小升初重难点应用题系列：长方体和正方体（奥数篇）（专项训练）-2025-2026学年六年级下册数学 人教版

2026年数学小升初重难点应用题系列：长方体和正方体（奥数篇） 1．景德镇瓷器是江西省特产，被誉为“瓷之源、瓷之魂”。下图是一种包装盒，把这样的4盒景德镇瓷器放入一个礼品盒（上面无盖）。（礼品箱的厚度忽略不计） （1）做这个礼品箱至少需要多少平方厘米的纸板？ （2）这个礼品箱的体积最少是多少立方分米？ 2．一个长方体通风管，长是10米，通风口的周长是50分米的正方形，做4个这样的通风管，共需要铁皮多少平方米？ 3．一个长方体玻璃缸，尺寸如图所示，往玻璃缸里倒入2.8分米高的水，接着往缸里投入一个正方体铁块。请问当分别投入正方体铁块A和正方体铁块B时，缸里溢出的水相差多少升？ 4．一根横截面是正方形的长方体木料，表面积为1290平方厘米。从一端锯下一个最大的正方体后，其表面积减少了100平方厘米，这根木料最多能锯多少个这样的正方体？（损耗忽略不计） 5．把一个棱长为6厘米的正方体切成棱长为2厘米的小正方体，可以得到多少个小正方体？它们的表面积之和比原来大正方体的表面积增加了多少？ 6．某古建筑景点定做了25个宫灯（如图，单位：厘米）。宫灯外侧有一层外饰面（上、下面除外）。如果外饰面每平方米18元，这些宫灯的外饰面一共要花多少钱？ 7．把一根长5米的长方体木料沿着横截面截成3段，表面积增加了24平方分米，原来这根木料的体积是多少立方米？ 8．要把一块长36厘米、宽20厘米的长方形铁皮做成一个无盖铁盒。 （1）请在上图中用虚线表示小张切割铁皮的方法。 （2）请用计算说明哪一种方法制作的铁盒装的物品多。 9．下面是一个包装盒的展开图缺少一个面，请在合适的位置画出来，并计算包装盒的表面积和体积。（单位：厘米） 10．从以下的图形中选择6个面（可重复选择），可以围出不同的长方体，这些长方体中，体积最大的那个，体积是多少立方厘米？    11．一个密封玻璃缸，从里面量长12分米、宽3分米、高6分米，现在缸里的水深5分米（图1）。 ①这个密封玻璃缸里装了多少升水？ ②如果将玻璃缸竖起来放（图2），那么缸里水深多少分米？ 12．如图所示：一个长方体的水槽，被一块玻璃隔板分成左、右两部分。A部分的底面积为25平方分米，B部分的底面积为15平方分米，水槽高为4分米。左边原来装满了水，现将隔板抽出，水槽里的水有多高？    13．如图，将一个长方体分割成两个小长方体，分别按A、B、C三种方式进行分割后，表面积分别增加了12平方厘米、24平方厘米、16平方厘米。原来这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 14．学校科技小组制做了一个长方体水漏，这个水漏长2.5分米，宽1.5分米，高2分米。经过试验，这个水漏装满水全部漏完要6小时。这个水漏平均每小时漏多少升水？ 15．下图是由棱长1分米的正方体拼摆而成的，这个拼摆而成的几何体的表面积是多少平方分米？体积是多少立方分米？至少要再摆上多少个这样的正方体就可以拼摆成一个棱长为4分米的大正方体？ 16．一块正方体木料，棱长是6厘米，在6个面的中央各挖走一个棱长是2厘米的正方体洞孔。这时它的表面积、体积各是多少？ 17．如图，一个棱长为25厘米的正方体密闭容器内装有一些水，在容器的底部粘着一个底面积为125平方厘米的长方体实心铁块，容器内水面高度恰好与铁块的上表面持平。把容器倒置过来后，仍有一部分铁块在水面以下，此时水面的高度为15厘米。这个长方体实心铁块的高度是多少厘米？ 18．有甲、乙两种长方体容器。甲容器长、宽、高分别为10cm、3cm、10cm，乙容器长、宽、高分别是5cm、4cm、15cm。已知甲容器中装有水，将其倾斜，水面刚好如下图所示。乙容器是空的。 （1）甲容器中水的体积是多少？ （2）如果将甲容器中的水倒一部分到乙容器，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么需要从甲容器中倒出多少水？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年数学小升初重难点应用题系列：长方体和正方体（奥数篇）》参考答案 1．（1）1256平方厘米 （2）4.16立方分米 【分析】（1）将4个长10厘米、宽8厘米、高13厘米的长方体放入礼品盒中，则纸盒的最小尺寸是长20厘米、宽16厘米、高13厘米，由于礼品盒是无盖，则至少需要纸板面积＝（长×高＋宽×高）×2＋长×宽，据此计算得出答案； （2）根据长方体体积＝长×宽×高，计算可得出答案。 【详解】（1）根据题意将4个瓷器放入礼品盒中，则礼品盒的长为10×2＝20厘米，宽为8×2＝16厘米，高为13厘米。则至少需要纸板面积为： （20×13＋16×13）×2＋20×16 ＝（260＋208）×2＋20×16 ＝468×2＋20×16 ＝936＋320 ＝1256（平方厘米） 答：做这个礼品箱至少需要1256平方厘米的纸板。 （2）体积最少为： 20×16×13＝4160（立方厘米）＝4.16立方分米 答：这个礼品箱的体积最少是4.16立方分米。 2．200平方米 【分析】要求做4个这样的通风管共需要多少铁皮，就是求4个长方体的侧面积，长方体侧面积＝底面周长×高，可以求出这样1个的通风管道所需铁皮，最后乘4即可求出做4个通风管共需要的铁皮的面积。注意单位的统一。 【详解】50分米＝5米 5×10×4 ＝50×4 ＝200（平方米） 答：共需要铁皮200平方米。 3．36升 【分析】观察图形可知，长方体玻璃缸的高是4分米，正方体A的棱长是4分米，正方体B是棱长是5分米，当把正方体B放入玻璃缸中还露出（5－4）分米，所以溢出水的体积等于底面边长是5分米，高4分米的长方体的体积减去棱长是4分米的正方体的体积。 【详解】5×5×4－4×4×4 ＝25×4－16×4 ＝100－64 ＝36（立方分米） 36立方分米＝36升 答：缸里溢出的水相差36升。 4．12个 【分析】锯下一个最大的正方体，这个正方体的棱长等于原来长方体的底面边长，从一端锯下一个最大的正方体后，其表面积减少了100平方厘米，实际上是减少的4个面的面积，由此可以求出锯下的正方体的一个面的面积（也就是原来长方体的底面积），进而求出正方体的棱长，用原来长方体的表面积，减去两个底面的面积，进一步求出原来长方体的4个侧面的面积；用侧面积除以4可以求出原来长方体的每个侧面的面积，再除以底面的边长即可求出木料的长；最后用木料的长除以每锯一次会损耗木料的长（也就是底面的边长），根据有余数的除法取值即可。 【详解】正方体一个面的面积：100÷4＝25（平方厘米） 25＝5×5，即正方体的棱长为5厘米， （1290－25×2）÷4÷5 ＝（1290－50）÷4÷5 ＝1240÷4÷5 ＝310÷5 ＝62（厘米） 62÷5＝12（个）……2（厘米） 答：这根木料最多能锯12个这样的正方体。 5．27个，432平方厘米 【分析】（1）求小正方体的个数的关系式为：大正方体的体积÷小正方体的体积＝小正方体的个数。 （2）表面积增加的平方数＝分成27个小正方体的表面积－原来大正方体的表面积。求27个小正方体的表面积，先求出1个小正方体的表面积，正方体表面积＝棱长×棱长×6。 【详解】6×6×6÷（2×2×2） ＝216÷8 ＝27（个） 2×2×6×27－（6×6×6） ＝648－216 ＝432（平方厘米） 答：可以得到27个小正方体，它们的表面积之和比原来大正方体的表面积增加了432平方厘米。 6．900元 【分析】宫灯分成两部分，上下两个长方体，外饰面的面积等于这两个长方体的侧面积之和，根据长方体的侧面积＝底面周长×高，据此求出一个宫灯外饰面的面积，再乘25求出25故宫灯外饰面的面积，最后用外饰面的面积乘每平方米的价格即可解答。 【详解】（66×4×20＋46×4×80）×25 ＝（5280＋14720）×25 ＝20000×25 ＝500000（平方厘米） 500000平方厘米＝50平方米 50×18＝900（元） 答：这些宫灯的外饰面一共要花900元。 7．0.3立方米 【分析】把一根长方体木料沿着横截面截成3段，表面积增加了4个横截面的面积。已知表面积增加了24平方分米，用24除以4即可求出长方体的横截面面积。长方体的体积＝底面积×高＝横截面面积×长，据此解答。需要注意单位换算。 【详解】24÷4＝6（平方分米）＝0.06平方米 0.06×5＝0.3（立方米） 答：原来这根木料的体积是0.3立方米。 8．（1）见详解。 （2）见详解。 【分析】（1）以宽20厘米为边长，剪出一个最大的正方形，剩下一个宽为36－20＝16厘米，长是20厘米的长方形，将16厘米的边平均分成4份，沿长剪下，形成4个宽为4厘米，长为20厘米的形状一样的长方形，将长与正方形的边长重合，形成底是边长20厘米正方形，高是4厘米的长方体。 （2）根据长方体容积＝长×宽×高，求得两个铁盒的容积，再比较大小即可。 【详解】 （1） （2）小李的方法： （36－5×2）×（20－5×2）×5 ＝（36－10）×（20－10）×5 ＝26×10×5 ＝260×5 ＝1300（立方厘米） 小张的方法： （36－4×4）×20×4 ＝（36－16）×20×4 ＝20×20×4 ＝400×4 ＝1600（立方厘米） 1600＞1300 答：用小张的方法制作的铁盒装的物品多。 9．图见详解；表面积：136平方厘米；体积：80立方厘米 【分析】根据长方体的展开图可知，该包装盒缺少一个底面，据此作图；再根据长方体表面积和体积的面积公式，代入相应数值计算即可解答。 【详解】如下图： 根据包装盒的展开图可知，这个包装盒是一个长为4厘米，宽为2厘米，高为10厘米的长方体。 表面积：（4×2＋4×10＋2×10）×2 ＝（8＋40＋20）×2 ＝68×2 ＝136（平方厘米） 体积：4×2×10＝80（立方厘米） 答：这个包装盒的表面积是136平方厘米，体积是80立方厘米。 【点睛】解答本题的关键是明确该包装盒是一个长方体，再结合长方体的特征即可完成解答。 10．1440立方厘米 【分析】要围出的长方体的体积最大，就要长方体的长、宽、高都最大；首先选择①作为上、下两个面，长是15厘米，宽是12厘米，然后选择②作为左、右两个面，则高是8厘米，④作为前、后两个面。根据体积的公式：V＝abh，代入数据即可求出长方体的体积。 【详解】根据分析得，选择①②④这几个面围成长方体。 长方体的长是15厘米，宽是12厘米，高是8厘米。 15×12×8＝1440（立方厘米） 答：体积是1440立方厘米。 【点睛】首先确定体积最大时的长、宽、高的数据，然后根据长方体的体积公式求解。 11．①180升； ②10分米 【分析】①玻璃缸内水的体积＝玻璃缸的长×玻璃缸的宽×玻璃缸内水的深度，最后把单位转化为“升”； ②玻璃缸竖起来放之后玻璃缸内水的体积不变，此时长方体的长为6分米，宽为3分米，利用“高＝长方体的体积÷长÷宽”求出玻璃缸内水的深度，据此解答。 【详解】①12×3×5 ＝36×5 ＝180（立方分米） 180立方分米＝180升 答：这个密封玻璃缸里装了180升水。 ②180÷6÷3 ＝30÷3 ＝10（分米） 答：缸里水深10分米。 【点睛】熟练掌握并灵活运用长方体的体积计算公式是解答题目的关键。 12．2.5分米 【分析】根据：长方体的体积＝底面积×高，先用A部分的底面积25平方分米乘高4分米，求出左边A部分的体积；将隔板抽出，那么水的底面积就是左、右两部分底面积之和，再根据：水的高＝水的体积÷底面积，将数据代入计算即可。 【详解】25×4÷（25＋15） ＝100÷40 ＝2.5（分米） 答：水槽里的水有2.5分米高。 【点睛】此题考查了体积的等积变形，关键理解题目再用公式解答。 13．52平方厘米 【分析】通过观察图形可知，用三种不同的方式把这个长方体分割成两个小长方体，每切割一次就增加两个切面的面积；从左往右，图A是平行于左右面切，增加2个宽×高的面积；图B是平行于前后面切，增加2个长×高的面积；图C是平行于上下面切，增加2个长×宽的面积；根据长方体的表面积＝长×宽×2＋长×高×2＋宽×高×2，三种方式切割增加的表面积之和就是原来长方体的表面积。 【详解】12＋24＋16 ＝36＋16 ＝52（平方厘米） 答：原来这个长方形的表面积是52平方厘米。 【点睛】明确立体图形切割时，增加的表面积是哪些面的面积。 14．1.25升 【分析】根据长方体的容积＝长×宽×高，计算出这个水漏里水的体积是多少，再用这个水漏里水的体积除以时间，由此计算出这个水漏平均每小时漏多少升水。 【详解】2.5×1.5×2 ＝3.75×2 ＝7.5（立方分米） 7.5立方分米＝7.5升 7.5÷6＝1.25（升） 答：这个水漏平均每小时漏1.25升水。 【点睛】本题解题关键是熟练掌握长方体的容积的计算方法和体积容积单位换算的方法。 15．54平方分米；18立方分米；46个 【分析】（1）边长1分米的正方形面积是1平方分米，相对的面小正方形的个数相等，观察正面、上面和右面小正方形的个数，将正面、上面和右面小正方形的个数相加并乘2，是这个几何体表面小正方形总个数，即表面积； （2）棱长1分米的正方体体积是1立方分米，共有4层，确定每层小正方体个数并相加，是小正方体总个数，即体积； （3）根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出棱长4分米大正方体中小正方体的个数，减去现有小正方体的个数即可。 【详解】（10＋7＋10）×2×（1×1） ＝27×2×1 ＝54（平方分米） （1＋2＋5＋10）×（1×1×1） ＝18×1 ＝18（立方分米） 4×4×4－18 ＝64－18 ＝46（个） 答：这个拼摆而成的几何体的表而积是54平方分米，体积是18立方分米，至少要再摆上46个这样的正方体就可以拼摆成一个棱长为4分米的大正方体。 【点睛】关键是掌握并灵活运用正方体体积公式，具有一定的空间想象能力。 16．312平方厘米；168立方厘米 【分析】观察图形可知，在正方体木料的6个面中央各挖走一个棱长2厘米的正方体洞孔，则每个面都减少了1个（2×2）的面，同时又露出了5个（2×2）的面，所以每个面比原来增加了4个（2×2）的面，那么表面积比原来增加了6个（2×2×4）的面积；先根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，求出棱长为6厘米的正方体木料的表面积，再加上6个（2×2×4）的面积，即是此时立体图形的表面积。 此时立体图形的体积＝正方体木料的体积－6个小正方体洞孔的体积，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算求解。 【详解】表面积： 6×6×6＋2×2×4×6 ＝216＋96 ＝312（平方厘米） 体积： 6×6×6－2×2×2×6 ＝216－48 ＝168（立方厘米） 答：这时它的表面积是312平方厘米，体积是168立方厘米。 【点睛】本题考查正方体的表面积、体积公式的运用，在求有缺口的立体图形的表面积时，要注意缺口的位置，原来这个位置有几个面，挖掉后露出了几个面，与原来的面相比较，是否一样，还是多了或少了，进而根据公式列式计算。 17．17厘米 【分析】由题意可知，水的体积不变，设这个长方体实心铁块的高度是厘米。左图中水面高度恰好与铁块的上表面持平，则水面高度是厘米，水的体积为（25×25×－125）立方厘米；右图中铁块在水下的高度为[－（25－15）]厘米，水的体积为25×25×15立方厘米减去125×[－（25－15）]立方厘米，据此列方程解答。 【详解】解：设这个长方体实心铁块的高度是厘米。 25×25×－125＝25×25×15－125×[－（25－15）] 625－125＝9375－125×[－10] 500＝9375－125＋1250 500＝10625－125 500＋125＝10625－125＋125 625＝10625 625÷625＝10625÷625 ＝17 答：这个长方体实心铁块的高度是17厘米。 【点睛】本题考查列方程解决问题，抓住水的体积不变得出等量关系，按等量关系列出方程。 18．（1）150cm3；（2）60cm3 【分析】（1）根据图意可知，甲容器中装水的体积是甲容器体积的一半，根据长方体的体积公式V＝abh，进行解答即可； （2）用甲容器中水的体积除以甲、乙容器的底面积之和，求出容器中水面的高度，再根据长方体的体积公式V＝abh，求出乙容器中水的体积，即是从甲容器倒出的水的体积，据此进行解答。 【详解】（1）10×10×3÷2 ＝100×3÷2 ＝150（cm3） 答：甲容器中水的体积是150cm3。 （2）150÷（10×3＋5×4） ＝150÷（30＋20） ＝150÷50 ＝3（cm） 5×4×3＝60（cm3） 答：需要从甲容器中倒出60cm3的水。 【点睛】本题考查了长方体体积的实际应用，灵活运用长方体的体积公式求解。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $