1.3直角三角形同步培优讲义（5知识点+6大题型+过关检测）2025-2026学年北师大版八年级数学下册同步培优讲义

1.3直角三角形同步培优讲义 （5知识点+6大题型+过关检测） 【题型1 直角三角形的两个锐角互余】 5 【题型2 锐角互余的三角形是直角三角形】 6 【题型3 写出命题的逆命题】 6 【题型4 判断是否为互逆命题】 7 【题型5 定理与证明】 7 【题型6 互逆定理】 8 · 理解直角三角形的定义，能准确识别直角三角形，明确直角三角形的边角名称及基本特征。 · 牢记直角三角形的核心性质——两个锐角互余，掌握其逆判定方法，能直接运用解决基础角度计算与判定问题。 · 掌握勾股定理的核心内容，能运用勾股定理求直角三角形的未知边长（已知两边求第三边），明确勾股定理的适用前提。 · 理解命题、逆命题的概念，能准确写出简单命题的逆命题，判断两个命题是否为互逆命题。 · 明确定理与证明的含义，掌握基础定理的证明思路，能规范书写简单的证明步骤。 03 知识•梳理 前置回顾（衔接1.1、1.2知识点，铺垫本节课内容） 1. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°（直角三角形锐角互余性质、逆判定的推导依据）。 2. 等腰三角形的性质与判定：等边对等角、等角对等边，三线合一（可与直角三角形知识结合，解决综合题型）。 3. 命题与逆命题基础：判断一件事情的语句叫做命题，由题设和结论两部分组成；互换题设和结论可得到原命题的逆命题（本节课重点拓展互逆定理）。 4. 引入：直角三角形是一种特殊的三角形，它不仅具备三角形的所有性质，还拥有自身独特的边角关系（如锐角互余、勾股定理）；本节课重点学习直角三角形的定义、性质、判定，核心掌握勾股定理及逆定理，结合指定题型巩固应用，提升几何推理与计算能力。 知识点1：直角三角形的定义 1. 文字语言：有一个角是直角（90°）的三角形叫做直角三角形；其中，直角所对的边叫做斜边，其余两条边叫做直角边。 2. 符号语言：如图，在△ABC中，∠C = 90°，则△ABC是直角三角形，记作Rt△ABC；其中，∠C是直角，AB是斜边，AC、BC是直角边。 3. 关键补充： ① 直角三角形有且只有一个直角（若有两个或三个直角，违反三角形内角和定理）； ② 直角三角形的斜边是三条边中最长的边（斜边大于任意一条直角边）； ③ 特殊直角三角形：等腰直角三角形（两条直角边相等，两个锐角均为45°）、含30°角的直角三角形（30°角所对的直角边是斜边的一半）。 知识点2：直角三角形的锐角互余（核心性质，对应题型1、2） 1. 核心性质 文字语言：直角三角形的两个锐角互余（即：直角三角形中，两个锐角的和等于90°）。 符号语言：在Rt△ABC中，∵ ∠C = 90°（已知），∴ ∠A + ∠B = 90°（直角三角形的两个锐角互余）。 推导依据：三角形内角和定理（∠A + ∠B + ∠C = 180°，代入∠C = 90°，可得∠A + ∠B = 90°）。 适用场景：已知直角三角形的一个锐角，求另一个锐角；或证明两个角的互余关系。 2. 逆判定（题型2对应） 文字语言：如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形。 符号语言：在△ABC中，∵ ∠A + ∠B = 90°（已知），∴ ∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 90°，∴ △ABC是直角三角形（锐角互余的三角形是直角三角形）。 易错点：① 忽略“两个锐角和为90°”的条件，误判三角形为直角三角形；② 混淆“性质”与“逆判定”的推导方向（性质：直角三角形→锐角互余；逆判定：锐角互余→直角三角形）。 知识点3：勾股定理（本章核心，高频考点） 1. 核心内容 文字语言：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 符号语言：在Rt△ABC中，∠C = 90°，直角边AC = a，BC = b，斜边AB = c， 则a² + b² = c²（勾股定理）。 补充说明：① 适用前提：必须是直角三角形，非直角三角形不能运用勾股定理；② 对应关系：两直角边的平方和，等于斜边的平方，不可混淆“直角边”与“斜边”（易错点：误将斜边的平方与一条直角边的平方相加，等于另一条直角边的平方）；③ 常见勾股数：3、4、5；6、8、10；5、12、13（牢记常见勾股数，可快速求解边长）。 2. 勾股定理的应用 核心应用：已知直角三角形的任意两条边，求第三条边。 易错点：① 计算平方根时，忽略边长为正数（舍去负根）；② 混淆直角边与斜边，代入公式错误；③ 未先判定三角形为直角三角形，直接运用勾股定理。 3. 勾股定理的逆定理（直角三角形的另一种判定方法） 文字语言：如果一个三角形的三边长a、b、c满足a² + b² = c²，那么这个三角形是直角三角形，且斜边为c（最长边），直角在最长边所对的角。 符号语言：在△ABC中，三边长分别为a、b、c，若a² + b² = c²，则△ABC是Rt△，且∠C = 90°（斜边c所对的角为直角）。 补充说明：① 勾股定理的逆定理是“判定直角三角形”的重要方法，无需测量角度，只需验证三边关系即可；② 易错点：忽略“最长边”的判断，若a² + b² = c²，c必须是最长边，否则不能判定为直角三角形。 知识点4：斜边、直角边（HL）定理（直角三角形全等判定） 1. 定理核心内容 文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称“斜边、直角边”定理，记作HL）。 符号语言：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∵ ∠C = ∠F = 90°（两个三角形均为直角三角形），AB = DE（斜边相等），AC = DF（一条直角边相等），∴ Rt△ABC ≌ Rt△DEF（HL）。 补充说明：① 适用前提：仅针对两个直角三角形（非直角三角形不能运用HL定理判定全等）；② 必备条件：必须是“斜边”和“一条直角边”分别相等，缺一不可（不能用两条直角边相等直接用HL，两条直角边相等可用SAS判定）；③ 与一般三角形全等判定的区别：一般三角形全等需3个条件，而直角三角形全等可通过“斜边+一条直角边”快速判定，简化推理步骤。 2. 定理的应用 核心应用：判定两个直角三角形全等，进而证明直角三角形的边相等、角相等（可结合直角三角形锐角互余、勾股定理使用）。 易错点：① 非直角三角形运用HL定理判定全等；② 混淆HL定理与SAS定理（HL仅需斜边+一条直角边，SAS需两条边及夹角）；③ 忽略“两个三角形均为直角三角形”的前提条件。 3. 补充说明 直角三角形全等的判定方法有5种：SSS、SAS、ASA、AAS、HL；其中HL是直角三角形特有的全等判定方法，优先用于直角三角形全等的判定，简化解题过程。 知识点5：命题、逆命题、定理与互逆定理 1. 命题与逆命题（对应题型3、4） ① 命题：判断一件事情的语句叫做命题，每个命题都由“题设”（已知条件）和“结论”（由已知推出的结果）两部分组成；例如：“直角三角形的两个锐角互余”中，题设是“一个三角形是直角三角形”，结论是“它的两个锐角互余”；“勾股定理”的命题表述：“如果一个三角形是直角三角形，那么它的两直角边的平方和等于斜边的平方”。 ② 逆命题：把一个命题的题设和结论互换，得到的新命题叫做原命题的逆命题；例如：原命题“直角三角形的两个锐角互余”，逆命题是“两个锐角互余的三角形是直角三角形”；勾股定理的逆命题是“如果一个三角形的三边长a、b、c满足a² + b² = c²，那么这个三角形是直角三角形”。 ③ 关键补充：原命题成立，其逆命题不一定成立；例如：原命题“对顶角相等”成立，逆命题“相等的角是对顶角”不成立；但直角三角形锐角互余的原命题与逆命题均成立。 2. 定理与证明（对应题型5） ① 定理：经过推理证实是正确的命题，叫做定理（定理可以作为推理的依据）；本节课核心定理：直角三角形的两个锐角互余、勾股定理、勾股定理的逆定理。 ② 证明：从题设出发，经过一步步推理，最后推出结论成立的过程，叫做证明；证明的核心是“每一步推理都有依据”（依据可以是已知条件、定义、公理、已学定理）。 ③ 证明步骤规范：先写“已知”“求证”，再结合已知条件、定理，逐步推导，最后得出“求证成立”的结论，标注每一步的推理依据。 3. 互逆定理（对应题型6） ① 定义：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么这个逆命题也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理。 ② 核心示例（本节课重点）： - 定理1：直角三角形的两个锐角互余；逆定理：两个锐角互余的三角形是直角三角形（两者是互逆定理）； - 定理2：勾股定理；逆定理：勾股定理的逆定理（两者是互逆定理）。 ③ 易错点：混淆“互逆命题”与“互逆定理”；互逆命题只需“题设和结论互换”，无需证明；互逆定理必须满足“两个命题都是定理”（即都经过证明正确），缺一不可。 知识点5：反证法 1. 反证法的基本思路 先假设命题的结论不成立，然后推导出与已知条件、基本事实、定理等相矛盾的结果，从而证明原命题的结论一定成立（即“假设不成立，原结论成立”）。 核心步骤：假设 → 推导矛盾 → 否定假设 → 证明原结论成立（重点掌握前两步，尤其是“假设”的书写）。 2. 反证法的应用（结合直角三角形） 示例：用反证法证明“直角三角形的两个锐角互余”。 假设：直角三角形的两个锐角不互余（即两个锐角的和≠90°）； 推导矛盾：设Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A + ∠B ≠ 90°，则∠A + ∠B + ∠C = ∠A + ∠B + 90° ≠ 180°，与三角形内角和定理矛盾； 否定假设：因此，假设不成立； 证明原结论：直角三角形的两个锐角互余。 易错点：假设书写错误（未写结论的反面）；推导过程无依据，未明确指出“矛盾”；证明步骤不完整。 04 题型•汇总 【题型1 直角三角形的两个锐角互余】 【典例1】．如图，，点在上，交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 跟随训练1-1．如图，在中，，，于点，于点，与交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 跟随训练1-2．如图，在中，，，，． (1)判断线段与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的长． 【题型2 锐角互余的三角形是直角三角形】 【典例2】．下列说法错误的是（    ） A．三角形的内角和等于 B．有两个角互余的三角形是直角三角形 C．若等腰三角形一边长为2，一边长为5，则它的周长为9或12 D．日常生活中，工程建筑常采用三角形的结构，因为三角形是具有稳定性的图形 跟随训练2-1．下列命题中，是真命题的是（   ） A．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 B．相等的角是对顶角 C．有两个角互余的三角形是直角三角形 D．两点之间，直线最短 跟随训练2-2．下列条件中，不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【题型3 写出命题的逆命题】 【典例3】．下列命题中，逆命题是真命题的为（   ） A．若，则 B．全等三角形的对应边相等 C．对顶角相等 D．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 跟随训练3-1．下列命题中，其逆命题成立的是（   ） A．全等三角形的对应角相等 B．如果两个实数相等，那么它们的平方也相等 C．如果两个实数都是正数，那么它们的积也是正数 D．如果两个角相等，那么这两个角是直角 跟随训练3-2．写出命题“如果，那么”的逆命题： ． 【题型4 判断是否为互逆命题】 【典例4】．下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 跟随训练4-1．“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 跟随训练4-2．判断下列命题：①对顶角相等；②两条直线平行，同位角相等；③全等三角形的各边对应相等；④全等三角形的各角对应相等．其中有逆定理的是  (      ) A．①② B．①④ C．②④ D．②③ 【题型5 定理与证明】 【典例5】．下列说法中，错误的是（  ） A．基本事实是真命题，但真命题不一定是基本事实 B．定义是命题，并且是真命题 C．“两点之间，线段最短”是基本事实 D．“两点之间，线段最短”是定理 跟随训练5-1．下面关于基本事实和定理的说法不正确的是（  ） A．基本事实和定理都是真命题 B．基本事实就是定理，定理就是基本事实 C．基本事实和定理都可以作为推理论证的依据 D．基本事实的正确性需要经过实践检验，定理的正确性需要经过演绎推理 跟随训练5-2．下列说法中，正确的是（   ） A．所有的命题都有逆命题 B．所有的定理都有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 【题型6 互逆定理】 【典例6】．下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．全等三角形的对应边相等 B．直角三角形的两锐角互余 C．等腰三角形的两个底角相等 D．全等三角形的对应角相等 跟随训练6-1．下列说法正确的是（    ） A．任何定理都有逆定理 B．只有定理的逆命题是真命题时，它才有逆定理 C．只有原命题是真命题时，它的逆命题才是真命题 D．定理的逆命题都是真命题 跟随训练6-2．下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．两直线平行，内错角相等 B．全等三角形的对应边相等 C．对顶角相等 D．直角三角形的两个锐角互余 05 过关•检测 1．在中，若是直角，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．直角三角形的两锐角互余 B．全等三角形的对应角相等 C．等边三角形的每个角都是 D．等腰三角形的底角相等 3．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，，爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，折叠后点，在同一直线上，已知，求的度数为（   ） A． B． C． D． 6．一块木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下（），支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若摩擦力与重力方向的夹角，则斜面的坡角的度数是（   ） A． B． C． D． 7．小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，．第一步，在边上找一点D，将纸片沿折叠，点A落在处，如图2；第二步，将纸片沿折叠，点D落在处，如图3．当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，的度数为 ． 8．如图，有一张三角形纸片．其中．将该纸片沿剪开，得到一张四边形纸片，则的度数为 ． 9．在下列条件中：①；②；③，能确定是直角三角形的条件有 个． 10．如图，，，于点，若，则的度数为 ． 11．已知命题“若，则”，写出这个命题的逆命题 ． 12．如图，在中，，于点，平分交于点，平分交于点，交于点，交于点．有以下4个结论：①；②；③；④．其中正确的有 （填序号）． 13．如图，在中，，是高，，，求的长度． 14．已知：如图，在和中，，．求证：． 15．如图，在中，，点在上，连接，以点为直角顶点，为直角边作等腰直角，交于点，，点为上一点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 16．如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点作交于点E，交的延长线于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若D为中点，，，求的长． 17．如图，在等边中，线段为边上的高．动点D在射线上时，以为一边在的下方作等边，连结．    备用图 (1)填空：______度； (2)若点D在线段上时，求证：； (3)当动点D在射线上移动时，设直线与直线的交点为O，试判断是否为定值？并说明理由．（提醒：分点D在线段上和点D在线段的延长线上两类探究） 18．阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是______； (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，，，求的长； (3)拓展延伸：如图3．在平面直角坐标系中，，，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3直角三角形同步培优讲义 （5知识点+6大题型+过关检测） 【题型1 直角三角形的两个锐角互余】 5 【题型2 锐角互余的三角形是直角三角形】 8 【题型3 写出命题的逆命题】 9 【题型4 判断是否为互逆命题】 11 【题型5 定理与证明】 13 【题型6 互逆定理】 14 · 理解直角三角形的定义，能准确识别直角三角形，明确直角三角形的边角名称及基本特征。 · 牢记直角三角形的核心性质——两个锐角互余，掌握其逆判定方法，能直接运用解决基础角度计算与判定问题。 · 掌握勾股定理的核心内容，能运用勾股定理求直角三角形的未知边长（已知两边求第三边），明确勾股定理的适用前提。 · 理解命题、逆命题的概念，能准确写出简单命题的逆命题，判断两个命题是否为互逆命题。 · 明确定理与证明的含义，掌握基础定理的证明思路，能规范书写简单的证明步骤。 03 知识•梳理 前置回顾（衔接1.1、1.2知识点，铺垫本节课内容） 1. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°（直角三角形锐角互余性质、逆判定的推导依据）。 2. 等腰三角形的性质与判定：等边对等角、等角对等边，三线合一（可与直角三角形知识结合，解决综合题型）。 3. 命题与逆命题基础：判断一件事情的语句叫做命题，由题设和结论两部分组成；互换题设和结论可得到原命题的逆命题（本节课重点拓展互逆定理）。 4. 引入：直角三角形是一种特殊的三角形，它不仅具备三角形的所有性质，还拥有自身独特的边角关系（如锐角互余、勾股定理）；本节课重点学习直角三角形的定义、性质、判定，核心掌握勾股定理及逆定理，结合指定题型巩固应用，提升几何推理与计算能力。 知识点1：直角三角形的定义 1. 文字语言：有一个角是直角（90°）的三角形叫做直角三角形；其中，直角所对的边叫做斜边，其余两条边叫做直角边。 2. 符号语言：如图，在△ABC中，∠C = 90°，则△ABC是直角三角形，记作Rt△ABC；其中，∠C是直角，AB是斜边，AC、BC是直角边。 3. 关键补充： ① 直角三角形有且只有一个直角（若有两个或三个直角，违反三角形内角和定理）； ② 直角三角形的斜边是三条边中最长的边（斜边大于任意一条直角边）； ③ 特殊直角三角形：等腰直角三角形（两条直角边相等，两个锐角均为45°）、含30°角的直角三角形（30°角所对的直角边是斜边的一半）。 知识点2：直角三角形的锐角互余（核心性质，对应题型1、2） 1. 核心性质 文字语言：直角三角形的两个锐角互余（即：直角三角形中，两个锐角的和等于90°）。 符号语言：在Rt△ABC中，∵ ∠C = 90°（已知），∴ ∠A + ∠B = 90°（直角三角形的两个锐角互余）。 推导依据：三角形内角和定理（∠A + ∠B + ∠C = 180°，代入∠C = 90°，可得∠A + ∠B = 90°）。 适用场景：已知直角三角形的一个锐角，求另一个锐角；或证明两个角的互余关系。 2. 逆判定（题型2对应） 文字语言：如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形。 符号语言：在△ABC中，∵ ∠A + ∠B = 90°（已知），∴ ∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 90°，∴ △ABC是直角三角形（锐角互余的三角形是直角三角形）。 易错点：① 忽略“两个锐角和为90°”的条件，误判三角形为直角三角形；② 混淆“性质”与“逆判定”的推导方向（性质：直角三角形→锐角互余；逆判定：锐角互余→直角三角形）。 知识点3：勾股定理（本章核心，高频考点） 1. 核心内容 文字语言：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 符号语言：在Rt△ABC中，∠C = 90°，直角边AC = a，BC = b，斜边AB = c， 则a² + b² = c²（勾股定理）。 补充说明：① 适用前提：必须是直角三角形，非直角三角形不能运用勾股定理；② 对应关系：两直角边的平方和，等于斜边的平方，不可混淆“直角边”与“斜边”（易错点：误将斜边的平方与一条直角边的平方相加，等于另一条直角边的平方）；③ 常见勾股数：3、4、5；6、8、10；5、12、13（牢记常见勾股数，可快速求解边长）。 2. 勾股定理的应用 核心应用：已知直角三角形的任意两条边，求第三条边。 易错点：① 计算平方根时，忽略边长为正数（舍去负根）；② 混淆直角边与斜边，代入公式错误；③ 未先判定三角形为直角三角形，直接运用勾股定理。 3. 勾股定理的逆定理（直角三角形的另一种判定方法） 文字语言：如果一个三角形的三边长a、b、c满足a² + b² = c²，那么这个三角形是直角三角形，且斜边为c（最长边），直角在最长边所对的角。 符号语言：在△ABC中，三边长分别为a、b、c，若a² + b² = c²，则△ABC是Rt△，且∠C = 90°（斜边c所对的角为直角）。 补充说明：① 勾股定理的逆定理是“判定直角三角形”的重要方法，无需测量角度，只需验证三边关系即可；② 易错点：忽略“最长边”的判断，若a² + b² = c²，c必须是最长边，否则不能判定为直角三角形。 知识点4：斜边、直角边（HL）定理（直角三角形全等判定） 1. 定理核心内容 文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称“斜边、直角边”定理，记作HL）。 符号语言：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∵ ∠C = ∠F = 90°（两个三角形均为直角三角形），AB = DE（斜边相等），AC = DF（一条直角边相等），∴ Rt△ABC ≌ Rt△DEF（HL）。 补充说明：① 适用前提：仅针对两个直角三角形（非直角三角形不能运用HL定理判定全等）；② 必备条件：必须是“斜边”和“一条直角边”分别相等，缺一不可（不能用两条直角边相等直接用HL，两条直角边相等可用SAS判定）；③ 与一般三角形全等判定的区别：一般三角形全等需3个条件，而直角三角形全等可通过“斜边+一条直角边”快速判定，简化推理步骤。 2. 定理的应用 核心应用：判定两个直角三角形全等，进而证明直角三角形的边相等、角相等（可结合直角三角形锐角互余、勾股定理使用）。 易错点：① 非直角三角形运用HL定理判定全等；② 混淆HL定理与SAS定理（HL仅需斜边+一条直角边，SAS需两条边及夹角）；③ 忽略“两个三角形均为直角三角形”的前提条件。 3. 补充说明 直角三角形全等的判定方法有5种：SSS、SAS、ASA、AAS、HL；其中HL是直角三角形特有的全等判定方法，优先用于直角三角形全等的判定，简化解题过程。 知识点5：命题、逆命题、定理与互逆定理 1. 命题与逆命题（对应题型3、4） ① 命题：判断一件事情的语句叫做命题，每个命题都由“题设”（已知条件）和“结论”（由已知推出的结果）两部分组成；例如：“直角三角形的两个锐角互余”中，题设是“一个三角形是直角三角形”，结论是“它的两个锐角互余”；“勾股定理”的命题表述：“如果一个三角形是直角三角形，那么它的两直角边的平方和等于斜边的平方”。 ② 逆命题：把一个命题的题设和结论互换，得到的新命题叫做原命题的逆命题；例如：原命题“直角三角形的两个锐角互余”，逆命题是“两个锐角互余的三角形是直角三角形”；勾股定理的逆命题是“如果一个三角形的三边长a、b、c满足a² + b² = c²，那么这个三角形是直角三角形”。 ③ 关键补充：原命题成立，其逆命题不一定成立；例如：原命题“对顶角相等”成立，逆命题“相等的角是对顶角”不成立；但直角三角形锐角互余的原命题与逆命题均成立。 2. 定理与证明（对应题型5） ① 定理：经过推理证实是正确的命题，叫做定理（定理可以作为推理的依据）；本节课核心定理：直角三角形的两个锐角互余、勾股定理、勾股定理的逆定理。 ② 证明：从题设出发，经过一步步推理，最后推出结论成立的过程，叫做证明；证明的核心是“每一步推理都有依据”（依据可以是已知条件、定义、公理、已学定理）。 ③ 证明步骤规范：先写“已知”“求证”，再结合已知条件、定理，逐步推导，最后得出“求证成立”的结论，标注每一步的推理依据。 3. 互逆定理（对应题型6） ① 定义：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么这个逆命题也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理。 ② 核心示例（本节课重点）： - 定理1：直角三角形的两个锐角互余；逆定理：两个锐角互余的三角形是直角三角形（两者是互逆定理）； - 定理2：勾股定理；逆定理：勾股定理的逆定理（两者是互逆定理）。 ③ 易错点：混淆“互逆命题”与“互逆定理”；互逆命题只需“题设和结论互换”，无需证明；互逆定理必须满足“两个命题都是定理”（即都经过证明正确），缺一不可。 知识点5：反证法 1. 反证法的基本思路 先假设命题的结论不成立，然后推导出与已知条件、基本事实、定理等相矛盾的结果，从而证明原命题的结论一定成立（即“假设不成立，原结论成立”）。 核心步骤：假设 → 推导矛盾 → 否定假设 → 证明原结论成立（重点掌握前两步，尤其是“假设”的书写）。 2. 反证法的应用（结合直角三角形） 示例：用反证法证明“直角三角形的两个锐角互余”。 假设：直角三角形的两个锐角不互余（即两个锐角的和≠90°）； 推导矛盾：设Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A + ∠B ≠ 90°，则∠A + ∠B + ∠C = ∠A + ∠B + 90° ≠ 180°，与三角形内角和定理矛盾； 否定假设：因此，假设不成立； 证明原结论：直角三角形的两个锐角互余。 易错点：假设书写错误（未写结论的反面）；推导过程无依据，未明确指出“矛盾”；证明步骤不完整。 04 题型•汇总 【题型1 直角三角形的两个锐角互余】 【典例1】．如图，，点在上，交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质，得到，根据直角三角形的性质，得，解答即可． 本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：C． 跟随训练1-1．如图，在中，，，于点，于点，与交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理与三角形高线的性质，解题的关键是利用三角形高线交于一点的性质，结合直角三角形的角的关系计算角度． 先由三角形内角和求出的度数，再根据三角形三条高线交于一点得出，最后结合直角三角形的两个锐角互余，计算出的度数． 【详解】解：延长交于点M， 因为，， 所以． 因为，，与交于F， 根据“三角形的三条高线交于一点”，可得也是的一条高，即， 所以， 所以． 故选：B． 跟随训练1-2．如图，在中，，，，． (1)判断线段与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查垂直的定义，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的三线合一，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据垂直得到，再根据等量代换得到，再根据三角形的内角和定理证明即可； （2）先根据等腰三角形的三线合一求出长，根据得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：，理由为： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【题型2 锐角互余的三角形是直角三角形】 【典例2】．下列说法错误的是（    ） A．三角形的内角和等于 B．有两个角互余的三角形是直角三角形 C．若等腰三角形一边长为2，一边长为5，则它的周长为9或12 D．日常生活中，工程建筑常采用三角形的结构，因为三角形是具有稳定性的图形 【答案】C 【分析】本题考查三角形的内角和定理，直角三角形的判定，等腰三角形的定义，三角形的三边关系以及三角形的稳定性，根据相关知识点，逐一进行判断即可. 【详解】解：A、三角形的内角和等于，正确，不符合题意； B、有两个角互余的三角形是直角三角形，正确，不符合题意； C、若等腰三角形一边长为2，一边长为5，当腰长为2时，，不能构成三角形， 当腰长为5时，，能构成三角形，则周长为，原说法错误，符合题意； D、日常生活中，工程建筑常采用三角形的结构，因为三角形是具有稳定性的图形，正确，不符合题意； 故选C. 跟随训练2-1．下列命题中，是真命题的是（   ） A．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 B．相等的角是对顶角 C．有两个角互余的三角形是直角三角形 D．两点之间，直线最短 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质、对顶角的定义、直角三角形的判定、线段的性质．根据平行线的性质、对顶角的定义、直角三角形的判定、线段的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、两条平行直线同时被第三条直线所截，同旁内角互补，故原说法错误，不符合题意； B、相等的角不一定是对顶角，故原说法错误，不符合题意； C、有两个角互余的三角形是直角三角形，故原说法正确，符合题意； D、两点之间，线段最短，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 跟随训练2-2．下列条件中，不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，锐角互余的三角形是直角三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据三角形内角和定理，锐角互余的三角形是直角三角形等知识点，对四个选项逐一分析，再判断是否存在的角． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形， 故A不符合题意； ∵， ∴， ∴是直角三角形， 故B不符合题意； ∵， ∴， ∴是直角三角形， 故C不符合题意； ，仅知道一个角为，无法确定是否存在的角（如等边三角形三个角均为）， 不能判定△ABC为直角三角形， 故D符合题意； 故选：D． 【题型3 写出命题的逆命题】 【典例3】．下列命题中，逆命题是真命题的为（   ） A．若，则 B．全等三角形的对应边相等 C．对顶角相等 D．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 【答案】B 【分析】本题考查逆命题的真假判断，需先写出各选项的逆命题，再结合初中数学相关知识判断其真假即可． 【详解】解：A选项：原命题的逆命题为，则， ∵当，时，但， ∴该逆命题是假命题，不符合题意 B选项：原命题的逆命题为“对应边相等的三角形是全等三角形”， ∵根据全等三角形的判定定理，三边对应相等的三角形全等， ∴该逆命题是真命题，符合题意； C选项：原命题的逆命题为“相等的角是对顶角”， ∵等腰三角形的两个底角相等，但它们不是对顶角， ∴该逆命题是假命题，不符合题意； D选项：原命题的逆命题为“如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等”， ∵和的绝对值相等，但， ∴该逆命题是假命题，不符合题意； 故选：B． 跟随训练3-1．下列命题中，其逆命题成立的是（   ） A．全等三角形的对应角相等 B．如果两个实数相等，那么它们的平方也相等 C．如果两个实数都是正数，那么它们的积也是正数 D．如果两个角相等，那么这两个角是直角 【答案】D 【分析】本题主要考查了逆命题的概念、命题真假的判断、全等三角形的判定、实数平方的性质及直角的定义，熟练掌握写出原命题的逆命题并运用反例或定义判断其真假是解题的关键．先分别写出每个选项中原命题的逆命题，再逐一判断逆命题的真假，从而选出逆命题成立的选项． 【详解】解：A选项： 原命题全等三角形的对应角相等． 逆命题对应角相等的三角形是全等三角形． ∵相似三角形对应角相等，但不一定全等 ∴该逆命题是假命题，不成立． B选项： 原命题如果两个实数相等，那么它们的平方也相等． 逆命题如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等． ∵如和的平方相等，但 ∴该逆命题是假命题，不成立． C选项： 原命题如果两个实数都是正数，那么它们的积也是正数． 逆命题如果两个实数的积是正数，那么这两个实数都是正数． ∵两个负数的积也是正数，但负数不是正数 ∴该逆命题是假命题，不成立． D选项： 原命题如果两个角相等，那么这两个角是直角． 逆命题如果两个角是直角，那么这两个角相等． ∵直角的度数均为， ∴该逆命题是真命题，成立． 故选：D． 跟随训练3-2．写出命题“如果，那么”的逆命题： ． 【答案】如果，那么 【分析】本题考查根据原命题写逆命题，根据逆命题的定义，将原命题的条件和结论互换即可得到逆命题． 【详解】解：原命题的条件是“”，结论是“”，因此逆命题是“如果，那么”． 故答案为：如果，那么． 【题型4 判断是否为互逆命题】 【典例4】．下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 【答案】C 【分析】本题考查逆命题，根据条件和结论互换的两个命题互为逆命题，进行判断即可． 【详解】解：“同旁内角互补，两直线平行”的逆定理是“两直线平行，同旁内角互补”， 故选C． 跟随训练4-1．“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 【答案】A 【分析】根据逆命题，逆定理，公理，假命题的定义，分别对每一项进行分析即可． 【详解】“直角都相等”的条件是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等” “相等的角是直角” 的条件是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角” 条件和结论互换，所以是互为逆命题． 定理：“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”明显这个定理的逆命题是假命题， 所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理． 故选：A． 【点睛】本题考查了互为逆命题的知识，熟记互为逆命题的定义是解题关键． 跟随训练4-2．判断下列命题：①对顶角相等；②两条直线平行，同位角相等；③全等三角形的各边对应相等；④全等三角形的各角对应相等．其中有逆定理的是  (      ) A．①② B．①④ C．②④ D．②③ 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般一个命题可以写成如果那么的形式． 根据对顶角的定义对①进行判断；根据平行线的判定定理对②进行判断；根据全等三角形的判定方法对③④进行判断． 【详解】解：①对顶角相等没有逆定理； ②两直线平行，同位角相等的逆定理为：同位角相等，两直线平行； ③全等三角形的各边对应相等的逆定理为：各边对应相等的三角形全等； ④全等三角形的各角对应相等没有逆定理． 其中有逆定理的是：②③． 故选：D． 【题型5 定理与证明】 【典例5】．下列说法中，错误的是（  ） A．基本事实是真命题，但真命题不一定是基本事实 B．定义是命题，并且是真命题 C．“两点之间，线段最短”是基本事实 D．“两点之间，线段最短”是定理 【答案】D 【分析】本题考查基本事实、定理、命题与定义的概念辨析，关键是明确基本事实是无需证明的公认真命题，定理是经过逻辑推理证明的真命题，定义是对概念的准确描述且属于真命题． 【详解】解：选项A：基本事实是经过长期实践公认的真命题，而真命题包含基本事实、定理等，该说法正确； 选项B：定义是对概念的明确表述，是能够判断真假的陈述句，且表述内容正确，该说法正确； 选项C：“两点之间，线段最短”是初中几何中的基本事实，该说法正确； 选项D：“两点之间，线段最短”是无需证明的基本事实，并非经过推理证明的定理，该说法错误． 故选：D． 跟随训练5-1．下面关于基本事实和定理的说法不正确的是（  ） A．基本事实和定理都是真命题 B．基本事实就是定理，定理就是基本事实 C．基本事实和定理都可以作为推理论证的依据 D．基本事实的正确性需要经过实践检验，定理的正确性需要经过演绎推理 【答案】B 【分析】本题考查基本事实与定理的概念辨析，关键是明确两者的定义与区别：基本事实是经过长期实践检验、公认为正确的真命题，无需证明；定理是经过演绎推理证明为正确的真命题，二者都可作为推理论证的依据． 【详解】解：A选项：基本事实是公认的真命题，定理是经过严格演绎推理证明的真命题，因此两者都是真命题，该选项说法正确； B选项：基本事实是无需证明的公认的真命题，定理是需要经过演绎推理证明的真命题，二者概念不同，该选项说法错误； C选项：在数学推理论证过程中，基本事实和已被证明的定理都可以作为推理的依据，该选项说法正确； D选项：基本事实的正确性是通过长期的实践检验得以确认的，定理的正确性是通过演绎推理的方式证明得到的，该选项说法正确． 故选：B． 跟随训练5-2．下列说法中，正确的是（   ） A．所有的命题都有逆命题 B．所有的定理都有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 【答案】A 【分析】本题考查命题与逆命题的基本概念．命题由条件和结论组成，交换条件和结论即可得到逆命题，因此所有命题都有逆命题．但定理的逆命题不一定成立，真命题的逆命题不一定为真，假命题的逆命题不一定为假． 【详解】解：A、任何命题都可以通过交换条件和结论得到逆命题，即所有的命题都有逆命题，选项正确； B、定理的逆命题不一定为真，如“全等三角形对应角相等”的逆命题不成立，即不是所有定理都有逆定理，选项错误； C、真命题的逆命题可能为假，如“对顶角相等”的逆命题“相等的角是对顶角”为假，选项错误； D、假命题的逆命题可能为真，如“若两个角相等，则它们是对顶角”的逆命题“若两个角是对顶角，则它们相等”为真，选项错误； 故选：A． 【题型6 互逆定理】 【典例6】．下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．全等三角形的对应边相等 B．直角三角形的两锐角互余 C．等腰三角形的两个底角相等 D．全等三角形的对应角相等 【答案】D 【分析】本题考查定理与逆定理，分别根据全等三角形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质进行判断即可． 【详解】解：A选项的逆命题对应边相等的三角形全等是全等判定，则有逆定理，故本选项不符合题意； ∵ B选项的逆命题两锐角互余的三角形是直角三角形由三角形内角和，则有逆定理，故本选项不符合题意； ∵ C选项的逆命题两个角相等的三角形是等腰三角形是等腰三角形的判定定理，则有逆定理，故本选项不符合题意； ∵ D选项的逆命题对应角相等的三角形全等不一定成立，如两个等边三角形可能相似但不全等，则没有逆定理，故本选项符合题意； 故选：D． 跟随训练6-1．下列说法正确的是（    ） A．任何定理都有逆定理 B．只有定理的逆命题是真命题时，它才有逆定理 C．只有原命题是真命题时，它的逆命题才是真命题 D．定理的逆命题都是真命题 【答案】B 【分析】本题考查定理与逆定理的概念．定理的逆命题不一定是真命题，只有当逆命题为真时，才能称为逆定理．选项A错误，因为并非所有定理都有逆定理；选项C错误，因为原命题与逆命题的真假无必然联系；选项D错误，因为定理的逆命题不一定为真． 【详解】解：∵定理的逆命题不一定是真命题， ∴只有当逆命题为真时，才有逆定理， ∴选项B正确． ∵选项A任何定理都有逆定理，但如定理“对顶角相等”的逆命题“相等的角是对顶角”为假命题，故无逆定理， ∴A错误． ∵选项C原命题是真命题时，它的逆命题才是真命题，但原命题是真命题时逆命题可能是假命题（如“对顶角相等”）， ∴C错误． ∵选项D定理的逆命题都是真命题，但如上例逆命题为假命题， ∴D错误． 故选B． 跟随训练6-2．下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．两直线平行，内错角相等 B．全等三角形的对应边相等 C．对顶角相等 D．直角三角形的两个锐角互余 【答案】C 【分析】本题考查了逆定理的定义，掌握判断定理是否有逆定理的方法是解题的关键． 判断每个定理的逆命题是否为真命题，逆命题为假的定理没有逆定理． 【详解】解：∵A的逆命题内错角相等，两直线平行为真命题， ∴A有逆定理，不符合题意； ∵B的逆命题对应边相等的三角形全等为真命题， ∴B有逆定理，不符合题意； ∵C的逆命题相等的角是对顶角为假命题， ∴C没有逆定理，符合题意； ∵D的逆命题两个锐角互余的三角形是直角三角形为真命题， ∴ D有逆定理，不符合题意． 故选：C． 05 过关•检测 1．在中，若是直角，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的性质，利用直角三角形两个锐角互余的性质计算的度数． 【详解】解：是直角三角形，是直角． （直角三角形的两个锐角互余）． 又． ． 故选：D． 2．下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．直角三角形的两锐角互余 B．全等三角形的对应角相等 C．等边三角形的每个角都是 D．等腰三角形的底角相等 【答案】B 【分析】本题考查了逆命题，判断命题的真假． 先写出各选项命题的逆命题，再结合三角形相关性质判断逆命题真假，找出逆命题为假的选项即可． 【详解】解：A选项：原命题逆命题为两锐角互余的三角形是直角三角形， ∵三角形内角和为，若两锐角互余即和为， ∴第三个角为，该三角形是直角三角形，逆命题为真命题； B选项：原命题逆命题为对应角相等的三角形是全等三角形， ∵仅角相等不能保证边也相等（如边长不同的等边三角形）， ∴该逆命题为假命题； C选项：原命题逆命题为每个角都是的三角形是等边三角形， ∵三角形三个角均为，根据等角对等边，三边相等， ∴该三角形是等边三角形，逆命题为真命题； D选项：原命题逆命题为有两个角相等的三角形是等腰三角形， 根据等角对等边的性质，可知该逆命题为真命题； 故选：B． 3．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，，爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用，解题的关键是证明；先利用推出，结合及直角条件证明三角形全等，得到、，再通过线段和差求出的长度，进而计算出爸爸接住小丽时的高度． 【详解】解：由题意可知，，， ∵， ∴， 又∵， ∴． 在与中， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴处高度为． 故选：A． 4．如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余，根据直角三角形的两个锐角互余可得，进而根据角平分线的定义，即可求解． 【详解】解：，， ， 由作图，可知是的平分线， ， ． 故选：D． 5．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，折叠后点，在同一直线上，已知，求的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握折叠的不变性． 先根据直角三角形锐角互余以及折叠的性质得到，然后根据平行得到，再根据求解即可． 【详解】解：∵长方形中，，，， ∴， 由折叠得，， ∴， ∵， ∴ 由折叠可得，， ∴， 故选：B， 6．一块木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下（），支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若摩擦力与重力方向的夹角，则斜面的坡角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，延长交于点，构造直角三角形，根据直角三角形的两个锐角互余找角之间的关系． 【详解】解：如下图所示，延长交于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ． 故选：A． 7．小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，．第一步，在边上找一点D，将纸片沿折叠，点A落在处，如图2；第二步，将纸片沿折叠，点D落在处，如图3．当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了轴对称变换，直角三角形两锐角互余，正确的作出图形是解题的关键．因为点恰好在原直角三角形纸片的边上，所以分为当落在边上和边上两种情况分析求解即可． 【详解】解：将纸片沿折叠，点A落在处，将纸片沿折叠，点D落在处， ． 分两种情况讨论∶如图，当点恰好落在边上时， 则． ， ． 如图，当点恰好落在边上时， 根据轴对称的性质知， ， ． ， ． ， ． ， ； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 8．如图，有一张三角形纸片．其中．将该纸片沿剪开，得到一张四边形纸片，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形性质，平角的定义，解题的关键是掌握以上性质． 根据直角三角形的性质得出，然后根据平角的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：． 9．在下列条件中：①；②；③，能确定是直角三角形的条件有 个． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用．根据三角形内角和定理，分别计算每个条件下三角形最大角的度数，判断是否为90°． 【详解】解：①：由和三角形内角和为，得， 所以，故是直角三角形． ②：设，，，则，解得， 所以，故是直角三角形． ③：由，得，则，故是直角三角形． 因此，三个条件都能确定是直角三角形， 故答案为：． 10．如图，，，于点，若，则的度数为 ． 【答案】/65度 【分析】本题考查了平行线的性质，等边对等角，直角三角形的性质．根据直角三角形两锐角互余求得的度数，利用等边对等角求得，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11．已知命题“若，则”，写出这个命题的逆命题 ． 【答案】若，则 【分析】本题考查的是写出命题的逆命题，通过互换原命题的条件和结论，即可解题． 【详解】解：原命题是“若，则”，根据逆命题的定义，将条件“”和结论“”互换，得到逆命题“若 ，则”． 故答案为：若，则． 12．如图，在中，，于点，平分交于点，平分交于点，交于点，交于点．有以下4个结论：①；②；③；④．其中正确的有 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了直角三角形的性质、角平分线的定义、对顶角相等、三角形内角和定理，掌握利用角度和差关系及角平分线性质推导垂直和等角关系是解题的关键． ①利用直角三角形中同角的余角相等，判断与的关系；②通过角平分线定义和余角性质，结合对顶角相等，证明； ③先由同角余角相等得到，再结合角平分线推出，进而证明； ④利用三角形内角和判断与的大小关系． 【详解】解：∵， ∴，． ∵， ∴，，①正确，符合题意； ∵平分， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴，②正确，符合题意； ∵平分 ， 平分， ∴， ∵， ∴ ∵且， ∴ ，即 ∴ ，即③正确，符合题意； 由③易得，由三角形内角和可得，， ∴， ④错误，不符合题意． 综上所述，正确的有①②③． 故答案为：①②③． 13．如图，在中，，是高，，，求的长度． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形两锐角互余，在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 先由互余关系得到，然后对，运用角直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， 在中，， 在中，， ． 14．已知：如图，在和中，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握定理是解答的关键． 证明，利用全等三角形的对应角相等可得答案． 【详解】证明：， 在和中， ， ， ． 15．如图，在中，，点在上，连接，以点为直角顶点，为直角边作等腰直角，交于点，，点为上一点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及角度的计算． （1）通过直角三角形两锐角互余以及同角的余角相等来证明； （2）构造全等三角形，利用全等三角形的性质以及线段之间的关系来证明． 【详解】（1）证明∶， ． ， ． ． ． （2）解：如图，取的中点M，连接， ． ， ． ． 由（1）知． ， ． 是等腰直角三角形， ． 在和中 ． ． ， ． ， ． ． ． ． 16．如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点作交于点E，交的延长线于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若D为中点，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练运用相关性质与勾股定理． （1）利用等腰三角形的性质和直角三角形两锐角互余，证明； （2）利用勾股定理在中求解，先求出的长度，再计算． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 在中，； 在中，． ∵ ， ∴ ． 又∵ （对顶角相等）， ∴ ， ∴ ， ∴ 是等腰三角形． （2）解：∵ ，为中点， ∴ 在中，，， 由勾股定理得： ． 答：的长为． 17．如图，在等边中，线段为边上的高．动点D在射线上时，以为一边在的下方作等边，连结．    备用图 (1)填空：______度； (2)若点D在线段上时，求证：； (3)当动点D在射线上移动时，设直线与直线的交点为O，试判断是否为定值？并说明理由．（提醒：分点D在线段上和点D在线段的延长线上两类探究） 【答案】(1) (2)见解析 (3)是定值，，理由见详解 【分析】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，掌握“手拉手”的全等模型是解题关键； （1）根据三线合一即可求解； （2）根据等边三角形的性质，利用即可证明； （3）分类讨论：①当点在线段上时，②当点在线段的延长线上时，利用全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形，线段为边上的高． ∴且平分； ∴； （2）证明：由题意得：， ∴，即； ∴； （3）解：是定值，理由如下： ∵为等边三角形， ∴， ①当点在线段上时，如图1， 由（2）得 ∴， ∴， ∵， ∴； ②当点在线段的延长线上时，如图2， ∴，即； 同理可证， ∴， 同理可得； 综上所述，是定值，． 18．阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是______； (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，，，求的长； (3)拓展延伸：如图3．在平面直角坐标系中，，，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先证明，，利用“”证明，由全等三角形即可证明结论； （2）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，再结合，即可获得答案； （3）过点作轴，过点作轴，过点作轴，、、分别交于点、，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，结合点，的坐标进一步求解即可． 【详解】（1）解：与的数量关系是，证明如下： ∵，， ∴， ∵， ∴。 ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：； （2），，， ， ，， ， 在与中， ， ， ，， 又， ； （3）解：过点作轴，过点作轴，过点作轴，、、分别交于点、， 轴，轴，轴， ，， 又， ，，， ， 在与中， ， ， ，， ，， ，， ，， 点坐标为． 【点睛】本题主要考查了直角三角形两锐角互余、全等三角形的判定与性质、坐标与图形等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $