立体几何：线面平行的判定与性质、面面平行的判断与性质讲义-2026届高三数学二轮复习讲义

立体几何：线面平行的判定与性质、面面平行的判断与性质讲义 立体几何：线面平行的判定与性质、面面平行的判断与性质讲义 考点目录 线面平行的判定 线面平行的性质 面面平行的判断 面面平行的性质 知识点解析 1.证明线线平行的方法 (1)平行四边形的对边 (2)三角形的中位线或等高线 (3)三线八角（同位角、内错角、同旁内角） (4)线面平行的性质 (5)面面平行的性质 (6)向量法 2.线面平行的判定 图示 文字表示 数学语言表示 如果平面外一条直线与 1‖m lta→lo 线面平行的判定 此平面内的一条直线平行，那 mca 么该直线与此平面平行. 3.线面平行的性质 图示 文字表示 数学语言表示 条直线与一个平面 lcβ →llm 线面平行的性质 平行，如果过该直线的平 a∩B=m 面与此平面相交，那么该 直线与交线平行. 立体几何：线面平行的判定与性质、面面平行的判断与性质讲义 4.面面平行的判定 图示 文字表示 数学语言表示 如果一个平面内的两 ml‖o na 面面平行的判定 条相交直线与另一个平面 →alB m∩n=O mncβ 平行，那么这两个平面平 行 5.面面平行的性质 图示 文字表示 数学语言表示 (1)两个平面平行，一个 aβ →mlla p m mCB 面面平行的性质 平面内的任意一条直线与 另外一个平面平行. alB (2)两个平面平行，如果 a∩y=m→mn B∩y=n 另一个平面与这两个平面 相交，那么两条交线平行. 真题速递 1.(2025·北京·高考真题节选)如图，在四棱锥P-ABCD中，△4DC与△BAC均为等腰直角三角形， ∠ADC=90°，∠BAC=90°，E为BC的中点. (I)若F,G分别为PD,PE的中点，求证：FGII平面PAB; 立体几何：线面平行的判定与性质、面面平行的判断与性质讲义 2.(2025·上海·高考真题)如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且AB=2. P ①若直线PA与圆锥底面的所成角为于求圆锥的侧面积： ②已知Q是母线PA的巾点，点C、D在底面圆周上，且弧4C的长为分CD∥4B,设点M在线段oC上，证明： 直线OM∥平面PBD. 3.(2025·全国二卷·高考真题节选)如图，在四边形ABCD中，AB/1CD,∠DAB=90°，F为CD的中点，点E在 AB上，EF//AD,AB=3AD,CD=2AD.将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD'A',使得面EFD'A'与面EFCB 所成的二面角为60°. D D (1)证明：A'B/平面CD'F; 4.(2024北京·高考真题节选)如图，在四棱锥P-ABCD中，BCI/AD,AB=BC=1,AD=3,点E在AD上， 且PE⊥AD,PE=DE=2. D (I)若F为线段PE中点，求证：BF∥平面PCD. 立体几何：线面平行的判定与性质、面面平行的判断与性质讲义 考点一 线面平行的判定 【例题分析】 例1.(25-26高二上·贵州铜仁期末.节选)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA=AB=BC=2,AD=4,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,BCIIAD,E是PD的中点. (1)证明：CE11平面PAB; 例2.(25-26高三上·湖北期末.节选)如图，在长方体ABCD-A,B,CD,中，底面ABCD是边长为2的正方形，高为 4,M,N分别为AB,DD,的中点 A D B (I)求证：MN∥平面ABCD; 立体几何：线面平行的判定与性质、面面平行的判断与性质讲义 例3.(2026浙江温州·模拟预测节选)如图，在三棱锥S-ABC中，底面ABC是正三角形，中心为O, SC=AB=6,CD=2DS D 01 (1)证明：OD∥平面ABS; 【变式训练】 变式1.(25-26高三上·山西晋中期末节选)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,△ACD为正三角形， AB⊥AD,BC⊥CD,E为棱PD的中点 B D (I)求证：AE1/平面PBC; 5 立体几何：线面平行的判定与性质、面面平行的判断与性质讲义 变式2.(25-26高二上·上海徐汇·期末.节选)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面 ABCD,PD=2DC=4,E是棱PA的中点 E D (1)求证：PC/平面BDE; 6 立体几何：线面平行的判定与性质、面面平行的判断与性质讲义 考点二 线面平行的性质 【例题分析】 例1.(25-26高二上·北京期末·节选)如图，在正四棱锥P-ABCD中，PA=AB=2√2，E,F分别为PB,PD的 中点.设平面AEFO平面ABCD=m. D D B (I)求证：BD∥m; 例2.(25-26高三上·吉林四平·期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为等腰梯形，PA⊥平面ABCD, AD∥BC且PA=BA=AD=DC=CB=2.E,F分别是棱PA,PD的中点，平面EFMN与PB,PC分别交于N, 2 M两点 -M D B (1)证明：MN∥AD; 立体几何：线面平行的判定与性质、面面平行的判断与性质讲义 【变式训练】 变式1.(25-26高三上·重庆月考节选)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=2,BC=4,侧面 PBC为正三角形，且平面PBC⊥平面ABCD,E为棱PA上一点，PE=2PA(O<人<1)，平面BCE交棱PD于点F ☑D B (1)求证：BC1IEF; 变式2.(2026·重庆.一模.节选)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD1/BC, ∠BAD-号，PA=AD=3,4B=2,BC=4,E为线段PA上一点，且满足PE=EA,记平面8CEn 2 平面PAD=1· p E A D (1)求证：BC111; 8 立体几何：线面平行的判定与性质、面面平行的判断与性质讲义 考点三 面面平行的判断 【例题分析】 例1.(25-26高三上河北月考)如图，正方体ABCD-A,B,CD,的棱长为6，且E,F,P分别为BB1,B,C1,CC的中点 D (1)证明：平面AEF/平面AD,P: ②平面10P将正方体A8CD-4B,CD,载成两部分，若这两部分的体积分别为r,P"V≤y门，求二的值 例2.(25-26高二上四川达州期中)如图，ABCD,ABEF是两个全等的矩形，它们不在同一个平面内，G,H分别 是BC,BE的中点. D C G A B H (I)证明：D,G,H,F四点共面 (2)证明：直线DG,AB,FH经过同一点， (3)证明：平面GBHI1平面DAF. 9 立体几何：线面平行的判定与性质、面面平行的判断与性质讲义 例3.(25-26高三上·上海嘉定·期中)如图，一个圆锥的顶点是P,O是底面的圆心，AB是底面的一条直径， AB=2. D ()考PA和圆锥底面所成角大小是子求该概维的表面积： (②若0是PA巾点，C、D是底面圆上两点，劣弧4C的长为骨CDAB,M是线段OC上一点，求证：平面 QCO∥平面PBD 【变式训练】 变式1.(25-26高二上重庆期中)如图，长方体ABCD-AB,CD,中，AB=3,AD=4,AA,=5. D C B D B (1)求证：平面A,BD/I平面B,CD. (2)求三棱锥C-BAD的体积. 9立体几何：线面平行的判定与性质、面面平行的判断与性质讲义 立体几何：线面平行的判定与性质、面面平行的判断与性质讲义 考点目录 线面平行的判定 线面平行的性质 面面平行的判断 面面平行的性质 知识点解析 1.证明线线平行的方法 (1)平行四边形的对边 (2)三角形的中位线或等高线 (3)三线八角（同位角、内错角、同旁内角） (4)线面平行的性质 (5)面面平行的性质 (6)向量法 2.线面平行的判定 图示 文字表示 数学语言表示 线面平行的判定 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. 3.线面平行的性质 图示 文字表示 数学语言表示 线面平行的性质 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行． 4.面面平行的判定 图示 文字表示 数学语言表示 面面平行的判定 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行． 5.面面平行的性质 图示 文字表示 数学语言表示 面面平行的性质 （1）两个平面平行，一个平面内的任意一条直线与另外一个平面平行. （2）两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行． 真题速递 1．（2025·北京·高考真题·节选）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． (1)若分别为的中点，求证：平面PAB； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN， 与为等腰直角三角形且， 不妨设，.. E、F分别为BC、PD的中点， ，且. ，， ，∴四边形FGMN为平行四边形， ， 平面PAB，平面PAB，平面PAB； 2．（2025·上海·高考真题）如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且．    (1)若直线PA与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积； (2)已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为，．设点M在线段OC上，证明：直线平面PBD． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题知，，即轴截面是等边三角形，故， 底面周长为，则侧面积为：; （2）由题知，则根据中位线性质，， 又平面，平面，则平面 由于，底面圆半径是，则，又，则， 又，则为等边三角形，则， 于是且，则四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，故平面. 又平面， 根据面面平行的判定，于是平面平面， 又，则平面，则平面    3．（2025·全国二卷·高考真题·节选）如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为． (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）设，所以，因为为中点，所以，因为，，所以是平行四边形， 所以，所以， 因为平面平面，所以平面， 因为平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面． 4．（2024·北京·高考真题·节选）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）取的中点为，接， 则， 而，故， 故四边形为平行四边形， 故， 而平面，平面， 所以平面. 考点一 线面平行的判定 【例题分析】 例1．（25-26高二上·贵州铜仁·期末·节选）如图，在四棱锥中，，，底面，，，是的中点． (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析； 【详解】（1）取的中点，连接，， 为的中点，且， 又，，，，且， 四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面. 例2．（25-26高三上·湖北·期末·节选）如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，高为分别为，的中点. (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）取的中点，连接，因为为的中点， 所以且. 又为的中点，所以且. 所以且. 所以四边形为平行四边形，则. 又因为平面，且平面，所以平面； 例3．（2026·浙江温州·模拟预测·节选）如图，在三棱锥中，底面是正三角形，中心为，，. (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）延长交于点，则为的中点，连接，如下图所示： 因为为正的中心，所以， 又因为，即，所以，故， 因为平面，平面，故平面. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·山西晋中·期末·节选）如图，在四棱锥中，平面，为正三角形，，，为棱的中点. (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）设为的中点，连接，. 因为为棱的中点，所以， 又平面，故平面. 因为为正三角形，所以， 又，平面，所以， 又平面，故平面. 因为，所以平面平面. 又平面，所以平面. 变式2．（25-26高二上·上海徐汇·期末·节选）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，是棱的中点. (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为四边形为正方形，所以为的中点， 又因为E是棱PA的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面； 考点二 线面平行的性质 【例题分析】 例1．（25-26高二上·北京·期末·节选）如图，在正四棱锥中，，，分别为，的中点.设平面平面. (1)求证：； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）在中，因为，分别为，的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面，所以. 例2．（25-26高三上·吉林四平·期末）如图，在四棱锥中，四边形为等腰梯形，平面，且.，分别是棱，的中点，平面与，分别交于，两点. (1)证明：； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）由，分别是，的中点，得， 在梯形中，，则， 而平面，平面， 于是平面， 又平面， 平面平面， 平面， 因此，所以. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·重庆·月考·节选）如图， 四棱锥中，底面为矩形，，侧面为正三角形，且平面平面，E为棱PA上一点，，平面BCE交棱PD于点F.    (1)求证：； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）在矩形中，， 因为平面，平面， 所以平面， 又平面平面，平面， 所以. 变式2．（2026·重庆·一模·节选）如图，四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ， ， 为线段 上一点，且满足 ，记平面 平面 ．    (1)求证： ； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）因为， 且平面， 平面， 所以平面， 又因为平面， 平面 平面 ， 所以. 考点三 面面平行的判断 【例题分析】 例1．（25-26高三上·河北·月考）如图，正方体的棱长为6，且分别为，的中点. (1)证明：平面平面； (2)平面将正方体截成两部分，若这两部分的体积分别为，求的值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）连接，则因为分别为的中点，所以， 由且，则四边形为平行四边形，则， 所以且，四边形是平行四边形，所以， 由，又平面，而不在平面内， 所以平面，平面， 又平面，所以平面平面. （2）取的中点，连接，又是的中点，则， 由且，则四边形为平行四边形，则， 所以，故平面即为平面在正方体中的截面， 因为正方体的棱长为6，所以正方体的体积为， 由图易知为棱台，其体积， 所以，则. 例2．（25-26高二上·四川达州·期中）如图，是两个全等的矩形，它们不在同一个平面内，G，H分别是BC，BE的中点. (1)证明：D，G，H，F四点共面. (2)证明：直线DG，AB，FH经过同一点. (3)证明：平面平面DAF. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）连接CE，因为GH是的中位线，所以. 因为ABCD，ABEF是两个全等的矩形， 所以， 所以，则四边形CDEF为平行四边形，从而. 又因为，所以，故D，G，H，F四点共面. （2）由（1）的证明过程知DGHF为梯形，设， 因为平面平面ABEF，所以平面平面ABEF. 又因为，所以，即直线DG，AB，FH经过同一点. （3）因为ABCD是矩形，所以. 又不在平面DAF内，所以平面DAF. 同理可证平面DAF. 因为平面GBH， 所以平面平面DAF. 例3．（25-26高三上·上海嘉定·期中）如图，一个圆锥的顶点是，是底面的圆心，是底面的一条直径，. (1)若和圆锥底面所成角大小是，求该圆锥的表面积； (2)若是中点，､是底面圆上两点，劣弧的长为，，是线段上一点，求证：平面平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）连接，由题可得，因为， 所以， 所以圆锥的表面积为. （2） 因为分别为的中点， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 劣弧的长为，则，则， 因为，所以为等边三角形， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为，平面， 所以平面平面. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·重庆·期中）如图，长方体中，，，． (1)求证：平面平面． (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)答案见解析； (2)10 【详解】（1）是长方体，，，， ，，为平行四边形，， 又平面，平面，平面； ，，，， ，，为平行四边形，， 平面，平面，平面； ，平面，平面，平面平面. （2），， . 变式2．（25-26高二上·广东东莞·月考·节选）如图，在平行六面体中，底面为正方形，，．    (1)求证：平面∥平面； 【答案】(1)证明见解析； 【详解】（1）由于，所以四边形为平行四边形， 则，且平面，平面， 则平面； 同理平面，又，平面，平面， 则平面平面； 考点四 面面平行的性质 【例题分析】 例1．（2026·河南开封·一模·节选）如图，是圆锥的顶点，是底面圆心，是底面直径，是母线的中点，点，在底面圆周上，且，点在线段上，且直线平面．    (1)证明：； 【答案】(1)证明见解析. 【详解】（1）连接，，，如图：    因为是中点，是中点，则，而平面， 所以平面，又因为平面，， 所以平面平面，即平面平面. 又平面平面，平面平面，所以， 所以，而，所以是等边三角形， 所以，又，所以四边形是平行四边形， 所以． 例2．（25-26高二上·北京·期中·节选）如图，且且且平面，点为的中点，点在线段上且满足. (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）取中点，连接. 因为且且， 所以且. 因为为的中点，点在线段上且满足， 可得且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面平面，所以平面. 在中，为的中点､为的中点，所以， 因为平面平面，所以平面. 又因为平面， 所以平面平面. 因为平面， 所以平面. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·广东佛山·月考·节选）如图，在正四棱柱中，，是线段上靠近点的三等分点，平面交于点，交的延长线于点．    (1)证明：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 【详解】（1）因为平面平面， 且平面平面，平面平面， 所以， 因为平面平面， 且平面平面，平面平面， 所以， 所以四边形是平行四边形； 变式2．（24-25高一下·黑龙江大庆·期末·节选）如图，在四棱锥中，底面是梯形，．平面，、分别为棱的中点， (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析； 【详解】（1）若是的中点，连接，又、分别为棱的中点， 根据中位线的性质知，， 由平面，平面，则平面， 同理平面， 由都在平面内，故平面平面， 又平面，所以平面； 2 学科网（北京）股份有限公司 $