2026年中考数学专题突破：二次函数（广东省适用）

2026年中考数学专题突破：二次函数（广东省适用） 一、选择题 1．二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（　　） A． B． C． D． 2．抛物线的对称轴是（　　） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 3．点P1（﹣1，y1），，P3（6，y3）均在二次函数y＝mx2﹣2mx+1（m＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2 4．在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 5．将抛物线y=2x向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（　　） A．y=2（x+1）2-2 B．y=2（x-1）2-2 C．y=2（x-2）2-1 D．y=2（x+2）2+1 6．已知抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．如图，某建筑队在一边靠墙处，计划用15 米长的铁栅栏围成一个长方形仓库，仓库总面积为y平方米，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设AB=x米，则y关于x的函数关系式为（　　） A．y=x（14-2x） B．y=x（15-2x） C．y=x（16-2x） D．y=x（16-x） 8．如图，平面直角坐标系中，抛物线经过点和是抛物线上第四象限内一动点，过点作轴的垂线，垂足为，当取最大值时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 9．二次函数（为常数，且）的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④图象过点．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 10．已知点和是抛物线上的两点，那么的值是　 　． 11．设二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），如表列出了 x、y的部分对应值． x … -5 -3 1 2 3 … y … -2.4 m -2.4 0 n … 不等式ax2+bx+c＞0的解集是 　 　 ． 12．已知抛物线(a≠0)的图象经过点A(2，3)，B(m＋1，4)，C(n－3，k)，若m＋n＝4，则k的值为　 　． 13．在直角坐标系中，设二次函数 (m，n为实数).若点 都在该函数的图象上，则k1，k2之间满足的等量关系是　 　 14．某店购进一批单价为40元的画册，如果按每本60元出售，那么平均每天可售出100本，经试销统计发现，如果画册售价每降低1元，那么平均每天就能多售出10本(售价不低于成本价)，若降价x元，则平均每天的利润w(元)与降价x(元)之间的函数关系式为　 　. 15．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为　 　． 16．在平面直角坐标系xOy中，抛物线.经过点O 和点A(-3，-3a)，下面有四个结论： ①b=4a； ②a+b+c<0； ③若点(1，m)在该抛物线上，则方程 的两个根为 ④过点T(t， 0)(t>-3) 作x轴的垂线， 交该抛物线于点B， 交直线y= ax于点C，若线段BC的长度随t的增大而减小，则t的取值范围是 其中所有正确结论的序号是　 　. 三、解答题 17．已知二次函数（为常数）的顶点横坐标比二次函数的顶点横坐标大1． （1）求的值； （2）设点在抛物线上，点在抛物线上． ①若，，求的值；②若，求的最小值． 18．2025年央视元宵晚会上，一根来自湖北的长达2.33米、9节9孔的“藕王”惊艳亮相，瞬间吸引了全网目光.每逢冬季，排骨藕汤是湖北人餐桌上必不可少的美食.某餐饮店主打藕汤，每份成本为5元，当每份售价为25元时，平均每天可以卖出 120 份.经市场调研发现：若每份的售价每上涨1元，每天要少卖出 5 份；若每份的售价每下降1元，每天可多卖出10份. （1）若每份的售价上涨2 元，则平均每天的销售量为　 　份；若设每份的售价下降x元，则平均每天的销售量为　 　份(用含x 的代数式表示). （2）若涨价销售，该餐饮店如何调整售价，才能使每天的利润为2415 元? （3）元旦假期，为保证藕汤的最佳口感，尽快减少库存，该餐饮店应如何调整售价才能使每天的利润最高? 19．已知抛物线（a，b为常数）经过点． （1）求抛物线的函数表达式． （2）若点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在抛物线的顶点处，求m，n的值． （3）点在抛物线上，且在第一象限，若点的纵坐标小于16，求点的横坐标的取值范围． 20．如图，抛物线交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点P在抛物线上，且，求点P的坐标； （3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值． 21．在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A(-3，0)，B(1，0)，与 y轴交于点C，顶点为 D，连结AD. （1） ① 如图①，直线CD 交直线.x=1于点E，连结OE.求证： ②如图②，P(2，-5)为抛物线 上一点，过点 P 作. 轴，垂足为G.直线DP 交直线x=1于点 H，连结HG.求证： （2）通过上述两种特殊情况的证明，你是否有所发现?请仿照(1)写出你的猜想，并证明，且在图③上画出草图.在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A(-3，0)，B(1，0)，顶点为 D，M为该抛物线上一动点(不与点A，B，D重合). 22．如图 1，过点 作 直线 于点 ，过点 作 轴交直线 于点 ．线段 的长度称为点 到直线 的竖直距离． 【探索】 （1）如图 1，设点 的坐标为 ，则点 到直线 的紧直距离即为 的长度，则 　 　．（用含 的代数式表示） （2）当直线 与 轴不平行时，点 到直线 的垂直距离 与点 到直线 的坚直距离 存在一定的数量关系，若此时直线 ，则 　 　AC （3）【应用】 如图 2，公园有一斜坡草坪（可看作线段 ），其倾斜角为 ，用喷水枪喷水的路径可看作抛物线 ，其最远处落在草坪的 处．若在山上种一棵树 （垂直于水平面），为了保证灌溉，树的最高点不能超过喷水路线，同时为了加固树，沿斜坡垂直方向加一根支架 ，请求出支架 的最大值． （4）【拓展】 如图3，原有斜坡倾斜角 不变，通过改造喷水枪使喷水路径可看作圆弧，此时，圆弧与 轴相切于点 ，若 ，为了保证灌溉山上种植的这棵树 （垂直于水平面），即树的最高点不能超过喷水路线，请问树高 的最大值是多少？ 答案解析部分 1．【答案】A 2．【答案】D 3．【答案】D 4．【答案】D 5．【答案】B 6．【答案】D 7．【答案】C 8．【答案】D 9．【答案】D 10．【答案】 11．【答案】或 12．【答案】4 13．【答案】 14．【答案】20) 15．【答案】22 16．【答案】①③④ 17．【答案】（1）4 （2）①或；②2 18．【答案】（1）110；(120+10x) （2）解：由题意，设涨价y元/份，则(25-5+y)(120-5y)=2415， ∴该餐饮店将售价上涨1元/份或3元/份时，才能使每天的利润达到2415元. （3）解：由题意，可采取降价促销.设售价下降x元/份，每天的利润为W元， ∵尽快减少库存， ∴采取降价促销. ∴每天的利润VW=(25-5-x)(120+10x)=- ∴将售价下降4元，能使每天的利润最高，达到2560元. 19．【答案】（1）解：把和代入， 得解得 抛物线的函数表达式为． （2）解：， 抛物线的顶点坐标为， 解得 （3）令，则，解得． 令，则，解得． 点在抛物线上，且在第一象限， 由图象可得，的取值范围是或． 20．【答案】解：（1）∵抛物线交轴于点，交轴于点， ∴， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）∵抛物线的解析式为， ∴令，得， 解得：， ∴， 设， ∵， ∴， 整理得：或， 解得：或， ∴点的坐标为或或； （3）设直线的解析式为， 将，代入解析式，得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，其中，则， ∴， ∴当时，有最大值为． 21．【答案】（1）解：①把A(-3，0)，B(1，0)代入 得 解得 易得 D(-1，4)，C(0，3). 设直线CD 对应的函数表达式为y=mx+n.把C(0，3)，D(-1，4)代入，得 解得 ∴ 直线 CD 对应的函数表达式为y=-x+3. ∴当x=1时，y=-1+3=2. ∴ E(1，2). ∴ 易得直线 OE 对应的函数表达式为y=2x. 同理，可得直线AD 对应的函数表达式为y=2x+6. ∴ AD∥OE. ②设直线 DP 对应的函数表达式为y= ex+f.把D(-1，4)，P(2，-5)代入，得 解得 ∴ 直线 DP 对应的函数表达式为y=-3x+1. ∴当x=1时，y=-3×1+1=-2. ∴ H(1，-2). 由题意，得G(2，0).同理，可得直线GH 对应的函数表达式为y=2x-4. ∵直线AD 对应的函数表达式为y=2x+6， ∴ AD∥HG. （2）解：如图， 过点 M 作MN⊥x轴于点N，直线 DM 交直线x=1于点 Q，连结NQ，则QN∥AD. 设 则 N(m，0).设直线 DM 对应的函数表达式为y= px+q.把 D(-1，4)，M(m， 代 入，得 解 得 ∴ 直线 DM 对应的函数表达式为y=-(m+1)x+(-m+3). ∴当x=1时，y=-m-1-m+3=-2m+2. ∴ Q(1，-2m+2). 同理，可得直线 NQ 对应的函数表达式为y=2x-2m. ∵直线AD 对应的函数表达式为y=2x+6， ∴QN∥AD. 22．【答案】（1） （2） （3）解：如图 1，过点 作 交 于点 ，过 作 平行于 轴交 于点C． 称为点 到直线 的竖直距离 草坪倾斜角为 ． ． 设 横坐标为 ． 当 时， 最大， ． ． 此时 最大， ． （4）解： 圆弧与 轴相切． 圆心在 轴上，记圆心为 ． 过 作 交圆弧于 ，交 于 ． 过 作 轴垂线交 于 ， 此时 最大，即 最大． 学科网（北京）股份有限公司 $