精品解析：内蒙古自治区锡林郭勒盟西乌珠穆沁旗第二初级中学2025-2026学年上学期九年级1月月考数学试卷（1月份）

2025-2026学年九年级（上）月考数学试卷（1月份） 一．选择题（每小题3分，满分24分） 1. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A B. C. 且 D. 且 2. 如图，在中，，，，点P从点A开始，沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始，沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q同时出发，当一个点到达目的地时，所有运动停止．若四边形的面积为，则点P运动的时间是（　　） A. 3 B. 3或5 C. 4 D. 5 3. 如图，是的外接圆，半径为，若，则的度数为（ ） A B. C. D. 4. 如图，是的弦，半径于点D，连接并延长，交于点E，连接，．若，，则长为（ ） A. 4 B. C. D. 5. 在压力不变的情况下，某物体承受的压强P（单位：）与它的受力面积S（单位：）是反比例函数关系，其图象如图所示．下列说法错误的是（　　） A. 函数解析式为 B. 物体承受的压力是 C. 当时， D. 当时， 6. O为正方形的边上一点，以O为圆心、为半径作，交于点E，过点E作的切线交于点F，将沿翻折，点D的对应点恰好落在上，则的值为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴、y轴正半轴上，已知点，P为边上一动点，以点A为圆心，长为半径作圆，过点P作的切线，交线段于点F，将沿翻折得到．当点恰好落在上时，点P的横坐标为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 8. 如图，抛物线，下列结论：①；②；③；④，正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二．填空题（每小题3分，满分12分） 9. 在平面直角坐标系中，将点向左平移6个单位，再向下平移1个单位，恰好在函数的图象上，则此函数的图象位于第_______象限． 10. 抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），点在抛物线上，且点的横坐标为2，若点为轴上非原点的一点，且为等腰三角形，则点的坐标为______． 11. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，且．若反比例函数的图象经过点B，则k的值为______． 12. 如图，正方形中，点E为对角线上一点，且，连接并延长交于点G，过点A作于点H，交BC于点F．以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是_________． 三．解答题（共6小题，满分64分） 13. 【教材呈现】下面是华师版教材九年级上册52页的部分内容： 我们可以发现，当两条直线与一组平行线相交时，所截得的线段存在一定的比例关系： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．（简称“平行线分线段成比例”） 【问题原型】如图①，在矩形中，点E为边的中点，，点P、Q分别在矩形的边上，连结交于点M． 求证：． 【结论应用】如图②，在【问题原型】的基础上，点R在边上（不与点Q重合） （1）若，则线段的长为 ； （2）当点Q与点B重合，点R与点C重合时，如图③，，，连结，则周长最小值为 ． 14. “民以食为天，食以粮为先”，粮食安全事关国计民生．为了确保粮食安全，优选品种，某农业科技公司对原有小麦进行改良种植研究，在保持种植面积不变的情况下，今年小麦平均亩产量在去年的基础上增加了，每千克售价也在去年的基础上上涨了，全部售出后总收入将增加． （1）求a的值； （2）如果明年的种植面积仍然不变，预计明年小麦平均亩产量将在今年的基础上增加，每千克售价将在今年的基础上上涨，求全部售出后明年的总收入将在今年的基础上增加的百分数． 15. 已知反比例函数（为常数，）． （1）若该反比例函数图象与正比例函数的图象的一个交点为P，且点P的纵坐标是2，求k的值． （2）若在其图象的每一支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围． 16. 学校为了全面提高学生的综合素养，开展了音乐、朗诵、舞蹈、美术共四个社团，学生积极参与（每个学生限报一项），参加社团的学生共有320 人，其中音乐社团有 a 人参加，朗诵社团的人数比音乐社团人数的一半多b 人，舞蹈社团的人数比朗诵社团人数的 2 倍少 40 人． （1）参加朗诵社团有 人，参加舞蹈社团有 人．（用含 a ，b 代数式表示） （2）求美术社团有多少人？（用含 a ， b 的代数式表示） （3）若，求美术社团的人数． 17. 为了测量教学大楼的高度，三个数学小组设计了不同的方案，成立方案与数据如表： 课题 测量教学大楼（）的高度 测量小组 第一组 第二组 第三组 说明 人站在大楼的影子的顶端，为人的影长 为标杆，人眼睛C与标杆E与大楼顶端A在同一条直线上 点E处放一个平面镜，人的眼睛C恰好在平面镜中看到楼顶 测量数据 图中所有点都在同一平面内 经数学小组同学研讨发现第一组数据测量有误，请你在正确的方案中选择一种，求出教学大楼的高度． 18. 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在一点，满？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图2，过点作的垂线，垂足为，，分别为射线，上的两个动点，且满足，连接，请直按写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级（上）月考数学试卷（1月份） 一．选择题（每小题3分，满分24分） 1. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据根的判别式和一元二次方程的定义得出且，求解即可得到答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：且， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． 2. 如图，在中，，，，点P从点A开始，沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始，沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q同时出发，当一个点到达目的地时，所有运动停止．若四边形的面积为，则点P运动的时间是（　　） A. 3 B. 3或5 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题关键． 设点P运动的时间为，则，，根据题意易得，，根据可得关于的一元二次方程并求解，然后确定的取值范围，即可获得答案． 【详解】解：设点P运动的时间为， 则，， ∵，，， ∴， ， ∵四边形的面积为， ∴， 即，整理可得， 解得， 又∵点P，Q同时出发，点P从点A出发运动到点B用时，点Q从点B运动到点C用时，且当一个点到达目的地时，所有运动停止， ∴， ∴点P运动的时间是． 故选：A． 3. 如图，是的外接圆，半径为，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理和等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出辅助线．连接和，证明为等边三角形，得到的度数，再利用圆周角定理得出． 【详解】解：连接和， ∵半径为，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故选：A． 4. 如图，是的弦，半径于点D，连接并延长，交于点E，连接，．若，，则长为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理和相似三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键，先根据垂径定理得到，则，再根据，可推出，可得到，得到，代入可求出的长． 【详解】解：∵是的弦，半径，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ∴， 故选：B． 5. 在压力不变的情况下，某物体承受的压强P（单位：）与它的受力面积S（单位：）是反比例函数关系，其图象如图所示．下列说法错误的是（　　） A. 函数解析式为 B. 物体承受的压力是 C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，待定系数法求解函数解析式，解题的关键是求出函数解析式． 先由待定系数法求解函数解析式，即可判断A、B；然后由反比例函数的性质即可判断C；然后将代入函数解析式求解即可判断D． 【详解】解：∵物体承受的压强P（单位：）与它的受力面积S（单位：）是反比例函数关系 ∴设， 代入点得，， ∴函数解析式为，故A、B正确； 当时，则， ∵ ∴在第一象限内，随着的增大而减小， ∴当时，，故C错误； 当时，，故D正确， 故选：C． 6. O为正方形的边上一点，以O为圆心、为半径作，交于点E，过点E作的切线交于点F，将沿翻折，点D的对应点恰好落在上，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，作于，根据等腰三角形的性质、折叠的性质可得，再证明，由全等三角形的性质可得；设，，则，，在中，由勾股定理可解得，即，则，然后计算的值． 【详解】解：连接，作于，如下图， ∵， ∴， ∵将沿翻折，点D的对应点恰好落在上， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，， 则，， 在中，可得， ∴，解得， ∴，则， ∴． 故选：C． 【点睛】本题是圆的综合题目，考查了切线的性质、折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，综合性强，难度较大，熟练运用相关知识，并正确作出辅助线是解题关键． 7. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴、y轴正半轴上，已知点，P为边上一动点，以点A为圆心，长为半径作圆，过点P作的切线，交线段于点F，将沿翻折得到．当点恰好落在上时，点P的横坐标为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．过点A作于点M，则，证明，求出，，即点P的横坐标为4，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形，且， ∴， 是的切线， ． 连接，如解图，则． 过点A作于点M，则． ∵，， 又， ． ． ． ． 又， ． ，， 即点P的横坐标为4， 故选C． 8. 如图，抛物线，下列结论：①；②；③；④，正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象得出，，的符号，即可判断①，根据图像与轴的交点即可判断②，取即可判断③，取即可判断④． 【详解】解：图象开口向下， ， 取，得， 又对称轴为， ， ， ①错误， 根据图像与轴有两个交点得， ②正确， 观察图像得： 时，， ③正确， 观察图像得： 时，， ④正确， 正确的为②③④， 故选：． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握，，的符号与图像的关系、图像与坐标轴的交点与系数的关系、当取特殊值时准确判断出点的位置以及函数值的情况是解题的关键． 二．填空题（每小题3分，满分12分） 9. 在平面直角坐标系中，将点向左平移6个单位，再向下平移1个单位，恰好在函数的图象上，则此函数的图象位于第_______象限． 【答案】二、四 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中坐标的平移和反比例函数的图象和性质，掌握坐标的平移规律和反比例函数的图象和性质是解题的关键． 先根据坐标的平移规律求出平移后的坐标点，再把坐标代入函数，求出k值，根据k值和反比例函数的图象和性质即可求解． 【详解】解：∵点向左平移6个单位长度，再向下平移1个单位长度， ∴得到的点坐标为，即， 把代入得， ， 解得∶， ∵， ∴函数图像在第二、四象限， 故答案为∶二、四． 10. 抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），点在抛物线上，且点的横坐标为2，若点为轴上非原点的一点，且为等腰三角形，则点的坐标为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．令，求得点的坐标，依据分类讨论的思想方法，利用为等腰三角形和等腰三角形的性质进行分类讨论，解答即可得出结论． 【详解】解：令，则， 解得：或． 抛物线与轴交于，两点，点在点的左侧， ， 点的横坐标为2， ， ； ①当时，如图， 过点作于点， ，， ，，， ． 在和中， ， ， ． ，， ， ， ； 结合是等腰三角形，且， ； ②当时，如图， 过点作轴于点， ，， ，，， 设点， 点为轴的正半轴上的一点， ，， ， ， ， ， 解得：， ； ③当时，如图 此时点P与O重合，与题意不符合，故舍去． 综上，当为等腰三角形，则点的坐标为或或． 故答案为：或或． 11. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，且．若反比例函数的图象经过点B，则k的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据正方形的性质求出点B的坐标，再根据反比例函数的图象经过点B，把点B的坐标代入反比例函数，即可求出k的值． 【详解】解：正方形中， ， ∴， ∵反比例函数的图象经过点B， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了正方形的性质与待定系数法求反比例函数的解析式，正确求出点B的坐标是本题的关键． 12. 如图，正方形中，点E为对角线上一点，且，连接并延长交于点G，过点A作于点H，交BC于点F．以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是_________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】连接，作交于点，由正方形的性质得，则，由，证明垂直平分，所以，推导出，所以，则，所以，可判断①正确，再证明△△，，推导出，进而证明△△，可判断②正确；再证明△△，得，推导出，则，可判断③正确；再证明△△，得，所以，推导出，可判断④错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，作交于点， 四边形是正方形，点为对角线上一点， ，，， ， ， ， 于点，交于点， ，， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； △和△中，， △△， ， ， ， 在△和△中，， △△，故②正确； ， △△， ， ， ， ， ， ， ，故③正确； ， ， ，， ， ， ， ， △△， ， ， ， ， ，故④错误， 故答案为：①②③． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、等腰三角形的“三线合一”、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 三．解答题（共6小题，满分64分） 13. 【教材呈现】下面是华师版教材九年级上册52页的部分内容： 我们可以发现，当两条直线与一组平行线相交时，所截得的线段存在一定的比例关系： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．（简称“平行线分线段成比例”） 【问题原型】如图①，在矩形中，点E为边的中点，，点P、Q分别在矩形的边上，连结交于点M． 求证：． 【结论应用】如图②，在【问题原型】的基础上，点R在边上（不与点Q重合） （1）若，则线段的长为 ； （2）当点Q与点B重合，点R与点C重合时，如图③，，，连结，则周长最小值为 ． 【答案】证明见解析；8；18 【解析】 【分析】问题原型：根据矩形的性质得到，求得，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论； （1）根据矩形的性质得到，根据平行线分线段成比例定理得到，根据三角形中位线定理即可得到结论； （2）连接，根据矩形的性质和平行线的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，当三点共线时，的值最小，的最小值的长，根据勾股定理得到AC，于是得到结论． 【详解】问题原型：证明：∵四边形是矩形， ， ， ， ， 为中点， ， ； 解：（1）∵四边形是矩形， ， ， ， ， 为中点， ， ， 是的中位线， ， ， ； （2）连接， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， 为中点， 垂直平分， ， ， ∴当三点共线时，的最小值的长， ∵在中， ， 周长的最小值为， 故答案为：18． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了矩形的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度． 14. “民以食为天，食以粮为先”，粮食安全事关国计民生．为了确保粮食安全，优选品种，某农业科技公司对原有小麦进行改良种植研究，在保持种植面积不变的情况下，今年小麦平均亩产量在去年的基础上增加了，每千克售价也在去年的基础上上涨了，全部售出后总收入将增加． （1）求a的值； （2）如果明年的种植面积仍然不变，预计明年小麦平均亩产量将在今年的基础上增加，每千克售价将在今年的基础上上涨，求全部售出后明年的总收入将在今年的基础上增加的百分数． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）根据总收入=亩产量销售单价，即可得出关于a的一元二次方程，然后解一元二次方程即可得出a的值，再取正值即可； （2）先求出明年的总收入增长的百分数，再减去1即可求解． 【小问1详解】 解：依题意得：，整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：a值为5． 【小问2详解】 解：， 答：明年的总收入增加的百分数为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15. 已知反比例函数（为常数，）． （1）若该反比例函数图象与正比例函数的图象的一个交点为P，且点P的纵坐标是2，求k的值． （2）若在其图象的每一支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌反比例函数的性质是解题的关键． （1）求出点的坐标，进而解题； （2）根据反比例函数的性质解题即可． 【详解】解：（1）把代入得：， 即， 代入得：， 解得：； （2）由题意知，， 解得． 16. 学校为了全面提高学生的综合素养，开展了音乐、朗诵、舞蹈、美术共四个社团，学生积极参与（每个学生限报一项），参加社团的学生共有320 人，其中音乐社团有 a 人参加，朗诵社团的人数比音乐社团人数的一半多b 人，舞蹈社团的人数比朗诵社团人数的 2 倍少 40 人． （1）参加朗诵社团有 人，参加舞蹈社团有 人．（用含 a ，b 的代数式表示） （2）求美术社团有多少人？（用含 a ， b 的代数式表示） （3）若，求美术社团的人数． 【答案】（1）， （2）人 （3）135人 【解析】 【分析】本题考查列代数式、整式加减运算实际应用： （1）根据题干描述列代数式即可； （2）用总人数减去参加音乐、朗诵、舞蹈社团的人数，即为美术社团人数； （3）将代入（2）中结论即可． 【小问1详解】 解：由题意知，参加朗诵社团的人数为：（人）， 参加舞蹈社团的人数为：（人）， 故答案为：，； 【小问2详解】 解： 人， 即美术社团有人． 【小问3详解】 解：若，则： （人）， 即美术社团人数为135人． 17. 为了测量教学大楼的高度，三个数学小组设计了不同的方案，成立方案与数据如表： 课题 测量教学大楼（）的高度 测量小组 第一组 第二组 第三组 说明 人站在大楼的影子的顶端，为人的影长 为标杆，人的眼睛C与标杆E与大楼顶端A在同一条直线上 点E处放一个平面镜，人的眼睛C恰好在平面镜中看到楼顶 测量数据 图中所有点都在同一平面内 经数学小组的同学研讨发现第一组数据测量有误，请你在正确的方案中选择一种，求出教学大楼的高度． 【答案】选择第二组或第三组的方案，教学大楼的高度为 【解析】 【分析】题目主要考查相似三角形的判定和性质，理解题意，结合图形求解是解题关键． 选择第二组的方案，延长交的延长线于点G，根据相似三角形的判定和性质求解即可； 选择第三组的方案，直接利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：选择第二组的方案， 延长交延长线于点G，如图所示： 根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴教学大楼的高度为； 选择第三组的方案， 根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴教学大楼的高度为． 18. 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在一点，满？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图2，过点作的垂线，垂足为，，分别为射线，上的两个动点，且满足，连接，请直按写出的最小值． 【答案】（1） （2）存在，或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点作的角平分线，交轴于点，过点作于，得到，然后由求出，得到，过点作，垂足为，，设点坐标为，根据题意分点在第四象限和点在第三象限两种情况讨论，分别求解即可； （3）过点作，同时使得，连接，证明出，得到，得到，过点作，垂足为，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 把，，代入 得， 解得得 ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 过点作的角平分线，交轴于点，过点作于， ∵为的角平分线，轴， ∴，，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又 ，即 在中， 又， 过点作，垂足为， 设点坐标为 ①若点在第四象限时， 或（舍） ． ②若点在第三象限时，同理可得关于轴的对称点 综上所述，或； 【小问3详解】 如图，过点作，同时使得，连接 ， 又 ， 过点作，垂足为， ， 在中，， ，， 在中， ∴的最小值为． 【点睛】此题考查了二次函数的综合题，解直角三角形，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，灵活运用所学知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $