1.4.2 向量线性运算的坐标表示-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（湘教版）

1.4.2　向量线性运算的坐标表示(教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学) [课时目标] 1.掌握数乘向量的坐标运算法则，并会用坐标表示平面向量的运算. 2.能用坐标表示平面向量共线的条件，并会应用向量的共线条件解决问题. 1.平面向量线性运算的坐标表示 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2). 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 a+b=(x1+x2，y1+y2) 减法 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 a-b=(x1-x2，y1-y2) 数乘向量 一个实数λ与向量a的积的坐标等于这个数乘以向量相应的坐标 λa=(λx1，λy1) 重要结论 在平面直角坐标系中，向量的坐标等于终点Q的坐标(x2，y2)减去起点P的坐标(x1，y1) =(x2-x1，y2-y1) 2.平面向量共线的坐标表示 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是x1y2-x2y1=0. |微|点|助|解|　 正确理解向量平行的条件 (1)a∥b(b≠0)⇔a=λb.这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系. (2)a∥b⇔x1y2-x2y1=0，其中a=(x1，y1)，b=(x2，y2).这是代数运算，由于不需引进参数λ，从而简化了代数运算. (3)a∥b⇔=，其中a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，且y1≠0，y2≠0.即两向量的对应坐标成比例.通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误. 基础落实训练 1.已知向量a=(1，2)，b=(3，1)，则2b-a等于 (　　) A.(-2，1)　　　　　　 B.(5，-1) C.(5，0) D.(4，3) 答案：C 2.下列各对向量中，共线的是 (　　) A.a=(2，3)，b=(3，-2) B.a=(2，3)，b=(4，-6) C.a=(，-1)，b=(1，) D.a=(1，)，b=(，2) 答案：D 3.已知点A(2，-2)，点B(4，1)，则向量=　　　　.  答案：(2，3) 4.已知a=(-1，2)，b=(3，y)，且a∥b，则y=　　　　.  答案：-6 题型(一)　向量的坐标运算 [例1]　(1)(多选)已知a=(1，3)，b=(-2，1)，下列计算正确的是 (　　) A.a+b=(-1，4) B.a-2b=(5，1) C.b-a=(1，2) D.-a-b=(1，2) (2)已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4)，且=3=2，则的坐标为　　　　.  解析：(1)因为a=(1，3)，b=(-2，1)，所以a+b=(-1，4)，故A正确；a-2b=(5，1)，故B正确；b-a=(-3，-2)，故C错误；-a-b=(1，-4)，故D错误. (2)由A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4)，可得=(-2，4)-(-3，-4)=(1，8)，=(3，-1)-(-3，-4)=(6，3).所以=3=3(1，8)=(3，24)，=2=2(6，3)=(12，6).设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则=(x1+3，y1+4)=(3，24)，x1=0，y1=20；=(x2+3，y2+4)=(12，6)，x2=9，y2=2.所以M(0，20)，N(9，2)，=(9，2)-(0，20)=(9，-18). 答案：(1)AB　(2)(9，-18) 　　|思|维|建|模| 利用向量线性运算的坐标表示解题的基本思路 (1)向量的线性运算的坐标表示主要是利用加、减、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算，另外解题过程中要注意方程思想的运用. (2)利用向量线性运算的坐标表示解题，主要根据相等向量的坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解. (3)利用坐标运算求向量的基表示，一般先求出基向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出相应系数. 　　[针对训练] 1.已知向量a=(5，2)，b=(-4，-3)，若c满足3a-2b+c=0，则c= (　　) A.(-23，-12)　　　　　　 B.(23，12) C.(7，0) D.(-7，0) 解析：选A　∵a=(5，2)，b=(-4，-3)，且c满足3a-2b+c=0，∴c=2b-3a=2(-4，-3)-3(5，2)=(-8-15，-6-6)=(-23，-12). 2.已知a=(-1，2)，b=(1，-1)，c=(3，-2)，则c用向量a，b可表示为　　　　.  解析：设c=pa+qb(p，q∈R)，∵a=(-1，2)，b=(1，-1)，∴c=pa+qb=p(-1，2)+q(1，-1)=(-p+q，2p-q).又∵c=(3，-2)，∴ 解得故c=a+4b. 答案：c=a+4b 题型(二)　向量共线的判定与证明 [例2]　设点A(x，1)，B(2x，2)，C(1，2x)，D(5，3x)，当x为何值时，与共线且方向相同，此时，A，B，C，D能否在同一条直线上? 解：=(2x，2)-(x，1)=(x，1)， =(1，2x)-(2x，2)=(1-2x，2x-2)， =(5，3x)-(1，2x)=(4，x).由与共线，所以x2=1×4，所以x=±2. 又与方向相同，所以x=2. 此时，=(2，1)，=(-3，2)， 而2×2≠-3×1，所以与不共线， 所以A，B，C三点不在同一条直线上. 所以A，B，C，D不在同一条直线上. |思|维|建|模| 　　判断向量共线时，应充分利用向量共线的充要条件或共线向量坐标的条件进行判断，特别是利用共线向量坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配. 　　[针对训练] 3.已知A(-3，0)，B(9，-3)，C(3，6)三点，==.求证：∥. 证明：∵=(3，6)-(-3，0)=(6，6)， ==(2，2)， ∴点E坐标为(-3，0)+(2，2)=(-1，2). ∵=(3，6)-(9，-3)=(-6，9)， ==(-2，3)， ∴点F坐标为(9，-3)+(-2，3)=(7，0). ∴=(7，0)-(-1，2)=(8，-2). 又=(9，-3)-(-3，0)=(12，-3)， ∴由8×(-3)-12×(-2)=0， 得∥. 题型(三)　已知平面向量共线求参数 [例3]　已知a=(1，2)，b=(2，k)，c=(8，7). (1)当k为何值时，a∥(b+c)； (2)当k=1时，求满足c=ma+nb的实数m，n. 解：(1)∵a=(1，2)，b=(2，k)，c=(8，7)， ∴b+c=(10，k+7).令1×(k+7)-2×10=0，解得k=13，∴当k=13时，a∥(b+c). (2)当k=1时，b=(2，1).由c=ma+nb，得(8，7)=(m+2n，2m+n)，∴解得 |思|维|建|模| 根据向量共线条件求参数的思路 　　根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路，一是利用向量共线的充要条件a=λb(b≠0)，列方程组求解；二是利用向量共线的坐标表达式x1y2-x2y1=0求解. 　　[针对训练] 4.已知向量=(3，-4)，=(0，-3)，=(5-m，-3-m)，若点A，B，C不能构成三角形，则实数m的值为　　　　.  解析：由向量=(3，-4)，=(0，-3)，=(5-m，-3-m)，可得==(-3，1)，==(m-5，m). 若点A，B，C不能构成三角形， 则A，B，C三点共线，可得∥， 所以-3m=m-5，解得m=. 答案： 5.已知a=(1，2)，b=(-3，2)，当实数k为何值时，(ka+b)∥(a-3b)?这两个向量的方向是相同还是相反? 解：∵a=(1，2)，b=(-3，2)， ∴ka+b=(k-3，2k+2)，a-3b=(10，-4). 由题意得(k-3)(-4)-10(2k+2)=0， 解得k=-.此时ka+b=-a+b=-(a-3b)， ∴当k=-时，(ka+b)∥(a-3b)， 并且它们的方向相反. 学科网（北京）股份有限公司 $