专题2.2 探究直线平行的条件重难点题型专训（6个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

本讲义聚焦“探究直线平行的条件”核心知识点，先通过同位角、内错角、同旁内角概念建立角与线的位置联系，再结合平行公理及其推论，构建同位角相等、内错角相等、同旁内角互补判定平行的完整知识支架。 资料以“知识点+题型+拓展+检测”分层设计，通过即时训练（如风车叶片平行问题）和经典例题（如折叠晾衣架平行验证）培养几何直观与推理意识，课中辅助教师分层教学，课后助力学生自我检测，弥补知识盲点。

专题2.2 探究直线平行的条件重难点题型专训 （6个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 同位角、内错角、同旁内角 题型二 同位角相等两直线平行 题型三 用直尺、三角板画平行线 题型四 平行公理的应用 题型五 平行公理推论的应用 题型六 内错角相等两直线平行 题型七 同旁内角互补两直线平行 拓展题型一 利用同位角、内错角及平行公理推论综合判定两直线平行 拓展题型二 用直尺三角板画平行线并结合三种角的关系进行说理证明 知识点一：同位角、内错角、同旁内角 1. 同位角：两个角分别在两条被截直线的同一方，并且都在截线的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角． 2. 内错角：两个角都在两条被截直线之间,并且分别在截线两侧，即被截线“错开”,具有这种位置关系的一对角叫做内错角． 3. 同旁内角：两个角都在两条被截直线之间,并且在截线的同一旁,具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角． 如图，直线AB，CD被直线EF所截，同位角有与，与，与，与，共4对；内错角有与，与，共2对；同旁内角有与，与，共2对． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·江苏连云港·课后作业）如图所示，与是一对（     ） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，和是直线 ， 被直线 所截得的 角；和是直线 ， 被直线 所截得的 角；直线AC，BC被直线AB所截得的同旁内角是 ． 知识点二：过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 如图（1），经过直线a外一点P，能且只能画出一条直线与直线a平行．如图（2），假设过点P画出的两条直线b，c都与直线a平行（实际上这种情况是不存在的），那么说明直线b，c是同一条直线，依据就是平行公理． 【即时训练】 1.如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，叶子所在的直线与地面 ，理由是 ． 2.（24-25七年级下·河南安阳·课后作业）如图①，有一个可折叠的晾衣架放置在水平地面上，图②是其侧面示意图，其中是地面，当时，；时，．同时满足上述条件时，一定有N，P，M三点在同一条直线上，其依据是 ． 知识点三：平行于同一条直线的两条直线平行 平行于同一条直线的两条直线平行. 【即时训练】 1.如图，，则与的位置关系是（    ）    A．相交 B．平行 C．相交或平行 D．无法确定 2.工人师傅在铺设电缆时，为了检验三条电缆线是否平行，工人师傅只检查了其中两条电缆线是否与第三条平行．其依据是 ． 知识点四：同位角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简述为：同位角相等，两直线平行． 数学语言：如图，直线a，b被直线c所截，如果，那么a//b． 【即时训练】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）羽毛球是大家最喜欢的球类运动之一，老师在校园东侧空地上为大家设计了一块简易的羽毛球场如图1所示，小明想帮助老师验证一下，边界线和是否平行，如图2所示在下列关于、、、的条件中，可得到的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·周测）如图，当＝ （写出一个角）时，能得到． 知识点五：内错角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简述为：内错角相等，两直线平行． 数学语言：如图，直线a，b被直线c所截，如果（或），那么a//b． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·江苏镇江·课后作业）如图，将两块相同的直角三角板按图示摆放，则与平行，这一判断过程体现的数学依据是（   ） A．垂线段最短 B．内错角相等，两直线平行 C．两点之间线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 2．（22-23七年级下·辽宁大连·课后作业）如图，，平分，则与的位置关系是 ． 知识点六：同旁内角互补，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简述为：同旁内角互补，两直线平行． 数学语言：如图，直线a，b被直线c所截，如果，那么a//b． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，下列条件中，不能判定直线的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，因为，，所以 ，所以 ，理由是 ． 【经典例题一 同位角、内错角、同旁内角】 【例1】（25-26七年级下·重庆黔江·课后作业）如图，下列说法正确的是（    ） A．和是内错角 B．和是对顶角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 【例2】（25-26七年级下·吉林长春·月考）如图，则图中内错角共有 对． 1．（24-25七年级下·河北张家口·期中）下列说法中正确的有（   ） ①相等的角是对顶角； ②同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离； ④如图，和是同旁内角． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（24-25七年级下·甘肃平凉·月考）如图，下面说法错误的是（   ） A．和是对顶角 B．和是同位角 C．和是同旁内角 D．和是内错角 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图． （1）与是直线，被直线所截形成的 角； （2）与是直线 被直线 所截形成的 角； （3）与是直线 被直线 所截形成的 角； （4）与是直线 被直线 所截形成的 角． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，一个方块从某一个起始角开始，经过若干步跳动后，到达终点角，跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从跳到终点位置的路径如下： 路径1：． 路径2：． …… (1)写出任意一条从起始位置→终点位置的路径； (2)从起始位置依次按内错角、同位角、同旁内角的顺序能否到达终点位置？并写出路径． 【经典例题二 同位角相等两直线平行】 【例1】（24-25七年级下·河北唐山·月考）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 如图，和是直线，被直线截出的同旁内角，且与互补，请说明的理由． 理由：（①平角的定义）， 是的补角（②互补的定义）， 是的补角（已知）， （③等量代换）， （④同位角相等，两直线平行）． 其中，括号内填写的说理过程有错误的代号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【例2】（22-23七年级下·河南信阳·月考）能判定的同位角有 组． 1．（2025·宁夏·中考真题）如图，直线被直线所截，根据“同位角相等，两直线平行”判定，需要的条件是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）如图，在直线外取一点P，经过点P作的平行线，这种画法的依据是（    ） A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 B．同位角相等，两直线平行 C．内错角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 3．（25-26七年级下·江苏南京·课后作业）结合下图，用符号语言表达定理“同位角相等，两直线平行”的推理形式：∵ ，∴． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知，再添加什么条件可使？请就你添加的条件说明的理由． 【经典例题三 用直尺、三角板画平行线】 【例1】（24-25七年级下·北京东城·课后作业）已知点在直线外，要求过点画直线的平行线．某位同学先过点画直线交于点，并使得，然后他通过将含有角的三角板从点处沿着直线平移画出所要求作的直线．在点处，他的三角板摆放方法正确的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级下·四川成都·课后作业）下列各图中的直线，用推三角尺的方法验证，其中的有 （填序号）． 1．（23-24七年级下·湖南岳阳·课后作业）如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（    ） ①沿直尺下移三角尺；  ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①② 2．（2022七年级下·上海·专题练习）下面不能检验直线与平面垂直的工具是（　　） A．铅垂线 B．三角尺 C．长方形纸片 D．合页型折纸 3．（23-24七年级下·河北邢台·月考）已知直线以及直线外一点P，如图1，图2、图3的作图结果可以说明的基本事实是 ；其依据是 ． 4．（25-26七年级下·江苏无锡·课后作业）如图，网格线的交点叫格点，格点是的边上的一点（请利用网格作图，保留作图痕迹，作图痕迹加粗加黑）． (1)过点画的垂线，交于点； (2)过点画的平行线； (3)线段__________的长度是点到的距离． 【经典例题四 平行公理的应用】 【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在平面内过点O作已知直线a的平行线和垂线，可作的条数分别是m条和n条，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．无数条 【例2】（24-25七年级下·山西晋中·课后作业）被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是 ． 1．（25-26七年级下·山东淄博·月考）下面各语句中，正确的有（    ） ①不相交的两条直线叫做平行线； ②在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种； ③如果线段和线段不相交，那么直线和直线平行； ④如果，，那么； ⑤过一点有且只有一条直线平行于已知直线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级下·贵州黔南·课后作业）如图，已知P是直线l外一点，若，则三点在同一条直线上．其依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 3．（24-25七年级下·上海青浦·期中）已知直线a、b、c在同一平面内，如果，，那么直线a、b的位置关系是 ． 4．（24-25七年级下·河南商丘·月考）现有一条直线及其外的一点． (1)①用三角板在直线上找一点，使的长度最短； ②理论依据是________； (2)①过点画的平行线； ②这样的平行线可以画________条． 【经典例题五 平行公理推论的应用】 【例1】（24-25七年级下·山西朔州·月考）若互不重合的三条直线，，之间满足：，则与之间的位置关系为（   ） A．与平行 B．与垂直 C．与相交 D．以上都有可能 【例2】（2025七年级下·江苏连云港·专题练习）如图①，有一个可折叠的晾衣架放置在水平地面上，图②是其侧面示意图，其中是地面，当时，时，．同时满足上述条件时，一定有N，P，M三点在同一条直线上，其依据是 从下列选项中选取合适的填写，只填序号①同位角相等，两直线平行．②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．③两点确定一条直线． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的有（   ） ①不相交的两条直线是平行线;  ②在同一平面内,不相交的两条线段平行 ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;  ④若a∥b,b∥c,则a与c不相交. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26七年级下·广东广州·课后作业）已知下列命题：①相等的角是对顶角；②邻补角的平分线相互垂直；③互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角；④平行于同一条直线的两个直线平行．其中真命题的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时， （填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是 ． 4．（22-23七年级下·广东佛山·月考）如图，已知直线a，b，c被d所截，且，．试说明：． 解：因为（已知） （___________） 所以___________=___________（等量代换） 所以______________________（___________） 又因为（已知） 所以______________________（___________） 【经典例题六 内错角相等两直线平行】 【例1】（24-25七年级下·新疆乌鲁木齐·课后作业）如图，在下列条件中，能判断直线的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·甘肃武威·开学考试）如图：如果，可以推出 ． 1．（23-24七年级下·河南漯河·月考）如图，给出下列四个条件：①；②；③；④，其中能使的条件是（   ） A．①② B．③④ C．②④ D．①③④ 2．（25-26七年级下·河南商丘·期中）下列命题中，真命题的个数有（    ） ①同一平面内，两条直线一定互相平行； ②有一条公共边的角叫邻补角； ③两直线平行，内错角相等； ④对顶角相等； ⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 3．（25-26七年级下·宁夏银川·课后作业）如图，将两个含角的直角三角板的最长边靠在一起滑动，可知直角边，依据是 ． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知直线被直线所截，．请说明的理由． 【经典例题七 同旁内角互补两直线平行】 【例1】（25-26七年级下·山西运城·课后作业）如图，在下列四组条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·山东潍坊·月考）如图，在下列条件中：①∠DAC=∠ACB；②∠BAC=∠ACD；③∠BAD+∠ADC=180°；④∠BAD+∠ABC=180°．其中能使直线AB∥CD成立的是 ．（填序号） 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图所示，平分，平分，不能判定的条件是（    ）    A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河南郑州·月考）小颖学习了平行线的相关知识后，利用如图所示的方法，折出了“过已知直线AB外一点P和已知直线AB平行的直线MN”，下列关于MN∥AB的依据描述正确的是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．以上选项均正确 3．（2025七年级下·江苏连云港·专题练习）如图，，当 度时，． 4．（25-26七年级下·全国·课前预习）请完成平行线的判定定理2的证明： 已知：如图，和是直线a，b被直线c截出的同旁内角，且与互补．求证：． 证明：与互补（已知）， ________（互补的定义）， ________（等式的性质）． ________（________）， ________（等式的性质）， （等量代换）， （________）． 【拓展训练一 利用同位角、内错角及平行公理推论综合判定两直线平行】 【例1】（24-25七年级下·陕西榆林·期中）老师让同学们验证教室里黑板的上，下边缘是否平行．小明画出了如图所示的示意图，并用量角器测量，的度数，则解决这个问题所应用的数学原理是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，同旁内角互补 C．同位角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 【例2】（25-26七年级下·山东菏泽·月考）如果，，则 ，因为 ． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，若，则下面结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）有下列说法：①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；②若，，则；③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．其中错误的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 3．（25-26七年级下·上海·期中）如图，如果与 互补，那么．    4．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知：如图，直线，被直线所截，，，说明：． 解：因为与直线相交于点E，， 所以________． 因为， 所以________， 所以________________（________________）（填推理的依据）． 【拓展训练二 用直尺三角板画平行线并结合三种角的关系进行说理证明】 【例1】（22-23七年级下·山东德州·月考） 下列说法错误的是（　　） A．对顶角相等 B．两点之间所有连线中，线段最短 C．等角的补角相等 D．过任意一点P，都能画一条直线与已知直线平行 【例2】（23-24七年级下·江苏连云港·课后作业）如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是： ．（填序号）    1．（25-26七年级下·天津河西·期中）如图所示，给出了过直线外一点画已知直线的平行线的方法，其依据是（    ）    A．同位角相等，两直线平行 B．两直线平行，同位角相等 C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 2．（22-23七年级下·河南安阳·期中）下列语句中：①一条直线有且只有一条垂线；②不相等的两个角一定不是对顶角；③两条不相交的直线叫做平行线；④如果两个角是邻补角，那么这两个角的角平分线互相垂直；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中错误的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（22-23七年级下·河南郑州·期中）如图是利用直尺移动三角板过直线外一点作直线的平行线的方法，小明经过多次实践后发现只能作一条平行线，这反映了 ．    4．（25-26七年级下·江苏宿迁·月考）如图，点是的边上的一点． (1)过点画的平行线； (2)过点画的垂线，垂足为； (3)过点画的垂线，交于点：、、这三条线段大小关系是_______，（用“”号连接），理由是_________． 1．（25-26七年级下·全国·单元测试）滑雪项目图标抽象出的几何图形如图所示．有下列判断：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）如图在同一平面内，有条直线与直线平行，也有条直线与直线平行，直线，不平行，当时共有多少对内错角？（ ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·北京·期中）下列命题中，假命题是（    ） A．同旁内角互补，两直线平行 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，一个是钝角 D．在同一平面内，如果 ， a c ，那么b c 4．（24-25七年级下·重庆渝北·课后作业）如图，，第1次，作相交、，则产生了4对同位角，第2次，作相交、、，则又产生了12组同位角，第3次，作相交、、、，则又产生了24组同位角，推测第6次又产生了（   ）对同位角． A．60 B．84 C．112 D．144 5．（25-26七年级下·四川遂宁·课后作业）我们曾利用手中的直尺和三角板，过直线外一点画出与已知直线平行的直线，你可能还见过木工师傅用角尺画出平行线的方法；两者的原理一样，依据是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．内错角相等 ，两直线平行 6．（2025七年级下·重庆·专题练习）下列说法正确的是（　　） A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 D．连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离 7．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法中正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．有一个公共顶点和一组公共边，并且和为的两个角互为邻补角 C．直线外一点到这条直线的垂线段的叫做点到直线的距离 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 8．（25-26九年级下·福建厦门·月考）如图，过直线外一点作它的平行线， 其作图依据是（     ） A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，内错角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行 9．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，给出下列条件．其中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·辽宁沈阳·课后作业）如图，将木条a，b与木条c钉在一起，，．若木条a按箭头方向旋转的度数为α时，木条，则α的值可以为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，其中同旁内角为 （写出每组具体名称），则的值是 ． 12．（25-26七年级下·河南周口·课后作业）若平面内3条直线两两相交，且无三线共点，则一共有 对内错角． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，补全下面的说理过程： （1）因为，所以 （ ）． （2）因为，所以 （ ）． 14．（24-25七年级下·甘肃武威·月考）看图填空，并在括号内说明理由： ∵，，（已知） ∴， ∴ ，( ) 15．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线与直线分别相交，图中的同位角共有 对． 16．（24-25七年级下·河南商丘·月考）下面是多媒体上展示的一道习题，请你将过程补充完整．如图，已知于B，于D，，探究与的位置关系 解：∵，（已知） ∴________，________（垂直的定义） ∴________（__________________两直线平行） ∵（________） ∴________（__________________，两直线平行） ∴与的位置关系是________ （__________________） 17．（25-26六年级下·全国·单元测试）如图所示，在一个凹形图形中，下列说法都正确吗？如果不正确，请加以更正． (1)与是同旁内角，与是内错角； (2)与互为同旁内角的角只有； (3)图中没有同位角． 18．（2026七年级下·全国·专题练习）完成下面的推理过程． 如图，已知，垂足为，，．试说明：． 解：， ________°， 即________°． ，且， ， ________， （________________）． 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，已知三角形，点P在边上． (1)过点P画的平行线交于点T； (2)过点C画； (3)直线_______（填位置关系）． 20．（24-25七年级下·广东江门·月考）完成下面的证明． 如图，，，分别平分和，求证． 证明：， （___________________）． ，分别平分和， __________（___________________）． 又， __________（___________________）． （__________________________）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 探究直线平行的条件重难点题型专训 （6个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 同位角、内错角、同旁内角 题型二 同位角相等两直线平行 题型三 用直尺、三角板画平行线 题型四 平行公理的应用 题型五 平行公理推论的应用 题型六 内错角相等两直线平行 题型七 同旁内角互补两直线平行 拓展题型一 利用同位角、内错角及平行公理推论综合判定两直线平行 拓展题型二 用直尺三角板画平行线并结合三种角的关系进行说理证明 知识点一：同位角、内错角、同旁内角 1. 同位角：两个角分别在两条被截直线的同一方，并且都在截线的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角． 2. 内错角：两个角都在两条被截直线之间,并且分别在截线两侧，即被截线“错开”,具有这种位置关系的一对角叫做内错角． 3. 同旁内角：两个角都在两条被截直线之间,并且在截线的同一旁,具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角． 如图，直线AB，CD被直线EF所截，同位角有与，与，与，与，共4对；内错角有与，与，共2对；同旁内角有与，与，共2对． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·江苏连云港·课后作业）如图所示，与是一对（     ） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 【答案】C 【分析】本题考查了同旁内角的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．根据同旁内角的定义作答即可． 【详解】解：与是直线和直线被直线所截得到的同旁内角， 故选：C． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，和是直线 ， 被直线 所截得的 角；和是直线 ， 被直线 所截得的 角；直线AC，BC被直线AB所截得的同旁内角是 ． 【答案】 AB CD BE 同位 AB CD AC 内错 和 【分析】此题主要考查了三线八角，解题的关键是掌握同位角的边构成““形，内错角的边构成““形，同旁内角的边构成“”形． 根据同位角、内错角：同旁内角的定义分别进行分析即可． 【详解】解：如图，和是直线，被直线所截得的同位角；和是直线，被直线所截得的内错角；直线，被直线所截得的同旁内角是和． 故答案为：①；②；③；④同位；⑤；⑥；⑦；⑧内错；⑨和． 知识点二：过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 如图（1），经过直线a外一点P，能且只能画出一条直线与直线a平行．如图（2），假设过点P画出的两条直线b，c都与直线a平行（实际上这种情况是不存在的），那么说明直线b，c是同一条直线，依据就是平行公理． 【即时训练】 1.如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，叶子所在的直线与地面 ，理由是 ． 【答案】 相交 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查了平行与相交，熟知平行于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键． 根据不平行于，来判定与的关系． 【详解】解：∵不平行于，， ∴不平行于（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行） 即所在的直线与地面相交． 故答案为：相交；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 2.（24-25七年级下·河南安阳·课后作业）如图①，有一个可折叠的晾衣架放置在水平地面上，图②是其侧面示意图，其中是地面，当时，；时，．同时满足上述条件时，一定有N，P，M三点在同一条直线上，其依据是 ． 【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】本题主要考查平行线的判定，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，来解答即可． 【详解】解：当时，；时，． ∵过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， ∴N，P，M三点在同一条直线上， 故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 知识点三：平行于同一条直线的两条直线平行 平行于同一条直线的两条直线平行. 【即时训练】 1.如图，，则与的位置关系是（    ）    A．相交 B．平行 C．相交或平行 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据平行线公理的推论：平行于同一条直线的两直线互相平行写出答案即可． 【详解】∵， ∴，即与的位置关系是平行． 故选：B． 【点睛】此题重点考查学生对平行线公理的推论的理解，熟练掌握平行线公理的推论是解题的关键． 2.工人师傅在铺设电缆时，为了检验三条电缆线是否平行，工人师傅只检查了其中两条电缆线是否与第三条平行．其依据是 ． 【答案】如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【分析】本题考查了平行公理的推论知识点，解题的关键是理解和运用平行公理的推论来判断直线的平行关系． 根据平行公理的推论来判断工人师傅检验电缆线平行的依据． 【详解】解：平行公理的推论为：平行于同一条直线的两条直线互相平行．在本题中，电缆线可以看作是直线，工人师傅通过检查其中两条电缆线是否与第三条平行，依据的就是“平行于同一条直线的两条直线互相平行”，如果这两条电缆线都与第三条平行，那么这三条电缆线就互相平行．所以如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 故答案是：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 知识点四：同位角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简述为：同位角相等，两直线平行． 数学语言：如图，直线a，b被直线c所截，如果，那么a//b． 【即时训练】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）羽毛球是大家最喜欢的球类运动之一，老师在校园东侧空地上为大家设计了一块简易的羽毛球场如图1所示，小明想帮助老师验证一下，边界线和是否平行，如图2所示在下列关于、、、的条件中，可得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定方法，熟练掌握平行线的判定方法是解答本题的关键．平行线的判定方法：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平行于同一直线的两条直线互相平行；⑤同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行． 根据平行线的判定定理解答即可． 【详解】解：A．，无法判定，不符合题意； B．，则，符合题意； C．，则，不符合题意； D．，则，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·周测）如图，当＝ （写出一个角）时，能得到． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键． 要使，需找到与被第三条直线截得的同位角相等的情况，观察图形，是截线，与是同位角，据此确定相等的角． 【详解】解：观察图形，与被所截，与是同位角， 根据同位角相等，两直线平行，当时，能得到． 故答案为：． 知识点五：内错角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简述为：内错角相等，两直线平行． 数学语言：如图，直线a，b被直线c所截，如果（或），那么a//b． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·江苏镇江·课后作业）如图，将两块相同的直角三角板按图示摆放，则与平行，这一判断过程体现的数学依据是（   ） A．垂线段最短 B．内错角相等，两直线平行 C．两点之间线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键． 根据内错角相等，两直线平行直接得到答案． 【详解】解：由题意得， 根据内错角相等，两直线平行可得． 故选：B． 2．（22-23七年级下·辽宁大连·课后作业）如图，，平分，则与的位置关系是 ． 【答案】平行 【分析】根据角平分线的定义得出，再根据，得出，利用平行线的判定可得出两条直线平行． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：平行． 【点睛】本题考查了平行线的判定，解题关键是熟练运用内错角相等，两直线平行进行推理证明． 知识点六：同旁内角互补，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简述为：同旁内角互补，两直线平行． 数学语言：如图，直线a，b被直线c所截，如果，那么a//b． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，下列条件中，不能判定直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，直接利用平行线的判定方法分别分析即可得出答案，掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法去判定每项的正确与否即可得到答案． 【详解】解：A、∵，∴直线，故此选项不合题意； B、，不能得出直线，故此选项符合题意； C、∵，∴直线，故此选项不合题意； D、∵，∴直线，故此选项不合题意； 故选：B． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，因为，，所以 ，所以 ，理由是 ． 【答案】 同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，同旁内角互补，两直线平行，据此即可解答． 【详解】解：因为，， 所以， 所以，理由是同旁内角互补，两直线平行． 故答案为：；；；同旁内角互补，两直线平行． 【经典例题一 同位角、内错角、同旁内角】 【例1】（25-26七年级下·重庆黔江·课后作业）如图，下列说法正确的是（    ） A．和是内错角 B．和是对顶角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 【答案】A 【分析】本题考查了内错角，同位角，同旁内角的定义，以及对顶角的定义，解决本题的关键是熟练掌握以上相关角的定义． 根据内错角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线两侧，且夹在两条被截直线之间，这样的一对角即为内错角；同位角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线同旁，又在被截两直线的同一侧，这样的一对角即为同位角；同旁内角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线同旁，并且都在被截两直线之间，这样的一对角即为同旁内角；对顶角，即一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，这样的一对角即为对顶角；由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，和是内错角，故正确； B选项，和是对顶角，和是对顶角，故错误； C选项，和是同位角，和是同位角，故错误； D选项，和是同旁内角，故错误 ． 故选：A ． 【例2】（25-26七年级下·吉林长春·月考）如图，则图中内错角共有 对． 【答案】4 【分析】本题主要考查了内错角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． 根据内错角的定义确定内错角的对数即可． 【详解】解：如图：和是一对内错角；和是一对内错角；和是一对内错角；和是一对内错角；即内错角共4对． 故答案为4． 1．（24-25七年级下·河北张家口·期中）下列说法中正确的有（   ） ①相等的角是对顶角； ②同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离； ④如图，和是同旁内角． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的定义、垂线的性质、点到直线距离、同旁内角的定义，熟练掌握相关的性质定理是解题的关键． 根据对顶角的定义、垂线的性质、点到直线距离、同旁内角的定义逐项判断即可． 【详解】解：①不正确，相等的角不一定是对顶角； ②正确，同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③不正确，从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离； ④不正确，和不是同旁内角； 故选：B． 2．（24-25七年级下·甘肃平凉·月考）如图，下面说法错误的是（   ） A．和是对顶角 B．和是同位角 C．和是同旁内角 D．和是内错角 【答案】B 【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角的定义，对顶角的定义，由同位角、内错角、同旁内角的定义，对顶角的概念，即可判断，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角的定义，对顶角的概念． 【详解】解：A、和是对顶角，说法正确，故选项不符合题意； B、和不是同位角，故选项符合题意； C、和是同旁内角，说法正确，故选项不符合题意； D、和是内错角说法正确，故选项不符合题意； 故选：B． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图． （1）与是直线，被直线所截形成的 角； （2）与是直线 被直线 所截形成的 角； （3）与是直线 被直线 所截形成的 角； （4）与是直线 被直线 所截形成的 角． 【答案】 内错 同位 同旁内 内错 【分析】本题考查的知识点是同位角，内错角，同旁内角的概念，解题关键是熟记同位角、内错角、同旁内角的位置关系． （1）利用内错角的概念进行判断填空即可； （2）利用同位角的概念进行判断填空即可； （3）利用同旁内角的概念进行判断填空即可； （4）利用内错角的概念进行判断填空即可． 【详解】解：（1）与是直线，被直线所截形成的内错角； 故答案为：内错； （2）与是直线被直线所截形成的同位角； 故答案为：，，同位； （3）与是直线被直线所截形成的同旁内角； 故答案为：，，同旁内； （4）与是直线被直线所截形成的内错角． 故答案为：，，内错． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，一个方块从某一个起始角开始，经过若干步跳动后，到达终点角，跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从跳到终点位置的路径如下： 路径1：． 路径2：． …… (1)写出任意一条从起始位置→终点位置的路径； (2)从起始位置依次按内错角、同位角、同旁内角的顺序能否到达终点位置？并写出路径． 【答案】(1)．（答案不唯一） (2)能，路径如下： ．（答案不唯一） 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． （1）根据内错角，同位角，同旁内角直接逐个判断即可得到答案； （2）根据内错角、同位角、同旁内角反向推导即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，．（答案不唯一） （2）解：能，路径如下： ．（答案不唯一） 【经典例题二 同位角相等两直线平行】 【例1】（24-25七年级下·河北唐山·月考）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 如图，和是直线，被直线截出的同旁内角，且与互补，请说明的理由． 理由：（①平角的定义）， 是的补角（②互补的定义）， 是的补角（已知）， （③等量代换）， （④同位角相等，两直线平行）． 其中，括号内填写的说理过程有错误的代号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定方法、补角的定义、平角的定义，根据题意得出同位角相等是解决问题的关键．由平角的定义和补角的定义得出，由同位角相等，两直线平行即可得出结论． 【详解】解：理由：（①平角的定义）， 是的补角（②互补的定义）， 是的补角（已知）， （③同角的补角相等）， （④同位角相等，两直线平行）． ∴括号内填写的说理过程有错误的代号是③ 故选：C． 【例2】（22-23七年级下·河南信阳·月考）能判定的同位角有 组． 【答案】 【分析】根据“同位角相等，两直线平行”找出所有与有关的同位角即可解答． 【详解】解：如，则； 如，则； 如，则； 如，则． ∴能判定的同位角有4组 故答案为： 【点睛】本题主要考查了平行线判定定理，理解同位角的概念是解答本题的关键． 1．（2025·宁夏·中考真题）如图，直线被直线所截，根据“同位角相等，两直线平行”判定，需要的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查平行线的判定定理：同位角相等两直线平行，据此依次判断． 【详解】解：A.，不能判定，故不符合题意； B.，不能判定，故不符合题意； C.根据“同位角相等，两直线平行”能判定，故符合题意； D.，不能判定，故不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）如图，在直线外取一点P，经过点P作的平行线，这种画法的依据是（    ） A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 B．同位角相等，两直线平行 C．内错角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，由图可根据同位角相等，两直线平行进行判定． 【详解】解：如图， 根据，由同位角相等，两直线平行，即可判断， 故选：B． 3．（25-26七年级下·江苏南京·课后作业）结合下图，用符号语言表达定理“同位角相等，两直线平行”的推理形式：∵ ，∴． 【答案】/∠3=∠1 【分析】根据题意找到同位角,，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的判定，掌握“同位角相等，两直线平行”是解题的关键． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知，再添加什么条件可使？请就你添加的条件说明的理由． 【答案】（补充的条件不唯一），见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 根据平行线的判定定理即可得到结论． 【详解】解：添加的条件是（补充的条件不唯一），这样有． 理由：，， ，即， （同位角相等，两直线平行）． 【经典例题三 用直尺、三角板画平行线】 【例1】（24-25七年级下·北京东城·课后作业）已知点在直线外，要求过点画直线的平行线．某位同学先过点画直线交于点，并使得，然后他通过将含有角的三角板从点处沿着直线平移画出所要求作的直线．在点处，他的三角板摆放方法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键．根据同位角相等，两直线平行即可得． 【详解】解：将三角板中的角与重合，再从点处沿着直线平移，当三角板中的角的顶点与点重合时，画出的直线即为直线的平行线．理由是：同位角相等，两直线平行． 故选：C． 【例2】（23-24七年级下·四川成都·课后作业）下列各图中的直线，用推三角尺的方法验证，其中的有 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查的是用三角板和直尺判定判定平行线，将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板即可判定． 【详解】解：将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板，可判定三个图形中的有①②③， 故答案为：①②③． 1．（23-24七年级下·湖南岳阳·课后作业）如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（    ） ①沿直尺下移三角尺；  ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①② 【答案】B 【分析】本题考查了画平行线，根据同位角相等两直线平行判断即可． 【详解】解：根据同位角相等两直线平行则正确的操作步骤是④②③①， 故选：B． 2．（2022七年级下·上海·专题练习）下面不能检验直线与平面垂直的工具是（　　） A．铅垂线 B．三角尺 C．长方形纸片 D．合页型折纸 【答案】C 【分析】根据直线与平面垂直的意义进行判断即可． 【详解】解：铅垂线、三角尺、合页型折纸可以检验直线与平面垂直，而长方形纸片比较单薄，不适合支撑检测直线与面之间的垂直度， 故选：C． 【点睛】本题考查垂线，掌握直线与平面垂直的意义是正确判断的前提． 3．（23-24七年级下·河北邢台·月考）已知直线以及直线外一点P，如图1，图2、图3的作图结果可以说明的基本事实是 ；其依据是 ． 【答案】 经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行 同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查的是画平行线，平行线的判定，根据画平行线的方法可得答案． 【详解】解：直线以及直线外一点P，如图1，图2、图3的作图结果可以说明的基本事实是经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行；其依据是同位角相等，两直线平行； 故答案为：经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行；同位角相等，两直线平行； 4．（25-26七年级下·江苏无锡·课后作业）如图，网格线的交点叫格点，格点是的边上的一点（请利用网格作图，保留作图痕迹，作图痕迹加粗加黑）． (1)过点画的垂线，交于点； (2)过点画的平行线； (3)线段__________的长度是点到的距离． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3) 【分析】本题考查画垂线和平行线，点到直线的距离，熟练掌握垂线和平行线的定义，点到直线的距离，是解题的关键： （1）借助网格特点，垂线的定义，画图即可； （2）利用平移思想画出即可； （3）根据点到直线的垂线段的长为点到直线的距离，作答即可． 【详解】（1）解：如图即为所求； （2）解：如图即为所求； （3）解：∵， ∴线段的长度是点到的距离． 【经典例题四 平行公理的应用】 【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在平面内过点O作已知直线a的平行线和垂线，可作的条数分别是m条和n条，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．无数条 【答案】B 【分析】本题考查垂线的性质，平行公理，根据垂线的性质，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，平行公理，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，进行求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴； 故选B． 【例2】（24-25七年级下·山西晋中·课后作业）被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是 ． 【答案】平行于同一条直线的两条直线互相平行 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，根据平行线性质得出，，推出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】解：理由是：平行于同一条直线的两条直线互相平行 延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． 故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 1．（25-26七年级下·山东淄博·月考）下面各语句中，正确的有（    ） ①不相交的两条直线叫做平行线； ②在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种； ③如果线段和线段不相交，那么直线和直线平行； ④如果，，那么； ⑤过一点有且只有一条直线平行于已知直线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查平行线的有关内容，掌握平行公理即推论是解题关键． 根据平行线的定义及平行公理，对选项逐一分析即可． 【详解】解：①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故原说法错误； ②在同一平面内，两条直线的位置关系为相交，平行，故原说法正确； ③如果线段和线段不相交，那么直线和直线平行，说法错误； ④如果，，那么，说法正确； ⑤过一点有且只有一条直线平行于已知直线，说法错误． 综上所述，正确的有②④，共个 故选：B． 2．（24-25七年级下·贵州黔南·课后作业）如图，已知P是直线l外一点，若，则三点在同一条直线上．其依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的性质，根据过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行进行解答即可． 【详解】解：P是直线l外一点，若，则三点在同一条直线上．其依据是过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行， 故选：D 3．（24-25七年级下·上海青浦·期中）已知直线a、b、c在同一平面内，如果，，那么直线a、b的位置关系是 ． 【答案】（或垂直）． 【分析】本题考查了平行线的性质以及垂线的性质，解题的关键是根据平行和垂直的传递性判断直线、的位置关系． 利用平行线的性质和垂线的定义，通过分析直线、与直线的关系，得出直线、的位置关系． 【详解】，， ，即直线、的位置关系是垂直． 故答案为：（或垂直）． 4．（24-25七年级下·河南商丘·月考）现有一条直线及其外的一点． (1)①用三角板在直线上找一点，使的长度最短； ②理论依据是________； (2)①过点画的平行线； ②这样的平行线可以画________条． 【答案】(1)①图见解析②垂线段最短 (2)①图见解析②1 【分析】本题考查画垂线和平行线，垂线段最短和平行公理： （1）①作即可；②根据垂线段最短作答即可； （2）①利用直尺和三角板画平行线即可；②根据平行公理，得到只能画1条． 【详解】（1）解：①如图，点即为所求； ②理论依据为：垂线段最短； 故答案为：垂线段最短； （2）①由题意，作图如下： ②这样的平行线可以画1条， 故答案为：1． 【经典例题五 平行公理推论的应用】 【例1】（24-25七年级下·山西朔州·月考）若互不重合的三条直线，，之间满足：，则与之间的位置关系为（   ） A．与平行 B．与垂直 C．与相交 D．以上都有可能 【答案】A 【分析】此题主要考查了平行公理的推论，根据平行公理的推论直接判断直线c与直线a的位置关系即可． 【详解】解：∵互不重合的三条直线，，之间满足：， ∴直线与平行， 故选：A． 【例2】（2025七年级下·江苏连云港·专题练习）如图①，有一个可折叠的晾衣架放置在水平地面上，图②是其侧面示意图，其中是地面，当时，时，．同时满足上述条件时，一定有N，P，M三点在同一条直线上，其依据是 从下列选项中选取合适的填写，只填序号①同位角相等，两直线平行．②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．③两点确定一条直线． 【答案】② 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理及推理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可． 【详解】解：∵当时，时，． 点在同一直线上，其依据是过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， 故答案为：②． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的有（   ） ①不相交的两条直线是平行线;  ②在同一平面内,不相交的两条线段平行 ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;  ④若a∥b,b∥c,则a与c不相交. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】①错误，应该为：在同一平面内不相交的两条直线是平行线； ②错误，应该为：在同一平面内不相交的两条直线平行； ③错误，应该为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④若a∥b，b∥c,则a与c不相交，正确，因为a∥c； 故选A 2．（25-26七年级下·广东广州·课后作业）已知下列命题：①相等的角是对顶角；②邻补角的平分线相互垂直；③互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角；④平行于同一条直线的两个直线平行．其中真命题的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】试题分析：根据题意可知：相等的角不一定是对顶角，故①不正确； 根据邻补角的和为180°，因此其角平分线分出的角的和为90°，因此邻补角的平分线互相垂直，故②正确； 由于两个直角的和等于180°，它们也互补，故③不正确； 平行于同一条直线的两条直线也互相平行，如a∥b，b∥c，则a∥c，故④正确． 因此真命题的个数为2个． 故选C 考点：真假命题 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时， （填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是 ． 【答案】 不能 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题主要考查了平行公理，关键是掌握并理解平行公理的内容．根据平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行可得答案． 【详解】解：不能， 与有夹角，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，可得不能同时与地面平行， 故答案为：不能，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 4．（22-23七年级下·广东佛山·月考）如图，已知直线a，b，c被d所截，且，．试说明：． 解：因为（已知） （___________） 所以___________=___________（等量代换） 所以______________________（___________） 又因为（已知） 所以______________________（___________） 【答案】对顶角相等，2，3，a，c，同位角相等，两直线平行，b，c，平行于同一直线的两条直线互相平行 【分析】根据对顶角相等得到，从而得到，再根据平行线的判定定理得到，从而根据平行线的推论证得． 【详解】解：因为（已知） （对顶角相等） 所以2=3（等量代换） 所以ac（同位角相等，两直线平行） 又因为（已知） 所以bc（平行于同一直线的两条直线互相平行） 【点睛】此题考查了平行线的性质与判定，解题的关键是熟练掌握性质定理． 【经典例题六 内错角相等两直线平行】 【例1】（24-25七年级下·新疆乌鲁木齐·课后作业）如图，在下列条件中，能判断直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定即可作答． 【详解】解：A、∵，∴，符合题意； B、，不能判定，不符合题意； C、不能判定，不符合题意； D、，不能判定，不符合题意； 故选：A 【例2】（24-25七年级下·甘肃武威·开学考试）如图：如果，可以推出 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，根据内错角相等，两直线平行，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：，． 1．（23-24七年级下·河南漯河·月考）如图，给出下列四个条件：①；②；③；④，其中能使的条件是（   ） A．①② B．③④ C．②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，掌握数形结合思想的应用、弄清截线与被截线是解题的关键． 根据平行线的定义可判定①；运用内错角相等、两直线平行可判定②③④． 【详解】解：由不等同于，故①不符合题意； 由，根据内错角相等、两直线平行可得，即②符合题意； 由，根据内错角相等、两直线平行可得，即③不符合题意； 由，根据内错角相等、两直线平行可得，即④符合题意； 所以能使的条件是②④． 故选：C． 2．（25-26七年级下·河南商丘·期中）下列命题中，真命题的个数有（    ） ①同一平面内，两条直线一定互相平行； ②有一条公共边的角叫邻补角； ③两直线平行，内错角相等； ④对顶角相等； ⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】根据相关定义定理判断即可； 【详解】解：同一平面内，两条直线不一定互相平行，也有可能相交，故①错误； 两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角；故②错误； 两直线平行，内错角相等；故③正确； 对顶角相等；故④正确； 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．故⑤错误； 故正确的有③④； 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行线的性质、邻补角的定义，掌握相关知识是解本题的关键． 3．（25-26七年级下·宁夏银川·课后作业）如图，将两个含角的直角三角板的最长边靠在一起滑动，可知直角边，依据是 ． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】图中的两个30°的角是一对内错角，而内错角相等，两直线平行，据此可得答案． 【详解】解：因为∠BAD=∠ADC=30°， 所以，理由是：内错角相等，两直线平行． 故答案为：内错角相等，两直线平行． 【点睛】本题考查了平行线的判定，属于基础题型，熟练掌握平行线的判定方法是关键． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知直线被直线所截，．请说明的理由． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平角的定义可求出的度数，根据内错角相等，两直线平行即可推出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【经典例题七 同旁内角互补两直线平行】 【例1】（25-26七年级下·山西运城·课后作业）如图，在下列四组条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．根据平行线的判定定理逐项分析判断即可． 【详解】解：A、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，不能得到，不符合题意； B、由，不能得到，不符合题意； C、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，符合题意； D、由不能得到，不符合题意； 故选：C． 【例2】（25-26七年级下·山东潍坊·月考）如图，在下列条件中：①∠DAC=∠ACB；②∠BAC=∠ACD；③∠BAD+∠ADC=180°；④∠BAD+∠ABC=180°．其中能使直线AB∥CD成立的是 ．（填序号） 【答案】②③ 【详解】解：根据平行线的判定，得②∠BAC=∠ACD（内错角相等，两直线平行）和③∠BAD+∠ADC=180°（同旁内角互补，两直线平行）正确 . 故答案为：②③ 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图所示，平分，平分，不能判定的条件是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的判定方法逐项分析即可. 【详解】∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD， . 若∠1=∠2，则，不能判定，故A符合题意； 若∠1＋∠2＝90°，则，∴AB∥CD，故B不符合题意； 若∠3＋∠4＝90°；则，∴AB∥CD，故C不符合题意； 若∠2＋∠3＝90°．则，∴AB∥CD，故D不符合题意； 故选A. 【点睛】本题考查了行线的判定方法，熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键.平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行； ②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行. 2．（25-26七年级下·河南郑州·月考）小颖学习了平行线的相关知识后，利用如图所示的方法，折出了“过已知直线AB外一点P和已知直线AB平行的直线MN”，下列关于MN∥AB的依据描述正确的是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．以上选项均正确 【答案】D 【分析】先根据折叠的性质得到折痕都垂直于过点P的直线，根据根据平行线的判定方法求解． 【详解】解：如下图，作以下标记E： 第一步的操作可知PE⊥AB，所以∠PEA=∠PEB=90°，第二步的操作可知MN⊥PE，所以∠MPE=∠NPE=90°，所以∠PEA=∠PEB=∠MPE=∠NPE=90°，所以可依据A. 同位角相等，两直线平行、B. 内错角相等，两直线平行、C. 同旁内角互补，两直线平行判断MN∥AB，故A、B、C三个选项都对， 故选D． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 3．（2025七年级下·江苏连云港·专题练习）如图，，当 度时，． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定（同旁内角互补，两直线平行），熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．要使，需利用平行线的判定（同旁内角互补，两直线平行）确定的度数． 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（25-26七年级下·全国·课前预习）请完成平行线的判定定理2的证明： 已知：如图，和是直线a，b被直线c截出的同旁内角，且与互补．求证：． 证明：与互补（已知）， ________（互补的定义）， ________（等式的性质）． ________（________）， ________（等式的性质）， （等量代换）， （________）． 【答案】180；180；180；平角的定义；180；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，根据补角的定义，等量代换，同位角相等，两直线平行，进行作答即可． 【详解】证明：与互补（已知）， （互补的定义）， （等式的性质）． （平角的定义）， （等式的性质）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 【拓展训练一 利用同位角、内错角及平行公理推论综合判定两直线平行】 【例1】（24-25七年级下·陕西榆林·期中）老师让同学们验证教室里黑板的上，下边缘是否平行．小明画出了如图所示的示意图，并用量角器测量，的度数，则解决这个问题所应用的数学原理是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，同旁内角互补 C．同位角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，根据同旁内角互补，两直线平行，进行判断即可． 【详解】解：由题意，解决这个问题所应用的数学原理是同旁内角互补，两直线平行； 故选D． 【例2】（25-26七年级下·山东菏泽·月考）如果，，则 ，因为 ． 【答案】 平行于同一条直线的两条直线平行 【分析】本题考查平行公理，熟练掌握平行于同一条直线的两条直线平行是解题关键．根据平行公理解答即可． 【详解】∵，（已知）， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）． 故答案为、、平行于同一条直线的两条直线平行 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，若，则下面结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定定理，掌握识别同位角的位置关系，以及利用同位角相等，两直线平行判定两直线平行是解题的关键． 先确定与的位置关系，判断它们是哪两条直线被哪条直线所截形成的同位角，再根据同位角相等，两直线平行判定平行的直线． 【详解】解：与是直线被直线所截形成的同位角， ∵ （已知）， ∴ 根据同位角相等，两直线平行，可得． 故选：B． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）有下列说法：①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；②若，，则；③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．其中错误的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质和判定、相交线等知识点，掌握平行线的性质和判定是解决本题的关键． 利用平行线的性质和判定，逐个判断得结论． 【详解】解： ①中与相交，与相交，但与可能平行（如两条平行线均与第三条直线相交），故 ①错误，符合题意； ②中，，根据平行线的传递性，有，故②正确，不符合题意； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，这是平行公理，故 ③正确，不符合题意； ④在同一平面内，两条直线位置关系只有平行和相交两种，垂直是相交的特殊情况，故④错误，符合题意； ∴ 错误的有①和④，共个． 故选：B． 3．（25-26七年级下·上海·期中）如图，如果与 互补，那么．    【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，掌握“同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键． 根据“两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行”即可解答． 【详解】解：， ∴． 故答案为：． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知：如图，直线，被直线所截，，，说明：． 解：因为与直线相交于点E，， 所以________． 因为， 所以________， 所以________________（________________）（填推理的依据）． 【答案】；；；；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．根据题中思路解答即可． 【详解】解：因为与直线相交于点E，， 所以． 因为， 所以， 所以（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：；；；；同旁内角互补，两直线平行． 【拓展训练二 用直尺三角板画平行线并结合三种角的关系进行说理证明】 【例1】（22-23七年级下·山东德州·月考） 下列说法错误的是（　　） A．对顶角相等 B．两点之间所有连线中，线段最短 C．等角的补角相等 D．过任意一点P，都能画一条直线与已知直线平行 【答案】D 【分析】根据对顶角的含义可判断A，根据两点之间，线段最短可判断B，根据等角的补角的性质可得C，根据过直线外一点画已知直线的平行线可判断D，从而可得答案． 【详解】解：A、对顶角相等，正确； B、两点之间所有连线中，线段最短，正确； C、等角的补角相等，正确； D、过直线外一点P，都能画一条直线与已知直线平行，错误； 故选：D． 【点睛】本题考查的是对顶角的性质，两点之间，线段虽短，等角的补角的性质，过直线外一点画已知直线的平行线，熟记基本概念与性质是解本题的关键． 【例2】（23-24七年级下·江苏连云港·课后作业）如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是： ．（填序号）    【答案】④②①③ 【分析】本题考查的是画平行线，根据“用直尺和三角板过直线外一点画已知直线的平行线的操作步骤”即可作答； 【详解】解：正确的步骤是： ④用三角尺的一边贴住直线a； ②用直尺紧靠三角尺的另一边； ①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P； ③沿三角尺的边作出直线b； 故答案为：④②①③； 1．（25-26七年级下·天津河西·期中）如图所示，给出了过直线外一点画已知直线的平行线的方法，其依据是（    ）    A．同位角相等，两直线平行 B．两直线平行，同位角相等 C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【答案】A 【分析】由作图可得，再根据同位角相等，两直线平行可得答案． 【详解】解：由作图可得：， ∴， ∴其依据是：同位角相等，两直线平行 故选A． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行是解答本题的关键． 2．（22-23七年级下·河南安阳·期中）下列语句中：①一条直线有且只有一条垂线；②不相等的两个角一定不是对顶角；③两条不相交的直线叫做平行线；④如果两个角是邻补角，那么这两个角的角平分线互相垂直；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中错误的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据垂线的含义可判断①，根据对顶角的定义可判断②，根据平行线的定义可判断③，根据邻补角的性质可判断④，根据画平行线的方法可判断⑤，从而可得答案． 【详解】解：一条直线有无数条垂线；原描述错误，故①符合题意； 不相等的两个角一定不是对顶角；描述正确，故②不符合题意； 在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线，原描述错误，故③符合题意； 如果两个角是邻补角，那么这两个角的角平分线互相垂直；描述正确，故④不符合题意； 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．原描述错误，故⑤符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是垂线的含义，对顶角的概念，平行线的定义，邻补角的性质，熟记概念是解本题的关键． 3．（22-23七年级下·河南郑州·期中）如图是利用直尺移动三角板过直线外一点作直线的平行线的方法，小明经过多次实践后发现只能作一条平行线，这反映了 ．    【答案】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】根据平行公理可得答案． 【详解】解：由图可得，过直线外一点，能且只能画出一条平行线， 这反映了：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【点睛】本题考查平行公理，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键． 4．（25-26七年级下·江苏宿迁·月考）如图，点是的边上的一点． (1)过点画的平行线； (2)过点画的垂线，垂足为； (3)过点画的垂线，交于点：、、这三条线段大小关系是_______，（用“”号连接），理由是_________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)作图见解析；；垂线段最短 【分析】本题主要考查了格点作图，会过已知点作已知直线的垂线以及掌握垂线段最短是解题的关键． （1）取格点N，连接，根据格点特点可得； （2）根据题意作图即可； （3）取格点D，连接，交于点C，由网格线的特征易得，即可得到；根据过直线外一点作已知直线的垂线，这条垂线段的长度就做点到直线的距离；点到直线的所有连线中，垂线段最短即可解答． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，即为所求作的的垂线； ∵垂线段最短， ∴，， ∴． 1．（25-26七年级下·全国·单元测试）滑雪项目图标抽象出的几何图形如图所示．有下列判断：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解决本题的关键． 根据同位角、内错角、同旁内角的定义解决此题． 【详解】解：①根据对顶角的定义（角的两边互为反向延长线的两个角互为对顶角），与是对顶角，①正确． ②根据同旁内角的定义（两条直线被第三条直线所截，在被截线之间并且在截线同一侧的两个角是同旁内角），与是同旁内角，②正确． ③根据同旁内角的定义以及邻补角的定义，与不是同旁内角，而是邻补角，③错误． ④根据内错角的定义（两条直线被第三条直线所截，在被截线之间并且在截线两侧的两个角是内错角），与是内错角，④正确． 综上：正确的有①②④，共个． 故选：C． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）如图在同一平面内，有条直线与直线平行，也有条直线与直线平行，直线，不平行，当时共有多少对内错角？（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质、同位角、内错角、同旁内角，解决本题的关键是知道内错角的概念以及通过找规律来计算内错角的数量． 内错角是指两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角．先分析前几个值时内错角数量的计算规律，再根据规律计算时内错角的数量． 【详解】解：当时，有对内错角， 当时，有对内错角， 当时，有对内错角， 当时，有对内错角． 故选：A． 3．（25-26七年级下·北京·期中）下列命题中，假命题是（    ） A．同旁内角互补，两直线平行 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，一个是钝角 D．在同一平面内，如果 ， a c ，那么b c 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理，领补角的定义，垂直的定义分析选项即可． 【详解】解：由题意可知： A. 同旁内角互补，两直线平行；命题正确，是真命题，故不符合题意； B. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；命题正确，是真命题，故不符合题意； C. 如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，一个是钝角；命题错误，例如这两个角都是，故是假命题，符合题意； D. 在同一平面内，如果 ， a c ，那么b c；命题正确，是真命题，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查真假命题的判定，解题的关键是掌握平行的判定，领补角定义，垂直的定义． 4．（24-25七年级下·重庆渝北·课后作业）如图，，第1次，作相交、，则产生了4对同位角，第2次，作相交、、，则又产生了12组同位角，第3次，作相交、、、，则又产生了24组同位角，推测第6次又产生了（   ）对同位角． A．60 B．84 C．112 D．144 【答案】B 【分析】本题主要考查了同位角的概念和规律题，可先通过分析前几次作直线后产生同位角的数量，找出其规律，再根据规律计算第6次产生同位角的数量，即可求解． 【详解】解： 设作第n次直线后产生的同位角对数为， 第1次，作​​相交​​，此时有2条被截直线 ，1条截线​​，产生了对同位角； 第2次，作​​相交​​，此时有3条被截直线​​，1条截线​​，产生了对同位角； 第3次，作​​相交，此时有4条被截直线，1条截线​​，产生了对同位角； 以此类推，可得到规律：作第n次直线后，有条被截直线，1条截线，产生的同位角对数； 当时，代入上述规律公式可得：（对） 故选项为：B． 5．（25-26七年级下·四川遂宁·课后作业）我们曾利用手中的直尺和三角板，过直线外一点画出与已知直线平行的直线，你可能还见过木工师傅用角尺画出平行线的方法；两者的原理一样，依据是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．内错角相等 ，两直线平行 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握同位角相等，两直线平行是解题关键． 根据同位角相等，两直线平行即可得． 【详解】解：如图， 由作法知，，， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故选B． 6．（2025七年级下·重庆·专题练习）下列说法正确的是（　　） A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 D．连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离 【答案】D 【分析】本题考查了几何的基本概念，包括垂线、平行线、点到直线的距离和两点之间距离的定义．掌握以上相关的定义是解题的关键．通过相关定义逐项分析即可． 【详解】A、在同一平面内，过一点（无论点在直线上还是直线外）有且只有一条直线与已知直线垂直，强调在同一平面内，选项A不符合题意； B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，但过直线上一点没有直线与已知直线平行（重合不算平行），选项B不符合题意； C、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，而垂线段是图形，选项C不符合题意； D、连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离，选项D符合题意． 故选：D． 7．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法中正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．有一个公共顶点和一组公共边，并且和为的两个角互为邻补角 C．直线外一点到这条直线的垂线段的叫做点到直线的距离 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】D 【分析】分别根据对顶角，邻补角，点到直线的距离和平行公理进行判断即可． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，原说法错误，不符合题意； B、两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫作互为邻补角，原说法错误，不符合题意； C、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离，故不符合题意； D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了对顶角和邻补角的定义，点到直线的距离，平行公理，熟知相关知识是解题的关键． 8．（25-26九年级下·福建厦门·月考）如图，过直线外一点作它的平行线， 其作图依据是（     ） A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，内错角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行 【答案】D 【分析】根据基本作图痕迹可知内错角相等，再根据平行线的判定解答即可． 【详解】解：由作图可知，内错角相等，则这两条直线平行， 故选：D． 【点睛】本题考查基本尺规作图-作角、平行线的判定，理解题意，根据作图痕迹得出内错角相等是解答的关键． 9．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，给出下列条件．其中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，邻补角的定义，掌握平信线的判定定理是解题关键．根据同位角相等、内错角相等以及同旁内角互补，逐一判断即可． 【详解】解：A、由，，可得，由同旁内角互补，两直线平行，可判定，不符合题意； B、，由同旁内角互补，两直线平行，可判定，不符合题意； C、，由同位角相等，两直线平行，可判定，不符合题意； D、不能判定，符合题意； 故选：D． 10．（25-26七年级下·辽宁沈阳·课后作业）如图，将木条a，b与木条c钉在一起，，．若木条a按箭头方向旋转的度数为α时，木条，则α的值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法．根据平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行，进行解答即可． 【详解】解：如图， 当时，， ∴要使，木条a旋转的度数． 故选：D． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，其中同旁内角为 （写出每组具体名称），则的值是 ． 【答案】 与，与，与，与 14 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的识别，掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． 先根据同位角、内错角、同旁内角的定义，分别找出图中这三类角的具体组合并数出对数，再将三类角的对数相加得到结果． 【详解】解：同位角有与，与，与，与，与，与，所以； 内错角有与，与，与，与，所以； 同旁内角有与，与，与，与，所以， 所以． 故答案为：与，与，与，与；14． 12．（25-26七年级下·河南周口·课后作业）若平面内3条直线两两相交，且无三线共点，则一共有 对内错角． 【答案】6 【分析】本题考查内错角的计数问题，关键在于确定线段数量并根据每条线段两侧的内错角对数计算总对数． 【详解】解：∵平面内3条直线两两相交，且无三线共点， 可以看作其中任意一条直线作为截线，去截另外两条直线． 当一条直线截另外两条直线时，会形成2对内错角． 因为共有3条直线，所以每条直线都可以作为截线， 故共有内错角对． 故答案为6． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，补全下面的说理过程： （1）因为，所以 （ ）． （2）因为，所以 （ ）． 【答案】 同位角相等，两直线平行 同位角相等，两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． （1）（2）根据“同位角相等，两直线平行”求解即可． 【详解】解：（1）因为，所以（同位角相等，两直线平行）． （2）因为，所以（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：①，②，③同位角相等，两直线平行，④，⑤，⑥同位角相等，两直线平行． 14．（24-25七年级下·甘肃武威·月考）看图填空，并在括号内说明理由： ∵，，（已知） ∴， ∴ ，( ) 【答案】 同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定方法，由同位角相等，两直线平行，即可求解． 【详解】解：∵，，（已知） ∴， （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：，，同位角相等，两直线平行． 15．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线与直线分别相交，图中的同位角共有 对． 【答案】156 【分析】观察图形，直线 GH,IJ,KL上，每条直线有5个交点，直线AB,CD,EF 上，每条直线有3个交点，每个交点存在4个角，根据每2个交点可以构成4对同位角，分别求得直线GH,IJ,KL和AB,CD,EF上的同位角的对数即可． 【详解】观察图形，直线上，每条直线有5个交点，直线上，每条直线有3个交点，每个交点存在4个角， 则直线上存在的同位角的个数是：对，同理直线上存在的同位角的个数是：对， 则总数是对． 故答案为：． 【点睛】本题考查了找同位角，分类讨论是解题的关键． 16．（24-25七年级下·河南商丘·月考）下面是多媒体上展示的一道习题，请你将过程补充完整．如图，已知于B，于D，，探究与的位置关系 解：∵，（已知） ∴________，________（垂直的定义） ∴________（__________________两直线平行） ∵（________） ∴________（__________________，两直线平行） ∴与的位置关系是________ （__________________） 【答案】90；90；；在同一平面内，垂直于同一条直线的；已知；；同旁内角互补；平行；平行于同一条直线的两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定解答即可，掌握平行线的判定是解题的关键． 【详解】解：∵，（已知） ∴，（垂直的定义） ∴（在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行） ∵（已知） ∴（同旁内角互补，两直线平行） ∴与的位置关系是平行 （平行于同一条直线的两直线平行） 故答案：90；90；；在同一平面内，垂直于同一条直线的；已知；；同旁内角互补；平行；平行于同一条直线的两直线平行 17．（25-26六年级下·全国·单元测试）如图所示，在一个凹形图形中，下列说法都正确吗？如果不正确，请加以更正． (1)与是同旁内角，与是内错角； (2)与互为同旁内角的角只有； (3)图中没有同位角． 【答案】(1)正确 (2)错误，与互为同旁内角的角有和 (3)正确 【分析】此题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，根据已知图形和同位角、内错角、同旁内角的定义判断即可． 【详解】（1）解：与是同旁内角，与是内错角，原说法正确； （2）解：与互为同旁内角的角有和，原说法错误； （3）解：图中没有同位角，原说法正确． 18．（2026七年级下·全国·专题练习）完成下面的推理过程． 如图，已知，垂足为，，．试说明：． 解：， ________°， 即________°． ，且， ， ________， （________________）． 【答案】90  90  4  同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定、余角的性质，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 根据垂直的定义得到，再根据等角的余角相等得到，最后根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：， ， 即． ，且， ， ， （同位角相等，两直线平行）． 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，已知三角形，点P在边上． (1)过点P画的平行线交于点T； (2)过点C画； (3)直线_______（填位置关系）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要是考查的尺规作图及平行公理的运用，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）按照作平行线的方法画图即可； （2）按照作平行线的方法画图即可； （3）根据平行于同一条直线的两直线平行，即可解题． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：如图，直线即为所求． （3）解：，， ， 故答案为：． 20．（24-25七年级下·广东江门·月考）完成下面的证明． 如图，，，分别平分和，求证． 证明：， （___________________）． ，分别平分和， __________（___________________）． 又， __________（___________________）． （__________________________）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键．先根据垂直定义可得，再利用角平分线的定义可得，，然后利用等量代换可得，从而利用平行线的判定，即可解答． 【详解】证明：， （垂直的定义）． 分别平分和， ∴，（角平分线的定义）． 又， （等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）． 学科网（北京）股份有限公司 $