1.2等腰三角形同步培优讲义（6知识点+16大题型+过关检测）2025-2026学年北师大版八年级数学下册同步培优讲义

1.2等腰三角形同步培优讲义 （6知识点+16大题型+过关检测） 【题型1 等边对等角】 5 【题型2 三线合一】 7 【题型3 等边三角形的性质】 10 【题型4 根据等角对等边证明等腰三角形】 14 【题型5 根据等角对等边证明边相等】 17 【题型6 根据等角对等边求边长】 20 【题型7 等腰三角形的性质和判定】 23 【题型8 格点图中画等腰三角形】 29 【题型9 找出图中的等腰三角形】 31 【题型10 直线上与已知两点组成等腰三角形的点】 34 【题型11 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点】 38 【题型12 反证法证明中的假设】 43 【题型13 用反证法证明命题】 44 【题型14 等边三角形的判定】 46 【题型15 等边三角形的判定和性质】 48 【题型16 含30度角的直角三角形】 53 · 理解等腰三角形、等边三角形的定义，能准确识别等腰三角形（含腰、底边、顶角、底角）和等边三角形。 · 牢记等腰三角形“等边对等角”“三线合一”的核心性质，掌握等边三角形的所有性质，能直接运用性质解决基础计算题。 · 掌握等腰三角形“等角对等边”的判定方法，能根据角的关系判断三角形是否为等腰三角形，完成基础判定推理。 03 知识•梳理 前置回顾（衔接1.1知识点，铺垫本节课内容） 1. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°，直角三角形的两个锐角互余（本节课求角、判定常用依据）。 2. 三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和（综合题型中角的转化常用）。 3. 轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形（等腰三角形是轴对称图形，是“三线合一”性质的本质依据）。 4. 引入：等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有三角形的所有性质，同时还有自身独特的性质和判定方法，本节课重点学习等腰三角形、等边三角形的性质、判定，并结合指定题型巩固应用，提升几何推理能力。 知识点1：等腰三角形的定义（基础，精准识别） 1. 定义内容 文字语言：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；两条相等的边叫做腰，另一条边叫做底边；两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。 符号语言：如图，在△ABC中，AB = AC，则△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边，∠BAC为顶角，∠B、∠C为底角。 2. 关键补充 ① 等腰三角形的底角一定是锐角（推导：由三角形内角和为180°，两个底角相等，若底角为直角或钝角，则两个底角和≥180°，不符合三角形内角和定理）； ② 特殊情况：三条边都相等的三角形（等边三角形）是特殊的等腰三角形（腰与底边相等，三个角均为底角）； ③ 易错点：误将“顶角”当作“底角”，或混淆“腰”与“底边”的定义（尤其在未明确标注的图形中）。 知识点2：等腰三角形的性质（核心重点，对应题型1-3） 1. 性质1：等边对等角（高频考点，对应题型1） 文字语言：等腰三角形的两底角相等（即：在等腰三角形中，相等的两条边所对的角相等）。 符号语言：在△ABC中，∵ AB = AC（已知），∴ ∠B = ∠C（等边对等角）。 补充说明：① 仅适用于等腰三角形；② 反过来“等角对等边”是判定方法，而非性质，注意区分；③ 可直接用于求等腰三角形的未知角（已知顶角求底角、已知底角求顶角）。 2. 性质2：三线合一（核心难点，对应题型2） 文字语言：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称“三线合一”）。 符号语言：在△ABC中，AB = AC，点D在BC上： ① 若AD平分∠BAC，则AD⊥BC，BD = CD； ② 若AD是BC边上的中线（BD = CD），则AD平分∠BAC，AD⊥BC； ③ 若AD是BC边上的高（AD⊥BC），则AD平分∠BAC，BD = CD。 关键注意事项：① “三线合一”仅适用于等腰三角形，且针对“顶角平分线、底边上的中线、底边上的高”（腰上的中线、高与顶角平分线不重合）；② 运用时需先明确“三角形是等腰三角形”这一前提；③ 易错点：忽略前提条件，随意运用“三线合一”。 3. 等腰三角形的其他性质 ① 等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是顶角平分线（或底边上的中线、底边上的高）所在的直线； ② 等腰三角形的两腰上的高相等、两腰上的中线相等、两底角的平分线相等（拓展性质，可用于证明边相等）。 知识点3：等边三角形的性质与判定（重点，对应题型3、14、15） 1. 等边三角形的定义 三条边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形），是特殊的等腰三角形（三条边均为腰，三个角均为底角）。 2. 等边三角形的性质（对应题型3） ① 三边相等：AB = BC = AC； ② 三角相等，且每个角都等于60°：∠A = ∠B = ∠C = 60°（由等边对等角、三角形内角和定理推导）； ③ 具备等腰三角形的所有性质（三线合一、轴对称图形），且有三条对称轴（每条边上的中线、高、所对内角的平分线所在直线均为对称轴）； ④ 易错点：误认为“等边三角形只有三条边相等”，忽略“三个角均为60°”的性质。 3. 等边三角形的判定（对应题型14、15） 方法1（定义判定）：三条边都相等的三角形是等边三角形（AB = BC = AC → △ABC是等边三角形）； 方法2（角判定）：三个角都相等的三角形是等边三角形（∠A = ∠B = ∠C → △ABC是等边三角形）； 方法3（特殊等腰三角形判定）：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形（AB = AC，∠A = 60° → △ABC是等边三角形）； 补充说明：判定时优先考虑定义或方法3，结合等腰三角形的性质，简化推理步骤；易错点：运用方法3时，忽略“等腰三角形”前提（仅有一个角为60°，不能判定为等边三角形）。 知识点4：等腰三角形的判定（核心重点，对应题型4-7） 1. 核心判定方法：等角对等边 文字语言：有两个角相等的三角形是等腰三角形（即：在三角形中，相等的两个角所对的边相等）。 符号语言：在△ABC中，∵ ∠B = ∠C（已知），∴ AB = AC（等角对等边）。 2. 判定与性质的区别（重点，突破易错点） ① 性质（等边对等角）：已知“边相等”，推出“角相等”（由边→角），用于求角、角的关系证明； ② 判定（等角对等边）：已知“角相等”，推出“边相等”（由角→边），用于判断三角形是否为等腰三角形、边相等证明； ③ 易错点：混淆“性质”与“判定”的推导方向，如误将“等角对等边”当作性质运用，或误将“等边对等角”当作判定运用。 3. 判定的拓展应用 结合三角形内角和、外角性质，可通过角的关系（如角平分线、平行线转化的角相等），间接运用“等角对等边”判定等腰三角形、证明边相等、求边长（对应题型5-7）。 知识点5：含30°角的直角三角形的特殊性质（重点，对应题型16） 文字语言：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 符号语言：在Rt△ABC中，∵ ∠C = 90°，∠A = 30°（已知），∴ BC = $\frac{1}{2}$AB（30°角所对的直角边等于斜边的一半）。 关键注意事项：① 前提条件：必须是“直角三角形”，且角为“30°的锐角”；② 对应关系：30°角所对的“直角边”，对应斜边的一半（不能混淆直角边与斜边）；③ 可逆用：在直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于30°（拓展应用）。 知识点6：反证法（拓展重点，对应题型12、13） 1. 反证法的基本思路 先假设命题的结论不成立，然后推导出与已知条件、基本事实、定理等相矛盾的结果，从而证明原命题的结论一定成立（即“假设不成立，原结论成立”）。 核心步骤：假设 → 推导矛盾 → 否定假设 → 证明原结论成立（八下重点掌握前两步，尤其是“假设”的书写）。 2. 反证法的关键要点（对应题型12、13） ① 假设的书写（题型12）：假设命题的结论“反面成立”，注意“反面”要全面（如“结论是相等”，假设为“不相等”；“结论是唯一”，假设为“不唯一”）； ② 矛盾的推导：推导过程要严谨，结合已知条件、定理（如三角形内角和、等腰三角形性质），推出与已知、定理相矛盾的结果（如内角和超过180°、边既相等又不相等）； ③ 易错点：假设书写错误（未写结论的反面）、推导过程无依据、未明确指出“矛盾”，导致证明不完整。 易错点汇总（高频考点，重点突破） · 1. 定义类：混淆等腰三角形的“腰”与“底边”、“顶角”与“底角”；误认为“等边三角形不是等腰三角形”。 · 2. 性质与判定类：混淆等腰三角形的性质（等边对等角，边→角）与判定（等角对等边，角→边）；运用“三线合一”时，忽略“等腰三角形”前提。 · 3. 等边三角形类：判定时，忽略“有一个角是60°的等腰三角形”中的“等腰三角形”前提；误用性质，忽略“三个角均为60°”。 · 4. 找点、作图类：未分类讨论，导致漏解；格点图中，画出的点不在格点上，或三角形不是等腰三角形。 · 5. 反证法类：假设书写错误（未写结论的反面）；推导过程无依据，未明确指出“矛盾”；证明步骤不完整。 · 6. 含30°角的直角三角形类：忽略“直角三角形”前提；混淆“30°角所对的直角边”与“斜边”的关系。 04 题型•汇总 【题型1 等边对等角】 【典例1】．在中，，，则的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题主要考查了等边对等角和三角形内角和定理．依题意可知该三角形为等腰三角形，利用等腰三角形的性质得另外两角相等，结合三角形内角和易求的值． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 跟随训练1-1．“三等分角”大约是在公元前五世纪提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意一个角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，，点可在槽中滑动．若，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了等边对等角，三角形外角的性质，根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，，即， 故答案为： ． 跟随训练1-2．已知直线，将以，为两腰的等腰的顶点，按如图所示的方式分别放在直线上，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，先根据等边对等角得出，然后根据三角形内角和定理求出，然后根据角的和差关系求出，最后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图， 根据题意，得， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【题型2 三线合一】 【典例2】．如图，在中，，是边上的中线，平分．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的角平分线的定义，三角形的外角性质，根据是边上的中线，可得，平分，可得， ，进而根据平分，可得，再根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：∵在中，，是边上的中线，平分 ∴，平分， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴ 故选：A． 跟随训练2-1．如图，在中，是边上一点．若，则的长为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理和等腰直角三角形，过点A作于点E，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理解答即可． 【详解】解：过点A作于点E， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 跟随训练2-2．如图，在中，，，，在射线上找一点，将扩充为等腰三角形，则的长为（   ） A．或或 B．或 C．或或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和性质，勾股定理，先由勾股定理求出，然后分当时，当时，当时，三种情况分析求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 如图，当时， ∴； 如图，当时， ∵， ∴， ∴； 如图，当时，过作于点， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， 综上可得：的长为或或， 故选：． 【题型3 等边三角形的性质】 【典例3】．如图，等边中，是的中点，于点，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质以及线段中点的定义，熟练掌握在直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 利用等边三角形的性质，得到，由，在中，求得，从而得到因为是中点，且，所以，进而推出．结合，列方程求出的长度． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 跟随训练3-1．如图，是等边三角形，是的角平分线，过点作于点；若，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半是解答的关键． 先根据等边三角形的性质得到，，，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵是的角平分线， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， 故选：C． 跟随训练3-2．已知是等边三角形，点在上，点在的延长线上，，交于点，，若，且，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角直角三角形的性质，过点D作交于点H．先证明，可得，求出，设，则，，然后利用含角直角三角形的性质得到，然后代入求解即可． 【详解】解：如图，过点D作交于点H． ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 【题型4 根据等角对等边证明等腰三角形】 【典例4】．如图，是等边三角形、是中线，延长至点，使、连接．判断的形状，并说明理由． 【答案】等腰三角形，见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握以上性质． 根据等边三角形的性质以及三线合一得出角的度数，再根据三角形的外角定理和等边对等角得出，最后根据等角对等边得出结论即可． 【详解】解：是等腰三角形．理由如下： 是等边三角形， ． 是中线， ． ， ． ， ． ． ． 是等腰三角形． 跟随训练4-1．如图，在四边形中，，点为边上一点，，分别平分，，延长交的延长线于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及平行线的性质． （1）要证明是等腰三角形，可利用平行线的性质及角平分线的定义，证明，进而得到，即可判定为等腰三角形； （2）先利用等腰三角形三线合一的性质得到，再证明，得到，结合已知的长度求出的长，最后根据等腰三角形即可求出的长． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：由（1）知，， 平分， ，且， 在和中，， ， ， ， ， ． 跟随训练4-2．如图①，是等边三角形，，分别交，于点，． (1)请补全证明过程． 证明：是等边三角形， ，． ， ， ， ， （ ）． 是等腰三角形． 又，是等边三角形． (2)如图②，等边三角形的两条角平分线相交于点，延长至点，使得．求证：是等边三角形． 【答案】(1)，，等角对等边 (2)见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的性质，外角定理，掌握等边三角形的角为，有一个角为的等腰三角形是等边三角形是解题的关键． （1）利用平行线的同位角相等，结合等边三角形的角为，得到，从而由等角对等边得，再结合判定等边三角形； （2）利用等边三角形角平分线的性质求出和的度数，通过外角定理得，结合判定等边三角形． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴（等角对等边） ∴是等腰三角形 ∵ ∴是等边三角形 （2）证明：是等边三角形， ． 是的平分线，是的平分线， ，， ． 是的外角， ． ， 是等边三角形． 【题型5 根据等角对等边证明边相等】 【典例5】．如图，已知为内一点，平分，，．若，，则的长为（    ） A．2 B．1.5 C．3 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造出等腰三角形是解题关键． 延长交于点，证明，得，，然后利用等腰三角形的判定可求出，进而得到． 【详解】解：延长交于点， ∵平分，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 跟随训练5-1．若中，，的周长是12，设长为，长为，则关于的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，函数关系式，熟练掌握等腰三角形判定与性质是解本题的关键． 根据三边相加等于周长即可得出y关于x的函数表达式． 【详解】解：∵， ∴， 根据题意得：， ∴． 由题意可得：，即， 解得， 故答案为：． 跟随训练5-2．已知：如图，在中，，，垂足为平分交分别于点，点为的中点，过点作交于， (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，勾股定理，角平分线的定义以及平行线的性质等： （1）根据等角的余角相等可得，从而得到，即可求证； （2）连接，根据角平分线的定义以及平行线的性质可得，从而得到，可得到，从而得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵，点为的中点， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型6 根据等角对等边求边长】 【典例6】．如图，在等边中，是的平分线，点在的延长线上，连接．若，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角性质，等角对等边． 设，由等边三角形的性质可得，，，再根据三角形外角性质可得，得到，进而列式计算即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形，设， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：4． 跟随训练6-1．如图，长方形沿直线折叠，使点落在同一平面内的点处，与交于点，，．则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了折叠的性质，等角对等边，平行线的性质，勾股定理； 先证明，再根据等角对等边，得出，然后设，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求得的值即可． 【详解】解：由折叠得，， ∵在长方形中，， ∴， ， ， 设，则， 在直角三角形中，，即， 解得， 的长为， 故答案为：5． 跟随训练6-2．如图，已知，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形．若，则等于（    ） A．18 B．21 C．24 D．27 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据等边三角形的性质得出相等的边和角的度数，根据三角形的外角定理求出角的度数，然后利用等角对等边得出相等的边，最后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 同理可得：， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 故选：B． 【题型7 等腰三角形的性质和判定】 【典例7】．如图，将等腰直角三角形放置于平面直角坐标系中，直角顶点位于轴上的点处，点对应的坐标为，则点对应的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解题关键．分别过点作轴的垂线，垂足为，易得，，再证明，由全等三角形的性质可得，，进而可得，即可确定点对应的坐标． 【详解】解：如下图，分别过点作轴的垂线，垂足为， 则， ∵，， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 跟随训练7-1．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（本题共2问，每问不超过5条线）． (1)在图1中，画的高和中线； (2)在图2中，在线段上画一点，使得，再在线段上找一点，使得． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查作图，掌握网格的特点，勾股定理，矩形的性质是关键． （1）根据三角形全等的判定和性质，矩形的判定和性质作图即可求解； （2）根据格点与勾股定理可作等腰直角三角形得到，根据网格的特点可作平行线，由此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 在格点上取一点，设交于点，由题意得到是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴即为的高； 如图所示，取格点，连接交于点，连接， 根据格点特点得到，， ∴四边形是矩形， ∴点是线段的中点， ∴是的中线； （2）解：如图所示， 取格点，连接，交于点， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴是等腰直角三角形，则， ∴， ∴点M即为所求点的位置； 如图所示， 取格点，连接交于点，连接，则． 跟随训练7-2．（1）问题发现：如图①，点为等边边上一动点，以为边作等边，连接．猜想与的数量关系为 ， ． （2）类比探究：与均为等腰直角三角形，．如图②，若点为线段上一动点，试判断、、存在什么数量关系，并说明理由． （3）拓展延伸：在（2）的基础上，若点为线段延长线上一动点，如图③，当，，请你直接写出四边形的面积． 【答案】（1），；（2）；理由见解析；（3）60 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质． （1）通过证明，即可得出结论； （2）通过证明，推出，，利用勾股定理即可得出结论； （3）连接，过点A作于点H，先求出，，则，再通过证明，得出，，，进而得出，最后根据，即可解得． 【详解】解：（1）∵，均为等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 故答案为：，60； （2），理由如下 ∵与均为等腰直角三角形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴，即； （3）连接，过点A作于点H， ∵为等腰直角三角形，， ∴点H为中点， ∵，， ∴，， ∴， ∵与均为等腰直角三角形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴，则， ∴， ∴． 【题型8 格点图中画等腰三角形】 【典例8】．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，以为腰，为顶角作等腰三角形（点在格点上），则的面积为（   ） A．3 B．5 C．3或5 D．4或6 【答案】C 【分析】本题考查网格中的等腰三角形，与三角形有关的计算，根据等腰三角形的定义，结合网格特点，画出，利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，作图如下： 由图可知：的面积为或； 故选：C． 跟随训练8-1．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查由等腰三角形定义构造等腰三角形，熟记等腰三角形定义是解决问题的关键． 由等腰三角形定义，在网格中作出图形即可确定答案． 【详解】解：如图所示： 使得为等腰三角形的情况有：、、、、、、、，共8个， 故选：D． 跟随训练8-2．图①，图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点，均在格点上．在图①，图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中，画等腰三角形，使其面积为4（画出一个即可）； (2)在图②中，画等腰直角三角形，使其面积为（画出一个即可） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—应用与设计，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，掌握数形结合的思想是解题的关键． （1）取格点C，连接，得到，则，即为所求； （2）取格点D，连接，得到，则，得出，故得等腰直角三角形且，即为所求． 【详解】（1）解：如图①，即为所求． （2）解：如图②，即为所求． 【题型9 找出图中的等腰三角形】 【典例9】．如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题． 根据已知条件和等腰三角形的判定定理，结合三角形的内角和定理对图中的三角形进行分析，即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形， 综上，图中共有5个等腰三角形， 故选：A． 跟随训练9-1．如图，在中，，点在内，，图中一共有（    ）个等腰三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形； ， ∴是等腰三角形， 综上分析可知：等腰三角形有：， 故选：A． 跟随训练9-2．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． (1)画出与关于轴对称的； (2)点关于轴对称的点的坐标为________； (3)是轴上的一个动点，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的动点的个数为________个． 【答案】(1)图见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了轴对称作图、轴对称的性质、等腰三角形的定义和性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． （1）根据轴对称的性质确定点、、关于轴的对称点、、，然后顺次连接即可； （2）关于轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得答案； （3）根据等腰三角形的定义，分以为等腰三角形的腰和以为等腰三角形的底两种情况，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：点关于轴的对称点的坐标为． 故答案为：； （3）解：如图， 当以为等腰三角形的腰时，可得，，， 当以为等腰三角形的底时，可得， 所以，以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，符合条件的动点有个． 故答案为：． 【题型10 直线上与已知两点组成等腰三角形的点】 【典例10】．如图，直线a，b相交于点O，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，两条边相等的三角形为等腰三角形，利用分类讨论，由每种情况的特点选择合适的方法确定点B是解题的关键．分别以点O、A、B为顶点的等腰三角形有3种情况，分别为，，，从这三方面分别考虑点B的位置． 【详解】解：如图所示， 当时，以点为圆心，的长为半径作圆，与直线b在点两侧各有一个交点，此时B点有2个； 当时，以点A为圆心，的长为半径作圆，与直线b有一个交点，此时B点有1个； 当时，作的垂直平分线，与直线b有一个交点，此时B点有1个； ∴满足条件的B点总共有4个， 故选：D． 跟随训练10-1．如图，已知直线于点O，点A，B分别在上，，在直线或直线上找一点C，使是以为腰的等腰三角形，则这样的C点有（   ） A．3个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．根据等腰三角形的性质，利用以为半径，分别以和点为圆心画圆求解即可． 【详解】解：使△是等腰三角形， 当以当腰时，则以点为圆心，为半径画圆交，有三点，所以有三个， 当以点为圆心，为半径画圆，交，有三点，所以有三个． 所以共6个． 故选：C． 跟随训练10-2．如图，在每个小正方形的边长都为1个单位的网格中建立平面直角坐标系， 的三个顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)请画出关于轴对称的△（其中，，分别是，，的对应点，不写画法）； (2)在轴上求作点，使的值最小．（不需计算，在图上标记出点的位置） (3)点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的点有 ___ 个． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)10 【分析】本题考查轴对称作图，熟练掌握轴对称的性质，等腰三角形的性质，两圆一线确定等腰三角形的方法是解题的关键． （1）由点的对称性，作出图形即可； （2）作点B关于x轴的对称点，连接点B的对称点和点A交轴于点P，点P即为所求； （3）利用两圆一线确定等腰三角形，作出图形即可求解. 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，点P即为所求； （3）解：如图：以为圆心，长为半径作圆，此圆与坐标轴有个交点， 以为圆心，长为半径作圆，此圆与坐标轴有个交点， 作线段的垂直平分线，此线与坐标轴有个交点， 是等腰三角形时，点坐标有个， 故答案为． 【题型11 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点】 【典例11】．在平面直角坐标系中，为原点，已知点，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质以及平面直角坐标系中点的坐标特征． 解题的关键在于分情况讨论等腰三角形中哪两条边相等，再结合点在轴上这一条件，确定点的位置． 【详解】解：当时 已知，根据两点间距离公式，可得． 因为点在轴上，设，则． 由，即，解得，此时点的坐标为或，有个点． 当时 设，，根据两点间距离公式，． 因为，且，所以． 两边同时平方可得，即． 开方得． 当时，，此时与原点重合，不符合三角形的定义，舍去． 当时，，此时点的坐标为，有个点． 当时 设，，，． 由，即． 两边同时平方可得． 展开得． 移项化简得，解得，此时点的坐标为，有个点． 综上，符合条件的点有，，，，共个． 故选D． 跟随训练11-1．如图，平面直角坐标系中两点，，下列坐标的点不能与，两点构成等腰三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的判定．利用勾股定理求得，利用待定系数法求得直线的解析式为，根据等腰三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：∵点，， ∴， 对于点， ， ∴点能与，两点构成等腰三角形，则选项A不符合题意； 对于点， ， ∴点能与，两点构成等腰三角形，则选项B不符合题意； 对于点， ， ∴点能与，两点构成等腰三角形，则选项C不符合题意； 对于点， 设直线的解析式为，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点在直线上， ∴点不能与，两点构成三角形，则选项D符合题意； 故选：D． 跟随训练11-2．如图，在梯形中，，点从点出发以的速度向点运动，点从点出发以的速度在线段间往返运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动． (1)当为何值时，四边形的面积为36？ (2)时，若，当为何值时，是等腰三角形？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查梯形的面积，全等三角形的判定及性质，勾股定理和等腰三角形的判定及性质，根据设问找到对应线段之间的等量关系是解题关键． （1）分两种情况讨论，用含t的代数式表示出对应线段，通过梯形的面积公式求解即可； （2）根据等腰三角形的腰的不确定，分两种情况讨论，借助勾股定理和全等三角形的判定与性质，用含t 的代数式表示出对应线段，利用腰相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：分两种情况讨论： 第一种：点P抵达点C前，则，，，， 由题意，可得，， ∴即为梯形的高， 由梯形的面积公式可得，梯形的面积为， 令， 解得， 第二种：点P抵达点C后， ，， ∴当点P抵达点C时，，， ∴， 故梯形的面积为， 故该种情况不存在， ∴； （2）解：由（1）可知，此时点P在抵达点C前，则，，，， 分两种情况讨论： 第一种：如图，，过点Q作于点E，连接， 又， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， 解得； 第二种，如图，，过点P作于点E， 同第一种情况，可得， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得， 综上，，或． 【题型12 反证法证明中的假设】 【典例12】．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一”．若用反证法证明“”，则应假设 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反证法的应用，解题的关键在于能够熟练掌握反证法的步骤．根据反证法的步骤：第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：反证法证明“”时，应假设原命题不成立，即不小于，因此假设．故答案为． 故答案为：． 跟随训练12-1．反证法证明“的三个内角中至少有一个内角大于或等于”，第一步应假设 ． 【答案】的三个内角都小于 【分析】本题主要考查的是反证法，掌握反证法的步骤是解题的关键． 用反证法证明命题的第一步是假设结论不成立，故需先确定命题的结论；分析命题可知其结论为“三角形中至少有一个内角大于或等于”，结合上述分析，只需假设原命题的反命题成立，即假设三个内角都小于． 【详解】解：反证法证明时，首先假设结论不成立，即假设“的三个内角都小于”，然后通过逻辑推理得出矛盾，从而证明原命题“至少有一个内角大于或等于”成立． 故答案为：的三个内角都小于． 跟随训练12-2．牛顿曾说：“反证法是数学家最精良的武器之一”，用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”第一步应假设 ． 【答案】两个锐角都大于 【分析】本题考查了反证法．反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，即否定“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”，从而假设两个锐角都大于． 【详解】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，第一步应假设原命题的结论不成立， 即假设两个锐角都大于． 故答案为：两个锐角都大于． 【题型13 用反证法证明命题】 【典例13】．反证法是数学中一种常用的证明方法，请你用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于”．（提示；先根据题意写出已知求证，再给予证明） 已知： 求证： 证明： 【答案】见解析 【分析】本题考查反证法，包括反证法的逻辑步骤、三角形内角和定理．先通过反设结论(假设三个内角都大于)，推导出与三角形内角和定理矛盾的结果，从而肯定原命题成立． 【详解】解：已知：在中，、、为其三个内角． 求证：、、中至少有一个内角小于或等于． 证明：假设的三个内角都大于，即 则将三个不等式相加，得 此结论与“三角形内角和为”的定理相矛盾． 因此，假设不成立，原命题成立．即三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于． 跟随训练13-1．如图，在中，，是的平分线，是边上的中线．用反证法说明点M与点D不重合． 【答案】见解析 【分析】本题考查反证法的应用，三角形的重要线段，全等三角形的判定和性质， 掌握倍长中线法是解题关键． 先假设重合，将中线延长到点N，使得，易证得，则有，．结合是的平分线，判断出，这与题意矛盾，说明假设不成立． 【详解】证明：假设点M与点D重合．延长到N，使，连接． ∵是边上的中线． ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵是的平分线，点M与点D重合， ∴， ∴， ∴，这与题干相矛盾． ∴假设不成立， ∴点M与点D不重合． 跟随训练13-2．用反证法证明：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 【答案】见解析 【分析】本题考查反证法，熟知反证法有如下三个步骤：（1）提出反证，（2）推出矛盾，（3）肯定结论．本题第一步先假设两直线不平行，则两直线相交，进而推出与垂直公理相矛盾，从而肯定原结论正确． 【详解】已知：直线，直线， 求证：． 证明：假设a与b不平行，则a与b相交于点M， ∵，， ∴过点M有两条直线a和b都垂直于直线c， 但根据垂直公理，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 这就产生了矛盾， ∴假设错误，故． 即在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 【题型14 等边三角形的判定】 【典例14】．下列命题是假命题的是（    ）． A．三个角都相等的三角形是等边三角形 B．一个角的补角大于这个角 C．一个三角形至少有两个内角是锐角 D．直角都相等 【答案】B 【分析】本题考查命题的判断、等边三角形判定、补角定义、三角形内角性质、直角的定义，熟练掌握相关知识是关键． 结合三角形和角的对应知识逐一分析各命题的真假即可． 【详解】解：对于选项A：三个角都相等的三角形是等边三角形，故A是真命题； 对于选项B：当这个角为钝角时，它的补角为锐角，锐角小于钝角，因此“一个角的补角大于这个角”不成立，故B是假命题． 对于选项C：三角形内角和为，若只有一个锐角，则另外两个角之和不小于，与内角和定理矛盾，因此一个三角形至少有两个内角是锐角，故C是真命题． 对于选项D：直角的度数都是，因此直角都相等，故D是真命题． 故选：B． 跟随训练14-1．若，，为的三边长，且，判断是什么形状，并说明理由． 【答案】是等边三角形．理由见解析 【分析】此题考查了二次根式和绝对值的非负性的应用，等边三角形的判定，首先由得到，推出，，得到，进而求解即可． 【详解】解：是等边三角形．理由如下： ， ， ． ，， ，， ，， ． 是等边三角形． 跟随训练14-2．如图，在中，，过点A作，交边于点D，且，延长使，连接． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定及等边三角形的判定； （1）由题意易得，，然后根据三角形外角的性质可进行求解； （2）由题意易得，，然后根据等边三角形的判定定理可进行求证． 【详解】（1）解：， ． ， ． ． ， ． ． ； （2）证明：， ， ， ． 是等边三角形． 【题型15 等边三角形的判定和性质】 【典例15】．如图,是等边三角形,点D在右侧,,连接,过点B作交的延长线于点E,若,,则的长为 . 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，含直角三角形的性质；在上截取，连接，可证明得到，，进而得出，再利用含直角三角形的性质可得，最后根据即可求解． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： ∵是等边三角形, ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 跟随训练15-1．如图，已知等边的边长为6，点D是的中点，点E在边上，将沿翻折得到，与交于点F，若，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握相关知识点是解题的关键． 过点D作，根据等边三角形的性质和勾股定理，先求出的长度，再证为等腰直角三角形，得到，求出的长度，用勾股定理解，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作， 是等边三角形， ， 点D是的中点， ， ， ， ， ， 根据翻折可知， ， ， ， ， ， ， ， ， 的周长为． 故答案为：． 跟随训练15-2．（1）如图1，点P，Q分别是边长为的等边三角形的边上的动点，点P，Q从顶点A，B同时出发，分别沿运动，且它们的速度都为． ①点P，Q运动多少时间是等边三角形？说明理由； ②连接交于点M，则P，Q运动的过程中，的度数变化吗？若变化，请说明理由，若不变，请求出它的度数； （2）如图2，若点P，Q分别运动到点B，C后，P，Q两点继续在射线上运动，直线的交点为M，的度数变化吗？若变化，请说明理由，若不变，请求出它的度数． 【答案】（1）①当点P，Q运动时是等边三角形；②是定值，不会变化，理由见详解； （2），度数不会变化，理由见详解． 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，一元一次方程，全等三角形的判定和性质． （1）①根据等边三角形的性质得到，结合题意，设运动时间为，则，由等边三角形的判定得到，由此列式即可求解； ②根据等边三角形的性质可证，得到，结合三角形外角的性质即可求解； （2）根据题意证明，得，再证明，得，最后等量代换即可求解． 【详解】解：（1）①∵是等边三角形， ∴， 设运动时间为， ∴，则， 当时，是等边三角形， ∴， 解得，， ∴当点P，Q运动时是等边三角形； ②是定值，不会变化，理由如下， ∵点P，Q从顶点A，B同时出发，速度都为， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴P，Q运动的过程中，的度数不会变化； （2），度数不会变化，理由如下， ∵点P，Q从顶点A，B同时出发，速度都为， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型16 含30度角的直角三角形】 【典例16】．如图，有一棵高为15米的松树（垂直于地面）在处断裂，松树顶部落在地面处，通过测量可知，则松树断裂处离地面的距离的长为 米． 【答案】5 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，根据题意可得，再由树高为15米得到米，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，在中，，， ∴， ∵树高为15米， ∴米， ∴， ∴米， 故答案为：5． 跟随训练16-1．已知在中，，则的长度是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质和勾股定理，正确分类求解是关键． 分为两种情况讨论：当为最长边时，当为最长边时，作出辅助线构建直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：当为最长边时，如图，过点作交的延长线于点， ， 在中，，， ， ， ， 在中，， ； 当为最长边时，如图，过点作于点， ， 在中，，， ， ， ， ， ； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 跟随训练16-2．已知为轴负半轴上一点，点与点关于轴对称，为轴正半轴上一点． (1)如图1，连接、，若，平分交轴于点，交于点，已知点的坐标为，请直接写出点的坐标 ； (2)如图2，为第一象限内一点，且，连接并延长交轴于点，试探究线段、和之间的数量关系并证明； (3)如图3，若，的坐标为，在直线上取两点、，使得，连接、、，以为底边在的下方构造等腰，且，连接交轴于点，求点坐标（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）容易证明，则，根据含角的直角三角形的性质可得，因此，从而求出点的坐标； （2）作点关于轴的对称点，连接，，，设，根据题意是等边三角形，则，，结合轴对称的性质可得．利用三角形的内角和定理和等腰三角形与等边三角形的性质可得，则，从而证明是等边三角形．容易证明，则，等量代换后得出结论； （3）延长至点，使得，连接，先证明是等边三角形，再通过四边形内角和得出，则．容易证明，则，．通过等量代换可得是顶角为的等腰三角形，则．同理（1）可证明，从而求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：，证明如下： 如图，作点关于轴的对称点，连接，，，设， ∵，且， ∴是等边三角形， ∴，， ∵点与点关于轴对称， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，延长至点，使得，连接， ∵点， 又∵点与点关于轴对称， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， 在四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，轴对称的性质，点关于坐标轴对称问题，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． 05 过关•检测 1．如图，在等腰直角三角尺斜边的中点拴一条线绳，线绳的另一端挂着一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，如果线绳经过三角尺的直角顶点，那么可以确定房梁是水平的．下列数学定理中，能解释房梁是水平的是（    ） A．等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 B．垂线段最短 C．直角三角形的两个锐角互余 D．等边对等角 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键． 根据等腰三角形“三线合一”的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵是等腰三角形， ∴， ∵点O是的中点， ∴（三线合一）， ∴垂直地面， ∴平行地面，即房梁是水平的． A、等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合，能解释房梁是水平的； B、垂线段最短，不能解释房梁是水平的； C、直角三角形的两个锐角互余，垂线段最短，不能解释房梁是水平的； D、等边对等角，垂线段最短，不能解释房梁是水平的． 故选：A． 2．小明的骑行路线如图所示，他从O地出发，0.5小时后到达A地，若他骑行的速度保持不变，则他从A地骑行至B地所需时间为（    ） A．0.5小时 B．1小时 C．1.5小时 D．2小时 【答案】B 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关性质． 根据含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，根据题意可得， ∴， ∵从O地出发，0.5小时后到达A地， ∴保持速度不变，从A到B行驶的时间为1小时， 故选：B． 3．如图，，，，点D在边上，与相交于点O．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．先证明，再结合全等三角形的性质和等腰三角形的性质进行分析，即可解题． 【详解】解：， ， ， ，， ， ， ， ， ； 故选：D． 4．如图，在中，，交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形性质，等腰三角形判定与性质，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键．根据等腰三角形性质得，进而得，根据得，则，在中，根据得，由此即可得出的长． 【详解】解：在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的长为． 故选：C． 5．如图，在三角测平架中，，在的中点处挂一重锤，让它自然下垂．如果调整架身，使重锤线正好经过点，那么就能确认处于水平位置．这种做法依据的数学原理是（   ） A．等角对等边 B．垂线段最短 C．等腰三角形“三线合一” D．三角形两边之和大于第三边 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质即可求解，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，为的中点， ∴， 故这种做法依据的数学原理是等腰三角形的三线合一， 故选：． 6．在校园科技节的户外实践活动中，小佳于倾斜角为的斜坡上，自点使用激光笔向点发射激光（激光传播路径记为），如图所示．已知线段的长度为，且地面处于水平状态，那么、两点间的竖直高度差为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形中30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半，解决问题的关键是灵活运用此定理求线段长． 根据含角的直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：在中，，，， 则． 故选：B． 7．如图，在等边三角形中，是的中点，于点，于点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了含度角的直角三角形，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质可得，，再根据线段中点的定义可得，然后利用垂直定义可得，从而可得，最后分别在和中，利用含度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：是等边三角形， ，， 是的中点， ， ，， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 8．如图，的面积为6，，，点、、分别是、、边上的动点，则周长的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了对称性找最短路径，垂直平分线的性质，等边三角形的性质，理解和掌握垂直平分线的性质，对称轴的性质找最短路径的方法是解题的关键． 根据对称性质，将周长转换为一条直线，作点关于、的对称点、，连接，，，，，，证明是等边三角形，得周长的最小值为，由对称性和是等边三角形可得，求出的最小值即可得结论． 【详解】解：如图，作点关于、的对称点、，连接，，，，，， 由轴对称可得，，，，，， ∴当，，，在一条直线上时，的周长最小，即周长的最小值为， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴周长的最小值为的长， 根据垂线段最短，可知时，最小，即周长最小， ∵的面积为6，，即， ∴，即周长最小值为4． 故答案为：4． 9．如图，点三点在同一直线上，，，．若，，则的度数为 °． 【答案】80 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，等边对等角．可证明，得到，，再根据三角形外角的性质求得，据此求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：80． 10．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“三角形的三个外角中至少有两个钝角”应先假设 ． 【答案】三角形的三个外角中至多有一个钝角 【分析】本题主要考查了反证法的应用．根据反证法的步骤：第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：用反证法证明命题“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时，应先假设三角形的三个外角中至多有一个钝角， 故答案为：三角形的三个外角中至多有一个钝角． 11．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点和点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为5，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的平分线的基本作图，等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，三角形的面积计算，熟练掌握作图和性质是解题的关键． 由，，可得，由作图可知平分，则，则，可得，利用含的直角三角形的性质得出，再利用面积公式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 由作图可知，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12．如图，在等边纸片中，将沿折叠，点落在点处，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查折叠的性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理等知识，由折叠得，由三角形内角和定理得，结合可得结论． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 由折叠得， ∵， ∴， 又，即， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图所示，在中，，在上取，连接，作于点，交于点．设， (1)当，则为________； (2)当时，求； (3)判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)，理由见解析． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，则，然后通过三角形的内角和定理即可求解； （）由三角形的外角性质可得，又，则，从而可得，则，从而可得，所以，然后求出即可； （）过点作交的延长线于点，由（）得，所以，可得，，，则，由等腰三角形性质可得，即，从而求解． 【详解】（1）解：当，则， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：当时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得； （3）解：，理由如下：如图所示，过点作交的延长线于点， ∴， 由（）得， ∴， ∴， ∴，，， ∴， 在中，，， ∴，即， ∴． 14．如图所示，，都是等边三角形，与相交于点． (1)证明：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到，，得到，由“”即可证明； （2）由全等三角形的性质可得，根据角的和差和对顶角的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， 即， 在和中， ； （2）解：由（1）知， ， 设与交于，则， ． 15．如图，为等边三角形，点是线段上的任意一点，点是线段上任意一点，且，直线与交于点． (1)求证：； (2)求的大小． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)的大小为 【分析】（1）由等边三角形的性质，可得，，由等角的补角相等，可得，即可证得结论； （2）由三角形全等的性质，可得，结合三角形外角的性质，即可得的大小． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴ ． ∴的大小为． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，等角的补角相等，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质． 16．综合与实践——三角形中边与角之间的不等关系 【阅读理解】（1）学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等，反过来等角所对的边也相等．类比以上内容，小聪同学探究了不相等的边(或角)所对的角(或边)之间存在的关系．如图，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点落在上的点，折痕交于点．(请补充下面的推理过程) 证明：由翻折可得，，则___________． ___________， 因此可得结论，在一个三角形中，如果两条边不等，那么所对的角也不等，大边所对角较大． 【探究结论】（2）类似地，用下面的方法，证明此命题的逆命题： “在一个三角形中，如果两角不等，那么所对的边也不等，大角所对边较大” 已知：在中，．求证:． 小聪的思路是：在内部作 请你根据小聪的思路，完成证明； 【应用结论】 （3）在三角形中，平分，点为边上任意一点(不与点，点重合，连接，交于点．求证． 【答案】（1）；； （2）证明见详解； （3）证明见详解 【分析】本题考查三角形边与角的不等关系，涉及全等三角形的判定与性质、三角形外角定理、等腰三角形的判定与性质，核心是利用“大边对大角”“大角对大边”的互逆结论解决问题． （1）通过翻折构造全等三角形，结合全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质，完成大边对大角的推理； （2）通过在大角内部构造等角得到等腰三角形，结合三角形三边关系证明大角对大边； （3）构造全等三角形将转化为，再利用外角定理和“大角对大边”的结论证明边的不等关系． 【详解】（1）解：由翻折可得，，则； ， ， ； 故答案为：；； （2）解：在内部作，交于点， ， ； 在中，，， ， ； （3）解：在上取点，使得，连接， 平分， ； 在和中，，，， ， ，； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2等腰三角形同步培优讲义 （6知识点+16大题型+过关检测） 【题型1 等边对等角】 5 【题型2 三线合一】 6 【题型3 等边三角形的性质】 6 【题型4 根据等角对等边证明等腰三角形】 7 【题型5 根据等角对等边证明边相等】 8 【题型6 根据等角对等边求边长】 9 【题型7 等腰三角形的性质和判定】 10 【题型8 格点图中画等腰三角形】 11 【题型9 找出图中的等腰三角形】 12 【题型10 直线上与已知两点组成等腰三角形的点】 13 【题型11 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点】 14 【题型12 反证法证明中的假设】 14 【题型13 用反证法证明命题】 15 【题型14 等边三角形的判定】 15 【题型15 等边三角形的判定和性质】 16 【题型16 含30度角的直角三角形】 17 · 理解等腰三角形、等边三角形的定义，能准确识别等腰三角形（含腰、底边、顶角、底角）和等边三角形。 · 牢记等腰三角形“等边对等角”“三线合一”的核心性质，掌握等边三角形的所有性质，能直接运用性质解决基础计算题。 · 掌握等腰三角形“等角对等边”的判定方法，能根据角的关系判断三角形是否为等腰三角形，完成基础判定推理。 03 知识•梳理 前置回顾（衔接1.1知识点，铺垫本节课内容） 1. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°，直角三角形的两个锐角互余（本节课求角、判定常用依据）。 2. 三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和（综合题型中角的转化常用）。 3. 轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形（等腰三角形是轴对称图形，是“三线合一”性质的本质依据）。 4. 引入：等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有三角形的所有性质，同时还有自身独特的性质和判定方法，本节课重点学习等腰三角形、等边三角形的性质、判定，并结合指定题型巩固应用，提升几何推理能力。 知识点1：等腰三角形的定义（基础，精准识别） 1. 定义内容 文字语言：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；两条相等的边叫做腰，另一条边叫做底边；两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。 符号语言：如图，在△ABC中，AB = AC，则△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边，∠BAC为顶角，∠B、∠C为底角。 2. 关键补充 ① 等腰三角形的底角一定是锐角（推导：由三角形内角和为180°，两个底角相等，若底角为直角或钝角，则两个底角和≥180°，不符合三角形内角和定理）； ② 特殊情况：三条边都相等的三角形（等边三角形）是特殊的等腰三角形（腰与底边相等，三个角均为底角）； ③ 易错点：误将“顶角”当作“底角”，或混淆“腰”与“底边”的定义（尤其在未明确标注的图形中）。 知识点2：等腰三角形的性质（核心重点，对应题型1-3） 1. 性质1：等边对等角（高频考点，对应题型1） 文字语言：等腰三角形的两底角相等（即：在等腰三角形中，相等的两条边所对的角相等）。 符号语言：在△ABC中，∵ AB = AC（已知），∴ ∠B = ∠C（等边对等角）。 补充说明：① 仅适用于等腰三角形；② 反过来“等角对等边”是判定方法，而非性质，注意区分；③ 可直接用于求等腰三角形的未知角（已知顶角求底角、已知底角求顶角）。 2. 性质2：三线合一（核心难点，对应题型2） 文字语言：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称“三线合一”）。 符号语言：在△ABC中，AB = AC，点D在BC上： ① 若AD平分∠BAC，则AD⊥BC，BD = CD； ② 若AD是BC边上的中线（BD = CD），则AD平分∠BAC，AD⊥BC； ③ 若AD是BC边上的高（AD⊥BC），则AD平分∠BAC，BD = CD。 关键注意事项：① “三线合一”仅适用于等腰三角形，且针对“顶角平分线、底边上的中线、底边上的高”（腰上的中线、高与顶角平分线不重合）；② 运用时需先明确“三角形是等腰三角形”这一前提；③ 易错点：忽略前提条件，随意运用“三线合一”。 3. 等腰三角形的其他性质 ① 等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是顶角平分线（或底边上的中线、底边上的高）所在的直线； ② 等腰三角形的两腰上的高相等、两腰上的中线相等、两底角的平分线相等（拓展性质，可用于证明边相等）。 知识点3：等边三角形的性质与判定（重点，对应题型3、14、15） 1. 等边三角形的定义 三条边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形），是特殊的等腰三角形（三条边均为腰，三个角均为底角）。 2. 等边三角形的性质（对应题型3） ① 三边相等：AB = BC = AC； ② 三角相等，且每个角都等于60°：∠A = ∠B = ∠C = 60°（由等边对等角、三角形内角和定理推导）； ③ 具备等腰三角形的所有性质（三线合一、轴对称图形），且有三条对称轴（每条边上的中线、高、所对内角的平分线所在直线均为对称轴）； ④ 易错点：误认为“等边三角形只有三条边相等”，忽略“三个角均为60°”的性质。 3. 等边三角形的判定（对应题型14、15） 方法1（定义判定）：三条边都相等的三角形是等边三角形（AB = BC = AC → △ABC是等边三角形）； 方法2（角判定）：三个角都相等的三角形是等边三角形（∠A = ∠B = ∠C → △ABC是等边三角形）； 方法3（特殊等腰三角形判定）：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形（AB = AC，∠A = 60° → △ABC是等边三角形）； 补充说明：判定时优先考虑定义或方法3，结合等腰三角形的性质，简化推理步骤；易错点：运用方法3时，忽略“等腰三角形”前提（仅有一个角为60°，不能判定为等边三角形）。 知识点4：等腰三角形的判定（核心重点，对应题型4-7） 1. 核心判定方法：等角对等边 文字语言：有两个角相等的三角形是等腰三角形（即：在三角形中，相等的两个角所对的边相等）。 符号语言：在△ABC中，∵ ∠B = ∠C（已知），∴ AB = AC（等角对等边）。 2. 判定与性质的区别（重点，突破易错点） ① 性质（等边对等角）：已知“边相等”，推出“角相等”（由边→角），用于求角、角的关系证明； ② 判定（等角对等边）：已知“角相等”，推出“边相等”（由角→边），用于判断三角形是否为等腰三角形、边相等证明； ③ 易错点：混淆“性质”与“判定”的推导方向，如误将“等角对等边”当作性质运用，或误将“等边对等角”当作判定运用。 3. 判定的拓展应用 结合三角形内角和、外角性质，可通过角的关系（如角平分线、平行线转化的角相等），间接运用“等角对等边”判定等腰三角形、证明边相等、求边长（对应题型5-7）。 知识点5：含30°角的直角三角形的特殊性质（重点，对应题型16） 文字语言：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 符号语言：在Rt△ABC中，∵ ∠C = 90°，∠A = 30°（已知），∴ BC = $\frac{1}{2}$AB（30°角所对的直角边等于斜边的一半）。 关键注意事项：① 前提条件：必须是“直角三角形”，且角为“30°的锐角”；② 对应关系：30°角所对的“直角边”，对应斜边的一半（不能混淆直角边与斜边）；③ 可逆用：在直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于30°（拓展应用）。 知识点6：反证法（拓展重点，对应题型12、13） 1. 反证法的基本思路 先假设命题的结论不成立，然后推导出与已知条件、基本事实、定理等相矛盾的结果，从而证明原命题的结论一定成立（即“假设不成立，原结论成立”）。 核心步骤：假设 → 推导矛盾 → 否定假设 → 证明原结论成立（八下重点掌握前两步，尤其是“假设”的书写）。 2. 反证法的关键要点（对应题型12、13） ① 假设的书写（题型12）：假设命题的结论“反面成立”，注意“反面”要全面（如“结论是相等”，假设为“不相等”；“结论是唯一”，假设为“不唯一”）； ② 矛盾的推导：推导过程要严谨，结合已知条件、定理（如三角形内角和、等腰三角形性质），推出与已知、定理相矛盾的结果（如内角和超过180°、边既相等又不相等）； ③ 易错点：假设书写错误（未写结论的反面）、推导过程无依据、未明确指出“矛盾”，导致证明不完整。 易错点汇总（高频考点，重点突破） · 1. 定义类：混淆等腰三角形的“腰”与“底边”、“顶角”与“底角”；误认为“等边三角形不是等腰三角形”。 · 2. 性质与判定类：混淆等腰三角形的性质（等边对等角，边→角）与判定（等角对等边，角→边）；运用“三线合一”时，忽略“等腰三角形”前提。 · 3. 等边三角形类：判定时，忽略“有一个角是60°的等腰三角形”中的“等腰三角形”前提；误用性质，忽略“三个角均为60°”。 · 4. 找点、作图类：未分类讨论，导致漏解；格点图中，画出的点不在格点上，或三角形不是等腰三角形。 · 5. 反证法类：假设书写错误（未写结论的反面）；推导过程无依据，未明确指出“矛盾”；证明步骤不完整。 · 6. 含30°角的直角三角形类：忽略“直角三角形”前提；混淆“30°角所对的直角边”与“斜边”的关系。 04 题型•汇总 【题型1 等边对等角】 【典例1】．在中，，，则的度数为 ． 跟随训练1-1．“三等分角”大约是在公元前五世纪提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意一个角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，，点可在槽中滑动．若，则的度数是 ． 跟随训练1-2．已知直线，将以，为两腰的等腰的顶点，按如图所示的方式分别放在直线上，若，，则 ． 【题型2 三线合一】 【典例2】．如图，在中，，是边上的中线，平分．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 跟随训练2-1．如图，在中，是边上一点．若，则的长为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 跟随训练2-2．如图，在中，，，，在射线上找一点，将扩充为等腰三角形，则的长为（   ） A．或或 B．或 C．或或 D．或 【题型3 等边三角形的性质】 【典例3】．如图，等边中，是的中点，于点，，则 ． 跟随训练3-1．如图，是等边三角形，是的角平分线，过点作于点；若，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 跟随训练3-2．已知是等边三角形，点在上，点在的延长线上，，交于点，，若，且，则的长为 ． 【题型4 根据等角对等边证明等腰三角形】 【典例4】．如图，是等边三角形、是中线，延长至点，使、连接．判断的形状，并说明理由． 跟随训练4-1．如图，在四边形中，，点为边上一点，，分别平分，，延长交的延长线于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 跟随训练4-2．如图①，是等边三角形，，分别交，于点，． (1)请补全证明过程． 证明：是等边三角形， ，． ， ， ， ， （ ）． 是等腰三角形． 又，是等边三角形． (2)如图②，等边三角形的两条角平分线相交于点，延长至点，使得．求证：是等边三角形． 【题型5 根据等角对等边证明边相等】 【典例5】．如图，已知为内一点，平分，，．若，，则的长为（    ） A．2 B．1.5 C．3 D．6 跟随训练5-1．若中，，的周长是12，设长为，长为，则关于的函数表达式为 ． 跟随训练5-2．已知：如图，在中，，，垂足为平分交分别于点，点为的中点，过点作交于， (1)求证：； (2)求的长． 【题型6 根据等角对等边求边长】 【典例6】．如图，在等边中，是的平分线，点在的延长线上，连接．若，，则的长为 ． 跟随训练6-1．如图，长方形沿直线折叠，使点落在同一平面内的点处，与交于点，，．则的长为 ． 跟随训练6-2．如图，已知，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形．若，则等于（    ） A．18 B．21 C．24 D．27 【题型7 等腰三角形的性质和判定】 【典例7】．如图，将等腰直角三角形放置于平面直角坐标系中，直角顶点位于轴上的点处，点对应的坐标为，则点对应的坐标是（   ） A． B． C． D． 跟随训练7-1．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（本题共2问，每问不超过5条线）． (1)在图1中，画的高和中线； (2)在图2中，在线段上画一点，使得，再在线段上找一点，使得． 跟随训练7-2．（1）问题发现：如图①，点为等边边上一动点，以为边作等边，连接．猜想与的数量关系为 ， ． （2）类比探究：与均为等腰直角三角形，．如图②，若点为线段上一动点，试判断、、存在什么数量关系，并说明理由． （3）拓展延伸：在（2）的基础上，若点为线段延长线上一动点，如图③，当，，请你直接写出四边形的面积． 【题型8 格点图中画等腰三角形】 【典例8】．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，以为腰，为顶角作等腰三角形（点在格点上），则的面积为（   ） A．3 B．5 C．3或5 D．4或6 跟随训练8-1．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 跟随训练8-2．图①，图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点，均在格点上．在图①，图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中，画等腰三角形，使其面积为4（画出一个即可）； (2)在图②中，画等腰直角三角形，使其面积为（画出一个即可） 【题型9 找出图中的等腰三角形】 【典例9】．如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 跟随训练9-1．如图，在中，，点在内，，图中一共有（    ）个等腰三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 跟随训练9-2．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． (1)画出与关于轴对称的； (2)点关于轴对称的点的坐标为________； (3)是轴上的一个动点，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的动点的个数为________个． 【题型10 直线上与已知两点组成等腰三角形的点】 【典例10】．如图，直线a，b相交于点O，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 跟随训练10-1．如图，已知直线于点O，点A，B分别在上，，在直线或直线上找一点C，使是以为腰的等腰三角形，则这样的C点有（   ） A．3个 B．5个 C．6个 D．7个 跟随训练10-2．如图，在每个小正方形的边长都为1个单位的网格中建立平面直角坐标系， 的三个顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)请画出关于轴对称的△（其中，，分别是，，的对应点，不写画法）； (2)在轴上求作点，使的值最小．（不需计算，在图上标记出点的位置） (3)点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的点有 ___ 个． 【题型11 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点】 【典例11】．在平面直角坐标系中，为原点，已知点，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 跟随训练11-1．如图，平面直角坐标系中两点，，下列坐标的点不能与，两点构成等腰三角形的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练11-2．如图，在梯形中，，点从点出发以的速度向点运动，点从点出发以的速度在线段间往返运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动． (1)当为何值时，四边形的面积为36？ (2)时，若，当为何值时，是等腰三角形？ 【题型12 反证法证明中的假设】 【典例12】．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一”．若用反证法证明“”，则应假设 ． 跟随训练12-1．反证法证明“的三个内角中至少有一个内角大于或等于”，第一步应假设 ． 跟随训练12-2．牛顿曾说：“反证法是数学家最精良的武器之一”，用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”第一步应假设 ． 【题型13 用反证法证明命题】 【典例13】．反证法是数学中一种常用的证明方法，请你用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于”．（提示；先根据题意写出已知求证，再给予证明） 已知： 求证： 证明： 跟随训练13-1．如图，在中，，是的平分线，是边上的中线．用反证法说明点M与点D不重合． 跟随训练13-2．用反证法证明：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 【题型14 等边三角形的判定】 【典例14】．下列命题是假命题的是（    ）． A．三个角都相等的三角形是等边三角形 B．一个角的补角大于这个角 C．一个三角形至少有两个内角是锐角 D．直角都相等 跟随训练14-1．若，，为的三边长，且，判断是什么形状，并说明理由． 跟随训练14-2．如图，在中，，过点A作，交边于点D，且，延长使，连接． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 【题型15 等边三角形的判定和性质】 【典例15】．如图,是等边三角形,点D在右侧,,连接,过点B作交的延长线于点E,若,,则的长为 . 跟随训练15-1．如图，已知等边的边长为6，点D是的中点，点E在边上，将沿翻折得到，与交于点F，若，则的周长为 ． 跟随训练15-2．（1）如图1，点P，Q分别是边长为的等边三角形的边上的动点，点P，Q从顶点A，B同时出发，分别沿运动，且它们的速度都为． ①点P，Q运动多少时间是等边三角形？说明理由； ②连接交于点M，则P，Q运动的过程中，的度数变化吗？若变化，请说明理由，若不变，请求出它的度数； （2）如图2，若点P，Q分别运动到点B，C后，P，Q两点继续在射线上运动，直线的交点为M，的度数变化吗？若变化，请说明理由，若不变，请求出它的度数． 【题型16 含30度角的直角三角形】 【典例16】．如图，有一棵高为15米的松树（垂直于地面）在处断裂，松树顶部落在地面处，通过测量可知，则松树断裂处离地面的距离的长为 米． 跟随训练16-1．已知在中，，则的长度是 ． 跟随训练16-2．已知为轴负半轴上一点，点与点关于轴对称，为轴正半轴上一点． (1)如图1，连接、，若，平分交轴于点，交于点，已知点的坐标为，请直接写出点的坐标 ； (2)如图2，为第一象限内一点，且，连接并延长交轴于点，试探究线段、和之间的数量关系并证明； (3)如图3，若，的坐标为，在直线上取两点、，使得，连接、、，以为底边在的下方构造等腰，且，连接交轴于点，求点坐标（用含的式子表示）． 05 过关•检测 1．如图，在等腰直角三角尺斜边的中点拴一条线绳，线绳的另一端挂着一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，如果线绳经过三角尺的直角顶点，那么可以确定房梁是水平的．下列数学定理中，能解释房梁是水平的是（    ） A．等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 B．垂线段最短 C．直角三角形的两个锐角互余 D．等边对等角 2．小明的骑行路线如图所示，他从O地出发，0.5小时后到达A地，若他骑行的速度保持不变，则他从A地骑行至B地所需时间为（    ） A．0.5小时 B．1小时 C．1.5小时 D．2小时 3．如图，，，，点D在边上，与相交于点O．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在三角测平架中，，在的中点处挂一重锤，让它自然下垂．如果调整架身，使重锤线正好经过点，那么就能确认处于水平位置．这种做法依据的数学原理是（   ） A．等角对等边 B．垂线段最短 C．等腰三角形“三线合一” D．三角形两边之和大于第三边 6．在校园科技节的户外实践活动中，小佳于倾斜角为的斜坡上，自点使用激光笔向点发射激光（激光传播路径记为），如图所示．已知线段的长度为，且地面处于水平状态，那么、两点间的竖直高度差为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在等边三角形中，是的中点，于点，于点，若，则 ． 8．如图，的面积为6，，，点、、分别是、、边上的动点，则周长的最小值为 ． 9．如图，点三点在同一直线上，，，．若，，则的度数为 °． 10．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“三角形的三个外角中至少有两个钝角”应先假设 ． 11．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点和点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为5，则的面积为 ． 12．如图，在等边纸片中，将沿折叠，点落在点处，则 ． 13．如图所示，在中，，在上取，连接，作于点，交于点．设， (1)当，则为________； (2)当时，求； (3)判断与的数量关系，并说明理由． 14．如图所示，，都是等边三角形，与相交于点． (1)证明：； (2)求的度数． 15．如图，为等边三角形，点是线段上的任意一点，点是线段上任意一点，且，直线与交于点． (1)求证：； (2)求的大小． 16．综合与实践——三角形中边与角之间的不等关系 【阅读理解】（1）学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等，反过来等角所对的边也相等．类比以上内容，小聪同学探究了不相等的边(或角)所对的角(或边)之间存在的关系．如图，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点落在上的点，折痕交于点．(请补充下面的推理过程) 证明：由翻折可得，，则___________． ___________， 因此可得结论，在一个三角形中，如果两条边不等，那么所对的角也不等，大边所对角较大． 【探究结论】（2）类似地，用下面的方法，证明此命题的逆命题： “在一个三角形中，如果两角不等，那么所对的边也不等，大角所对边较大” 已知：在中，．求证:． 小聪的思路是：在内部作 请你根据小聪的思路，完成证明； 【应用结论】 （3）在三角形中，平分，点为边上任意一点(不与点，点重合，连接，交于点．求证． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $