小升初重难点应用题系列：数与形（奥数篇）（专项训练）-2025-2026学年六年级下册数学 人教版

2026年数学小升初重难点应用题系列：数与形（奥数篇） 1．餐馆内有一种长方形桌子，每张桌子周围放4把椅子，如果客人多，就按如图所示的方式拼桌。 现有14位客人要坐在一起，一共需要拼几张桌子？（可以选择画一画或算一算等方法） 2．数字分别可用下图表示： 那么左下图表示______，在右下图中画出68的图： 3．用小棒搭房子。 （1）搭1间房子要（    ）根小棒，搭2间房子要（    ）根小棒，搭3间房子要（    ）根小棒。 （2）搭10间房子要（    ）根小棒，搭n间房子要（    ）根小棒。 （3）如果有65根小棒可以搭多少间房子？ 4．把棱长为2cm的小正方体摆放在地面上。 （1）如果按图1方式摆放50个这样的小正方体，有几个面露在外面？露在外面的面积是多少平方厘米？ （2）如果按图2方式摆放49个这样的小正方体，有几个面露在外面？露在外面的面积是多少平方厘米？ 5．摆一摆，找规律。 （1）依次摆下去，第6个图形是什么图形？ （2）摆第7个图形需要用多少根小棒？ （3）摆第n个图形需要用多少根小棒？ 6．用小棒摆六边形，按照下图所示的规律摆。 （1）摆4个六边形，需要几根小棒？摆n个呢？请写出思考过程。 （2）按这个规律摆80个六边形，需要几根小棒？ 7．三千多年前，埃及人发明了一种记录分数的方法，这些分数的分子为1，它们被称为“单位分数”，通过研究，小明发现一些分数可以很容易地拆分为两个不同的“单位分数”之和（或差）例如： ，； ，； （1）请根据上述拆分方法将下列分数拆分为“单位分数”的和或差： ＝ ；＝ ； （2）请运用上述拆分方法计算：。 8．如图，长边坐2人，短边坐1人，一张餐桌可坐6人。 （1）2张餐桌拼在一起最多坐几人？三张拼在一起呢？ ①先画一画：    ②再填一填：2张餐桌拼在一起最多可坐（    ）人，三张餐桌拼在一起，最多可坐（    ）人。 （2）按照上面的规律可知，n张桌子拼在一起最多可以坐（    ）人。 9．下图是由三角形构成的。    （1）填写下表。 图号 ① ② ③ ④ 白色三角形个数 （    ） （    ） （    ） （    ） 黑色三角形个数 （    ） （    ） （    ） （    ） （2）照这样的规律画下去，第10个图形中有多少个白色三角形、多少个黑色三角形？ 10．探索与发现：奇思在乘法口诀表上发现一组有趣的算式，如： 6×6＝36    5×7＝35    4×8＝32    3×9＝27    (1)根据上面这组乘法算式的特点，在上面右边横线上再写一组这样的算式。 (2)观察上述这两组算式，你发现乘数怎样变化会引起积怎样变化？ (3)奇思发现6×6和5×7之间的规律可以用字母表示出来，下面正确的是（    ）。 A．（a＋1）×（a－1）＝a2＋1 B．（a＋1）×（a－1）＝a2 C．（a＋1）×（a－1）＝a2－1 D．（a＋2）×（a－2）＝a2＋2 (4)根据上面发现的规律，如果2022×2022＝4088484，则2021×2023＝( )。 11．下面每个图形中灰色小正方形有多少个？ （1）观察规律，照样子在下面的括号内填上算式，并把第4幅图画在方框内。 （2）照这样的画下去，想一想，第20幅图形中有（    ）个灰色小正方形。 12．下面都是由边长为1厘米的小正方形拼成的大正方形。 …… （1）观察图形，完成表格。 图号 ① ② ③ ④ ⑤ 阴影部分边长（厘米） 1 2 周围正方形个数（个） 8 12 （2）以此类推，你知道图⑨中涂色部分的周围共有多少个小正方形吗？ 13．如图，堆三角形积木。 ①如果下层放6个，一共需要多少个三角形？ ②如果有169个三角形积木块，下层应放几个？ 14．用黑、白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的规律,拼成若干个图案。 第1个　　　　　第2个　　第3个 第4个图案中有白色地砖多少块?第9个图案呢?第n个图案呢? 15．下面是由长为2厘米、宽为1厘米的长方形组成的图形。 （1）根据上图与数的规律想一想，第8个图形所对应的数是多少？ （2）第3个图形的周长是多少？第n个图形呢？ 16．将一张正三角形的纸按下图形状折叠,展开后沿折痕剪开就剪出四个正三角形,我们把这称为第一次操作;再拿出其中一个正三角形,将它同样也剪成四个正三角形,我们称为第二次操作;再拿出其中一个正三角形,将它同样也剪成四个正三角形,我们称为第三次操作… (1)根据操作的情况把下表填完整． 操作的次数 最初 第一次 第二次 第三次 第四次 共有正三角形的个数 1 4 7 (2)如果这个操作可以一直继续下去,那么第m次操作后,一共有多少个正三角形?第几次操作后,一共剪出了40个正三角形? 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年数学小升初重难点应用题系列：数与形（奥数篇）》参考答案 1．6张 【分析】根据题意可知1张桌子4个人，2张桌子6个人，3张桌子8个人，可得到规律：每多1张桌子，会多2人，先用14－4求出第一张桌子坐满后多的人数，再除以2即可求出需要多加多少张桌子，再加上1即为一共需要拼几张桌子。据此解答即可。 【详解】14－4＝10（人） 10÷2＝5（张） 5＋1＝6（张） 答：一共需要拼6张桌子。 2．15，见详解 【分析】先观察，从左往右、从下往上数： 第一幅图：第一列的方框表示数字1； 第二幅图：第二列第一排表示数字2； 第三幅图：表示的数字3＝1＋2＝第一列的方框表示数字1＋第二列第一排表示数字2； 第四幅图：表示的数字4＝2×2＝第二列第一排表示数字2×2，也就是在第二列的第二排上面多了一个点； 第五幅图：表示的数字5＝2×2＋1＝第二列第一排表示数字2×2＋第一列的方框表示数字1； 第六幅图：表示的数字6＝第三列第一排表示数字6。因为前面的方框都已经填满，无法再加1。 根据这样的规律：图上的第三列第一排表示数字6，这一列上面有2个点，则这一列的数表示12，再加上前面的第一列的方框表示数字1和第二列第一排表示数字2； 如果将第四列前面所有的方框都点上得出的数是：6×3＋5＝23，则第四列第一排就是24。通过计算，68＝24×2＋6×3＋2，第四列从下到上点2个点，第三列从下到上点3个点，最后在第二列从下到上点1个点。 【详解】6×2＋2＋1 ＝12＋3 ＝15 则左下图表示15。 表示68的图如下： 3．（1）5；9；13 （2）41；（4n＋1） （3）16间 【分析】（1）看图数一数，即可确定搭1间、2间、三间房子需要的小棒根数； （2）搭1间房子要5根小棒，5＝1×4＋1；搭2间房子要9根小棒，9＝2×4＋1；搭3间房子要13根小棒，13＝3×4＋1，即小棒根数＝房子数量×4＋1，据此分析； （3）房子数量＝（小棒数量－1）÷4，据此列式解答。 【详解】（1）搭1间房子要5根小棒，搭2间房子要9根小棒，搭3间房子要13根小棒。 （2）10×4＋1 ＝40＋1 ＝41（根） n×4＋1＝（4n＋1）根 搭10间房子要41根小棒，搭n间房子要（4n＋1）根小棒。 （3）（65－1）÷4 ＝64÷4 ＝16（间） 答：如果有65根小棒可以搭16间房子。 4．（1）152个；608平方厘米； （2）77个；308平方厘米 【分析】（1）按照图1的方式摆放，就是2个正方体放在一起摆放，一层一层的往上叠加。一层是前后各有2个，就是4个，上面是2个，左右各1个，就是2个。二层是前后各2×4＝8个，上面是2个，左右各2个就是2×2＝4个。第三层是前后共3×4＝12个，上面是2个，左右共3×2＝6个。也就是每增加一层前后就多4个，左右就多2个，上面的不变。根据这样的规律，每2个为一组，50个正方体就有25层小正方体，就有25层4个的前后小正方形，25层2个的左右小正方形，再加上2个上面的小正方形。就有152个面露在外面，一个正方体的一个正方形面的面积＝棱长×棱长。即152个小正方形的面积＝152×每个正方形的面积。 （2）按照图2的方式摆放，一层只有1个正方体，是5个面露在外面。二层是每边放2个，一共4个，上面是2×2＝4个，前后左右4个面，每个面是2个。第三层每边是3个，一共9个，上面是3×3＝9个，前后左右4个面，每个面是3个。根据以上的规律，49个小正方体就是每边7个，上面是7×7＝49个，前后左右每一面是7个，一共有28个面，合在一起就是77个面。即77个小正方形的面积＝77×每个正方形的面积。 【详解】（1）50÷2＝25（组）    2＋25×4＋25×2 ＝2＋100＋50 ＝152（个）    152×2×2＝608（平方厘米） 答：有152个面露在外面，露在外面的面积是608cm2。 （2）49＝7×7    7×7＋4×7 ＝49＋28 ＝77（个）    2×2×77＝308（平方厘米） 答：有77个面露在外面，露在外面的面积是308平方厘米。 5．（1）平行四边形；（2）15；（3）2n＋1 【分析】第1个图形是1个三角形，用3根小棒摆成的； 第2个图形是一个由2个三角形组成的平行四边形，用5根小棒摆成的； 第3个图形是一个由3个三角形组成的梯形，用7根小棒摆成的； 第4个图形是一个由4个三角形组成的平行四边形，用9根小棒摆成的； 依次摆下去： 第5个图形是一个由5个三角形组成的梯形，用11根小棒摆成的； 第6图形是一个由6个三角形组成的平行四边形，用13根小棒摆成的； 第7个图形是一个由7个三角形组成的梯形，用15根小棒摆成的； … 通过观察可以发现，从第2个图开始，第偶数个图形是平行四边形，第奇数个图形是梯形；小棒的根数则是每次比前一次增加2根。 【详解】答：（1）第6个图形是平行四边形。   （2）1个三角形所需小棒的根数是3； 2个三角形所需小棒的根数是3＋2； 3个三角形所需小棒的根数是3＋2×2： … n个三角形所需小棒的根数是3＋2×（n－1）＝2n＋1， 当n＝7时，2n＋1＝2×7＋1＝15（根） 摆第7个图形需要 15根小棒。   （3）由（2）可知，摆成第n个图形需要用（2n＋1）根小棒。 6．（1）21根；（5n＋1）根；思考过程见详解 （2）401根 【分析】（1）由图可得：摆1个六边形需要6根小棒，摆2个六边形需要11根小棒，摆3个六边形需要16根小棒，由此可得：每多摆一个六边形，就会增加5根小棒，由此根据规律解答即可； （2）根据（1）中的规律，将数据代入求出答案即可。 【详解】（1）观察图形可知，摆1个六边形需要6根小棒， 摆2个六边形需要11根小棒，可以写作：11＝6＋5＝6＋5×1； 摆3个六边形需要16根小棒，可以写成：16＝6＋5＋5＝6＋5×2； 摆4个六边形需要小棒的根数，可以写成：6＋5＋5＋5＝6＋5×3； 6＋5×3 ＝6＋15 ＝21（根） …… 摆n个六边形需要小棒的根数，可以写成：6＋5＋5＋……＋5＝6＋5×（n－1）； 6＋5×（n－1） ＝6＋5n－5 ＝5n＋1 答：摆4个六边形，需要21根小棒。摆n个六边形，需要（5n＋1）根小棒。 （2）当n＝80时，代入得： 5n＋1 ＝5×80＋1 ＝400＋1 ＝401（根） 答：摆80个六边形，需要401根小棒。 7．（1）； （2） 【分析】（1）观察算式可知，若该分数的分子不是1，则把分数的分母拆成相邻的两个自然数的乘积形式，分子是这两个自然数和的形式，进而写成分母是两个数的乘积形式，分子分别是这两个数，再化简成分子为1的分数形式；若该分数的分子是1，则把分数的分母拆成相邻的两个自然数的乘积形式，分子是这两个自然数差的形式，而写成分母是两个数的乘积形式，分子分别是这两个数，再化简成分子为1的分数形式； （2） 根据（1）中发现的规律，把算式中的每个分数进行拆分，去括号后，再运用加法结合律进行计算即可。 【详解】（1）＝；＝； （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 【点睛】本题主要考查算式的规律，数字的变化类，解答的关键是理解清楚所给的规律并灵活运用。 8．（1）①见详解 ②10；14 （2）4n＋2 【分析】观察图形可知，长边坐2人，短边坐1人，则1张桌子可坐6人，每多1张桌子短边所坐人数不变，2个长边共多坐4人， （1）1张桌子可坐6人，即4＋2； 2张桌子可坐10人，4＋4＋2； 3张桌子可坐14人，4＋4＋4＋2； 据此画图并填空即可； （2）每多1张桌子就多坐4人，则n张桌子能坐的人数为：（4n＋2）张，据此解答即可。 【详解】（1）①图示如下：        ②根据①所画人数可知，2张餐桌拼在一起最多可坐10人，三张餐桌拼在一起，最多可坐14人。 （2）按照上面的规律可知，每多1张桌子就多坐4人， 1张桌子可坐（4＋2）人，即（4×1＋2）人； 2张桌子可坐（4＋4＋2）人，即（4×2＋2）人， 3张桌子可坐（4＋4＋4＋2）人，即（4×3＋2）人， 则n张桌子拼在一起，就是n个4相加，再加2，即（4n＋2）人； 所以，n张桌子拼在一起最多可以坐（4n＋2）人。 【点睛】本题考查了数与形结合的规律，发现每多1张桌子就多坐4人，是解答本题的关键。 9．（1）见详解（2）45个；55个 【分析】（1）第一个图形，白色三角形数量为0个，黑色三角形数量为1＝1个； 第二个图形，白色三角形数量为0＋1＝1个，黑色三角形数量为1＋2＝3个； 第三个图形，白色三角形数量为0＋1＋2＝3个，黑色三角形数量为1＋2＋3＝6个； 第四个图形，白色三角形数量为0＋1＋2＋3＝6个，黑色三角形数量为1＋2＋3＋4＝10个；     …… 以此类推： 第n个图形，白色三角形数量为：1＋2＋……＋（n－1）个，黑色三角形数量为：1＋2＋……＋n个，据此解答。 【详解】（1）由分析得： 图号 ① ② ③ ④ 白色三角形个数 0 1 3 6 黑色三角形个数 1 3 6 10 （2）白色三角形的个数： 1＋2＋……＋9＝45（个） 黑色三角形的个数： 1＋2＋……＋10＝55（个） 答：照这样的规律画下去，第10个图形中有45个白色三角形、55个黑色三角形。 【点睛】掌握图形的变化规律是解题的关键。 10．(1)7×7＝49 6×8＝48 5×9＝45 4×10＝40 (2)两个相同的因数相乘，如果一个因数加n，另一个因数减n，积就等于因数的平方减n2。 (3)C (4)4088483 【分析】根据算式的规律，可以发现： 6×6和5×7之间的规律可以用字母表示出来：（a＋1）×（a－1）＝a2－1； 6×6和4×8之间的规律可以用字母表示出来：（a＋2）×（a－2）＝a2－22； 6×6和3×9之间的规律可以用字母表示出来：（a＋3）×（a－3）＝a2－32； 据此结合题意解答即可。 【详解】（1）根据上面这组乘法算式的特点，在右边横线上再写一组这样的算式： 7×7＝49 6×8＝48 5×9＝45 4×10＝40（答案不唯一） （2）观察上述这两组算式，发现：两个相同的因数相乘，如果一个因数加n，另一个因数减n，积就等于因数的平方减n2。 （3）奇思发现6×6和5×7之间的规律可以用字母表示出来，下面正确的是（a＋1）×（a－1）＝a2－1 故答案为：C （4）根据上面发现的规律，如果2022×2022＝4088484，则： 2021×2023 ＝2022×2022－1 ＝4088484－1 ＝4088483 【点睛】本题考查了式的规律知识，结合题意分析解答即可。 11．（1）；；见详解；（2）41 【分析】（1）观察图形可知，灰色小正方形个数等于小正方形的总个数减去白色小正方形个数，据此可分别求出第3幅图和第4幅图的灰色正方形个数。 （2）观察图形可总结出灰色正方形个数为（n＋1）2－n2＝2n＋1，n表示第n幅图，把n＝20代入计算即可。 【详解】（1） （2）2×20＋1 ＝40＋1 ＝41（个） 第20幅图形中有41个灰色小正方形。 【点睛】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 12．（1）3；4；5 16；20；24 （2）40个 【分析】通过观察图可知：阴影部分边长×4，可求出阴影部分四边的正方形个数，再加上4个角上的4个小正方形，就是周围正方形个数。 【详解】（1）观察图形，完成表格。 图号 ① ② ③ ④ ⑤ 阴影部分边长（厘米） 1 2 3 4 5 周围正方形个数（个） 8 12 16 20 24 （2）9×4＋4 ＝36＋4 ＝40（个） 以此类推，你知道图⑨中涂色部分的周围共有40个小正方形。 【点睛】通过观察图得出规律是解答此题的关键。 13．①36个 ②13个 【分析】①根据题图可知，第一个图形下层放2个，有4个三角形，第二个图形下层放3个，有9个三角形，第三个图形下层放4个，有16个三角形，据此可知，三角形的个数是下层放的个数的平方，当下层放6个时，则有6×6＝36个小三角形； ②因为13×13＝169，所以如果有169个三角形积木块，下层应放了13个，据此解答即可。 【详解】①6×6＝36个； 答：如果下层放6个，一共需要36个三角形。 ②13×13＝169； 答：如果有169个三角形积木块，下层应放了13个。 【点睛】根据已知图形找到底层个数与三角形总个数的关系是解答本题的关键。 14．18块  38块  (4n+2)块 【详解】4×4+2=18(块)　4×9+2=38(块)　(4n+2)块 15．（1）36 （2）18厘米；6n厘米 【分析】（1）通过分析，第一个图形由1个长方形组成；第二个图形由3个长方形组成，即1＋2＝3（个）；第三个图形由6个长方形组成，即1＋2＋3＝6（个）；由此类推，第四个图形由1＋2＋3＋4＝10（个）组成，第8个图形由1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36（个）； （2）求第三个图形的周长，第3个图形经过平移可以构成一个长方形，如图所示：此时长方形的边长是2×3＝6（厘米），宽是3厘米，长方形周长＝（长＋宽）×2，即规律是第几个图形是几就用几乘2就是平移后长方形的长，第几个图形宽就是几厘米，据此解题。 【详解】1）通过分析，第一个图形由1个长方形组成；第二个图形由3个长方形组成，第三个图形由6个长方形组成，由此类推，第8个图形由 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8 ＝3＋3＋4＋5＋6＋7＋8 ＝6＋4＋5＋6＋7＋8 ＝10＋5＋6＋7＋8 ＝15＋6＋7＋8 ＝21＋7＋8 ＝28＋8 ＝36（个）； 第8个图形所对应的数是36。 （2）2×3＝6（厘米） （6＋3）×2 ＝9×2 ＝18（厘米） （2n＋n）×2 ＝3n×2 ＝6n（厘米） 答：第3个图形的周长是18厘米，第n个图形的周长是6n厘米。 【点睛】解答此题的关键是要找到图形的变化规律。在计算图形的周长时通过线段的平移将图形的周长转化成已学图形的周长。 16．（1） 操作的次数 最初 第一次 第二次 第三次 第四次 共有正三角形的个数 1 4 7 10 13 （2）13次  40个 【分析】从表格中的数据,不难发现:多剪一次,多3个正三角形．继而即可求出剪m次后正三角形的个数． 【详解】(1)由图可知没剪的时候,有一个正三角形,以后每剪一次就多出3个正三角形,所以第m次操作后,总的正三角形的个数为3m+1．第三次操作后,正三角形有:3×3+1=10(个),第四次操作后,正三角形有:3×4+1=13(个),由此可以将上表补充完整,如下: 操作的次数 最初 第一次 第二次 第三次 第四次 共有正三角形的个数 1 4 7 10 13 (2)第m次操作后,一共有3m+1个正三角形．当3m+1=40时,3m=39,m=13 答:第13次操作后,一共剪出了40个正三角形． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $