第六章 平面向量及其应用（单元自测·提升卷）高一数学人教A版必修第二册

2025-2026学年高一数学下学期单元自测 第六章 平面向量及其应用·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．关于平面向量，下列正确的是（    ） A．若是单位向量，零向量，则 B．若向量与不共线，则存在一对实数，使 C．海拔、温度、角度都是向量 D．若，则四边形ABCD是菱形 【答案】B 【分析】对于A，由单位向量，零向量定义可判断选项正误；对于B，由平面向量基本定理可判断选项正误；对于C，由向量定义可判断选项正误；对于D，由向量相等定义结合题意可判断选项正误. 【详解】对于A，因是单位向量，零向量，则，故A错误； 对于B，因向量与不共线，则与可作为一组基底，则由平面向量基本定理可得： 存在一对实数x，y，使，故B正确； 对于C，向量为既有大小，又有方向的量，则海拔、温度、角度都不是向量，故C错误； 对于D，因，则，则四边形ABCD是平行四边形，条件不足，无法判断是否是菱形，故D错误. 故选：B. 2．是平面内不共线的两个向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（　　） A．3 B．－3 C．－2 D．2 【答案】D 【分析】先由向量的加法求出，再利用向量共线的充要条件列方程组求解即可. 【详解】由已知， 由A，B，D三点共线，故存在实数λ，使， 即，即解得. 故选：D 3．位于P处的雷达接收到在其正东方向相距海里的B处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于P处雷达北偏东且与P处雷达相距30海里的M处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意利用余弦定理可解. 【详解】题意如图，    当甲船沿航行时，航行的里数最少. 由题意，，在中，根据余弦定理可得： ， 所以. 即甲船至少需要航行的海里数为. 故选：B. 4．已知，，且，的夹角为，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据投影向量定义以及向量数量积定义计算可得结果. 【详解】易知 所以在上的投影向量为. 故选：D 5．在平行四边形中，，是线段DE的中点，连接交于O，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，以为基底，分别用表示，建立方程组求解. 【详解】 ， 又因为，所以， 设，则， 所以，解得， 故选：B. 6．由下列条件解三角形问题中，对解的情况描述正确的是（   ） A．，，，有两解 B．，，，有两解 C．，，，有两解 D．，，，无解 【答案】A 【分析】根据三角形的几何性质，及正弦定理、余弦定理，逐项判断即可. 【详解】对于A，由于，即，所以三角形有两解，故A正确； 对于B，因为，可得，，， 则，故只能有一个值，所以三角形有一解，故B错误； 对于C，由于，故三角形为直角三角形，有一解，故C错误； 对于D，因为，，，有余弦定理，可求得唯一，所以三角形有一解，故D错误. 故选：BA. 7．青花瓷（blue  and  white  porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的最小值是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法，化简得到，即可求得的最小值. 【详解】连接，如图， ， 根据图形知，当点位于正六边形各边的中点时，此时最小值为，的最小值为， 所以的最小值是. 故选：C 8．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形内角和与诱导公式将已知条件转化为边角的三角函数关系，利用正弦定理由边化角，使用二倍角公式进行恒等变换以及利用同角的三角函数关系求出的三角函数值，再利用正弦定理和同角的三角函数关系根据的范围求出结果. 【详解】由得，即，即，又，故， 故， 因为，所以，故，得，， 因为， 因为，，所以， 故，所以，所以， 故选D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设向量，则下列说法错误的是（    ） A．若与的夹角为钝角，则 B．的最小值为9 C．与共线的单位向量只有一个，为 D．若则 【答案】BC 【分析】根据数量积的坐标运算，结合共线即可求解A，根据模长公式即可求解BD，根据单位向量的定义即可求解C. 【详解】对于A，若与的夹角为钝角，则需满足，解得，故A正确， 对于B，，当且仅当取到等号，故B错误， 对于C, 与共线的单位向量有两个，为，故C错误， 对于D,由得，解得，D正确， 故选：BC 10．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，则的面积为 C．若，则是等腰三角形 D．若，则 【答案】ABD 【分析】对于A，利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可判断；对于B，由余弦定理求出,利用三角形面积公式即可求解；对于C，利用余弦定理即可求解；对于D，由，结合正弦定理求,可得是直角三角形，利用勾股定理即可求解. 【详解】对于A，由,可得,故A正确， 对于B，若，则，所以，则的面积为，故B正确； 对于C，若，则，即,解得：或，满足条件， 当时，则是等腰三角形， 当时，则是直角三角形，故C不正确； 对于D，若，则，由正弦定理可得：, 所以，因为，所以，，， 则是直角三角形，，故D正确； 故选：ABD 11．（多选）中，，点满足，设，则（    ） A．若为的重心，则 B．若为的内心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的外心，则 【答案】ABC 【分析】以中点为原点，为轴建立平面直角坐标系，求出三角形各种心的坐标，然后代入坐标列方程求出即可得解. 【详解】如图以中点为原点，为轴建立平面直角坐标系， 则，，，，， 对于A，若为的重心，则，，即， 所以， 若，则，解得， 此时，A说法正确； 对于B，若为的内心，由点到，的距离相等可知在上， 设内切圆的半径为，则， 即，解得，所以，， 若，则，解得， 此时，B说法正确； 对于C，若为的垂心，由可知在上， 设，则，解得， 所以，， 若，则，解得， 此时，C说法正确； 对于D，若为的外心，由可知在上， 设，则，即，解得， 所以，， 若，则，解得， 此时，D说法错误； 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设λ为实数，已知向量．若，则向量与的夹角的余弦值为 【答案】 【分析】根据向量垂直的坐标公式求得，然后由向量夹角坐标计算公式可得答案. 【详解】因，则，则， 从而，则. 故答案为：. 13．已知两个非零向量与的夹角为，我们把数量叫做向量与的叉乘的模，记作，即.若，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用向量模长的计算公式和基本不等式求解即可. 【详解】， ， 所以且， 故 因为，故， 且， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最小值为. 故答案为： 14．所对的三边为，则的最小值 ． 【答案】/ 【分析】利用三角形的内角关系，结合正弦定理、余弦定理及已知条件对等式进行化简变形，再均值不等式得出值域，构造函数利用函数单调性求最小值． 【详解】， ，故， 由正弦定理得， ，故， 由余弦定理得，又， ，故， ， ，，， （，）， 令，，则，在上单调递增， 当时，取得最小值，最小值为， ． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 设A，B，C，D为平面内的四点，. (1)若，求点D坐标； (2)设向量，若与平行，求实数k的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，先求出和的坐标，然后利用列方程求解即可； （2）根据向量的线性坐标运算求出，的坐标，然后利用向量共线的坐标公式列方程求解即可． 【详解】（1）因为，所以，设，又，所以， 因为，所以，解得，所以点D坐标为； （2），， 所以，， 因为与平行， 所以，解得. 16．（15分） 如图，，是线段的中点，过点的直线交线段于，交线段于，，. (1)求证：为定值，并求这个值； (2)若，，且，，求，的值. 【答案】(1)证明见解析，定值为6； (2)，. 【分析】（1）结合图形，由平面向量的线性运算及共线向量定理的推论推理得证. （2）利用向量数量积的运算律，结合垂直关系的向量表示列式求解. 【详解】（1）由，得， 由是线段的中点，得，显然， 由，，得，， 因此，而M，E，N三点共线，则，即 所以为定值，此定值为6. （2）由，，得， 由（1）知，，， 因此， 又，则，，由（1）知，解得，， 所以，. 17．（15分） 在中，角所对的边分别为，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求的周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，利用正弦定理得到，再利用辅助角法求解； （2）由，结合余弦定理得到，再利用基本不等式得到求解. 【详解】（1）因为， 所以， 因为，所以， 即，即， 所以， 因为，所以，； （2）由余弦定理及， 得，即， 即，又，即， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 所以周长， 所以周长最大值为． 18．（17分） 在①，②，③，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．） 在锐角中，的面积为S，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，且选条件：_____________． (1)求角A的大小； (2)若E为BC中点，且，，求AC的值； (3)如图所示，作（A、D位于直线BC异侧），使得四边形满足，，求AC的最大值． 【答案】(1) (2)2； (3) 【分析】（1）选①：利用正弦定理边角互化，再由余弦定理即可求得；选②：利用向量数量积的定义式和三角形面积公式化简计算即得；选③：利用二倍角公式和诱导公式化简后解方程即得. （2）由E为BC中点可得，两边同时平方，由向量的数量积运算可得关于的方程，求解即可； （3）设，将所有相关角用表示，再用正弦定理将AC长用的三角函数式表示出来，通过恒等变换化成正弦型函数，求得的范围，结合正弦函数的性质即可求出AC的最大值． 【详解】（1）选①：， 由正弦定理，可得， 再由余弦定理，可得， 又，所以； 选②：由，可得 ， 又，所以； 选③：由，可得，即， 即，解得或（舍）， 又，所以； （2）如图，因为E为BC中点，所以， 所以，即， 即， 因为，，， 所以，即， 解得，即AC的值为2； （3）已知，，， 设，则，， 在中，由正弦定理得， 可得， 在中，由正弦定理得：， 可得 ， 因为是锐角三角形，所以，解得 则， 故当时，可得AC的最大值是． 19．（17分） 如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，则平面坐标系xOy为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为． (1)若，，求的模； (2)若，，，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由； (3)在仿射坐标系下，设，，，若对恒成立，求的范围及的最小值． 【答案】(1)； (2)不正确，理由见解析； (3)，的最小值为. 【分析】（1）利用向量的线性运算两边平方可求； （2）根据条件，利用向量数量积的运算得到，再利用，即可求解； （3）由，转化为对恒成立，求得，再由向量的夹角公式，得到，并求得的范围，即可得到的最小值. 【详解】（1）因为，， 所以两边平方得， 故； （2）不正确，理由如下， 因为，则， 又， 则， 若，则，则， 所以“”的充要条件是“”， 故“”的充要条件是“”是不正确的. （3）因为，则， ， ， ， 由，得， 所以， 即对恒成立， 又因为，所以， 解得， 因为，所以满足题意， 所以， 所以， 又因为，所以， 则， 所以 故的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学下学期单元自测 第六章 平面向量及其应用·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．关于平面向量，下列正确的是（    ） A．若是单位向量，零向量，则 B．若向量与不共线，则存在一对实数，使 C．海拔、温度、角度都是向量 D．若，则四边形ABCD是菱形 2．是平面内不共线的两个向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（　　） A．3 B．－3 C．－2 D．2 3．位于P处的雷达接收到在其正东方向相距海里的B处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于P处雷达北偏东且与P处雷达相距30海里的M处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（    ） A． B． C． D． 4．已知，，且，的夹角为，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 5．在平行四边形中，，是线段DE的中点，连接交于O，若，则（    ） A．1 B． C． D． 6．由下列条件解三角形问题中，对解的情况描述正确的是（   ） A．，，，有两解 B．，，，有两解 C．，，，有两解 D．，，，无解 7．青花瓷（blue  and  white  porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的最小值是（   ） A． B． C．2 D．3 8．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设向量，则下列说法错误的是（    ） A．若与的夹角为钝角，则 B．的最小值为9 C．与共线的单位向量只有一个，为 D．若则 10．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，则的面积为 C．若，则是等腰三角形 D．若，则 11．（多选）中，，点满足，设，则（    ） A．若为的重心，则 B．若为的内心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的外心，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设λ为实数，已知向量．若，则向量与的夹角的余弦值为 13．已知两个非零向量与的夹角为，我们把数量叫做向量与的叉乘的模，记作，即.若，，则的最小值为 . 14．所对的三边为，则的最小值 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 设A，B，C，D为平面内的四点，. (1)若，求点D坐标； (2)设向量，若与平行，求实数k的值. 16．（15分） 如图，，是线段的中点，过点的直线交线段于，交线段于，，. (1)求证：为定值，并求这个值； (2)若，，且，，求，的值. 17．（15分） 在中，角所对的边分别为，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求的周长的最大值． 18．（17分） 在①，②，③，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．） 在锐角中，的面积为S，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，且选条件：_____________． (1)求角A的大小； (2)若E为BC中点，且，，求AC的值； (3)如图所示，作（A、D位于直线BC异侧），使得四边形满足，，求AC的最大值． 19．（17分） 如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，则平面坐标系xOy为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为． (1)若，，求的模； (2)若，，，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由； (3)在仿射坐标系下，设，，，若对恒成立，求的范围及的最小值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期单元自测 第六章 平面向量及其应用·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．关于平面向量，下列正确的是（    ） A．若是单位向量，零向量，则 B．若向量与不共线，则存在一对实数，使 C．海拔、温度、角度都是向量 D．若，则四边形ABCD是菱形 2．是平面内不共线的两个向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（　　） A．3 B．－3 C．－2 D．2 3．位于P处的雷达接收到在其正东方向相距海里的B处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于P处雷达北偏东且与P处雷达相距30海里的M处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（    ） A． B． C． D． 4．已知，，且，的夹角为，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 5．在平行四边形中，，是线段DE的中点，连接交于O，若，则（    ） A．1 B． C． D． 6．由下列条件解三角形问题中，对解的情况描述正确的是（   ） A．，，，有两解 B．，，，有两解 C．，，，有两解 D．，，，无解 7．青花瓷（blue  and  white  porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的最小值是（   ） A． B． C．2 D．3 8．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设向量，则下列说法错误的是（    ） A．若与的夹角为钝角，则 B．的最小值为9 C．与共线的单位向量只有一个，为 D．若则 10．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，则的面积为 C．若，则是等腰三角形 D．若，则 11．（多选）中，，点满足，设，则（    ） A．若为的重心，则 B．若为的内心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的外心，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设λ为实数，已知向量．若，则向量与的夹角的余弦值为 13．已知两个非零向量与的夹角为，我们把数量叫做向量与的叉乘的模，记作，即.若，，则的最小值为 . 14．所对的三边为，则的最小值 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 设A，B，C，D为平面内的四点，. (1)若，求点D坐标； (2)设向量，若与平行，求实数k的值. 16．（15分） 如图，，是线段的中点，过点的直线交线段于，交线段于，，. (1)求证：为定值，并求这个值； (2)若，，且，，求，的值. 17．（15分） 在中，角所对的边分别为，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求的周长的最大值． 18．（17分） 在①，②，③，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．） 在锐角中，的面积为S，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，且选条件：_____________． (1)求角A的大小； (2)若E为BC中点，且，，求AC的值； (3)如图所示，作（A、D位于直线BC异侧），使得四边形满足，，求AC的最大值． 19．（17分） 如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，则平面坐标系xOy为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为． (1)若，，求的模； (2)若，，，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由； (3)在仿射坐标系下，设，，，若对恒成立，求的范围及的最小值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期单元自测 第六章 平面向量及其应用·能力提升（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 B D B D B A C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC ABD ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 15．（13分） 【详解】（1）因为，所以，（1分） 设，又，所以，（2分） 因为， 所以，解得，所以点D坐标为；（6分） （2），， 所以，，（8分） 因为与平行， 所以，（11分） 解得.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）由，得，（2分） 由是线段的中点，得，显然， 由，，得，，（4分） 因此，而M，E，N三点共线，则，即（6分） 所以为定值，此定值为6.（7分） （2）由，，得，（9分） 由（1）知，，， 因此，（12分） 又，则，，由（1）知，解得，，（14分） 所以，.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）因为， 所以，（1分） 因为，所以，（3分） 即，即，（5分） 所以，（6分） 因为，所以，；（7分） （2）由余弦定理及， 得，即，（9分） 即，又，即， 所以，即，当且仅当时，等号成立，（13分） 所以周长，（14分） 所以周长最大值为．（15分） 18．（17分） 【详解】（1）选①：， 由正弦定理，可得，（2分） 再由余弦定理，可得，（4分） 又，所以；（5分） 选②：由，可得 ，（3分） 又，所以；（5分） 选③：由，可得，即，（3分） 即，解得或（舍）， 又，所以；（5分） （2）如图，因为E为BC中点，所以， 所以，即， 即，（7分） 因为，，， 所以，即，（9分） 解得，即AC的值为2；（10分） （3）已知，，， 设，则，， 在中，由正弦定理得， 可得，（11分） 在中，由正弦定理得：， 可得（12分） ，（14分） 因为是锐角三角形，所以，解得（15分） 则， 故当时，可得AC的最大值是．（17分） 19．（17分） 【详解】（1）因为，， 所以两边平方得，（2分） 故；（3分） （2）不正确，理由如下，（4分） 因为，则， 又， 则，（6分） 若，则，则， 所以“”的充要条件是“”，（8分） 故“”的充要条件是“”是不正确的.（9分） （3）因为，则， ， ， ，（11分） 由，得， 所以， 即对恒成立，（13分） 又因为，所以， 解得， 因为，所以满足题意， 所以，（14分） 所以， 又因为，所以，（15分） 则， 所以 故的最小值为.（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $