2026年中考数学专题突破：图形的相似（广东省适用）

2026年中考数学专题突破：图形的相似（广东省适用） 一、选择题 1．如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 2．若两个相似三角形的面积比是，则它们的周长比是（　　） A． B． C． D． 3．如图所示为测量小玻璃管口径的量具ABC，AB 的长为3cm，AC 被分为6等份.若小玻璃管口 DE 正好对着量具上2等份处(DE∥AB)，则小玻璃管口径 DE 的长为 (　　) A．1cm B．cm C．2cm D． 4． 如图，有下列四个条件：① ∠B =∠C；②∠ADB=∠AEC；③ AD ： AC=AE ：AB；④ PE ： PD=PB ： PC.其中，能使△BPE∽△CPD 的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5． 如图，在△ABC中， AD和BE分别是BC， AC边上的高， 且相交于F点， 若 则 的值为(　　) A．2 B． C．3 D． 6．如图，P为AB为直径的半圆周上一点，点C在∠PAB的平分线上，且CB⊥Ab于 B， PB交 AC于点 E， 若 AB=4， BE=2， 则 PE的长为(　　) A． B． C．1 D． 7．已知，相似比为，若的面积为4，的面积为9，则m的值是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，正方形与正方形关于点P位似．若点B、E、G的坐标分别为、、，则点P的坐标为（　　） A． B． C．或 D．或 9．如图，四边形ABCD为正方形，延长CB至点E，使得，连接AE，过点C作CH⊥AE于点H，则的值为（　　） A． B． C． D． 10．如图，正方形ABCD中，点N为AD边上一点，连接BN，过点P作AP⊥BN于点P，点M为AB边上一点，且∠PMA=∠PCB，连接CM.下列结论：①△PAM∽△PBC；②PM⊥PC；③若点N为AD中点，则S△PCN=2；④AN=AM.正确的个数有（　　） A．1个 B．4个 C．3个 D．2个 二、填空题 11．若（a+b）：b=3：2，则a：b=　 　. 12．如图，利用标杆DA测量楼高，点C，A，B在同一直线上，DA⊥CB，EB⊥CB，垂足分别为A，B.若测得影长AB=16米，DA=3米，影长CA=4米，则楼高EB为 　 　 米. 13．如图，小颖为测量学校旗杆的高度，她在C处放置一块镜子，然后退到D处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部A．已知小颖的眼睛E离地面的高度，她离镜子的水平距离，镜子C离旗杆的底部B处的距离，且B，C，D三点在同一水平直线上，则旗杆的高度为　 　． 14．如图，正方形的面积为，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形四边形．若，则四边形的面积为　 　． 15．如图，已知矩形ABCD，AD=8，DC=10，将△ADG延AG翻折得△AEG，将△CGH延GH翻折得△GFH，点F正好落在GE所在直线上，问当CH=3时，AF= 　 　 . 16．如图1，在矩形中，，，点、在、上，且，将四边形绕点逆时针旋转角，连接、相交于点，旋转后的图形如图2所示，则此时的值为　 　． 三、解答题 17．已知，，为的三边长，且，，求三边的长。 18．如图，在中，，过点C作于点D，以AD为直径作交AC于点E，过点E作交于点F，交AD于点M，连接AF. （1）求证：. （2）求证：. （3）若，，求FM的长（用含k的代数式表示）解答： 19．如图，在 中， ，P是边AB上的动点(不与点A，B重合)，Q是边AC上的动点(不与点A 重合)，且 过点B作 ，交射线 QP 于点D，连接AD，过点A 作 交PQ 于点 E. （1） 【特例感知】 如图①，当n=1时，求证：QE=BD； （2） 【类比探究】 如图②，当n=2时，连接BQ，若 求 的值； （3） 【拓展延伸】 连接BE，BQ，在点 P，Q的运动过程中，对于每个不同的n，线段BE的长度都存在一个最小值，求此时 的值(用含 n的代数式表示). 20．如图1，在中，，过A，B，D三点的交BC于点E，连接DE。 （1）求证：为等边三角形。 （2）如图2，连结AC，分别交DE和于点F，G，若，。 ①求AC的长； ②求的值。 21．如图，在矩形ABCD中，过点作．连接BE交边AD于点，连接BF交边CD于点． （1）［认识图形］求证：． （2）［研究特例］若，直接写出与的值． （3）［探索关系］若（是常数），设，求关于的函数表达式． （4）［应用结论］若，求AB的长． 答案解析部分 1．【答案】D 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】D 6．【答案】A 7．【答案】A 8．【答案】D 9．【答案】D 10．【答案】B 11．【答案】1：2（表示为亦可） 12．【答案】12 13．【答案】 14．【答案】 15．【答案】 16．【答案】 17．【答案】解：设 （），则 ，， ，， 故 三边的长分别为 6、9、12 18．【答案】（1）证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB. ∵EF// BC， ∴∠BMF=∠B，∠AEM=∠ACB， ∴∠BMF=∠AEM. （2）证明：连结 FD. ∵CD⊥AB， ∴∠CDB=90°. ∵AD为直径， ∴∠AFD=90°， ∴∠CDB=∠AFD. ∵∠1=∠MEA=∠ACB=∠B， ∴△CDB∽△AFD， ，即. （3）解：过点A 作AH⊥BC于点H. ∵BC=1， BD=k， ∴cos B=k. ∵AB=AC， ∴BH =CH= ∴AB= ∴AD= ∵∠BMF=∠AEM，∠AEM=∠1， ∴∠BMF=∠1， ∴FM=FD. ∵cos∠1=cosB= k， ∴FM =FD= AD·cos∠1=-k2 19．【答案】（1）证明：当n=1时，AQ=AC， ∵ ∴∠BDP=90°， ∵∠BDP+∠DBP+∠DPB=180°，∠BAC+∠AQE+∠APC=180°， 又∠DPB=∠APC，∠BAC=90°， ∴∠DBP=∠AQE， ∵ ∴∠DAE=90°， ∴ ∠DAP+∠PAE=90°， ∵∠BAC=90°， ∴∠PAE+∠EAQ=90°， ∴∠DAP=∠EAQ， 又AB=AC， ∴AB=AQ ∴DAB△≌△EAQ， ∴QE=BD. （2）解：如图，过点Q作QH⊥BC，则∠QHB=∠QHC=90°， 当n=2时，，即AC=2AQ=2QC， ∵ ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∴∠HQC=45°， ∴QH=CH， 令QH=CH=a， 则AQ=QC=a，AB=AC=2a， ∴BC=4a， ∴BH=BC-CH=3a， ∴tan∠HBQ=， 易证△APQ∽△DPB， ∴， ∴， 又∠APD=∠QPB ∴△APD∽△QPB， ∴∠DAB=∠BQP， ∵ ∴∠DAB=∠ABC=45°， ∴∠BQP=45°， ∴∠CBQ=∠AQP， 即∠AQP=∠HBQ， ∴tan∠AQP=tan∠HBQ=， ∴=， 又AQ=CQ=， ∴AP=， ∴BP=AB-AP=， ∴. （3）解：如解图①，取 BQ 的中点 O，连接DO，AO，则BO=OQ， ∵∠BDQ=∠BAQ=90°， ∴BO=DO=AO=QO， ∴点B，D，A，Q在以点 O 为圆心、BQ为直径的圆上， 过点A，E，Q三点作⊙O'，连接AO'，OO'，QO'，EO'， 在⊙O中， 在 ⊙O' 中， 同 理 可 得 ∠QAE = 由(1)知，∠BAD=∠QAE， ∴∠BOD=∠QO'E， ∵BO=DO，QO'=EO'， ∴ ∠OBD = ∠ODB = ∠O' QE =∠O'EQ， 在△BDQ中，∠BDQ=90°， ∴∠OBD+∠OQD=90°， 即 ∵OA=OQ，O'A=O'Q，O'O=O'O ∴△OAO'≌△OQO'(SSS) ∴ 当n一定时，点 Q 固定，点 O'也固定， ∵对于每个不同的 n，线段 BE 都存在一个最小值， ∴当B，E，O'三点共线时，BE取最小值，如解图②， ∵OA=OQ，O'A=O'Q， ∴OO'垂直平分AQ， ∵∠BAC=90°，即BA⊥AC， ∴BA∥OO'， ∴∠ABQ=∠QOO'， ∴ tan ∠ABQ= tan ∠QOO'， 设QO'=x，则QO= nx， ∴BQ=2nx， 在 Rt△BO'Q 中，由勾股定理，得 即 20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠C=∠DAB=60°， ∵四边形ABED是圆内接四边形， ∴∠DEC=∠DAB=180°-∠DEB=60°， ∴△CDE为等边三角形. （2）解：①过C作CM⊥AB交AB延长线于点M， 由(1)知△CDE为等边三角形， ∴CD=CE=DE=2， 在中，∠DAB=60°， ∴∠ABC=120°，AB=CD=2， ∴∠CBM=60°， ∵CE=2，BE=4， ∴BC=6， 在Rt△CBM中，BM=BC·cos60°=3，， ∴AM=AB+BM=5， 在Rt△ACM中， ； ②∵AD//AC， ∴△FAD∽△FCE， ∴， ∴，，， ∵ ， ∴∠DAF=∠DEG， 又∵∠DFA=∠GFE， ∴△FEG∽△FAD， ∴， ∴， ∴​​​​​​​ 21．【答案】（1）解：矩形ABCD， ． ． ， ． ． ． （2） （3）解：作于点，作于点， ， ． ， ． ， ， ． ． ． 又， ． ． ． ． （4）解：， ， ， ． ， ． ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $