专题 20.3 勾股定理及其应用（专项练习）- 2025-2026学年人教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 20.3 勾股定理及其应用（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目 1．（25-26八年级上·四川达州·月考）已知一个直角三角形两边的长分别为3和4，则此三角形的第三条边的长为（     ） A．5 B． C．8 D．5或 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方，掌握定理内容并分类讨论是关键；根据4为直角边与斜边两种情况，利用勾股定理即可完成． 解：当3和4是直角边时， 在直角三角形中，第三边长为； 当3是直角边，4是斜边时， 在直角三角形中，第三边长为； 故选：D． 2．（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）已知点，点，点在轴上，并且满足，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标系中两点距离，掌握坐标系中两点的距离公式是解题的关键． 点在轴上，设其坐标为，根据，利用距离公式建立方程求解即可． 解：设， ∵， ∴=， 两边平方得， 化简得， 解得， 故点的坐标为， 故选B． 3．（25-26七年级上·山东东营·期中）如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理可求出，进而求出正方形的面积． 解：在中，， 由勾股定理得：， ． 故选：B． 4．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，两个书柜相对平行摆放，当一架梯子倾斜靠在左侧书柜时，梯子底端与左侧书柜的距离为1.5米，顶端与地面的距离为2米．在保持梯子底端不变的情况下，将梯子顶端倾斜靠在右侧书柜上时，顶端与地面的距离为2.4米，则两个书柜之间的距离为（   ） A．1.5米 B．2.2米 C．2.4米 D．2.5米 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理；在中，利用勾股定理，求出，在中，利用勾股定理求出，再求和即可得出结果． 解：∵， ∴在中，， 即， ∵， ∴在中， ∴， ∴， ∴， ∴两个书柜之间的距离为2.2米； 故选：B． 5．（24-25九年级上·陕西西安·月考）如图，数学探究活动中要测量河的宽度，小明在河对岸选定一点，再在河一侧岸边选定点和点，使，测得米，，根据测量数据可计算小河宽度为（    ） A．米 B．20米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据垂直定义可得，然后在中，利用30度角的性质得，然后利用勾股定理即可解答． 解：∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得米（负值舍去）， 故选：A． 6．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，现将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，由折叠的性质得，设，则，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可得出答案． 解：由折叠的性质得，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴的长为． 故选：C． 7．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，再分别以为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，已知为边上一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，理解尺规作角平分线，角平分线的性质定理，勾股定理的计算是关键，根据题意，当时，有最小值， 如图所示，当点在处，有最小值，即的值，设，则，在中，由勾股定理得到，即，由此即可求解． 解：在中，， ∴， 根据作图可知，是的角平分线， ∵点为边上一个动点， ∴当时，有最小值， 如图所示，当点在处，有最小值，即的值， ∵是的角平分线，， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得，， ∴， ∴的最小值为， 故选：D ． 8．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，某同学用圆规画一个半径为的圆，测得此时，为了画一个半径更大的同心圆，固定端不动，将端向左移至处，此时测得，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理．利用勾股定理求出的长，过点作，利用含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 解：∵，， ∴， ∴， 过作， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 9．（24-25八年级下·山东临沂·月考）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送 (水平距离)时，踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千绳索的长度是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用．利用秋千静止与推送后的状态找出直角三角形是解题的关键．由秋千绳索、水平移动距离和秋千垂直移动距离构成了直角三角形，通过设未知数，从而得到的代数式，最后利用勾股定理建立方程来求解秋千绳索的长度． 解：设秋千绳索， ，， ， ， 在中， ，即， 解得， 秋千绳索的长度是． 故选：C． 10．（25-26八年级上·山西晋中·期末）勾股定理在我国有着悠久的历史．古代数学家赵爽在《周髀》中利用“勾股方圆图”直观的证明了勾股定理．后人通常把右图称为“赵爽弦图”．如右图所示，点坐标为，点坐标为，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查“赵爽弦图”的性质，平面直角坐标系的坐标与线段长度转化，掌握“赵爽弦图”的组成图形是解题关键． 根据“赵爽弦图”的全等性质，由点、的坐标算出线段、、的长度，再结合线段间的对应关系推导出点的坐标． 解：如图所示， 根据“赵爽弦图”，可知大正方形由个全等的直角三角形和个小正方形组成， 点坐标为，点坐标为， ，，， ，， ∴， ， 故点的坐标为． 故选：． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，直角三角形的直角边的长为1，线段绕点旋转，使点落在数轴上并记为点，则数轴上点表示的实数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与用数轴上的点表示无理数，解题的关键是利用勾股定理求得的长．利用勾股定理及同圆半径相等即可得到答案． ∵点C的坐标为，点O在原点上， ∴，又， 由勾股定理得：． ∴． 即数轴上点A表示的实数是， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·山西晋城·月考）如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则中边上的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，三角形的面积．过点C作于点D，过点A作，交的延长线于点E．由题意可得，，，根据的面积即可求出． 解：过点C作于点D，过点A作，交的延长线于点E． 由题意可得，，， ∵， ∴， ∴， 即中边上的高为． 故答案为： 13．（25-26八年级上·江苏徐州·月考）如图，的顶点分别在第一，二象限内，，则n的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟知坐标系中两点距离公式是解题的关键． 利用勾股定理求解即可． 解：∵的顶点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得. 故答案为：． 14．（25-26八年级上·江苏·期末）我国古代“赵爽弦图”是勾股定理的重要证明方法，由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．若直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，小正方形边长为1，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了赵爽弦图，根据赵爽弦图的几何结构，小正方形的边长等于直角三角形两直角边之差的绝对值，即，结合小正方形边长为1即可求解． 解：在赵爽弦图中，四个全等的直角三角形围成一个小正方形，小正方形的边长等于两直角边之差的绝对值． ∵小正方形边长为1， ∴， ∴． 故答案为1． 15．（24-25八年级下·广西南宁·月考）如图，圆柱的高为3米，底面圆的周长为5米．将一条彩带从底面A点开始绕圆柱1圈后，挂在点A的正上方点B处，彩带最短需要 米． 【答案】 【分析】本题考查圆柱展开图，勾股定理等．根据题意可知圆柱展开图为长方形，彩带最短为长方形对角线长度，再利用勾股定理即可求出本题答案． 解：由题意得：彩带最短为长方形对角线长度， ∵圆柱的高为3米，底面圆的周长为5米， ∴ 米， 故答案为：． 16．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，甲，乙两船同时从港口O出发，甲以20海里/时的速度向南偏东方向航行，乙船向南偏西方向航行，已知它们离开港口两小时后，两船相距50海里，则乙船的速度为 海里/时． 【答案】15 【分析】本题考查勾股定理，方向角的概念，关键是应用勾股定理求出的长．由勾股定理求出的长，即可解决问题． 解：由条件得：(海里)，(海里)， 而， ∴ (海里)， ∴乙船的速度是(海里/时)． 故答案为：15． 17．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，是等边三角形，，点在上，，直线，垂足为，分别是边，直线上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，30度角的性质，勾股定理，等边三角形的性质． 作D关于直线的对称点G，连接，则，根据直线得到G、B、D、C在一条直线上，，根据轴对称的性质得到，由垂线段最短可知当时，有最小值，根据等边三角形的性质得到，即，根据30度角的性质得到，根据勾股定理计算即可． 解：如图，作D关于直线的对称点G，连接，则， ∵直线， ∴， ∴， 即G、B、D、C在一条直线上， ∴， ∵G、D关于直线对称， ∴， 由垂线段最短可知当时，有最小值． ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 即的最小值是． 故答案为：． 18．（25-26八年级上·四川成都·期末）毕达哥拉斯学派发现了无理数，通过学习我们知道无理数也可以表示在数轴上．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为边作正方形，连接，以为半径作圆弧交轴正半轴于点，再作长方形，连接，以为半径作圆弧交轴正半轴于点，再作长方形，连接，如此反复操作，我们可以得到的坐标为 ，在到的所有横坐标中，的同类二次根式有 个． 【答案】 【分析】本题主要考查了探索坐标的规律、勾股定理、平面直角坐标系中点的坐标，利用勾股定理依次求出点、、的坐标，从中找出规律、根据规律写出点的坐标；根据规律可知点的横坐标是，纵坐标是，在到之间，被开方数中能写成与一个平方数乘积的有个，所以的同类二次根式有个． 解：点的坐标为，四边形是正方形， ，， 点的坐标为， ， ， 点的坐标为， 四边形是长方形， ，， ， ， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 即点的坐标为； 由图可知： 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，，点的坐标为， ， 在到的所有横坐标中，有、、、、，共个的同类二次根式； 故答案为：，. 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·北京房山·期末）如图，在中，，，，平分交于点，于点． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据“”证明即可； （2）根据勾股定理求出，根据，得出，，设，根据勾股定理得出，求出x的值即可． （1）解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴的长为． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·江苏泰州·期末）将与按如图所示的方式摆放，延长交于点F，连接，其中，，． (1)证明：； (2)若，，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． （1）利用证明，然后利用全等三角形的对应边相等可证得结论； （2）先利用勾股定理求得，证明得到 设， 在中，利用勾股定理列方程求解即可． （1）证明：∵， ∴，又，， ∴， ∴； （2）解：在中， ∴ ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ 设，则， 在中， 则 解得 ∴的长为． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·山东威海·月考）如图，地面上放着一个小凳子（与地面平行，墙面与地面垂直），点到地面的距离为．在图①中，一木杆的一端与墙角重合，另一端靠在点处，． (1)求小凳子顶点与墙面的距离； (2)在图②中另一木杆的一端与点重合，另一端靠在墙上的点处．若，木杆比凳宽长，求小凳子宽和木杆的长度． 【答案】(1)； (2)， 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理并结合题意构造直角三角形是解题的关键． （1）通过作垂线构造直角三角形，利用勾股定理计算小凳子顶点与墙面的距离； （2）延长线段构造直角三角形，设未知数表示各边长度，再通过勾股定理列方程求解小凳子宽和木杆长． （1）解：过作垂直于墙面，垂足，根据题意可得，， 在中，， 即顶点与墙面的距离为． （2）解：延长交墙面于点，可得， 设，则，，， 在中，，即， 解得， ∴， ∴凳子宽的长度为木杆的长度为． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级上·北京·期末）如图，在中，，点D在上，，点E在上，． (1)求的长度； (2) ，给出证明； (3)求证：点E为线段中点． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用勾股定理求出，再根据求解，即可解题； （2）根据等腰三角形性质得到，再结合角的和差和等量代换求解，即可解题； （3）过点作，交于点，交于点，证明，结合全等三角形性质推出，利用等腰三角形性质进而得出，再结合全等三角形性质推出，最后求出，即可证明点E为线段中点． （1）解：， ， ， ； （2）解：，证明如下： ， ， ， ， ； 故答案为：； （3）证明：过点作，交于点，交于点， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点E为线段中点． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形性质和判定，角的和差，全等三角形性质和判定，线段中点的定义，解题的关键在于灵活运用相关知识． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级上·吉林·期末）如图：已知中，，，的面积是12，于点D，点M在直线上，且，动点P从点M出发，以每秒1个单位的速度从点M沿射线运动，设运动的时间为t秒，回答下列问题． (1)直接写出线段__________； (2)用含t的代数式表示线段的长； (3)在上取点Q，使，连结，当与全等时，求t值； (4)在点P运动的过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出t的值． 【答案】(1)4 (2)当时，；当时，(3)或 (4)或或 【分析】（1）根据勾股定理和等腰三角形的性质，求出结果即可； （2）根据点的运动速度和运动时间，分两种情况求出线段的长即可； （3）分两种情况：当点在点左侧，时，点在点右侧，时，分别列出方程，解方程即可； （4）分两种情况讨论：当时，当时，分别求出结果即可． （1）解：∵， ， ， 故答案为：4． （2）解：， ， ， ∵动点从点出发，以每秒 1 个单位长度的速度从点沿射线运动，运动的时间为秒， ∴当时，； 当时，； （3）解：∵， ， ， ， 当点在点左侧，时，， ， 解得：； 当点在点右侧，时，， ， 解得：； 综上分析可知：或时，与全等； （4）解：当时，， ， ，即点P与点B重合， ， 当，点在点左侧时，， ， ， 当点在点右侧，， ， ， 综上，或或时，是以为腰的等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·河南南阳·期末）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)已知中，，，为边上的高，且，请直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)新路比原路少千米 (3)24或84 【分析】本题主要考查勾股定理的计算和运用，理解图示，掌握勾股定理是关键． （1）根据梯形的面积的表示方法计算即可； （2）设千米，则，由勾股定理即可求解； （3）根据题意，作图分析，结合勾股定理即可求解． （1）解：梯形的面积为，梯形面积也等于， ∴， ∴， ∵左边：， ∴； （2）解：∵，千米，千米，， ∴设千米， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴千米，千米， ∴千米， ∴新路比原路少千米； （3）解：如图所示， ∵是边上的高， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴； 如图所示，， 在中，， 在中，， ∴， ∴； 综上所述，的面积为24或84． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 20.3 勾股定理及其应用（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目 1．（25-26八年级上·四川达州·月考）已知一个直角三角形两边的长分别为3和4，则此三角形的第三条边的长为（     ） A．5 B． C．8 D．5或 2．（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）已知点，点，点在轴上，并且满足，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·山东东营·期中）如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，两个书柜相对平行摆放，当一架梯子倾斜靠在左侧书柜时，梯子底端与左侧书柜的距离为1.5米，顶端与地面的距离为2米．在保持梯子底端不变的情况下，将梯子顶端倾斜靠在右侧书柜上时，顶端与地面的距离为2.4米，则两个书柜之间的距离为（   ） A．1.5米 B．2.2米 C．2.4米 D．2.5米 5．（24-25九年级上·陕西西安·月考）如图，数学探究活动中要测量河的宽度，小明在河对岸选定一点，再在河一侧岸边选定点和点，使，测得米，，根据测量数据可计算小河宽度为（    ） A．米 B．20米 C．米 D．米 6．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，现将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则的长为（  ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，再分别以为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，已知为边上一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．3 8．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，某同学用圆规画一个半径为的圆，测得此时，为了画一个半径更大的同心圆，固定端不动，将端向左移至处，此时测得，则的长为（　　） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·山东临沂·月考）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送 (水平距离)时，踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千绳索的长度是（   ）． A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·山西晋中·期末）勾股定理在我国有着悠久的历史．古代数学家赵爽在《周髀》中利用“勾股方圆图”直观的证明了勾股定理．后人通常把右图称为“赵爽弦图”．如右图所示，点坐标为，点坐标为，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，直角三角形的直角边的长为1，线段绕点旋转，使点落在数轴上并记为点，则数轴上点表示的实数是 ． 12．（25-26八年级上·山西晋城·月考）如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则中边上的高为 ． 13．（25-26八年级上·江苏徐州·月考）如图，的顶点分别在第一，二象限内，，则n的值为 ． 14．（25-26八年级上·江苏·期末）我国古代“赵爽弦图”是勾股定理的重要证明方法，由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．若直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，小正方形边长为1，则 ． 15．（24-25八年级下·广西南宁·月考）如图，圆柱的高为3米，底面圆的周长为5米．将一条彩带从底面A点开始绕圆柱1圈后，挂在点A的正上方点B处，彩带最短需要 米． 16．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，甲，乙两船同时从港口O出发，甲以20海里/时的速度向南偏东方向航行，乙船向南偏西方向航行，已知它们离开港口两小时后，两船相距50海里，则乙船的速度为 海里/时． 17．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，是等边三角形，，点在上，，直线，垂足为，分别是边，直线上的动点，则的最小值是 ． 18．（25-26八年级上·四川成都·期末）毕达哥拉斯学派发现了无理数，通过学习我们知道无理数也可以表示在数轴上．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为边作正方形，连接，以为半径作圆弧交轴正半轴于点，再作长方形，连接，以为半径作圆弧交轴正半轴于点，再作长方形，连接，如此反复操作，我们可以得到的坐标为 ，在到的所有横坐标中，的同类二次根式有 个． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·北京房山·期末）如图，在中，，，，平分交于点，于点． (1)求证：； (2)求的长． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·江苏泰州·期末）将与按如图所示的方式摆放，延长交于点F，连接，其中，，． (1)证明：； (2)若，，求长． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·山东威海·月考）如图，地面上放着一个小凳子（与地面平行，墙面与地面垂直），点到地面的距离为．在图①中，一木杆的一端与墙角重合，另一端靠在点处，． (1)求小凳子顶点与墙面的距离； (2)在图②中另一木杆的一端与点重合，另一端靠在墙上的点处．若，木杆比凳宽长，求小凳子宽和木杆的长度． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级上·北京·期末）如图，在中，，点D在上，，点E在上，． (1)求的长度； (2) ，给出证明； (3)求证：点E为线段中点． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级上·吉林·期末）如图：已知中，，，的面积是12，于点D，点M在直线上，且，动点P从点M出发，以每秒1个单位的速度从点M沿射线运动，设运动的时间为t秒，回答下列问题． (1)直接写出线段__________； (2)用含t的代数式表示线段的长； (3)在上取点Q，使，连结，当与全等时，求t值； (4)在点P运动的过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出t的值． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·河南南阳·期末）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)已知中，，，为边上的高，且，请直接写出的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $