21.2.3 三角形的中位线精析精练 2025-2026学年人教版八年级数学下册

2025-2026学年人教版八年级数学下精析精练 21.2.3 三角形的中位线 知识点1三角形的中位线定理 1．如图所示，是的中位线，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，、、分别是三条边上的中点，若的面积是12，则阴影部分的面积和是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 3．如图，的对角线，相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D．3 4．如图，是的中位线，的角平分线交于点，若，，则的长为（   ） A．20 B．17 C．16 D．14 5．如图，点、、分别为三边的中点，若的周长为，则的周长为 ． 6．如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和，并分别找出它们的中点、，若测得，则，两点的距离为 ． 知识点2 与三角形的中位线有关的证明 1．已知：如图，在四边形中，分别是的中点．求证： (1)； (2)． 2．如图，在中，，，分别是，的中点，延长到点，使，连接交于点．求证：． 3．如图，锐角三角形中，（），，垂足为H，E、D、F分别是各边的中点，求证：四边形是等腰梯形． 4．如图，以的边，分别向外作等腰三角形和等腰三角形，使其顶角．取，，的中点，，，连接，．求证：． 5．如图，已知四边形中，点E、F、G、H分别是、、、的中点．求证：和互相平分． 6．中，D、E分别是，的中点，O是内任意一点，连接、． (1)如图1，点G、F分别是、的中点，连接，，，，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，若点O恰为和交点，求证：，； (3)如图3，若点O恰为和交点，射线与交于点M，求证：． 7．已知：中，E是边的中点，，平分，过点A作的垂线，垂足为 D，连接．    (1)如图①，当时，求证：； (2)当时，如图②，当时，如图③，其他条件不变，问线段之间又有怎样的数量关系?写出你的猜想，不需证明． 知识点3三角形中位线的实际应用 1．游乐园中的跷跷板深受小朋友们的喜爱．如图，横板绕其中点上下摆动，立柱与地面垂直．若，则小朋友离地的最大距离为 ． 2．已知线段，．是上两点，且，是线段上一动点，在同侧分别作等边三角形和等边三角形，为线段的中点，点由点移动到点时，点移动的路径长度为 ． 3．如图，已知是等腰三角形，，点D是边的中点，E是边上一点，连接．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图(保留作图痕迹)． (1)若点E是边中点，如图(1)，作平行四边形； (2)若点E是边的四等分点，如图(2)，在上作一点P，使得． 4．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图1中，点P在线段上，先画，再在上画点E，使得； (2)在图2中，在线段上找一点G，使得，垂足为点G，并在线段上找一点H，使． 5．如图，在中，，，点D为的中点，E为线段上任意一点，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，过点F作，交直线与点H，请问与的数量关系是怎样的？请说明理由． 1．如图，四边形中，，点分别为线段上的动点（含端点，但点不与点B重合），点分别为的中点，则长度的最大值为 ． 2．如图，在中，，为边的中线，E为的中点，连接并延长，交于点F．若，，则的长为 ． 3．在中，，点在上，且，的平分线交于，点是的中点，连接． (1)求证：； (2)若四边形的面积为，求的面积． 4．如图，中，，，，，，求的值． 5．如图，在中，，，点在边上（不与点重合），作点关于直线的对称点，连接，交边于点，连接，取线段的中点，在边上取点，使得，连接． (1)求证：； (2)直接写出的大小，并证明． 6．定义：至少有一组对边相等的凸四边形为“等对边四边形”．如下图，已知四边形ABCD，E，F分别是对角线AC，BD的中点，G为BC的中点，连接EF，FG，EG，为等边三角形．求证：四边形ABCD是“等对边四边形”． 7．如图，在中，点是边的中点，点是边的三等分点，连接、并相交于点． (1)若，求的面积； (2)若，，，求的长度． ． 8．如图，在四边形中，分别是的中点，，垂足为．求证：． 9．在和中，，，，连接，，分别为，的中点，为中点，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图1，探究线段，间的数量关系与位置关系，并说明理由； 10．如下图，在四边形中，，，分别是，的中点，延长交的延长线于点，延长交的延长线于点． (1)求证：． (2)若，，则的度数为 ． 1．如图，的对角线，相交于点O，平分，分别交，于点E，P． (1)证明：是等腰三角形； (2)连接，若，．求的面积． 2．知识回顾：（1）本学期我们研究了三角形的中位线的性质．如图（1）中，是的中位线，连接．则与的数量关系为： （用符号语言表达）． 方法迁移：（2）连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图（2）已知梯形中，，点M，N分别为，的中点，就是梯形的中位线．请猜想线段，，之间的关系，并说明理由． 理解内化：（3）已知梯形的中位线长为，高为，则梯形面积是 ： 3．已知：中，E是边的中点，，平分，过点A作的垂线，垂足为 D，连接．    (1)如图①，当时，求证：； (2)当时，如图②，当时，如图③，其他条件不变，问线段之间又有怎样的数量关系?写出你的猜想，不需证明． 4．【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题： 如图1，在四边形中，，，点P、Q分别为、的中点，求的长． 有两名同学思考良久之后，给出如下的解题思路： 如图2，小鹏同学思考的时候，发现有“两个中点P、Q”，于是想到了老师讲过的“中位线的构造技巧”的这个解题经验，建立图2的辅助线，连接，取的中点H，连接，，再通过“中位线的性质”将已知线段转移到同一个三角形中把问题解决； 如图3，小亮同学思考的时候，发现题中有“”，于是就想把这两个角合到一起，于是就利用“中线倍长的构造技巧”的这个解题经验，建立图3的辅助线，连接并延长，使，再连接，，再通过“倍长中线”后的性质，将已知线段转移到同一个三角形中把问题解决； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明线段的关系转化为我们熟悉的角的关系去理解；为了帮助同学更好的感悟转化思想，李老师又提出了一个问题，请你解答： 如图4，在中，，点D为内一点，连接，，延长到点E，使，连接使，探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【学以致用】 （3）如图5，在中，，，点D为中点，点E在线段上（点E不与点B，点D重合），连接，过点A作，连接．若，请求出的长． 中档 提分训练 拓展 素养训练 基础 分点训练 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版八年级数学下精析精练 21.2.3 三角形的中位线（解析版） 知识点1三角形的中位线定理 1．如图所示，是的中位线，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中位线的性质．根据三角形的中位线定理，可得，即可求解． 【详解】解：∵是的中位线，， ∴ 故选：D． 2．如图，、、分别是三条边上的中点，若的面积是12，则阴影部分的面积和是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了三角形面积，理解题意是解决本题的关键． 设的面积分别为，根据D、E、F是三边的中点，可得，进而求解即可． 【详解】解：设的面积分别为， ∵D、E、F是三边的中点， ∴， ∵的面积是12， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积和是6， 故选B． 3．如图，的对角线，相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了与三角形中位线有关的求解问题，等腰三角形的性质和判定，利用平行四边形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 由平行四边形的性质及角平分线的定义得，从而得的长，由三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点，， ∴， 故选：B． 4．如图，是的中位线，的角平分线交于点，若，，则的长为（   ） A．20 B．17 C．16 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边．根据三角形中位线定理得到，，根据平行线的性质、角平分线的定义得到，根据等角对等边得到，计算即可． 【详解】解：∵是的中位线， ∴，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5．如图，点、、分别为三边的中点，若的周长为，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的中位线，根据三角形中位线定理得、、，继而得到，即可得到答案．解题的关键是掌握中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 【详解】解：∵的周长为， ∴， ∵点、、分别为三边的中点， ∴、、为的中位线， ∴，，， 即，，， ∴， ∴的周长为． 故答案为：． 6．如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和，并分别找出它们的中点、，若测得，则，两点的距离为 ． 【答案】36 【分析】本题考查三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行第三边，且等于第三边的一半是解题关键； 根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边，且等于第三边的一半，那么第三边应等于中位线长的2倍即可解答． 【详解】解：∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，两点的距离为， 故答案为：． 知识点2 与三角形的中位线有关的证明 1．已知：如图，在四边形中，分别是的中点．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． （1）连接并延长交于点，先证明，然后得到是的中位线，即可证明； （2）根据是的中位线得到，再由得到，再等量代换即可证明． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点， ∵， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴是的中位线， ∴； （2）解：由（1）知是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，在中，，，分别是，的中点，延长到点，使，连接交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形的中位线定理与定义，平行四边形的判定与性质，解题关键是掌握以上概念．本题先利用中位线的定义与性质得到，再得到四边形是平行四边形，即可求证． 【详解】证明：连接， 点分别为的中点，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 3．如图，锐角三角形中，（），，垂足为H，E、D、F分别是各边的中点，求证：四边形是等腰梯形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查学生对三角形中位线定理及等腰梯形的判定的理解及运用能力．已知E、D、F分别是各边的中点，根据三角形中位线定理可得到四边形是平行四边形，再根据直角三角形的性质可推出，从而不难推出四边形是等腰梯形． 【详解】解：∵E、D、F分别是各边的中点． ∴， ，， ． ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵，垂足为H，F是的中点． ∴． ∴． ∵． ∴四边形是等腰梯形． 4．如图，以的边，分别向外作等腰三角形和等腰三角形，使其顶角．取，，的中点，，，连接，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形的中位线和三角形全等的判定，熟练掌握相关内容是解题的关键； 连接得到等腰三角形可推导出角相等，根据SAS判定得到线段相等，再根据中位线得到线段长度关系推导出． 【详解】证明：连接和，如图． 和都为等腰三角形，且其顶角， ，，， ， ． ，分别是，的中点， 是的中位线， ． 同理可得， ． 5．如图，已知四边形中，点E、F、G、H分别是、、、的中点．求证：和互相平分． 【答案】见详解 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定定理，熟练掌握平行四边形的性质定理和判定定理是解题的关键． 连接、、、，根据中位线定理和平行四边形的性质和判定定理，可证四边形为平行四边形，再根据平行四边形的性质即可求证． 【详解】证明：连接、、、， 点E、F、G、H分别是、、、的中点， 、分别是与的中位线， ，， ， 同理， 四边形为平行四边形， 和互相平分． 6．中，D、E分别是，的中点，O是内任意一点，连接、． (1)如图1，点G、F分别是、的中点，连接，，，，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，若点O恰为和交点，求证：，； (3)如图3，若点O恰为和交点，射线与交于点M，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定，三角形中位线的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定； （2）取，中点G，F，连接，，，，根据平行四边形的性质即可即可求证； （3）在射线上截取，连接，，对边互相平行的四边形是平行四边形即可判定． 【详解】（1）证明：∵D，E分别是的边，的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理：，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：取，中点G，F，连接，，，， ∴，， 由（1）知，四边形是平行四边形， ∴，， ∴，； （3）证明：在射线上截取，连接，， ∵D，O分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴即， 同理：， ∴四边形是平行四边形， ∴． 7．已知：中，E是边的中点，，平分，过点A作的垂线，垂足为 D，连接．    (1)如图①，当时，求证：； (2)当时，如图②，当时，如图③，其他条件不变，问线段之间又有怎样的数量关系?写出你的猜想，不需证明． 【答案】(1)见解析 (2)当时，；当时， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，角平分线的定义，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）延长交于点F，利用等腰直角三角形的性质求得，证明，求得，再证明是的中位线，得到，据此即可得到； （2）延长交于点F，证明是等边三角形，再证明是的中位线，得到，据此即可得到当时，；同理可得到当时，． 【详解】（1）证明：延长交于点F，如图，则，    ∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴； （2）解：当时， 延长交于点F，如图，则，    同（1）可证：， ∴，， 又， ∴是等边三角形，， ∵E是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴； 当时， 延长交于点F，如图，则，    ∵平分，， ∴，则， ∴，， ∴， ∴， ∵E是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴． 知识点3三角形中位线的实际应用 1．游乐园中的跷跷板深受小朋友们的喜爱．如图，横板绕其中点上下摆动，立柱与地面垂直．若，则小朋友离地的最大距离为 ． 【答案】100 【分析】由题意可知，是的中点，且、都与地面垂直，因此．根据三角形中位线定理，在中，是中位线，利用中位线性质即可求出的长度． 【详解】解：∵ 是的中点，且，， ∴． ∴是的中位线． ∴． ∵， ∴． ∴小朋友离地的最大距离为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，解题关键是识别出是的中位线，从而利用中位线性质求出的长度． 2．已知线段，．是上两点，且，是线段上一动点，在同侧分别作等边三角形和等边三角形，为线段的中点，点由点移动到点时，点移动的路径长度为 ． 【答案】3 【分析】分别延长、交于点，易证四边形为平行四边形，得出为中点，则的运行轨迹的中位线，运用中位线的性质求出的长度即可． 【详解】 解：如图，分别延长、交于点， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， 与互相平分． 为的中点， 为的中点， 即在的运动过程中，始终为的中点， 的运行轨迹为的中位线， ， 点移动的路径长度为3． 故答案为：3 【点睛】本题考查了三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，找到点移动的规律，判断出其运动路径，综合性较强． 3．如图，已知是等腰三角形，，点D是边的中点，E是边上一点，连接．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图(保留作图痕迹)． (1)若点E是边中点，如图(1)，作平行四边形； (2)若点E是边的四等分点，如图(2)，在上作一点P，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查无刻度的直尺作图，平行四边形的判定，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定与性质，平行线间的线段成比例，掌握知识点是解题的关键． （1）根据三角形的中线的性质作图即可； （2）先连接，交于点O，连接并延长，交于点F，连接，与的交点，即为点P，即可解答． 【详解】（1）解：如图(1)，平行四边形即为所求．理由如下： ∵E是边中点，点D是边的中点， ∴F是边的中点， ∴ ∴四边形是平行四边形． （2）如图(2)，点P即为所求．理由如下： ∵，点D是边的中点，， ∴，，， 即是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点E是边的四等分点， ∴ ∴． 4．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图1中，点P在线段上，先画，再在上画点E，使得； (2)在图2中，在线段上找一点G，使得，垂足为点G，并在线段上找一点H，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质是关键． （1）作平行四边形并利用平行四边形的性质进行作点E即可； （2）利用三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质进行作图即可． 【详解】（1）解：所作图形如图所示： （2）所作图形如图所示： 5．如图，在中，，，点D为的中点，E为线段上任意一点，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，过点F作，交直线与点H，请问与的数量关系是怎样的？请说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．延长交于点G，易得，再说明为的中位线可得，进而得到与都是等腰直角三角形，然后再证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】解：与的数量关系是：．理由如下： 如图：延长交于点G， 由题意，知，， ∴， 又∵点D为的中点， ∴点G为的中点，且， ∴为的中位线， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∵，， ∴， ， ∴． ∵与都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 1．如图，四边形中，，点分别为线段上的动点（含端点，但点不与点B重合），点分别为的中点，则长度的最大值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理；找出取得最值的条件是解题的关键；连接，，由三角形中位线定理得，当取得最大值时，取得最大值，当与重合时，取得最大值，由勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，， 点分别为的中点， ， 当取得最大值时，取得最大值， 当与重合时，取得最大值， 此时 ， 取得最大值为， 故答案为：． 2．如图，在中，，为边的中线，E为的中点，连接并延长，交于点F．若，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，中位线的判定和性质，勾股定理，作出正确的辅助线是解决本题的关键． 根据勾股定理可得，过点作，交于点，根据题意可得是的中位线，再利用证明可得，进而即可求解． 【详解】解：在中，，，． ∴ ， 如图，过点作，交于点． ∵是的中点，且，是的中点， ∴是的中位线． ∴， ∵是的中点， ∴． 又∵， ∴，且， ∴， ∴， ∵且， ∴， 又∵， ∴ 解得， 故答案为：4． 3．在中，，点在上，且，的平分线交于，点是的中点，连接． (1)求证：； (2)若四边形的面积为，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形中位线定理的运用； （1）依据等腰三角形的性质，即可得到是的中点，再根据三角形中位线定理，即可得到； （2）依据是的中位线，即可得到，，进而得到，再依据是的中点，继而得出，进而即可求解． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴是的中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴； （2）解：∵是的中位线， ∴，， 如图，连接，则， 又∵四边形的面积为6， ∴， 又∵是的中点， ∴， ∴的面积为． 4．如图，中，，，，，，求的值． 【答案】7 【分析】本题考查了全等的性质和（）综合（或者），与三角形中位线有关的求解问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，延长交于，可证得，得到，可证得是的中位线，从而得出的值，进一步可得出结果． 【详解】解：如图，延长交于， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴． 5．如图，在中，，，点在边上（不与点重合），作点关于直线的对称点，连接，交边于点，连接，取线段的中点，在边上取点，使得，连接． (1)求证：； (2)直接写出的大小，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）连接，根据轴对称的性质得出，根据等腰直角三角形的性质得出是等腰直角三角形，即可得出，根据即可得； （2）取中点，连接、，，根据三角形中位线的性质得出，即可证明垂直平分，可证明点在直线上，根据中位线性质得出，根据平行线的性质结合等腰直角三角形的性质得出是等腰直角三角形，得出，利用证明，可得，利用角的和差关系即可求出． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵点关于直线的对称点为，连接， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图，取中点，连接、，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵为中点， ∴，， ∴， ∴垂直平分， ∵， ∴点在直线上，即点共线，， ∴， ∵作点关于直线的对称点， ∴， ∵取线段的中点， ∴， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查轴对称的性质、三角形中位线的性质、等腰直角三角形的性质全等三角形的判定与性质、平行线的性质及垂直平分线的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 6．定义：至少有一组对边相等的凸四边形为“等对边四边形”．如下图，已知四边形ABCD，E，F分别是对角线AC，BD的中点，G为BC的中点，连接EF，FG，EG，为等边三角形．求证：四边形ABCD是“等对边四边形”． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形中位线定理与等边三角形的性质，掌握三角形中位线平行且等于第三边的一半，结合等边三角形的边相等推导线段关系是解题的关键． 通过中点条件确定中位线，得到中位线与四边形对边的长度关系，再由等边三角形的边相等，转化为四边形对边相等． 【详解】证明：∵为等边三角形， ∴． ∵，分别是对角线，的中点，为的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∴， ∴四边形是“等对边四边形”． 7．如图，在中，点是边的中点，点是边的三等分点，连接、并相交于点． (1)若，求的面积； (2)若，，，求的长度． 【答案】(1)30 (2) 【分析】本题考查三角形的中位线的性质，根据三角形的中线求面积，等腰三角形的判定和性质勾股定理． （1）过点作，得是的中位线，根据题意得，即可解答； （2）过点作于M，证是等腰三角形，由勾股定理得求解即可． 【详解】（1）解：过点作， ∵点是边的中点， ∴是的中位线， 可得，则， ∵点是边的三等分点， ∴， ∴则 ∵，点A到直线的距离不变， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴ （2）解：∵，，， ∴由（1）得，，， ∴，， ∴是等腰三角形， 过点作于M，则， ∴， ， ∴． 8．如图，在四边形中，分别是的中点，，垂足为．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质．根据三角形中位线定理得到，即可证明，结合，可得结论． 【详解】证明：如图，连接， ∵E，M是的中点， ∴， 同理，， ∵， ∴． ∵， ∴. 9．在和中，，，，连接，，分别为，的中点，为中点，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图1，探究线段，间的数量关系与位置关系，并说明理由； 【答案】(1)见解析 (2)，，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形的中位线定理，直角三角形两锐角互余，证明是解题的关键． （1）先证明，再利用即可证明； （2）由三角形的中位线定理得到，，，，由全等三角形的性质可得，，则可证明，，再证明，则可证明，据此可得结论． 【详解】（1）证明：， ∴ ， ，， ； （2）解：，，理由如下： ，，分别是，，的中点， 是中位线，是中位线， ，，，， ，， ， ，， ，， ， ， ， ， ，． 10．如下图，在四边形中，，，分别是，的中点，延长交的延长线于点，延长交的延长线于点． (1)求证：． (2)若，，则的度数为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图，连接，取的中点，连接，，根据中位线的性质得到，，通过两直线平行，内错角相等得到，同理得到；根据等腰三角形的性质得到，即可得到结论； （2）由（1）可知，、、，通过平行线的性质，结合三角形外角的性质得到，最后通过等腰三角形的性质即可求出的度数． 【详解】（1）证明：如图，连接，取的中点，连接，． 是的中点，是的中点， 是的中位线， ，， ． 同理，， ． ， ， ， ． （2）． 由（1）知， ， ． 由（1）知， ，， ． 由（1）知， ， ． 【点睛】本题考查了中位线，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 1．如图，的对角线，相交于点O，平分，分别交，于点E，P． (1)证明：是等腰三角形； (2)连接，若，．求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由平分，可得，再由四边形是平行四边形，可得，故，从而，则，故可判断得解； （2）依据题意，由（1），结合，则，从而，又四边形是平行四边形，可得，进而是的中位线，故可得的长度，求出，进而计算可以得解． 【详解】（1）证明：平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 是等腰三角形． （2）解：由（1）知是等腰三角形， 又， 是等边三角形， ， ， ， ， 点E为的中点，， ∵四边形是平行四边形， ∴， 是的中位线，， ，， ， ， 2．知识回顾：（1）本学期我们研究了三角形的中位线的性质．如图（1）中，是的中位线，连接．则与的数量关系为： （用符号语言表达）． 方法迁移：（2）连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图（2）已知梯形中，，点M，N分别为，的中点，就是梯形的中位线．请猜想线段，，之间的关系，并说明理由． 理解内化：（3）已知梯形的中位线长为，高为，则梯形面积是 ： 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了与三角形中位线有关的求解问题，与三角形中位线有关的证明，梯形中位线定理等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）先说明是的中位线，再根据三角形的中位线定理得出结论即可； 【详解】（2）先证明，从而可得，，于是有，再根据三角形的中位线定理得出，从而可得； （3）根据梯形的面积公式，结合（2）中的结论求解． （1）解：∵点E是边的中点，点F是边的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． （2）， 理由：如图（2），连接并延长交的延长线于点E， ∵， ∴， ∵点M为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵M为的中点，N为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴． （3）∵梯形的中位线长为，高为， ∴（）， 故答案为：． 3．已知：中，E是边的中点，，平分，过点A作的垂线，垂足为 D，连接．    (1)如图①，当时，求证：； (2)当时，如图②，当时，如图③，其他条件不变，问线段之间又有怎样的数量关系?写出你的猜想，不需证明． 【答案】(1)见解析 (2)当时，；当时， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，角平分线的定义，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）延长交于点F，利用等腰直角三角形的性质求得，证明，求得，再证明是的中位线，得到，据此即可得到； （2）延长交于点F，证明是等边三角形，再证明是的中位线，得到，据此即可得到当时，；同理可得到当时，． 【详解】（1）证明：延长交于点F，如图，则，    ∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴； （2）解：当时， 延长交于点F，如图，则，    同（1）可证：， ∴，， 又， ∴是等边三角形，， ∵E是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴； 当时， 延长交于点F，如图，则，    ∵平分，， ∴，则， ∴，， ∴， ∴， ∵E是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴． 4．【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题： 如图1，在四边形中，，，点P、Q分别为、的中点，求的长． 有两名同学思考良久之后，给出如下的解题思路： 如图2，小鹏同学思考的时候，发现有“两个中点P、Q”，于是想到了老师讲过的“中位线的构造技巧”的这个解题经验，建立图2的辅助线，连接，取的中点H，连接，，再通过“中位线的性质”将已知线段转移到同一个三角形中把问题解决； 如图3，小亮同学思考的时候，发现题中有“”，于是就想把这两个角合到一起，于是就利用“中线倍长的构造技巧”的这个解题经验，建立图3的辅助线，连接并延长，使，再连接，，再通过“倍长中线”后的性质，将已知线段转移到同一个三角形中把问题解决； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明线段的关系转化为我们熟悉的角的关系去理解；为了帮助同学更好的感悟转化思想，李老师又提出了一个问题，请你解答： 如图4，在中，，点D为内一点，连接，，延长到点E，使，连接使，探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【学以致用】 （3）如图5，在中，，，点D为中点，点E在线段上（点E不与点B，点D重合），连接，过点A作，连接．若，请求出的长． 【答案】（1），过程见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）小鹏的做法：连接，取的中点H，连接，，可得，，，，利用角度转换可得，利用勾股定理即可解答；小亮的做法：连接并延长，使，再连接，，证明，可得，利用勾股定理可得，利用中位线的性质即可解答； （2）延长到T，使得，连接，证明，推出，可得，再证明，则； （3）延长到T，使得，连接，延长交于点J，证明，再推出，可得是等腰直角三角形，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：小鹏的做法：连接，取的中点H，连接，， 点P、Q分别为、的中点， ，，，， ，， ， ， 小亮的做法：连接并延长，使，再连接，， 点P、Q分别为、的中点， ， ， ， ， ， ， 点P、Q分别为、的中点， ； （2）解：，理由如下： 如图，延长到T，使得，连接， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ；       （3）解：如图，延长到T，使得，连接，延长交于点J， ∵点D为中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，中位线的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 拓展 素养训练 基础 分点训练 中档 提分训练 学科网（北京）股份有限公司 $