第6讲 命题与证明精讲提升培优讲义2025- 2026学年沪教版（五四制）七年级数学下册

本讲义聚焦初中数学“命题与证明”核心知识点，系统梳理命题（真/假命题）、互逆命题的概念，明确命题“如果…那么…”的结构，详解证明的基本步骤（已知、求证、推理过程）及反例应用，构建从概念理解到逻辑推理的学习支架。 资料亮点在于真题精讲涵盖多样题型，结合实际情境题（如血型推理、座位游戏），培养学生抽象能力、推理意识与应用意识。课中助力教师引导逻辑分析，课后通过分层练习帮助学生查漏补缺，强化知识掌握。

第6讲 命题与证明 精讲提升培优讲义 2026年沪教新版七年级下16.3 （答案详解版） 本讲义内容设置：①重点知识梳理；②历年真题精讲；③随堂练习；④课后针对性练习。 1.理解命题、真命题、假命题、逆命题的概念； 2.能判断简单命题的真假； 3.了解证明的基本步骤。 知识点一 命题 我们见过一些可以判断真假的语句。例如： (1)两个有理数相乘，同号得正，异号得负； (2)已知 a、b 是任意两个数，如果 a²=b²,那么 a=b; (3)对顶角相等； (4)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行； (5)两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 像这样，用自然语言、符号或式子表达，且可以判断其真假的语句叫作命题.正确的命题叫作真命题，错误的命题叫作假命题.上述命题中，(1)(3)(4)(5)都可以被证明是真命题；而(2)是假命题，比如，a=1,b=-1,虽然a²=b²=1,但是 a≠b. 数学命题通常由条件、结论两部分组成.命题常可以写成“如果……,那么……”的形式.其中，用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论。 命题(3)“对顶角相等”是一个简洁表述的命题，它也可以改写成“如果……,那么……”的形式，叙述为：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”。 知识点二 互逆命题 互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫作互逆命题。 如果把其中一个命题叫作原命题，那么另外一个命题就叫作它的逆命题。 *注意：原命题是真命题时，其逆命题不一定是真命题。 知识点三 证明 1.证明：除了公理之外，真命题需要经过证明才能确认。 证明一个命题为真，先明确“已知”“求证”，再“证明”。其中，“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，“证明”是在“已知”和“求证”之间建立逻辑联系的完整推理过程.在初中平面几何中，通常遵循步骤： (1)根据题意画出示意图； (2)根据条件和结论，参照示意图，写出“已知”和“求证”; (3)写出由条件推出结论的完整过程。 2.反例：要判定一个命题是假命题，有时只需举出一个符合命题的条件，但不满足命题的结论的例子。这样的例子通常称为反例。 一．命题与定理（共17小题） 1．下列命题中，判断错误的是（　　） A．所有定理都有逆命题 B．对顶角相等的逆命题是真命题 C．两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行 D．假命题的逆命题不一定是假命题 【分析】根据命题，定理的定义，逆命题的定义一一判断即可． 【解答】解：A、所有定理都有逆命题，正确，不符合题意； B、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，原说法错误，符合题意； C、两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行，正确，不符合题意； D、假命题的逆命题不一定是假命题，例如相等的角是对顶角是假命题，而此命题的逆命题是对顶角相等，是真命题，正确，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 2．下列命题中，一定正确的是（　　） A．如果一个直角三角形的两条边的长分别为6和8，那么第三条边的长为10 B．如果一个直角三角形的面积为20，那么斜边上的高可以为5 C．有一条直角边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形一定全等 D．在直角三角形中，如果一条直角边等于另一条边的一半，那么这条直角边所对的角等于30° 【分析】根据勾股定理、完全平方公式、三角形面积公式、全等三角形的判定和性质判断． 【解答】解：A、如果一个直角三角形的两条直角边的长分别为6和8，那么第三条边的长为10，故本选项命题错误，不符合题意； B、设直角三角形两直角边长为a，b，斜边长为c， 当直角三角形的面积为20时，ab＝40， 当斜边上的高为5时，c＝8，此时a2+b2＝64， 则（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝64﹣80＝﹣16，不符合题意，故本选项命题错误，不符合题意； C、有一条直角边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形一定全等，命题正确，符合题意； D、在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°，故本选项命题错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 3．已知命题： ①腰和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似； ②底边和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似． 下列对这两个命题的判断，正确的是（　　） A．①和②都是真命题 B．①和②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【分析】根据等腰三角形的性质、相似三角形的判定定理判断即可． 【解答】解：①两个三角形都是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形时，腰和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似，本小题说法是假命题； ②底边和一腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似，本小题说法是真命题； 故选：D． 【点评】本题考查的是命题的真假判断，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 4．对于命题“如果∠1+∠2＝180°，那么∠1＝∠2”，能说明它是假命题的反例是（　　） A．∠1＝∠2＝90° B．∠1＝60°，∠2＝120° C．∠1＝50°，∠2＝50° D．∠1+∠2＝90° 【分析】要说明命题“如果∠1+∠2＝180°，那么∠1＝∠2”是假命题，需找到满足条件但结论不成立的例子． 【解答】解：∠1＝∠2＝90°，和为180°且两角相等，满足命题结论，不能作为反例，不符合题意； ∠1＝60°，∠2＝120°，和为180°，但两角不相等，结论不成立，符合题意； ∠1＝50°，∠2＝50°，和为100°，不满足条件，无法作为反例，不符合题意； ∠1+∠2＝90°，不满足条件，无法作为反例，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题主要考查了假命题，熟练掌握假命题是解题的关键． 5．对于以下两个命题，判断正确的是（　　） ①在△ABC中，如果AB＞AC＞BC，那么∠C＞∠B＞∠A； ②在△ABC中，如果AB＞AC＞BC，且∠C＝87°，那么△ABC是锐角三角形． A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 【分析】在三角形中，大边对大角，由此即可判断． 【解答】解：①因为三角形中，大边对大角，故①符合题意； ②因为△ABC中，最大角为锐角，因此三角形为锐角三角形，故②符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查命题与定理，关键是掌握在三角形中，大边对大角． 6．下列命题中，真命题有（　　） ①在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④相等的角是对顶角； ⑤两条直线被第三条直线所截，内错角相等． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据平行线的判定、对顶角、平行线等知识逐项判断即可； 【解答】解：①同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题正确，是真命题，符合题意； ②在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交两种，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题，符合题意； ④相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ⑤两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意； 真命题有2个， 故选：A． 【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题，许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理； 7．“等边三角形的三个内角都等于60°”的逆命题是　三个内角都等于60°的三角形是等边三角形　 ． 【分析】逆命题就是原命题的题设和结论互换，找到原命题的题设为等边三角形，结论为三个内角相等，互换即可． 【解答】解：命题“等边三角形的三个内角都等于60°”的逆命题是“三个内角都等于60°的三角形是等边三角形”． 故答案为：三个内角都等于60°的三角形是等边三角形． 【点评】本题考查逆命题的概念，关键是知道题设和结论互换，属于基础题，难度不大． 8．命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是 　真　 命题．（填“真”或“假”） 【分析】根据题意写出逆命题后判断正误即可． 【解答】解：命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是两个锐角互余的三角形是直角三角形，逆命题是真命题； 故答案为：真． 【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够写出所有命题的逆命题，难度不大． 9．把命题“等角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是 　如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等　 ． 【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论． 【解答】解：根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等”， 故答案为：如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等． 【点评】本题考查命题的定义，根据命题的定义，命题由题设和结论两部分组成． 10．命题若a2＝b2，则a＝b是 　假　 命题（填“真”或“假”）． 【分析】根据偶次幂进行判断即可． 【解答】解：若a2＝b2，则a＝b或a＝﹣b，原命题是假命题； 故答案为：假． 【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是弄清偶次幂问题． 11．下列说法中，是假命题的是 　①②③　 ． ①如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等； ②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补； ③过直线外一点P向直线m作垂线段，这条垂线段就是点P到直线的距离； ④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 【分析】根据平行线的性质，根据点到直线的距离的定义和垂直的性质求解即可． 【解答】解：①如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或者互补，原命题是假命题，符合题意； ②两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，原命题是假命题，符合题意； ③过直线外一点P向直线m作垂线段，这条垂线段的长度就是点P到直线的距离，原命题是假命题，符合题意； ④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是真命题，不符合题意． 故答案为：①②③． 【点评】本题主要考查了判断命题真假，点到直线的距离，平行线的性质，垂直的定义，解题的关键是熟练掌握各自的概念和性质． 12．“和为钝角的两个角都是锐角”是　假　 （填写“真”或“假”）命题． 【分析】根据锐角、钝角的概念判断即可． 【解答】解：30°+120°＝150°，即30°与120°的和是150°，而120、150°都是钝角， ∴“和为钝角的两个角都是锐角”是假命题， 故答案为：假． 【点评】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 13．对于下列假命题，各举一个反例写在横线上． （1）“如果ac＝bc，那么a＝b”是一个假命题．反例：a＝1，b＝﹣1，c＝0　 ； （2）“如果|a|＝|b|，那么a＝b”是一个假命题．反例：a＝1，b＝﹣1　 ． 【分析】（1）当c＝0时，ac＝bc总成立； （2）绝对值相等，则它们相等或互为相反数． 【解答】解：（1）“如果ac＝bc，那么a＝b”是一个假命题．反例：a＝1，b＝﹣1，c＝0； （2）“如果|a|＝|b|，那么a＝b”是一个假命题．反例：a＝1，b＝﹣1． 故答案为a＝1，b＝﹣1，c＝0；a＝1，b＝﹣1． 【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 14．如图，已知AB∥CD，EF，CG分别是∠AEC，∠ECD的平分线． （1）求证：EF∥CG． 证明：因为AB∥CD（已知）， 所以∠AEC＝∠DCE（　两直线平行，内错角相等　 ）． 因为EF平分∠AEC（已知）， 所以AEC （　角平分线的定义　 ）． 同理ECD ． 所以∠1＝∠2， 所以EF∥CG（　内错角相等，两直线平行　 ）． （2）请说出（1）中用到了哪两个互逆的真命题． 【分析】（1）根据AB∥CD，可得∠AEC＝∠DCE，由角平分线的定义可得，，推出∠1＝∠2，即可证明； （2）根据（1）的证明即可求解． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD（已知）， ∴∠AEC＝∠DCE（两直线平行，内错角相等）， ∵EF平分∠AEC（已知）， ∴（角平分线的定义）， 同理， ∴∠1＝∠2， ∴EF∥CG（内错角相等，两直线平行）． （2）（1）中用到的互逆真命题为“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握相关知识． 15．如图，直线MN与直线AB、CD分别相交于点E、F． 请你从①AB⊥MN；②CD⊥MN；③AB∥CD中选择其中两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，并进行证明． 你选择作为已知条件的是：　①②（答案不唯一）　 ，作为结论的是 　③（答案不唯一）　 ．（填序号） 证明： 【分析】根据题意写出条件和结论，根据垂直的定义、平行线的判定证明． 【解答】解：条件：AB⊥MN，CD⊥MN，结论：AB∥CD， 故答案为：①②（答案不唯一）；③（答案不唯一）； 证明如下：∵AB⊥MN，CD⊥MN， ∴∠AEM＝90°，∠CFM＝90°， ∴∠AEM＝∠CFM， ∴AB∥CD． 【点评】本题考查的是命题与定理，掌握平行线的判定、垂直的定义是解题的关键． 16．如图，已知点E、F分别在AB、CD上，连接EC、BF交AD于点G、H．有以下三个论断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C，③AB∥CD． （1）请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； （2）选择（1）中的一个真命题加以证明． 【分析】（1）任选两个条件作为题设，另外一个条件作为结论写出对应的明天，再判断真假即可； （2）根据（1）所求结合平行线的性质与判定条件证明即可． 【解答】（1）解：选择①②为题设，③为结论，命题为：若∠1＝∠2，∠B＝∠C，则AB∥CD，该命题是真命题； 选择①③为题设，②为结论，命题为：若∠1＝∠2，AB∥CD，则∠B＝∠C，该命题是真命题； 选择②③为题设，①为结论，命题为：若∠B＝∠C，AB∥CD，则∠1＝∠2，该命题是真命题； （2）证明：选择①②为题设，③为结论， 由条件可知∠2＝∠CGD， ∴CE∥BF， ∴∠C＝∠BFD， ∵∠B＝∠C， ∴∠B＝∠BFD， ∴AB∥CD； 选择①③为题设，②为结论， 由条件可知∠2＝∠CGD， ∴CE∥BF， ∴∠C＝∠BFD， ∵AB∥CD， ∴∠B＝∠BFD， ∴∠B＝∠C； 选择②③为题设，①为结论， 由平行线性质可知∠B＝∠BFD， ∵∠B＝∠C， ∴∠C＝∠BFD， ∴CE∥BF， ∴∠2＝∠CGD， 又∵∠1＝∠CGD， ∴∠1＝∠2． 【点评】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质与判定，熟练掌握以上知识点是关键． 17．在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O． ①如果AB∥CD，BO＝DO，那么四边形ABCD是平行四边形； ②如果AB∥CD，∠ABC＝∠ADC，那么四边形ABCD是平行四边形； ③如果AB＝CD，BO＝DO，那么四边形ABCD是平行四边形； ④如果∠ABC＝∠ADC，BO＝DO，那么四边形ABCD是平行四边形． （1）判断上述四个命题的真假； （2）证明上述四个命题的真假． （提示：证明一个命题是假命题，只要举个反例．） 【分析】（1）根据题意判断即可得到结论； （2）根据平行四边形的判定定理证明即可． 【解答】解：（1）①如果AB∥CD，BO＝DO，那么四边形ABCD是平行四边形是真命题； ②如果AB∥CD，∠ABC＝∠ADC，那么四边形ABCD是平行四边形是真命题； ③如果AB＝CD，BO＝DO，那么四边形ABCD是平行四边形是假命题； ④如果∠ABC＝∠ADC，BO＝DO，那么四边形ABCD是平行四边形是假命题． （2）①∵AB∥CD， ∴∠ABO＝∠CDO， ∵BO＝DO，∠AOB＝∠COD， ∴△AOB≌△COD（ASA）， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形； ②∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BAD＝∠ADC+∠BCD＝180°， ∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠BAD＝∠DCB， ∴四边形ABCD是平行四边形； ③如图1，当AB＝CD，BO＝DO时，则四边形ABCD不是平行四边形； ④如图2，当∠ABC＝∠ADC，BO＝DO时，则四边形ABCD不是平行四边形． 【点评】本题考查了命题与定理，平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 二．推理与论证（共11小题） 18．布袋里有100个球，其中有红球28个，绿球20个，黄球12个，蓝球20个，白球10个，黑球10个，从袋中任意摸出球来，若要一次摸出至少15个同色的球，则需要从袋中摸出球至少（　　） A．85 个 B．75个 C．15 个 D．16 个 【分析】根据事件发生可能性大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．这里要考虑最差情况． 【解答】解：最坏情况考虑就行了，摸出14个红球，14个绿球，12个黄球，14个蓝球，10个白球，10个黑球， 最后再摸出任意一个球，这时可以保证至少有15个颜色相同， 即最少要摸：14+14+12+14+10+10+1＝75个球； 故选：B． 【点评】此题考查的知识点是推理与论证，关键是考虑最差情况先摸出9个黑球，14个白球，再摸出另三色中一色的14个球，此时再任意摸出一个小球即可保证15个小球颜色相同． 19．一同学在n天假期中观察： （1）下了7次雨，在上午或下午 （2）当下午下雨时，上午是晴天 （3）一共有5个下午是晴天 （4）一共有6个上午是晴天 则n最小为（　　） A．7 B．9 C．10 D．11 【分析】此题可以依据题目的四个条件，通过假设列举排除法进行推理论证．如设下了7次雨，上午7天、下午0天；上午0天、下午7天； 上午6天、下午1天；上午1天，下午6天；…然后按题的要求论证得出答案． 【解答】解：由已知，设 （1）若上午或下午下雨7天，则应有下午或上午下雨0天，下午或上午晴7天，与一共有5个下午是晴天和一共有6个上午是晴天都不符，假设错误． （2）若上午或下午下雨6天，则应有下午或上午下雨1天，下午或上午晴6天，与一共有5个下午是晴天不符，假设错误． （3）若上午或下午下雨5天，则应有下午或上午下雨2天，下午或上午晴5天，与一共有6个上午是晴天不符，假设错误． （4）若上午或下午下雨4天，则应有下午或上午下雨3天，那么都加3个上下午都晴天，此时上午晴6天，下午晴7天与条件不符 假设错误． （5）若上午或下午下雨4天，则应有下午或上午下雨3天，那么都加2个上下午都晴天，则有5个下午是晴天和有6个上午是晴天 ，与所有条件相符合．即4+3+2＝9． 故选：B． 【点评】此题考查学生运用假设列举排除法进行论证解题的能力．解答此题关键是假设下了7次雨，上午7天、下午0天；上午0天、下午7天；上午6天、下午1天；上午1天，下午6天；…然后按题的要求论证得出答案． 20．将四个相同的矩形（长是宽的3倍），用不同的方式拼成一个大矩形，设拼得的大矩形面积是四个小矩形的面积和，则大矩形周长的值只可能有（　　） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【分析】根据题意，则可以拼成的大矩形的图形可以有四种情况，分别求出它们的各自的周长，然后判断所得周长的值有几种情况． 【解答】解：设小矩形的宽为x，则长为3x；本题可分四种情况： （1）如图①，矩形的周长为：4x+4x+3x+3x＝14x； （2）如图②，矩形的周长为：3x+3x+4x+4x＝14x； （3）如图③，矩形的周长为：6x+6x+2x+2x＝16x； （4）如图④，矩形的周长为：3x×4×2+2x＝26x； 因此大矩形的周长为14x、16x或26x，共三种情况，故选C． 【点评】能够根据已知条件拼出不同的图形，注意必须找出所有可能的不同周长值的情况，以免漏解． 21．父母的血型与子女可能的血型之间有如下关系： 已知：（1）汤姆与父母的血型都相同；（2）汤姆与姐姐的血型不相同；（3）汤姆不是A型血． 那么汤姆的血型是（　　） 父母的血型 O，O O，A O，B O，AB A，A A，B A，AB B，B B，AB AB，AB 子女可能的血型 O O，A O，B A，B A，O A，B，AB，O A，B，AB B，O A，B，AB A，B，AB A．O B．B C．AB D．不能唯一确定是什么血型 【分析】汤姆与父母的血型都相同，也就是说父母的血型首先相同；汤姆与姐姐的血型不相同，也就说生出的孩子要有两种血的可能；汤姆不是A型血． 【解答】解：父母都是A型血，可生出A型或O型的孩子，因为汤姆不为A型，就可以为O型，姐姐可以为A型． 父母都是B型血，可生出B型或O型的孩子，姐姐可为B或O，汤姆就可为O或B． 父母都是AB型血，可生出A，B或AB型血的孩子，汤姆可为B或AB型血． 故汤姆的血型不唯一． 故选：D． 【点评】本题考查仔细审题以及理解题意的能力，父母的血型要一样，而且要生出不同血型的孩子． 22．有编号分别为1，2，3，⋯，2024的2024名同学轮流一二报数，报一的同学淘汰，然后剩下的同学形成新的队伍继续按照相同规则报数、淘汰，则最后剩下的同学的编号是　1024　 ． 【分析】由题可知经过n轮后（n为正整数），剩下同学的编号为2n，据此求解即可． 【解答】解：根据题意知，第一次后留下的人是2的倍数的号； 第二次后留下的人分别是4的倍数的号； 第三次后留下的人的编号是8的倍数的号； 第四次后留下的人的编号是16的倍数的号； … 经过n轮后（n为正整数），剩下同学的编号为2n， 2n≤2024，即n≤11， 当只剩一个人时，n＝10，这个同学的编号为2n＝210＝1024． 故答案为：1024． 【点评】本题考查了推理论证、数字的变化规律，解题的关键是根据题意，找出规律，根据规律，解决问题． 23．在某旅馆里住着国籍分别是美国、德国、英国、法国、俄国和意大利的六个人，他们的名字分别是布朗、彼得、约翰、查理、路易和汤姆，当然这里列出的名字顺序不一定与上面的国籍对位．已知： （1）布朗和美国人是医生； （2）路易和俄国人是教师； （3）约翰和德国人是技师； （4）彼得和汤姆曾经当过兵，而德国人未参过军； （5）法国人比布朗年龄大，意大利人比约翰年龄大； （6）彼得同美国人下周要到英国去旅行，而约翰同法国人下周到瑞士去度假． 则六个人的国籍布朗是　意大利　 人，彼得是　俄罗斯　 人，约翰是　英国　 人，查理是　德国　 人，路易是　法国　 人，汤姆是　美国　 人． 【分析】先根据已知推出布朗、约翰、路易分别是英国人、法国人、意大利人中的一员，彼得、查理、汤姆分别是美国人、俄罗斯人、德国人中的一员，再由（4）得出查理必是德国人，再由（5）（6）得出汤姆必是美国人，因而进而分析得出即可． 【解答】解：设A、B、C、D、E、F分别表示布朗、彼得、约翰、查理、路易和汤姆， 由（1）（2）（3）可知：AEC分别是英国人、法国人、意大利人中的一员，而BDF分别是美国人、俄罗斯人、德国人中的一员． 由（4）知道，BF不是德国人，则D必是德国人．（则BF分别为美国人和意大利人的一员） 由（5）知，A不是法国人（意大利人或英国人），C不是意大利人（法国人或英国人） 由（6）知，B不是美国人，则F必是美国人，因而B必是俄罗斯人，也是由（6）知，C也不是法国人，与前面判断的C不是意大利人结合在一起，则C必是英国人， 由前面对A的推论可知，A必是意大利人，剩余E必是法国人 故答案为：意大利、俄罗斯、英国、德国、法国、美国． 【点评】此题考查了推理与论证，关键是根据（1）﹣（6）的条件分别进行推理，得出六个人的国籍． 24．“这家商店中所有展出的商品都是出售的”，如果这是一句错话，那么下列说法中哪些必定正确的序号是　②④　 ①在这家商店中展出的所有商品不是供出售的． ②在这家商店中展出的商品中有一些是不出售的． ③在这家商店中没有一件展出的商品是出售的． ④在这家商店中不是所有展出的商品都是出售的． 【分析】“这家商店中所有展出的商品都是出售的”，如果这是一句错话，则这家商店中不是所有展出的商品都是出售的，根据这句话的意义即可判断． 【解答】解：“这家商店中所有展出的商品都是出售的”，如果这是一句错话，则这家商店中不是所有展出的商品都是出售的，即：展出的商品中有出售的也有不出售的． 故正确的是：②④． 故答案为：②④． 【点评】本题考查了推理与论证，理解：“这家商店中所有展出的商品都是出售的”，如果这是一句错话，即它的逆命题是正确的，正确写出逆命题是关键． 25．如果，那么满足条件的整数m有 　6　 个． 【分析】把中的分数改写成分子是15的分数，可得答案． 【解答】解：∵，，， ∵， ∴27＜5m＜60， ∴5m＜12， ∴满足条件的整数m有6，7，8、9、10、11共6个． 故答案为：6． 【点评】本题考查了分数大小比较，掌握分数的基本性质是解答本题的关键． 26．学校的教学大楼大厅里有甲、乙两盏变色的灯，细心的丽丽发现甲灯每隔1分钟改变一次颜色，乙灯每隔1分半改变一次颜色，两灯同时从红色开始亮灯，变色顺序如下： 甲的变色顺序：红→紫→蓝→黄→绿→红； 乙的变色顺序：红→紫→蓝→白→红； 你能帮助丽丽算出几分钟后，两灯第一次同时变成蓝色吗？ 【分析】根据灯的变色顺序分别写出前几次的亮蓝灯的时间，作比较即可． 【解答】解：由题知， 甲灯亮蓝灯的时间点是：2分钟、7分钟、22分钟、27分钟……， 乙灯亮蓝灯的时间点是：3分钟、9分钟、15分钟、21分钟、27分钟……， ∴27分钟后，两灯第一次同时变成蓝色． 【点评】本题主要考查推理与论证，依次写出甲灯和乙灯亮蓝灯的时间是解题的关键． 27．推理能力都很强的甲、乙、丙站成一列，丙可以看见甲、乙，乙可以看见甲但看不见丙，甲看不见乙、丙．现有5顶帽子，3顶白色，2顶黑色．老师分别给每人戴上一顶帽子（在各自不知道的情况下）．老师先问丙是否知道头上的帽子颜色，丙回答说不知道；老师再问乙是否知道头上的帽子颜色，乙也回答说不知道；老师最后问甲是否知道头上的帽子颜色，甲回答说知道．请你说出甲戴了什么颜色的帽子，并写出推理过程． 【分析】如果甲、乙都戴黑帽子，丙马上知道自己戴的是白帽子，如果甲戴黑帽子，甲、乙中至少有一个人戴白帽子，则乙马上知道自己戴的是白帽子． 【解答】解：甲戴的是白帽子．理由如下： 因为丙说不知道，说明甲、乙中至少有一个人戴白帽子（如果甲、乙都戴黑帽子，丙马上知道自己戴的是白帽子）． 因为乙也说不知道，说明甲戴的是白帽子（如果甲戴黑帽子，甲、乙中至少有一个人戴白帽子，则乙马上知道自己戴的是白帽子）． 【点评】本题主要考查了论证与推理的一些基础知识，能够找出题中的内在联系，从而求解． 28．一个旅游区有7个不在一条直线上的编号为A，B，C，D，E，F，G的风景点（如图）．现要开设一些公共汽车线路，满足以下条件： （a）由每个风景点可不换车到达其它任一风景点． （b）每条汽车线路只连接3个风景点． （c）任何两条汽车线路之间都只有一个共同的风景点． （1）该旅游区应开设几条公共汽车线路？ （2）若风景点在一条线路上，则该公共汽车线路写成A﹣B﹣C． 试写出该旅游区完整的公共汽车线路图． 【分析】（1）由A点至其它6个风景点，其中每条汽车线路只能连续除A点外的2个不同的风景点，所以经过：A点的公共汽车路线有3条，同样情况适合其它6个，据此即可求解； （2）从几何图形考虑（图），将A，B，C看作三角形的三个顶点，D，E，F分别为三角形三边的点，且AD，BE，CF相交于一点G，再作DEF的外接圆，这样7条线路也就连成了． 【解答】解：（1）应开设7条公共汽车线路． 由A点至其它6个风景点，其中每条汽车线路只能连续除A点外的2个不同的风景点，所以经过：A点的公共汽车路线有3条，同样情况适合其它6个点．每条汽车线路仅连接3个点，所以总路线应有7（条）． （2）7条公共汽车线路如下： A﹣B﹣C，A﹣E﹣G，A﹣D﹣F，B﹣D﹣E，B﹣F﹣G，C﹣D﹣G，C﹣F﹣E（注：答案不唯一）． 从几何图形考虑（图），将A，B，C看作三角形的三个顶点，D，E，F分别为三角形三边的点，且AD，BE，CF相交于一点G，再作DEF的外接圆，这样7条线路也就连成了． A﹣G﹣D，A﹣F﹣B，A﹣E﹣C，B﹣D﹣C，B﹣G﹣E，C﹣G﹣F，D﹣E﹣F． 【点评】本题考查了正确的推理论证，关键是理解路线问题就是确定三角形的个数问题． 三．新定义及压轴题（共6小题） 29．探究并解决问题： 定义一种新的运算，叫做“⊕”运算．按照“⊕”运算的运算法则进行计算： ①（+2）⊕（+3）＝+5； ②（﹣2）⊕（+3）＝﹣5； ③（﹣2）⊕（﹣3）＝+5； ④（+2）⊕（﹣3）＝﹣5； ⑤0⊕（+5）＝5； ⑥（+4）⊕0＝4； ⑦（﹣5）⊕0＝5； ⑧0⊕（﹣3）＝3． （1）观察上面的算式，请类比有理数的运算法则的学习，归纳“⊕”运算的运算法则： 两数进行“⊕”运算时，　同号得正，异号得负，再把绝对值相加　 ； 一个数与0进行“⊕”运算时，　正数与0“⊕”运算的它本身，负数与0“⊕”运算得它的相反数　 ． （2）计算：（﹣3）⊕[2⊕（﹣4）]； （3）有理数加法有结合律，结合律在有理数的“⊕”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举出一个反例即可）． 【分析】（1）根据题意得到“⊕”运算的运算法则即可； （2）根据“⊕”运算的运算法则计算即可； （3）根据“⊕”运算的运算法则判断即可． 【解答】解：（1）“⊕”运算的运算法则： 两数进行“⊕”运算时，同号得正，异号得负，再把绝对值相加， 一个数与0进行“⊕”运算时，正数与0“⊕”运算的它本身，负数与0“⊕”运算得它的相反数．或：等于这个数的绝对值； 故答案为：同号得正，异号得负，再把绝对值相加，正数与0“⊕”运算的它本身，负数与0“⊕”运算得它的相反数； （2）（﹣3）⊕[2⊕（﹣4）] ＝（﹣3）⊕（﹣6） ＝9； （3）结合律在有理数的“⊕”运算中不适用． 例如： [（﹣3）⊕（﹣2）]⊕0 （﹣3）⊕[（﹣2）⊕0] ＝+5⊕0 ＝（﹣3）⊕2 ＝+5 ＝﹣5 这时，[（﹣3）⊕（﹣2）]⊕0≠（﹣3）⊕[（﹣2）⊕0]，所以结合律在有理数的“⊕”运算中不适用． 【点评】本题考查了命题与定理，新运算，正确地理解新的运算的运算法则是解题的关键． 30．在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直． 小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件． 已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的角平分线EG与∠DFE的角平分线FG交于点G． （1）直线EG，FG有何位置关系？直接写出结论 EG⊥FG ． （2）在图1的基础上，分别作∠BEG的角平分线EM与∠DFG的角平分线FM交于点M，得到图2，求∠EMF的度数． （3）如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的角平分线EP与∠DFO的角平分线FP交于点P，请直接写出∠EOF与∠EPF满足的数量关系 　∠EOF＝2∠EPF ． 【分析】（1）由平行线大的性质推出∠BEF+∠EFD＝180°，由角平分线定义得到∠GEF+∠GFE（∠BEF+∠EFD）＝90°，由三角形内角和定理求出∠G＝90°，推出EG⊥FG； （2）过M作MN∥AB，得到MN∥CD，由平行线的性质推得到∠EMF＝∠BEM+∠MFD，同理∠EGF＝∠BEG+∠DFG，由角平分线定义得到∠EGF＝2（∠BEM+∠MFD）＝2∠EMF，即可求出∠EMF＝45°； （3）由角平分线定义得到∠BEO+∠DFO＝2（∠BEP+∠DFP），而∠EOF＝∠BEO+∠DFO，∠EPF＝∠BEP+∠DFP，得到∠EOF＝2∠EPF． 【解答】解：（1）如图1，直线EG⊥FG，理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠BEF+∠EFD＝180°， ∵EG平分∠BEF，FG平分∠EFD， ∴∠GEF∠BEF，∠GFE∠EFD， ∴∠GEF+∠GFE（∠BEF+∠EFD）＝90°， ∴∠G＝180°﹣90°＝90°， ∴EG⊥FG， 故答案为：EG⊥FG； （2）如图2，过MN∥AB， ∵AB∥CD， ∴MN∥CD， ∴∠EMN＝∠BEM，∠FMN＝∠MFD， ∴∠EMN+∠FMN＝∠BEM+∠MFD， ∴∠EMF＝∠BEM+∠MFD， 同理：∠EGF＝∠BEG+∠DFG， ∵EM平分∠BEG，FM平分∠DFG， ∴∠BEG＝2∠BEM，∠DFG＝2∠DFM， ∴∠EGF＝2（∠BEM+∠MFD）＝2∠EMF， 由（1）知∠EGF＝90°， ∴∠EMF＝45°； （3）∠EOF＝2∠EPF，理由如下： ∵EP平分∠BEO，∠FP平分∠DFO， ∴∠BEO＝2∠BEP，∠DFO＝2∠DFP， ∴∠BEO+∠DFO＝2（∠BEP+∠DFP）， 由（2）的证明可得：∠EOF＝∠BEO+∠DFO，∠EPF＝∠BEP+∠DFP， ∴∠EOF＝2（∠BEP+∠DFP）＝2∠EPF． 故答案为：∠EOF＝2∠EPF． 【点评】本题考查命题与定理，平行线的性质，关键是灵活应用平行线的性质来解决问题． 31．一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”． 观察：101﹣（1+0+1）＝99＝9×11；232﹣（2+3+2）＝225＝9×25； 555﹣（5+5+5）＝540＝9×60⋯ 猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被 　9　 整除． 验证： （1）若这个“对称数”是979，请通过计算验证小红的猜想； （2）设一个对称数的百位数字与个位数字均为a，十位数字均为b，请你通过推理说明猜想是正确的． 【分析】根据运算结果计算即可； （1）根据题意可得979﹣（9+7+9）＝944＝9×104，即可求解； （2）根据题意可得 （100a+10b+a）﹣（a+b+a）＝99a+9b＝9（11a+b），即可求解． 【解答】解：101﹣（1+0+1）＝99＝9×11； 232﹣（2+3+2）＝225＝9×25； 555﹣（5+5+5）＝540＝9×60． 将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除． 故答案为：9．、 （1）979﹣（9+7+9）＝954＝9×106，故将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除； （2）（100a+10b+a）﹣（a+b+a）＝99a+9b＝9（11a+b）， ∵a，b为整数， ∴9（11a+b）能被9整除， ∴“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除． 【点评】本题考查了推理与论证，整式的加减，解决本题的关键是理解“对称数”的意义，并能进行有关运算． 32．标有1﹣25号的25个座位如图摆放．甲、乙、丙、丁四人玩选座位游戏，甲选2个座位，乙选3个座位，丙选4个座位，丁选5个座位．游戏规则如下： ①每人只能选择同一横行或同一竖列的座位； ②每人使自己所选的座位号数字之和最小； ③座位不能重复选择． （1）如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序选座位，那么3，4，5号座位会被 　乙　 选择； （2）如果按“丁、丙、乙、甲”的先后顺序选座位，那么四人所选的座位号数字之和为 　110　 ． 【分析】（1）根据游戏规则，按“同一竖列”或“同一横行”，于是得到结论； （2）根据游戏规则，按“同一竖列”或“同一横行”，分别得出丁、丙、乙、甲所选的数，再把它们相加即可． 【解答】解：（1）如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序选座位，那么甲选1，2号座位，乙选3，4，5号座位， 故答案为：乙； （2）可得丁选择了：19、6、1、2、11； 丙选择了：5、4、3、12； 乙选择了：7、8、9； 甲选择了：10、13； 故四人所选的座位号数字之和为：19+6+1+2+11+5+4+3+12+7+8+9+10+13＝110． 故答案为：110． 【点评】本题主要考查了推论与论证，有理数的加法，理清游戏规则是解答本题的关键． 33．某居民楼共有8层，电梯在1层时刚好进来了4个人，他们互相都认识，且都准备上楼分别去往4个互不相同的楼层，4人之间开启了一段有趣的对话： 甲：“我是第二个下电梯的，乙说的是假话．” 乙：“我将是最先下电梯的，并且没有人和我在相邻楼层下电梯．” 丙：“我将是最后一个下电梯的，乙说的确实是假话．” 丁：“我是第三个下电梯的，乙才是最后一个下电梯的，并且有人和我在相邻楼层下电梯．” 如果4个人之中有两人始终说真话，他们刚好都在奇数楼层下电梯，而另两人始终说假话，他们刚好都在偶数楼层下电梯．那么甲乙丙丁依次去往的楼层所组成的四位数是多少？ 【分析】根据所给的真假话条件以及楼层奇偶性条件，通过假设甲说真话来逐步推导每个人下电梯的顺序和对应的楼层，进而得出甲乙丙丁依次去往的楼层所组成的四位数． 【解答】解：若甲说的“我是第二个下电梯的，乙说的是假话．”是真话，那么甲是第二个下电梯的，且因为“4个人之中有两人始终说真话，他们刚好都在奇数楼层下电梯，而另两人始终说假话，他们刚好都在偶数楼层下电梯”，所以甲在奇数楼层，同时甲说“乙说的是假话”，即乙说的是假话； 因为乙说的是假话，而丙说“乙说的确实是假话”，所以丙说的是真话，那么丙是最后一个下电梯的，且丙在奇数楼层； 由于甲丙说的是真话，所以乙和丁说的是假话．因为乙说“我将是最先下电梯的”是假的，所以乙不是最先下电梯的，那么丁是最先下电梯的． 又因为乙和丁说假话，所以乙和丁都在偶数楼层下电梯，所以丁在2层或4层． 因为甲是第二个下电梯且在奇数层，所以甲在3层或5层； 因为乙是第三个下电梯且在偶数层，所以乙在4层或6层； 因为丙是最后一个下电梯且在奇数层，所以丙在5层或7层． 因为乙和丁始终说假话，所以乙说“没有人和我在相邻楼层下电梯”是假的，即有人和乙在相邻楼层下电梯； 丁说“有人和我在相邻楼层下电梯”是假的，即没有人和丁在相邻楼层下电梯． 分情况讨论丁所在楼层： 若丁在2层，为了满足有人和乙在相邻楼层下电梯且没有人和丁在相邻楼层下电梯，此时甲可以在5层，乙在6层，丙在7层，这种情况是合理的； 若丁在4层，若甲在5层，此时乙无论在6层还是其他偶数层，都无法满足有人和乙在相邻楼层下电梯且没有人和丁在相邻楼层下电梯的条件，所以这种情况无法成立． 所以甲在5层，乙在6层，丙在7层，丁在2层． 答：甲乙丙丁依次去往的楼层所组成的四位数是5672． 【点评】本题考查了逻辑推理问题的应用，充分利用题干条件：4个人之中有两人始终说真话，他们刚好都在奇数楼层下电梯，而另两人始终说假话，他们刚好都在偶数楼层下电梯是解题的关键． 34．（1）如图1，图中线段代表横向、纵向的街道，小明爸爸打算从A点出发开车到B点办事（规定必须向北走，或向东走，不走回头路），其中从A点出发到某些交叉点的走法数已在题2图填出． ①根据图2的提示，算出从A出发到达其余交叉点的走法数，则从A点出发到B点的走法共有 　35　 种； ②根据上面的原理和图3的提示，从A点出发到达B点，并禁止通过交叉点C的走法有 　17　 种． （2）给图4所示的六块区域A，B，C，D，E，F涂色，要求相邻区域涂不同颜色，现有4种不同颜色可供选用，问共有多少种不同的涂色方法． 【分析】（1）（2）因为只能向北或向东，所以每个圆圈内的数字等于其左侧和下方相邻圆圈的数字和，据此计算； （3）先确定C，D，E，F用了几种颜色，然后考虑A，B的涂色情况，根据乘法原理和加法原理求解即可． 【解答】解：（1）∵从A点到B点只能向北走或向东走， ∴用加法计数原理，如图2： ∴从A到B的走法共有35种， 故答案为：35； （2）∵从A点出发到达B点，并禁止通过交叉点C，如图3： 从A点B点，不经过C点的走法有17种， 故答案为：17； （3）①若C，D，E，F用了四种颜色，则有24（种）， 那么A，B可能为AD同色，BF同色或AD同色，BE同色，或AF同色，BE同色，3种情况， 共有24×3＝72（种）， ②若C，D，E，F用了三种颜色，则CD同色，则有•24（种）， 那么A，B可能为2×1＝2（种）， 共有24×2＝48（种）， 综上所述，共有72+48＝120（种）． 【点评】本题主要考查了标数法与染色问题，属于竞赛题型，明确逻辑思维是本题解题的关键． 1．要说明命题“若a2≥4，则a＞2”是假命题，请举出一个反例：a＝　﹣4（答案不唯一）　 ． 【分析】要使得a2≥4成立，则a＜﹣2或a＞2，因此举反例可列举a＜﹣2的数字即可． 【解答】解：当a＝﹣4时，a2＝16＞4，但不满足a＞2， 故命题“若a2≥4，则a＞2”是假命题， 故答案为：﹣4（答案不唯一）． 【点评】本题考查的是命题与定理，理解命题的定义，能够根据命题适当的举出反例是解题关键． 2．将命题“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式是：如果 　两个角是同一个角的余角　 ，那么 　这两个角相等　 ． 【分析】根据“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论，即可解决问题． 【解答】解：命题“同角的余角相等”，可以改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 故答案为：两个角是同一个角的余角，这两个角相等． 【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 3．七年级一班有40人报名参加了足球社团或篮球社团．已知参加足球社团的人数比参加篮球社团的人数多6人，两个社团都参加的有8人，则参加足球社团的人数为　27　 ． 【分析】设参加足球社团的人数为x人，则参加篮球社团的人数为（x﹣6）人，根据参加足球社团的人数+参加篮球社团的人数﹣两个社团都参加的人数＝40，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设参加足球社团的人数为x人，则参加篮球社团的人数为（x﹣6）人，， 依题意，得：x+（x﹣6）﹣8＝40， 解得x＝27． 即参加足球社团的人数为27人． 故答案为：27． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 4．车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 A B C D E 修复时间（分钟） 15 8 29 7 10 若每台车床停产一分钟造成经济损失100元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序： ①D→B→E→A→C；②D→A→C→E→B；③D→E→A→B→C中，经济损失最少的是　①　 （填序号）； （2）若由两名修理工同时修理车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为　10100　 元． 【分析】（1）分别计算出三种方案的总停产时间，比较即可得到答案； （2）因为要先修理时间短的，时间长放在最后，所以两名修理工最后修理的是15分钟和29分钟的，最先修理的是7分钟和8分钟的，据此推理求解即可． 【解答】解：（1）①的总停产时间为7×5+8×4+10×3+15×2+29＝156（分钟）， ②的总停产时间为7×5+15×4+29×3+10×2+8＝210（分钟）， ③的总停产时间为7×5+10×4+15×3+8×2+29＝165（分钟）， ∵156＜165＜210， ∴经济损失最少的是①； 故答案为：①； （2）∵要使经济损失最小， ∴总停产时间要最少， ∴要先修理时间短的，时间长放在最后， ∴一最优方案为：一名修理工按顺序修理B（8分钟）、A（15分钟）；另一名修理工按顺序修理D（7分钟）、E（10分钟）、C（29分钟），此时各车床的停产时间分别为8、23、7、17、46分钟（B、A、D、E、C的顺序）， 总停产时间为8+23+7+17+46＝101（分钟）， ∴若由两名修理工同时修理车床，且每台机床只由一名修理工修理，最少经济损失为101×100＝10100（元）， 故答案为：10100． 【点评】本题考查了推理与论证，有理数的混合运算，找出方案是解题的关键． 1．下列命题中，真命题是（　　） A．两边之比为1：2的两个等腰三角形相似 B．底角相等的两个等腰梯形相似 C．有一个角是30度的两个等腰三角形相似 D．有一个锐角相等的两个直角三角形相似 【分析】选项A、B、C均存在反例，不一定相似；选项D中，直角三角形有一个角相等，则所有角对应相等，因此相似． 【解答】解：A．两边之比为1：2，但对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意； B．底角相等，但对应边不一定成比例，故不一定相似，不符合题意； C．有一个角是30度，但该角可能是顶角或底角，导致角不全对应相等，故不一定相似，不符合题意； D．∵两个直角三角形有一个锐角相等，且直角都等于90°， ∴两个三角形的三个角对应相等， ∴两个直角三角形相似．为真命题，符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了相似三角形以及多边形的判定，真假命题的判定，熟练掌握以上知识点是关键． 2．下列命题中，是真命题的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．两直线平行，同旁内角相等 C．实数与数轴上的点一一对应 D．若a2＝b2，则a＝b 【分析】利用对顶角的定义、平行线的性质、实数的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C、实数与数轴上的点一一对应，正确，是真命题，符合题意； D、若a2＝b2，则a＝±b，故原命题错误，是假命题，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大． 3．下列命题中，真命题是（　　） A．三角形的三条高交于同一点 B．在同一平面内，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线平行 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．如果两条直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补 【分析】正确的命题叫真命题，错误的叫假命题，结合所学知识点进行依次判断． 【解答】解：A、三角形的三条高所在直线交于一点，故此命题是假命题，不符合题意； B、同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故此命题是真命题，符合题意； C、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故此命题是假命题，不符合题意； D、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故此命题是假命题，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了真命题，解题的关键是：明白正确的命题叫真命题，错误的叫假命题，需要结合所学的定理进行判断． 4．下列命题是真命题的个数为（　　） ①互为补角的两个角都是锐角； ②相等的角是对顶角； ③两条直线被第三条直线所截，内错角相等； ④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行； ⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据补角的概念、对顶角的概念、平行线的性质、平行公理的推论、垂直的定义判断即可． 【解答】解：①互为补角的两个角不可能都是锐角，故本小题命题是假命题； ②相等的角不一定是对顶角，例如：等腰三角形的两底角相等，但不是对顶角，故本小题命题是假命题； ③两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故本小题命题是假命题； ④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题； ⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题； 则真命题的个数为2， 故选：B． 【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 5．命题“偶数一定能被2整除”的逆命题是 　能被2整除的数一定是偶数　 ． 【分析】一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆的命题，我们称其中的一个命题为原命题，另一个则为逆命题．由逆命题的定义即可得出答案． 【解答】解：命题的题设是“偶数”，结论是“能被2整除”， 交换原命题的题设和结论后可得出原命题的逆命题为：能被2整除的数一定是偶数， 故答案为：能被2整除的数一定是偶数． 【点评】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题． 6．判断命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b”是假命题，只需要举一个反例，这个反例可以是 a＝2，b＝﹣2（答案不唯一）　 ． 【分析】根据绝对值的性质、假命题的概念解答． 【解答】解：当a＝2，b＝﹣2时，|a|＝|b|，而a≠b， 则命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b”是假命题， 故答案为：a＝2，b＝﹣2（答案不唯一）． 【点评】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 7．已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题： ①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c； ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c； ③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；　④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c． 其中正确的是　①②④　 ．（填写序号） 【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【解答】解：在同一个平面内，①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c； ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c； ③如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c； 　④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c， 故答案为：①②④． 【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 8．某密码锁的密码是一个三位数，小亮说：“它是254．”小明说：“它是964．”小强说：“它是357．”最后由小颖揭秘说：“你们每人都只猜对了不同数位的一个数字．”则这个密码锁的密码是 　267　 ． 【分析】由5和4都有重复，且位置相同，可以排除这两个数，则小亮猜对的数字是2，这样3和9也可以排除，所以小强猜对了个位上的7，小亮猜对了十位上的6，则这个三位数密码是267，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵三个人说出的数中，5和4都有重复，且位置相同， ∴他们猜对的数字不可能是5和4，可以排除这两个数， ∴小亮猜对的数字是2， ∵2在百位上， ∴3和9可以排除， ∴小强猜对了个位上的7，小明猜对了十位上的6， ∴这个三位数密码是267， 故答案为：267． 【点评】此题重点考查推理与论证的有关知识，使用排除法缩小范围进而推断出每个数位上的数字是解题的关键． 9．一次游泳比赛，有甲、乙、丙、丁四个人参加决赛，赛前他们对比赛进行了预测，甲说：“我第一、乙第二”，乙说：“我第一，甲第四”，丙说：“我第一，乙第四”，丁说：“我第四，丙第一”．比赛结果并无并列名次，且四人都只说对了一半，那么丁是第　三　 名． 【分析】通过假设甲所说的话中一句正确、一句错误，逐步推理出每个人的名次，最终确定丁的名次． 【解答】解：根据这四人中都只说对了一半，采用假设法，假设甲的说法中“甲第一”正确， 则根据乙说的“我第一，甲第四”可得甲第四正确；互相矛盾， 所以甲的说法中“乙第二”正确，甲不是第一； 因为每人都只说对了一半， 根据乙的说法可得甲第四； 根据丙的说法确定了丙第一； 剩下的丁是第三名，即丙第一，乙第二，丁第三，甲第四． 故答案为：三． 【点评】本题主要考查了逻辑思维能力，掌握假设法是解题的关键． 10．三位老师预测比赛结果：赵老师：“小明第一，小华第三”；钱老师：“小明第二，小丽第四”；孙老师：“小丽第一，小华第二”．最终四人包揽前四名，且每位老师仅说对一半，则小华是第　二　 名． 【分析】先假设赵老师：“小明第一，小华第三”前半句是真，后半句是假，然后利用排除法推断即可得出结果． 【解答】解：假设赵老师：“小明第一，小华第三”前半句是真，后半句是假， 则孙老师：“小丽第一，小华第二”前半句是假，后半句是真， 则钱老师：“小明第二，小丽第四”前半句是假，后半句是真，没有矛盾． 再假设赵老师：“小明第一，小华第三”前半句是假，后半句是真， 则孙老师：“小丽第一，小华第二”前半句是真，后半句是假， 还剩下第二、第四名没有确定， 则钱老师：“小明第二，小丽第四”，只能同真或同假，与每位老师仅说对一半相矛盾，所以假设不成立 答：最终四人包揽前四名，且每位老师仅说对一半，则小华是第二名． 故答案为：二． 【点评】本题考查推理与论证，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 11．我们知道定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，这个定理的逆命题也是真命题． （1）请你写出这个定理的逆命题是　如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形　 ； （2）下面我们来证明这个逆命题： 已知：如图，CD是△ABC的中线，CDAB． 求证：△ABC为直角三角形．请你写出证明过程： 【分析】（1）直接得出它的逆命题； （2）先判断出∠A＝∠ACD，∠B＝∠DCB，最后用三角形的内角和定理，即可求出∠A+∠B＝90°，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”， ∴它逆命题是：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形， 故答案为：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形； （2）∵CD是△ABC的中线 ∴AD＝BDAB， ∵CDAB， ∴AD＝CD＝BD， ∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠DCB， 在△ABC中，∠A+∠B+∠ACD+∠DCB＝180° ∴∠A+∠B+∠A+∠B＝180°， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°， ∴△ABC为直角三角形． 【点评】主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，根据命题得出逆命题是解本题的关键． 12．填空，完成下面的证明过程． 已知：如图，AB∥CD，∠BAC的平分线与∠ACD的平分线交于点E． 求证：AE⊥CE． 证明：∵AB∥CD， ∴∠BAC+　∠ACD ＝180°（ 　两直线平行，同旁内角互补　 ）， ∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD， ∴，． ∴∠1+∠2＝ 　90°　 ． ∵∠E+∠1+∠2＝180°（ 　三角形内角和定理　 ）， ∴∠E＝180°﹣∠1﹣∠2＝90°． ∴AE⊥CE． 请用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题：　两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直　 ． 【分析】由平行线的性质推出∠BAC+∠ACD＝180°，由角平分线定义得到∠1+∠2＝90°，由三角形内角和定理求出∠E＝90°，即可证明AE⊥CE，由以上证明即可得到一个真命题． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠BAC+∠ACD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD， ∴∠1∠BAC，∠2∠ACD， ∴∠1+∠2＝90°． ∵∠E+∠1+∠2＝180°（三角形内角和定理）， ∴∠E＝180°﹣∠1﹣∠2＝90°， ∴AE⊥CE． 用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直． 故答案为：∠ACD；两直线平行，同旁内角互补；90°；三角形内角和定理；两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直． 【点评】本题考查命题与定理，垂线，角平分线定义，平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补． 13．三名学生进行了若干科目的考试，以考得的名次进行记分．考得第一名得分最多，其次是第二名，第三名得分最少．各科都是如此记分．已知甲最后得22分，乙最后得9分，丙也是得9分．并且已知乙英语考试得了第一名，问数学第二是谁？ 【分析】本题根据题意求出考试科目有几科，每个名次得分多少，然后算出他们的得分情况，从而推断出数学第二名是谁． 【解答】解：由乙英语第一，乙至少得3分，且总分为9分．所以科目不会多于7科，且每科第一名至多得8分．又由甲总分为22分，所以考试科目不少于3科．因为三人共得40分，而每科分配得分情况相同，故考试科目数应是40的约数，而3，6，7都不是40的约数，所以只可能是4科或5科． 若4科，每科共为10分．按名次分配应有4种：（7，2，1）．（6，3，1 ）．（5，4，1），（5，3，2）．由甲共得22分，且至多有3科第一（英语不是第一），则后三种情况不成立，因为即便是3科第一，1科第二，总分也达到不了22分．又由乙得9分，且英语第一．如果按（7，2，1 ）分配，即便其他三科都是最后一名，得1分，总分也超过9分．所以，以上几种情况不能成立． 若是5科，每科共为8分，按名次分配只有两种：（5，2，1）、（4，3，1 ）．而后一种也不能成立，原因仍然是不能与甲22分吻合．所以只有（5，2，1）符合题意．按照这种分配方案：乙的得分情况是5，1，1，1，1．甲的得分情况是5，5，5，5，2，且得2分的科目只能是英语，所以数学第二只能是丙． 答：数学第二名是丙． 【点评】本题考查推理与论证，解题的关键是应结合题意认真审题，然后根据题意进行假设，通过分析推理，进而得出与题目相符的答案，得出结论． 14．【原题再现】课本第81页课内练习第1题：如图，在△ABC中，D为BC边上一点，DB＝DC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DE＝DF，求证：AB＝AC． 【探究思考】 同学们完成这道题目后，在老师的启发下对问题进行了反思探究，提出了如下思考： ①把题中的条件“DB＝DC”和结论“AB＝AC”互换得到的命题是否成立？ ②题中的“D为BC上一点”改为“D为△ABC内部一点”，是否仍能得到AB＝AC？ 【问题解决】 （1）请你对上述两个问题作出判断，直接在横线上写“是”或“否”； （2）选择其中一个问题画出图形，并说明理由． 【分析】①根据AAS证明△BDE≌△CDF，再根据全等三角形的性质即可得到结论； ②证得Rt△BDE≌Rt△CDF，推出∠EBD＝∠FCD，DB＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠DBC＝∠DCB，由等式的性质∠ABC＝∠ACB，由等腰三角形的判定即可得到结论． 【解答】解：（1）是， 理由：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED＝∠CFD， 在△BDE和△CDF中， ， ∴△BDE≌△CDF（AAS）， ∴DB＝DC； （2）是， 理由：如图2，在Rt△BDE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF， ∴∠EBD＝∠FCD，DB＝DC， ∴∠DBC＝∠DCB， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC， 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质和判定是解题的关键． 15．钟表中蕴含着有趣的数学运算．例如，现在是10时，4小时以后是几时？虽然10+4＝14，但在表盘上看到的是2时，如果用符号“⊕”表示钟表上的加法，则10⊕4＝2．若问3时之前5小时是几时，就得到钟表上的减法概念，用符号“⊙”表示钟表上的减法．（注：此处用0时代替12时） 根据上述材料解决下列问题： （1）8⊕9＝　5　 ，4⊙7＝　9　 ； （2）①在有理数运算中，相加得0的两个数互为相反数．如果在钟表运算中沿用这个概念，则8的相反数是　4　 ；a的相反数是　12﹣a；　 （用含a的代数式表达）； ②判断有理数减法法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”在钟表运算中是否仍然成立？　是　 （填“是”或“否”）； （3）规定在钟表运算中也有0＜1＜2＜3＜4＜5＜6＜7＜8＜9＜10＜11，对于钟表上的任意数字a，b，c，若a＜b，判断a⊕c＜b⊕c是否一定成立，若一定成立，说明理由；若不一定成立，请举出一个反例加以说明． （4）已知巴黎时间的日出时间比北京时间晚六个小时，飞行时间为11个小时，则北京时间9日晚10时出发，到达巴黎时是巴黎几日几时？请用式子表示出运算过程． 答：到达时间是巴黎　10　 日　上午　 （填“上午”或“下午”）　3　 时． 【分析】（1）根据钟表的定义及钟表上的加减法运算的方法进行计算即可； （2）①在钟表中，相加得12的两个数互为相反数，据此定义进行计算即可；②运用钟表中加减运算方法进行验证，此结论依然成立； （3）举出反例当a＝3，b＝5，c＝7时，3⊕7＝10，5⊕7＝0，则3⊕7＞5⊕7，即可验证此结论不一定成立； （4）根据钟表运算的定义列式10⊖6⊕11，并进行计算得到答案． 【解答】解：（1）8⊕9＝17＝12+5， 4⊖7＝4+12﹣7＝9． 故答案为：5，9； （2）①在钟表中，相加得12的两个数互为相反数， ∴12⊖8＝4，则a的相反数是12﹣a． 故答案为：4，12﹣a； ②仍然成立； 证明：设a，b分别表示钟表中的数字， b⊖a＝b+12﹣a， b⊕（12﹣a）＝b+12﹣a， ∴b⊖a＝b⊕（12﹣a）， ∵a的相反数为12﹣a， ∴“减去一个数等于加上这个数的相反数”在钟表运算中仍然成立． 故答案为：是； （3）不一定成立，理由如下， 当c＝7，a＝3，b＝5时， 5⊕7＝0，3⊕7＝10，则3⊕7＞5⊕7， ∴当a＜b时，a⊕c＜b⊕c不一定成立． （4）10⊖6⊕11＝10﹣6+11＝15＝12+3． 故答案为：10，上午，3． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，新定义运算，掌握相关知识是解决问题的关键． 16．桌子上有7张反面向上的纸牌，每次翻转n张（n为正整数）纸牌，多次操作后能使所有纸牌正面向上吗？用“+1”、“﹣1”分别表示一张纸牌“正面向上”、“反面向上”，将所有牌的对应值相加得到总和，我们的目标是将总和从﹣7变化为+7． （1）当n＝1时，每翻转1张纸牌，总和的变化量是2或﹣2，则最少　7　 次操作后所有纸牌全部正面向上； （2）当n＝2时，每翻转2张纸牌，总和的变化量是　14　 ，多次操作后能使所有纸牌全部正面向上吗？若能，最少需要几次操作？若不能，简要说明理由； （3）若要使多次操作后所有纸牌全部正面向上，写出n的所有可能的值． 【分析】（1）根据翻转的操作方法即可得出答案； （2）根据三种情况进行分析，进而得出答案； （3）根据将n张牌翻动次数，分几种情况进行分析，进而得出答案． 【解答】解：（1）总变化量：7﹣（﹣7）＝14， 次数（至少）：14÷2＝7， 故答案为：7； （2）①两张由反到正，变化：2×[1﹣（﹣1）]＝4； ②两张由正到反，变化：2×（﹣1﹣1）＝﹣4； ③一正一反变一反一正，变化﹣1﹣1+1﹣（﹣1）＝0， 要使所有纸牌正面向上，则总变化量仍为14， ∵14无法由4，﹣4，0相加得到， ∴不能全正，故不能所有纸牌全正． 故答案为：14． （3）由题可知：0＜n≤7． ①当n＝1时，由（1）可知能够做到， ②当n＝2时，由（2）可知无法做到， ③当n＝3时，总和变化量为6，﹣6，2，﹣2， 14＝6+6+2， 故n＝3可以， ④当n＝4时，总和变化量为8，﹣8，4，﹣4，0， 14无法由8，﹣8，4，﹣4，0组成， 故＝4不可以， ⑤当n＝5时，总和变化量为10，﹣10，6，﹣6，2，﹣2， 14＝10+2+2， 故n＝5可以， ⑥当n＝6时，总和变化量为12，﹣12，8，﹣8，4，﹣4，0， 无法组合， 故n＝6不可以， ⑦当n＝7时，一次全翻完，可以， 故n＝1，3，5，7时，可以． 【点评】此题主要考查了推理与论证，此题解题的关键是要明确：只有将一张牌翻动奇数次，才能使它的画面由向上变为向下，根据“奇数+奇数＝偶数，偶数+奇数＝奇数”进行解答即可． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲 命题与证明 精讲提升培优讲义 2026年沪教新版七年级下16.3 本讲义内容设置：①重点知识梳理；②历年真题精讲；③随堂练习；④课后针对性练习。 1.理解命题、真命题、假命题、逆命题的概念； 2.能判断简单命题的真假； 3.了解证明的基本步骤。 知识点一 命题 我们见过一些可以判断真假的语句。例如： (1)两个有理数相乘，同号得正，异号得负； (2)已知 a、b 是任意两个数，如果 a²=b²,那么 a=b; (3)对顶角相等； (4)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行； (5)两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 像这样，用自然语言、符号或式子表达，且可以判断其真假的语句叫作命题.正确的命题叫作真命题，错误的命题叫作假命题.上述命题中，(1)(3)(4)(5)都可以被证明是真命题；而(2)是假命题，比如，a=1,b=-1,虽然a²=b²=1,但是 a≠b. 数学命题通常由条件、结论两部分组成.命题常可以写成“如果……,那么……”的形式.其中，用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论。 命题(3)“对顶角相等”是一个简洁表述的命题，它也可以改写成“如果……,那么……”的形式，叙述为：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”。 知识点二 互逆命题 互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫作互逆命题。 如果把其中一个命题叫作原命题，那么另外一个命题就叫作它的逆命题。 *注意：原命题是真命题时，其逆命题不一定是真命题。 知识点三 证明 1.证明：除了公理之外，真命题需要经过证明才能确认。 证明一个命题为真，先明确“已知”“求证”，再“证明”。其中，“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，“证明”是在“已知”和“求证”之间建立逻辑联系的完整推理过程.在初中平面几何中，通常遵循步骤： (1)根据题意画出示意图； (2)根据条件和结论，参照示意图，写出“已知”和“求证”; (3)写出由条件推出结论的完整过程。 2.反例：要判定一个命题是假命题，有时只需举出一个符合命题的条件，但不满足命题的结论的例子。这样的例子通常称为反例。 一．命题与定理（共17小题） 1．下列命题中，判断错误的是（　　） A．所有定理都有逆命题 B．对顶角相等的逆命题是真命题 C．两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行 D．假命题的逆命题不一定是假命题 2．下列命题中，一定正确的是（　　） A．如果一个直角三角形的两条边的长分别为6和8，那么第三条边的长为10 B．如果一个直角三角形的面积为20，那么斜边上的高可以为5 C．有一条直角边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形一定全等 D．在直角三角形中，如果一条直角边等于另一条边的一半，那么这条直角边所对的角等于30° 3．已知命题： ①腰和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似； ②底边和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似． 下列对这两个命题的判断，正确的是（　　） A．①和②都是真命题 B．①和②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 4．对于命题“如果∠1+∠2＝180°，那么∠1＝∠2”，能说明它是假命题的反例是（　　） A．∠1＝∠2＝90° B．∠1＝60°，∠2＝120° C．∠1＝50°，∠2＝50° D．∠1+∠2＝90° 5．对于以下两个命题，判断正确的是（　　） ①在△ABC中，如果AB＞AC＞BC，那么∠C＞∠B＞∠A； ②在△ABC中，如果AB＞AC＞BC，且∠C＝87°，那么△ABC是锐角三角形． A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 6．下列命题中，真命题有（　　） ①在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④相等的角是对顶角； ⑤两条直线被第三条直线所截，内错角相等． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．“等边三角形的三个内角都等于60°”的逆命题是　 　 ． 8．命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是 　 　 命题．（填“真”或“假”） 9．把命题“等角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是 　 　 ． 10．命题若a2＝b2，则a＝b是 　 　 命题（填“真”或“假”）． 11．下列说法中，是假命题的是 　 　 ． ①如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等； ②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补； ③过直线外一点P向直线m作垂线段，这条垂线段就是点P到直线的距离； ④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 12．“和为钝角的两个角都是锐角”是　 　 （填写“真”或“假”）命题． 13．对于下列假命题，各举一个反例写在横线上． （1）“如果ac＝bc，那么a＝b”是一个假命题．反例：　 　 ； （2）“如果|a|＝|b|，那么a＝b”是一个假命题．反例：　 　 ． 14．如图，已知AB∥CD，EF，CG分别是∠AEC，∠ECD的平分线． （1）求证：EF∥CG． 证明：因为AB∥CD（已知）， 所以∠AEC＝∠DCE（　 　 ）． 因为EF平分∠AEC（已知）， 所以　 　 （　 　 ）． 同理　 　 ． 所以∠1＝∠2， 所以EF∥CG（　 　 ）． （2）请说出（1）中用到了哪两个互逆的真命题． 15．如图，直线MN与直线AB、CD分别相交于点E、F． 请你从①AB⊥MN；②CD⊥MN；③AB∥CD中选择其中两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，并进行证明． 你选择作为已知条件的是：　 　 ，作为结论的是 　 　 ．（填序号） 证明： 16．如图，已知点E、F分别在AB、CD上，连接EC、BF交AD于点G、H．有以下三个论断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C，③AB∥CD． （1）请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； （2）选择（1）中的一个真命题加以证明． 17．在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O． ①如果AB∥CD，BO＝DO，那么四边形ABCD是平行四边形； ②如果AB∥CD，∠ABC＝∠ADC，那么四边形ABCD是平行四边形； ③如果AB＝CD，BO＝DO，那么四边形ABCD是平行四边形； ④如果∠ABC＝∠ADC，BO＝DO，那么四边形ABCD是平行四边形． （1）判断上述四个命题的真假； （2）证明上述四个命题的真假． （提示：证明一个命题是假命题，只要举个反例．） 二．推理与论证（共11小题） 18．布袋里有100个球，其中有红球28个，绿球20个，黄球12个，蓝球20个，白球10个，黑球10个，从袋中任意摸出球来，若要一次摸出至少15个同色的球，则需要从袋中摸出球至少（　　） A．85 个 B．75个 C．15 个 D．16 个 19．一同学在n天假期中观察： （1）下了7次雨，在上午或下午 （2）当下午下雨时，上午是晴天 （3）一共有5个下午是晴天 （4）一共有6个上午是晴天 则n最小为（　　） A．7 B．9 C．10 D．11 20．将四个相同的矩形（长是宽的3倍），用不同的方式拼成一个大矩形，设拼得的大矩形面积是四个小矩形的面积和，则大矩形周长的值只可能有（　　） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 21．父母的血型与子女可能的血型之间有如下关系： 已知：（1）汤姆与父母的血型都相同；（2）汤姆与姐姐的血型不相同；（3）汤姆不是A型血． 那么汤姆的血型是（　　） 父母的血型 O，O O，A O，B O，AB A，A A，B A，AB B，B B，AB AB，AB 子女可能的血型 O O，A O，B A，B A，O A，B，AB，O A，B，AB B，O A，B，AB A，B，AB A．O B．B C．AB D．不能唯一确定是什么血型 22．有编号分别为1，2，3，⋯，2024的2024名同学轮流一二报数，报一的同学淘汰，然后剩下的同学形成新的队伍继续按照相同规则报数、淘汰，则最后剩下的同学的编号是　 　 ． 23．在某旅馆里住着国籍分别是美国、德国、英国、法国、俄国和意大利的六个人，他们的名字分别是布朗、彼得、约翰、查理、路易和汤姆，当然这里列出的名字顺序不一定与上面的国籍对位．已知： （1）布朗和美国人是医生； （2）路易和俄国人是教师； （3）约翰和德国人是技师； （4）彼得和汤姆曾经当过兵，而德国人未参过军； （5）法国人比布朗年龄大，意大利人比约翰年龄大； （6）彼得同美国人下周要到英国去旅行，而约翰同法国人下周到瑞士去度假． 则六个人的国籍布朗是　 　 人，彼得是　 　 人，约翰是　 　 人，查理是　 　 人，路易是　 　 人，汤姆是　 　 人． 24．“这家商店中所有展出的商品都是出售的”，如果这是一句错话，那么下列说法中哪些必定正确的序号是　 　 ①在这家商店中展出的所有商品不是供出售的． ②在这家商店中展出的商品中有一些是不出售的． ③在这家商店中没有一件展出的商品是出售的． ④在这家商店中不是所有展出的商品都是出售的． 25．如果，那么满足条件的整数m有 　 　 个． 26．学校的教学大楼大厅里有甲、乙两盏变色的灯，细心的丽丽发现甲灯每隔1分钟改变一次颜色，乙灯每隔1分半改变一次颜色，两灯同时从红色开始亮灯，变色顺序如下： 甲的变色顺序：红→紫→蓝→黄→绿→红； 乙的变色顺序：红→紫→蓝→白→红； 你能帮助丽丽算出几分钟后，两灯第一次同时变成蓝色吗？ 27．推理能力都很强的甲、乙、丙站成一列，丙可以看见甲、乙，乙可以看见甲但看不见丙，甲看不见乙、丙．现有5顶帽子，3顶白色，2顶黑色．老师分别给每人戴上一顶帽子（在各自不知道的情况下）．老师先问丙是否知道头上的帽子颜色，丙回答说不知道；老师再问乙是否知道头上的帽子颜色，乙也回答说不知道；老师最后问甲是否知道头上的帽子颜色，甲回答说知道．请你说出甲戴了什么颜色的帽子，并写出推理过程． 28．一个旅游区有7个不在一条直线上的编号为A，B，C，D，E，F，G的风景点（如图）．现要开设一些公共汽车线路，满足以下条件： （a）由每个风景点可不换车到达其它任一风景点． （b）每条汽车线路只连接3个风景点． （c）任何两条汽车线路之间都只有一个共同的风景点． （1）该旅游区应开设几条公共汽车线路？ （2）若风景点在一条线路上，则该公共汽车线路写成A﹣B﹣C． 试写出该旅游区完整的公共汽车线路图． 三．新定义及压轴题（共6小题） 29．探究并解决问题： 定义一种新的运算，叫做“⊕”运算．按照“⊕”运算的运算法则进行计算： ①（+2）⊕（+3）＝+5； ②（﹣2）⊕（+3）＝﹣5； ③（﹣2）⊕（﹣3）＝+5； ④（+2）⊕（﹣3）＝﹣5； ⑤0⊕（+5）＝5； ⑥（+4）⊕0＝4； ⑦（﹣5）⊕0＝5； ⑧0⊕（﹣3）＝3． （1）观察上面的算式，请类比有理数的运算法则的学习，归纳“⊕”运算的运算法则： 两数进行“⊕”运算时，　 　 ； 一个数与0进行“⊕”运算时，　 　 ． （2）计算：（﹣3）⊕[2⊕（﹣4）]； （3）有理数加法有结合律，结合律在有理数的“⊕”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举出一个反例即可）． 30．在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直． 小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件． 已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的角平分线EG与∠DFE的角平分线FG交于点G． （1）直线EG，FG有何位置关系？直接写出结论 　 　 ． （2）在图1的基础上，分别作∠BEG的角平分线EM与∠DFG的角平分线FM交于点M，得到图2，求∠EMF的度数． （3）如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的角平分线EP与∠DFO的角平分线FP交于点P，请直接写出∠EOF与∠EPF满足的数量关系 　 　 ． 31．一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”． 观察：101﹣（1+0+1）＝99＝9×11；232﹣（2+3+2）＝225＝9×25； 555﹣（5+5+5）＝540＝9×60⋯ 猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被 　 　 整除． 验证： （1）若这个“对称数”是979，请通过计算验证小红的猜想； （2）设一个对称数的百位数字与个位数字均为a，十位数字均为b，请你通过推理说明猜想是正确的． 32．标有1﹣25号的25个座位如图摆放．甲、乙、丙、丁四人玩选座位游戏，甲选2个座位，乙选3个座位，丙选4个座位，丁选5个座位．游戏规则如下： ①每人只能选择同一横行或同一竖列的座位； ②每人使自己所选的座位号数字之和最小； ③座位不能重复选择． （1）如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序选座位，那么3，4，5号座位会被 　 　 选择； （2）如果按“丁、丙、乙、甲”的先后顺序选座位，那么四人所选的座位号数字之和为 　 　 ． 33．某居民楼共有8层，电梯在1层时刚好进来了4个人，他们互相都认识，且都准备上楼分别去往4个互不相同的楼层，4人之间开启了一段有趣的对话： 甲：“我是第二个下电梯的，乙说的是假话．” 乙：“我将是最先下电梯的，并且没有人和我在相邻楼层下电梯．” 丙：“我将是最后一个下电梯的，乙说的确实是假话．” 丁：“我是第三个下电梯的，乙才是最后一个下电梯的，并且有人和我在相邻楼层下电梯．” 如果4个人之中有两人始终说真话，他们刚好都在奇数楼层下电梯，而另两人始终说假话，他们刚好都在偶数楼层下电梯．那么甲乙丙丁依次去往的楼层所组成的四位数是多少？ 34．（1）如图1，图中线段代表横向、纵向的街道，小明爸爸打算从A点出发开车到B点办事（规定必须向北走，或向东走，不走回头路），其中从A点出发到某些交叉点的走法数已在题2图填出． ①根据图2的提示，算出从A出发到达其余交叉点的走法数，则从A点出发到B点的走法共有 　 　 种； ②根据上面的原理和图3的提示，从A点出发到达B点，并禁止通过交叉点C的走法有 　 　 种． （2）给图4所示的六块区域A，B，C，D，E，F涂色，要求相邻区域涂不同颜色，现有4种不同颜色可供选用，问共有多少种不同的涂色方法． 1．要说明命题“若a2≥4，则a＞2”是假命题，请举出一个反例：a＝　 　 ． 2．将命题“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式是：如果 　 　 ，那么 　 　 ． 3．七年级一班有40人报名参加了足球社团或篮球社团．已知参加足球社团的人数比参加篮球社团的人数多6人，两个社团都参加的有8人，则参加足球社团的人数为　 　 ． 4．车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 A B C D E 修复时间（分钟） 15 8 29 7 10 若每台车床停产一分钟造成经济损失100元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序： ①D→B→E→A→C；②D→A→C→E→B；③D→E→A→B→C中，经济损失最少的是　 　 （填序号）； （2）若由两名修理工同时修理车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为　 　 元． 1．下列命题中，真命题是（　　） A．两边之比为1：2的两个等腰三角形相似 B．底角相等的两个等腰梯形相似 C．有一个角是30度的两个等腰三角形相似 D．有一个锐角相等的两个直角三角形相似 2．下列命题中，是真命题的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．两直线平行，同旁内角相等 C．实数与数轴上的点一一对应 D．若a2＝b2，则a＝b 3．下列命题中，真命题是（　　） A．三角形的三条高交于同一点 B．在同一平面内，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线平行 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．如果两条直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补 4．下列命题是真命题的个数为（　　） ①互为补角的两个角都是锐角； ②相等的角是对顶角； ③两条直线被第三条直线所截，内错角相等； ④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行； ⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．1 B．2 C．3 D．4 5．命题“偶数一定能被2整除”的逆命题是 　 　 ． 6．判断命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b”是假命题，只需要举一个反例，这个反例可以是 　 　 ． 7．已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题： ①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c； ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c； ③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；　④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c． 其中正确的是　 　 ．（填写序号） 8．某密码锁的密码是一个三位数，小亮说：“它是254．”小明说：“它是964．”小强说：“它是357．”最后由小颖揭秘说：“你们每人都只猜对了不同数位的一个数字．”则这个密码锁的密码是 　 　 ． 9．一次游泳比赛，有甲、乙、丙、丁四个人参加决赛，赛前他们对比赛进行了预测，甲说：“我第一、乙第二”，乙说：“我第一，甲第四”，丙说：“我第一，乙第四”，丁说：“我第四，丙第一”．比赛结果并无并列名次，且四人都只说对了一半，那么丁是第　 　 名． 10．三位老师预测比赛结果：赵老师：“小明第一，小华第三”；钱老师：“小明第二，小丽第四”；孙老师：“小丽第一，小华第二”．最终四人包揽前四名，且每位老师仅说对一半，则小华是第　 　 名． 11．我们知道定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，这个定理的逆命题也是真命题． （1）请你写出这个定理的逆命题是　 　 ； （2）下面我们来证明这个逆命题： 已知：如图，CD是△ABC的中线，CDAB． 求证：△ABC为直角三角形．请你写出证明过程： 12．填空，完成下面的证明过程． 已知：如图，AB∥CD，∠BAC的平分线与∠ACD的平分线交于点E． 求证：AE⊥CE． 证明：∵AB∥CD， ∴∠BAC+　 　 ＝180°（ 　 　 ）， ∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD， ∴，． ∴∠1+∠2＝ 　 　 ． ∵∠E+∠1+∠2＝180°（ 　 　 ）， ∴∠E＝180°﹣∠1﹣∠2＝90°． ∴AE⊥CE． 请用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题：　 　 ． 13．三名学生进行了若干科目的考试，以考得的名次进行记分．考得第一名得分最多，其次是第二名，第三名得分最少．各科都是如此记分．已知甲最后得22分，乙最后得9分，丙也是得9分．并且已知乙英语考试得了第一名，问数学第二是谁？ 14．【原题再现】课本第81页课内练习第1题：如图，在△ABC中，D为BC边上一点，DB＝DC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DE＝DF，求证：AB＝AC． 【探究思考】 同学们完成这道题目后，在老师的启发下对问题进行了反思探究，提出了如下思考： ①把题中的条件“DB＝DC”和结论“AB＝AC”互换得到的命题是否成立？ ②题中的“D为BC上一点”改为“D为△ABC内部一点”，是否仍能得到AB＝AC？ 【问题解决】 （1）请你对上述两个问题作出判断，直接在横线上写“是”或“否”； （2）选择其中一个问题画出图形，并说明理由． 15．钟表中蕴含着有趣的数学运算．例如，现在是10时，4小时以后是几时？虽然10+4＝14，但在表盘上看到的是2时，如果用符号“⊕”表示钟表上的加法，则10⊕4＝2．若问3时之前5小时是几时，就得到钟表上的减法概念，用符号“⊙”表示钟表上的减法．（注：此处用0时代替12时） 根据上述材料解决下列问题： （1）8⊕9＝　 　 ，4⊙7＝　 　 ； （2）①在有理数运算中，相加得0的两个数互为相反数．如果在钟表运算中沿用这个概念，则8的相反数是　 　 ；a的相反数是　 　 （用含a的代数式表达）； ②判断有理数减法法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”在钟表运算中是否仍然成立？　 　 （填“是”或“否”）； （3）规定在钟表运算中也有0＜1＜2＜3＜4＜5＜6＜7＜8＜9＜10＜11，对于钟表上的任意数字a，b，c，若a＜b，判断a⊕c＜b⊕c是否一定成立，若一定成立，说明理由；若不一定成立，请举出一个反例加以说明． （4）已知巴黎时间的日出时间比北京时间晚六个小时，飞行时间为11个小时，则北京时间9日晚10时出发，到达巴黎时是巴黎几日几时？请用式子表示出运算过程． 答：到达时间是巴黎　 　 日　 　 （填“上午”或“下午”）　 　 时． 16．桌子上有7张反面向上的纸牌，每次翻转n张（n为正整数）纸牌，多次操作后能使所有纸牌正面向上吗？用“+1”、“﹣1”分别表示一张纸牌“正面向上”、“反面向上”，将所有牌的对应值相加得到总和，我们的目标是将总和从﹣7变化为+7． （1）当n＝1时，每翻转1张纸牌，总和的变化量是2或﹣2，则最少　 　 次操作后所有纸牌全部正面向上； （2）当n＝2时，每翻转2张纸牌，总和的变化量是　 　 ，多次操作后能使所有纸牌全部正面向上吗？若能，最少需要几次操作？若不能，简要说明理由； （3）若要使多次操作后所有纸牌全部正面向上，写出n的所有可能的值． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $