第六章 平面向量及其应用（知识清单+9大易错训练）高一数学人教A版必修第二册

该高中数学知识清单系统整合了“平面向量”与“解三角形”两大核心模块，涵盖向量概念、线性运算、数量积、坐标表示、正余弦定理、面积公式等内容，搭建了从基础概念到定理应用再到易错解析的递进式学习支架。 清单通过“易错点分类+典例解析+针对训练”构建知识体系，如标注“向量共线忽略零向量”“解三角形多解情况”等9类易错点，配“数乘即得平行，平行必有数乘”等记忆口诀，培养数学思维与应用意识。教师可精准定位教学重难点，学生能自主梳理知识漏洞，高效提升解题能力。

第六章 平面向量及其应用 清单01 平面向量 1、平面向量的有关概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）． （2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）特殊向量：①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2、平面向量的线性运算（向量的加、减、数乘运算） （1）向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相反； 当时， 注：①向量表达式中的零向量写成，而不能写成0． ②两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系． （2）向量的三角形不等式 由向量的三角形法则，可以得到 ①当不共线时，； ②当同向且共线时，同向，则； ③当反向且共线时，若，则同向，；若，则同向，． 3、平面向量共线定理和性质 （1）共线向量定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使． （口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． （2）三点共线定理 若A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得 存在唯一的实数，使得 存在实数，使，其中，为平面内任意一点． （3）中线向量定理 在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． 4、平面向量的数量积 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=． 规定：零向量与任一向量的数量积为0． 　　　　　　　　　　　　　　　 （2）投影向量 设a，b是两个非零向量，如图(1)(2)，表示向量a，表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1.上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量. ，向量a在向量b上的投影向量=|a|cosθ. （3）数量积的运算律 已知向量、、和实数，则：①； ②； ③． （4）数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①． ②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． ④． ⑤． 【常用结论】 两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线 5、平面向量基本定理 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合． ①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底； ②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的． 这说明如果且，那么． ③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础． 6、平面向量的坐标表示 （1）正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． （2）平面向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面上的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得=．这样，平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的（直角）坐标，记作=，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标．把=叫做向量的坐标表示． （3）一一对应：向量=向量点． 7、平面向量的坐标运算 （1）向量加、减、数乘的坐标运算 已知向量，，则，①．②． （2）数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与的关系 (当且仅当时等号成立) （3）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． 8、平面几何中的向量方法 向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面： （1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义． （2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或）． （3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或）． （4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式． （5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题． 9、向量在物理中的应用举例 向量的定义有着丰富的物理背景,物理学中的位移、力、速度等都是既有大小又有方向的量,力所做的功就是向量的数量积的物理背景,因此,向量可以解决一些物理问题归纳. （1）力学问题的向量处理方法 ①解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题,即将力学各量之间的关系抽象成数学模型,再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象； ②向量是既有大小又有方向的量,表示向量的有向线段可以有共同的起点,也可以没有共同的起点.力是既有大小,又有方向的量.用向量知识解决共点力的问题,往往需要把向量平移到同一作用点上. （2）速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成和分解,实质就是向量的加减运算,而运动的叠加也用到了向量的合成. ①向量在速度、加速度上的应用,实质是通过向量的线性运算解决物理问题,最后获得物理结果. ②用向量解决速度、加速度和位移等问题,用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘,有时也可借助坐标来求解. （3）功、动量问题的向量处理方法 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,它的实质是力与位移的数量积,即(为与的夹角).功是一个标量,它可正,也可负.动量实际上是数乘向量. 清单02 解三角形 1、余弦定理 （1）余弦定理 ①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. ②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则： ； （2）余弦定理的推论 ；； 2、正弦定理 （1）正弦定理 ①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. ②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有 （2）正弦定理的推广及常用变形公式 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则 ① ②；；； ③ ④ ⑤，，（可实现边到角的转化） ⑥，，（可实现角到边的转化） 3、三角形面积公式 三角形面积的计算公式： ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 【常用结论】 解三角形多解情况： 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 【易错01：忽略向量共线时的两种情况】 处理平面向量的共线问题一般有两个思路：一是从几何的角度，二是从坐标的角度，这类问题的求解过程有两类特殊情况需要特别注意，一种是向量为零向量的情况；二是要考虑向量方向相同或相反的情况. 【典例】 1．（25-26高一上·北京·期末）已知向量，且与方向相反，则实数的值为（　　） A．-1或 B．1或 C．1 D． 2．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）已知，，则与方向相同的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．若向量，不共线，且向量，同向共线，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或 2．（23-24高一下·江苏南京·月考）已知，则与方向相反的单位向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【易错02：忽略平面向量夹角的范围与方向性】 1、在求解两个向量的夹角时，一定要明确两向量夹角的定义的前提是两向量的起点要重合. 2、平面向量夹角的范围是，在考虑向量的夹角时，要考虑两向量同向（夹角为0），两向量反向（夹角为） 【典例】 1．已知点，，为坐标原点，若，的夹角为锐角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．（24-25高一下·重庆·月考）已知其中k为实数，若向量与的夹角为钝角，则k的取值范围（    ） A． B． C．6 D． 【易错03：平面向量基本定理中参数问题】 若A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得 存在唯一的实数，使得 存在实数，使，其中，为平面内任意一点． 【典例】 1．在中，是的中点，.若，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 【针对训练】 1．在平行四边形中，，是线段DE的中点，连接交于O，若，则（    ） A．1 B． C． D． 2．（24-25高一下·广东·月考）如图，在△ABC中，，P是线段BN上的一点，若，则实数m等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·云南文山·期中）如图，在△ABC中，，E为AD的中点，过点E的直线分别与边AB、AC交于P、Q两点，且，，则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【易错04：投影向量的求法】 向量数量积的几何意义是一个向量在另一个向量方向上的投影数量与另一个向量的模的乘积，注意在方向上的投影向量为，其实质为投影数量与单位向量的数乘，在考查中我们常常搞混两者，解题是要注意谁在谁上的投影，而不能颠倒顺序. 【典例】 1．（24-25高一下·山东枣庄·期中）已知，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 2．已知向量，满足，，在方向上的投影向量是，则（   ） A． B．2 C． D． 3．（24-25高一下·福建泉州·期中）已知向量，，且向量在向量上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．（23-24高一下·广东中山·月考）已知向量，若，，则向量在方向上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 2．已知向量，且在上的投影为，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【易错05：平面向量中的三角形“四心”问题】 1、重心. 若点是的重心，则0或（其中为平面内任意一点）.反之，若0，则点是的重心. 2、垂心. 若是的垂心，则或.反之，若，则点是的垂心. 3、内心. 若点是的内心，则有=0.反之，若=0，则点是的内心. 4、外心. 若点是的外心，则=0或.反之，若，则点是的外心. 【典例】 1．（24-25高一下·湖北·月考）已知、、是所在平面上的点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则为的重心 B．若，则为的外心 C．若为的外心，，则为的垂心 D．若，，则点轨迹一定通过的重心 2．（24-25高一下·广东佛山·期末）（多选题）已知在中，，，，点为所在平面内一点，则（   ） A．若为的垂心，则 B．若为的重心，则 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则 【针对训练】 1．（23-24高一下·安徽·月考）（多选题）点O为所在平面内一点，则（    ） A．若，则点O为的重心 B．若，则点O为的内心 C．若，则点O为的垂心 D．在中，设，那么动点O的轨迹必通过的外心 【易错06：解三角形中解的个数问题】 两边和其中一边的对角，求其它的边和角时，由于正弦函数在在区间内不单调，此时三角形解的情况可能是无解、一解、两解，此时可通过大边对大角进行分析，也通过几何法来判断三角形解的个数。 【典例】 1．（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）（多选题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，分别根据下列条件解三角形，其中有唯一的解是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25高一下·甘肃白银·期末）（多选题）在中，，．若有两个解，则的取值可能为（   ） A．9 B．8 C．10 D．11 【针对训练】 1．（24-25高一下·浙江·期中）（多选题）根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25高一下·安徽合肥·期末）（多选题）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且该三角形有两解，则b的值可以为（   ） A．3 B．5 C．6 D．7 【易错07：直接将a、b、c=sinA、B、C（或者反过来）】 什么情况下边化角? （1）当每一项都有边且次数一样时，采用边化角 （2）当每一项都有角《》且次数一样时，采用角化边 （3）当每一项都是边时，直接采用边处理问题 （4）当每一项都有角《》及边且次数一样时，采用角化边或变化角均可 【典例】 1．（24-25高一下·重庆·期中）已知中内角满足，则角(   ) A． B． C． D． 【针对训练】 1．（24-25高一下·甘肃庆阳·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的外接圆的半径为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【易错08：忽略一些关键条件（例如锐角三角形）】 处理三角形中的三角函数问题时一定深挖三角形中的隐含条件，如三角形是锐角三角形时，则三角形的三个内角都是锐角，而三角形是钝角三角形时，只需要三角形最大的内角是钝角. 【典例】 1．（24-25高一下·四川成都·期末）锐角的内角所对应的边分别为，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．（24-25高一下·湖北·月考）在锐角中，分别是角所对的边，已知，且则锐角面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【易错09：解三角形在实际问题中的应用】 【典例】 1．（24-25高一下·江苏南通·月考）如图，A，B，C为山脚D，E两侧共线的三点，在山顶P处测得A，B，C处的俯角分别为60°，75°，45°，并测得，，，则隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 2．镇国寺塔亦称西塔，是一座方形七层楼阁式砖塔，是全国重点文物保护单位、国家3A级旅游景区．小胡同学想知道镇国寺塔的高度，他在塔的正东方向找到一座高为7.5m的建筑物，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得建筑物顶部A，镇国寺塔顶部M的仰角分别为15°和60°，在A处测得镇国寺塔顶部M的仰角为30°，则镇国寺塔的高度约为（    ）（） A．37.52m B．35.48m C．33.26m D．31.52m 【针对训练】 1．小河的对岸有一棵树，设树底为，树顶为．如图，为了测量这棵树的高度，在河的另一侧选取两点，使得在同一水平面上，且三点共线，米．若在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为，则这棵树的高度（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内，在A点测得在A的南偏东的方向上，在A的南偏东的方向上，在点测得在的南偏西的方向上，在的南偏东的方向上，且，则（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高一下·云南曲靖·期末）在中，D为BC中点，且满足，则（    ） A．1 B． C． D． 2．（24-25高一下·山东泰安·期末）已知向量，不共线，且向量与共线，则实数的值为（    ） A．或 B．或3 C．或2 D．2 3．（24-25高一下·江苏镇江·期末）设，是平面内的一组基底，，，，则共线的三点为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（24-25高一下·广东深圳·期中）若是的重心，且（为实数），则（   ） A． B． C．1 D． 5．（24-25高一下·江苏淮安·月考）若向量，向量在方向上的投影向量为，则m值可能为（    ） A． B． C．2 D． 6．已知向量，，则“”是“向量与的夹角为锐角”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7．（24-25高一下·辽宁·期末）已知向量，向量，且与方向相反，若向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·浙江·月考）已知向量，若在上的投影向量为，则向量与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·安徽合肥·期末）在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·河北·期末）已知的内角的对边分别为，若有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·山东·期中）已知的内角的对边分别是，且，则（   ） A． B． C． D． 12．已知平面向量，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高一下·河南南阳·期末）如图，某观察站B在城A的南偏西的方向，由城A出发的一条公路走向是南偏东，在B处测得公路上距B处的C处有一人正沿公路向A城走去，走了之后到达D处，此时B，D间的距离为．要达到A城，这个人还要走（   ） A． B． C． D． 14．在中，内角A，，的对边分别为，，，，则的形状一定为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 15．（24-25高一下·福建福州·期末）如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高为（    ）． A． B． C． D． 16．（24-25高一下·广东云浮·期末）如图，某河流两边有（在同一个平面内）四点，已知两个观察点在河的南岸，二者间的距离为，为了测量在河的北.岸两个目标点间的距离，某小组测得，则两个目标点间的距离为（    ） A． B． C．， D． 17．（24-25高一下·湖北荆州·期末）设的内角所对应的边分别为，，，其面积，若的周长为1，则（    ） A．1 B． C．2 D． 18．已知的外接圆半径为4，，，则的面积S为（    ） A． B． C． D． 19．已知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 20．在中，，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 21．在正六边形ABCDEF中，点M在边BC和边CD上运动（含端点），设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 22．在钝角中，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 24．（24-25高一下·广东佛山·期末）（多选题）已知在中，，，，点为所在平面内一点，则（   ） A．若为的垂心，则 B．若为的重心，则 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则 25．（24-25高一下·江苏徐州·月考）（多选题）设点，，，分别为三角形的重心､垂心､外心和内心，则下列结论正确的是（   ） A．； B．若且，则； C．若，，则； D．若，则． 26．已知，与的夹角为45°，求使向量与的夹角是锐角，则的取值范围 . 27．（24-25高一下·河南漯河·期末）如图，在中，，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，，则的最小值为 ． 28．（23-24高一下·江苏·期中）若的面积为，且为钝角，则的取值范围是 ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 平面向量及其应用 清单01 平面向量 1、平面向量的有关概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）． （2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）特殊向量：①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2、平面向量的线性运算（向量的加、减、数乘运算） （1）向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相反； 当时， 注：①向量表达式中的零向量写成，而不能写成0． ②两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系． （2）向量的三角形不等式 由向量的三角形法则，可以得到 ①当不共线时，； ②当同向且共线时，同向，则； ③当反向且共线时，若，则同向，；若，则同向，． 3、平面向量共线定理和性质 （1）共线向量定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使． （口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． （2）三点共线定理 若A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得 存在唯一的实数，使得 存在实数，使，其中，为平面内任意一点． （3）中线向量定理 在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． 4、平面向量的数量积 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=． 规定：零向量与任一向量的数量积为0． 　　　　　　　　　　　　　　　 （2）投影向量 设a，b是两个非零向量，如图(1)(2)，表示向量a，表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1.上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量. ，向量a在向量b上的投影向量=|a|cosθ. （3）数量积的运算律 已知向量、、和实数，则：①； ②； ③． （4）数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①． ②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． ④． ⑤． 【常用结论】 两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线 5、平面向量基本定理 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合． ①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底； ②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的． 这说明如果且，那么． ③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础． 6、平面向量的坐标表示 （1）正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． （2）平面向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面上的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得=．这样，平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的（直角）坐标，记作=，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标．把=叫做向量的坐标表示． （3）一一对应：向量=向量点． 7、平面向量的坐标运算 （1）向量加、减、数乘的坐标运算 已知向量，，则，①．②． （2）数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与的关系 (当且仅当时等号成立) （3）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． 8、平面几何中的向量方法 向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面： （1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义． （2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或）． （3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或）． （4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式． （5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题． 9、向量在物理中的应用举例 向量的定义有着丰富的物理背景,物理学中的位移、力、速度等都是既有大小又有方向的量,力所做的功就是向量的数量积的物理背景,因此,向量可以解决一些物理问题归纳. （1）力学问题的向量处理方法 ①解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题,即将力学各量之间的关系抽象成数学模型,再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象； ②向量是既有大小又有方向的量,表示向量的有向线段可以有共同的起点,也可以没有共同的起点.力是既有大小,又有方向的量.用向量知识解决共点力的问题,往往需要把向量平移到同一作用点上. （2）速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成和分解,实质就是向量的加减运算,而运动的叠加也用到了向量的合成. ①向量在速度、加速度上的应用,实质是通过向量的线性运算解决物理问题,最后获得物理结果. ②用向量解决速度、加速度和位移等问题,用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘,有时也可借助坐标来求解. （3）功、动量问题的向量处理方法 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,它的实质是力与位移的数量积,即(为与的夹角).功是一个标量,它可正,也可负.动量实际上是数乘向量. 清单02 解三角形 1、余弦定理 （1）余弦定理 ①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. ②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则： ； （2）余弦定理的推论 ；； 2、正弦定理 （1）正弦定理 ①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. ②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有 （2）正弦定理的推广及常用变形公式 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则 ① ②；；； ③ ④ ⑤，，（可实现边到角的转化） ⑥，，（可实现角到边的转化） 3、三角形面积公式 三角形面积的计算公式： ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 【常用结论】 解三角形多解情况： 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 【易错01：忽略向量共线时的两种情况】 处理平面向量的共线问题一般有两个思路：一是从几何的角度，二是从坐标的角度，这类问题的求解过程有两类特殊情况需要特别注意，一种是向量为零向量的情况；二是要考虑向量方向相同或相反的情况. 【典例】 1．（25-26高一上·北京·期末）已知向量，且与方向相反，则实数的值为（　　） A．-1或 B．1或 C．1 D． 【答案】D 【分析】先判断 与 是否共线，再根据方向相反设共线关系，展开并整理系数联立方程组，最后代入求解并检验即可. 【详解】因为 ， 所以向量 ， 不共线，且向量 ， 方向相反， 所以存在实数 使 ， 即， 又因为向量 不共线， 所以，整理得 ， 解得 或 ， 又因为 ，所以 ，故舍去 ，最终得到 . 故选：D. 2．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）已知，，则与方向相同的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据坐标求出，再求出，最后利用单位向量的公式求解． 【详解】， ， , 的单位向量为，故C正确． 故选：C． 【针对训练】 1．若向量，不共线，且向量，同向共线，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】B 【分析】由平面向量的基本定理及向量共线条件得求参数，再由向量同向共线求解. 【详解】因为向量，共线， 所以，解得或， 当时，向量与方向相反，不满足， 当时，向量与方向相同，满足， 故. 故选：B 2．（23-24高一下·江苏南京·月考）已知，则与方向相反的单位向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据与方向相反的单位向量为求解即可. 【详解】因为， 所以与方向相反的单位向量的坐标为， 故选：D 【易错02：忽略平面向量夹角的范围与方向性】 1、在求解两个向量的夹角时，一定要明确两向量夹角的定义的前提是两向量的起点要重合. 2、平面向量夹角的范围是，在考虑向量的夹角时，要考虑两向量同向（夹角为0），两向量反向（夹角为） 【典例】 1．已知点，，为坐标原点，若，的夹角为锐角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量夹角为锐角，得到向量数量积大于零且向量不共线，列出不等式求解即可. 【详解】由题意知，，. 因为，的夹角为锐角， 所以且不存在实数使得，即，不共线. ①，因为， 所以，解得. ②，不共线，若，共线，则， 整理得，解得或， 所以且，综上，且. 故选：D. 【针对训练】 1．（24-25高一下·重庆·月考）已知其中k为实数，若向量与的夹角为钝角，则k的取值范围（    ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】由，结合不共线可得答案. 【详解】，不共线时，. 所以. 故选：D． 【易错03：平面向量基本定理中参数问题】 若A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得 存在唯一的实数，使得 存在实数，使，其中，为平面内任意一点． 【典例】 1．在中，是的中点，.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算可得，可求的值. 【详解】因为D是BC的中点，所以， 所以，又， 所以， 所以， 又，所以，. 所以. 故选：B. 2．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用线段比例转化向量，再统一向量基底，最后根据“三点共线时，向量分解的系数和为1”的性质求解即可. 【详解】， ， ， ， ， 是线段上一点， 三点共线， ， 解得. 故选A. 3．已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算，再结合三点共线的性质，即可得，然后利用代换，结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】 由是边上靠近的三等分点， 可得：， 又因为，所以， 又因为三点共线，所以 又因为， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以的最小值为， 故选：C 【针对训练】 1．在平行四边形中，，是线段DE的中点，连接交于O，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，以为基底，分别用表示，建立方程组求解. 【详解】 ， 又因为，所以， 设，则， 所以，解得， 故选：B. 2．（24-25高一下·广东·月考）如图，在△ABC中，，P是线段BN上的一点，若，则实数m等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用线性运算求得，然后求得，最后利用共线定理的推论列式求解即可. 【详解】因为，所以， 则， 因为P、B、N三点共线，所以，解得. 故选：D． 3．（24-25高一下·云南文山·期中）如图，在△ABC中，，E为AD的中点，过点E的直线分别与边AB、AC交于P、Q两点，且，，则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】由可得，根据三点共线向量性质可得，再结合均值不等式即可求出结果． 【详解】∵， ，∴， 又∵，， ∴， 又∵E，P，Q三点共线，∴， ， 当且仅当时取等号. 故选：A． 【易错04：投影向量的求法】 向量数量积的几何意义是一个向量在另一个向量方向上的投影数量与另一个向量的模的乘积，注意在方向上的投影向量为，其实质为投影数量与单位向量的数乘，在考查中我们常常搞混两者，解题是要注意谁在谁上的投影，而不能颠倒顺序. 【典例】 1．（24-25高一下·山东枣庄·期中）已知，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用在上的投影向量的公式可求解 【详解】向量在向量上的投影向量为. 故选：C. 2．已知向量，满足，，在方向上的投影向量是，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的计算公式，计算即可求解. 【详解】由题意，，，且在方向上的投影向量为， 所以，所以，所以， 解得. 故选：A 3．（24-25高一下·福建泉州·期中）已知向量，，且向量在向量上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量公式计算得出，再根据夹角余弦公式计算求解. 【详解】因为向量，，且向量在向量上的投影向量为， 则，所以， 所以. 故选：C. 【针对训练】 1．（23-24高一下·广东中山·月考）已知向量，若，，则向量在方向上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，，，求得，，再根据投影向量的计算公式，即可求解. 【详解】因为，， 所以，解得，所以， 又，，所以，解得，所以， 所以，， 故向量在方向上的投影向量为. 故选：A． 2．已知向量，且在上的投影为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助投影向量定义计算可得，则可得，再借助模长公式计算即可得. 【详解】，故， 则，故. 故选：A. 3．（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知及投影向量的求法求向量在向量上的投影向量即可. 【详解】向量在向量上的投影向量为. 故选：B 【易错05：平面向量中的三角形“四心”问题】 1、重心. 若点是的重心，则0或（其中为平面内任意一点）.反之，若0，则点是的重心. 2、垂心. 若是的垂心，则或.反之，若，则点是的垂心. 3、内心. 若点是的内心，则有=0.反之，若=0，则点是的内心. 4、外心. 若点是的外心，则=0或.反之，若，则点是的外心. 【典例】 1．（24-25高一下·湖北·月考）已知、、是所在平面上的点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则为的重心 B．若，则为的外心 C．若为的外心，，则为的垂心 D．若，，则点轨迹一定通过的重心 【答案】ABC 【分析】利用三角形重心的向量表示可判断A选项；推导出，可判断B选项；利用平面向量数量积的运算得出，可得出，同理可得，，可判断C选项；利用正弦定理结合平面向量的线性运算可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，则， 即，故为的重心，A对； 对于B选项，因为， 所以，同理可得，故， 因此为的外心，B对； 对于C选项，因为为的外心，， 则， 所以， 所以，同理可得，，故为的垂心，C对； 对于D选项，因为，， 所以， 由正弦定理可得，故， 而是与同向的单位向量，是与同向的单位向量， 所以，记，，以、为邻边作平行四边形， 则平行四边形为菱形，则直线平分， 因为，故点的轨迹一定经过的内心，D错. 故选：ABC. 2．（24-25高一下·广东佛山·期末）（多选题）已知在中，，，，点为所在平面内一点，则（   ） A．若为的垂心，则 B．若为的重心，则 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则 【答案】ACD 【分析】根据垂心的性质及向量的线性运算判断A，根据重心分中线长度为，结合向量的线性运算可判断B，根据外心特征计算判断C，根据内心的性质即可得解判断D. 【详解】因为为的垂心，所以， 故，故A正确； 延长交于中点，如图，    因为点O是的重心，， 所以，故B错误； 如下图所示：    若为的外心，取线段的中点，连接，由垂径定理可知， 所以，， 同理 则，故C正确； 如图，    若为的内心，则，过作， 则， 由余弦定理得，所以， 设内切圆半径为，所以，所以， 因为，所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 【针对训练】 1．（23-24高一下·安徽·月考）（多选题）点O为所在平面内一点，则（    ） A．若，则点O为的重心 B．若，则点O为的内心 C．若，则点O为的垂心 D．在中，设，那么动点O的轨迹必通过的外心 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合平面向量的线性运算法则，结合三角形的重心、内心、垂心和外心的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由点O为所在平面内一点，且，可得， 则以为邻边作平行四边形，可得，且， 设，根据平行四边形法则，可得为的中点，即为上的中线， 同理可证：延长也过的中点，所以为的重心，所以A正确； 对于B中，由向量表示方向的单位向量，表示方向的单位向量， 可得四边形是菱形，则， 因为， 所以，即，即和共线，即是的角平分线， 同理可得是的角平分线，即是的内心，所以B正确. 对于C中，如图所示，取分别为的中点， 根据向量的平行四边形法则，可得， 因为，可得， 所以，所以点在线段的垂直平分线上， 所以点为的外心，所以C不正确； 对于D中，由, 因为，可得， 即， 设为的中点，可得， 所以，即，且为的中点， 所以动点O的轨迹必通过的外心，所以D正确. 故选：ABD. 【易错06：解三角形中解的个数问题】 两边和其中一边的对角，求其它的边和角时，由于正弦函数在在区间内不单调，此时三角形解的情况可能是无解、一解、两解，此时可通过大边对大角进行分析，也通过几何法来判断三角形解的个数。 【典例】 1．（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）（多选题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，分别根据下列条件解三角形，其中有唯一的解是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】AD 【分析】由正弦定理可得，根据条件求得的值，根据与的大小判断角的大小，从而判断三角形的解的个数． 【详解】由正弦定理可得， 若A成立，，，，有， ∴，∴，故三角形有唯一解； 若B成立，，，，有，∴，又， 故，故三角形无解； 若C成立，，，，有 ，∴，又， 故，故三角形有两个解； 若D 成立，，，，有， ∴，由于，故三角形有唯一解． 故选：AD． 2．（24-25高一下·甘肃白银·期末）（多选题）在中，，．若有两个解，则的取值可能为（   ） A．9 B．8 C．10 D．11 【答案】ACD 【分析】根据有两个解，可得，解不等式即可得解. 【详解】在中，，， 因为有两个解，所以， 即，故，结合选项可知ACD符合题意． 故选：ACD 【针对训练】 1．（24-25高一下·浙江·期中）（多选题）根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】BC 【分析】利用正弦定理，结合正弦值求角有两解时，则需要判断角与边的对应关系，即大边对大角是否满足，若两角都满足就两解，若只有一个角满足就一解. 【详解】对于A，由正弦定理得：，解得， 根据，可得：，显然不满足内角和为，故A错误； 对于B，由正弦定理得：，解得， 根据，且，仅存在一个锐角满足，故B正确； 对于C，由正弦定理得：，解得， 根据，可得：，显然满足唯一解，故C正确； 对于D，由正弦定理得：，解得， 根据，且，可得一个锐角和钝角都满足题意，故D错误； 故选：BC. 2．（24-25高一下·安徽合肥·期末）（多选题）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且该三角形有两解，则b的值可以为（   ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】CD 【分析】根据三角形解的个数知，当时，该三角形有两解，可得到的取值范围，即可求解． 【详解】解：当时，即时，即时，该三角形有两解． 故选：CD． 【易错07：直接将a、b、c=sinA、B、C（或者反过来）】 什么情况下边化角? （1）当每一项都有边且次数一样时，采用边化角 （2）当每一项都有角《》且次数一样时，采用角化边 （3）当每一项都是边时，直接采用边处理问题 （4）当每一项都有角《》及边且次数一样时，采用角化边或变化角均可 【典例】 1．（24-25高一下·重庆·期中）已知中内角满足，则角(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过正弦定理将已知条件转化为边角关系，结合基本不等式和三角函数的最值可求. 【详解】由正弦定理边角互化得到. 由余弦定理，可得，即.即 因为（当且仅当时取等号），所以. 根据辅助角公式可得. 所以，即. 又因为，所以. 因为，所以，解得. 故选：A. 【针对训练】 1．（24-25高一下·甘肃庆阳·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的外接圆的半径为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】由正弦定理、逆用两角和的正弦公式、诱导公式即可求解. 【详解】设所求为，由题意， 在三角形中，解得. 故选：A. 【易错08：忽略一些关键条件（例如锐角三角形）】 处理三角形中的三角函数问题时一定深挖三角形中的隐含条件，如三角形是锐角三角形时，则三角形的三个内角都是锐角，而三角形是钝角三角形时，只需要三角形最大的内角是钝角. 【典例】 1．（24-25高一下·四川成都·期末）锐角的内角所对应的边分别为，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正余弦定理，变形已知条件，求出与角的余弦之间的关系，根据锐角三角形，求出角的范围，求出结果. 【详解】已知，又因为， 所以，解得， 所以，即， 由，得， 由，得，化简得， 即， 可得或者（舍），所以， 因为为锐角三角形，所以，即，解得， 所以，所以，所以， 故选：C. 【针对训练】 1．（24-25高一下·湖北·月考）在锐角中，分别是角所对的边，已知，且则锐角面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理进行边角转化，求得，再用角表示三角形面积，利用正弦函数的性质，结合二倍角公式和辅助角公式化简求值域即可. 【详解】且 根据正弦定理得整理得 解得 的面积， 为锐角三角形且， ，则， ，则 故选：C. 【易错09：解三角形在实际问题中的应用】 【典例】 1．（24-25高一下·江苏南通·月考）如图，A，B，C为山脚D，E两侧共线的三点，在山顶P处测得A，B，C处的俯角分别为60°，75°，45°，并测得，，，则隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中，利用正弦定理可得，在中，利用正弦定理可得，从而结合已知的数据可求得隧道的长度， 【详解】在中，，， 由正弦定理得， 在中，，， 由正弦定理得， 所以. 故选：C 2．镇国寺塔亦称西塔，是一座方形七层楼阁式砖塔，是全国重点文物保护单位、国家3A级旅游景区．小胡同学想知道镇国寺塔的高度，他在塔的正东方向找到一座高为7.5m的建筑物，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得建筑物顶部A，镇国寺塔顶部M的仰角分别为15°和60°，在A处测得镇国寺塔顶部M的仰角为30°，则镇国寺塔的高度约为（    ）（） A．37.52m B．35.48m C．33.26m D．31.52m 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用直角三角形边角关系、正弦定理列式计算即得. 【详解】因为， 在中，， 在中，，， 则， 由正弦定理得，则， 所以， 即镇国寺塔的高度约为35.48m． 故选：B. 【针对训练】 1．小河的对岸有一棵树，设树底为，树顶为．如图，为了测量这棵树的高度，在河的另一侧选取两点，使得在同一水平面上，且三点共线，米．若在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为，则这棵树的高度（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】先根据正弦定理求出的长度，然后在直角三角形中根据边长关系求解出结果. 【详解】在中，，，米， 在中，由正弦定理可得，所以， 又因为， 所以，解得米， 在中，，米， 所以米， 故选：D. 2．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内，在A点测得在A的南偏东的方向上，在A的南偏东的方向上，在点测得在的南偏西的方向上，在的南偏东的方向上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据图形求得角度，然后利用正弦定理得到，最后使用余弦定理计算即可. 【详解】由题可知：， 所以， 所以在中，, 在中， 在中，. 故选：C 1．（24-25高一下·云南曲靖·期末）在中，D为BC中点，且满足，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知用表示出，结合已知确定参数值. 【详解】因为D为BC中点，所以， 由题意，即. 故选：D 2．（24-25高一下·山东泰安·期末）已知向量，不共线，且向量与共线，则实数的值为（    ） A．或 B．或3 C．或2 D．2 【答案】C 【分析】根据向量共线的线性表示，可得，使，在利用向量相等的条件构建方程组，解方程组即可. 【详解】因为向量，不共线，所以， 又向量与共线， 所以，使， 则，解得或2. 故选：C. 3．（24-25高一下·江苏镇江·期末）设，是平面内的一组基底，，，，则共线的三点为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】由，，排除ABC，由可说明D符合题意. 【详解】，是平面内的一组基底， ，，， 因为，，， 则与，与，与不共线， 所以不共线，不共线，不共线，故排除ABC， 注意到， 即，所以点是线段的中点，故D符合题意. 故选：D. 4．（24-25高一下·广东深圳·期中）若是的重心，且（为实数），则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】结合图形，利用三角形重心的性质以及平面向量基本定理即可求得. 【详解】 如图，延长交于点，因是的重心，则点为的中点， 则，代入整理得， 因点在上，故得，则. 故选：B 5．（24-25高一下·江苏淮安·月考）若向量，向量在方向上的投影向量为，则m值可能为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的计算公式，结合数量积与模长的坐标表示，可得答案. 【详解】向量在方向上的投影向量为， 所以，解得或， 故选：C. 6．已知向量，，则“”是“向量与的夹角为锐角”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由充分条件和必要条件的概念以及向量数量积的应用，进行判断即可. 【详解】若，则，解得． 若向量与的夹角为锐角，则且，所以且，解得． 故“”是“向量与的夹角为锐角”的必要不充分条件． 故选：C. 7．（24-25高一下·辽宁·期末）已知向量，向量，且与方向相反，若向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的共线求得的值，结合与方向相反确定，根据投影向量的定义即可求得答案. 【详解】由题意知向量，共线， 故，解得或， 又因为与方向相反，故，所以，又， 则在方向上的投影向量是， 即在方方向上的投影向量的坐标是， 故选：D. 8．（24-25高一下·浙江·月考）已知向量，若在上的投影向量为，则向量与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量公式得到，利用夹角公式求出答案. 【详解】投影向量，所以， 其中，所以．即， 又， 所以. 故选：C 9．（24-25高一下·安徽合肥·期末）在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据各选项的条件，结合正弦定理解三角形，判断解的个数，即可得答案. 【详解】对于A，，则，只有一解，A不符合题意； 对于B，，满足，只有一解，B不符合题意； 对于C，，则， 故，结合， 故B有两解，分别在以及之间，C符合题意； 对于D，，则， 故，此时无解，D不符合题意， 故选：C 10．（24-25高一下·河北·期末）已知的内角的对边分别为，若有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有两解，列不等式求解可得结果. 【详解】如图，在中，，则有两解的充要条件为：， 即. 故选：B. 11．（24-25高一下·山东·期中）已知的内角的对边分别是，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理边化角，再根据两角和的正弦公式及诱导公式即可求解． 【详解】， 因为，所以，则，即， 故选：C． 12．已知平面向量，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据可计算的值，利用投影向量的公式可得结果. 【详解】由题意得，. ∵， ∴，即， ∴，∴， ∴在方向上的投影向量为. 故选：C. 13．（24-25高一下·河南南阳·期末）如图，某观察站B在城A的南偏西的方向，由城A出发的一条公路走向是南偏东，在B处测得公路上距B处的C处有一人正沿公路向A城走去，走了之后到达D处，此时B，D间的距离为．要达到A城，这个人还要走（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在中，利用余弦定理得，进而得，即可得，利用两角和的正弦公式得，最后由正弦定理即可求解. 【详解】由题意有：，在中，由余弦定理有：， 又，所以， 所以， 所以， 又， 在中，由正弦定理有：，所以. 故选：A. 14．在中，内角A，，的对边分别为，，，，则的形状一定为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】利用正弦定理边化角计算即可. 【详解】在中，， 则由正弦定理得：则， 因为三角形中，，故， 所以，则的形状一定为等腰三角形． 故选：B 15．（24-25高一下·福建福州·期末）如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理求出,再根据正切函数定义求解. 【详解】在中，，，，则夹， 由正弦定理可得： 故选：B. 16．（24-25高一下·广东云浮·期末）如图，某河流两边有（在同一个平面内）四点，已知两个观察点在河的南岸，二者间的距离为，为了测量在河的北.岸两个目标点间的距离，某小组测得，则两个目标点间的距离为（    ） A． B． C．， D． 【答案】C 【分析】在中，求得则，再在中，求得，利用正弦定理求得，在中，结合余弦定理，即可求解. 【详解】在中，由， 则. 在中，可得， 由正弦定理，可得，解得， 在中， 由余弦定理， 可得，解得， 所以两个目标点间的距离为. 故选：C. 17．（24-25高一下·湖北荆州·期末）设的内角所对应的边分别为，，，其面积，若的周长为1，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理得，代入即可求得，再利用正弦定理将边转化为角即可求解. 【详解】由正弦定理有，为的外接圆半径， 所以， 所以， 所以，即，又的周长为1，所以， 所以， 故选：C. 18．已知的外接圆半径为4，，，则的面积S为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理、面积公式、二倍角的正弦公式求解. 【详解】由，， 解得， 由正弦定理可得，， 所以， ， . 故选：D 19．已知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据可判断四边形的形状，由外接圆可进一步判断其形状及角度，从而根据投影向量的概念求解. 【详解】由知，即， 又三点构成，所以，所以四边形是平行四边形，如图： 又的外接圆圆心为，所以， 所以平行四边形是菱形，且，即与的夹角为， 设菱形的边长为. 则在上的投影向量为. 故选：D. 20．在中，，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由题意及余弦定理、三角恒等变换等得，即，再根据正弦定理得到，从而得解. 【详解】因为，由正弦定理可得：，即， 所以 , 当且仅当，即时取等号， 即，所以正弦定理可得：，故的最大值为. 故选：A. 21．在正六边形ABCDEF中，点M在边BC和边CD上运动（含端点），设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用向量加法的平行四边形法则，分类讨论，得到取值范围，进而的取值范围，得到答案. 【详解】如图所示，由向量加法的平行四边形法则知， 当点M在边BC上由点B向点C运动时，的值由1增大到2，的值由0增大到1，的取值范围是； 当点M在边CD上由点C向点D运动时，的值恒为2，的值由1增大到2，的取值范围是. 综上，可知的取值范围是. 故选：D.    22．在钝角中，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理、两角差的正弦公式和正切函数的性质求解即可. 【详解】由正弦定理得， 所以， 因为钝角中，， 当为锐角时，，得，则， 所以，则，所以； 当为钝角时，，得，则， 所以，则，所以； 综上：． 故选：C. 23．在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题设等式，利用正弦定理化边为角与和角公式化简计算，求得，利用正弦定理将所求式整理化成正弦型函数，借助于锐角三角形，求得角的范围，结合正弦函数的图象性质，即可求出其范围. 【详解】由和，可得， 由正弦定理，，即， 因，故得， 因是锐角三角形，故，则有，从而，. 又由正弦定理，， 即得 于是 ， 由可得， 则，故， 故的取值范围为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查正、余弦定理在求解三角形中的应用，属于难题. 解题关键是，首先要将代入已知等式，将其化成边的齐次型，为正弦定理化边为角创造条件，再次，要会将的范围通过定理转化为角的三角函数问题，利用正（余）弦型函数的值域求其范围即可. 24．（24-25高一下·广东佛山·期末）（多选题）已知在中，，，，点为所在平面内一点，则（   ） A．若为的垂心，则 B．若为的重心，则 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则 【答案】ACD 【分析】根据垂心的性质及向量的线性运算判断A，根据重心分中线长度为，结合向量的线性运算可判断B，根据外心特征计算判断C，根据内心的性质即可得解判断D. 【详解】因为为的垂心，所以， 故，故A正确； 延长交于中点，如图，    因为点O是的重心，， 所以，故B错误； 如下图所示：    若为的外心，取线段的中点，连接，由垂径定理可知， 所以，， 同理 则，故C正确； 如图，    若为的内心，则，过作， 则， 由余弦定理得，所以， 设内切圆半径为，所以，所以， 因为，所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 25．（24-25高一下·江苏徐州·月考）（多选题）设点，，，分别为三角形的重心､垂心､外心和内心，则下列结论正确的是（   ） A．； B．若且，则； C．若，，则； D．若，则． 【答案】ACD 【分析】利用向量的线性运算结合重心的性质可判断A的正误，对于B，将选项的向量关系式变形后平方求数量积，从而判断其正误，对于C，利用向量的线性运算结合角平分线的性质、平面向量基本定理可求的值，故可判断其正误，对于D，对选项中的向量等式分别乘以向量后结合数量积的定义可求，故可判断其正误. 【详解】对于A，延长，交与，则为的中点， 故，而为三角形重心，故， 故即，故A正确； 对于B，因为，所以， 所以， 故，故，故B错误； 对于C，，则为等腰三角形， 延长交于，则为的中点，且， 由角平分线的性质可得，所以， 故， 而不共线，故，故，故C正确； 对于D，因为为垂心，故，故 ， 故，故，同理， 因为，所以， 所以，同理，故， 所以， 故D正确； 故选：ACD. 26．已知，与的夹角为45°，求使向量与的夹角是锐角，则的取值范围 . 【答案】 【分析】由题意，根据向量夹角为锐角，可得其数量积大于零的不等式，且可得向量不共线，可得不成比例的不等式，可得答案. 【详解】， 由向量与的夹角是锐角，，解得或； 且向量与不共线，则，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 27．（24-25高一下·河南漯河·期末）如图，在中，，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意结合三点共线可得，再结合平面向量基本定理可得，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解. 【详解】因为三点共线，则，且， 且，，即，， 可得， 又因为，则， 可得，则，可得， 显然，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 28．（23-24高一下·江苏·期中）若的面积为，且为钝角，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式、余弦定理求出角，再利用正弦定理边化角，结合差角的正弦及正切函数的性质求出范围. 【详解】在中，， 由余弦定理得，则有，即， 而，于是，，又为钝角，则， 因此， 显然，所以. 故答案为： 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $