专题1.4 向量的分解与坐标表示（高效培优讲义）高一数学湘教版必修第二册

丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1-4向量的分解与坐标表示讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 1-4向量的分解与坐标表示 知识点01向量的分解与坐标表示 题型01向量的分解与坐标表示 题型02向量的坐标运算 知识点02向量的坐标运算 教学目标、教学重难点 教学目标 理解平面向量基本定理、向量的正交分解、掌握平面向量的坐标表示与坐标运算 教学重点 平面向量基本定理、平面向量的坐标运算， 教学难点 平面向量基本定理。 知识清单 知识点01向量的分解与坐标表示 1.平面向量基本定理： e,e2是平面内两个不共线向量，那么对这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数1，，使a=1巴+2e2 我们把不共线的向量e,e叫做表示这一平面的一组基底. 2.平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 3.向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标 ②设A(1,y),Bx2,y2),则AB=(x2一x1,2一y）, 【即学即练1-1】(25-26高一上北京房山期末)已知点A(1,-2),B(2,3),则向量AB=() A.很) B.(1,5) C.(3,1) D.(-1,-5) 【即学即练1-2】(24-25高一下·广东·月考)己知AB=(5,4),A(2,3),则点B的坐标为) A.(3,1) B.(-3,-1) C.(7,7) D.(-7,-7) 知识点02向量的坐标运算 1.向量加法、减法、数乘运算：设坐标表示a-c1,y),石=(x2,y2),则 a+6=(+x2,y+y2),a-石=(x1-x2y1-y2,a=Ox,y), 2.向量的模：设坐标表示a=(x1,y),石=(x2,y2),则d=x7十， 【即学即练2-1】(24-25高一下·贵州遵义·月考)已知A(3,-4),B(-1,2),AP=3BP,则点P的坐标为 第1页共8页 品学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 《即学即练2-2】（多选）24-25高一下·四川凉山·期末)已知△ABC中，点D(1,2),E(2,0),F(3,2)分别为AB, BC,CA的中点，则() A.EF=(1,2) B.CF=(1,-2) C.点A的坐标为(2,4) D.△ABF的面积为4 题型精讲 题型01向量的分解与坐标表示 【典例1-11(1819高一，全国课后作业)如果用i,分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A(2,3),B(4,2), 则AB可以表示为) A.2i+3 B.4i+2j c.2i-j D.-2+j 【典例1-2】(23-24高一下·天津武清·月考)已知向量0A=(-1,2),0B=(1,-1),则向量AB的坐标为) A.(-2,3) B.(0,1) C.(-1,2) D.(2,-3) 【典例1-31（多选(22-23高一下-浙江金华月考）已知点4(4,6)，B(-3,引，则下列向量与AB平行的向量是() A.a=(借3) B.石=(7) c.=(兰，-3) D.d=(-7,9) 【典例1-4】(24-25高一下四川成都期末)在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为(4-3)，若向量AB= (2,3),则点A的坐标为 【变式1-1】(24-25高一下江西上饶期中)已知点A(-3,7),B(5,-2),则AB=() A.（-8,9) B.(8,-9) C.(8,9) D.(-8,-9) 《变式1-2】(24-25高一下.海南省直辖县级单位期中)如果用i,分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量， 且A(2,3),B(3,m),若AB=i-2元，则m=(） A.-1 B.1 C.5 D.-5 【变式1-3】(2023高一全国课后作业)己知0为坐标原点，点A(1,0),B(3,4),M是线段AB的中点，那么向 量OM的坐标是()】 A.(引 B.(2,2) c.() D.G) 凰变式1-4】(2024高一下·全国专题练习)如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量{亿，}作为基 第2页共8页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 底，若=√2,0=45°，则向量的坐标为) A.(1,1) B.(-1,-1) C.(W,V② D.(-V2,-V2) 【变式1-5】(24-25高一下.陕西期中)已知点A(-2,1),B(1,4),C(0,-3),则AB+AC=() A.(5,-1) B.(-3,3) C.(1,7) D.(-1,7) 【变式1-6】(24-25高一下江苏南通·月考)已知知两点A(2,-1),B(7,3),且点P为线段AB的中点.则PB的 坐标为 题型02向量的坐标运算 【典例2-1】(25-26高一上.浙江台州期末)己知a=(1,2),万=(-3,1)，则2a+b的坐标为) A.(5,3) B.(-5,4) C.(-2,3) D.(-1,5) 【典例2-2】(25-26高一上湖南长沙.期末)已知向量a=(x,x-6),b=(1,x-4),且a/1b,则x=() A.2 B.3 C.2或3 D.-2或-3 《典例2-3】（多选）25-26高一全国·假期作业)以A(0,1),B(1,0),C(3,2)三个点为顶点作平行四边形，则第 四个顶点D的坐标不可能是() A.（-2,3) B.(2,-1) C.(4,1) D.(-2,-1) 【典例2-4】(25-26高三上福建福州月考)已知向量a=(3,1),万=(1，-3)，则6-= 【变式21】(2025高二上贵州学业考试)向量a=(2,3),万=(1,2)，则a-五=() A.(1,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,3) 【变式2-2】(25-26高三上贵州贵阳期中)已知a=2b,且a=(4,6),则b=() A.(0,0) B.(2,3) c.(3,2) D.(4,6) 《变式2-3】(25-26高一上全国期末)已知向量a=(1,2),万=(2，-2)，c=(m2,2),若c/(2a+),则实数 m=() 第3页共8页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A号 8. C.±1 D.1 【变式2-4】(25-26高一上江苏盐城期中)已知a=(2,1),万=(1，-2)，若a+入万/-万，则1=() A.1 B.-1 C.6 D.-6 【变式2-5】（多选）(23-24高二上湖南株洲月考)已知a=(-1,2),=(2,5),下列选项中关于a,的坐标运 算正确的是()】 A.a+b=(7,1) B.a-2b=(-5,-8) C.若AB=且A(2,3),则B(3,1) D.2a+3b=(4,19) 凰变式26】(25-26高一上·全国·课前预习)1)已知数轴上A,B两点的坐标依次为x1=-2,x2=5,则BA 对应的坐标为 ABI= (2)已知a=(1,1),b=(2,-2),则后-b的坐标是 强化训练 一、单选题 1.(23-24高一下浙江期中)已知A(3,7),B(5,2),把向量AB按向量a=(1,2)平移后，所得向量A'B的坐标是() A.（-1,7) B.(1,-7) C.(2,-5) D.(3,-3) 2.(22-23高一下·吉林四平.月考)已知AB=(-2,1),则下面说法正确的是(） A.A点的坐标是(-2,1) B.当A是原点时，B点的坐标是(-2,1) C.当B是原点时，A点的坐标是(-2,1) D.B点的坐标是(-2,1) 3.(20-21高一下.全国课后作业)若，是与x轴，y轴方向相同的两个单位向量，取，办作为基底，设a=(x2+ x+1)i-(x2-x+1)方（其中x∈R),则向量对应的坐标位于(） A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三象限 D.第四象限 4.(25-26高一上·全国期末)已知向量a=(1,2),万=(2，-2)，c=(m2,),若c/(2a+b),则实数m=(） A号 B. C.士1 D.1 5.(2025高一下江苏南京，专题练习)已知点M(-2,7),N(10,-2),且NP=2PM,则点P的坐标为() A.(6,1) B.(2,4) C.(-14,16) D.(22,-11) 第4页共8页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6.(23-24高一下·河南洛阳·月考)古希腊数学家特埃特图斯(Theaetetus)利用如图所示的直角三角形来构造无 理数.已知AB=BC=CD=2,AB1BC,AC1CD,若DB=AB+HAC,则入+H=) √2 2 8.2 2 c型 . 7.(25-26高二上河南驻马店·开学考试)已知平面向量AB=(m-2,n-2),BC=(n-m-1,2m-n),m,n∈ R,若A,B,C三点共线，则m的取值范围为) A(-m,3-9 B.(-∞，2-1u2+装+m) c(-,2-u呢+导，+网) 0.2+号+四) 8.(24-25高一下·湖南·期中)定义域为[a,b]的函数f(x)的图象的两个端点为A(a,f(a),B(b,f(b)点P(x,y)是 f(x)的图象上一点，其中x=1a+(1-)b(0≤1≤1)，点Q满足0Q=0A+(1-)0B,其中0为原点， 我们把P可的最大值称为f(x)的峰值”若函数f()=本，x∈[o,m的峰值为异则m=() A.1 B.2 C.3 D.4 二、多选题 9.(23-24高一下·河北张家口·期中)已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(2,2)，(-2,4，(0,0)，则另一个顶 点的坐标可以是()】 A.(0,-6) B.(0,6) C.(4,-2) D.(-42) 10.(21-22高一下·全国单元测试)下列条件中可以证明A、B、C三点共线的是() A.AM+MB=2BC B.OA=xOB+yoC,x+y=1 C.A(1,0),B(0,-1),C(2,1) D.AM+MB+M元=可 11.(22-23高一下·河北唐山期末)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，延长边CD至点E,使得DE=CD.动 点P从点A出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到A点，若AP=AB+AE,则() D 第5页共8页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.满足入+u=1的点P有且只有一个 B.满足入+μ=2的点P有两个 C.入+存在最小值 D.入+不存在最大值 三、填空题 12.(23-24高一下海南省直辖县级单位，期中)已知点A(1,1),B(-1,0),C(0,1),若向量AB=CD,则点D的 坐标为 13.(24-25高一下·广西南宁.月考)平面上三点分别为A(2,-1),B(3,4),C(0,-2),若AB=CD,E为CD的中 点，则点E的坐标为 14.(23-24高一下·广西河池·月考)已知对任意平面向量AB=(x,y),把AB绕其起点沿逆时针方向旋转0角得到 向量AP=(xcos0-ysin6,xsin6+ycos8)叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转0角得到点P.己知平面点 A(2,3),点B(2+√2,3-2V2),把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P,则点P的坐标为 四、解答题 15.(25-26高一上北京·期末)已知向量=(1,3)，b=(3,4),c=(1,-2). (1)分别求出，b的值；(2)若气=ma+nb,求实数m,n的值：(3)若a-万/(-+⊙，求实数k的值. 16.(25-26高一上·北京顺义期末)如图，在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是BC上一点，且BF=2FC.设 AB=d,AD=b. (1)用基底{a,b分别表示向量DB,AE,EF;(2)若EG=3EF,用平面向量证明A,B,G三点共线. B 第6页共8页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 17.(25-26高一上辽宁.期末)在△ABC中，点P满足PC=2BP,直线1过点P与边AB,AC所在直线分别交 于点E,F ()若示=4C,求是的值：2若AC=F>0),丽=AUu>0),求右+的最小值. E 18.(25-26高一上辽宁.期末)如图所示，在平面直角坐标系中，从原点出发，按a=(2,1)或b=(1,3)这两个方 向进行，且每次只能走一步，若某点P(x,y)可以表示为ma+nb(m、n为自然数)，则称P为鸿蒙点 (1)通过鸿蒙点(x,y)中x、y满足的关系，判断A(7,10)是否为鸿蒙点，并说明理由： (2)证明：若(x,y)是鸿蒙点，则(x+5,y)也是鸿蒙点； (3)若某些鸿蒙点满足x+y=200,求在所有满足条件的鸿蒙点中，m+n最小的点及此时m+n的值. b 2 第7页共8页 而学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 19.(23-24高一下广东深圳期中)“向量"是近代数学中最重要的概念之一，由n个实数a,a2,,an所组成的有 序实数组称为n维向量，记作a=(a1,a2,,a),特别地，0=(0,0，，0)称为零向量，所有n维向量组成的集 合记为R={aa=(a1,a2,,an),a∈R,i=1,2,,n.设1∈R,a=(a1,a2,,an),b=(b1,b2,,bn),定义 加法和数乘分别为：a+b=(a1+b,a2+b2,,a.+bn),a=(aa1,a2,,1a).对一组向量 m,m2,,m(s∈N*,s≥2)，若存在一组不全为零的实数几1,2，…几，使得1元1+2m2+…+1m=0, 则称这组向量线性相关；否则，称为线性无关. (1)若n=3,判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由； ①a=(1,1,1),b=3,3,3): ②a=(1,1,2),b=3,3,6),c=(2,4,5): (2)已知a,b,c线性无关，判断a+b,b+c,c+a是线性相关还是线性无关，并说明理由： (3)已知t(t≥2)个向量m元，m2,,元，线性相关，但其中任意t-1个向量都线性无关，证明： ①如果存在等式1元1+2元2+…+元=0（几∈R,i=1,2,…,t),则这些系数，2，，或者全为零，或 者全不为零： ②如果两个等式1m+2m2+…+m=0,1m+2m2+…+4m=0(0∈R,h∈R,i=1,2,,t) 同时成立，其中山≠0，则==…= 412 以， 第8页共8页丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1-4向量的分解与坐标表示讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 1-4向量的分解与坐标表示 知识点01向量的分解与坐标表示 题型01向量的分解与坐标表示 题型02向量的坐标运算 知识点02向量的坐标运算 教学目标、教学重难点 教学目标 理解平面向量基本定理、向量的正交分解、掌握平面向量的坐标表示与坐标运算 教学重点 平面向量基本定理、平面向量的坐标运算， 教学难点 平面向量基本定理。 知识清单 知识点01向量的分解与坐标表示 1.平面向量基本定理： e,e2是平面内两个不共线向量，那么对这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数1，，使a=1巴+2e2 我们把不共线的向量e,e叫做表示这一平面的一组基底. 2.平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 3.向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标 ②设A(1,y),Bx2,y2),则AB=(x2一x1,2一y）, 【即学即练1-1】(25-26高一上北京房山期末)已知点A(1,-2),B(2,3),则向量AB=() A.很) B.(1,5) C.(3,1) D.(-1,-5) 【答案】B【难度】0.94【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】利用向量的坐标表示求解即可. 【详解】因为点A(1,-2),B(2,3), 所以AB=(1,5), 故选：B I即学即练1-2】(24-25高一下广东·月考)已知AB=(5,4),A(2,3),则点B的坐标为() A.(3,1) B.(-3,-1) C.(7,7) D.(-7,-7) 【答案】C【难度】0.85【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】利用向量的坐标表示列方程求点B的坐标 第1页共18页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】设点B(x,y),则向量AB=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3)=(5,4, 所叱员=年吃=子对疯的点秀标为C, 故选：C 知识点02向量的坐标运算 1.向量加法、减法、数乘运算：设坐标表示a=(x1y),石=(x2,y2),则 a+i=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2y1-y2), λa=(0x1,y1). 2.向量的模：设坐标表示a=(x1,y),b=(x2,y2),则d=1x十y 【即学即练2-1】(24-25高一下·贵州遵义·月考)已知A(3,-4),B(-1,2),AP=3BP,则点P的坐标为 【答案】(-3,5)【难度】0.85【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、线段的定比分点 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示即可求解 【详解】设点P(x,y),则AP=(x-3,y+4,BF=(x+1,y-2), 因为亚=丽，所以此+43》解约化写，所以点P的坐标为(3， 故答案为：(-3,5). 【即学即练2-2】（多选）24-25高一下·四川凉山·期末)己知△ABC中，点D(1,2),E(2,0),F(3,2)分别为AB, BC,CA的中点，则() A.EF=(1,2) B.CF=(1,-2) C.点A的坐标为(2,4) D.△ABF的面积为4 【答案】ACD【难度】0.65【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、用坐标表示平面向量 【分析】根据E,F两点的坐标求出向量EF的坐标，即可判断A,利用CF=ED,再由D,E的坐标求出ED的 坐标，即可判断B:设A(x,y),B(m,),C(p,q),根据中点坐标公式列出方程组，求出A,B,C三点坐标，即 可判断C,分别求出S△ABc,S△BcF,即可求出△ABF的面积，即可判断D. 【详解】因为E(2,0),F(3,2),所以EF=(3,2)-(2,0)=(1,2),故A正确： B 因为D,E分别为AB,BC的中点，所以CF=ED=(1,2)-(2,0)=(-1,2),故B错误： 1=m(2=m3= A(x,y),B(m,n),C(p,q) 2 2 2 2=些'0-'2=空 2 解得A(2,4),B(0,0),C(4,0),故C正确： 由C可知S△Ac=×4×4=8,SABCF=2X4X2=4 所以△ABF的面积为S△ABc-S△BcP=8-4=4,故D正确。 故选：ACD 第2页共18页 品学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 题型精讲 题型01向量的分解与坐标表示 【典例1-11(18-19高一全国·课后作业)如果用i,j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A(2,3),B(4,2), 则AB可以表示为() A.2i+3 B.4i+2 c.2i-方 D.-2i+ 【答案】C【难度】0.94【知识点】正交分解的理解、用坐标表示平面向量 【分析】先根据向量的坐标表示求出AB,再根据正交分解即可得解。 【详解】因为A(2,3),B(4,2),所以AB=(2,-1),所以AB=2i-: 故选：C 【典例1-2】(23-24高一下·天津武清·月考)已知向量0A=(-1,2),0B=(1,-1),则向量AB的坐标为) A.(-2,3) B.(0,1) C.（-1,2) D.(2,-3) 【答案】D【难度】0.85【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】利用向量线性运算的坐标表示求出AB即可 【详解】向量0A=(-1,2),0B=(1,-1), 所以向量AB=0B-0A=(1,-1)-(-1,2)=(2,-3), 故选：D 【典例1-3（多选）22-23高一下.浙江金华·月考)已知点A(4,6),B(-3,),则下列向量与A丽平行的向量是() A.a=(借3) 8.万=() c.=(兰-3) D.d=(-7,9) 【答案】ABC【难度】0.85【知识点】用坐标表示平面向量、平面向量共线定理证明线平行问题 【分析】根据向量平行的定理逐一判断即可 【详解】由已知A6=（-7.-) 存在实数入1=-使AB=（-7,-)=-(借，3)=-a, 存在实数2=-1，使A丽=（-7.-)-（亿，）=-万。 存在实数=子使丽=（-7，-)-（兰-3）=8 不存在实数几4，使AB=4d, 故选：ABC 【典例1-4】(24-25高一下·四川成都期末)在平面直角坐标系中，己知点B的坐标为(4，-3)，若向量AB= (2,3),则点A的坐标为 【答案】(2，-6)【难度】0.85【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】设点A的坐标为(x,y),根据向量坐标等于向量终点坐标减去向量起点坐标列出式子，再利用向量 相等列出方程，计算即可求出点A的坐标 第3页共18页 品学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 【详解】设点A的坐标为(x,y),因为点B的坐标为(4，-3)， 所以向量AB=(4,-3)-(x,y)=(4-x,-3-y), 向量丽=3).所以告子解。所以点A的坠标为红-0 故答案为：(2，-6) 【变式1-1】(24-25高一下江西上饶期中)已知点A(-3,7),B(5,-2),则AB=() A.（-8,9) B.(8-9) C.(8,9) D.（-8,-9) 【答案】B【难度】0.94【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】由向量的坐标运算，即可得到结果 【详解】AB=(5+3,-2-7)=(8,-9). 故选：B 【变式1-2】(24-25高一下，海南省直辖县级单位期中)如果用i,分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量， 且A(2,3),B(3,m),若AB=i-2j,则m=() A.-1 B.1 C.5 D.-5 【答案】B【难度】0.94【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】利用向量的坐标表示求解即得 【详解】由A(2,3),B(3,m),得AB=(1,m-3),由AB=i-2j,得AB=(1,-2), 因此m-3=-2,所以m=1. 故选：B 【变式1-3】(2023高一，全国课后作业)己知0为坐标原点，点A(1,0),B(3,4),M是线段AB的中点，那么向 量OM的坐标是() A.() B.(2,2) c.引 D.) 【答案】B【难度】0.94【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】由中点坐标公式以及向量的坐标运算即可求解. 【详解】由中点坐标公式可得M(2,2),所以0M=(2,2), 故选：B 【变式1-4】(2024高一下.全国.专题练习)如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，}作为基 底，若=√2,0=45°，则向量的坐标为) A.(1,1) B.(-1,-1) C.(W2,V② D.(-V2,-V2) 第4页共18页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】A【难度】0.85【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】利用基底法分解向量，再表示成坐标即可. 【详解】由题意得，a=(2cos45)i+(W2sin45)j=i+j=(1,1) 故选：A 【变式1-5】(24-25高一下.陕西期中)已知点A(-2,1),B(1,4),C(0,-3),则AB+AC=() A.(5,-1) B.（-3,3) C.(1,7) D.(-1,7) 【答案】A【难度】0.85【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】由向量的坐标运算即可求解. 【详解】为A(-2,1),B(1,4),C(0,-3),所以AB=(3,3),AC=(2,-4), 则AB+AC=(5,-1). 故选：A 【变式1-6】(24-25高一下·江苏南通·月考)己知知两点A(2,-1),B(7,3),且点P为线段AB的中点.则PB的 坐标为 【答案】(，2)【难度】0.65【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】由中点坐标以及向量坐标，可得答案 【详解】点P为线段AB的中点，所以P(,1),则PB=(（,2) 故答案为：（⑤，2） 题型02向量的坐标运算 【典例2-1】(25-26高一上浙江台州期末)已知=(1,2)，万=(-3,1)，则2a+的坐标为) A.(5,3) B.(-5,4) C.(-2,3) D.(-1,5) 【答案】D【难度】0.94【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据平面向量的坐标运算即可求解。 【详解】依题意2a=(2,4),则2a+万=(2,4+(-3,1)=(-1,5)： 故选：D. 【典例2-2】(25-26高一上湖南长沙期末)已知向量a=(x,x-6),五=(1，x-4),且d/万，则x=()》 A.2 B.3 C.2或3 D.-2或-3 【答案】C【难度】0.85【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】应用向量平行的坐标关系计算求解 【详解】因为向量a=(x,x-6),b=(1,x-4,又因为a/b, 所以x(x-4)-1·(x-6)=0,即x2-5x+6=0,解得x=2或x=3. 故选：C 【典例2-3】（多选）(25-26高一全国假期作业)以A(0,1),B(1,0),C(3,2)三个点为顶点作平行四边形，则第 四个项点D的坐标不可能是() A.(-2,3) B.(2,-1) C.(4,1) D.（-2,-1) 第5页共18页 品学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 【答案】AB【难度】0.94【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】设D(x,y)再根据向量相等分类讨论可得： 【详解】设D(x,y), 若孤=西，则-)=c-3y-2甲叱2-1解刊化 ,即D(4,1): 若丽=元，期0-)=g-x2-》.吧32=，解此-子即02 若0=历则(-2-2)=Gy-少.即(122解得化子即D(-2-: 故选：AB 【典例2-4】(25-26高三上福建福州月考)已知向量a=(3,1),b=(1,-3),则a-= 【答案】2√5【难度】0.85【知识点】向量模的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】先利用向量减法求出ā-b,再利用向量模的计算公式求解。 【详解】a=(3,1),b=(1,-3)÷a-b=(2,4),a-b=V22+平=2v5. 故答案为：2√5 【变式2-1】(2025高二上贵州学业考试)向量a=(2,3),b=(1,2),则a-b=() A.(1,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,3) 【答案】A【难度】0.94【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】利用平面向量减法的坐标运算可得结果 【详解】因为向量a=(2,3),=(1,2),则a-b=(2-1,3-2)=(1,1) 故选：A 《变式2-2】(25-26高三上贵州贵阳期中)已知a=2b,且a=(4,6),则b=() A.(0,0) B.(2,3) C.(3,2) D.(4,6) 【答案】B【难度】0.94【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】利用向量数乘的运算法则可得答案 【详解】万=ā=(2,3) 故选：B. 【变式2-3】(25-26高一上全国期末)已知向量a=(1,2),石=(2，-2)，c=(m2,),若c1/(2a+b),则实数 m=() A.± B.月 C.士1 D.1 【答案】C【难度】0.85【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】求出2a+b的坐标，再根据平行关系求出即可 【详解】由a=(1,2),b=(2,-2),得2a+b=(2,4)+(2,-2)=(4,2), 因为c/2a+),c=(m2,),所以2m2=4×3解得m=±1. 故选：C. 第6页共18页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 I变式2-4】(25-26高一上江苏盐城期中)已知a=(2,1),万=(1，-2)，若(a+入万/a-万，则1=() A.1 B.-1 C.6 D.-6 【答案】B【难度】0.65【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】由向量线性运算的坐标表示和向量共线的坐标运算求解， 【详解】a=(2,1),b=(1,-2),则a+λb=(2+,1-2),a-b=(1,3), 由G+/d-万，得3(2+)=1-2，解得1=-1. 故选：B 凰变式2-5】（多选）(23-24高二上·湖南株洲·月考)已知a=(-1,2),b=(2,5),下列选项中关于元，b的坐标运 算正确的是() A.a+b=(7,1) B.a-2b=(-5,-8) C.若AB=a且A(2,3),则B(3,1) D.2a+3b=(4,19) 【答案】BD【难度】0.94【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】利用平面向量的坐标运算，逐项计算判断即得. 【详解】向量a=(-1,2),b=(2,5),则a+b=(1,7),A错误： a-26=(-1,2)-(4,10)=(-5,-8),B正确： 令0为坐标原点，则0B=0A+AB=(2,3)+(-1,2)=(1,5),点B(1,5),C错误： 2G+3b=(-2,4+(6,15)=(4,19),D正确 故选：BD 【变式2-6】(25-26高一上全国课前预习)1)已知数轴上A,B两点的坐标依次为x1=-2,x2=5,则BA 对应的坐标为 ,ABI=_ (2)已知a=(1,1),b=(2,-2),则a-的坐标是 【答案】-7：7：(-1,3)【难度】0.85【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、用坐标表示平面向量 【分析】(1)根据数轴的坐标定义求BA对应的坐标，从而可求|AB: (2)根据平面向量线性运算的坐标表示求解即可。 【详解】(1)由题意BA=x1-x2=-2-5=-7,且IAB=|BA=7: 2)油a=(1,10,3=(2,-2),则a-万=(1,1)-(2，-2)=(-1,3). 故答案为：-7；7：(-1,3) 强化训练 一、单选题 1.(23-24高一下·浙江期中)已知A(3,7),B(5,2),把向量AB按向量a=(1,2)平移后，所得向量A'B的坐标是() A.(-1,7) B.(1,-7) C.(2,-5) D.(3,-3) 【答案】C【难度】0.94【知识点】平面向量的概念与表示、相等向量、用坐标表示平面向量 【分析】向量平移后与原向量为相等向量，所求坐标即为向量AB的坐标 第7页共18页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】根据题意可知，AB=(2,-5),把向量AB按向量ā=(1,2)平移后，与原向量相等， 所得向量A'B仍然为(2，-5) 故选：C 2.(22-23高一下·吉林四平·月考)已知AB=(-2,1),则下面说法正确的是(） A.A点的坐标是(-2,1) B.当A是原点时，B点的坐标是(-2,1) C.当B是原点时，A点的坐标是(-2,1) D.B点的坐标是(-2,1) 【答案】B【难度】0.94【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】根据向量坐标定义可判断AD;根据向量坐标等于终点坐标减始点坐标可判断BC 【详解】设AGcy),B(x2,y2),由A正=（←21）可得：-1-2 (y2-y1=1 由平面向量的坐标定义可知，由向量坐标无法确定点A和点B的坐标，故AD错误： 当x1=0,y1=0,则} 则2=1，即B点的坐标为(-2,1)，B正确： 当x2=0,y2=0, {子，明（行二子即A点的坐标是化-）.G结说 故选：B 3.(20-21高一下，全国·课后作业)若i,是与x轴，y轴方向相同的两个单位向量，取元，作为基底，设ā=(x2+ x+1)i-(x2-x+1)方（其中x∈），则向量a对应的坐标位于() A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D【难度】0.85【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】写出向量对应的坐标，通过判断坐标的正负得出答案 【详解】向量对应的坐标为(x2+x+1,-x2-x+1) x2+x+1=(x+22+>0,-(x2-x+1)=-[x-22+到<0， 所以向量对应的坐标位于第四象限 故选：D. 4.(25-26高一上全国期末)已知向量a=(1,2),万=(2，-2)，c=(m2,),若c1/(2a+D),则实数m=() A.±号 8月 C.±1 D.1 【答案】C【难度】0.85【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】求出2石+b的坐标，再根据平行关系求出即可 【详解】由a=(1,2),b=(2,-2),得2a+b=(2,4)+(2,-2)=(4,2), 因为c/2a+),c=(m,),所以2m2=4×2解得m=±1. 故选：C 5.(2025高一下江苏南京.专题练习)已知点M(-2,7),N(10,-2),且NP=2PM,则点P的坐标为) A.(6,1) B.(2,4) C.(-14,16) D.(22,-11) 第8页共18页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】B【难度】0.85【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】利用平面向量的坐标运算即可求解 【详解】设P(x,y),则WP=(x-10,y+2),PM=(-2-x,7-y). 国N=2风.所，9=26解呢子。 所以点P的坐标为(2,4) 故选：B 6.(23-24高一下·河南洛阳·月考)古希腊数学家特埃特图斯(Theaetetus))利用如图所示的直角三角形来构造无 理数.已知AB=BC=CD=2,AB1BC,AC1CD,若DB=λAB+AC,则2+H=() A号 B.9 C.②+ 2 【答案】B【难度】0.65【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果 【详解】以C为坐标原点，CD,CA所在直线分别为x,y轴建立如图所示的坐标系， 由题意得AC=2V2,则A(0,2V②，B(V2,√②，C(0,0),D(-2,0), AB=(W2,-√②，AC=(0,-2②，DB=(W2+2,V2 因为DB=AB+uAC,所以 √2+2=√2λ 2=-√21-2W24, λ=√2+1， 解得 =-1-E所以a+u= 2 2 故选：B. 7.(25-26高二上河南驻马店·开学考试)已知平面向量AB=(m-2,n-2),BC=(n-m-1,2m-n),m,n∈ R,若A,B,C三点共线，则m的取值范围为) A(-m,3-1 B.(-∞，2- 91u2+渠+∞) c(-是91u+9+四网 D.2+,tm) 【答案】C【难度】0.4【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由坐标解决三点共线问题 第9页共18页 品学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 【分析】解题的关键是根据向量共线的坐标表示列出关于m,n的等式，然后通过消元得到关于m的不等式， 最后求解不等式得到m的取值范围 【详解】因为A,B,C三点共线，所以AB与BC共线， 因为AB=(m-2,n-2),BC=(n-m-1,2m-n),m,n∈R, 故可得(m-2)(2m-n)-(n-2)(n-m-1)=0, 整理可得2m2-n2-6m+5n-2=0, 化为关于n的一元二次方程为n2-5n+6m-2m2+2=0,因为n存在实数解， 故△=25-4(6m-2m2+2)≥0，即8m2-24m+17≥0， 解得m≤6或m之4，即m≤是-或m≥是+号 4 故选：C 8.(24-25高一下…湖南·期中)定义域为[a,b]的函数f(x)的图象的两个端点为A(a,f(a),B(b,f(b)点P(x,y)是 f(x)的图象上一点，其中x=1a+(1-)b(0≤1≤1)，点Q满足0Q=0A+(1-)0B,其中0为原点， 我们把P@的最大值称为f()的“峰值"若函数f()=本，x∈[0，m的峰值为经则m=() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C【难度】0.4【知识点】基本不等式求和的最小值、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】先求解PQ的表达式，根据表达式求出最大值可得答案， 【详解】由题意400，B(m品)00=0A+1-)0=(-m） x=1a+(1-)b=(1-)m,y=-0m+7 。(1-)m 0=00-F-(o,-)P网=- 令t=(1-)m,则t∈[0，m, 网=+点1 令g0=+本-1-te0,, 由于0)=90m)=0,且g0≥2点-1- ,当且仅当t=√m+工-1时取到最小值. 因为fx)的峰值为好，即P可=lg()的最大值为 所以2品-1-=-解得m=3或m=一高舍) 故选：C 二、多选题 9.(23-24高一下河北张家口·期中)已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(2,2)，(-2,4)，(0,0)，则另一个顶 点的坐标可以是() A.(0,-6 B.(0,6) C.(4,-2) D.(-4,2) 【答案】BCD【难度】0.94【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 第10页共18页 1-4 向量的分解与坐标表示 讲义 教学目标 理解平面向量基本定理、向量的正交分解、掌握平面向量的坐标表示与坐标运算. 教学重点 平面向量基本定理、平面向量的坐标运算. 教学难点 平面向量基本定理. 知识点01 向量的分解与坐标表示 1.平面向量基本定理： 是平面内两个不共线向量，那么对这一平面内的任意向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使. 我们把不共线的向量叫做表示这一平面的一组基底. 2.平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 3.向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)， 【即学即练1-1】(25-26高一上·北京房山·期末)已知点，则向量(    ) A． B． C． D． 【即学即练1-2】(24-25高一下·广东·月考)已知，则点的坐标为(   ) A． B． C． D． 知识点02 向量的坐标运算 1.向量加法、减法、数乘运算：设坐标表示 ，则 ， ， . 2.向量的模：设坐标表示 ，则|a|＝. 【即学即练2-1】(24-25高一下·贵州遵义·月考)已知，，，则点的坐标为 【即学即练2-2】(多选)(24-25高一下·四川凉山·期末)已知中，点，，分别为，，的中点，则(    ) A． B． C．点A的坐标为 D．的面积为4 题型01 向量的分解与坐标表示 【典例1-1】(18-19高一·全国·课后作业)如果用分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为(    ) A． B． C． D． 【典例1-2】(23-24高一下·天津武清·月考)已知向量，则向量的坐标为(   ) A． B． C． D． 【典例1-3】(多选)(22-23高一下·浙江金华·月考)已知点，，则下列向量与平行的向量是(    ) A． B． C． D． 【典例1-4】(24-25高一下·四川成都·期末)在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，若向量，则点A的坐标为 ． 【变式1-1】(24-25高一下·江西上饶·期中)已知点，，则(   ) A． B． C． D． 【变式1-2】(24-25高一下·海南省直辖县级单位·期中)如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，，若，则(   ) A． B．1 C．5 D． 【变式1-3】(2023高一·全国·课后作业)已知为坐标原点，点，，是线段AB的中点，那么向量的坐标是(    ) A． B． C． D． 【变式1-4】(2024高一下·全国·专题练习)如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量作为基底，若，，则向量的坐标为(    ) A． B． C． D． 【变式1-5】(24-25高一下·陕西·期中)已知点，则(   ) A． B． C． D． 【变式1-6】(24-25高一下·江苏南通·月考)已知知两点，，且点P为线段AB的中点.则的坐标为 ． 题型02 向量的坐标运算 【典例2-1】(25-26高一上·浙江台州·期末)已知，，则的坐标为(    ) A． B． C． D． 【典例2-2】(25-26高一上·湖南长沙·期末)已知向量，且 ，则(    ) A．2 B．3 C．2或3 D．或 【典例2-3】(多选)(25-26高一·全国·假期作业)以，，三个点为顶点作平行四边形，则第四个顶点D的坐标不可能是(　　) A． B． C． D． 【典例2-4】(25-26高三上·福建福州·月考)已知向量，，则 ． 【变式2-1】(2025高二上·贵州·学业考试)向量，，则(    ) A． B． C． D． 【变式2-2】(25-26高三上·贵州贵阳·期中)已知 ，且 ，则 (   ) A． B． C． D． 【变式2-3】(25-26高一上·全国·期末)已知向量，若，则实数(   ) A． B． C． D．1 【变式2-4】(25-26高一上·江苏盐城·期中)已知，，若，则(    ) A． B． C． D． 【变式2-5】(多选)(23-24高二上·湖南株洲·月考)已知，，下列选项中关于，的坐标运算正确的是(    ) A． B． C．若且，则 D． 【变式2-6】(25-26高一上·全国·课前预习)(1)已知数轴上A，B两点的坐标依次为，，则对应的坐标为 ， . (2)已知，则的坐标是 . 一、单选题 1.(23-24高一下·浙江·期中)已知，把向量按向量平移后，所得向量的坐标是(    ) A． B． C． D． 2.(22-23高一下·吉林四平·月考)已知，则下面说法正确的是(    ) A．A点的坐标是 B．当A是原点时，B点的坐标是 C．当是原点时，A点的坐标是 D．点的坐标是 3.(20-21高一下·全国·课后作业)若是与轴，轴方向相同的两个单位向量，取作为基底，设 (其中)，则向量对应的坐标位于(　　) A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三象限 D．第四象限 4.(25-26高一上·全国·期末)已知向量，若，则实数(   ) A． B． C． D．1 5.(2025高一下·江苏南京·专题练习)已知点，，且，则点的坐标为(    ) A． B． C． D． 6.(23-24高一下·河南洛阳·月考)古希腊数学家特埃特图斯(Theaetetus)利用如图所示的直角三角形来构造无理数．已知，若，则(    )    A． B． C． D． 7.(25-26高二上·河南驻马店·开学考试)已知平面向量，，，若，，三点共线，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 8.(24-25高一下·湖南·期中)定义域为的函数的图象的两个端点为.点是的图象上一点，其中，点满足，其中为原点，我们把的最大值称为的“峰值”.若函数的峰值为，则(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9.(23-24高一下·河北张家口·期中)已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，则另一个顶点的坐标可以是(   ) A． B． C． D． 10.(21-22高一下·全国·单元测试)下列条件中可以证明三点共线的是(     ) A． B． C． D． 11.(22-23高一下·河北唐山·期末)如图，在菱形中，，延长边至点，使得.动点从点出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，则(    )      A．满足的点有且只有一个 B．满足的点有两个 C．存在最小值 D．不存在最大值    三、填空题 12.(23-24高一下·海南省直辖县级单位·期中)已知点，，，若向量，则点D的坐标为 ． 13.(24-25高一下·广西南宁·月考)平面上三点分别为，，，若，为的中点，则点的坐标为 . 14.(23-24高一下·广西河池·月考)已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量 叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为 . 四、解答题 15.(25-26高一上·北京·期末)已知向量． (1)分别求出的值；(2)若，求实数的值；(3)若，求实数的值． 16.(25-26高一上·北京顺义·期末)如图，在平行四边形中，是的中点，是上一点，且．设，． (1)用基底分别表示向量；(2)若，用平面向量证明三点共线． 17.(25-26高一上·辽宁·期末)在中，点P满足，直线l过点P与边AB，AC所在直线分别交于点E，F. (1)若，求的值；(2)若，，求的最小值. 18.(25-26高一上·辽宁·期末)如图所示，在平面直角坐标系中，从原点出发，按或这两个方向进行，且每次只能走一步，若某点可以表示为(、为自然数)，则称为鸿蒙点 (1)通过鸿蒙点中、满足的关系，判断是否为鸿蒙点，并说明理由； (2)证明：若是鸿蒙点，则也是鸿蒙点； (3)若某些鸿蒙点满足，求在所有满足条件的鸿蒙点中，最小的点及此时的值. 19.(23-24高一下·广东深圳·期中)“向量”是近代数学中最重要的概念之一，由n个实数所组成的有序实数组称为维向量，记作，特别地，称为零向量，所有维向量组成的集合记为．设，定义加法和数乘分别为：对一组向量，若存在一组不全为零的实数，使得，则称这组向量线性相关；否则，称为线性无关． (1)若，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由； ①； ②； (2)已知线性无关，判断是线性相关还是线性无关，并说明理由； (3)已知个向量线性相关，但其中任意个向量都线性无关，证明： ①如果存在等式，则这些系数或者全为零，或者全不为零； ②如果两个等式 同时成立，其中，则． 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1-4 向量的分解与坐标表示 讲义 教学目标 理解平面向量基本定理、向量的正交分解、掌握平面向量的坐标表示与坐标运算. 教学重点 平面向量基本定理、平面向量的坐标运算. 教学难点 平面向量基本定理. 知识点01 向量的分解与坐标表示 1.平面向量基本定理： 是平面内两个不共线向量，那么对这一平面内的任意向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使. 我们把不共线的向量叫做表示这一平面的一组基底. 2.平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 3.向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)， 【即学即练1-1】(25-26高一上·北京房山·期末)已知点，则向量(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.94【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】利用向量的坐标表示求解即可. 【详解】因为点，， 所以， 故选：B 【即学即练1-2】(24-25高一下·广东·月考)已知，则点的坐标为(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】利用向量的坐标表示列方程求点的坐标. 【详解】设点，则向量， 所以，即，对应的点B坐标为． 故选：C 知识点02 向量的坐标运算 1.向量加法、减法、数乘运算：设坐标表示 ，则 ， ， . 2.向量的模：设坐标表示 ，则|a|＝. 【即学即练2-1】(24-25高一下·贵州遵义·月考)已知，，，则点的坐标为 【答案】【难度】0.85【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、线段的定比分点 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示即可求解. 【详解】设点，则，， 因为，所以，解得，所以点的坐标为. 故答案为：. 【即学即练2-2】(多选)(24-25高一下·四川凉山·期末)已知中，点，，分别为，，的中点，则(    ) A． B． C．点A的坐标为 D．的面积为4 【答案】ACD【难度】0.65【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、用坐标表示平面向量 【分析】根据，两点的坐标求出向量的坐标，即可判断A，利用，再由的坐标求出的坐标，即可判断B；设，，，根据中点坐标公式列出方程组，求出三点坐标，即可判断C，分别求出，即可求出的面积，即可判断D. 【详解】因为，，所以，故A正确； 因为分别为，的中点，所以，故B错误； 设，，，则有，，， 解得，故C正确； 由C可知， 所以的面积为，故D正确. 故选：ACD 题型01 向量的分解与坐标表示 【典例1-1】(18-19高一·全国·课后作业)如果用分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.94【知识点】正交分解的理解、用坐标表示平面向量 【分析】先根据向量的坐标表示求出，再根据正交分解即可得解. 【详解】因为，所以，所以. 故选：C. 【典例1-2】(23-24高一下·天津武清·月考)已知向量，则向量的坐标为(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】利用向量线性运算的坐标表示求出即可 【详解】向量， 所以向量, 故选：D 【典例1-3】(多选)(22-23高一下·浙江金华·月考)已知点，，则下列向量与平行的向量是(    ) A． B． C． D． 【答案】ABC【难度】0.85【知识点】用坐标表示平面向量、平面向量共线定理证明线平行问题 【分析】根据向量平行的定理逐一判断即可. 【详解】由已知， 存在实数，使， 存在实数，使， 存在实数，使， 不存在实数，使， 故选：ABC. 【典例1-4】(24-25高一下·四川成都·期末)在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，若向量，则点A的坐标为 ． 【答案】【难度】0.85【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】设点A的坐标为，根据向量坐标等于向量终点坐标减去向量起点坐标列出式子，再利用向量相等列出方程，计算即可求出点A的坐标. 【详解】设点A的坐标为，因为点B的坐标为， 所以向量， 向量，所以，解得，所以点A的坐标为. 故答案为： 【变式1-1】(24-25高一下·江西上饶·期中)已知点，，则(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.94【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】由向量的坐标运算，即可得到结果. 【详解】． 故选：B 【变式1-2】(24-25高一下·海南省直辖县级单位·期中)如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，，若，则(   ) A． B．1 C．5 D． 【答案】B【难度】0.94【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】利用向量的坐标表示求解即得. 【详解】由，，得，由，得， 因此，所以. 故选：B 【变式1-3】(2023高一·全国·课后作业)已知为坐标原点，点，，是线段AB的中点，那么向量的坐标是(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.94【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】由中点坐标公式以及向量的坐标运算即可求解. 【详解】由中点坐标公式可得,所以, 故选：B 【变式1-4】(2024高一下·全国·专题练习)如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量作为基底，若，，则向量的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】利用基底法分解向量，再表示成坐标即可. 【详解】由题意得，. 故选：A 【变式1-5】(24-25高一下·陕西·期中)已知点，则(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】由向量的坐标运算即可求解. 【详解】为，所以， 则． 故选：A 【变式1-6】(24-25高一下·江苏南通·月考)已知知两点，，且点P为线段AB的中点.则的坐标为 ． 【答案】【难度】0.65【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】由中点坐标以及向量坐标，可得答案. 【详解】点P为线段AB的中点，所以，则， 故答案为：. 题型02 向量的坐标运算 【典例2-1】(25-26高一上·浙江台州·期末)已知，，则的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据平面向量的坐标运算即可求解． 【详解】依题意，则． 故选：D． 【典例2-2】(25-26高一上·湖南长沙·期末)已知向量，且 ，则(    ) A．2 B．3 C．2或3 D．或 【答案】C【难度】0.85【知识点】由向量共线(平行)求参数 【分析】应用向量平行的坐标关系计算求解. 【详解】因为向量，又因为 ， 所以，即，解得或. 故选：C. 【典例2-3】(多选)(25-26高一·全国·假期作业)以，，三个点为顶点作平行四边形，则第四个顶点D的坐标不可能是(　　) A． B． C． D． 【答案】AB【难度】0.94【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】设再根据向量相等分类讨论可得； 【详解】设， 若，则，即，解得，即； 若，则，即，解得，即； 若，则，即，解得，即； 故选：AB 【典例2-4】(25-26高三上·福建福州·月考)已知向量，，则 ． 【答案】【难度】0.85【知识点】向量模的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】先利用向量减法求出，再利用向量模的计算公式求解． 【详解】，，． 故答案为：． 【变式2-1】(2025高二上·贵州·学业考试)向量，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】利用平面向量减法的坐标运算可得结果. 【详解】因为向量，，则. 故选：A. 【变式2-2】(25-26高三上·贵州贵阳·期中)已知 ，且 ，则 (   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.94【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】利用向量数乘的运算法则可得答案. 【详解】. 故选：B． 【变式2-3】(25-26高一上·全国·期末)已知向量，若，则实数(   ) A． B． C． D．1 【答案】C【难度】0.85【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线(平行)求参数 【分析】求出的坐标，再根据平行关系求出即可. 【详解】由，，得， 因为，，所以，解得． 故选：C． 【变式2-4】(25-26高一上·江苏盐城·期中)已知，，若，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线(平行)求参数 【分析】由向量线性运算的坐标表示和向量共线的坐标运算求解. 【详解】，，则，， 由，得，解得. 故选：B 【变式2-5】(多选)(23-24高二上·湖南株洲·月考)已知，，下列选项中关于，的坐标运算正确的是(    ) A． B． C．若且，则 D． 【答案】BD【难度】0.94【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】利用平面向量的坐标运算，逐项计算判断即得. 【详解】向量，，则，A错误； ，B正确； 令为坐标原点，则，点，C错误； ，D正确. 故选：BD 【变式2-6】(25-26高一上·全国·课前预习)(1)已知数轴上A，B两点的坐标依次为，，则对应的坐标为 ， . (2)已知，则的坐标是 . 【答案】；7；【难度】0.85【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、用坐标表示平面向量 【分析】(1)根据数轴的坐标定义求对应的坐标，从而可求； (2)根据平面向量线性运算的坐标表示求解即可. 【详解】(1)由题意，且； (2)由，则. 故答案为：；7；. 一、单选题 1.(23-24高一下·浙江·期中)已知，把向量按向量平移后，所得向量的坐标是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.94【知识点】平面向量的概念与表示、相等向量、用坐标表示平面向量 【分析】向量平移后与原向量为相等向量，所求坐标即为向量的坐标. 【详解】根据题意可知，，把向量按向量平移后，与原向量相等， 所得向量仍然为. 故选：C. 2.(22-23高一下·吉林四平·月考)已知，则下面说法正确的是(    ) A．A点的坐标是 B．当A是原点时，B点的坐标是 C．当是原点时，A点的坐标是 D．点的坐标是 【答案】B【难度】0.94【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】根据向量坐标定义可判断AD；根据向量坐标等于终点坐标减始点坐标可判断BC. 【详解】设，由可得， 由平面向量的坐标定义可知，由向量坐标无法确定点A和点B的坐标，故AD错误； 当，则，即B点的坐标为，B正确； 当，，即，即A点的坐标是，C错误. 故选：B． 3.(20-21高一下·全国·课后作业)若是与轴，轴方向相同的两个单位向量，取作为基底，设 (其中)，则向量对应的坐标位于(　　) A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D【难度】0.85【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】写出向量对应的坐标，通过判断坐标的正负得出答案. 【详解】向量对应的坐标为， ，， 所以向量对应的坐标位于第四象限. 故选：D. 4.(25-26高一上·全国·期末)已知向量，若，则实数(   ) A． B． C． D．1 【答案】C【难度】0.85【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线(平行)求参数 【分析】求出的坐标，再根据平行关系求出即可. 【详解】由，，得， 因为，，所以，解得． 故选：C． 5.(2025高一下·江苏南京·专题练习)已知点，，且，则点的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】利用平面向量的坐标运算即可求解. 【详解】设，则，. 因为，所以，解得， 所以点的坐标为. 故选：B. 6.(23-24高一下·河南洛阳·月考)古希腊数学家特埃特图斯(Theaetetus)利用如图所示的直角三角形来构造无理数．已知，若，则(    )    A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的坐标系， 由题意得，则，，，， ，，． 因为，所以 解得所以． 故选：B． 7.(25-26高二上·河南驻马店·开学考试)已知平面向量，，，若，，三点共线，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.4【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由坐标解决三点共线问题 【分析】解题的关键是根据向量共线的坐标表示列出关于的等式，然后通过消元得到关于的不等式，最后求解不等式得到的取值范围. 【详解】因为A，B, C三点共线，所以与共线， 因为，，， 故可得， 整理可得， 化为关于的一元二次方程为，因为存在实数解， 故，即， 解得或，即或， 故选：. 8.(24-25高一下·湖南·期中)定义域为的函数的图象的两个端点为.点是的图象上一点，其中，点满足，其中为原点，我们把的最大值称为的“峰值”.若函数的峰值为，则(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C【难度】0.4【知识点】基本不等式求和的最小值、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】先求解的表达式，根据表达式求出最大值可得答案. 【详解】由题意，， ，； ，， 令，则， 令，， 由于，且，当且仅当时取到最小值. 因为的峰值为，即的最大值为， 所以，解得或(舍). 故选：C 二、多选题 9.(23-24高一下·河北张家口·期中)已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，则另一个顶点的坐标可以是(   ) A． B． C． D． 【答案】BCD【难度】0.94【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据给定条件，按平行四边形的对角线情况分类，结合向量的坐标运算得解. 【详解】记点分别为，第4个顶点为， 当线段为平行四边形对角线时，，则点，B是； 当线段为平行四边形对角线时，，则点，D是； 当线段为平行四边形对角线时，，则点，C是. 故选：BCD 10.(21-22高一下·全国·单元测试)下列条件中可以证明三点共线的是(     ) A． B． C． D． 【答案】ABC【难度】0.65 【知识点】用坐标表示平面向量、平面向量共线定理证明点共线问题、向量加法的法则 【分析】根据向量的加法运算法则结合平面向量共线定理即可判断ABD；根据向量的坐标表示判断是否共线即可判断C. 【详解】对于A，， 因为，所以，所以， 又因为公共端点，所以三点共线； 对于B，因为， 所以，所以三点共线； 对于C，由，得， 所以，又因为公共端点，所以三点共线； 对于D，由，得， 所以，且为相反向量，但不能证明三点共线，如图所示. 故选：ABC. 11.(22-23高一下·河北唐山·期末)如图，在菱形中，，延长边至点，使得.动点从点出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，则(    )      A．满足的点有且只有一个 B．满足的点有两个 C．存在最小值 D．不存在最大值 【答案】BC【难度】0.4 【知识点】用基底表示向量、平面向量线性运算的坐标表示、向量坐标的线性运算解决几何问题 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，然后利用点的四种位置进行分类讨论即可. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，设菱形的边长为1，，则 ，所以，， 由，得， 所以，所以， ①当点在上时，，且，所以； ②当点在(不含点B)上时，则，所以，化简， 所以， 因为，所以，即； ③当点在(不含点C)上时，，且， 所以，即，所以； ④当点在(不含点A、D)上时，则，所以，化简， 所以， 因为，所以，所以； 对于A，由①知，当时，，此时点与点重合； 由④可知当时，，，此时点在的中点处； 其它均不可能，所以这样的点有两个，所以A错误， 对于B，由②知，当时，，，此时点在的中点； 由③知，当时，，，此时点在点处； 其它均不可能，所以这样的点有两个，所以B正确， 对于CD，由①②③④可得： 当，即点为点时，取到最小值0； 当，即点为点时，取到最大值3，所以C正确，D错误， 故选：BC.    三、填空题 12.(23-24高一下·海南省直辖县级单位·期中)已知点，，，若向量，则点D的坐标为 ． 【答案】【难度】0.85【知识点】用坐标表示平面向量、平面向量有关概念的坐标表示 【分析】根据向量的坐标运算及向量相等求解. 【详解】因为，，，所以， 设，则，所以，即，所以, 故答案为： 13.(24-25高一下·广西南宁·月考)平面上三点分别为，，，若，为的中点，则点的坐标为 . 【答案】【难度】0.65【知识点】相等向量、用坐标表示平面向量 【分析】根据向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为，，，所以， 解得，即， 所以，即， 故答案为：. 14.(23-24高一下·广西河池·月考)已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量 叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为 . 【答案】【难度】0.4【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、向量新定义 【分析】根据题中定义，结合特殊角的正余弦值、向量的坐标表示公式和向量加法的坐标运算法则进行求解即可. 【详解】因为点绕点沿顺时针方向旋转后得到点， 所以点绕点沿逆时针方向旋转后得到点， 由题设，设，则有 ， 因为点，点， 所以，因此有 ，且， 解得，即，而， 于是有，所以点的坐标为， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是由点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，转化为点绕点沿逆时针方向旋转后得到点，这样应用题中定义进行求解. 四、解答题 15.(25-26高一上·北京·期末)已知向量． (1)分别求出的值；(2)若，求实数的值；(3)若，求实数的值． 【答案】(1)；(2)；(3)【难度】0.85 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线(平行)求参数、坐标计算向量的模 【分析】(1)利用平面向量模的运算公式进行求解即可； (2)根据平面向量线性运算的坐标表示公式进行求解即可； (3)根据平面向量线性运算和共线的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】(1)因为，所以，. (2)因为， 所以由 ， 所以. (3)因为， 所以，， 因为， 所以. 16.(25-26高一上·北京顺义·期末)如图，在平行四边形中，是的中点，是上一点，且．设，． (1)用基底分别表示向量； (2)若，用平面向量证明三点共线． 【答案】(1)；(2)证明见解析【难度】0.85 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、用基底表示向量 【分析】(1)利用向量的线性运算即可求解； (2)利用两向量的数乘关系来证明向量共线，即可证明三点共线. 【详解】(1)由向量的减法可得：， 由向量的加法可得：， 因为在平行四边形中，是的中点，所以， 同理：； (2)由， 则，所以，即三点共线. 17.(25-26高一上·辽宁·期末)在中，点P满足，直线l过点P与边AB，AC所在直线分别交于点E，F. (1)若，求的值； (2)若，，求的最小值. 【答案】(1)；(2)1【难度】0.65 【知识点】平面向量基本定理的应用、利用平面向量基本定理求参数、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】(1)设，然后用表示，根据三点共线求出的值； (2)根据，用表示，再将条件与代入，根据三点共线求出的关系，结合基本不等式求解. 【详解】(1)因为，所以① 因为E，P，F三点共线，所以设，则， 即② (1)因为，即；设，代入①则有， 因为E，P，F三点共线， 所以，解得，所以. (2)由题，，代入①可知，， 由②得：所以，即，所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为1. 18.(25-26高一上·辽宁·期末)如图所示，在平面直角坐标系中，从原点出发，按或这两个方向进行，且每次只能走一步，若某点可以表示为(、为自然数)，则称为鸿蒙点    (1)通过鸿蒙点中、满足的关系，判断是否为鸿蒙点，并说明理由； (2)证明：若是鸿蒙点，则也是鸿蒙点； (3)若某些鸿蒙点满足，求在所有满足条件的鸿蒙点中，最小的点及此时的值. 【答案】(1)不是，理由见解析；(2)证明见解析；(3)，的最小值为50.【难度】0.4 【知识点】平面向量基本定理、平面向量线性运算的坐标表示、由向量线性运算解决最值和范围问题 【分析】(1)用向量的加法和向量的数乘运算可求得鸿蒙点满足可以被5整除，代入点计算即可判断； (2)构造，计算可得，即可证明结论； (3)利用向量的坐标运算可得，设，可得，计算即可求解. 【详解】(1)不是鸿蒙点，理由如下：     由， 得，即，. 即，所有鸿蒙点满足可以被5整除， 代入点，有不能被5整除，故不是鸿蒙点； (2)由为鸿蒙点可知，， 构造：， 将表达为的形式，有，解得， 故，即仍为鸿蒙点； (3)由(1)可知， 故，令，即， 由是整数可知，可以被3整除，即被3整除余2， 不妨设，，则有， 即， 为使尽可能小，即要求尽可能大，且，        解不等式有，时， ，.此时点坐标为，的最小值为. 19.(23-24高一下·广东深圳·期中)“向量”是近代数学中最重要的概念之一，由n个实数所组成的有序实数组称为维向量，记作，特别地，称为零向量，所有维向量组成的集合记为．设，定义加法和数乘分别为：对一组向量，若存在一组不全为零的实数，使得，则称这组向量线性相关；否则，称为线性无关． (1)若，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由； ①； ②； (2)已知线性无关，判断是线性相关还是线性无关，并说明理由； (3)已知个向量线性相关，但其中任意个向量都线性无关，证明： ①如果存在等式，则这些系数或者全为零，或者全不为零； ②如果两个等式 同时成立，其中，则． 【答案】(1)①线性相关，理由见解析；②线性相关，理由见解析；(2)线性无关，理由见解析；(3)①证明见解析；②证明见解析【难度】0.15 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、平面向量的混合运算、向量数乘的有关计算、向量加法的运算律 【分析】(1)根据向量线性相关的定义逐一判断即可； (2)设，则，然后由条件得到即可判断； (3)①如果某个，，然后证明都等于0即可；②由可得， 然后代入根据题意证明即可. 【详解】(1)对于①，设，则可得，则， 所以，线性相关； 对于②，设，则可得， 即，所以，，线性相关. (2)假设，则， 因为向量，，线性无关，所以，解得， 所以向量，，线性无关. (3)①因为，如果某个，，则 ， 因为其中任意个向量都线性无关，所以，，…，，…都等于0， 所以这些系数，，…或者全为零，或者全不为零. ②因为，所以，，…，全不为零， 由可得， 代入，可得， ， 所以，，…，， 所以. 【点睛】关键点点睛：(1)根据题干给出的定义，①写成的形式，②写成的形式，再找系数关系判断即可； (2)根据题干给出的定义，写成的形式，根据向量，，线性无关，找系数关系判断即可； (3)①根据题干给出的定义结合，在某个，，由于其中任意个向量都线性无关，可得出系数关系；②，所以，，…，全不为零，可得，代入第一个条件式，再结合题干定义和①的结论即可判断. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $