专题05：解三角形中的取值范围问题【寒假预习讲义】-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

2026年寒假高一数学下学期常考题型归纳 【专题05：解三角形中的取值范围问题】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：对边对角求周长最值问题】 【练方法】 解题方法： 1.已知对边和对角，用正弦定理求出外接圆半径 2.用正弦定理将表示为角的函数：， 3.周长，利用化简 4.用和差化积或辅助角公式化为单一三角函数，结合求值域，得到周长最值 （25-26高一上·浙江金华·期末）在中，内角的对边分别是.经典例题1例题 (1)求的值； (2)若，求周长的最大值； (3)若，求证：. （25-26高二上·湖南·期末）在中，内角的对边分别为，且满足．小试牛刀1 (1)求角的大小； (2)若，求周长的最大值． （25-26高三上·甘肃兰州·期末）在中，角所对的边分别为，且满足．小试牛刀2 (1)求角的大小； (2)若，求的周长的最大值． 【题型2：对边对角模型求面积最值问题】 【练方法】 解题方法： 1.已知对边和对角，用余弦定理 2.结合基本不等式，得到，解出 3.面积，代入的上界，得到面积最大值（当且仅当时取等号） （25-26高三上·全国·月考）记的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，已知，B为锐角．经典例题1例题 (1)求角B的大小； (2)若，求面积的最大值． （25-26高三上·安徽·期末）在中，内角所对的边长分别是，且．小试牛刀1 (1)求角； (2)若，求的面积的最大值． （24-25高一下·重庆·月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.小试牛刀2 (1)求角B的大小； (2)若，，求a； (3)若，求△ABC面积的最大值. 【题型3：求角的余弦值范围】 【练方法】 解题方法： 1.用余弦定理将表示为边的函数： 2.结合已知条件（如对边对角、邻边邻角），用正弦定理或基本不等式化简 3.或用正弦定理将边化为角，得到关于另一角的三角函数式，结合角的范围求值域 （2026·安徽合肥·一模）记的内角的对边分别为，已知．经典例题1例题 (1)证明：； (2)求内角的最大值． （25-26高一·全国·假期作业）设锐角的内角所对边分别为，且小试牛刀1 (1)若的面积为，求的周长； (2)求的取值范围. （25-26高三上·山西·月考）在中，内角的对边分别是，已知.小试牛刀2 (1)求； (2)求的取值范围. 【题型4：对边对角求周长的取值范围】 【练方法】 解题方法： 1.已知对边和对角，用正弦定理， 2.周长，利用化简为 3.化为单一三角函数，由求的值域，得到周长范围 （2023·陕西西安·一模）在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足，若，则周长的取值范围为 ．经典例题1例题 （25-26高三上·黑龙江佳木斯·月考）已知向量，函数.小试牛刀1 (1)求函数的最小正周期及对称中心； (2)在锐角中，若且，求周长的取值范围 （25-26高二上·广东·期中）已知中，内角，，所对的边分别为，，，且，.小试牛刀2 (1)求. (2)若内心为，求的周长的取值范围. 【题型5：对边对角模型求面积的取值范围】 【练方法】 解题方法： 1.已知对边和对角，面积 2.用正弦定理，，代入得 3.利用化简，得到关于的三角函数，由求值域 （25-26高三上·河北衡水·月考）记锐角三角形的内角，，所对的边分别为，，经典例题1例题 (1)若，，求的取值范围 (2)若，，求面积的取值范围 （25-26高三上·天津静海·月考）已知函数 ，函数的最小正周期为小试牛刀1 (1)求的值及此时的对称中心. (2)将向左平移个单位后得到一个偶函数，求的最小值. (3)若为锐角的内角，且，，求面积的取值范围. （2025·河北邯郸·一模）在锐角中，内角满足.小试牛刀2 (1)求角； (2)若，求面积的取值范围； (3)证明：. 【B·能力提升题型】 【题型1：邻边邻角求周长的取值范围】 【练方法】 解题方法： 1.已知邻边和邻角，用余弦定理求 2.周长，若为变量，用正弦定理将化为角的函数 3.或用基本不等式，结合的表达式求范围 （24-25高一下·河南焦作·月考）在锐角三角形中，，，分别为内角，，所对的边，且．经典例题1例题 (1)求角； (2)若，求周长的取值范围． （24-25高二下·江苏连云港·月考）函数小试牛刀1 (1)已知，，求的值． (2)锐角三角形中，若，求三角形周长的取值范围． （2025·福建厦门·三模）锐角中，角所对应的边分别为，满足，，则的周长的取值范围为 .小试牛刀2 【题型2：邻边邻角求面积的取值范围】 【练方法】 解题方法： 1.已知邻边和邻角，面积 2.若为变量，用正弦定理或余弦定理将表示为角的函数 3.化为单一三角函数，结合角的范围求的值域 （24-25高一下·河南信阳·月考）的内角的对边分别为，设.经典例题1例题 (1)求； (2)若，求锐角的面积的取值范围. （24-25高二下·广西南宁·月考）在中，设所对的边分别为，已知.小试牛刀1 (1)求角的值； (2)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围. （24-25高二下·浙江金华·期末）已知为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，小试牛刀2 (1)求； (2)若，求面积的取值范围. 【题型3：求边长的取值范围】 【练方法】 解题方法： 1.用正弦定理将边长表示为角的函数： 2.或用余弦定理，结合的范围（如、三角形不等式） 3.利用基本不等式或三角函数值域，得到边长范围 （2026高三·全国·专题练习）在锐角中，，，点是的中点，求的取值范围经典例题1例题 （25-26高三上·河南三门峡·期末）已知的内角的对边分别为，且，小试牛刀1 (1)求的大小； (2)已知，为边上的高，求的取值范围． （2025高三上·四川眉山·专题练习）已知的面积记为.内角，，的对边分别为，，，.小试牛刀2 (1)若，，求； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围. 【题型4：求面积之和/比的取值范围】 【练方法】 解题方法： 1.若有两个三角形，分别写出面积的表达式 2.用正弦定理或余弦定理将化为单一三角函数（或边的函数） 3.结合角或边的范围，求的值域 （25-26高二上·四川内江·开学考试）如图，在中，斜边，，在以为直径的半圆上有一点（不含端点），，设的面积，的面积.经典例题1例题    （1）若，求 ；（2）令则的最大值为 . （24-25高一下·四川绵阳·月考）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，满足．小试牛刀1 (1)求角A和边b； (2)若为锐角三角形，且外接圆圆心为O． （i）求的取值范围； （ii）求和面积之差的最大值． （25-26高三上·山东青岛·期末）在平面四边形中，，，，，和的面积分别为，，则的最小值为 .小试牛刀2 【题型5：求边长的比值的取值范围】 【练方法】 1.用正弦定理将边长比化为角的正弦比： 2.利用化简，得到关于某角的三角函数 3.由角的范围求三角函数的值域，即边长比的范围 （25-26高三上·山东东营·期末）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，为边上一点，，的面积为.经典例题1例题 (1)求； (2)若，，求的最小值. （2026高三上·安徽合肥·专题练习）已知，，分别为锐角三个内角，，的对边，且．小试牛刀1 (1)求角的大小 (2)求的取值范围． （25-26高三上·广东东莞·期末）已知是锐角三角形，内角、、所对应的边分别为、、.若，则的最小值是 ．小试牛刀2 【C·拓展培优题型】 【题型1：内心外心/内接圆外接圆有关的取值范围问题】 【练方法】 解题方法： 1.外接圆半径，内切圆半径（为半周长） 2.用正弦定理将表示为角的函数，或用面积公式关联 3.结合角的范围，求的最值或范围 （25-26高三上·河南南阳·期中）已知的外接圆半径为，内切圆半径为，角的对边分别为，且，，经典例题1例题 (1)求的值； (2)求的取值范围. （25-26高三上·湖北·期中）如图，中，，点在线段上，点与点位于直线的异侧且为等边三角形.小试牛刀1 (1)若，，求线段的长度； (2)若，求线段的最大值； (3)若为的平分线，求与内切圆半径之比的取值范围. （24-25高三下·福建龙岩·月考）已知为锐角三角形，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，．小试牛刀2 (1)求角B； (2)求的内切圆半径r的最大值． 【题型2：不良结构的取值范围问题】 【练方法】 解题方法： 1.先补充条件（如“锐角三角形”“等腰三角形”），明确三角形的约束 2.用正弦定理或余弦定理将未知量转化为角或边的函数 3.结合补充条件，确定角或边的范围，再求目标量的范围 （24-25高一下·山西太原·月考）已知为锐角三角形，内角所对的边分别为，若，，则的取值范围为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （24-25高二下·安徽阜阳·月考）在锐角中，内角所对的边分别为，且.小试牛刀1 (1)求角的值； (2)求的取值范围. （2025高三·全国·专题练习）已知锐角中，角的对边分别为，满足条件，则的取值范围为 ．小试牛刀2 【题型3：解三角形中的取值范围问题的综合题型】 【练方法】 解题方法： 1.先利用正余弦定理、射影定理等，将目标式（周长、面积、边长比）转化为单一变量的函数 2.利用三角函数值域、基本不等式或导数求函数的最值或范围 3.注意三角形的约束条件（内角和、边长为正、锐角/钝角等） 【多选题】（2025·全国·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（    ）经典例题1例题 A．的面积为 B．BC边上的高为 C．的最小值为 D．最大值为 【多选题】（24-25高一下·安徽·月考）在锐角三角形中，内角，，的对边分别为，，.已知，则（    ）小试牛刀1 A． B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．周长的取值范围是 【多选题】（2025·安徽·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，，的平分线交于，，则下列说法正确的是（   ）小试牛刀2 A．的最小值为 B． C．的最大值是 D．的周长的取值范围是 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高三上·广东惠州·期末）在中，记内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为2，，，且，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、多选题 2．（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）在锐角 中，角 的对边分别为 ，若 则下列说法正确的是（　） A． B．设 边上的高为 ，则 C． 的最大值为 D． 的最小值为 三、填空题 3．（25-26高三上·湖南长沙·期末）已知的面积为分别是的中点，若，则BC长度的最小值为 . 4．（25-26高二上·云南曲靖·期末）在中，内角的对边分别是，且，则的最大值是 ． 5．（25-26高三上·贵州安顺·期末）的内角所对的边分别为，且，边上的中线长为，则的最大值为 ；实数的取值范围是 ． 6．（25-26高三上·河南驻马店·期末）锐角的内角所对的边分别为，的面积为，若，则的取值范围为 ． 7．（25-26高三上·安徽滁州·期末）在中，角，，的对边分别为，，.若，，则的面积的最大值为 . 8．（25-26高三上·河南周口·期末）在中，是边上一点，且，，，则的最小值为 四、解答题 9．（25-26高三上·江西抚州·期末）在锐角中，角的对边分别为的面积为，满足， (1)求的值； (2)求的取值范围. 10．（25-26高三上·湖北武汉·期末）记的内角所对的边分别为，． (1)若，求； (2)若为边上的点，且，求的最小值． 11．（25-26高一上·广东深圳·期末）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围. 12．（25-26高三上·福建福州·期末）记的内角所对的边分别为，. (1)求； (2)若，求外接圆面积的最小值. 13．（25-26高三上·辽宁·期末）在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知. (1)证明：； (2)求的取值范围. 14．（25-26高三上·浙江湖州·期末）在中，是线段上一点，且，，设． (1)求线段的长度（用表示）； (2)若，求的值； (3)求的最大值． 15．（25-26高三上·江西抚州·期末）在中，内角所对的边分别为.现有如下两个条件：条件①；条件②.请从上述两个条件中选择一个作为已知，完成本题解答. 你选择的条件是__________. (1)求角； (2)若为的中点，且，求的面积的最大值. 注：若多选条件，则按选择第一个条件解答计分. 16．（25-26高三上·湖北黄石·期末）锐角中，满足分别是的对边. (1)若，求边c的长； (2)求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年寒假高一数学下学期常考题型归纳 【专题05：解三角形中的取值范围问题】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：对边对角求周长最值问题】 【练方法】 解题方法： 1.已知对边和对角，用正弦定理求出外接圆半径 2.用正弦定理将表示为角的函数：， 3.周长，利用化简 4.用和差化积或辅助角公式化为单一三角函数，结合求值域，得到周长最值 （25-26高一上·浙江金华·期末）在中，内角的对边分别是.经典例题1例题 (1)求的值； (2)若，求周长的最大值； (3)若，求证：. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析 【分析】（1）由正弦定理可得； （2）由正弦定理和三角恒等变换得到，所以，由余弦定理和基本不等式得到，得到周长最大值； （3）由余弦定理得，因为，所以，所以，故. 【详解】（1）因为，由正弦定理得，所以，所以； （2）因为，所以， ，展开化简得：， 因为，所以， 所以， 因为，所以，所以， 所以，当且仅当时，取等号， 所以周长的最大值为； （3）因为，所以，又因为， 所以所以， 所以， 因为， 所以， 化简得， 因为，所以， 所以或， 所以或（舍去）， 故. （25-26高二上·湖南·期末）在中，内角的对边分别为，且满足．小试牛刀1 (1)求角的大小； (2)若，求周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形内角和定理和诱导公式，结合两角和的正弦公式、特殊角的三角函数值进行求解即可； （2）利用余弦定理，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）在中，，故， 将其代入等式得，即， 整理得， 由，得，解得， 又，故． （2）由余弦定理代入可得，则， 由基本不等式，可得， 则，由可得，当且仅当时等号成立， 所以， 则周长的最大值为. （25-26高三上·甘肃兰州·期末）在中，角所对的边分别为，且满足．小试牛刀2 (1)求角的大小； (2)若，求的周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，利用正弦定理得到，再利用辅助角法求解； （2）由，结合余弦定理得到，再利用基本不等式得到求解. 【详解】（1）因为， 所以， 因为，所以， 即，即， 所以， 因为，所以，； （2）由余弦定理及， 得，即， 即，又，即， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 所以周长， 所以周长最大值为． 【题型2：对边对角模型求面积最值问题】 【练方法】 解题方法： 1.已知对边和对角，用余弦定理 2.结合基本不等式，得到，解出 3.面积，代入的上界，得到面积最大值（当且仅当时取等号） （25-26高三上·全国·月考）记的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，已知，B为锐角．经典例题1例题 (1)求角B的大小； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角恒等变换可求得，可求角B的大小； （2）方法一：利用余弦定理结合基本不等式可求得，进而可求得面积的最大值．方法二：利用正弦定理可得，，从而可得，利用三角恒等变换及辅助角公式可求得面积的最大值． 【详解】（1）因为， 所以， 即． 因为，所以，，又已知，所以． （2）方法一：在中，由余弦定理得， 又因为，，所以， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 所以的面积，即的面积的最大值为． 方法二：由，及正弦定理，得， 所以，， 所以的面积 ， 因为，所以， 当，即时，取得最大值1， 取得最大值， 即面积的最大值为． （25-26高三上·安徽·期末）在中，内角所对的边长分别是，且．小试牛刀1 (1)求角； (2)若，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，利用正弦两角和公式化简，即可求出角； （2）利用余弦定理，结合基本不等式求最大值，即可求解. 【详解】（1）由 ， 由于，所以， 又因为，所以，即， 因为，所以，即, 故； （2）因为，，所以由余弦定理可得： ， 由基本不等式可得：，所以， 当且仅当取等号， 则的面积， 故的面积的最大值为. （24-25高一下·重庆·月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.小试牛刀2 (1)求角B的大小； (2)若，，求a； (3)若，求△ABC面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理化简，再由求解即可. （2）由余弦定理求解即可. （3）由余弦定理以及基本不等式求解即可. 【详解】（1）由及正弦定理得，． 因为，所以，则，即． 因为，所以． （2）根据余弦定理得，即， 解得或（舍去），故． （3）由余弦定理得， ∴， 解得，当且仅当时取等号， 的面积， 所以面积最大值为. 【题型3：求角的余弦值范围】 【练方法】 解题方法： 1.用余弦定理将表示为边的函数： 2.结合已知条件（如对边对角、邻边邻角），用正弦定理或基本不等式化简 3.或用正弦定理将边化为角，得到关于另一角的三角函数式，结合角的范围求值域 （2026·安徽合肥·一模）记的内角的对边分别为，已知．经典例题1例题 (1)证明：； (2)求内角的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）先由题意结合诱导公式得到，再由余弦定理角化边即可求证； （2）由（1）结合余弦定理和基本不等式求出的最小值即可由余弦函数性质得解. 【详解】（1）证明：因为， 所以由题得，即， 由余弦定理可得，所以． （2）由（1）知，所以， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为，， 所以内角的最大值为． （25-26高一·全国·假期作业）设锐角的内角所对边分别为，且小试牛刀1 (1)若的面积为，求的周长； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由结合两角和差正弦化简可得，再根据余弦定理及三角形面积公式计算即可求解； （2）利用辅助角公式结合正弦型函数性质计算即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 则， 即， 因为为锐角三角形，所以，得，所以， 因为，所以， 由余弦定理可得，即， 所以， 所以，即的周长为； （2）由（1）知，， 因为是锐角三角形，所以，，得， 此时 ， 因为，所以， 综上，的取值范围是. （25-26高三上·山西·月考）在中，内角的对边分别是，已知.小试牛刀2 (1)求； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边化角，并结合正弦差角公式得，进而得； （2）根据，结合正弦差角公式化简得，再根据三角函数求范围即可. 【详解】（1）解：因为， 所以，由正弦定理得， 因为， 所以，即， 因为，所以， 因为，所以. （2）解：因为，所以，所以 所以 ， 因为，， 所以. 所以，的取值范围为 【题型4：对边对角求周长的取值范围】 【练方法】 解题方法： 1.已知对边和对角，用正弦定理， 2.周长，利用化简为 3.化为单一三角函数，由求的值域，得到周长范围 （2023·陕西西安·一模）在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足，若，则周长的取值范围为 ．经典例题1例题 【答案】 【分析】根据已知等式结合余弦定理从而得角的大小，再根据正弦定理边化角，将三角形周长转换为正弦型函数，根据三角函数的性质求解取值范围即可. 【详解】因为，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，整理可得， 所以，因为，所以． 由正弦定理得，所以，， 所以的周长为 ， 因为，则，所以， 所以，即周长的取值范围为． 故答案为：． （25-26高三上·黑龙江佳木斯·月考）已知向量，函数.小试牛刀1 (1)求函数的最小正周期及对称中心； (2)在锐角中，若且，求周长的取值范围 【答案】(1)最小正周期为，对称中心为 (2) 【分析】（1）根据向量数量积运算以及三角恒等变换化简得的表达式，再利用三角函数的对称性可求得结果； （2）由结合（1）可求得，又为锐角三角形，可得，由此利用正弦定理，三角恒等变换可求得的范围，从而得解. 【详解】（1）因为， 则 ， 所以最小正周期为， 由，解得， 所以的对称中心为. （2）由（1）及，即， 又，所以，解得， 又为锐角三角形，即，即，解， ， 又，， ， 所以周长的取值范围为. （25-26高二上·广东·期中）已知中，内角，，所对的边分别为，，，且，.小试牛刀2 (1)求. (2)若内心为，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角公式和正、余弦定理化简已知式，结合三角形内角范围即可求得； （2）由内心和求得，设，可得，在中，利用正弦定理求出和,表示出，利用三角恒等变换将其化成正弦型函数，利用正弦函数的性质即可求得周长范围. 【详解】（1）由可得， 化简得， 则由正弦定理得 ， 又由余弦定理， 因，所以； （2）如图， 因内心为，则和分别平分和， 则，则， 设，则有，，， 由，可得， 在中，，由正弦定理， 则，，则 ， 又，，则 则的周长范围为. 【题型5：对边对角模型求面积的取值范围】 【练方法】 解题方法： 1.已知对边和对角，面积 2.用正弦定理，，代入得 3.利用化简，得到关于的三角函数，由求值域 （25-26高三上·河北衡水·月考）记锐角三角形的内角，，所对的边分别为，，经典例题1例题 (1)若，，求的取值范围 (2)若，，求面积的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形内角和得，结合正弦定理计算，利用两角和的正弦公式和二倍角公式化简式子，结合锐角三角形角的范围解得的取值范围； （2）根据二倍角公式和辅助角公式先得，由正弦定理表示，再由三角形面积公式列式，根据三角函数恒等变换即可得到面积的范围. 【详解】（1）因为，所以． 由正弦定理，有所以． 因为． 又， 所以． 因为是锐角三角形，所以 所以，所以． 所以，即的取值范围是； （2）因为， 根据二倍角公式得， 也就是， 所以，则， 由于锐角三角形，所以，则， 则，得， 由正弦定理， 得， ， 因为为锐角三角形，所以， 解得，所以， 则，所以. （25-26高三上·天津静海·月考）已知函数 ，函数的最小正周期为小试牛刀1 (1)求的值及此时的对称中心. (2)将向左平移个单位后得到一个偶函数，求的最小值. (3)若为锐角的内角，且，，求面积的取值范围. 【答案】(1)，对称中心为； (2) (3) 【分析】（1）首先利用三角恒等变换公式将函数化简，结合函数的周期求出，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）首先求出平移后的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得； （3）首项求出，再求出的范围，利用正弦定理表示出，根据三角形面积公式将三角形面积表示为关于的三角函数并利用三角恒等变换公式化简，根据三角函数值域即可求三角形面积． 【详解】（1）因为 ， 由的最小正周期为且，所以，解得， 所以， 令，解得， 所以函数的对称中心为； （2）将向左平移个单位得到， 又为偶函数，所以， 解得， 所以的最小值为； （3）因为，即， 又，所以，所以，则， ∵，，∴，， ∵， 由正弦定理，所以， ∴ ， ∵，∴，∴， ∴，即面积的取值范围为． （2025·河北邯郸·一模）在锐角中，内角满足.小试牛刀2 (1)求角； (2)若，求面积的取值范围； (3)证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）结合三角恒等变换公式化简求解即可； （2）由正弦定理可得，由锐角可得，再表示出，进而求解即可； （3）结合分析法利用三角恒等变换公式求证即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 即，所以， 因为，所以，即. （2）由正弦定理， 所以， 因为，则， 又为锐角三角形，则，即， 所以 ， 因为，所以，则， 所以面积的取值范围是. （3）证明：由（1）可知，， 要证， 即证， 而 ， 即证， 即证， 即证， 而，显然满足上式，原式得证. 【B·能力提升题型】 【题型1：邻边邻角求周长的取值范围】 【练方法】 解题方法： 1.已知邻边和邻角，用余弦定理求 2.周长，若为变量，用正弦定理将化为角的函数 3.或用基本不等式，结合的表达式求范围 （24-25高一下·河南焦作·月考）在锐角三角形中，，，分别为内角，，所对的边，且．经典例题1例题 (1)求角； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据诱导公式和正弦定义边角互化，求出三角形三边之间的关系，再根据余弦定理解三角形即可. （2）由三角形形状和角的大小，求出另外两个角的范围，根据正弦定理，用正弦值表示三角形各边长，再根据角的范围，求出三角函数值的范围，根据函数性质判断三角形周长的范围. 【详解】（1）在中，， 所以， 即． 由正弦定理可得，即． 由余弦定理，得， 因为为锐角三角形的内角，所以． （2）由（1）知，．因为是锐角三角形， 所以，，解得． 由正弦定理，得， 所以，， 所以的周长． 因为，且， 所以． 因为，，所以， 所以， 即的周长的取值范围是. （24-25高二下·江苏连云港·月考）函数小试牛刀1 (1)已知，，求的值． (2)锐角三角形中，若，求三角形周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可求出，结合角的范围可求出，再利用二倍角公式求解即可； （2）根据题意求出角，再利用正弦定理将边用角表示出来，结合三角函数的单调性即可求解范围. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 因为，所以 所以 ， （2）由得， 因为锐角三角形中，，所以， 所以，解得， 由正弦定理得，即， ， 三角形的周长 因为，锐角三角形为锐角三角形，所以，即 解得，因为都在上递增， 故在单调递减， 所以的取值范围为 （2025·福建厦门·三模）锐角中，角所对应的边分别为，满足，，则的周长的取值范围为 .小试牛刀2 【答案】 【分析】由题意得，结合正弦定理得，根据是锐角三角形求出的取值范围，通过换元法即可求解. 【详解】因为，，所以，故， 所以， 即， 因为，所以，， 所以，故或（舍），即， 由正弦定理可得， 所以 ， 因为是锐角三角形，所以，解得， 令，     则， 所以的周长的取值范围为. 故答案为：. 【题型2：邻边邻角求面积的取值范围】 【练方法】 解题方法： 1.已知邻边和邻角，面积 2.若为变量，用正弦定理或余弦定理将表示为角的函数 3.化为单一三角函数，结合角的范围求的值域 （24-25高一下·河南信阳·月考）的内角的对边分别为，设.经典例题1例题 (1)求； (2)若，求锐角的面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理和，可求解，求出； （2）是锐角三角形和（1）得到，再由三角形的面积和正弦定理求出，求出面积范围. 【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得， 因为，则，可得， 即，所以. （2）因为是锐角三角形，由（1）知且，可得， 因为，所以， 由三角形面积公式得， 又由正弦定理且， 所以， 因为，所以， 故，则， 所以， 即面积的取值范围为. （24-25高二下·广西南宁·月考）在中，设所对的边分别为，已知.小试牛刀1 (1)求角的值； (2)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理结合两角和正弦公式计算结合角的范围求解； （2）先根据锐角三角形得出，由正弦定理结合面积公式及正切值域计算求解. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 整理得， 因，则，则得，而，所以. （2）由（1）知，，因为锐角三角形，则，可得， 则，由正弦定理，得， 所以， 即的面积的取值范围为. （24-25高二下·浙江金华·期末）已知为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，小试牛刀2 (1)求； (2)若，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理，结合题意可得答案； （2）由正弦定理，可得，则，然后由可得答案. 【详解】（1）由余弦定理，， 结合题意得，即. （2）由题意，为锐角三角形，,则，. 由正弦定理得，即 ， .. 【题型3：求边长的取值范围】 【练方法】 解题方法： 1.用正弦定理将边长表示为角的函数： 2.或用余弦定理，结合的范围（如、三角形不等式） 3.利用基本不等式或三角函数值域，得到边长范围 （2026高三·全国·专题练习）在锐角中，，，点是的中点，求的取值范围经典例题1例题 【答案】 【分析】求的取值范围化为求，用向量表示出向量，两边同时平方，再利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换及三角函数的性质即可求解. 【详解】在锐角中，，，点是的中点， 则， 由余弦定理可得， 设的外接圆半径为，由正弦定理， 则， 因为， 所以 ， 在锐角中，， 所以， 所以，所以， 所以. （25-26高三上·河南三门峡·期末）已知的内角的对边分别为，且，小试牛刀1 (1)求的大小； (2)已知，为边上的高，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式转化为关于角的三角函数关系，进而求解. （2）利用正弦定理和三角形内角和定理，将高表示为角的函数，再利用三角函数性质求其范围． 【详解】（1）由， 用正弦定理得， 化简得：， 又, 从而，， 得又. （2）由正弦定理得: , 所以 , 在 中， 因为 ，所以 ， 所以 ，即 ． （2025高三上·四川眉山·专题练习）已知的面积记为.内角，，的对边分别为，，，.小试牛刀2 (1)若，，求； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据条件得出角，结合余弦定理计算得到边长； （2）由正弦定理结合角得到，由边角关系计算得到答案. 【详解】（1）由，得， 因为为三角形边长，所以，所以， 若，则，代入得，矛盾， 所以，方程两边同除以得，又，所以. 根据余弦定理， 得.即，整理得. 解得或（舍去）.所以. （2）由，得，， 因为，则，， 所以， ， 因为为锐角三角形，所以则， 所以，即取值范围为. 【题型4：求面积之和/比的取值范围】 【练方法】 解题方法： 1.若有两个三角形，分别写出面积的表达式 2.用正弦定理或余弦定理将化为单一三角函数（或边的函数） 3.结合角或边的范围，求的值域 （25-26高二上·四川内江·开学考试）如图，在中，斜边，，在以为直径的半圆上有一点（不含端点），，设的面积，的面积.经典例题1例题    （1）若，求 ；（2）令则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据已知用表示出、，分别由、并结合三角恒等变换及正弦型函数的性质，求或面积的最大值. 【详解】因为中，，， 所以，，， 又因为为以为直径的半圆上一点， 所以，      在中，，，， 作于点，则， ， ， 若，则，因为， 所以，即，整理得， 所以，； 由，则 ， 因为，所以， 当时，即，有最大值． 故答案为：， （24-25高一下·四川绵阳·月考）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，满足．小试牛刀1 (1)求角A和边b； (2)若为锐角三角形，且外接圆圆心为O． （i）求的取值范围； （ii）求和面积之差的最大值． 【答案】(1)， (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边角互化及余弦定理求解. （2）（ⅰ）根据平面向量的运算、数量积的性质及余弦定理可得，再利用正弦定理及两角和的正弦公式、正切函数的性质求解即；（ⅱ）设外接圆半径为，由正弦定理可得，结合三角形的面积公式及二倍角公式可得，进而根据二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）在中，及正弦定理，得， 整理得，由余弦定理得，而， 所以；由及正弦定理得，而，所以. （2）（ⅰ）依题意，， 由为外接圆圆心，得，， 由余弦定理得，， 因此， 由正弦定理得，则， 由，得，，则， 所以. （ⅱ）设外接圆半径为，则，且，即， 而，，， ， 因此， 由（ⅰ）知，，，则当时，， 所以当时，取得最大值. （25-26高三上·山东青岛·期末）在平面四边形中，，，，，和的面积分别为，，则的最小值为 .小试牛刀2 【答案】 【分析】设，，则，，即可表示出，，在中利用正弦定理表示出，由面积公式表示出，，将转化为关于的三角函数，即可求出的最小值. 【详解】设，，则，， 因为，所以，， 在中，即，所以， 所以， ， 所以 ， 因为，所以，所以， 则， 所以当，即，时取得最小值. 故答案为： 【题型5：求边长的比值的取值范围】 【练方法】 1.用正弦定理将边长比化为角的正弦比： 2.利用化简，得到关于某角的三角函数 3.由角的范围求三角函数的值域，即边长比的范围 （25-26高三上·山东东营·期末）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，为边上一点，，的面积为.经典例题1例题 (1)求； (2)若，，求的最小值. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）两边平方，结合题目条件，余弦定理和面积公式得到，因为为锐角，所以. （2）设，，则，在中和在中，由正弦定理联立得，因为，所以，求出的最小值. 【详解】（1）由，两边平方得，故， 所以的面积， 由余弦定理及， 得， 因为，所以，因为为锐角，所以. （2）设，，则， 在中，由正弦定理得， 因为， 所以， 则①， 在中，由正弦定理得， 则②， 由①②得，， 因为，所以，所以 所以，故的最小值为1. （2026高三上·安徽合肥·专题练习）已知，，分别为锐角三个内角，，的对边，且．小试牛刀1 (1)求角的大小 (2)求的取值范围． 【答案】(1); (2) 【分析】（1）由正弦定理及两角和差的余弦公式结合诱导公式得，再求即可； （2）在中，由正弦定理及两角和差的正弦公式可得，然后结合三角函数的值域的求法求解即可. 【详解】（1）由正弦定理得， 因为，所以， 所以， 所以， 所以，即，所以； （2）根据正弦定理得， 由（1）得，， ，为锐角，所以，， 其中，，即， 综上可知，的取值范围是． （25-26高三上·广东东莞·期末）已知是锐角三角形，内角、、所对应的边分别为、、.若，则的最小值是 ．小试牛刀2 【答案】 【分析】根据题意，化简得到，求得，且，根据为锐角三角形求出角的取值范围，利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理可得， 所以， 可得， 因为为锐角三角形，即、，故， 因为正弦函数在上单调递增，所以，即， 则， 由可得，所以， 所以 ， 故当时，取最小值. 故答案为：. 【C·拓展培优题型】 【题型1：内心外心/内接圆外接圆有关的取值范围问题】 【练方法】 解题方法： 1.外接圆半径，内切圆半径（为半周长） 2.用正弦定理将表示为角的函数，或用面积公式关联 3.结合角的范围，求的最值或范围 （25-26高三上·河南南阳·期中）已知的外接圆半径为，内切圆半径为，角的对边分别为，且，，经典例题1例题 (1)求的值； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理求出，再利用正弦定理求出； （2）根据等面积法求出，方法一：利用均值不等式求出，进而得到的取值范围； 方法二：利用正弦定理转化为函数，再由三角函数求值域即可得出范围. 【详解】（1）由题意，由余弦定理得， 又，则， 又由正弦定理：，解得. （2）由（1）得，则， ， 则， 方法一：由， 解得（当且仅当时取等号）， 又因为，故， 从而得. 方法二：在中，由正弦定理得， 即， 则 ， 又，则， ， 即， . （25-26高三上·湖北·期中）如图，中，，点在线段上，点与点位于直线的异侧且为等边三角形.小试牛刀1 (1)若，，求线段的长度； (2)若，求线段的最大值； (3)若为的平分线，求与内切圆半径之比的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意，然后根据数量积的运算求出； （2）解法一：由题意，不妨设，可得 ，根据三角函数的性质可得最大值； 解法二：建立平面直角坐标系，不妨设，根据向量的坐标运算可得，根据三角函数的性质可得最大值； （3）解法一：由角平分线定理知：，可推得与内切圆半径之比，根据余弦定理可得，从而得的表达式，根据单调性可求得答案； 解法二：不妨设，可推得与内切圆半径之比，由余弦定理得，由得，可得的表达式，利用换元法，结合单调性可得结果. 【详解】（1）已知，为等边三角形， 若，， 则， 又，则 . 即线段的长度. （2）解法一：是线段中点， 不妨设， 则 ， 当时，， 即线段的最大值为. 解法二：以线段中点为坐标原点，方向为轴，方向为轴，建立平面直角坐标系， 不妨设，则， ， 当时，， 即线段的最大值为. （3）解法一：已知，为的平分线， 由角平分线定理知：， 不妨设，， 要构成，则. 不妨设与内切圆半径分别为、， ， ， 则，在上单调递增， 所以，即与内切圆半径之比的取值范围为. 解法二：不妨设， 不妨设与内切圆半径分别为， ， 在中，由余弦定理得：， ， 令， 则，在时单调递减， 所以，即与内切圆半径之比的取值范围为. （24-25高三下·福建龙岩·月考）已知为锐角三角形，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，．小试牛刀2 (1)求角B； (2)求的内切圆半径r的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）整理题干中的等式，根据余弦定理，可得答案； （2）由题意明确内角的取值范围，利用正弦定理以及三角函数的恒等式，可得三角形的周长范围，根据三角形的面积计算，整理内切圆半径的函数解析式，可得答案. 【详解】（1）因为，则， 可得，由余弦定理可得， 因为为锐角，故， （2）因为为锐角三角形，则，解得， 因为 ， 因为，则，故， 故， 又，则，由， 得， 则当，即时，， 所以的内切圆半径的最大值． 【题型2：不良结构的取值范围问题】 【练方法】 解题方法： 1.先补充条件（如“锐角三角形”“等腰三角形”），明确三角形的约束 2.用正弦定理或余弦定理将未知量转化为角或边的函数 3.结合补充条件，确定角或边的范围，再求目标量的范围 （24-25高一下·山西太原·月考）已知为锐角三角形，内角所对的边分别为，若，，则的取值范围为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，构造函数并由单调性得，再利用正弦定理及三角恒等变换，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】令函数，函数在上都递增， 则函数在上递增，由，得， 即，由为锐角三角形，得，因此，， 由及正弦定理得，则，， 又，，则， 因此 ， 由，得，则， 所以的取值范围为. 故选：B （24-25高二下·安徽阜阳·月考）在锐角中，内角所对的边分别为，且.小试牛刀1 (1)求角的值； (2)求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先对等式左边通分，结合两角和的正弦公式及三角形内角和定理、诱导公式，可对等式进行化简，又为锐角三角形，化简可得，进而可求得角； （2）由正弦定理，可得，代入整式，结合三角恒等变换化简可得，又为锐角三角形，可得，结合三角函数定区间求值域即可求得其取值范围. 【详解】（1）因为， 所以， 又为锐角三角形，所以，所以且， 所以由，得，即，所以. （2）由（1）可得， 由正弦定理，得， 所以 ， 又为锐角三角形，所以，解得， 所以，所以， 所以，即. （2025高三·全国·专题练习）已知锐角中，角的对边分别为，满足条件，则的取值范围为 ．小试牛刀2 【答案】 【分析】将边化为角，结合两角和与差的正弦公式可求得，利用正弦定理可得，进而可化简所求，再结合条件转化为关于角C的函数，进而求解范围. 【详解】由题可得，由正弦定理得， 因为 所以， 所以，即 而，， 则或，即或（舍去），故， 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以的取值范围是， 由正弦定理可得：，则， 所以，所以， 因为，，所以，所以， 所以， 因为，所以， 所以的取值范围是． 故答案为： 【题型3：解三角形中的取值范围问题的综合题型】 【练方法】 解题方法： 1.先利用正余弦定理、射影定理等，将目标式（周长、面积、边长比）转化为单一变量的函数 2.利用三角函数值域、基本不等式或导数求函数的最值或范围 3.注意三角形的约束条件（内角和、边长为正、锐角/钝角等） 【多选题】（2025·全国·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（    ）经典例题1例题 A．的面积为 B．BC边上的高为 C．的最小值为 D．最大值为 【答案】AD 【分析】根据边角互化，结合面积公式即可求解A、B，根据正弦的和差角公式以及弦切互化可得，即可求解C，根据余弦定理，结合辅助角公式以及三角函数的性质可求解，即可利用不等式求解D. 【详解】由可得，, 故,即， 对于A，，A正确， 对于B，由于，故，其中为边上的高，B错误， 对于C，由可得， 即，故， 故，当时，，故不是的最小值，故C错误， 对于D， ，， 故 ，其中锐角满足， 因此的最大值为，即 令则，故，因此最大值为，D正确， 故选：AD 【多选题】（24-25高一下·安徽·月考）在锐角三角形中，内角，，的对边分别为，，.已知，则（    ）小试牛刀1 A． B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．周长的取值范围是 【答案】ABD 【分析】根据正弦定理进行边角互化，结合三角恒等变换化简可判断A选项；根据三角形中角的关系可判断B选项；结合正弦定理及三角函数值域情况可判断C、D选项. 【详解】A选项：由，结合正弦定理得， 又在中，， 则， 又，，，所以， 则，即，A选项正确； B选项：由可知，所以，B选项正确； C选项：由正弦定理可知， 又，则，C选项错误； D选项：由正弦定理可知， 则，， 所以， 设，， 则， 所以，D选项正确； 故选：ABD. 【多选题】（2025·安徽·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，，的平分线交于，，则下列说法正确的是（   ）小试牛刀2 A．的最小值为 B． C．的最大值是 D．的周长的取值范围是 【答案】ACD 【分析】A应用等面积法及三角形面积公式可得，再应用基本不等式“1”的代换求最值；B应用正弦定理及即可判断；C由正弦定理及已知得，即可求最值；D应用余弦定理及基本不等式得、，即可求周长范围. 【详解】A：由等面积法有，即， 由，，的平分线交于， 所以，即， 所以， 当且仅当时取等号，故的最小值为，故A对； B：在中，在中， 由的平分线交于，即，故，故B错； C：由，则，， 所以 ， 又，即时，的最大值是，故C对； D：由A分析有，则，故， 所以，当且仅当时取等号， 由， 所以，故三角形周长为， 令，则周长在上单调递增， 所以，即周长范围是，故D对. 故选：ACD 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高三上·广东惠州·期末）在中，记内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为2，，，且，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用诱导公式和同角基本关系式化简条件得，再由正弦定理得，若，利用余弦定理结合已知判断矛盾，所以，即可得解. 【详解】由得， 由正弦定理（为外接圆半径）得，， 因为，所以， 若，由余弦定理得，，所以为锐角， 则，即，由于，，则， 所以，矛盾. 故，即，所以，即， 又因为，，所以（当且仅当时取“＝”号）， 所以的最小值为4. 故选：B. 二、多选题 2．（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）在锐角 中，角 的对边分别为 ，若 则下列说法正确的是（　） A． B．设 边上的高为 ，则 C． 的最大值为 D． 的最小值为 【答案】AC 【分析】由 代入化简即可判断A正确，由面积公式化简得到，结合正弦定理化简得到可以判断B错误；由余弦定理，化简得到，利用三角函数性质得到，最大值为可以判断C正确，由，所以，设，则，利用基本不等式得到最小值为 20可以判断D 错误. 【详解】因为，所以, 化简得到， 即，故A正确， 因为边上的高为 ，所以，化简得到， 即，即, 所以, 所以，故B错误； ，由余弦定理， 所以， 由正弦定理. 所以， 最大值为，故C正确 由于， 因为，所以， 设，则， 所以，令， 所以， 当且仅当（即 ）时取等号，故最小值为 20，选项 D 错误. 故选：AC. 三、填空题 3．（25-26高三上·湖南长沙·期末）已知的面积为分别是的中点，若，则BC长度的最小值为 . 【答案】 【分析】利用余弦定理结合辅助角公式得到，再结合正弦函数的有界性求解即可. 【详解】连接相交于点，则为的重心，连接并延长交于点， 则由重心的性质得为的中点，则， 而，且，得到， 设，则， 由三角形面积公式得， 则，解得， 由余弦定理得， 解得，化简可得， 由辅助角公式得， 则，解得，即长度的最小值为. 故答案为： 4．（25-26高二上·云南曲靖·期末）在中，内角的对边分别是，且，则的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】利用正弦定理结合三角恒等变换可得，再利用余弦定理结合基本不等式可得，进而可得的最大值. 【详解】原式，由正弦定理得，即，则有， 因为，则，即， 由正弦定理可得， 由余弦定理可得， 因为，当且仅当时等号成立， 可得，所以，且，则， 故的最大值是. 故答案为：. 5．（25-26高三上·贵州安顺·期末）的内角所对的边分别为，且，边上的中线长为，则的最大值为 ；实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据余弦定理，结合基本不等式求得；结合中线的向量表示，向量运算得，再结合求解即可. 【详解】因为， 所以，根据余弦定理得 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即，当且仅当时等号成立 所以的最大值为； 取中点，则， 所以，即， 又因为，所以 因为，所以，即 所以边上的中线长为的取值范围为. 故答案为：； 6．（25-26高三上·河南驻马店·期末）锐角的内角所对的边分别为，的面积为，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】通过对已知条件进行化简得出角的关系，再结合锐角三角形的角的范围及正弦定理求解即可. 【详解】已知，则， 因为，整理得， 由正弦定理得， 因为且， 所以，因为， 故. 可得或， 解得或（舍去）. 因为是锐角三角形，，所以， 则 ，解得. 由正弦定理可得， 令，因为，所以，则. 设， 所以在上单调递减，所以， 故， 故答案为：. 7．（25-26高三上·安徽滁州·期末）在中，角，，的对边分别为，，.若，，则的面积的最大值为 . 【答案】 【分析】由正弦定理可得，再由面积公式得结合余弦定理计算得出，根据三角形三边关系得出，结合二次函数值域求出最值. 【详解】由及正弦定理，得． ， ． 根据三角形三边关系定理，即，计算得， 则当时，即时取得最大值，面积的最大值是． 故答案为：. 8．（25-26高三上·河南周口·期末）在中，是边上一点，且，，，则的最小值为 【答案】4 【分析】根据题意利用正弦定理将边表示成关于角的形式，再利用倍角公式、两角和的余弦公式、诱导公式将表达式化简得出，再根据角的范围利用换元法和二次函数性质求出其最小值即可. 【详解】依题意，记，则，又，如下图 根据三角形内角和可得，所以， 由可得， 记，由正弦定理可得； 由可得，因此， 所以， 代入可得; 又因为 ; 所以; ; 因，所以，令 则， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为4. 即的最小值为4. 故答案为：4 四、解答题 9．（25-26高三上·江西抚州·期末）在锐角中，角的对边分别为的面积为，满足， (1)求的值； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用面积公式以及余弦定理化简得，结合同角的三角函数关系即可求解； （2）在锐角三角形中可得，结合正切函数的单调性可得，利用正弦定理化简结合的范围即可求解. 【详解】（1）整理得， 所以，所以， 因为，所以， 即，解得或（舍去）， 因为，所以， （2）在锐角中，有，则， 所以， 因为 因为，所以，所以， 所以，所以 10．（25-26高三上·湖北武汉·期末）记的内角所对的边分别为，． (1)若，求； (2)若为边上的点，且，求的最小值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据题意结合两角和差公式整理可得，分析可得，即可得结果； （2）设，，可得，，进而求，结合基本不等式运算求解. 【详解】（1）因为， 则， 整理可得， 且，则，可得， 又因为，则， 可得，即， 若，所以. （2）设，， 则，，， 在中，由正弦定理可得， 在中，由余弦定理可得： ， 即， 则， 令，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 11．（25-26高一上·广东深圳·期末）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理以及两角和的正弦公式化简即可； （2）利用正弦定理得，再根据辅助角公式、倍角公式化简，然后结合正弦函数的性质求值域即可. 【详解】（1），即， 由正弦定理得， 即， 因为，所以，所以， 又因为，所以. （2）因为，所以，     则， 所以 ， 因为三角形ABC是锐角三角形，所以，得， 所以，则，即， 所以的取值范围为. 12．（25-26高三上·福建福州·期末）记的内角所对的边分别为，. (1)求； (2)若，求外接圆面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理，两角和的正弦公式及诱导公式得，结合的范围即可求出； （2）由正弦定理得，根据余弦定理结合基本不等式求出的最小值，即可求出答案. 【详解】（1）由，整理得：， 由正弦定理，可得， 即， 因为， 所以， 又，则， 所以，即，所以. （2）由正弦定理，外接圆的半径， 要使外接圆的半径最小，只需最小， 由余弦定理，， 当且仅当时取等号，此时，则， 故外接圆面积的最小值为. 13．（25-26高三上·辽宁·期末）在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知. (1)证明：； (2)求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由正弦定理对题中条件进行整理，再结合三角形中的内角和化简整理即可得证. （2）由（1）及条件可得到的范围，再利用两角和差公式及二倍角公式化简整理已知式子，最后换元求解所求范围即可. 【详解】（1）在中，由正弦定理可得： ，    又因为，则， 所以， 化简整理得， 则，    因为为锐角三角形，， ， 所以. （2）在锐角三角形中，由（1）， 得， 所以由， 可得， 所以 ， 令，所以上式，   在上单调递增， 所以， 即 所以的取值范围为. 14．（25-26高三上·浙江湖州·期末）在中，是线段上一点，且，，设． (1)求线段的长度（用表示）； (2)若，求的值； (3)求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）在中，求出，在中，利用余弦定理得，通过计算得到的值；     （2）在中，由正弦定理得，代入数值通过计算得到的值．     （3）在中，由正弦定理得，代入数值通过计算得到的值，利用基本不等式求出最大值.方法2：建立平面直角坐标系，由可知，点在以为直径的圆上，显然当直线与圆相切时，的最大值，此时可求出的值，利用同角关系式求出． 【详解】（1）在中，．     在中，由余弦定理得 因此. （2）在中，由正弦定理得，     即， 所以． （3）在中，由正弦定理得， 即， 即，     解得 当且仅当，即时，取到最大值.     方法2：以线段所在直线为轴，线段的中点为坐标原点，建立如图所示直角坐标系． 由可知，点在以为直径的圆上， 显然当直线与圆相切时，的最大值． 此时，故． 15．（25-26高三上·江西抚州·期末）在中，内角所对的边分别为.现有如下两个条件：条件①；条件②.请从上述两个条件中选择一个作为已知，完成本题解答. 你选择的条件是__________. (1)求角； (2)若为的中点，且，求的面积的最大值. 注：若多选条件，则按选择第一个条件解答计分. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若选①，则先由正弦定理边化角再结合辅助角公式求解；若选②，则先由正弦定理角化边，再由余弦定理求解. （2）由为的中点得，平方由基本不等式求得有最大值，再由三角形面积公式求面积的最大值. 【详解】（1）选条件①：由，及正弦定理， . 又为内角，所以，从而， 即， 则，或（舍去），从而. 选条件②，由及正弦定理， 得，   整理得， 由余弦定理得，而， 所以. （2）由为的中点，从而. 两边平方，得， 即， 当且仅当时等号成立，此时有最大值， 则. 从而面积的最大值为. 16．（25-26高三上·湖北黄石·期末）锐角中，满足分别是的对边. (1)若，求边c的长； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用二倍角公式与因式分解化简已知等式，结合锐角三角形的性质求出角，再用余弦定理求边并检验解的合理性，最终确定； （2）先用正弦定理将边的比值转化为角的正弦值，再结合将表达式化为含的三角函数，最后通过角的范围求出取值范围. 【详解】（1）由题， ，为锐角三角形，， . 由余弦定理，得， 即，解得或， 但时，，与已知条件不符， 而时，，符合条件，； （2）由正弦定理，得 ， ， . 1 学科网（北京）股份有限公司 $