圆锥曲线：定点、定值、定直线问题复习讲义-2026届高三数学二轮复习

圆锥曲线：定点问题、定值问题、定直线问题复习讲义 圆锥曲线：定点问题、定值问题、定直线问题复习讲义 考点目录 定点问题 定值问题 定直线问题 知识点解析 1.利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算 ； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 2.常见定点问题的翻译思路 类型 处理思路 直线过定点 思路一：设所求直线的一般方程：，然后利用题中条件整理出的关系，若，代入得，则该直线过定点. 思路二：设与所求直线相关的直线方程，翻译题目条件，整理出所求直线上两点的坐标，用两点式方程整理出直线方程，则该直线过定点. 思路三：过圆外一点作的两条切线，切点为、，求直线所过定点，求出以为圆心，为半径的的方程，再根据线段为和的公共弦，将两圆的方程相减可得直线的方程，令直线方程中参数项的自变量为得解. 圆过定点 圆过定点问题的常见类型是以为直径的圆过定点P，求解思路是把问题转化为，也可以转化为.或者整理出圆的方程，参变分离，令参数所乘因式部分为0，联立方程求解可得定点. 3.常见定值问题的翻译思路 定值类型 翻译思路 弦长为背景的定值问题 利用弦长公式表示 利用两点之间的距离公式表示 圆的弦长，利用圆的弦长公式表示 抛物线的焦点弦，利用抛物线的焦点弦公式表示 利用余弦定理或勾股定理表示 面积为背景的定值问题 利用三角形的面积公式表示 利用铅垂法表示 利用正弦定理表示 利用特殊四边形的面积公式表示 向量为背景的定值问题 表示点的坐标，进而利用向量公式表示. 斜率为背景的定值问题 表示点的坐标，进而利用斜率公式表示. 4.定直线问题处理思路 动直线与圆锥曲线相交于、两点，、为圆锥曲线上两定点，求动直线与得交点所在定直线.求解思路如下： （1）联立：联立直线与圆锥曲线的方程； （2）整理：整理得二次方程，写韦达定理； （3）翻译：表示动直线与方程； （4）二次联立：联立动直线与方程，求交点坐标； （5）消参：消参，得定直线. 5.交轨法 在解析几何中，交轨法是一种求动点轨迹方程的重要方法。其核心思想是：当动点的运动由两个或多个几何条件共同决定，且每个条件都能确定一条曲线（或轨迹）时，动点的轨迹就是这些曲线的交点所形成的集合。通过联立这些曲线的方程，消去参数，即可得到动点的轨迹方程. （1）交轨法的适用场景 ①动点是两条动曲线的交点（如两条动直线、动直线与动圆等）. ②动点的坐标满足两个含参数的方程，且参数是同一个变量. （2）交轨法的步骤 ①设点：设动点的坐标为. ②列方程：根据动点是两条动曲线交点的条件，列出两条动曲线的方程，方程中含共同参数（如参数）. ③联立消参：将两个方程联立，消去参数，得到关于和的方程，即为动点的轨迹方程. ④验证：检查轨迹方程是否符合实际几何意义（如是否需要去除不符合条件的点）. 考点一 定点问题 【例题分析】 例1．（25-26高二上·江西南昌·期末）双曲线经过两点和． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线交双曲线于两点，为左焦点，直线交双曲线于另一点，直线交双曲线于另一点，求直线过定点． 例2．（25-26高二上·天津·期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过点的直线与C交于D，E两点，的周长为8，当直线垂直于x轴时，. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设椭圆C的左顶点为A，直线与C相交于M，N两点，直线与直线相交于点Q.问：直线是否过定点?若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由. 例3．（25-26高二上·重庆·期中）已知椭圆的离心率，左､右焦点分别为，双曲线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点. (1)求椭圆的方程； (2)已知圆的切线与椭圆相交于两点，那么以为直径的圆是否通过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由. 例4．（2026·湖南邵阳·一模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，离心率，过的直线交椭圆于两点，的周长为8． (1)求椭圆的方程； (2)过点且与垂直的直线与椭圆相交于两点，在轴的上方，分别为线段，线段的中点，直线与直线相交于点． （i）直线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由； （ii）求的面积的最小值． 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·江西新余·期末）已知过点的双曲线，其渐近线方程为，右焦点为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线与的右支交于两点，与的右支交于两点（点，点在轴下方），分别为线段的中点，直线与交于点. （i）求证：直线过定点； （ii）求面积的最小值. 变式2．（2026·河北沧州·一模）已知椭圆的焦距为，上的点到两焦点的距离之和为6． (1)求的方程； (2)记的左顶点为，过点的直线与交于两点（异于点）． （i）求的面积的取值范围； （ii）直线分别与直线交于两点，证明：以为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标． 变式3．（2026·安徽淮北·一模）已知椭圆的短轴长为2，焦距为2，过的左焦点作斜率之和为1的两条直线和，与交于两点，与交于两点，线段的中点分别为． (1)求椭圆的标准方程； (2)求点的轨迹方程； (3)直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请给出理由． 变式4．（25-26高二上·江西吉安·期末）已知点为椭圆上的两点，点为椭圆外一点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作椭圆的两条切线，切点分别为，其中点在轴下方，连接. （i）求两点的坐标； （ii）过点作椭圆的一条割线，交椭圆于两点（是四个不同的点），再过点作一条与直线平行的直线，该直线交直线于点，点满足，求证：直线DG恒过定点. 考点二 定值问题 【例题分析】 例1．（25-26高三上·上海·月考）已知椭圆的长轴长为，离心率为，直线与轴交于点，与相交于、两点． (1)求的标准方程； (2)若的斜率为1，且，求的值； (3)是否存在，使恒为定值？若存在，求出与的值；若不存在，请说明理由． 例2．（25-26高二上·重庆·月考）已知动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数. (1)求点的轨迹的方程； (2)已知定点，直线的方程为，直线上有一动点，轨迹上有一动点，求的最小值； (3)若，为轨迹上不同的两点，线段的中点为，当面积取最大值时，是否存在两定点S，T，使为定值？若存在，求出这个定值，若不存在，请说明理由. 变式3．（25-26高二上·安徽蚌埠·月考）已知O为坐标原点，双曲线过点，离心率为． (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)直线l过点，与双曲线C交于A、B两点． ①若直线，求的面积； ②在x轴上是否存在定点N，使得为定值？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·江苏南通·月考）已知椭圆的离心率为，短轴长为2，椭圆上有两点关于原点对称，动点与两点的连线分别交椭圆于点，满足，. (1)求椭圆的方程； (2)求动点的轨迹方程； (3)过点作椭圆的两条切线（与坐标轴不垂直），试探究两切线斜率乘积是否为定值？ 变式2．（25-26高二上·上海浦东新·期中）已知椭圆.定义第次操作为：经过上的点作斜率为的直线与交于另一点，记关于轴的对称点为，若与重合，则操作停止；否则一直继续下去. (1)若，求； (2)若，点是椭圆上一点，且位于轴的上方，是椭圆的两个焦点，是等腰三角形，求点的坐标； (3)若是在第一象限与不重合的一点，求证：的面积为定值，并求出该定值. 变式3．（25-26高二上·山西·期中）已知椭圆的焦距为. (1)求的方程； (2)过上一动点作椭圆的两条斜率存在的切线，证明：两条切线的斜率乘积为定值. 考点三 定直线问题 【例题分析】 例1．（25-26高三上·安徽宣城·期末）已知定点，过点作直线轴于点是直线（为坐标原点）上任意一点，过作轴于点，作于点，直线与相交于点，设点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点的直线交曲线于两点，过点且与直线垂直的直线交曲线于两点，证明：直线与直线的交点在定直线上. 例2．（24-25高三上·江苏扬州·期末）对于椭圆：，我们称双曲线：为其伴随双曲线．已知椭圆，它的离心率是其伴随双曲线的离心率的倍． (1)求双曲线的方程； (2)过和的右焦点分别作两条平行直线，直线与交于两点，直线与的右支交于两点，且在轴上方． （ⅰ）若的面积为，求直线的方程； （ⅱ）试探究直线与直线的交点是否落在某条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 例3．（2026·黑龙江大庆·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且轴.过点作椭圆的切线，交轴于点，过点的直线交椭圆于两点. (1)求椭圆的方程； (2)若为椭圆的中心，求面积的最大值； (3)过点作轴的垂线与直线交于点，求证：线段的中点在定直线上. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·陕西商洛·月考）已知椭圆的离心率为，短轴长为． (1)求椭圆的方程； (2)记椭圆左、右顶点分别为，为坐标原点．过点的直线与交于两点． （i）若的面积为，求； （ii）设直线与交于点，证明：点在定直线上． 变式2．（24-25高二上·山西阳泉·期末）已知椭圆的两个焦点为，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆交于两点，求证：的内心在一条定直线上. 变式3．（25-26高二上·河北保定·期中）已知是双曲线上两个不同的点，为坐标原点，点． (1)若点在上，求的渐近线方程． (2)当四点共线时，，点． （i）求的方程； （ii）若三点共线，两点均不在轴上，分别为的左、右顶点，直线与交于点，证明：动点在一条定直线上． 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆锥曲线：定点问题、定值问题、定直线问题复习讲义 圆锥曲线：定点问题、定值问题、定直线问题复习讲义 考点目录 定点问题 定值问题 定直线问题 知识点解析 1.利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算 ； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 2.常见定点问题的翻译思路 类型 处理思路 直线过定点 思路一：设所求直线的一般方程：，然后利用题中条件整理出的关系，若，代入得，则该直线过定点. 思路二：设与所求直线相关的直线方程，翻译题目条件，整理出所求直线上两点的坐标，用两点式方程整理出直线方程，则该直线过定点. 思路三：过圆外一点作的两条切线，切点为、，求直线所过定点，求出以为圆心，为半径的的方程，再根据线段为和的公共弦，将两圆的方程相减可得直线的方程，令直线方程中参数项的自变量为得解. 圆过定点 圆过定点问题的常见类型是以为直径的圆过定点P，求解思路是把问题转化为，也可以转化为.或者整理出圆的方程，参变分离，令参数所乘因式部分为0，联立方程求解可得定点. 3.常见定值问题的翻译思路 定值类型 翻译思路 弦长为背景的定值问题 利用弦长公式表示 利用两点之间的距离公式表示 圆的弦长，利用圆的弦长公式表示 抛物线的焦点弦，利用抛物线的焦点弦公式表示 利用余弦定理或勾股定理表示 面积为背景的定值问题 利用三角形的面积公式表示 利用铅垂法表示 利用正弦定理表示 利用特殊四边形的面积公式表示 向量为背景的定值问题 表示点的坐标，进而利用向量公式表示. 斜率为背景的定值问题 表示点的坐标，进而利用斜率公式表示. 4.定直线问题处理思路 动直线与圆锥曲线相交于、两点，、为圆锥曲线上两定点，求动直线与得交点所在定直线.求解思路如下： （1）联立：联立直线与圆锥曲线的方程； （2）整理：整理得二次方程，写韦达定理； （3）翻译：表示动直线与方程； （4）二次联立：联立动直线与方程，求交点坐标； （5）消参：消参，得定直线. 5.交轨法 在解析几何中，交轨法是一种求动点轨迹方程的重要方法。其核心思想是：当动点的运动由两个或多个几何条件共同决定，且每个条件都能确定一条曲线（或轨迹）时，动点的轨迹就是这些曲线的交点所形成的集合。通过联立这些曲线的方程，消去参数，即可得到动点的轨迹方程. （1）交轨法的适用场景 ①动点是两条动曲线的交点（如两条动直线、动直线与动圆等）. ②动点的坐标满足两个含参数的方程，且参数是同一个变量. （2）交轨法的步骤 ①设点：设动点的坐标为. ②列方程：根据动点是两条动曲线交点的条件，列出两条动曲线的方程，方程中含共同参数（如参数）. ③联立消参：将两个方程联立，消去参数，得到关于和的方程，即为动点的轨迹方程. ④验证：检查轨迹方程是否符合实际几何意义（如是否需要去除不符合条件的点）. 考点一 定点问题 【例题分析】 例1．（25-26高二上·江西南昌·期末）双曲线经过两点和． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线交双曲线于两点，为左焦点，直线交双曲线于另一点，直线交双曲线于另一点，求直线过定点． 【答案】(1); (2)定点 【详解】（1）设双曲线方程为：，代入两点可得： ，解得：， 又设双曲线方程为：，代入两点可得： ，解得：，显然这组解不成立， 综上双曲线的标准方程为； （2） 设，由（1）知， 则直线方程为：，直线方程为：， 由直线方程与双曲线方程联立可得： ，消可得：， 整理得：， 即， 又因为， 则， 所以， 则， 即点，同理可得：点， 设直线的方程为：，把点的坐标代入可得： ， ， 同理，把点的坐标代入可得：， 即直线方程必过点， 即此方程就是直线方程，又因为直线过点， 则有， 则直线的方程必过定点. 例2．（25-26高二上·天津·期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过点的直线与C交于D，E两点，的周长为8，当直线垂直于x轴时，. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设椭圆C的左顶点为A，直线与C相交于M，N两点，直线与直线相交于点Q.问：直线是否过定点?若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2)直线过定点 【详解】（1）由椭圆的定义可知的周长为， 所以，即，解得， 代入椭圆方程有，所以，所以， 所以通径，所以， 故椭圆的标准方程为； （2）直线过定点，理由如下： 由可得， 显然， 设，则有，. 直线的方程为. 令，解得，则， 所以直线的斜率为，且， 所以直线的方程为. 令，则 所以直线过定点. 例3．（25-26高二上·重庆·期中）已知椭圆的离心率，左､右焦点分别为，双曲线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点. (1)求椭圆的方程； (2)已知圆的切线与椭圆相交于两点，那么以为直径的圆是否通过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)是， 【详解】（1）因为椭圆的离心率，所以，即. 因为双曲线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点，所以， 所以.所以椭圆的方程为. （2）若直线的斜率存在，故设直线的方程为， 由，消去，得， 所以设， 则， 所以. 所以.① 因为直线和圆相切，所以圆心到直线的距离， 整理得，② 将②代入①，得，显然以为直径的圆经过定点； 若直线斜率不存在，故其切线为，在这先讨论， 则，可得，， 所以可得此时以为直径的圆为， 即，显然也过原点； 同理可得当时也过原点； 综上可知，以为直径的圆过定点. 例4．（2026·湖南邵阳·一模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，离心率，过的直线交椭圆于两点，的周长为8． (1)求椭圆的方程； (2)过点且与垂直的直线与椭圆相交于两点，在轴的上方，分别为线段，线段的中点，直线与直线相交于点． （i）直线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由； （ii）求的面积的最小值． 【答案】(1) (2)（i）直线过定点，定点坐标为；（ii） 【详解】（1）因为的周长为，所以. 又，所以． 所以， 所以椭圆的方程为. （2）（i）直线过定点. 由（1）知，，又在轴的上方，所以直线与坐标轴不垂直． 设直线． 将代入，整理得. 则． 所以． 所以，同理可得. 所以. 所以直线的方程为，即， 因为该方程对任意非零实数恒成立， 所以直线过定点. （ii）连接，设为线段的中点，直线分别与相交于点， 连接，如图所示．    因为分别为的中点， 所以， 所以到直线的距离相等，到直线的距离相等． 则． 所以， 即． 故. 由（i）知，， 同理可得， 所以 当且仅当时，即时，等号成立． 所以的面积的最小值为. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·江西新余·期末）已知过点的双曲线，其渐近线方程为，右焦点为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线与的右支交于两点，与的右支交于两点（点，点在轴下方），分别为线段的中点，直线与交于点. （i）求证：直线过定点； （ii）求面积的最小值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）由双曲线的渐近线方程为， 可设双曲线的方程为， 将点代入方程，得，即， 则双曲线的标准方程为. （2）（i）设，， 由（1）知，，设，则. 联立，得， 则，即， 则，， 所以， 设，同理可得， 而，则，即， 若，则， 此时直线的方程为， 令，则，所以直线过定点； 若，则，，则直线的方程为，也过点. 综上所述，直线过定点. （ii）设为的中点，为直线与的交点. 由，分别为，的中点知，所以，故， 设为直线与的交点，同理可得，所以. 由（i）得，， 同理可得， 则，, 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 因此的面积的最小值为. 变式2．（2026·河北沧州·一模）已知椭圆的焦距为，上的点到两焦点的距离之和为6． (1)求的方程； (2)记的左顶点为，过点的直线与交于两点（异于点）． （i）求的面积的取值范围； （ii）直线分别与直线交于两点，证明：以为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标． 【答案】(1) (2)（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析，和． 【详解】（1）设的焦距为， 由题意可知，所以， 所以椭圆的方程为； （2）（i）由（1）得，设， 由题得直线的斜率不为零，设，由，得， 所以，, 则, 令，则， 因为在上单调递增，所以， 所以的面积的取值范围为； （ii）由题意可得直线的斜率均存在且均不为0， 由直线和，得，即，同理， 易得以为直径的圆的方程为， 即， 而 ， ，    故以为直径的圆的方程为， 令，得， 故以为直径的圆恒过定点和． 变式3．（2026·安徽淮北·一模）已知椭圆的短轴长为2，焦距为2，过的左焦点作斜率之和为1的两条直线和，与交于两点，与交于两点，线段的中点分别为． (1)求椭圆的标准方程； (2)求点的轨迹方程； (3)直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请给出理由． 【答案】(1)； (2)； (3)直线恒过定点． 【详解】（1）依题意，设的焦距长为，则，又短轴长， 则， 因此，椭圆的标准方程为：． （2）（方法一）设，显然直线的斜率存在， 设，和椭圆方程联立， 消去得：， 则进而得， 当时，，代入上式，化简得：， 当时，也满足上式； 又， 故点的轨迹方程为：． （方法二）设，则的斜率为， 由（1）知椭圆标准方程为：， 则①  ② ②①得：， 若，进一步得：，即：， 于是． 若，即，此时也满足上式， 故点轨迹方程为：． （3）由（2）知点也满足方程， 设直线方程为，联立， 消去得：， 设，则， 由得： ， 即，故直线恒过定点．    变式4．（25-26高二上·江西吉安·期末）已知点为椭圆上的两点，点为椭圆外一点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作椭圆的两条切线，切点分别为，其中点在轴下方，连接. （i）求两点的坐标； （ii）过点作椭圆的一条割线，交椭圆于两点（是四个不同的点），再过点作一条与直线平行的直线，该直线交直线于点，点满足，求证：直线DG恒过定点. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）由题意得解得     所以椭圆的标准方程为. （2）（i）显然直线BT的斜率为0，点为，        直线AT的斜率存在且不为0，设直线AT的方程为， 联立得（＊）     则， 解得或0（舍去）.     将代入（*）得，将代入，得， 又点在轴下方，. 两点的坐标分别为.     （ii）由（i）可知直线AB的方程为， ，则. 当直线CD经过原点时，直线CD的方程为， 联立解得或 不妨设点在轴上方，则. 直线CE的方程为：，即. 联立解得点. 为CG的中点，点为. 又， ∴直线DG为：，经过点. 猜想直线DG恒过定点，     下证一般情况仍然成立： 要证直线DG过定点， 即证， 设点，则直线CE的方程为， 联立得，     则点为. . 即证， 即证， 即证（＃）     显然，直线DT的斜率存在，设直线DT的方程为， 联立得，      显然成立， 所以，即直线DG恒过定点. 考点二 定值问题 【例题分析】 例1．（25-26高三上·上海·月考）已知椭圆的长轴长为，离心率为，直线与轴交于点，与相交于、两点． (1)求的标准方程； (2)若的斜率为1，且，求的值； (3)是否存在，使恒为定值？若存在，求出与的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，． 【详解】（1）由题意知，，解得，， 所以的标准方程为． （2）由的斜率为1，则直线的方程为． 设，， 联立，消去得，， 其中，解得， 所以，， 所以， 因为，所以，解得． （3）①当直线的斜率不为0时，设其方程为， 联立，消去得，， 其中， 所以，， 所以 ． 当，即时，，即； ②当直线的斜率为0时，不妨取，， 若，则， 此时 ，即． 综上，存在，使得恒为定值，即，． 例2．（25-26高二上·重庆·月考）已知动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数. (1)求点的轨迹的方程； (2)已知定点，直线的方程为，直线上有一动点，轨迹上有一动点，求的最小值； (3)若，为轨迹上不同的两点，线段的中点为，当面积取最大值时，是否存在两定点S，T，使为定值？若存在，求出这个定值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)存在两定点S，T，使为定值. 【详解】（1）由题意得， 两边平方得， 整理得，点的轨迹的方程为； （2）中，，则， 为的右焦点，设为的左焦点， 连接，则，， 则， 其中当三点共线时，取得最小值， 问题转化为在直线上找到一点，使得最小， 设点关于直线的对称点为， 则，解得， 故，连接，与直线的交点即为所求点， 使得最小，最小值为， 故的最小值为. （3）存在两定点S，T，使为定值,理由如下： 当直线的斜率存在时，设直线方程为，， 联立直线与椭圆方程得， ，即， 设，则， 故 ， 故当时，取得最大值，最大值为， 此时，满足， 因为，所以， 故， 故， 令，两式相除得，故， 将其代入得，结合得， 化简得， 因为，所以，故，即， 当直线的斜率不存在时，设，则， 则， 不妨设点在第一象限，则当时，取得最大值， 此时的中点坐标为，满足， 故当取得最大值时，点的轨迹方程为椭圆， 两焦点坐标为， 由椭圆定义可知，存在两定点S，T，分别为或， 使为定值. 变式3．（25-26高二上·安徽蚌埠·月考）已知O为坐标原点，双曲线过点，离心率为． (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)直线l过点，与双曲线C交于A、B两点． ①若直线，求的面积； ②在x轴上是否存在定点N，使得为定值？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在， 【详解】（1）设双曲线的半焦距为． 因为点在双曲线上，得． 因为离心率为，所以， 又，解得， 所以双曲线的渐近线方程为． （2）由（1）知双曲线． ①直线斜率为，，故直线的方程为， 代入双曲线得， ，， 所以． 又点到的距离为， 故的面积为． ②设， 当直线斜率存在且不为0时，设， 代入双曲线得， ，，， 所以 ， 若为常数，则为常数， 设，为常数，则对任意的实数恒成立，， 所以，所以，此时． 当直线斜率为0时，，，对于， 则， 直线斜率不存在时，， 则，对于， 则， 所以在轴上存在定点，使得为定值． 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·江苏南通·月考）已知椭圆的离心率为，短轴长为2，椭圆上有两点关于原点对称，动点与两点的连线分别交椭圆于点，满足，. (1)求椭圆的方程； (2)求动点的轨迹方程； (3)过点作椭圆的两条切线（与坐标轴不垂直），试探究两切线斜率乘积是否为定值？ 【答案】(1) (2) (3)为定值，证明见解析 【详解】（1）因为椭圆的短轴长为2，离心率为，所以，， 由椭圆的性质得，且，解得，， 则椭圆的方程为. （2）设， 而关于原点对称，则，可得，， 因为，所以，解得， 可得，因为在椭圆上，所以其坐标满足， 则，化简得， 而，， 因为，所以， 解得，则， 因为在椭圆上，所以其坐标满足， 则，化简得， 两式相加可得，即. （3）如图，作出符合题意的图形， 由题设，切线的斜率必定存在，设斜率为，得到切线方程为， 联立方程组， 得到， 因为直线与椭圆相切，所以， 可得， 化简得， 设过的两条切线的斜率分别为， 因为的轨迹方程为，所以解得， 由韦达定理得. 变式2．（25-26高二上·上海浦东新·期中）已知椭圆.定义第次操作为：经过上的点作斜率为的直线与交于另一点，记关于轴的对称点为，若与重合，则操作停止；否则一直继续下去. (1)若，求； (2)若，点是椭圆上一点，且位于轴的上方，是椭圆的两个焦点，是等腰三角形，求点的坐标； (3)若是在第一象限与不重合的一点，求证：的面积为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2)，， (3)证明见解析；定值为 【详解】（1）当时，椭圆， 因为，所以直线为，即， 代入椭圆方程，得，即， 当时，所以, 因为与关于轴对称，所以，所以. （2）若，则椭圆，焦点为,则， 因为是等腰三角形. 当时，点在椭圆的短轴上顶点，故； 当时，设，则 ① 因为在椭圆上，所以  ② 由①、②得到，解得，（舍去） ，所以. 所以； 当时，根据椭圆的对称性得到； 综上得，点的坐标为，， （3）证明：设斜率，过点的直线的方程为 ， 即； 联立方程 得到 设由韦达定理 ，所以，代入，得到，所以 所以， 根据与的坐标关系，由坐标得到， 所以； 由两点间的距离公式得到 所以由点斜式得到直线的方程为： ，即 点到直线的距离为 ， 所以的面积为 因为点在椭圆上，所以 ，所以，将其代入三角形面积公式得到. 所以的面积为定值. 变式3．（25-26高二上·山西·期中）已知椭圆的焦距为. (1)求的方程； (2)过上一动点作椭圆的两条斜率存在的切线，证明：两条切线的斜率乘积为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设的半焦距为. 由题可知，则.             又，所以.             所以的方程为. （2）设，切线的斜率为，则切线方程为. 联立方程可得 消去得，             由，可得， 化简得.             因为，所以. 设过的两条切线的斜率分别为，，易知 由根与系数的关系可得， 所以两条切线的斜率乘积为定值. 考点三 定直线问题 【例题分析】 例1．（25-26高三上·安徽宣城·期末）已知定点，过点作直线轴于点是直线（为坐标原点）上任意一点，过作轴于点，作于点，直线与相交于点，设点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点的直线交曲线于两点，过点且与直线垂直的直线交曲线于两点，证明：直线与直线的交点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为轴且过，所以的方程为，又， 轴，故轴，设直线的方程为，则的坐标为. 因为点在直线:上，且点的纵坐标为，故点的坐标为,则直线的方程为， 所以直线的方程为， 直线的方程为，与联立，可得交点的坐标为， 令，则，故曲线的方程为. （2） 设直线的斜率为，则直线的方程为 将代入曲线的方程，得，设， 可得： 同理，直线的方程为，设， 与曲线的方程联立，得， 则. 则直线的方程为，化简为①， 同理可得直线的方程为② 设直线与直线的交点为，联立①式和②式 化简得， 又由，两式相乘化简得， 将代入①式得. 即直线与直线的交点在定直线上. 例2．（24-25高三上·江苏扬州·期末）对于椭圆：，我们称双曲线：为其伴随双曲线．已知椭圆，它的离心率是其伴随双曲线的离心率的倍． (1)求双曲线的方程； (2)过和的右焦点分别作两条平行直线，直线与交于两点，直线与的右支交于两点，且在轴上方． （ⅰ）若的面积为，求直线的方程； （ⅱ）试探究直线与直线的交点是否落在某条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）：或．（ⅱ）T在定直线上． 【详解】（1）因为椭圆的离心率是双曲线离心率的倍， 所以，解之得． 所以椭圆伴随双曲线的方程为． （2）（ⅰ）由题可知，， 因为直线，所以设直线：，：． 设，，，． 由得（*）， 则 因为，所以P到直线的距离等于到直线的距离， 所以， 又，所以，即， 即，则， 所以或（舍），所以， 经检验此时直线与的右支有两个交点， 故：或． （ⅱ）方法一：设线法 由（ⅰ）中的方程（*），可得， 因为，所以． 由得（**）， 因为与右支交于P、Q两点，所以 由方程（**），可得， 因为，所以． 思路1：由图形的对称性可知直线FP与直线的交点T在垂直于x轴的直线上，当MN、PQ均垂直于x轴时，，此时T在直线上，故猜测T所在的直线方程即为． 又，，若T在直线上，则，也即． 下面，证明． 路径①：因为， 又，所以， 又，所以， 所以， 则，所以，所以T在线段的中垂线上， 故T在定直线上． 路径②：因为， 而 ， 则，所以，所以T在线段的中垂线上，故T在定直线上． 思路2：因为： ， 由得， 所以，解之得．故T在定直线上． 方法二：设点法 思路1：由图形的对称性可知直线FP与直线的交点T在垂直于x轴的直线上，当MN、PQ均垂直于x轴时，，此时T在直线上，故猜测T所在的直线方程即为． 当时，此时轴，轴，，矩形对角线的交点T在线段的中垂线上． 当时，只要证明，即只要证明． 由直线可得，即， 所以只要证，即只要证， 又点在椭圆上，点在双曲线上，所以则， 所以，即， 关于整理得， 即， 则，所以或． 下面证明不符合要求． 因为，所以，所以或 而当时，；当时，． 所以不符合要求，故． 综上所述，T在定直线上． 思路2：由（ⅰ）知，，， 由直线可得，设， 则，即则 因为点M在椭圆上，点P在双曲线上， 所以 两式相加得， 则， 又，所以，即， 令，则， 故T在定直线上． 例3．（2026·黑龙江大庆·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且轴.过点作椭圆的切线，交轴于点，过点的直线交椭圆于两点. (1)求椭圆的方程； (2)若为椭圆的中心，求面积的最大值； (3)过点作轴的垂线与直线交于点，求证：线段的中点在定直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由题意可知，解得，所以椭圆的方程为. （2）易知过点且与椭圆相切的直线斜率存在，因此可设该直线方程为.    联立直线与椭圆， 整理得， 令，整理得，解得. 所以过点的切线方程为：， 再令，得.所以点的坐标为. 由题知，经过点的直线的斜率不为0，设直线方程为 联立直线与椭圆，整理得 令解得 因为 点到直线的距离， 所以 令，则， 当且仅当时取到最大值为； （3）设线段的中点为， 由（2）可知所以， 直线的方程为，则. 于是， . 所以 因为，所以，即 因此点在直线上，即线段中点在定直线上. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·陕西商洛·月考）已知椭圆的离心率为，短轴长为． (1)求椭圆的方程； (2)记椭圆左、右顶点分别为，为坐标原点．过点的直线与交于两点． （i）若的面积为，求； （ii）设直线与交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析. 【详解】（1）由可得，所以椭圆方程为. （2）    （i）设直线的方程为，， 联立直线与椭圆方程可得，消去可得， 由韦达定理可得， 且，即， 即， 即， 化简可得，即， 化简可得，所以， 所以； （ii）椭圆左顶点，右顶点， 直线的方程为，直线的方程为， 设， 则，即， 由，代入可得， 又， 则，， 代入可得， 化简可得，解得， 所以点在定直线上. 变式2．（24-25高二上·山西阳泉·期末）已知椭圆的两个焦点为，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆交于两点，求证：的内心在一条定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为椭圆两个焦点为，所以，则， 又点在椭圆上，所以，即， 两式联立，解得，所以椭圆的标准方程为. （2）由题意可知直线的斜率存在，且不为0，设直线的方程为， 联立，得， 则，得， 设，则， 设直线的斜率分别为. 所以， 因为， 所以恒成立，则直线的倾斜角互补，即的平分线总垂直于轴， 所以的内心在定直线上. 变式3．（25-26高二上·河北保定·期中）已知是双曲线上两个不同的点，为坐标原点，点． (1)若点在上，求的渐近线方程． (2)当四点共线时，，点． （i）求的方程； （ii）若三点共线，两点均不在轴上，分别为的左、右顶点，直线与交于点，证明：动点在一条定直线上． 【答案】(1) (2)（i）;（ii）动点在定直线上. 【详解】（1）因为点在上，所以． 又 ,所以, 故的渐近线方程为. （2）（i）直线的方程为． 由,得． 因为,所以, 所以, 解得, 故的方程为. （ii）证明：因为两点均不在轴上，所以直线的斜率不为0，则可设直线的方程为. 由得, 则. 设,则. 直线,直线, 由,得 , 解得, 故动点在定直线上． 2 学科网（北京）股份有限公司 $