立体几何：线面垂直的判定与性质、面面垂直的判断与性质讲义-2026届高三数学二轮复习讲义

立体几何：线面垂直的判定与性质、面面垂直的判断与性质讲义 立体几何：线面垂直的判定与性质、面面垂直的判断与性质讲义 考点目录 线面垂直的判定 线面垂直的性质 面面垂直的判定 面面垂直的性质 知识点解析 1.线线垂直的常见证明方法 (1)勾股逆定理 (2)等腰三角形三线合一 (3)菱形的对角线 (4)矩形的邻边 (5)正方形对角线与邻边 (6)圆直径所对圆周角 (7)线面垂直的性质 (8)向量数量积 ※若提及空间中两个角相等，应证明全等，进而得到边相等，利用等腰三角形的性质 ※若菱形有一内角为60°，则120°角顶点与对边中点的连线与对边垂直 2.线面垂直的判定 图示 文字表示 数学语言表示 如果一条直线与一个 1⊥m l⊥n 线面垂直的判定 平面内的两条相交直线垂 mnn=0→11a m、nc0 直，那么该直线与此平面 垂直. 3.线面垂直的性质 图示 文字表示 数学语言表示 ·条直线与一个平面 l⊥o mca 线面垂直的性质 垂直，该直线与该平面内 任意一条直线垂直. 立体几何：线面垂直的判定与性质、面面垂直的判断与性质讲义 4.面面垂直的判定 图示 文字表示 数学语言表示 如果一个平面过另一 →a⊥B 面面垂直的判定 个平面的垂线，那么这两 个平面垂直. 5.面面垂直的性质 图示 文字表示 数学语言表示 两个平面垂直，如果 a⊥B 一个平面内有一直线垂直 anB=m1La 面面垂直的性质 l⊥m lcβ 于这两个平面的交线，那 么这条直线与另一个平面 垂直. 真题速递 1.(2025·全国一卷·高考真题·节选)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,BC∥AD A (I)证明：平面PAB⊥平面PAD; 立体几何：线面垂直的判定与性质、面面垂直的判断与性质讲义 2.(2025·天津高考真题节选)正方体ABCD-A,B,CD的棱长为4，E、F分别为AD,CB,中点，CG=3GC1· D G A D B (I)求证：GF⊥平面FBE; 3.(2024新课标Ⅱ卷高考真题节选)如图，平面四边形ABCD中，AB=8,CD=3,AD=5√3，∠ADC=90°， ∠BMD=30°，点E,F满足A花=2AD,AF=】AB,将△AEF沿EF翻折至PEF,使得PC=45, B (I)证明：EF⊥PD; 立体几何：线面垂直的判定与性质、面面垂直的判断与性质讲义 考点一 线面垂直的判定 【例题分析】 例1.(25-26高三上·安徽期末.节选)如图，在直三棱柱ABC-A,B,C中，AB=3,BC=4,CC,=3V3,AC=5, AC与AC相交于点E,点D在棱BB,上且3BD=BB. B D B (1)求证：AD⊥平面ABC; 例2.(25-26高二上江苏无锡·期末.节选)在四棱锥P-ABCD中，EB=ED,BD与AC交于点M,M,E分别 为BD,PB中点，PB=√2PD=2√2，过点M向平面PAB作垂线，垂足为H,EH⊥AB E B∈--- D (I)证明：PD⊥平面ABCD; 立体几何：线面垂直的判定与性质、面面垂直的判断与性质讲义 例3.(25-26高三上·安徽宣城期末.节选)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,AB⊥BC,D为PB的中点， E为AD上靠近D点的三等分点，PA=AB=3,BC=2 D B (1)求证：AD⊥平面PBC; 【变式训练】 变式1.(25-26高三上贵州安顺期末·节选)在图(1)的直角梯形BCDP中，BC/PD,BC=CD=2,PD=4,点A 是PD的中点，∠CDP=90°，现将图(1)中的△PAB沿着AB翻折至如图(2)所示的位置，连接PC,PD,使得 PC=2√5，得到四棱锥P-ABCD,己知E,F分别为PB,PD的中点，平面AEF与棱PC交于点G. G B 图(1) 图(2) (I)求证：AF⊥平面PCD. 5 立体几何：线面垂直的判定与性质、面面垂直的判断与性质讲义 变式2.(25-26高二上·湖北十堰·期末.节选)如图，四边形CDEF为矩形，·平面ABCD⊥平面CDEF,ABIICD ,AD⊥DC,AB=AD=DE=二DC=I 2 D片 A B (I)求证：BC⊥平面BDE; 变式3.(2526高二上吉林长春·期末·节选)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,△PAD是斜 边为AD的等腰直角三角形，AB⊥AD,AB=1,AD=4,AC=CD=2V2 (I)求证：PD⊥平面PAB: 6 立体几何：线面垂直的判定与性质、面面垂直的判断与性质讲义 考点二 线面垂直的性质 【例题分析】 例1.(25-26高二上·浙江衢州期末·节选)如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2√2，AB=BC=2, ∠ABC=T y B (I)证明：AC⊥BP; 例2.(25-26高三上河南漯河·期末·节选)如图，在四面体ABCD中，AC=AD=3,BC=BD=32 (I)求证：AB⊥CD; > 立体几何：线面垂直的判定与性质、面面垂直的判断与性质讲义 例3.(25-26高二上山东德州期末)如图，在ABC中，∠CAB=30,AB⊥BC,AB=5V5,AF=4,点E满足 AE=2AB,将△AEF沿EF翻折至PEF,使得PC=8. 5 D E」 -----------B (I)证明：PE⊥EB; 【变式训练】 变式1.(24-25高二下·贵州遵义·月考，节选)如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O 为BD的中点. D (1)求证：OA⊥CD; P 立体几何：线面垂直的判定与性质、面面垂直的判断与性质讲义 变式2.(25-26高三上·广东深圳期末.节选)如图，在三棱锥A-BCD中，侧面ABC是正三角形，且 BD=CD=6BD1CD,点F满是F=号4C B 2☑D (I)求证：BC⊥AD; 变式3.(25-26高二上河南驻马店期末.节选)已知：如图，AB⊥AC,AE=2AB=2AC=2CD=4,AE和CD都 垂直于平面ABC,F是AB的中点，点G满足CG=3GB (1)证明：FG⊥BD; 9 立体几何：线面垂直的判定与性质、面面垂直的判断与性质讲义 考点三 面面垂直的判定 【例题分析】 例1.(25-26高二上山东临沂·期末·节选)如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD满足AD⊥AB,AD⊥CD, SA⊥底面ABCD,且SA=AD=CD=2,AB=1,M,N分别为SD,SC上的点，且MN∥CD S M B (I)若M,N分别为SD,SC的中点，证明：平面ABNM⊥平面SCD; 例2.(25-26高二上上海·期末.节选)在正四棱台ABCD-A,B,C,D,中，底面四边形A,B,C,D,边长为2，底面四边形 ABCD边长为4，棱台高为√2 D B B (1)证明：平面A,ACC,⊥平面ABCD; 9立体几何：线面垂直的判定与性质、面面垂直的判断与性质讲义 立体几何：线面垂直的判定与性质、面面垂直的判断与性质讲义 考点目录 线面垂直的判定 线面垂直的性质 面面垂直的判定 面面垂直的性质 知识点解析 1.线线垂直的常见证明方法 (1)勾股逆定理 (2)等腰三角形三线合一 (3)菱形的对角线 (4)矩形的邻边 (5)正方形对角线与邻边 (6)圆直径所对圆周角 (7)线面垂直的性质 (8)向量数量积 ※若提及空间中两个角相等，应证明全等，进而得到边相等，利用等腰三角形的性质 ※若菱形有一内角为，则角顶点与对边中点的连线与对边垂直 2.线面垂直的判定 图示 文字表示 数学语言表示 线面垂直的判定 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 3.线面垂直的性质 图示 文字表示 数学语言表示 线面垂直的性质 一条直线与一个平面垂直，该直线与该平面内任意一条直线垂直. 4.面面垂直的判定 图示 文字表示 数学语言表示 面面垂直的判定 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直． 5.面面垂直的性质 图示 文字表示 数学语言表示 面面垂直的性质 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直． 真题速递 1．（2025·全国一卷·高考真题·节选）如图,在四棱锥中，底面，． (1)证明：平面平面； 【答案】(1)证明见解析； 【详解】（1）由题意证明如下， 在四棱锥中，⊥平面，， 平面，平面， ∴，， ∵平面，平面，， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面. 2．（2025·天津·高考真题·节选）正方体的棱长为4，分别为中点，． (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）法一、在正方形中， 由条件易知，所以， 则， 故，即， 在正方体中，易知平面，且， 所以平面， 又平面，∴， ∵平面，∴平面； 法二、如图以D为中心建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设是平面的一个法向量， 则，令，则，所以， 易知，则也是平面的一个法向量，∴平面； 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题·节选）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）由， 得，又，在中， 由余弦定理得, 所以，则，即， 所以，又平面， 所以平面，又平面， 故； 考点一 线面垂直的判定 【例题分析】 例1．（25-26高三上·安徽·期末·节选）如图，在直三棱柱中，，，，，与相交于点，点在棱上且． (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见详解 【详解】（1）证明：在直三棱柱中， 因为，且点在棱上且， 在直角中，可得，所以， 在直角中，可得，所以，所以. 又因为，，，可得 ，所以， 因为，，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，且平面， 所以平面． 例2．（25-26高二上·江苏无锡·期末·节选）在四棱锥中，，与交于点，，分别为，中点，，过点向平面作垂线，垂足为，. (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）由、为的中点，故， 由平面，平面，故， 又，、平面，， 故平面，又平面，故， 又、平面，，故平面， 又为中点，故为中位线，故，故平面； 例3．（25-26高三上·安徽宣城·期末·节选）如图，在三棱锥中，平面为的中点，为上靠近点的三等分点，. (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）证明：因为平面平面，所以， 又，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 因为为的中点，， 所以. 又因为，平面， 所以平面. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·贵州安顺·期末·节选）在图（1）的直角梯形中，，点是的中点，，现将图（1）中的沿着翻折至如图（2）所示的位置，连接，使得，得到四棱锥，已知分别为的中点，平面与棱交于点．    (1)求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）由题可知，在图（2）中，， 所以平面． 又，所以平面． 又平面，所以． 又，为的中点，所以． 因为，所以平面． 变式2．（25-26高二上·湖北十堰·期末·节选）如图， 四边形为矩形， 平面平面， ，， (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）因为四边形为矩形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 在平面中，因为，，所以， 又因为，故为等腰直角三角形，则， 所以，且， 由余弦定理可得， 所以，则， 因为，、平面，所以平面. 变式3．（25-26高二上·吉林长春·期末·节选）如图，在四棱锥中，平面平面，是斜边为的等腰直角三角形，，，，. (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）平面平面，平面平面， 平面，， 平面， 平面， ， 又且，、平面PAB， 平面； 考点二 线面垂直的性质 【例题分析】 例1．（25-26高二上·浙江衢州·期末·节选）如图，在三棱锥中，，，.    (1)证明：； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）取中点，连接，，   ，，，. 又，，平面 直线平面，平面，. 例2．（25-26高三上·河南漯河·期末·节选）如图，在四面体中，. (1)求证：； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）取中点，连接，如图 因为，所以， 平面平面， . 例3．（25-26高二上·山东德州·期末）如图，在中，，点满足，将沿翻折至，使得. (1)证明：； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）由，得， 又，在中， 由余弦定理得， 所以，则，即， 连接，由，所以，则 在中，，得， 所以，又平面， 所以平面，又平面， 所以 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·贵州遵义·月考·节选）如图，在三棱锥中，平面平面，，O为的中点．    (1)求证：； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）因为，为中点， 所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面， 所以. 变式2．（25-26高三上·广东深圳·期末·节选）如图，在三棱锥中，侧面ABC是正三角形，且，点满足. (1)求证：； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）证明：是正三角形，为BC中点，， 为BC中点， 平面平面， 平面， 平面 变式3．（25-26高二上·河南驻马店·期末·节选）已知：如图，，，和都垂直于平面，是的中点，点满足. (1)证明：； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）由已知面，面，从而， 又因为，，， 则是以为斜边的等腰直角三角形，取中点为，如图， 则，由是的中点，点满足， 则为的中位线，可得，则， 又且，则平面， 又平面，所以. 考点三 面面垂直的判定 【例题分析】 例1．（25-26高二上·山东临沂·期末·节选）如图，在四棱锥中，底面满足，，底面，且，，，分别为，上的点，且. (1)若，分别为，的中点，证明：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）平面，平面，， ，，平面， 平面， 平面， ， ，为的中点， ， 平面， 平面， 平面， 平面平面. 例2．（25-26高二上·上海·期末·节选）在正四棱台中，底面四边形边长为2，底面四边形边长为4，棱台高为. (1)证明：平面平面； 【答案】(1)证明见解析； 【详解】（1）如图连接，取中点为，连接， 由正棱台的结构特征，得平面，又平面， 则平面平面； （2）由（1）过作直线平行于交于，因平面， 则平面，从而为与平面的夹角. 由题可得，又由题可得，则. 则，又，则； （3）如图作， 由题可得为棱台侧面梯形的高，棱台侧面为全等的等腰梯形. 由（2）分析可得，则. 又，则. 则棱台侧面积为： 例3．（25-26高二上·安徽宣城·期末·节选）如图，点C在以为直径的半圆的圆周上，，且，，（）． (1)求证：平面平面； (2)当直线与平面夹角的正弦值为时，求的值． 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）平面，平面． . 又为直径，点C在圆上， ， 又，平面，， 平面， 又平面，平面平面. 【变式训练】 变式1．（2026·河北秦皇岛·模拟预测·节选）如图，在三棱柱中，平面，，，为棱的中点，是与的交点. (1)求证：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）由题意得平面，， 设，， ，解得， 所以， ， ，面， 面，平面平面. 变式2．（25-26高三上·湖南湘西·期末·节选）如图，为圆柱的母线，分别为圆柱上、下底面的直径，点在下底面圆周上（不与重合），为的中点.    (1)证明:平面平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）因为是下底面圆的直径，点在下底面圆周上，所以. 由是母线，可知平面，所以. 又平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 变式3．（2026·湖南湘潭·模拟预测·节选）如图，在四棱锥中，平面，，是以为斜边的等腰直角三角形． (1)证明：平面平面． (2)若，，且直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； 【详解】（1）由是以为斜边的等腰直角三角形，得， 由平面，平面， 得， 而平面， 则平面， 又平面， 所以平面平面. 考点四 面面垂直的性质 【例题分析】 例1．（25-26高三上·江西南昌·期末·节选）如图，在五面体中，是等边三角形，，，平面平面，，是棱的中点． (1)证明：平面． (2)证明：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：取棱的中点O，连接． 因为O，P分别是棱AC，DF的中点，所以， 且．因为，， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以．因为平面，平面，所以平面． （2）证明：因为是等边三角形，且O是棱AC的中点， 所以OB⊥AC．因为平面平面， 且平面平面＝AC，平面， 所以平面． 因为AF平面，所以． 因为，AB平面，OB平面，且，平面， 所以AF⊥平面． 例2．（25-26高二上·河南南阳·期末·节选）如图，在四棱锥中，平面平面是等边三角形，四边形ABCD是直角梯形，分别是棱PD，AB的中点．    (1)证明：． 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）证明：因为是等边三角形，所以． 因为F是棱AB的中点，所以. 因为平面平面，平面平面ABCD，平面， 所以平面 因为平面ABCD，所以. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·河南·期末·节选）如图，在四棱柱中，四边形为平行四边形，平面，平面平面．    (1)证明：； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）过点作交于，因为平面平面， 平面平面，所以平面， 因为平面，所以. 因为平面，平面，所以. 又平面，所以平面. 又平面，所以. 变式2．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测·节选）如图，在以为顶点的多面体中，四边形为菱形，平面平面，点在边上，． (1)求证：； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1），点在边上，， ， ， 即． 又平面平面，平面平面平面， 平面． 平面，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $