第六章 平面向量及其应用（单元自测·基础卷）高一数学人教A版必修第二册

2025-2026学年高一数学下学期单元自测 第六章 平面向量及其应用·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．下列各式能化简为的是（   ） A． B． C． D． 3．设，向量，，，且，，则（    ） A． B．0 C．1 D．4 4．已知为所在平面内的一点，，则（   ） A． B． C． D． 5．平行四边形中，，则四边形是（   ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 6．已知平面向量，设在上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 7．已知的内角 的对边分别为 ， 且， 若， 则 的面积为 （ ） A． B． C． D．2 8．在等腰梯形中，，，P是底边上的动点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于平面向量，下列说法中正确的是（    ） A．若，，则存在，使得 B．向量与不共线，则与都是非零向量 C．若，则 D．若向量与同向，且，则 10．如图，在中，D为边上的一个三等分点（靠近点B）， ，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．是在上的投影向量 11．中，角，，所对的边分别为，，且，下列说法正确的是（   ） A． B．若且有唯一解，则 C．若，则 D．若，则面积最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．与平面向量同向共线的单位向量的坐标为 . 13．在中，为上的一点，满足．若为上的一点，满足（，），则与的关系为 ． 14．某政府准备在三个村之间修建一个物流中转站，若把村庄所在地视为点，已知，，.通过前期的勘测，中转站D选在B，C两村的连线上，且D到A，B两村之间的距离相等，则之间的距离为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 如图，在矩形中，，B，E分别为边AC，DF的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中：    (1)分别找出与，相反的向量； (2)分别找出与，相等的向量. 16．（15分） 在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，. (1)求； (2)求的面积. 17．（15分） 已知向量，，且与的夹角为． (1)求； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 18．（17分） 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，D是边上一点，. (1)求角A； (2)若，求线段的长； (3)若，当时，求角C的大小. 19．（17分） 如图1所示，在中，点在线段上，满足，点在线段上，满足，线段与线段交于点. (1)用和表示； (2)若，求实数； (3)如图2所示，过点的直线与边，分别交于点，，设，，，求的最大值； 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期单元自测 第六章 平面向量及其应用·基础通关（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 A C B C C A A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AB BCD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 15．（13分） 【详解】（1）方向相反，大小相等的向量互为相反向量. 与相反的向量有，，；（3分） 与相反的向量有，.（5分） （2）方向相同，大小相等的向量是相等向量. 则，与方向相同，且长度相等， 故与相等的向量为，.（11分） 同理，与相等的向量为.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）因为，且， 所以.（2分） 根据正弦定理得，即.（4分） 所以.（5分） 又由题知为钝角，故，所以.（7分） （2）由余弦定理，得. 即，整理得.（10分） 解得或（舍去）.（12分） 故的面积.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）向量，可得，且，（2分） 因为与的角为，可得，（4分） 解得，所以，（5分） 则，（6分） 所以．（7分） （2）由向量， 可得，（9分） 由，解得，（11分） 当向量与共线时，可得，解得，（13分） 所以实数的取值范围为．（15分） 18．（17分） 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，（1分） 即，（3分） 又，所以，（4分） 又，所以；（5分） （2）在中，由余弦定理得， 即，解得，（7分） 所以；（9分） （3）因为，所以，， 在中，由正弦定理得， 则，（11分） 在中，由正弦定理得， 则，（13分） 所以，即，（15分） 所以，因为，所以，所以.（17分）    19．（17分） 【详解】（1）因为，则，由，得 ， 故.（3分） （2）由（1）得，因为三点共线，所以存在实数使得，所以，所以，（5分） 由，得 ，（7分） 又因为，所以，解得，，（9分） 综上所述，.（10分） （3）根据题意． 同理可得：，（12分） 由（1）可知，， 所以， 因为三点共线， 所以存在实数，使得，（13分） 所以， 所以，，化简得，（14分） 所以， 当且仅当且， 即，，时等号成立．（16分） 故的最大值为.（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学下学期单元自测 第六章 平面向量及其应用·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．下列各式能化简为的是（   ） A． B． C． D． 3．设，向量，，，且，，则（    ） A． B．0 C．1 D．4 4．已知为所在平面内的一点，，则（   ） A． B． C． D． 5．平行四边形中，，则四边形是（   ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 6．已知平面向量，设在上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 7．已知的内角 的对边分别为 ， 且， 若， 则 的面积为 （ ） A． B． C． D．2 8．在等腰梯形中，，，P是底边上的动点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于平面向量，下列说法中正确的是（    ） A．若，，则存在，使得 B．向量与不共线，则与都是非零向量 C．若，则 D．若向量与同向，且，则 10．如图，在中，D为边上的一个三等分点（靠近点B）， ，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．是在上的投影向量 11．中，角，，所对的边分别为，，且，下列说法正确的是（   ） A． B．若且有唯一解，则 C．若，则 D．若，则面积最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．与平面向量同向共线的单位向量的坐标为 . 13．在中，为上的一点，满足．若为上的一点，满足（，），则与的关系为 ． 14．某政府准备在三个村之间修建一个物流中转站，若把村庄所在地视为点，已知，，.通过前期的勘测，中转站D选在B，C两村的连线上，且D到A，B两村之间的距离相等，则之间的距离为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 如图，在矩形中，，B，E分别为边AC，DF的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中：    (1)分别找出与，相反的向量； (2)分别找出与，相等的向量. 16．（15分） 在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，. (1)求； (2)求的面积. 17．（15分） 已知向量，，且与的夹角为． (1)求； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 18．（17分） 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，D是边上一点，. (1)求角A； (2)若，求线段的长； (3)若，当时，求角C的大小. 19．（17分） 如图1所示，在中，点在线段上，满足，点在线段上，满足，线段与线段交于点. (1)用和表示； (2)若，求实数； (3)如图2所示，过点的直线与边，分别交于点，，设，，，求的最大值； 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期单元自测 第六章 平面向量及其应用·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】根据向量的知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】质量、密度、功是标量，不是向量； 速度、力、加速度、位移是向量； 所以向量共有个. 故选：A 2．下列各式能化简为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量加法和减法法则，对每个选项进行逐一计算，即可判断和选择. 【详解】对A：，故A错误； 对B：，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：，故D错误； 故选：C. 3．设，向量，，，且，，则（    ） A． B．0 C．1 D．4 【答案】B 【分析】应用向量垂直、平行的坐标表示列方程求参数值，即可得. 【详解】由向量，，， 因为，可得，解得. 由，可得，解得， 故. 故选：B 4．已知为所在平面内的一点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形的几何性质分解向量即可得解. 【详解】如图所示， 由题意得. 故选：C. 5．平行四边形中，，则四边形是（   ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 【答案】C 【分析】根据题意，利用向量的运算法则，化简得到，得出，即可求解. 【详解】由，可得， 所以，即， 可得，所以，即， 又因为为平行四边形，所以四边形为矩形. 故选：C. 6．已知平面向量，设在上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量公式可得，再根据向量夹角公式求解即可. 【详解】在上的投影向量为，即， 所以，则， 因为，所以. 故选：A. 7．已知的内角 的对边分别为 ， 且， 若， 则 的面积为 （ ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由正弦定理角化边，结合余弦定理及三角形面积公式即可求解. 【详解】由正弦定理角化边得到：， 即 ， 所以 ，， ， 又， 且， 得，即， 所以 . 故选：A 8．在等腰梯形中，，，P是底边上的动点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据题设条件，建系，写出相关点的坐标，利用向量坐标的数量积运算将其化成二次函数，即可求得最值. 【详解】根据题意，以A为原点，射线AB为x轴正半轴建立直角坐标系，如图所示， 因，易推得，则，， 设，其中，则，， 于是，， 故当时，取得最小值为. 故答案为：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于平面向量，下列说法中正确的是（    ） A．若，，则存在，使得 B．向量与不共线，则与都是非零向量 C．若，则 D．若向量与同向，且，则 【答案】AB 【分析】对于A，根据向量共线的充要条件即可判断；对于B，由零向量与任何向量共线即可判断；对于C，取即可排除；对于D，根据向量有方向即可判断. 【详解】对于A，根据向量共线的充要条件即可得到A正确； 对于B，因为零向量与任何向量共线，所以由向量与不共线，可得与都是非零向量，故B正确； 对于C，当时，恒成立，但的关系不确定，故C错误； 对于D，因向量有方向，故不能比较大小，故D错误. 故选：AB. 10．如图，在中，D为边上的一个三等分点（靠近点B）， ，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．是在上的投影向量 【答案】BCD 【分析】结合向量线性运算法则利用，，表示，判断A，结合数量积的运算律求，判断B，结合数量积的运算律和定义求，判断C，根据投影向量的定义求在上的投影向量，判断D， 【详解】对于A，由已知， 所以，A错误； 对于B，因为，所以， 所以，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，在上的投影向量为，D正确； 故选：BCD. 11．中，角，，所对的边分别为，，且，下列说法正确的是（   ） A． B．若且有唯一解，则 C．若，则 D．若，则面积最大值为 【答案】ACD 【分析】利用正弦定理边角互化及正弦两角和差公式化简可计算出，即可判断A，根据正弦定理和解三角形知识即可判断B，根据和差角公式求解，可判断C，根据余弦定理和三角形的面积公式求解，可判断D. 【详解】由，则， 则， 由于，所以，，，故A正确； 由正弦定理得，即， 又有唯一解，所以或，故B错误； 由，则，， 则，即，, 所以，则，所以，故C正确； 若，则由余弦定理得， 所以有，即，当且仅当时取等号， 的面积为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．与平面向量同向共线的单位向量的坐标为 . 【答案】 【分析】求出向量模长，再结合题设条件即可求解. 【详解】因为向量的模长为， 所以与平面向量同向共线的单位向量的坐标为. 故答案为：. 13．在中，为上的一点，满足．若为上的一点，满足（，），则与的关系为 ． 【答案】 【分析】根据平面向量的线性运算及三点共线的性质即可求解. 【详解】，所以， ， 因为三点共线， 所以. 故答案为：. 14．某政府准备在三个村之间修建一个物流中转站，若把村庄所在地视为点，已知，，.通过前期的勘测，中转站D选在B，C两村的连线上，且D到A，B两村之间的距离相等，则之间的距离为 . 【答案】 【分析】由余弦定理求得，再结合正弦定理求得，在三角形中，由余弦定理即可求解. 【详解】    由余弦定理：， 即， 所以， 由正弦定理可得：， 可得：，即， 所以， 设， 由余弦定理可得， 解得：， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 如图，在矩形中，，B，E分别为边AC，DF的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中：    (1)分别找出与，相反的向量； (2)分别找出与，相等的向量. 【答案】(1)与相反的向量有，，；与相反的向量有， (2)相等的向量为，，相等的向量为 【分析】运用相等向量，相反向量概念可解. 【详解】（1）方向相反，大小相等的向量互为相反向量. 与相反的向量有，，；与相反的向量有，. （2）方向相同，大小相等的向量是相等向量. 则，与方向相同，且长度相等， 故与相等的向量为，. 同理，与相等的向量为. 16．（15分） 在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，. (1)求； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由同角基本关系式算出，再由正弦定理求出，再解出； （2）法一：由余弦定理解得，再用正弦面积公式求解.法二：先用两角和与差公式计算，再用正弦面积公式求解. 【详解】（1）因为，且， 所以. 根据正弦定理得，即. 所以. 又由题知为钝角，故，所以. （2）法一：由余弦定理，得. 即，整理得. 解得或（舍去）. 故的面积. 法二：由，得. 所以. 故的面积 17．（15分） 已知向量，，且与的夹角为． (1)求； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量夹角坐标运算求得，再利用模长公式求解即可； （2）由数量积大于0且两向量不同向列不等式求解． 【详解】（1）向量，可得，且， 因为与的角为，可得， 解得，所以， 则， 所以． （2）由向量， 可得， 由，解得， 当向量与共线时，可得，解得， 所以实数的取值范围为． 18．（17分） 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，D是边上一点，. (1)求角A； (2)若，求线段的长； (3)若，当时，求角C的大小. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理将边转化为角的正弦值，然后由正弦的和差角公式化简，即可求得角； （2）由余弦定理求得，然后得到； （3）由边的关系，得到的相关结果，在和分别由正弦定理求得，然后得到关于等式，化简求得角C的大小. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 即， 又，所以， 又，所以； （2）在中，由余弦定理得， 即，解得， 所以； （3）因为，所以，， 在中，由正弦定理得， 则， 在中，由正弦定理得， 则， 所以，即， 所以，因为，所以，所以.    19．（17分） ．如图1所示，在中，点在线段上，满足，点在线段上，满足，线段与线段交于点. (1)用和表示； (2)若，求实数； (3)如图2所示，过点的直线与边，分别交于点，，设，，，求的最大值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形中平行线的等比关系计算； （2）由（1）得，，列出方程组求解即可； （3）由题意可得，，列出方程组，从而可得，利用基本不等式求解即可； 【详解】（1）因为，则，由，得 ， 故. （2）由（1）得，因为三点共线，所以存在实数使得，所以，所以， 由，得 ， 又因为，所以，解得，， 综上所述，. （3）根据题意． 同理可得：， 由（1）可知，， 所以， 因为三点共线， 所以存在实数，使得， 所以， 所以，，化简得， 所以， 当且仅当且， 即，，时等号成立． 故的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $