观察、测量、折纸等方法猜想筝形有什么性质，小明观察后认为AC垂直平分BD，请你帮助小明从几何证明的角度说明这一筝形性质． 已知：在四边形（筝形）ABCD中，AB＝AD ，CB＝CD ，求证：AC垂直平分BD ． （请把横线上的“已知”“求证”内容补充完成，并完成后续相应证明过程） 【分析】根据AB＝AD，CB＝CD，得到点A，C均在线段BD的垂直平分线上，即可证明结论成立． 【解答】解：已知：在四边形（筝形）ABCD中，AB＝AD，CB＝CD， 求证：AC垂直平分BD． 证明：在四边形（筝形）ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，AC、BD相交于点O， ∴点A，C均在线段BD的垂直平分线上， ∴AC垂直平分BD； 故答案为：AB＝AD，CB＝CD，AC垂直平分BD． 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质，解答本题的关键要明确：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 33．如图，在△ABC中，点D在边BA的延长线上，过点D作射线DM∥BC，点E是射线DM上一个定点． （1）用尺规完成以下基本作图：在射线DM上方作∠DEF＝∠C，与BA的延长线交于点F．（保留作图痕迹） （2）在（1）问条件下，若BD＝AF，求证：AC∥FE 请把以下的解题过程补充完整． 证明：∵DM∥BC（已知）， ∴∠B＝∠FDE（①　两直线平行，同位角相等　 ）， ∵BD＝AF（已知）， ∴BD﹣AD＝②AF﹣AD （等式的性质）， ∴AB＝FD， 在△ABC和△FDE中， ， ∴△ABC≌△FDE（AAS）， ∴∠BAC＝③　∠DFE （全等三角形的对应角相等）， ∴AC∥FE（④　同位角相等，两直线平行　 ）． 【分析】（1）作∠DEF＝∠ACB即可； （2）根据题干信息逐步填写推理过程与推理依据即可． 【解答】（1）解：如图，∠DEF即为所求作的角； ． （2）证明：∵DM∥BC（已知）， ∴∠B＝∠FDE（两直线平行，同位角相等）， ∵BD＝AF（已知）， ∴BD﹣AD＝AF﹣AD（等式的性质）， ∴AB＝FD， 在△ABC和△FDE中， ， ∴△ABC≌△FDE（AAS）， ∴∠BAC＝∠DFE（全等三角形的对应角相等）， ∴AC∥FE（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：①两直线平行，同位角相等；②AF﹣AD；③∠DFE；④同位角相等，两直线平行． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练的作图是解本题的关键． 34．已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点O和点P是这个三角形内部两点． （1）如图①，如果点P是这个三角形三个内角平分线的交点，那么∠BPC和∠BAC有怎样的数量关系？请说明理由； （2）如图②，如果点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，那么∠BOC和∠BAC有怎样的数量关系？请说明理由； （3）如图③，如果点P（三角形三个内角平分线的交点），点O（三角形三边垂直平分线的交点）同时在不等边△ABC的内部，那么∠BPC和∠BOC有怎样的数量关系？请直接回答． 【分析】（1）根据三角形角平分线的性质以及三角形内角和定理推导即可； （2）根据三角形垂直平分线的性质以及三角形内角和定理推导即可； （3）结合（1）（2）的结论∠BPC＝90°∠BAC、∠BOC＝2∠BAC，通过等量代换即可． 【解答】解：（1）∠BPC＝90°∠BAC ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB， ∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB） ＝180°﹣（∠ABC∠ACB） ＝180°（∠ABC+∠ACB） ＝180°（180°﹣∠BAC） ＝90°∠BAC； （2）∠BOC＝2∠BAC 如图，连接AO． ∵点O是这个三角形三边垂直平分线的交点， ∴OA＝OB＝OC， ∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB， ∴∠AOB＝180°﹣2∠OAB，∠AOC＝180°﹣2∠OAC， ∴∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠AOC） ＝360°﹣（180°﹣2∠OAB+180°﹣2∠OAC）， ＝2∠OAB+2∠OAC ＝2∠BAC； （3）4∠BPC﹣∠BOC＝360°， ∵点P为三角形三个内角平分线的交点， ∴∠BPC＝90°∠BAC 由∠BAC＝2∠BPC﹣180° 点O为三角形三边垂直平分线的交点 ∠BOC＝2∠BAC， ∴∠BOC＝2（2∠BPC﹣180°）＝4∠BPC﹣360°， 即4∠BPC﹣∠BOC＝360°． 【点评】本题考查了三角形的垂直平分线与角平分线，熟练掌握三角形的垂直平分线与角平分线的性质是解题的关键． 35．在学习《角》时，同学们开展了如下探究： 【背景】如图，已知∠AOB＝α，射线OC在∠AOB内部，∠AOC＝β． 【问题】以点O为顶点，射线OA为一边，作∠AOD，使得∠AOD＝∠BOC，求∠BOD的度数． 【探究】 （1）在作∠AOD时，同学们发现有如下两种情况，根据信息补全表格中的尺规作图与结论．（用含α、β的代数式表示） 情况1 情况2 位置分类 以射线OA为边，在∠AOB内部作∠AOD＝∠BOC． 以射线OA为边，在∠AOB外部作∠AOD＝∠BOC． 尺规作图 如图，∠AOD即为所求． 发现结论 ∠BOD的度数为　β　 ． ∠BOD的度数为　2α﹣β　 ． 【拓展】 （2）在情况2中，当OA为∠DOC的平分线时，猜想α与β之间的等量关系，并说明理由． 【分析】（1）分两种情形分别画出图形求解即可； （2）根据角平分线的定义构建关系式可得结论． 【解答】解：（1）如图，当OD在∠AOB的内部时 ∵∠AOB＝α，∠AOD＝∠BOC＝α﹣β， ∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝β； 当OD在∠AOB的外部时， ∵∠AOD＝∠BOC， ∴∠BOD＝∠AOB+∠AOD＝2α﹣β． 故答案为：β，2α﹣β； （2）当OA为∠DOC的平分线时，β＝α﹣β， ∴α＝2β． 【点评】本题考查作图—基本作图、角的计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 1．在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，∠DAE＝20°，则∠BAC＝　80或100　 °． 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，根据三角形内角和定理分两种情形分别计算即可． 【解答】解：如图1，∵DM，EN分别垂直平分AB和AC， ∴DA＝DB，EA＝EC， ∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C， ∠DAB+∠B+∠EAC+∠C﹣∠DAE＝180°， 则2（∠B+∠C）＝200°， 解得，∠B+∠C＝100°， ∴∠BAC＝80°， 如图2中，∵DM，EN分别垂直平分AB和AC， ∴DA＝DB，EA＝EC， ∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C， ∠DAB+∠B+∠EAC+∠C+∠DAE＝180°， 则2（∠B+∠C）＝160°， 解得，∠B+∠C＝80°， ∴∠BAC＝100°， 故答案为：80或100． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 2．如图，依据尺规作图的痕迹，∠ABC＝　70　 °． 【分析】由尺规作图痕迹可知，所作是线段AB的垂直平分线和∠ABC的平分线，结合线段垂直平分线的性质以及角平分线的定义可得答案． 【解答】解：如图，标记点D、点E， 由尺规作图可知，DE为线段AB的垂直平分线，BD为∠ABC的角平分线， ∴AD＝BD，DE⊥AB，∠ABD＝∠CBD， ∴△ABD为等腰三角形， ∴， ∴∠DBE＝180°﹣90°﹣55°＝35°， ∴∠ABC＝2∠DBE＝70°． 故答案为：70． 【点评】本题考查作图—基本作图，解答本题的关键是熟练掌握角平分线与线段垂直平分线的作法． 3．在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝35°，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为 　60°　 ． 【分析】由线段垂直平分线的性质可得AD＝DC，根据等边对等角得到∠DAC＝∠C＝35°，根据内角和定理求得∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝95°，最后根据角度的和差关系即可得到答案． 【解答】解：由作图可知：MN为线段AC的垂线平分线， ∴AD＝DC， ∴∠DAC＝∠C＝35°， 在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝35°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝95°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝60°， 故答案为：60°． 【点评】本题主要考查基本作图，线段垂直平分线的性质是解题的关键． 4．如图，MN是△ABC中AC边的垂直平分线，已知△ABC与△BCM的周长分别为22cm和14cm，则CN的长为　4　 cm． 【分析】根据中垂线性质得到MA＝MC，AN＝NC，结合三角形周长列式求解即可得到答案． 【解答】解：由题意可得：MA＝MC，AN＝NC， ∵△ABC与△BCM的周长分别为22cm和14cm， ∴C△ABC＝AC+BC+AB＝22cm；C△BCM＝CM+BC+BM＝MA+BM+BC＝BC+AB＝14cm， ∴AC＝22﹣14＝8cm， ∴， 故答案为：4． 【点评】本题考查求线段长，涉及中垂线的性质、三角形周长等知识，根据周长得到线段之间的关系是解决问题的关键． 5．如图，已知∠AOB＝90°，OC在∠AOB的内部． （1）作出∠BOC的平分线OD； （2）如果∠AOC＝30°，在完成画图后所得的图形中，与∠AOC互余的角有　∠BOC，∠AOD ； （3）如果∠BOD的补角与∠AOC的2倍互补，那么∠AOC＝　18　 °． 【分析】（1）根据要求画出图形； （2）求出各个角的度数，可得结论； （3）设∠AOC＝x，根据题目条件构建方程求解． 【解答】解：（1）如图，射线OD即为所求； （2）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝30°， ∴∠BOC＝60°， ∵OD平分∠BOC， ∴∠BOD＝∠DOC＝30°， ∴∠AOD＝60°， ∴∠OBC，∠AOD与∠AOC互余． 故答案为：∠BOC，∠AOD； （3）设∠AOC＝x，则∠BOC＝90°﹣x， 由题意，180°（90°﹣x）+2x＝180°， 解得x＝18°， ∴∠AOC＝18°， 故答案为：18． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的定义，余角和补角，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 1．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明∠AOB＝∠A′O′B′，需要证明△COD和△C'O'D'，则这两个三角形全等的依据是（　　） A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA 【分析】根据尺规作图可得OC＝O'C'，OD＝O'D'，CD＝C'D'，再根据SSS定理即可得． 【解答】解：由尺规作图可知，OC＝O'C'，OD＝O'D'，CD＝C'D'， 在△COD和△C'O'D'中， ， ∴△COD≌△C'O'D'（SSS）， 即这两个三角形全等的依据是SSS， 故选：C． 【点评】本题考查了作一个角等于已知角的尺规作图、三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 2．下列条件中，不能判定直线MN是线段AB（M，N不在AB上）的垂直平分线的是（　　） A．MA＝MB，NA＝NB B．MA＝MB，MN⊥AB C．MA＝NA，MB＝NB D．MA＝MB，MN平分AB 【分析】根据线段垂直平分线的判定定理进行判断即可． 【解答】解：∵MA＝MB，NA＝NB， ∴直线MN是线段AB的垂直平分线； ∵MA＝MB，MN⊥AB， ∴直线MN是线段AB的垂直平分线； 当MA＝NA，MB＝NB时，直线MN不一定是线段AB的垂直平分线； ∵MA＝MB，MN平分AB， ∴直线MN是线段AB的垂直平分线， 故选：C． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的判定，掌握线段垂直平分线的判定定理是解题的关键． 3．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，若∠BAC＝74°，则∠NAE的度数为（　　） A．30° B．32° C．36° D．37° 【分析】根据三角形内角和定理可求∠B+∠C，根据垂直平分线性质，EA＝EB，NA＝NC，则∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，从而可得∠BAC＝∠BAE+∠NAC﹣∠EAN＝∠B+∠C﹣∠EAN，即可得到∠EAN＝∠B+∠C﹣∠BAC，即可得解． 【解答】解：∵∠BAC＝74°， ∴∠B+∠C＝180°﹣74°＝106°， ∵AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N， ∴EA＝EB，NA＝NC， ∴∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C， ∴∠BAC＝∠BAE+∠NAC﹣∠NAE＝∠B+∠C﹣∠NAE， ∴∠NAE＝∠B+∠C﹣∠BAC＝106°﹣74°＝32°． 故选：B． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，角的和差关系，能得到求∠EAN的关系式是关键． 4．如图，在△ABC中，∠BAC是钝角，以点C为圆心、CB的长为半径画弧，再以点A为圆心、AB的长为半径画弧，这两条弧相交于点D，联结BD，延长CA交BD于点E．下列结论中一定正确的是（　　） A．BC＝BD B．2AE＝AB C．BD＝2DE D．∠ABD＝∠ABC 【分析】连接CD，AD，证明AC垂直平分线段BD可得结论． 【解答】解：连接CD，AD． 由作图可知AD＝AB，CD＝CB， ∴AC垂直平分线段DB， ∴BE＝DE， ∴BD＝2BE． 故选：C． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 5．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AD＝3，BC＝7，则BD的长是　4　 ． 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AD＝CD＝3，再由BD＝BC﹣CD即可得出结论． 【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AD＝3，BC＝7， ∴AD＝CD＝3， ∴BD＝BC﹣CD＝7﹣3＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键． 6．如图，点O是△ABC各边垂直平分线的交点，连接BO、CO．如果∠BOC＝72°，那么∠A＝ 　36　 °． 【分析】接AO并延长到点D，由线段垂直平分线的性质推出OA＝OB＝OC，得到∠OCA＝∠OAC，∠OBA＝∠OAB，由三角形的外角性质推出∠BOC＝2∠BAC，即可求出∠BAC的度数． 【解答】解：连接AO并延长到点D， ∵点O是△ABC各边垂直平分线的交点， ∴OA＝OB＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC，∠OBA＝∠OAB， ∵∠COD＝∠OCA+∠OAC＝2∠OAC，∠BOD＝∠OAB+∠OBA＝2∠BAO， ∴∠COD+∠BOD＝2（∠OAC+∠BAO）， ∴∠BOC＝2∠BAC， ∵∠BOC＝72°， ∴∠A＝36°． 故答案为：36． 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出OA＝OB＝OC，由三角形的外角性质得到∠BOC＝2∠BAC． 7．如图，在△ABC中，∠C＝25°，AC的垂直平分线MN交BC于点N，且AB+BN＝BC，则∠B的度数是 　50　 °． 【分析】先证明NA＝NC，可得∠C＝∠NAC＝25°，求解∠ANB＝∠C+∠CAN＝50°，证明AB＝CN＝AN，从而可得答案． 【解答】解：∵AC的垂直平分线MN交BC于点N， ∴NA＝NC， ∵∠C＝25°， ∴∠C＝∠NAC＝25°（等边对等角）， ∴∠ANB＝∠C+∠CAN＝25°+25°＝50°， ∵AB+BN＝BC，CN+BN＝BC， ∴AB＝CN＝AN， ∴∠B＝∠ANB＝50°（等边对等角）， 所以∠B的度数为50°， 故答案为：50． 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，三角形的外角的性质，关键是相关性质的熟练掌握． 8．如图，在△ABC中，AC＝18，AD垂直平分BC交BC于点D，点E在线段AB上，点F在线段AD上，连接BF、EF，若∠BAC＝∠BEF，BF＝6，则△BEF的周长为 　24　 ． 【分析】由线段垂直平分线的性质推出AB＝AC＝18，由等腰三角形的性质推出∠BAC＝2∠EAF，由三角形的外角性质推出∠EAF＝∠EFA，得到EA＝EF，因此△BEF的周长＝BF+AB＝24． 【解答】解：∵AD垂直平分BC， ∴AB＝AC＝18， ∵AD⊥BC， ∴∠BAC＝2∠EAF， ∴∠BEF＝∠BAC＝2∠EAF， ∵∠BEF＝∠EAF+∠EFA， ∴∠EAF＝∠EFA， ∴EA＝EF， ∴△BEF的周长＝BF+BE+EF＝BF+BE+AE＝BF+AB＝6+18＝24． 故答案为：24． 【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出AB＝AC，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质推出∠EAF＝∠EFA． 9．在△ABC中，∠A＝110°，边AB与AC的中垂线交于点O，则∠BOC＝ 　140　 °． 【分析】由线段垂直平分线的性质推出OA＝OB＝OC，得到∠OBA＝∠OAB，∠OCA＝∠OAC，因此∠OBA+∠OCA＝∠BAC＝110°，即可求出∠BOC＝360°﹣110°﹣110°＝140°． 【解答】解：如图， ∵OM垂直平分AB， ∴OA＝OB， ∴∠OBA＝∠OAB， 同理：∠OCA＝∠OAC， ∴∠OBA+∠OCA＝∠OAB+∠OAC＝∠BAC＝110°， ∴∠BOC＝360°﹣∠BAC﹣（∠OBA+∠OCA）＝360°﹣110°﹣110°＝140°． 故答案为：140． 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出OA＝OB＝OC，由等腰三角形的性质推出∠OBA+∠OCA＝∠BAC． 10．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；作直线MN分别交BC、AC于点D、E．若AE＝6cm，△ABD的周长为26cm，则△ABC的周长为 　38cm ． 【分析】先利用基本作图得到DE垂直平分AC，则根据线段垂直平分线的性质得到CE＝AE＝6cm，AD＝CD，然后利用等线段代换计算△ABC的周长． 【解答】解：由作法得DE垂直平分AC， ∴CE＝AE＝6cm，AD＝CD， ∵△ABD的周长为26cm， ∴AB+BD+AD＝26cm， ∴AB+BD+CD＝26cm， 即AB+BC＝26cm， ∵AC＝2AE＝12cm， △ABC的周长＝AB+BC+AC＝26+12＝38（cm）． 故答案为：38cm． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质． 11．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，按以下步骤作图：①以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点G；②分别以点G，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP．若点D在射线BP上，则线段BD的长度为　4　 ． 【分析】过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点H，先根据勾股定理求出AB的长，再证明AD＝AB＝5，证明四边形ACHD是矩形得AD＝CH＝5，DH＝AC＝4，然后根据勾股定理求解即可． 【解答】解：过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点H，如图， 由勾股定理可知． 由作图过程可知射线BP平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC． ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AD＝AB＝5． ∵AD∥BC， ∴∠CAD＝ADH＝90°， ∴四边形ACHD是矩形， ∴AD＝CH＝5，DH＝AC＝4， ∴BH＝3+5＝8， 在Rt△BHD中，． 故答案为：4． 【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定，矩形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 12．如图，已知射线ON的端点O在直线AB上． （1）用直尺和量角器画∠BON的平分线OC．（不写作法，保留作图痕迹） （2）当∠AON＝60°时，图中与∠AON互补的角有　∠BON和∠AOC ． （3）如果∠BOC比∠AON的一半多25°，则∠BON＝　115°　 ． 【分析】（1）根据作角平分线的基本做法作图； （2）根据角平分线的选择及互补的意义求解； （3）根据题意列方程求解． 【解答】解：（1）如图：OC即为所求； （2）∵∠AON＝60°， ∴∠NOB＝120°， ∵OC平分∠AOB， ∴∠NOC＝∠BOC＝60°， ∴∠AOC＝∠BON＝120°， ∴∠AON+∠BON＝180°，∠AON+∠AOC＝180°， 故答案为：∠BON和∠AOC； （3）设∠AON＝x， 则∠BON＝180°﹣x， ∵OC平分∠AOB， ∴∠NOC＝∠BOCBON＝90°x， ∵∠BOC比∠AON的一半多25°， ∴90°xx+25°， ∴x＝65°， ∴∠BON＝180°﹣x＝180°﹣65°＝115°， 故答案为：115°． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图，掌握角的平分线的性质及角的和差是解题的关键． 13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝12cm，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，且△BCD的周长为22cm．求底边BC的长． 【分析】由DE垂直平分AC可得AD＝CD，则△BCD的周长为BC+BD+CD＝BC+BD+AD＝BC+AB，把AB的值代入即可求出BC． 【解答】解：∵DE垂直平分AC， ∴AD＝CD， ∴△BCD的周长为BC+BD+CD＝BC+BD+AD＝BC+AB， ∵△BCD的周长为22cm， ∴BC+AB＝22cm， ∵AB＝AC＝12cm， ∴BC＝10cm， ∴底边BC的长为10cm． 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 14．如图，在△ABC中，∠C＝110°，边AB、CB的垂直平分线相交于点P，连接AP、BP，求∠APB的度数． 【分析】根据垂直平分线的性质得到AP＝CP＝BP，再由∠C＝110°可得∠PCA+∠PCB＝110°，最后利用四边形内角和即可求解． 【解答】解：如图，连接CP， ∵边AB、BC的垂直平分线交于点P， ∴BP＝CP，AP＝BP， ∴AP＝BP＝CP， ∴∠PBC＝∠PCB，∠PAC＝∠PCA， ∵∠ACB＝110°， ∴∠PCA+∠PCB＝110°， ∴∠PAC+∠PBC＝110°， ∴∠APB＝360°﹣∠PAC﹣∠PBC﹣∠ACB ＝360°﹣110°﹣110° ＝140°． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 15．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°． （1）尺规作图：作AB的垂直平分线DE，垂足为D，交AC于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与证明：在（1）的条件下，求证：DE＝EC． 【分析】（1）利用基本作图，作AB的垂直平分线即可； （2）连接BE，如图，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，ED⊥AB，则∠EBD＝∠A＝30°，所以可判断BE平分∠ABC，然后根据角平分线的性质得到DE＝CE． 【解答】（1）解：如图，DE为所作； （2）证明：连接BE，如图， ∵DE垂直平分AB， ∴EA＝EB，ED⊥AB， ∴∠EBD＝∠A＝30°， ∵∠ABC＝90°﹣∠A＝60°， ∴BE平分∠ABC， ∴ED＝EC． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质． 16．已知：如图，在△ABC中，∠A＝82°，∠B＝41°，线段BC的垂直平分线交线段BC于点E，交线段AB于点D，联结CD．如果AD＝2，BD＝6，求△ADC的周长． 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DC＝BD，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质求出∠CDA，得到∠A＝∠CDA，得到CA＝CD＝6，根据三角形周长公式计算即可． 【解答】解：∵DE垂直平分BC， ∴DC＝BD＝6， ∴∠DCE＝∠B＝41°， ∴∠CDA＝∠B+∠DCE＝82°， ∵∠A＝82°， ∴∠A＝∠CDA， ∴CA＝CD＝6， ∴△ADC的周长＝AD+AC+DC＝2+6+6＝14． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 17．如图所示，在△ABC中，AC＝10cm，BC＝7cm． （1）尺规作图：作边AB的垂直平分线DE交AC、AB于D、E两点． （2）连接BD，求△BCD的周长． 【分析】（1）分别以点A、B为圆心，大于的长为半径作弧，前后弧相交，然后过弧交点作直线交AB于E，AC于D即可； （2）由DE垂直平分AB得DB＝DA，从而即可求得△BCD的周长． 【解答】解：（1）如图所示，DE是边AB的垂直平分线． （2）由作图可知DE是边AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∴BD+CD＝AD+CD＝AC， ∴BD+CD+BC＝AC+BC＝17cm， 答：△BCD的周长是17cm． 【点评】本题主要考查了尺规作图之作线段的垂直平分线以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 18．如图，已知：在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AC分别交AC、AD于点E、F，连接CF． （1）如果∠BAC＝70°，求∠EFC的度数； （2）过点F作FG∥AB交边AC于点G，如果AC＝10，AF＝6，求△GFC的周长． 【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠DAC，根据线段垂直平分线的性质得到FA＝FC，得到∠FCA＝∠DAC＝35°，根据直角三角形的性质计算，得到答案； （2）根据平行线的性质、角平分线的定义得到∠AFG＝∠DAC，得到GA＝GF，根据三角形周长公式计算即可． 【解答】解：（1）∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝70°， ∴∠DAC＝∠BAD∠BAC＝35°， ∵EF垂直平分AC， ∴FA＝FC，FE⊥AC， ∴∠FCA＝∠DAC＝35°， ∴∠EFC＝90°﹣35°＝55°； （2）∵FG∥AB， ∴∠AFG＝∠BAD， ∵∠BAD＝∠DAC， ∴∠AFG＝∠DAC， ∴GA＝GF， ∴△GFC的周长＝GF+FC+CG＝GA+GC+AF＝AC+AF＝10+6＝16． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，连接AD．过点C作CE⊥AD于E，且，说明AD＝CD的理由． 解：用直尺和圆规，过点A作BC的垂线AF，垂足为F．（只保留作图痕迹） 因为AB＝AC，AF⊥CF （已知）， 所以（ 　等腰三角形三线合一　 ）， 因为（已知）， 所以∠ACE＝∠CAF（等量代换）， 因为CE⊥AD（已知）， 所以∠CEA＝90°（垂直的意义）， 因为AF⊥CB（已作）， 所以∠AFC＝90°（垂直的意义）， 所以∠CEA＝∠AFC（等量代换）， 在△ACE和△CAF中 所以△ACE≌△CAF（AAS）， 所以 　∠DAC＝∠ACD （全等三角形的对应角相等）， 所以AD＝CD（ 　等角对等边　 ）． 【分析】根据要求作出图形，证明△ACE≌△CAF（AAS），可得结论． 【解答】解：图形如图所示： 因为AB＝AC，AF⊥CF（已知）， 所以（等腰三角形三线合一）， 因为（已知）， 所以∠ACE＝∠CAF（等量代换）， 因为CE⊥AD（已知）， 所以∠CEA＝90°（垂直的意义）， 因为AF⊥CB（已作）， 所以∠AFC＝90°（垂直的意义）， 所以∠CEA＝∠AFC（等量代换）， 在△ACE和△CAF中， ， 所以△ACE≌△CAF（AAS）， 所以∠DAC＝∠ACD（全等三角形的对应角相等）， 所以AD＝CD（等角对等边）． 故答案为：AF⊥CF，等腰三角形三线合一，∠DAC＝∠ACD，等角对等边． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 20．如图，已知∠AOB，射线OC、OD在∠AOB的内部，OC⊥OB，OD平分∠AOB． （1）用直尺、圆规作出角平分线OD； （2）当∠AOB＝130°时，求∠COD的度数； （3）若∠BOD＝2∠AOC，求∠COD的度数． 【分析】（1）根据角分线作法作图即可； （2）由角平分线的定义可得，由垂直的定义可得∠BOC＝90°，从而根据∠COD＝∠BOC﹣∠BOD即可求解； （3）设∠AOC＝x，∠BOD＝2x．由OD平分∠AOB得到∠AOD＝∠BOD＝2x，∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝x，又∠COB＝90°，得到2x+x＝90°，求解即可解答． 【解答】解：（1）如图： （2）∵OD平分∠AOB，∠AOB＝130°， ∴， ∵OC⊥OB， ∴∠COB＝90°， ∴∠COD＝∠COB﹣∠BOD＝90°﹣65°＝25°． （3）∵∠BOD＝2∠AOC ∴设∠AOC＝x，∠BOD＝2x． ∵OD平分∠AOB， ∴∠AOD＝∠BOD＝2x， ∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝2x﹣x＝x， ∵OC⊥OB， ∴∠COB＝90°，即∠BOD+∠COD＝90° ∴2x+x＝90°， 解得x＝30°， ∴∠COD＝30°． 【点评】本题考查基本作图，角平分线的定义，解题的关键是掌握相关运算． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 等腰三角形的判定 精讲提升培优讲义 2026年沪教新版七年级下18.4 本讲义内容设置：①重点知识梳理；②历年真题精讲；③随堂练习；④课后针对性练习。 1.理解线段垂直平分线的定义； 2.掌握其性质定理和判定定理；能用尺规作垂直平分线； 3.了解三角形的外心。 知识点一 线段的垂直平分线及其性质 1.线段的垂直平分线 我们已经知道，等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线(底边上的中线、底边上的高)所在的直线. 定义：过线段中点且垂直于这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线. 2.线段的垂直平分线的性质 如图18-4-1,如果直线CD是线段AB的垂直平分线，垂足为O,那么OA=OB,且CD⊥AB. 我们有下面的线段垂直平分线的性质定理： 定理 线段的垂直平分线上的任意一点到该线段两个端点的距离相等. 如图18-4-2,已知：直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为C,点P在直线MN上. 求证：PA=PB. 证明 因为直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为C,所以MN⊥AB,AC=BC. 如果点P不在线段AB上，由MNLAB,得∠PCA=∠PCB=90°.又因为PC是公共边，由“边角边”,得△PCA≌ △PCB.由此推出PA=PB. 如果点P在线段AB上，那么点P与点C重合，仍有PA=PB. 知识点二 线段的垂直平分线的判定 这个定理的逆命题也是成立的，即有： 定理 与一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 如图18-4-3,已知：线段AB和一点Q,且QA=QB 求证：点Q在线段AB的垂直平分线上. 分析 要证点Q在线段AB的垂直平分线上，可以先经过点Q作线段AB的垂线，然后证明该垂线平分线段AB. 证明 如果点Q在线段AB上，由QA=QB,可知Q为线段AB的中点，即点Q必在线段AB的垂直平分线上. 如果点Q不在线段AB上，过点Q作QC⊥AB,垂足为C(图18-4-4).由QA=QB,QC⊥AB,根据“等腰三角形三线合一”,可得AC=BC,即C是线段AB的中点.由此可见，点Q在线段AB的垂直平分线上. 注：也可以先平分线段AB,如设线段AB的中点为C,连接QC,然后证明QC垂直于线段AB. 知识点三 尺规作图 例1作已知线段的垂直平分线. 如图18-4-5,已知线段AB,求作线段AB的垂直平分线. 分析 根据“与一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”,只需要作出两个点，使每一个点到线段AB的两个端点的距离都相等，这两点所确定的直线就是线段AB的垂直平分线. 作法 (1)以点A为圆心、以AB的长为半径作弧； (2)以点B为圆心、以AB的长为半径作弧； (3)两弧分别相交于点E、F,过点E、F作直线EF 直线EF就是线段AB的垂直平分线(图18-4-6). 图18-4-6中，由于直线EF与线段AB的交点C就是线段AB的中点，因此我们也可以用这种方法作线段的中点 例2过直线外一点作已知直线的垂线. 如图18-4-7,已知直线l和l外一点P,过点P求作直线L的垂线. 分析 只需在直线l上找出两点A和B,使点P在线段AB的垂直平分线上，就可以将问题转化为作线段AB的垂直平分线。 作法 (1)任意取一点K,使点K和点P分别在直线l的两侧； (2)以点P为圆心、以PK的长为半径作弧，与直线L相交于点A、B; (3)作线段AB的垂直平分线CD. 直线CD就是所求的垂线(图18-4-8). 请自行完成证明. 例3已知底边和底边上的高作等腰三角形. 如图18-4-9,已知线段a、h.求作△ABC,使AB=AC,且BC=a,高AD=h. 分析 先画出符合条件的示意图，根据BC=a,可以确定点B、C的位置.由“等腰三角形三线合一”,作BC的垂直平分线MN,交BC于点D.由AD=h,可知点D到点A的距离为h,这就是说，点A在以定点D为圆心、以h为半径的圆上.因此，这个圆与MN的交点就是A. 作法 (1)作线段BC=a; (2)作线段BC的垂直平分线MN,MN与BC相交于点D; (3)以点D为圆心、以h的长为半径作弧，交MN于点A; (4)分别连接AB、AC. △ABC就是所求的三角形(图18-4-10). 知识点四 三角形的外形 例4如图18-4-11,已知：在△ABC中，OM、ON分别是边AB、AC的垂直平分线，OM与ON相交于点O. 求证：点O在边BC的垂直平分线上. 证明 如图18-4-12,分别连接OB、OA、OC. ∵OM、ON分别是边AB、AC的垂直平分线， ∴OA=OB,OC=OA(线段垂直平分线的性质定理). ∴OB=OC. ∴点O在边BC的垂直平分线上(与一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上). 本题的结论表明：三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，这个交点叫作三角形的外心. 三角形的外心的性质：三角形的外心到三个顶点的距离相等. 一．线段垂直平分线的性质（共16小题） 1．在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（　　） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条高的交点 2．如图，等腰三角形ABC底边BC的长为5cm，面积是18cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的动点，M为线段EF上一动点，则BM+DM最小值为（　　）cm． A． B． C． D． 3．如图，在△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F．若△ABC的周长为20，DC＝6，则AC的长为（　　） A．5 B．4 C．10 D．8 4．如图，直线DE是△BAC的边AB的垂直平分线，已知AC＝5cm，△ADC的周长为18cm，则BC的长为（　　） A．4cm B．10cm C．12cm D．13cm 5．如图，从△ABC内一点O出发，把△ABC剪成三个三角形（如图1），边AB，BC，AC放在同一直线上，点O都落在直线MN上（如图2），直线MN∥AC，则点O是△ABC的（　　） A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点 C．三条中线的交点 D．三边中垂线的交点 6．如图，依据尺规作图的痕迹，∠ACP＝　 　 °． 7．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，如果DA⊥AC，BC＝8，，那么BD＝ 　 　 ． 8．如图，DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，若∠BAC＝110°，则∠DAE＝ 　 　 °． 9．如图，△ABC的两边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，若∠BAC+∠DAE＝150°，则∠BAC的度数是 　 　 ． 10．如图，在△ABC中，I是三角形三条角平分线的交点，O是三边垂直平分线的交点，连接AI，BI，AO，BO，若∠AOB＝140°，则∠AIB的度数是 　 　 °． 11．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E．若AE＝2cm，△BCD的周长为20cm，则△ABC的周长为　 　 cm． 12．如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，点M的速度为4cm/s，点N的速度为6cm/s，当点M、N第一次相遇时间时停止运动．设点M、点N的运动时间为t（t＞0）秒，当线段MN的垂直平分线经过△ABC的某一顶点时，t的值为 　 　 ． 13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于D，E．若∠CAE＝∠B+30°，求∠AEB的度数． 14．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE． （1）求证：AB＝EC； （2）若△ABC的周长为20cm，AC＝9cm，求DC长． 15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE． （1）求证：AB＝EC； （2）若△ABC的周长为42cm，AC＝16cm，求DC的长． 16．如图，在△ABC中，l是AB的垂直平分线，与边AC交于点E，点D在l上，且DB＝DC，连接AD． （1）求证：点D在边AC的垂直平分线上； （2）连接BE，若BD⊥CD，求证：BE⊥AC． 二．三角形的外接圆与外心（共9小题） 17．在锐角三角形ABC中，AB＝AC，BC＝8，它的外接圆O的半径长为5，若点D是边BC的中点，以点D为圆心的圆和⊙O相交，那么⊙D的半径长可以是（　　） A．2 B．5 C．8 D．10 18．三角形的外心是（　　） A．三条中线的交点 B．三个内角的角平分线的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条高的交点 19．如图，等边三角形ABC边长为1，点D，E，F分别在边CA，AB，BC的延长线上，AD＝BE＝CF＝1，连接DE，EF，FD，EC．给出下面四个结论中正确的是（　　） ①△DEF是等边三角形；②DC⊥EC；③△ABC的面积为与△DEF面积之比为1：6；④△DEF的外心与△ABC的外心重合． A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 20．已知在△ABC中，O是三角形的外心（三条中垂线的交点），∠BOC＝50°，则∠A＝ 　 　 ． 21．如图，⊙O的半径为10cm，△ABC内接于⊙O，圆心O在△ABC内部．如果AB＝AC，BC＝12cm，那么△ABC的面积为 　 　 cm2． 22．三角形的外心是三角形　 　 的交点． 23．如果点O为△ABC的外心，∠BOC＝80°，那么∠BAC等于 　 　 ． 24．⊙O是等边△ABC的外接圆，若AB＝3，则⊙O的半径是　 　 ． 25．小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 三．作图—基本作图（共4小题） 26．尺规作图：已知AB＝a、CD＝b． （1）①画射线OL； ②在射线OL上截取OE＝EF＝a； ③在射线FO上截取FP＝b． （2）根据所作图形，可知OP＝　 　 ．（用含有a、b的代数式表示） 27．用直尺和圆规作钝角△ABC边BC上的高． 28．如图，已知点O在直线AB上，∠COD＝90°． （1）用直尺和圆规，在∠COD的内部作∠COE，使∠COE＝∠BOD；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下， ①若∠AOC比∠BOD大20°，则∠DOE＝ 　 　 ． ②图中互余的角共有 　 　 对． 29．如图1，已知∠AOB＝180°，射线ON，尺规作出∠BON的平分线OC，∠AON的平分线OD． （1）如果∠AON＝52°，射线OA、OB分别表示从点O出发东、西两个方向，那么射线OD表示 　 　 方向，射线OC表示 　 　 方向． （2）如果将∠AOB沿着ON剪开分为两个角，再将∠AON逆时针旋转n°，到图2中∠AON′的位置，求此时∠COD＝　 　 °．（用n表示） 四．创新及压轴题（共6小题） 30．小海在解答练习册P37第4题后进行了拓展探究： 如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交边BC于点D，AE⊥BC，垂足为E． 小海猜想：通过∠C的度数可求出∠CAE的度数，再结合∠B、∠C的度数可求出∠CAD的度数，从而确定∠B、∠C与∠DAE之间存在固定的数量关系．他尝试代入了几组∠B、∠C的度数后（∠B＜∠C），验证了这一猜想． （1）请补全下表： ∠B 36° 30° 24° … ∠C 44° 60° 72° … ∠DAE 4° 　 　 　 　 … （2）如图2，若∠B＝α，∠C＝β（α＜β），那么∠DAE＝ 　 　 （用含α、β的代数式表示），并加以证明； （3）在（2）的基础上作AD的垂直平分线，交BC的延长线于点F，连接AF．如图3，如果∠ACB＝64°，请直接写出∠BAF＝ 　 　 °． 31．通过“三角形全等的判定”的学习，大家知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形全等吗？下面请你来探究． 任务：已知△ABC，求作△DEF，使EF＝BC，∠E＝∠B，DF＝AC（即两边和其中一边所对的角分别相等）． （1）【实践与操作】请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程（保留作图痕迹）． ①作线段EF＝BC； ②在线段EF的上方作∠MEF＝∠B； ③作FD＝AC，交射线EM于点D； ④连接DF得所求三角形． （2）【观察与小结】观察你作的图形，你会发现满足条件的三角形有　 　 个；其中　 　 （填三角形的名称）与△ABC不全等． 因此可得：“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形全等”是：　 　 命题．（填“真”或“假”）． 32．“风筝飞满天，笑语乐无边”，由喜闻乐见的风筝可以抽象得到一种特殊的四边形﹣筝形．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．初步认识筝形后，数学活动小组的同学通过观察、测量、折纸等方法猜想筝形有什么性质，小明观察后认为AC垂直平分BD，请你帮助小明从几何证明的角度说明这一筝形性质． 已知：在四边形（筝形）ABCD中，　 　 ，　 　 ，求证：　 　 ． （请把横线上的“已知”“求证”内容补充完成，并完成后续相应证明过程） 33．如图，在△ABC中，点D在边BA的延长线上，过点D作射线DM∥BC，点E是射线DM上一个定点． （1）用尺规完成以下基本作图：在射线DM上方作∠DEF＝∠C，与BA的延长线交于点F．（保留作图痕迹） （2）在（1）问条件下，若BD＝AF，求证：AC∥FE 请把以下的解题过程补充完整． 证明：∵DM∥BC（已知）， ∴∠B＝∠FDE（①　 　 ）， ∵BD＝AF（已知）， ∴BD﹣AD＝②　 　 （等式的性质）， ∴AB＝FD， 在△ABC和△FDE中， ， ∴△ABC≌△FDE（AAS）， ∴∠BAC＝③　 　 （全等三角形的对应角相等）， ∴AC∥FE（④　 　 ）． 34．已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点O和点P是这个三角形内部两点． （1）如图①，如果点P是这个三角形三个内角平分线的交点，那么∠BPC和∠BAC有怎样的数量关系？请说明理由； （2）如图②，如果点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，那么∠BOC和∠BAC有怎样的数量关系？请说明理由； （3）如图③，如果点P（三角形三个内角平分线的交点），点O（三角形三边垂直平分线的交点）同时在不等边△ABC的内部，那么∠BPC和∠BOC有怎样的数量关系？请直接回答． 35．在学习《角》时，同学们开展了如下探究： 【背景】如图，已知∠AOB＝α，射线OC在∠AOB内部，∠AOC＝β． 【问题】以点O为顶点，射线OA为一边，作∠AOD，使得∠AOD＝∠BOC，求∠BOD的度数． 【探究】 （1）在作∠AOD时，同学们发现有如下两种情况，根据信息补全表格中的尺规作图与结论．（用含α、β的代数式表示） 情况1 情况2 位置分类 以射线OA为边，在∠AOB内部作∠AOD＝∠BOC． 以射线OA为边，在∠AOB外部作∠AOD＝∠BOC． 尺规作图 如图，∠AOD即为所求． 发现结论 ∠BOD的度数为　 　 ． ∠BOD的度数为　 　 ． 【拓展】 （2）在情况2中，当OA为∠DOC的平分线时，猜想α与β之间的等量关系，并说明理由． 1．在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，∠DAE＝20°，则∠BAC＝　 　 °． 2．如图，依据尺规作图的痕迹，∠ABC＝　 　 °． 3．在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝35°，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为 　 　 ． 4．如图，MN是△ABC中AC边的垂直平分线，已知△ABC与△BCM的周长分别为22cm和14cm，则CN的长为　 　 cm． 5．如图，已知∠AOB＝90°，OC在∠AOB的内部． （1）作出∠BOC的平分线OD； （2）如果∠AOC＝30°，在完成画图后所得的图形中，与∠AOC互余的角有　 　 ； （3）如果∠BOD的补角与∠AOC的2倍互补，那么∠AOC＝　 　 °． 1．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明∠AOB＝∠A′O′B′，需要证明△COD和△C'O'D'，则这两个三角形全等的依据是（　　） A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA 2．下列条件中，不能判定直线MN是线段AB（M，N不在AB上）的垂直平分线的是（　　） A．MA＝MB，NA＝NB B．MA＝MB，MN⊥AB C．MA＝NA，MB＝NB D．MA＝MB，MN平分AB 3．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，若∠BAC＝74°，则∠NAE的度数为（　　） A．30° B．32° C．36° D．37° 4．如图，在△ABC中，∠BAC是钝角，以点C为圆心、CB的长为半径画弧，再以点A为圆心、AB的长为半径画弧，这两条弧相交于点D，联结BD，延长CA交BD于点E．下列结论中一定正确的是（　　） A．BC＝BD B．2AE＝AB C．BD＝2DE D．∠ABD＝∠ABC 5．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AD＝3，BC＝7，则BD的长是　 　 ． 6．如图，点O是△ABC各边垂直平分线的交点，连接BO、CO．如果∠BOC＝72°，那么∠A＝ 　 　 °． 7．如图，在△ABC中，∠C＝25°，AC的垂直平分线MN交BC于点N，且AB+BN＝BC，则∠B的度数是 　 　 °． 8．如图，在△ABC中，AC＝18，AD垂直平分BC交BC于点D，点E在线段AB上，点F在线段AD上，连接BF、EF，若∠BAC＝∠BEF，BF＝6，则△BEF的周长为 　 　 ． 9．在△ABC中，∠A＝110°，边AB与AC的中垂线交于点O，则∠BOC＝ 　 　 °． 10．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；作直线MN分别交BC、AC于点D、E．若AE＝6cm，△ABD的周长为26cm，则△ABC的周长为 　 　 ． 11．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，按以下步骤作图：①以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点G；②分别以点G，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP．若点D在射线BP上，则线段BD的长度为　 　 ． 12．如图，已知射线ON的端点O在直线AB上． （1）用直尺和量角器画∠BON的平分线OC．（不写作法，保留作图痕迹） （2）当∠AON＝60°时，图中与∠AON互补的角有　 　 ． （3）如果∠BOC比∠AON的一半多25°，则∠BON＝　 　 ． 13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝12cm，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，且△BCD的周长为22cm．求底边BC的长． 14．如图，在△ABC中，∠C＝110°，边AB、CB的垂直平分线相交于点P，连接AP、BP，求∠APB的度数． 15．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°． （1）尺规作图：作AB的垂直平分线DE，垂足为D，交AC于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与证明：在（1）的条件下，求证：DE＝EC． 16．已知：如图，在△ABC中，∠A＝82°，∠B＝41°，线段BC的垂直平分线交线段BC于点E，交线段AB于点D，联结CD．如果AD＝2，BD＝6，求△ADC的周长． 17．如图所示，在△ABC中，AC＝10cm，BC＝7cm． （1）尺规作图：作边AB的垂直平分线DE交AC、AB于D、E两点． （2）连接BD，求△BCD的周长． 18．如图，已知：在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AC分别交AC、AD于点E、F，连接CF． （1）如果∠BAC＝70°，求∠EFC的度数； （2）过点F作FG∥AB交边AC于点G，如果AC＝10，AF＝6，求△GFC的周长． 19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，连接AD．过点C作CE⊥AD于E，且，说明AD＝CD的理由． 解：用直尺和圆规，过点A作BC的垂线AF，垂足为F．（只保留作图痕迹） 因为AB＝AC，　 　 （已知）， 所以（ 　 　 ）， 因为（已知）， 所以∠ACE＝∠CAF（等量代换）， 因为CE⊥AD（已知）， 所以∠CEA＝90°（垂直的意义）， 因为AF⊥CB（已作）， 所以∠AFC＝90°（垂直的意义）， 所以∠CEA＝∠AFC（等量代换）， 在△ACE和△CAF中 所以△ACE≌△CAF（AAS）， 所以 　 　 （全等三角形的对应角相等）， 所以AD＝CD（ 　 　 ）． 20．如图，已知∠AOB，射线OC、OD在∠AOB的内部，OC⊥OB，OD平分∠AOB． （1）用直尺、圆规作出角平分线OD； （2）当∠AOB＝130°时，求∠COD的度数； （3）若∠BOD＝2∠AOC，求∠COD的度数． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $