专题 20.4 勾股定理的逆定理及其应用（专项练习）- 2025-2026学年人教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 20.4 勾股定理的逆定理及其应用（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目 1．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）下列各组线段中，能构成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，关键是利用定理进行判断；运用勾股定理的逆定理进行判断，即验证每组中两条较短线段的平方和是否等于最长线段的平方，若相等则可构成直角三角形． 解：A. ∵， ∴这三条线段不能构成直角三角形； B. ∵， ∴这三条线段不能构成直角三角形； C. ∵， ∴， ∴这三条线段能构成直角三角形； D. ∵， ∴这三条线段不能构成直角三角形； 故选：C． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一个三角形的三条边长之比为，周长为，则它的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设三边长为，，，根据周长求出，再验证是否为直角三角形，最后计算面积． 本题主要考查勾股定理的逆定理的理解与运用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 解：∵三边之比为， ∴设三边分别为，，． ∵周长为， ∴， ∴． ∴三边分别为，，． ∵， ∴三角形为直角三角形，直角边为和． ∴面积为． 故选：D． 3．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个． 解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选C． 4．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状． 解：设正方形地砖边长为1， ， ， ， 在中， ，， ， 是直角三角形． 故选：A． 5．（25-26八年级上·广东河源·月考）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5千米，12千米，13千米，问这块沙田面积有多大？则该沙田的面积为（　　）平方千米． A．15 B．30 C．75 D．60 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用和三角形面积的计算，关键是根据三边关系确定直角三角形． 通过勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形，再利用直角三角形的面积公式求解． 解：∵，， ∴， ∴该三角形为直角三角形，直角边为5千米和12千米， ∴面积（平方千米）． 故选：B． 6．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）已知，，是三角形的三边，且满足，则这个三角形是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】本题考查非负数的性质与直角三角形的判定，先利用非负数的性质求出三角形三边的长度，再根据勾股定理的逆定理判断三角形形状． ∵，，，且， ∴，，， 解得，，， 又∵，，， ∴， 根据勾股定理的逆定理，可知该三角形是直角三角形， 且，故不是等腰三角形， ∴故选：B． 7．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图正方形的边长为，，连接，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用．延长交于点，根据正方形的性质证明，可得、、，由勾股定理可得的长． 解：如图，延长交于点， ，，， ， 和是直角三角形， 在和中， ， ， ，， ，， 又，， ，， 在和中， ， ， ，，， ， 同理可得， 在中， ， 故选：B． 8．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，是的角平分线，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理的应用，过点作于点，证明是直角三角形，且，根据角平分线的性质可得，证明得出，设，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 解：如图，过点作于点， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且 又∵是的角平分线 ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ 设，则， 在中， ∴ 解得： 即的长为 故选：A． 9．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，且周长为．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，两点同时出发，那么经过3s，的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股逆定理，解题的关键是求出的三边长，证明是直角三角形． 设长为，长为，长为．根据的周长为，列出方程求出的值，通过勾股逆定理是直角三角形，经过秒时，求出，，根据三角形面积公式即求出的面积． 解：设长为，长为，长为． 的周长为，即， ， 解得， ，，， ， 是直角三角形，且． 经过，，， ． 故选：B． 10．（21-22八年级上·江苏无锡·期末）如图，点A，B在直线的同侧，A到的距离，B到的距离，已知，P是直线上的一个动点，记的最小值为a，的最大值为b，则的值为（　　） A．160 B．150 C．140 D．130 【答案】A 【分析】本题考查轴对称解决最短路径问题、勾股定理，熟练掌握利用轴对称解决最短路径问题是解题的关键． 作点A关于直线的对称点，连接交直线于点P，则点P即为所求点，过点作于点E，则线段的长为的最小值，根据勾股定理得到，即；延长交于点，则，当点P运动到时，有最大值，过点B作于点F，则，根据勾股定理求得，即有最大值，据此求解即可． 解：如图，作点A关于直线的对称点，连接交直线于点P，则点P即为所求点，过点作于点E， 线段的长为的最小值， 、、, 、、， 即的最小值； 延长交于点， 、 当点P运动到时，有最大值， 、、， 过点B作于点F，则， 即有最大值， ， 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·福建泉州·期末）在中，，则的度数为 ． 【答案】/90度 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理，算术平方根，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 12．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，中，，，点、分别是、的中点，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握相关知识是解决问题的关键．由点D是的中点可求出的长，由勾股定理的逆定理证明，再由斜边上的中线等于斜边的一半可求出的长． 解：已知点D是的中点，， ∴ ， ∵ ∴， ∵， ， 根据勾股定理的逆定理，可得， 即， ∵E是的中点， ∴． 13．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，在的正方形网格中，点A、B、C、D均在格点上，则 °． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理与网格，勾股逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据勾股定理与网格，勾股逆定理，得出是直角三角形，且，再结合网格特征，证明，则，故，则，即可作答． 解：连接， 依题意，，， ∵， ∵是直角三角形，且， ∵， ∴， 则， 结合网格特征，得， 则， ∴， 故答案为：． 14．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）如图，在中，，，．利用尺规在，上分别截取，，使；分别以为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．则 度， ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，角平分线的性质，掌握作角平分线的方法，角平分线的性质，勾股定理及其逆定理的运用是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理可求出是直角三角形，求出；过点作，根据角平分线的性质，勾股定理可求出的值． 解：∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴； 根据作图可得是角平分线，如图所示，过点作于点， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴； 故答案为：， ． 15．（25-26八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为，，．已知A、B两村之间已修建了一条笔直的村级公路，为了实现村村通公路，现在要从村修一条笔直公路直达．已知公路的造价为10000元/，则修这条公路的最低造价为 元． 【答案】72000 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是知道在什么时候距离最短． 首先得出，然后利用其逆定理得到，根据垂线段最短确定最短距离，然后利用面积相等求得的长，最终求得最低造价． 解：∵， ， ， 要使公路的造价最低，则， ， ， 故这条公路的最低造价为：（元）， 故答案为：72000． 16．（25-26八年级上·山西晋中·期末）如图，在中，点在边上，已知，，，点在上，且，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，由勾股定理的逆定理可得为直角三角形，即得，进而由可得，最后根据勾股定理解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 解：∵，，， ∴，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、F，的垂直平分线分别交于点E、G，点E在点D右侧．若，则的面积为 ． 【答案】96 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，勾股定理逆定理，连接，线段垂直平分线的性质，得到，勾股定理逆定理得到，根据三角形的面积公式进行计算即可． 解：连接， ∵的垂直平分线分别交于点D、F，的垂直平分线分别交于点E、G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：96． 18．（25-26八年级上·上海·期末）如图，中，，，，将沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上的一个动点，当周长最小时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，线段和最值问题，勾股定理及逆定理，熟练运用轴对称解决线段和最值问题是解题关键． 连接，设与交于点，设，由折叠的性质可得，，，，．由线段公理可得，当、、三点共线时， 周长最小，此时点与点重合．使用勾股定理的逆定理可判断出，则．使用勾股定理构造方程并求解出的值，进而求出的长． 解：如图，连接，设与交于点，设， 由折叠的性质可知，，，，， ∴，， ∴周长为， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值，即周长最小，此时点与点重合， ∵， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， 解得，， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，为上一点，连接，若，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)是直角三角形；(2) 【分析】本题考查用勾股定理判定三角形是直角三角形，根据勾股定理列方程求线段长度； （1）求得即可解答； （2）设，则，证，列方程求解即可． （1）解：∵，，， ，， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：设，则， ∵是直角三角形， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·江西景德镇·期末）请在如图所示的网格中，运用无刻度直尺作图． (1)在图1中找一个格点，以为腰，使为等腰三角形． (2)在图2中画一个格点，以为底，使为等腰直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查格点作图，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理，是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质作图即可； （2）根据等腰三角形的性质和勾股定理的逆定理作图即可． （1）解：找一个格点，以为腰，使，则为等腰三角形． （2）在图2中画一个格点，以为底，使，为等腰直角三角形． 理由：∵， ∴， ∴是等腰直角三角形． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·全国·月考）如图所示，在中，，，在中，为边上的高，，的面积． (1)求的长．(2)求的度数． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了三角形面积公式、勾股定理及其逆定理，掌握利用面积公式求边长，用勾股定理逆定理判断直角三角形是解题的关键． （1）利用的面积公式，已知高和面积，反求底边的长度 （2）先由（1）得到的长度，再在中用勾股定理逆定理判断三角形形状，从而得到的度数． （1）解：∵在中，为边上的高，，的面积 ∴ ∴ ∴ （2）解：∵ 在中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴是直角三角形，且为直角 ∴ 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，，． (1)求的长． (2)若是射线上的一个动点，作⊥于点，交直线于点，连接，，如图②．若，求的长． 【答案】(1) (2)的长为或2． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质，三角形面积与线段比的关系，分类讨论思想，掌握勾股定理及其逆定理，以及分类讨论的方法是解题的关键． （1）先求出的长度，由得到的长度，再用勾股定理逆定理判断为直角三角形，得到，最后在中用勾股定理求的长． （2）分点在线段上和延长线上两种情况，由面积比得到与的比例，求出的长度，再通过角度关系证明，进而得到的长． （1）解：， ． ，， ， 是直角三角形，且， ． 在中，． （2）解：分两种情况讨论： ①当点在线段上时， ， ， ． ， ． ， ． ， ， ， ． ，， ； ②当点在线段的延长线上时，如图． ， ， ． ， ． 同理可得， ． 综上所述，的长为或2． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·河北保定·期末）某小区计划在临街的拐角建造一块绿地（图中阴影部分），并在绿地中开辟一条小路．下图是施工图纸，，其中的长度不小心被污染了，但知道比长． (1)请你帮忙计算出的长度； (2)判断的度数并说明理由； (3)求这片绿地（即四边形）的面积是多少？（小路忽略不计） 【答案】(1)(2)，见解析(3) 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是： （1）根据勾股定理构建关于的方程求解即可； （2）根据勾股定理的逆定理判断为直角三角形即可 （3）根据分割法求出绿地的面积即可． （1）解：∵， ∴， 又，比长， ∴， 解得， 即的长度为； （2）解：由（1）知， 又，， ∴，， ∴， ∴为直角三角形，且； （3）解： ， 即这片绿地（即四边形）的面积是． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，且m，n满足，D，E分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点F恰好落在边上． (1)求证：是直角三角形； (2)如图1，若D为的中点，求证：； (3)如图2，若F为的中点，判断线段，与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据二次根式和绝对值的非负性，求得，，再根据勾股定理的逆定理证明即可； （2）连接，根据轴对称的性质可得，然后根据三角形中位线定理证明，即可证明结论； （3）过点A作，交的延长线于点H，连接，先证明，得到，，再证明，最后根据勾股定理即可得到结论． （1）证明：， ，， ，， ， ， ， 即是直角三角形； （2）证明：连接， 沿直线折叠得到， ，， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ； （3）解：． 理由如下： 过点A作，交的延长线于点H，连接， ，， 为的中点， ， ， ，， 沿直线折叠得到， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了图形轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，二次根式和绝对值的非负性，等知识，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 20.4 勾股定理的逆定理及其应用（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目 1．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）下列各组线段中，能构成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一个三角形的三条边长之比为，周长为，则它的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 4．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 5．（25-26八年级上·广东河源·月考）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5千米，12千米，13千米，问这块沙田面积有多大？则该沙田的面积为（　　）平方千米． A．15 B．30 C．75 D．60 6．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）已知，，是三角形的三边，且满足，则这个三角形是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 7．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图正方形的边长为，，连接，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，是的角平分线，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，且周长为．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，两点同时出发，那么经过3s，的面积为（    ） A． B． C． D． 10．（21-22八年级上·江苏无锡·期末）如图，点A，B在直线的同侧，A到的距离，B到的距离，已知，P是直线上的一个动点，记的最小值为a，的最大值为b，则的值为（　　） A．160 B．150 C．140 D．130 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·福建泉州·期末）在中，，则的度数为 ． 12．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，中，，，点、分别是、的中点，，则的长为 ． 13．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，在的正方形网格中，点A、B、C、D均在格点上，则 °． 14．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）如图，在中，，，．利用尺规在，上分别截取，，使；分别以为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．则 度， ． 15．（25-26八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为，，．已知A、B两村之间已修建了一条笔直的村级公路，为了实现村村通公路，现在要从村修一条笔直公路直达．已知公路的造价为10000元/，则修这条公路的最低造价为 元． 16．（25-26八年级上·山西晋中·期末）如图，在中，点在边上，已知，，，点在上，且，若，则的长为 ． 17．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、F，的垂直平分线分别交于点E、G，点E在点D右侧．若，则的面积为 ． 18．（25-26八年级上·上海·期末）如图，中，，，，将沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上的一个动点，当周长最小时，的长为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，为上一点，连接，若，，． (1)判断的形状，并说明理由；(2)求的长． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·江西景德镇·期末）请在如图所示的网格中，运用无刻度直尺作图． (1)在图1中找一个格点，以为腰，使为等腰三角形． (2)在图2中画一个格点，以为底，使为等腰直角三角形． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·全国·月考）如图所示，在中，，，在中，为边上的高，，的面积． (1)求的长．(2)求的度数． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，，． (1)求的长． (2)若是射线上的一个动点，作⊥于点，交直线于点，连接，，如图②．若，求的长． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·河北保定·期末）某小区计划在临街的拐角建造一块绿地（图中阴影部分），并在绿地中开辟一条小路．下图是施工图纸，，其中的长度不小心被污染了，但知道比长． (1)请你帮忙计算出的长度； (2)判断的度数并说明理由； (3)求这片绿地（即四边形）的面积是多少？（小路忽略不计） 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，且m，n满足，D，E分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点F恰好落在边上． (1)求证：是直角三角形； (2)如图1，若D为的中点，求证：； (3)如图2，若F为的中点，判断线段，与之间的数量关系，并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $