专题8.1 平方根 （4大知识点总结+10大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年人教版数学七年级下册易错题重难点培优讲义

专题8.1 平方根 核心知识点 常考考点 高频易错点 1.平方根的定义与符号表示（若（），则） 1.辨析平方根与算术平方根的概念； 2.求整数、分数、小数的平方根； 3.利用平方根定义解简单方程（） 1.混淆“”与“”的含义，漏写负平方根； 2.忽略被开方数的非负性，求负数的平方根； 3.误将“”当作“”，运算顺序颠倒 2.算术平方根的定义与性质（，） 1.求非负数的算术平方根； 2.利用算术平方根的非负性求字母值； 3.算术平方根的估算（确定整数范围） 1.忽视算术平方根的非负性，得出负数结果； 2.估算时错误确定被开方数的相邻平方数； 3.混淆“算术平方根等于本身的数”的范围 3.平方根的性质（正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数无平方根） 1.已知正数的两个平方根，求字母及原数； 2.判断关于平方根性质的命题真假； 3.平方根与数轴的简单结合 1.忘记正数的两个平方根互为相反数，列错方程； 2.认为“一个数有两个平方根”适用于所有数； 3.数轴上表示平方根时，混淆正负方向 4.平方根的实际应用与探究 1.正方形边长、面积的实际计算； 2.跨学科情境（物理速度、几何图形）应用； 3.平方根的规律探究题 1.实际问题中，漏写平方根的实际意义（如边长为正）； 2.规律探究时，无法归纳被开方数与平方根的变化关系； 3.跨学科情境中，不会将实际问题转化为数学模型 【易错题型】 【题型1】混淆平方根与算术平方根的符号与意义 1.易错点总结 混淆“”（算术平方根，非负）与“”（平方根，互为相反数）的书写； 求“的平方根”时，仅写出算术平方根，漏写负根； 忽视“”中被开方数的隐含条件。 2.纠错技巧 牢记核心口诀：“算术平方根单且正，平方根双且相反，0的两者都是0”； 审题时圈出关键词：“平方根”写，“算术平方根”写； 解题第一步先判断被开方数的符号，负数直接判定“无意义”。 【例题1】.（25-26七年级上·浙江台州·期末）“16的算术平方根是4”，用数学式子表达为（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·四川宜宾·月考）下列说法错误的是（    ）． A．是4的平方根 B．的算术平方根是 C．的算术平方根是 D．7是的算术平方根 【变式题1-2】.（25-26八年级上·海南海口·期中）下列结论中，正确的是（   ） A．的平方根是 B．0没有平方根 C．1的算术平方根是1 D．的平方根是 【变式题1-3】.（25-26八年级上·山西运城·期中）下列式子中表示“9的平方根是”的是（） A． B． C． D． 【基础题型】 【题型2】求非负数的平方根 1.考点总结 平方根的定义与符号表示； 平方根的性质（正数有两个互为相反数的平方根）。 2.解题技巧 先求其算术平方根，再添加“”得到平方根； 0的平方根直接写0； 结果需化为最简形式（如，本节暂不要求二次根式化简，仅保留即可）。 【例题2】.（25-26八年级上·广东深圳·月考）64的平方根是 ． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）若正数a的一个平方根是5，则它的另一个平方根是 ． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·山东烟台·期末）下列说法错误的是（   ） A．是25的平方根 B．的算术平方根是2 C．的平方根是 D． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·河南南阳·期末）的平方根是 ． 【题型3】求整数、分数、小数的算术平方根 1.考点总结 算术平方根的定义； 平方与开平方的逆运算。 2.解题技巧 熟记1–20的平方数，直接利用逆运算求解； 分数的算术平方根：（，），先约分再计算； 小数的算术平方根：先化为分数，再按分数法则计算。 【例题3】.（2024·西藏那曲·一模）（    ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）16的算术平方根为 ． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·全国·期末）的平方根是（    ） A．3 B． C．9 D． 【变式题3-3】.（24-25八年级上·山东济南·期中）的平方根是 ，的算术平方根是 【题型4】利用平方根定义解简单方程 1.考点总结 平方根的定义； 开平方运算解一元二次方程（特殊形式）。 2.解题技巧 方程变形为（）的形式； 两边同时开平方，得； 若，则方程无实数解。 【例题4】.（25-26七年级下·全国·课后作业）若，则 ． 【变式题4-1】.（25-26九年级上·吉林·期末）一元二次方程的解为（   ） A． B． C．， D．， 【变式题4-2】.（25-26八年级上·江苏淮安·期末）解方程： (1)； (2) 【变式题4-3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)． 【题型5】算术平方根的非负性基础应用 1.考点总结 算术平方根的非负性（，）； 非负数的和为0的性质。 2.解题技巧 牢记“双重非负”：被开方数非负，算术平方根结果非负； 若，则且，列方程求解字母值。 【例题5】.（25-26八年级上·陕西西安·月考）若，则 ． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）若，则的值分别是（    ） A．1，2 B． C．－1，2 D．－1，－2 【变式题5-2】.（25-26八年级下·全国·单元测试）已知，则的平方根是 ． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·海南海口·期末）已知，那么的值为（　　） A． B． C． D． 【提升题型】 【题型6】已知正数的两个平方根，求字母及原数 1.考点总结 正数的两个平方根互为相反数； 平方根与原数的关系。 2.解题技巧 设正数的两个平方根为和，则，列方程求字母值； 求出字母后，代入其中一个平方根，平方得到原数； 验证：确保原数为正数，符合平方根的性质。 【例题6】.（25-26七年级上·山东烟台·期末）一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为 ． 【变式题6-1】.（24-25七年级下·陕西延安·期末）已知某正数的两个平方根分别是和，b的算术平方根是3，求的平方根． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·河北唐山·期中）一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值； (2)求的算术平方根． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·江苏盐城·期中）已知：一个正数的两个不同平方根分别是和． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 【题型7】算术平方根的估算与大小比较 1.考点总结 算术平方根的估算； 实数的大小比较（数形结合）。 2.解题技巧 “夹逼法”：找到与被开方数相邻的两个完全平方数和，则； 比较两个算术平方根的大小：被开方数大的，算术平方根大； 估算小数部分：的小数部分=整数部分。 【例题7】.（25-26八年级上·河南洛阳·期末）请估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【变式题7-1】.（25-26七年级上·浙江台州·期末）已知一些数的平方如下表所示，则无理数的大小在（   ）         6.8121 6.8644 6.9169 6.9696 7.0225 7.0756 7.1289 A．2.61与2.64之间 B．2.64与2.65之间 C．2.65与2.66之间 D．2.65与2.67之间 【变式题7-2】.（25-26八年级上·福建宁德·期末）已知一块正方形木板的面积为，则它的边长（单位：）介于（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【变式题7-3】.（24-25八年级下·重庆·期末）估计的值在（    ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【题型8】正方形边长与面积的实际应用 1.考点总结 平方根的实际应用； 正方形的面积公式（）。 2.解题技巧 面积求边长：（边长为正，取算术平方根）； 边长求面积：（平方运算）； 实际问题中，舍去负平方根，符合实际意义。. 【例题8】.（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图1，把一个面积为大正方形纸片沿对角线裁成四个三角形，然后再把这四个三角形拼成如图2所示的两个相同的小正方形． (1)直接写出小正方形的边长为___________； (2)小明要在一个小正方形中沿边的方向裁出一个面积为的长方形，使它的长宽之比为，问能否成功，试说明理由． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·河南开封·期中）某小区新修了一个正方形花坛，已知其面积为，则其边长介于（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【变式题8-2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）问题情境：有多大？如图1，教材中用两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，拼成一个面积为2的大正方形，则大正方形的边长为． (1)探究过程：因为，，所以．设，将边长为的正方形分成如图2所示的四部分．由面积公式，可得，因为x值很小，所以更小，略去，解得（保留到），即______． (2)理解应用：现在仿照上面的探究“有多大？”的过程，请你写出探究“有多大？”的过程．（结果均保留到） 【变式题8-3】.（25-26七年级上·浙江杭州·期中）观察图1：每个小正方形的边长均是1，我们可以得到小正方形的面积为 (1)图1中阴影正方形的面积是______，并由面积求正方形的边长，可得边长 AB长为______； (2)在图2，正方形方格中，由题的解题思路和方法，设计一个方案画出长为的线段． (3)如图3，网格中每个正方形边长为1，若把阴影部分剪拼成一个正方形，则新正方形的边长是______． 【培优题型】 【题型9】平方根与数轴的综合探究 1.考点总结 平方根与数轴的对应关系； 数形结合思想； 数轴上两点间的距离。 2.解题技巧 在数轴上表示：以1为直角边作等腰直角三角形，斜边为，再用圆规截取到数轴上； 数轴上点表示，点表示，则； 结合“夹逼法”，确定在数轴上的大致位置。 【例题9】.（23-24七年级下·北京海淀·期末）如图，正方形的面积为3，顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，数轴上有一点E在点A的左侧，若，则点E表示的数为（    ） A． B． C． D．0 【变式题9-1】.（25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示． (1)在数轴上表示出a，b的相反数的位置，并将这四个数从小到大排列； (2)若数与其相反数相距10个单位长度，则表示的数是多少？ (3)在（2）的条件下，若关于x的多项式是六次多项式，求的算术平方根． 【变式题9-2】.（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系．某数学小组在一张白纸上画了一条数轴，点、、对应的数分别为、、，且、满足，是16的算术平方根．动点从点出发沿数轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，设点运动的时间为秒． (1)填空：________，________，________，点在数轴上所表示的数为________（用含的代数式表示）； 操作一： (2)以点为折点，向右折叠数轴，使，两点重合，此时所表示的数为________，________； 操作二： (3)以点为折点，向右折叠数轴，若折叠后，两点之间的距离为2，此时________； 操作三： (4)以点为折点，向右折叠数轴，再将第一次折叠后的数轴沿某点继续向右折叠一次，有没有这样的时间使得，两点重合，且点与数轴上的数11重合？若有，请求出符合条件的时间的最大值和最小值；若无，请说明理由． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·上海闵行·月考）如图，在数轴上，我们可以用画半圆的方式，依次得到一些新的点．从原点开始，作一个边长为1的正方形，连接正方形对角两个顶点得到的线段的长度为，以数轴原点为圆心，长度为半径画半圆，交数轴右边于点，如此就能把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为 ． 【题型10】算术平方根的规律探究题 1.考点总结 规律探究能力； 算术平方根的运算规律； 归纳推理思想。 2.解题技巧 先计算前3–4个式子的结果，观察被开方数、算术平方根的变化规律； 归纳通项公式：如（本节结合平方差，基础探究）； 验证：用第5个式子验证通项公式的正确性，再应用。 【例题10】.（25-26七年级上·浙江杭州·期末）观察表格： 按表中规律，已知，则 ． 【变式题10-1】.（25-26八年级上·福建三明·期末）阅读以下材料，解决以下问题： ①和为相邻两个整数，则有：； ②和为相邻两个整数，则有：； ③和为相邻两个整数，则有：．… (1)若的值和的值为两个相邻整数，则．则______． (2)猜想并证明结论： 结论：若的值和的值为相邻的两个整数，其中，则有______． 证明：∵的值和的值为相邻的两个整数，可设______， ∴…… 请补全小明的证明过程． (3)若的值和的值为相差3的两个整数，求m的值． 【变式题10-2】.（25-26七年级下·全国·月考）为了探究被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律，数学小组设计了下表，通过观察回答问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)上表中，_________，_________． (2)从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题． ①已知，则_________； ②已知．若，则_________（用含的代数式表示）． (3)用语言概括你所发现的规律． 【变式题10-3】.（25-26八年级上·福建漳州·月考）【实践与探究】 计算：（1） ______， ______， ______， ______． 【归纳与应用】 （2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与a有怎样的关系？请用数学式子描述出来； （3）利用你总结的规律，计算： ①若，则______；②______． 同步练习 一、单选题 1．9的平方根是（   ） A．3 B． C． D． 2．下列各数一定没有平方根的是（    ） A． B． C． D． 3．一茶几的桌面为正方形，它的面积是，则该茶几桌面的边长是（   ） A． B． C． D． 4．公元前五世纪，古希腊毕达哥拉斯学派成员希帕索斯发现新数无法表示为整数之比，打破了“万物皆数(有理数)”的学派信条，导致西方数学史上的“第一次数学危机”．请估计的值在(   ) A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 5．要画一个面积为的长方形，使它的长与宽之比为，则该长方形的宽为（） A． B． C． D． 二、填空题 6．当时，代数式 ． 7．一个数的平方是25，这个数是 ． 8．根据如图所示的程序，计算y的值，若输入x的值是1时，则输出的y的值等于 ． 9．已知有理数a，b满足，则的值是 ． 10．已知一个正数的平方根分别是和，则的值为 ． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)． 12．（1）观察发现：表格中___________，___________； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向___________移动___________位； … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … （3）规律运用： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 13．已知数有平方根． (1)若数的平方根是它本身，求的值． (2)若和是数的平方根，求的值． 14．已知一个正数的两个平方根分别是与． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． 15．王老师给同学们布置了这样一道练习题：一个正数的算术平方根为，它的平方根为，求这个正数． 小达的解法如下：依题意可知，，解得，则，这个正数为4．小达的解法正确吗？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.1 平方根 核心知识点 常考考点 高频易错点 1.平方根的定义与符号表示（若（），则） 1.辨析平方根与算术平方根的概念； 2.求整数、分数、小数的平方根； 3.利用平方根定义解简单方程（） 1.混淆“”与“”的含义，漏写负平方根； 2.忽略被开方数的非负性，求负数的平方根； 3.误将“”当作“”，运算顺序颠倒 2.算术平方根的定义与性质（，） 1.求非负数的算术平方根； 2.利用算术平方根的非负性求字母值； 3.算术平方根的估算（确定整数范围） 1.忽视算术平方根的非负性，得出负数结果； 2.估算时错误确定被开方数的相邻平方数； 3.混淆“算术平方根等于本身的数”的范围 3.平方根的性质（正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数无平方根） 1.已知正数的两个平方根，求字母及原数； 2.判断关于平方根性质的命题真假； 3.平方根与数轴的简单结合 1.忘记正数的两个平方根互为相反数，列错方程； 2.认为“一个数有两个平方根”适用于所有数； 3.数轴上表示平方根时，混淆正负方向 4.平方根的实际应用与探究 1.正方形边长、面积的实际计算； 2.跨学科情境（物理速度、几何图形）应用； 3.平方根的规律探究题 1.实际问题中，漏写平方根的实际意义（如边长为正）； 2.规律探究时，无法归纳被开方数与平方根的变化关系； 3.跨学科情境中，不会将实际问题转化为数学模型 【易错题型】 【题型1】混淆平方根与算术平方根的符号与意义 1.易错点总结 混淆“”（算术平方根，非负）与“”（平方根，互为相反数）的书写； 求“的平方根”时，仅写出算术平方根，漏写负根； 忽视“”中被开方数的隐含条件。 2.纠错技巧 牢记核心口诀：“算术平方根单且正，平方根双且相反，0的两者都是0”； 审题时圈出关键词：“平方根”写，“算术平方根”写； 解题第一步先判断被开方数的符号，负数直接判定“无意义”。 【例题1】.（25-26七年级上·浙江台州·期末）“16的算术平方根是4”，用数学式子表达为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的意义． 根据算术平方根的定义求解即可，如果一个正数x的算术平方根是a，那么． 【详解】解：∵16的算术平方根是4， ∴， 故选：B． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·四川宜宾·月考）下列说法错误的是（    ）． A．是4的平方根 B．的算术平方根是 C．的算术平方根是 D．7是的算术平方根 【答案】C 【分析】本题考查平方根和算术平方根的定义，掌握好相关知识是解题关键． 根据平方根和算术平方根的定义，逐项判断正误． 【详解】解：对于A：， 因此是4的平方根，故A正确； 对于B： ， 因此的算术平方根是，故B正确； 对于C： ， 因此的算术平方根不是，故C错误； 对于D： ， 且，因此7是49的算术平方根，故D正确． 故选：C． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·海南海口·期中）下列结论中，正确的是（   ） A．的平方根是 B．0没有平方根 C．1的算术平方根是1 D．的平方根是 【答案】C 【分析】本题考查平方根和算术平方根的定义，解题的关键是掌握平方根、算术平方根的概念． 根据平方根和算术平方根的定义，逐一判断各选项的正误． 【详解】解：A、因为负数没有平方根，而是负数，所以没有平方根，故A错误； B、因为0的平方根是0，故B错误； C、因为若一个非负数的平方等于，即，则叫做的算术平方根，，所以1的算术平方根是1，故C正确； D、先计算，因为4的平方根是，所以的平方根是，故D错误． 故选：C． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·山西运城·期中）下列式子中表示“9的平方根是”的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解题思路是根据平方根的定义与表示方法，逐一分析每个选项的式子所表达的含义，匹配9的平方根是的正确表示．本题考查平方根的表示方法，涉及的知识点是平方根与算术平方根的定义及符号表示．解题中用到的方法是概念辨析法，通过区分平方根、算术平方根、立方根的符号与含义来判断．解题关键是明确表示算术平方根， 表示平方根．易错点是混淆平方根与算术平方根的符号表示，或误将立方根与平方根混淆． 【详解】选项A：表示的是的算术平方根是，不是平方根，不符合题意； 选项B：，符合的平方根是的表示方法； 选项C：是的立方根，与平方根无关，不符合题意； 选项D：表示的是的算术平方根的相反数是，不符合题意． 故选B． 【基础题型】 【题型2】求非负数的平方根 1.考点总结 平方根的定义与符号表示； 平方根的性质（正数有两个互为相反数的平方根）。 2.解题技巧 先求其算术平方根，再添加“”得到平方根； 0的平方根直接写0； 结果需化为最简形式（如，本节暂不要求二次根式化简，仅保留即可）。 【例题2】.（25-26八年级上·广东深圳·月考）64的平方根是 ． 【答案】 【分析】根据平方根的定义，一个数的平方等于64，则该数是64的平方根．熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵且， ∴64的平方根是． 故答案为：． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）若正数a的一个平方根是5，则它的另一个平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的知识．根据正数的平方根有两个，它们互为相反数进行解答即可． 【详解】解：若一个正数的一个平方根是5，则它的另一个平方根是． 故答案为：． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·山东烟台·期末）下列说法错误的是（   ） A．是25的平方根 B．的算术平方根是2 C．的平方根是 D． 【答案】C 【分析】此题考查了平方根以及算术平方根的定义．分别根据平方根的定义，算术平方根的定义判断即可得出正确选项． 【详解】解：A、是25的平方根，说法正确，该选项不符合题意； B．，则的算术平方根是2，说法正确，该选项不符合题意； C、的平方根是，故原说法错误，该选项符合题意； D、，说法正确，该选项不符合题意． 故选：C． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·河南南阳·期末）的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 先计算乘方，再求平方根即可． 【详解】解：的平方根是， 故答案为：． 【题型3】求整数、分数、小数的算术平方根 1.考点总结 算术平方根的定义； 平方与开平方的逆运算。 2.解题技巧 熟记1–20的平方数，直接利用逆运算求解； 分数的算术平方根：（，），先约分再计算； 小数的算术平方根：先化为分数，再按分数法则计算。 【例题3】.（2024·西藏那曲·一模）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的定义，关键是熟练应用定义解题；根据定义解题即可，注意算术平方根的结果为非负数．　 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）16的算术平方根为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了算术平方根的定义，熟练掌握算术平方根与平方根的区别是解题的关键．根据算术平方根的定义，先找出平方等于16的数，再从中选取非负的那个，即为16的算术平方根． 【详解】解：∵ ，， ∴ 16的平方根为， ∵ 算术平方根是指非负数的非负平方根， ∴ 16的算术平方根为4， 故答案为：4． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·全国·期末）的平方根是（    ） A．3 B． C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 先计算的值，再求该值的平方根，注意平方根有正负两个值. 【详解】解：∵ ， ∴ 的平方根即的平方根， ∵ 的平方根是， ∴的平方根是. 故选：B． 【变式题3-3】.（24-25八年级上·山东济南·期中）的平方根是 ，的算术平方根是 【答案】 / 【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根等知识点，理解平方根、算术平方根的定义是解题的关键． 先计算乘方运算得到4，再求平方根；直接根据算术平方根定义求解即可． 【详解】解： = 4，4 的平方根是； 的算术平方根是． 故答案为，． 【题型4】利用平方根定义解简单方程 1.考点总结 平方根的定义； 开平方运算解一元二次方程（特殊形式）。 2.解题技巧 方程变形为（）的形式； 两边同时开平方，得； 若，则方程无实数解。 【例题4】.（25-26七年级下·全国·课后作业）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，掌握一个正数的平方根有两个且互为相反数是解题的关键． 本题需要根据平方根的定义求解． 【详解】解：方程 两边开平方，得 ，即 ． 故答案为：． 【变式题4-1】.（25-26九年级上·吉林·期末）一元二次方程的解为（   ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用平方根解方程，理解平方根的定义是解题的关键． 先移项，然后利用平方根的定义求解即可． 【详解】解：， ， ∴，即，． 故选C． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·江苏淮安·期末）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查利用平方根解方程，掌握平方根的定义是解题的关键． （1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用平方根的定义，转化为两个一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 则或 或． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了平方根解方程，掌握平方根的计算是关键． （1）根据平方根的计算求方程的解即可； （2）根据平方根的计算求方程的解即可； （3）根据平方根的计算求方程的解即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴； （2）解： 系数化为1得，， ∵， ∴； （3）解：， ∵， ∴． 【题型5】算术平方根的非负性基础应用 1.考点总结 算术平方根的非负性（，）； 非负数的和为0的性质。 2.解题技巧 牢记“双重非负”：被开方数非负，算术平方根结果非负； 若，则且，列方程求解字母值。 【例题5】.（25-26八年级上·陕西西安·月考）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，求代数式的值，先根据算术平方根的非负性以及绝对值的非负性计算得出，，再代入所求式子计算即可得解，熟练掌握非负数的性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意可知：，， ，， 原式 故答案为：． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）若，则的值分别是（    ） A．1，2 B． C．－1，2 D．－1，－2 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，牢记算术平方根的非负性是解题关键，利用算术平方根的非负性求解，即算术平方根的值恒为非负数，两个非负数的和为0时，这两个非负数均为0． 【详解】∵算术平方根具有非负性， ∴，， 又∵， ∴，， ∴，， 解得，， 故选：B． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·全国·单元测试）已知，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查算术平方根和绝对值的非负性．算术平方根和绝对值都大于等于零，它们的和为零则每个都为零，从而求出和的值，再计算的平方根． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， 则， 其平方根为±． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·海南海口·期末）已知，那么的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，利用算术平方根和绝对值的非负性求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 解得，， ∴， 故选：． 【提升题型】 【题型6】已知正数的两个平方根，求字母及原数 1.考点总结 正数的两个平方根互为相反数； 平方根与原数的关系。 2.解题技巧 设正数的两个平方根为和，则，列方程求字母值； 求出字母后，代入其中一个平方根，平方得到原数； 验证：确保原数为正数，符合平方根的性质。 【例题6】.（25-26七年级上·山东烟台·期末）一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了平方根，解一元一次方程，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数得出，即可求出a的值，继而可求出这个正数． 【详解】解：根据题意得， 解得， ∴， ∴这个正数为， 故答案为：9． 【变式题6-1】.（24-25七年级下·陕西延安·期末）已知某正数的两个平方根分别是和，b的算术平方根是3，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了平方根、算术平方根的定义，解题的关键是求出、的值． 先根据平方根的定义求出的值，再根据的算术平方根是3求出的值，进而求出的值，再求的平方根即可． 【详解】解：∵某正数的两个平方根分别是和， ， 解得， ∵b的算术平方根是3， ， ， ， ∴的平方根为． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·河北唐山·期中）一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)8 【分析】本题考查了平方根的性质和算术平方根的定义，解题的关键是利用“一个正数的两个不同平方根互为相反数”列方程求解． （1）根据平方根互为相反数的性质列方程求，再代入平方根的表达式平方得； （2）代入和的值计算代数式，再根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）解：∵正数的两个不同平方根互为相反数， ∴， 解得． ∵， ∴． ∴，； （2）解：∵， 又∵， ∴的算术平方根是． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·江苏盐城·期中）已知：一个正数的两个不同平方根分别是和． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根的性质与算术平方根的计算，解题的关键是利用“正数的两个平方根互为相反数”列方程求解． （1）根据正数的两个平方根互为相反数，列方程，求解得的值； （2）将的值代入计算结果，再求其算术平方根． 【详解】（1）解：由题意得 化简得： 解得： （2）将代入，得： 9的算术平方根是3． 【题型7】算术平方根的估算与大小比较 1.考点总结 算术平方根的估算； 实数的大小比较（数形结合）。 2.解题技巧 “夹逼法”：找到与被开方数相邻的两个完全平方数和，则； 比较两个算术平方根的大小：被开方数大的，算术平方根大； 估算小数部分：的小数部分=整数部分。 【例题7】.（25-26八年级上·河南洛阳·期末）请估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】A 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小．由，得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式题7-1】.（25-26七年级上·浙江台州·期末）已知一些数的平方如下表所示，则无理数的大小在（   ）         6.8121 6.8644 6.9169 6.9696 7.0225 7.0756 7.1289 A．2.61与2.64之间 B．2.64与2.65之间 C．2.65与2.66之间 D．2.65与2.67之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，根据表格中的数据找到7在哪2个数的平方之间即可得到答案． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴ 即的大小在2.64与2.65之间， 故选：B． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·福建宁德·期末）已知一块正方形木板的面积为，则它的边长（单位：）介于（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的估算、算术平方根的应用等知识点，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 先根据正方形面积公式求出边长为面积的算术平方根，再通过估算无理数的大小，即可确定边长所在的范围． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， 又∵，且， ∴<<，即． ∴正方形木板的边长介于4到5之间． 故选C． 【变式题7-3】.（24-25八年级下·重庆·期末）估计的值在（    ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方．根据，即可估计的值． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， 即估计的值在2到3之间， 故选：B． 【题型8】正方形边长与面积的实际应用 1.考点总结 平方根的实际应用； 正方形的面积公式（）。 2.解题技巧 面积求边长：（边长为正，取算术平方根）； 边长求面积：（平方运算）； 实际问题中，舍去负平方根，符合实际意义。. 【例题8】.（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图1，把一个面积为大正方形纸片沿对角线裁成四个三角形，然后再把这四个三角形拼成如图2所示的两个相同的小正方形． (1)直接写出小正方形的边长为___________； (2)小明要在一个小正方形中沿边的方向裁出一个面积为的长方形，使它的长宽之比为，问能否成功，试说明理由． 【答案】(1)10； (2)能成功，理由见解析 【分析】本题主要考查了算术平方根，正方形的性质，长方形的性质，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键． (1)利用正方形的性质和算术平方根的意义解答即可； (2)设长方形的长宽分别为，，长方形的面积公式和算术平方根的意义求得长方形的长，再与小正方形的边长作比较即可． 【详解】（1）解∶面积为大正方形拼成如图2所示的两个相同的小正方形，每个小正方形的面积为， 小正方形的边长为． 故答案为∶10； （2）解：在一个小正方形中沿边的方向裁出一个面积为的长方形，使它的长宽之比为，能成功． 理由∶依题意设长方形的长、宽分别为，， 则， 即， 解得（不符合题意，舍去），， 则长方形的长、宽分别为， ， 即， 小明可以剪出这样的长方形． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·河南开封·期中）某小区新修了一个正方形花坛，已知其面积为，则其边长介于（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的估算，先求出正方形花坛的边长为，再通过比较平方数确定其范围． 【详解】解：设正方形边长为， 正方形花坛的面积为， ， ， ，，且， ， 正方形边长介于和之间， 故选：B． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）问题情境：有多大？如图1，教材中用两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，拼成一个面积为2的大正方形，则大正方形的边长为． (1)探究过程：因为，，所以．设，将边长为的正方形分成如图2所示的四部分．由面积公式，可得，因为x值很小，所以更小，略去，解得（保留到），即______． (2)理解应用：现在仿照上面的探究“有多大？”的过程，请你写出探究“有多大？”的过程．（结果均保留到） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了算术平方根，无理数大小估算等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）由可得； （2）由题意画出图形，由（1）的方法可得出答案； 【详解】（1）解：， （2），， ， 设，画出示意图， 由面积公式，可得． 值很小，更小， 解得（保留到）， ∴． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·浙江杭州·期中）观察图1：每个小正方形的边长均是1，我们可以得到小正方形的面积为 (1)图1中阴影正方形的面积是______，并由面积求正方形的边长，可得边长 AB长为______； (2)在图2，正方形方格中，由题的解题思路和方法，设计一个方案画出长为的线段． (3)如图3，网格中每个正方形边长为1，若把阴影部分剪拼成一个正方形，则新正方形的边长是______． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，算术平方根，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 利用数形结合的思想解决问题即可； 利用一个面积为的正方形，正方形的边长为所求； 求出阴影部分的面积可得结论． 【详解】（1）解：阴影正方形的面积为四个正方形面积的一半 ∴边长为 故答案为：2，； （2）如图，线段即为所求； ∵大正方形的面积为，空白部分的面积为：， 故阴影部分的面积为：， 故阴影正方形的边长为：， 故为所求； （3）阴影部分的面积， 新正方形的边长 故答案为： 【培优题型】 【题型9】平方根与数轴的综合探究 1.考点总结 平方根与数轴的对应关系； 数形结合思想； 数轴上两点间的距离。 2.解题技巧 在数轴上表示：以1为直角边作等腰直角三角形，斜边为，再用圆规截取到数轴上； 数轴上点表示，点表示，则； 结合“夹逼法”，确定在数轴上的大致位置。 【例题9】.（23-24七年级下·北京海淀·期末）如图，正方形的面积为3，顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，数轴上有一点E在点A的左侧，若，则点E表示的数为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查算术平方根的应用，实数与数轴，解题的关键是根据正方形的面积求出．先根据正方形的面积求出正方形的边长，即可求出，根据点A表示的数为1，且点E在点A的左侧，即可求出E点所表示的数． 【详解】解： 正方形的面积为3， ， ， ， 点A表示的数为1，且点E在点A的左侧， 点所表示的数为 . 故选：A. 【变式题9-1】.（25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示． (1)在数轴上表示出a，b的相反数的位置，并将这四个数从小到大排列； (2)若数与其相反数相距10个单位长度，则表示的数是多少？ (3)在（2）的条件下，若关于x的多项式是六次多项式，求的算术平方根． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】本题考查了相反数和数轴的应用，多项式的次数，求代数式的值，算术平方根等，灵活应用相反数的定义和数形结合思想是解答本题的关键． （1）根据相反数的定义作图，再根据数轴右边的数大于左边的数排列即可； （2）先得到b表示的点到原点的距离为5，然后根据b为负数可确定b表示的数； （3）根据题中条件确定a、b的值，进而求得的值，再求其算术平方根． 【详解】（1）解：a，b的相反数的位置表示如图： 由图知，． （2）解：数b与其相反数相距10个单位长度， 数b表示的点到原点的距离为5， 又由数轴可知b为一个负数， b表示的数是． （3）解：由（2）知，，故， 若关于x的多项式是六次多项式，则，， ，的算术平方根为3， 的算术平方根为3． 【变式题9-2】.（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系．某数学小组在一张白纸上画了一条数轴，点、、对应的数分别为、、，且、满足，是16的算术平方根．动点从点出发沿数轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，设点运动的时间为秒． (1)填空：________，________，________，点在数轴上所表示的数为________（用含的代数式表示）； 操作一： (2)以点为折点，向右折叠数轴，使，两点重合，此时所表示的数为________，________； 操作二： (3)以点为折点，向右折叠数轴，若折叠后，两点之间的距离为2，此时________； 操作三： (4)以点为折点，向右折叠数轴，再将第一次折叠后的数轴沿某点继续向右折叠一次，有没有这样的时间使得，两点重合，且点与数轴上的数11重合？若有，请求出符合条件的时间的最大值和最小值；若无，请说明理由． 【答案】(1)；；； (2)；5 (3)4或6 (4)最小值为7，最大值为10 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，非负性的性质，求一个数的算术平方根，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据非负数的性质可求出a、b的值，根据算术平方根的定义可得c的值，再用点A表示的数加上点P运动的路程即可得到点P表示的数； （2）点P为折叠前的中点，据此根据中点计算公式求解即可； （3）分折叠后点A在点C左侧和折叠后点A在点C右侧两种情况，分别求出折叠后点C表示的数，进而根据中点计算公式求出点P表示的数，则可得到答案； （4）分P在（不与点重合）上、P在上、P在点C的右边三种情况，根据第二次折叠后C与A的折痕，B与11的折痕是同一点列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； ∵是16的算术平方根， ∴； ∵动点从点出发沿数轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，且点运动的时间为秒， ∴点P表示的数为； （2）解：∵以点为折点，向右折叠数轴，使，两点重合， ∴点P为折叠前的中点， ∴点P表示的数为， ∴， ∴； （3）解：当折叠后点A在点C左侧时，则折叠后点A表示的数为， ∴点P表示的数为， ∴， 解得； 当折叠后点A在点C右侧时，则折叠后点A表示的数为， ∴点P表示的数为， ∴， 解得； 综上所述，或； （4）解：①当在线段上时（不与点重合），则第一次折叠后点A的对应点表示的数小于，若第二次折叠后与点重合，折痕对应的数小于6，若点与11重合，折痕为，故这种情况不可能； ②当点在线段上时（包含，两点），如图，则， ∵点P表示的数为， ∴点表示的数为   点表示的数为 若点与点重合，则第二次折痕表示的数为， 若点与11重合，则第二次折痕表示的数为，折痕一致， ∴均符合题意； ③当点在点右侧时，如图，则， 同理可得点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为 若点与点重合，则第二次折痕表示的数为， 若点与11重合，则第二次折痕表示的数为， 则， 解得（舍） 综上所述，符合条件的最小值为7，最大值为10． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·上海闵行·月考）如图，在数轴上，我们可以用画半圆的方式，依次得到一些新的点．从原点开始，作一个边长为1的正方形，连接正方形对角两个顶点得到的线段的长度为，以数轴原点为圆心，长度为半径画半圆，交数轴右边于点，如此就能把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴、估算无理数的大小以及探索规律，通过估算无理数的大小，找到图形变化规律是解题的关键．利用表示的数，根据实数与数轴的关系，逐一计算各点所对应的数，再计算、、……，得出规律即可解决． 【详解】解：由题意得，点表示的数为， ∵， ∴， ∴表示的数为2， ∴， 则表示的数为， ∵， ∴， ∴， ∴表示的数为3， ∴， 同理可得； ； ； ； ， 以此类推可得，当为奇数时， 当为偶数时； ∴； 故答案为：． 【题型10】算术平方根的规律探究题 1.考点总结 规律探究能力； 算术平方根的运算规律； 归纳推理思想。 2.解题技巧 先计算前3–4个式子的结果，观察被开方数、算术平方根的变化规律； 归纳通项公式：如（本节结合平方差，基础探究）； 验证：用第5个式子验证通项公式的正确性，再应用。 【例题10】.（25-26七年级上·浙江杭州·期末）观察表格： 按表中规律，已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的规律探究，通过表格可知，被开方数的小数点每向右移动2个数位，算术平方根的小数点向右移动1个数位，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知，被开方数的小数点每向右移动2个数位，算术平方根的小数点向右移动1个数位， ∵， ∴； 故答案为：． 【变式题10-1】.（25-26八年级上·福建三明·期末）阅读以下材料，解决以下问题： ①和为相邻两个整数，则有：； ②和为相邻两个整数，则有：； ③和为相邻两个整数，则有：．… (1)若的值和的值为两个相邻整数，则．则______． (2)猜想并证明结论： 结论：若的值和的值为相邻的两个整数，其中，则有______． 证明：∵的值和的值为相邻的两个整数，可设______， ∴…… 请补全小明的证明过程． (3)若的值和的值为相差3的两个整数，求m的值． 【答案】(1) (2)，，见解析 (3) 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，解决本题的关键是读懂题意找到规律并建立等式求解． （1）根据运算求解即可． （2）由的值和的值为相邻的两个整数，设，两边同时平方整理化简即可． （3）根据相差3可建立等式，再两边同时平方求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，则， 可得，解得 （2）解：结论： 证明：∵的值和的值为相邻的两个整数，可设， ∴两边同时平方，得， ∴， ∴． （3）解：依题意，得， ∴两边同时平方，得， ∴， ∴， ∴． 【变式题10-2】.（25-26七年级下·全国·月考）为了探究被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律，数学小组设计了下表，通过观察回答问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)上表中，_________，_________． (2)从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题． ①已知，则_________； ②已知．若，则_________（用含的代数式表示）． (3)用语言概括你所发现的规律． 【答案】（1）0.1  10 （2）①22.36  ② （3）规律：被开方数的小数点向左或向右每移动两位，开方后所得的结果相应的小数点向左或向右移动一位． 【分析】本题考查了算术平方根的小数点移动规律，熟练掌握平方根的运算是解题的关键； （1）根据算术平方根的定义计算出x、y的值； （2）根据从表格中得出的规律得出的值和a与b的关系； （3）简单概括观察得到的规律． 【详解】（1）解：由表格可知：，， 则， ． （2）解：①∵，500是5扩大100倍得到的； ∴是的10倍； ∴； ②∵264.6是2.646的100倍 ∴b是a扩大10000倍得到的 ∴． （3）解：观察表格以及前两问的计算可得：被开方数的小数点向左或向右每移动两位，开方后所得的结果相应的小数点向左或向右移动一位． 【变式题10-3】.（25-26八年级上·福建漳州·月考）【实践与探究】 计算：（1） ______， ______， ______， ______． 【归纳与应用】 （2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与a有怎样的关系？请用数学式子描述出来； （3）利用你总结的规律，计算： ①若，则______；②______． 【答案】（1）3，0.5，0，6；（2）；（3）①，② 【分析】本题考查了算术平方根的定义，实数的绝对值，规律的探索及规律的应用；正确掌握算术平方根的定义是关键． （1）直接计算算术平方根即可； （2）根据（1）中的计算即可得到规律，并可用字母表示出来； （3）①直接利用总结出的规律计算即可； ②直接利用总结出的规律计算即可． 【详解】（1）解：，，，； （2）解：规律：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值； 用数学式子表示为：； （3）解：①当时，， ∴； 故答案为：； ②； 故答案为：． 同步练习 一、单选题 1．9的平方根是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方根的定义，根据平方根的定义求解即可． 【详解】∵ ∴9的平方根是． 2．下列各数一定没有平方根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的定义，平方数的非负性，掌握平方根仅对非负数有定义，利用平方数的非负性判断式子的正负是解题的关键． 平方根仅对非负数有定义，因此需找出无论取何值恒为负数的选项． 【详解】解：A、当时，，可能有平方根，不符合题意； B、当时，的值为，有平方根，不符合题意； C、恒成立，总有平方根，不符合题意； D、恒成立，故一定没有平方根，符合题意． 故选：D． 3．一茶几的桌面为正方形，它的面积是，则该茶几桌面的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的应用，设该茶几桌面的边长是，根据正方形的面积公式可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设该茶几桌面的边长是 由题意得， 解得或（舍去）， ∴该茶几桌面的边长是， 故选：B． 4．公元前五世纪，古希腊毕达哥拉斯学派成员希帕索斯发现新数无法表示为整数之比，打破了“万物皆数(有理数)”的学派信条，导致西方数学史上的“第一次数学危机”．请估计的值在(   ) A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，利用算术平方根的性质，通过计算选项中各小数的平方，与2比较大小，从而确定的取值范围． 【详解】解：∵， 又∵ ∴ 故的值在和之间， 故选：C． 5．要画一个面积为的长方形，使它的长与宽之比为，则该长方形的宽为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用和长方形的面积计算，熟练掌握根据比例关系设未知数并列方程求解的方法是解题的关键．根据长与宽的比例关系设出未知数，再利用长方形的面积公式列出方程，求解后得到未知数的值，进而求出长方形的宽． 【详解】解：∵长方形长与宽之比为， ∴设长为，宽为（）． ∵长方形面积为，且长方形面积长宽， ∴， 即， 解得． ∵， ∴． 则宽为． 故选：B． 二、填空题 6．当时，代数式 ． 【答案】1 【分析】本题考查了代数式求值，求算术平方根． 将代入中计算即可． 【详解】解：当时，． 故答案为：1． 7．一个数的平方是25，这个数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根定义，熟练掌握平方根定义，是解题的关键．根据平方根的定义，一个数的平方为25，则这个数是25的平方根，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴这个数是：． 故答案为：． 8．根据如图所示的程序，计算y的值，若输入x的值是1时，则输出的y的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了流程图，算术平方根的计算，根据题意得到，得到，结合算术平方根的计算法则计算即可求解． 【详解】解：输入x的值是1时，， ∴， 故答案为： ． 9．已知有理数a，b满足，则的值是 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查算术平方根与绝对值的非负性，熟练掌握算术平方根与绝对值的非负性是解题的关键；根据算术平方根和绝对值的非负性，得出和，即可求解． 【详解】解：∵，且，， ∴，即且， ∴，， ∴ ； 故答案为16． 10．已知一个正数的平方根分别是和，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查平方根，理解平方根的定义以及一个正数的两个平方根的特征是正确解答的关键． 根据正数的平方根互为相反数，列出方程求解． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， . 化简得 ， 即 ， 移项得， 解得 ． 故答案为：． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，有理数的混合运算． （1）根据有理数的乘方，算术平方根进行计算即可求解； （2）根据乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（1）观察发现：表格中___________，___________； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向___________移动___________位； … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … （3）规律运用： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【答案】（1）0.1；10（2）右；1（3）①22.4；②50 【分析】本题主要考查算术平方根，找到规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义即可求出答案； （2）找到规律即可得出答案； （3）根据（2）中的规律即可得出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：0.1；10． （2）根据表格可得， 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． 故答案为：右；1． （3）①∵， ∴． ②∵，， ∴． 故答案为：22.4；50． 13．已知数有平方根． (1)若数的平方根是它本身，求的值． (2)若和是数的平方根，求的值． 【答案】(1) (2)81或9． 【分析】本题考查了平方根的性质，解题关键是利用“平方根等于本身的数是” 和“一个数的两个平方根要么互为相反数，要么相等”这两个核心性质来建立方程． （1）一个数的平方根是它本身，说明这个数是，由此可列方程求； （2）一个数的平方根有两种情况：互为相反数或相等，需分类讨论，据此列方程求出，再代入求． 【详解】（1）解：∵数的平方根是它本身， ∴． 解得：． （2）解：∵和是数的平方根， ① 解得： 解得：． 将代入，得一个平方根为， ∴． ② 解得： 将代入，得一个平方根为， ∴． ∴ 的值为或． 14．已知一个正数的两个平方根分别是与． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查平方根的概念，解一元一次方程，解一元二次方程，熟练掌握相关知识是关键． （1）正数的两个平方根互为相反数，构造方程并求解即可； （2）使用直接开方法解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， 解得； （2）解：将代入方程，得， ， 两边开方，得， 解得，． 15．王老师给同学们布置了这样一道练习题：一个正数的算术平方根为，它的平方根为，求这个正数． 小达的解法如下：依题意可知，，解得，则，这个正数为4．小达的解法正确吗？请说明理由． 【答案】小达的解法不正确．理由见解析 【分析】是两数中的一个，应该分两种情况分别计算． 【详解】解：小达的解法不正确．理由如下： 依题意可知，为，两数中的一个． 当时， 解得，则，这个正数为； 当时， 解得，则，这个正数为． 综上所述，这个正数为或． 【点睛】本题考查了算术平方根，平方根，算术平方根是平方根中的正数，但是不确定哪个是正数，需要分类讨论，解题的关键是分类讨论． 学科网（北京）股份有限公司 $