考点01 勾股定理及逆定理（13种题型）（专项训练）数学新教材人教版八年级下册

考点01 勾股定理及逆定理 考点一： 勾股定理 文字语言：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 符号语言：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么. 变式：，， . 【注意】勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形； 【易错题型】求直角三角形的边长时，未分类讨论而致错. 考点二： 勾股定理的证明 考点三： 勾股数 勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即满足关系的3个正整数a，b，c称为勾股数. 勾股数需要满足的两个条件：1）这三个数均是正整数； 2）两个较小数的平方和等于最大数的平方. 判断方法：1）确定三个正整数a，b，c； 2）确定最大数c； 3）判断较小两数的平方和是否等于 【易错点】以勾股数为三边长的三角形是直角三角形，但直角三角形的三条边的长度不一定是勾股数，如1，2，不是勾股数. 考点四： 勾股定理逆定理 文字描述：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边. 注意：只是一种常用的表达形式，并非所有情况下c都表示斜边.在运用勾股定理的逆定理时，应先确定最长边，而不是直接套用.不要把c默认为最长边. 题型一：已知直角三角形两边长求第三边 求直角三角形的边长时，未分类讨论而致错. 1．（24-25八年级下·福建厦门·月考）若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（　　） A．13 B．13或 C．13或15 D．15 2．（24-25八年级下·山东德州·月考）若直角三角形的两边长分别为，，且满足，则该直角三角形的第三边长为（  ） A．5 B． C．5或 D．5或4 3．（24-25八年级下·甘肃张掖·月考）若一个直角三角形两直角边之比为，斜边长，则两直角边为 ． 题型二：用勾股定理解三角形 4．（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，等边三角形的边长为4，则它的高的长为（   ） A．2 B． C． D．4 5．（24-25八年级下·湖南益阳·期中）如图，在中，，是角平分线．若，，则点D到边的距离为（    ） A．6 B．8 C．10 D．4 6．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，四边形中，，，，，则四边形的面积为 ． 7．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：米，米，，，则警示牌的高约为 米．（结果精确到米，参考数据：，） 8．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在一次课外活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A，B两个凉亭之间的距离，已知，现测得，，，请计算A，B两个凉亭之间的距离． 题型三：已知两点坐标求两点距离 9．（24-25八年级下·云南普洱·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点．已知点，则线段的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 10．（24-25八年级下·四川自贡·月考）代数式的最小值是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级下·上海金山·月考）点在轴上，且点到点的距离是它到点距离的倍，则点的坐标是 ． 12．（24-25八年级下·贵州·月考）小欣同学学习勾股定理和平行四边形后，对其进行深入探索： 在平面直角坐标系中的位置如图所示，，已知点，点，点M为的中点． 发现一：，，，根据勾股定理得： 发现二：点M的坐标为 如图，在平面直角坐标系中，中，，轴，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)【问题解决】直接写出点C的坐标：______； (2)【知识迁移】根据“发现一”的信息，求线段的长度； (3)【拓展延伸】点D为平面内一点，以点A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，画出所有满足条件的平行四边形，并求的长． 题型四：勾股数的判断 1）确定三个正整数a，b，c； 2）确定最大数c； 3）判断较小两数的平方和是否等于 13．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·月考）下列四组数：①，，1；②5，12，13；③，，；④，，．其中是勾股数的有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 14．（24-25八年级下·陕西安康·期末）有一组勾股数，知道其中的两个数分别是5和12，则第三个数是 ． 15．（2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 ． 题型五：以直角三角形三边为边长的图形面积 勾股数每一层的正方形面积之和均等于底部正方形的面积 16．（24-25八年级下·甘肃平凉·期中）已知图中两个正方形的面积分别为和，则字母A所代表的正方形的面积为（    ） A．4 B．16 C．36 D．64 17．（24-25八年级下·广东深圳·开学考试）如图1，分别以直角三角形三边为边向外作正三角形，面积分别为，，，如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为，，，其中，，，，则（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 18．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·月考）如图是一株美丽的勾股树．所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为，则正方形、、、的面积的和是 ． 19．（24-25八年级下·福建厦门·月考）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边向外作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为 ． 20．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，则 ． 题型六：勾股定理的证明方法 见讲义 21．（24-25八年级下·福建福州·期中）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 22．（24-25八年级上·山西临汾·期末）我们在探究平方差公式“两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差”．即时，利用了如图①的阴影部分面积表示的几何意义，从而验证了的正确性；同样的，在勾股定理的验证过程中，也运用了如图②的图形面积验证其正确性，这种验证方法体现了我们数学的（   ） A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．方程思想 D．类比思想 23．（24-25八年级下·河南商丘·月考）如图1，“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．设，，． (1)利用图1验证勾股定理时，可以用两种不同的方式表示出大正方形的面积． 方式一：中间小正方形面积+4个直角三角形面积： ；（此空列式不化简） 方式二：大正方形的面积公式： ； 通过两种方式的面积相等，可化简成： ，进而验证勾股定理．若，小正方形的边长为7，求的值； (2)如图2，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓（实线）的周长为48，，直接写出这个图案的总面积． 题型七：利用勾股定理求两条线段的平方和/差 24．（24-25八年级下·河南信阳·期末）在中，斜边，则的值为（    ） A．12 B．22 C．32 D．无法计算 25．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，四边形的对角线，相交于点．若，则 ． 26．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点． (1)若，，，，请求出，，，的值． (2)若，，求的值． (3)请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论． 27．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 题型八：勾股定理与无理数 1）“拆分”:利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段(斜边)长的______________. 2)“构造”:以__________为直角三角形斜边的顶点，构造直角三角形. 3)“画弧”:以数轴原点为圆心，以____________为半径画弧，即可在数轴上找到表示该无理数的点. 28．（24-25八年级下·广西百色·期末）如图，数轴上的点A表示的数是1，点表示的数是5，于点，且，以点A为圆心，长为半径画弧交数轴正半轴于点，则点表示的数是（   ） A．6.5 B．6 C． D．5.8 29．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（    ） A． B． C． D． 30．（2025·江苏扬州·三模）如图所示，实数可以用数轴上的点来表示，点A表示的数为，点B表示的数为b，则 ． 31．（2025·广西南宁·二模）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，则的长为 ． 32．（24-25八年级下·河南安阳·月考）如图，数轴上点表示的数分别是、．过点作直线垂直于，在上取点，使，以点为圆心，以为半径作弧，弧与数轴的正半轴交于点．点所表示的数为，已知为的整数部分，为的小数部分． (1)_______； (2)_______，_______； (3)求代数式的值． 题型九：以弦图为背景的计算题 33．（24-25八年级下·山东济南·月考）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A．52 B．48 C．72 D．76 34．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形，连接，分别交，于点，已知，且，则（　　） A．1 B． C． D． 35．（24-25八年级下·山东威海·期末）如图是我国古代数学书上一个重要图形，称为“弦图”．弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成．若，则 ． 36．（24-25八年级下·吉林松原·月考）【资料】如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，该图通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【拓展】根据以上材料，老师将图①进行了拓展： (1)如图①，若黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，每个朱实的面积是_____； (2)如图②，将长方形的四边、、、分别延长至、、、，使得，，连接、、、． ①求证：； ②若，，则图中阴影部分图形的面积为_____． 题型十：勾股定理与折叠问题 找不以折痕为边的直角三角形，通过勾股定理求解 37．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边长，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则等于（    ） A． B． C． D． 38．（24-25八年级下·广东阳江·月考）如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，那么折痕与线段的交点与点的距离为(    ) A． B． C． D． 39．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕．则线段的长为 ． 40．（24-25八年级下·辽宁铁岭·月考）【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长； 【深入探究】 （2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点C落在点处，交于点E．若，，求的长． 题型十一：勾股定理与网格问题 41．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，这是一个由边长均为1的正方形组成的4×1网格，其中长度为的线段是（　　） A． B． C． D． 42．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，图中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的顶点上，则其三边的大小关系正确的是（       ） A． B． C． D． 43．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·月考）在如图的网格中，每个小正方形的边长为a，A、B、C三点均在正方形格点上，若是的高，则的长为 ． 44．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． (1)在图中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； (2)在图中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数； (3)在你所画的图中，求出斜边上的高（每个小正方形的边长为1）． 题型十二： 根据已知条件判断直角三角形 45．（25-26八年级上·四川成都·期末）下列条件能判定是直角三角形的是（   ） A． B．，， C．，， D． 46．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 47．（23-24八年级下·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，为坐标原点．若要使是直角三角形，则点的坐标不可能是（   ） A． B． C． D． 48．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在的正方形网格中，点均在各小正方形的顶点处，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 题型十三： 利用勾股定理逆定理求解 46．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一个三角形的三条边长之比为，周长为，则它的面积为（   ） A． B． C． D． 47．（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）如图，在中，，若将沿折叠，使得点与上的点重合，则的面积为（   ） A． B． C． D． 48．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形中，．则四边形的面积是（    ） A．72 B．66 C．42 D．36 49．（25-26八年级上·山西太原·期中）如图，五根小棒的长度分别是，，，，．现要将它们摆成两个直角三角形，下列摆法中符合要求的是（   ） A．B．C． D． 50．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知一个三角形的三边长分别为，，3，则其最短边上中线的长为 ． 51．（25-26八年级上·陕西西安·月考）小明坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从A点到D点有两条路线，分别是和．已知，，点C在点B的正东方处，点D在点C的正北方处． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如果小亮沿着的路线跑，爸爸沿着的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短． 1．（24-25八年级下·广东湛江·月考）如图，直线，垂足为，直线分别与射线、相交于点、，且，，连接． (1)求线段的长； (2)若点为直线上的一个动点，求点到点的距离的最小值； (3)如图，将沿直线折叠，点落在点处，，垂足为点，求的长． 46．（24-25八年级下·河北廊坊·月考）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者． (1)如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形，，请推导勾股定理． (2)如图2，在中，，垂足为H，求的长． 2．（24-25八年级下·四川泸州·期中）综合与实践 问题情境：在学习了《二次根式》和《勾股定理》后，某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动． 操作发现：“毕达哥拉斯”小组的同学想到借助正方形网格解决问题．如图1是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在图1中画出，共顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点C、A，他们借助此图求出了的面积． 实践探究 （1）在图1中，所画的的三边长分别是，，，的面积为______． 继续探究 “秦九韶”小组的同学想到借助曾经阅读的数学资料：已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积，对此问题中外数学家曾经进行过深入研究．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式，其中． 我国南宋时期数学家秦九韶，给出了著名的秦九韶公式． （2）①一个三角形边长依次为5、6、7，利用海伦公式，求得这个三角形的面积是______． ②一个三角形边长依次为，，，利用秦九韶公式，求得这个三角形的面积是______． （3）“勾股定理”小组经过合作交流，已知任意形状的三角形的三边长也可以用“勾股定理”求出其面积．如图2，在中，，，，求的面积．给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程． ①作于D，设，用含x的代数式表示； ②根据勾股定理，利用作为“桥梁”建立方程，并求出x的值； ③利用勾股定理求出的长，再计算三角形的面积． 3．（广东省江门市第二中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试题）【情境知识技能】学校数学兴趣小组活动时，小红给小波出了一道题： （）如图，在等腰中，，，点在边上，且，小红对小波说：“图中线段、和有一定的数量关系，你知道吗？” 小波毫不思索的回答道：“太简单了，把绕点逆时针转得到，连接，就能证出”．小红微笑着点了点头，并给小波竖起了大拇指． 【解决问题】 ①若，，则______； ②请你帮助小波证明他的结论． 【情境理解应用】 （）小波接着对小红说：“如图，在四边形中，度，，，若，，你知道的长吗？”，小红会意点了头．请帮小红求出的长度． 4．（24-25八年级下·江西南昌·月考）阅读嘉琪的数学日记，思考并解决问题． 2024年9月6日  星期五  天气：晴 从勾股定理到面积关系的思考经过《探索勾股定理》一节的学习，我已经知道：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，则根据勾股定理，易得出，，之间的数量关系：________．如果将正方形改成其他图形，那么这个面积关系是否仍然成立呢？对此，我展开了探究： 如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用、、表示，我发现，、、之间有如下数量关系：________． 理由如下：… 任务一：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用、、表示，请写出、、之间的数量关系：________； 任务二：如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用、、表示，请问：任务一中、、之间的数量关系是否仍然成立？并说明理由； 任务三：如图3，四边形的对角线互相垂直，现以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为、、、，请直接写出、、、之间的数量关系．          5．（24-25八年级下·河北沧州·月考）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．人们对勾股定理的证明趋之若鹜，如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，（），AB=DE=a，AC=AE=b，BC=AD=c，，显然． (1)请用a，b，c分别表示出四边形的面积，（提示：）梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)如图3，网格中小正方形边长为1， ①点P为已给网格中格点上的点，求的最大值为______． ②请利用“等面积法”解决问题：连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高的长度为______． (3)如图4，在中，是边上的高，，，，求的长． 6．（25-26八年级上·上海·月考）在中，，，，点P从点A出发，沿以1个单位每秒的速度向C运动，点Q从点C出发，沿以2个单位每秒的速度向B运动，当时，时间t的值为多少？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点01 勾股定理及逆定理 考点一： 勾股定理 文字语言：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 符号语言：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么. 变式：，， . 【注意】勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形； 【易错题型】求直角三角形的边长时，未分类讨论而致错. 考点二： 勾股定理的证明 考点三： 勾股数 勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即满足关系的3个正整数a，b，c称为勾股数. 勾股数需要满足的两个条件：1）这三个数均是正整数； 2）两个较小数的平方和等于最大数的平方. 判断方法：1）确定三个正整数a，b，c； 2）确定最大数c； 3）判断较小两数的平方和是否等于 【易错点】以勾股数为三边长的三角形是直角三角形，但直角三角形的三条边的长度不一定是勾股数，如1，2，不是勾股数. 考点四： 勾股定理逆定理 文字描述：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边. 注意：只是一种常用的表达形式，并非所有情况下c都表示斜边.在运用勾股定理的逆定理时，应先确定最长边，而不是直接套用.不要把c默认为最长边. 题型一：已知直角三角形两边长求第三边 求直角三角形的边长时，未分类讨论而致错. 1．（24-25八年级下·福建厦门·月考）若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（　　） A．13 B．13或 C．13或15 D．15 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 题目没有明确斜边或直角边，故要分情况讨论：当12为直角边时，当12是斜边时，解答即可． 【详解】解：当12为直角边时，第三边长为， 当12为斜边时，第三边长为， ∴第三边长为13或， 故选：B． 2．（24-25八年级下·山东德州·月考）若直角三角形的两边长分别为，，且满足，则该直角三角形的第三边长为（  ） A．5 B． C．5或 D．5或4 【答案】C 【分析】先利用非负数的性质求出、的值，再分情况讨论这两条边是直角边还是斜边，结合勾股定理计算第三边．本题主要考查了非负数的性质（平方数、绝对值的非负性）以及勾股定理，熟练掌握非负数性质确定、值，再分情况用勾股定理计算第三边是解题的关键． 【详解】解：， ，， 解得，， 当、为直角边时，第三边长为 当为斜边，为直角边时，第三边长为 ∴该直角三角形的第三边长为或， 故选：C． 3．（24-25八年级下·甘肃张掖·月考）若一个直角三角形两直角边之比为，斜边长，则两直角边为 ． 【答案】和 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．设这个直角三角形的两直角边长分别为，再利用勾股定理求出的值，由此即可得． 【详解】解：由题意得：设这个直角三角形的两直角边长分别为， ∴这个直角三角形的斜边长为， ∵斜边长， ∴， 解得， ∴两直角边长分别为，， 故答案为：和． 题型二：用勾股定理解三角形 4．（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，等边三角形的边长为4，则它的高的长为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等边三角形三线合一定理及勾股定理．先根据等边三角形的性质得出，再由得到是的中垂线，即等边三角形的三线合一，得出，最后利用勾股定理得出的值． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴是的中垂线， ∴， 在中，由勾股定理得，． 故选：C． 5．（24-25八年级下·湖南益阳·期中）如图，在中，，是角平分线．若，，则点D到边的距离为（    ） A．6 B．8 C．10 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质和勾股定理等相关知识，理解角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答本题的关键． 作于，由勾股定理计算出可求，再利用角平分线的性质得到即可解答． 【详解】解：作于，如图， 在中，， ∵是的一条角平分线，， ， 则点D到边的距离为6， 故选：A． 6．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，四边形中，，，，，则四边形的面积为 ． 【答案】46 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，利用割补法求面积，二次根式的乘除运算，解题的关键是掌握以上性质和运算法则． 延长交于点，判定出与为等腰直角三角形，得出相等的边，假设，利用勾股定理表示出斜边，然后利用相等的边求出的值，最后利用割补法求四边形的面积即可． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵， ∴与为直角三角形， ∵， ∴， ∴与为等腰直角三角形， ∴，， 假设， 则根据勾股定理得， ∴， 即， 解得， ∴四边形的面积为， 故答案为：46． 7．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：米，米，，，则警示牌的高约为 米．（结果精确到米，参考数据：，） 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，解可得米，解可得，进而求得． 【详解】解：在中，，米， 米； 在中，米，， ∴ ∵ 米， 警示牌的高米． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在一次课外活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A，B两个凉亭之间的距离，已知，现测得，，，请计算A，B两个凉亭之间的距离． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据勾股定理，求出，则，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在中， ， ． 答：A，B两个凉亭之间的距离为． 题型三：已知两点坐标求两点距离 9．（24-25八年级下·云南普洱·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点．已知点，则线段的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了两点之间的距离公式，熟练掌握两点之间的距离公式是解题关键．直接利用两点之间的距离公式解答即可得． 【详解】解：∵为坐标原点，点， ∴线段的长为， 故选：C． 10．（24-25八年级下·四川自贡·月考）代数式的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最短路径问题，勾股定理，理解转化思想是解题的关键． 先根据两点之间的距离公式，把代数式转化为最短路径问题，再根据勾股定理求解． 【详解】解：∵ ∴代数式表示点到和的距离的和，点是轴上的动点， 如图所示，作关于轴的对称点，连接，就是所求的最短路径， ∴ ∴代数式的最小值是． 故选：B． 11．（24-25八年级下·上海金山·月考）点在轴上，且点到点的距离是它到点距离的倍，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查用点的坐标表示线段长度，解题的关键是熟练掌握坐标系中两点之间的距离公式． 设，根据坐标系中两点之间的距离公式，可得，，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：∵点在轴上， ∴设， ∵点到点的距离是它到点距离的倍， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·贵州·月考）小欣同学学习勾股定理和平行四边形后，对其进行深入探索： 在平面直角坐标系中的位置如图所示，，已知点，点，点M为的中点． 发现一：，，，根据勾股定理得： 发现二：点M的坐标为 如图，在平面直角坐标系中，中，，轴，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)【问题解决】直接写出点C的坐标：______； (2)【知识迁移】根据“发现一”的信息，求线段的长度； (3)【拓展延伸】点D为平面内一点，以点A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，画出所有满足条件的平行四边形，并求的长． 【答案】(1) (2) (3)作图见解析；或 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特点，两点间距离公式，平行四边形的特点，熟练掌握平面直角坐标系内点的坐标特点，是解题的关键． （1）根据平面直角坐标系中点的坐标特点，画出图形，得出点C的坐标即可； （2）根据求出线段的长度即可； （3）分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵中，，轴， ∴点C的横坐标与点A的横坐标相同，点B的纵坐标与点C的纵坐标相同， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴点C的坐标为； （2）解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴； （3）解：设点， 当为对角线时，如图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴； 当为对角线时，如图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴； 当为对角线时，如图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴； 综上分析可知：或． 题型四：勾股数的判断 1）确定三个正整数a，b，c； 2）确定最大数c； 3）判断较小两数的平方和是否等于 13．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·月考）下列四组数：①，，1；②5，12，13；③，，；④，，．其中是勾股数的有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】A 【分析】本题考查勾股数，明确勾股数的概念是解题关键．根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，进行判断即可． 【详解】解：①，不是整数，故不是勾股数； ②∵，，， ∴，故是勾股数； ③，，， ∵，，， ∴， 故不是勾股数； ④，，不是整数，故不是勾股数； 其中是勾股数的组为②，只有1组， 故选：A． 14．（24-25八年级下·陕西安康·期末）有一组勾股数，知道其中的两个数分别是5和12，则第三个数是 ． 【答案】13 【分析】本题考查了勾股数，勾股定理，分第三个数是直角边和斜边两种情况解答求出第三个数，再根据勾股数判定即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当第三个数是直角边时，第三个数； 当第三个数是斜边时，第三个数； ∵三个数是一组勾股数， ∴当第三个数为时，不合题意，舍去， ∴第三个数是13， 故答案为：13． 15．（2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解． 【详解】解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； ∴第⑤组勾股数为； 故答案为：． 题型五：以直角三角形三边为边长的图形面积 勾股数每一层的正方形面积之和均等于底部正方形的面积 16．（24-25八年级下·甘肃平凉·期中）已知图中两个正方形的面积分别为和，则字母A所代表的正方形的面积为（    ） A．4 B．16 C．36 D．64 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式．能否由实际的问题，联想到用勾股定理的知识来求解是本题的关键． 根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形的面积和正方形的面积分别表示出的平方及的平方，又三角形为直角三角形，根据勾股定理求出的平方，即为所求正方形的面积． 【详解】解：依题意得 ∵正方形的面积等于， ． 正方形的面积为， ． 为直角三角形，根据勾股定理得： ，即字母A所代表的正方形的面积为． 故选：C． 17．（24-25八年级下·广东深圳·开学考试）如图1，分别以直角三角形三边为边向外作正三角形，面积分别为，，，如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为，，，其中，，，，则（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理、等边三角形的面积、圆的面积，根据图形和勾股定理，可以得到，同理可得，然后根据，，，即可得到的值，本题得以解决． 【详解】解：如图1，，，， ∵， ∴， 如图2， 同理可得，， ∵，，，， ∴， 故选：C． 18．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·月考）如图是一株美丽的勾股树．所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为，则正方形、、、的面积的和是 ． 【答案】/49平方厘米 【分析】本题主要考查了勾股定理，由勾股定理可证明，同理可得，，则． 【详解】解：如图所示，在中，由勾股定理得， 由正方形的面积计算公式可得， ∴， 同理可得，， ∴， 故答案为：． 19．（24-25八年级下·福建厦门·月考）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边向外作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据面积的变化找出变化规律进行计算即可． 【详解】解：正方形的边长为2，如图，连接、相交于点， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， 正方形的边长为2，其面积标记为， ， ， ， ． ， ； 故答案为：． 20．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边．利用勾股定理的几何意义解答． 【详解】解：如图，连接， 由题意可知：，，，． 在直角和中，， 即， ，， ． 故答案为：． 题型六：勾股定理的证明方法 见讲义 21．（24-25八年级下·福建福州·期中）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断． 【详解】解：在图①中，整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积， ∴， 整理得， 故①可以证明勾股定理； 在图②中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ∴， 整理得， 故②可以证明勾股定理； 在图③中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ∴， 整理可得， 故③可以证明勾股定理； 在图④中，连接， 此图也可以看成绕其直角顶点顺时针旋转，再向下平移得到．一方面，四边形的面积等于和的面积之和，另一方面，四边形的面积等于和的面积之和， 所以， 即， 整理：， ， ∴， 故④可以证明勾股定理； ∴能证明勾股定理的是①②③④． 故选：D． 22．（24-25八年级上·山西临汾·期末）我们在探究平方差公式“两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差”．即时，利用了如图①的阴影部分面积表示的几何意义，从而验证了的正确性；同样的，在勾股定理的验证过程中，也运用了如图②的图形面积验证其正确性，这种验证方法体现了我们数学的（   ） A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．方程思想 D．类比思想 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式、勾股定理的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想． 根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想． 【详解】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想， 故选：B． 23．（24-25八年级下·河南商丘·月考）如图1，“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．设，，． (1)利用图1验证勾股定理时，可以用两种不同的方式表示出大正方形的面积． 方式一：中间小正方形面积+4个直角三角形面积： ；（此空列式不化简） 方式二：大正方形的面积公式： ； 通过两种方式的面积相等，可化简成： ，进而验证勾股定理．若，小正方形的边长为7，求的值； (2)如图2，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓（实线）的周长为48，，直接写出这个图案的总面积． 【答案】(1)；；；17 (2)96 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，能用不同的方法表示出大正方形的面积及巧用整体思想是解题的关键． （1）用两种不同的方法去求正方形ABCD的面积即可． （2）利用（1）中发现的结论即可解决问题． （2）设，根据勾股定理建立关于的方程即可解决问题． 【详解】（1）解：①明：∵中间小正方形的边长为， ∴小正方形的面积为． 又∵四个直角三角形的面积为：， ∴大正方形的面积为：． ②又∵大正方形的边长为， ∴大正方形的面积还可以表示为， ③ ④∵，， 故答案为：；；；17； （2）解：设， ∵外围轮廓（实线）的周长为48， 则． 在中， 解得， 即， ． 题型七：利用勾股定理求两条线段的平方和/差 24．（24-25八年级下·河南信阳·期末）在中，斜边，则的值为（    ） A．12 B．22 C．32 D．无法计算 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理．先由勾股定理求得，即可求得的值． 【详解】解：∵在中，斜边， ∴， ∴， 故选：C． 25．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，四边形的对角线，相交于点．若，则 ． 【答案】40 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理得，进而可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ． 故答案为：40． 26．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点． (1)若，，，，请求出，，，的值． (2)若，，求的值． (3)请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论． 【答案】(1)，，， (2) (3)“垂美”四边形对边的平方和相等 【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）根据“垂美”四边形的定义可得，再根据勾股定理即可求解； （2）根据“垂美”四边形的定义可得，进而得到，，根据即可求解； （3）由（1）（2）得到，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是“垂美”四边形，对角线，交于点， ， ，，，， ，，，， ，，，； （2）四边形是“垂美”四边形，对角线，交于点， ， ，， ，， ； （3）由（1）（2）可得：，即“垂美”四边形对边的平方和相等． 27．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； 【分析】本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股定理是解决问题的关键． （1）在和中，分别运用勾股定理可得，，利用边相等，联立两式移项即得证． （2）根据第一问的结论，可求出的值，利用平方差公式，结合，可求得，而，由此可求得、，由勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明： ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， 移项得：． 故． （2）解： ，， ， ， ，即， ， ，解得， ， ． 题型八：勾股定理与无理数 1）“拆分”:利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段(斜边)长的______________. 2)“构造”:以__________为直角三角形斜边的顶点，构造直角三角形. 3)“画弧”:以数轴原点为圆心，以____________为半径画弧，即可在数轴上找到表示该无理数的点. 答案：1）平方 2）数轴原点 3）斜边长 28．（24-25八年级下·广西百色·期末）如图，数轴上的点A表示的数是1，点表示的数是5，于点，且，以点A为圆心，长为半径画弧交数轴正半轴于点，则点表示的数是（   ） A．6.5 B．6 C． D．5.8 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据勾股定理求无理数，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 根据勾股定理可以得到，可以得到，即可写出点D所表示的数． 【详解】解：由图可得，， ∵，， ， ， ∴点D所表示的数为， 故选：B． 29．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，根据勾股定理可求出点A处所表示的数到0的距离为，进而可得答案． 【详解】解：由图可得，点A处所表示的数到0的距离为， ∴图中标注在点A处所表示的数为． 故选：B． 30．（2025·江苏扬州·三模）如图所示，实数可以用数轴上的点来表示，点A表示的数为，点B表示的数为b，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是实数与数轴，勾股定理的应用，如图，先计算，，可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴，， ∵点A表示的数为，点B表示的数为b， ∴， 故答案为：． 31．（2025·广西南宁·二模）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，由勾股定理可得表示的数，从而可得表示的数是2，再结合题意得出，即可推出表示的数是，再结合题意可得表示的数是3，从而即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得表示的数是， 右侧最近的整数点为， 表示的数是2， ∴， ∵以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点， ∴，即表示的数是， ∵记右侧最近的整数点为， ∴表示的数是3， ∴， 故答案为：． 32．（24-25八年级下·河南安阳·月考）如图，数轴上点表示的数分别是、．过点作直线垂直于，在上取点，使，以点为圆心，以为半径作弧，弧与数轴的正半轴交于点．点所表示的数为，已知为的整数部分，为的小数部分． (1)_______； (2)_______，_______； (3)求代数式的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（）利用勾股定理可得，即得，再根据数轴上两点间公式即可求解； （）利用夹逼法估算出的取值范围，进而即可求解； （）把（）所得的值代入计算即可求解； 本题考查了实数与数轴，无理数的估算，代数式求值等，掌握无理数的估算的估算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵直线垂直于， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点对应的数， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵为的整数部分， ∴， 又∵为的小数部分， ∴， 故答案为：，； （3）解：，， ． 题型九：以弦图为背景的计算题 33．（24-25八年级下·山东济南·月考）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A．52 B．48 C．72 D．76 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．先根据勾股定理求出的长度， 然后利用外围周长即可求解． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵， ∴ ， ∴风车的外围周长是； 故选：D． 34．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形，连接，分别交，于点，已知，且，则（　　） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据已知条件设出和的长度，再利用勾股定理求出的长度，最后再次利用勾股定理求出的长度．本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：， 设， 由题意得，， ， ， ， ， ， ， 故选： 35．（24-25八年级下·山东威海·期末）如图是我国古代数学书上一个重要图形，称为“弦图”．弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成．若，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理和弦图，解一元二次方程， 设，，表示出，然后根据得到，整理为，然后解方程即可． 【详解】解：∵弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成 ∴设， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴整理得， ∴ 解得 ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 36．（24-25八年级下·吉林松原·月考）【资料】如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，该图通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【拓展】根据以上材料，老师将图①进行了拓展： (1)如图①，若黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，每个朱实的面积是_____； (2)如图②，将长方形的四边、、、分别延长至、、、，使得，，连接、、、． ①求证：； ②若，，则图中阴影部分图形的面积为_____． 【答案】(1)6 (2)①证明见解析；②37 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，可得，可求，即可求解； （2）①由可证，可得； ②由面积的和差关系可求解． 【详解】（1）解：∵黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25， ∴， ∴， ∴每个朱实的面积， 故答案为：6； （2）①证明：∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②解：∵， ∴， ∴阴影部分图形的面积， 故答案为：37． 题型十：勾股定理与折叠问题 找不以折痕为边的直角三角形，通过勾股定理求解 37．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边长，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了翻折的性质，勾股定理，解一元一次方程，解题的关键是掌握以上性质． 根据翻折的性质得出，假设，表示出相关线段的长度，利用勾股定理列出方程，求解即可． 【详解】解：根据翻折的性质得，， 假设，则， 根据勾股定理得， 即， 解得， ∴， 故选：C． 38．（24-25八年级下·广东阳江·月考）如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，那么折痕与线段的交点与点的距离为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，设，则由折叠的性质可得，根据中点的定义可得，在中，根据勾股定理可得关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：设，由折叠的性质可得， 是的中点，， ， 在中，， 解得． 即． 故选：C． 39．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕．则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是折叠问题及勾股定理，由折叠性质可知，设，则，利用勾股定理可以求出最后结果． 【详解】解：为中点， ， 由折叠的性质可知：， 设，则， 在中，， ， 解得：， 故答案为：． 40．（24-25八年级下·辽宁铁岭·月考）【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长； 【深入探究】 （2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点C落在点处，交于点E．若，，求的长． 【答案】（1）12；（2）3 【分析】此题考查了图形的翻折变换及其性质，勾股定理． （1）先求出，由折叠性质得：，在中，由勾股定理即可求出的长； （2）根据长方形性质得，，，由折叠性质得，，由此依据判定和全等得，设，则，，然后在中，由勾股定理求出，继而可得的长． 【详解】解：（1）在中，，， ∵， ∴， 由折叠性质得：， 在中，由勾股定理得：； （2）∵四边形是长方形，，， ∴，，， 由折叠性质得：，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 题型十一：勾股定理与网格问题 41．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，这是一个由边长均为1的正方形组成的4×1网格，其中长度为的线段是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理，正方形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理分别求出，根据题意判断即可． 【详解】解：如图： 由正方形可得， 由勾股定理得：，， ， ， 则长度为的线段是， 故选：C． 42．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，图中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的顶点上，则其三边的大小关系正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，无理数的大小比较．根据勾股定理分别求出三边的大小，再比较，即可． 【详解】解：， ∵， ∴． 故选：A 43．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·月考）在如图的网格中，每个小正方形的边长为a，A、B、C三点均在正方形格点上，若是的高，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． 先根据网格中的边长，利用勾股定理求出，，，再根据勾股定理的逆定理判断的形状，最后根据三角形的面积公式建立等式求解的长． 【详解】解： ，，， ，，， ， 是直角三角形， ， 得：， ． 故答案为：． 44．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． (1)在图中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； (2)在图中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数； (3)在你所画的图中，求出斜边上的高（每个小正方形的边长为1）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，准确的理解勾股定理和构造直角三角形是解题的关键． （1）画一个边长为3,4,5的三角形即可； （2）利用勾股定理，找长为、和4的线段，画三角形即可； （3）根据等积法求出斜边上的高即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形；（答案不唯一） ； （2）解：如图，即为所求作的三角形．（答案不唯一） ，； （3）解：设直角三角形斜边上的高为h，则， ∴． 题型十二： 根据已知条件判断直角三角形 45．（25-26八年级上·四川成都·期末）下列条件能判定是直角三角形的是（   ） A． B．，， C．，， D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的判定，勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，通过角的关系(三角形内角和为)或边的关系(勾股定理逆定理、三角形三边关系)来判断． 【详解】解：对于选项A，设，，， ， ，解得， 则，不是直角三角形； 对于选项B，， ∴不满足三角形三边关系，不能构成三角形； 对于选项C，， ∴不满足三角形三边关系，不能构成三角形； 对于选项D，，且， ， 解得，是直角三角形； 故选：D． 46．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个． 【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选C． 47．（23-24八年级下·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，为坐标原点．若要使是直角三角形，则点的坐标不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形的性质，直角三角形的性质，勾股定理的逆定理．根据题意，画出图即可，见详解． 【详解】解：如图所示，点的坐标不可能是， A.点时，，此项不符合题意； B.点时，，此项不符合题意； C.点时，如图，不是直角三角，符合题意； D.点时，由勾股定理求得,故，即,此项不符合题意； 故选：C．    48．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在的正方形网格中，点均在各小正方形的顶点处，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，等腰三角形的判定和性质，设小正方形的边长为1，根据勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：设小正方形的边长为1，连接， 由勾股定理，得， ，， ∴，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 由图可知：与不平行； 综上：只有选项A正确； 故选A． 题型十三： 利用勾股定理逆定理求解 46．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一个三角形的三条边长之比为，周长为，则它的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设三边长为，，，根据周长求出，再验证是否为直角三角形，最后计算面积． 本题主要考查勾股定理的逆定理的理解与运用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵三边之比为， ∴设三边分别为，，． ∵周长为， ∴， ∴． ∴三边分别为，，． ∵， ∴三角形为直角三角形，直角边为和． ∴面积为． 故选：D． 47．（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）如图，在中，，若将沿折叠，使得点与上的点重合，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，掌握三角形高相等，面积之比等于底之比是解题的关键． 先用勾股定理的逆定理，得到是直角三角形，根据边长求出的面积，再由折叠可知和有一条高相等，则面积之比等于底之比，即可求解． 【详解】解：， ， 是直角三角形， ， 由折叠可知， ， ． 故选：B． 48．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形中，．则四边形的面积是（    ） A．72 B．66 C．42 D．36 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理及直角三角形面积计算，解题的关键是通过连接对角线将四边形分割为两个直角三角形，利用勾股定理及其逆定理分析三角形形状． 连接，先在中用勾股定理求；再通过勾股定理逆定理判断为直角三角形；最后分别计算两个直角三角形的面积并求和，得到四边形面积． 【详解】解：连接，如图： 在中， ， ， ， 在中， ， ， ， ∴是直角三角形， ， ∴四边形的面积为． 49．（25-26八年级上·山西太原·期中）如图，五根小棒的长度分别是，，，，．现要将它们摆成两个直角三角形，下列摆法中符合要求的是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解． 【详解】解： ，， 为两个直角三角形的斜边， 故选：B． 50．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知一个三角形的三边长分别为，，3，则其最短边上中线的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形的中线，先由勾股定理逆定理得出该三角形为直角三角形，得出最短边为，从而可得最短边的一半为，再由勾股定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴该三角形为直角三角形， ∵， ∴， ∴最短边为， ∴最短边的一半为， 故由勾股定理可得：其最短边上中线的长为， 故答案为：． 51．（25-26八年级上·陕西西安·月考）小明坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从A点到D点有两条路线，分别是和．已知，，点C在点B的正东方处，点D在点C的正北方处． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如果小亮沿着的路线跑，爸爸沿着的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短． 【答案】(1)，理由见详解 (2)小亮跑的路线更短 【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据题意，可得，进而利用勾股定理的逆定理即可推理出是直角三角形，即可求解； （2）在中，由勾股定理求得的长度，求和的长度，比较即可求解． 【详解】（1）解：， 理由：已知，，点C在点B的正东方处， 即， ∵， ∴是直角三角形，， ∴． （2）解：由题意知，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 而， ∵， ∴， ∴小亮跑的路线更短． 1．（24-25八年级下·广东湛江·月考）如图，直线，垂足为，直线分别与射线、相交于点、，且，，连接． (1)求线段的长； (2)若点为直线上的一个动点，求点到点的距离的最小值； (3)如图，将沿直线折叠，点落在点处，，垂足为点，求的长． 46．（24-25八年级下·河北廊坊·月考）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者． (1)如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形，，请推导勾股定理． (2)如图2，在中，，垂足为H，求的长． 2．（24-25八年级下·四川泸州·期中）综合与实践 问题情境：在学习了《二次根式》和《勾股定理》后，某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动． 操作发现：“毕达哥拉斯”小组的同学想到借助正方形网格解决问题．如图1是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在图1中画出，共顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点C、A，他们借助此图求出了的面积． 实践探究 （1）在图1中，所画的的三边长分别是，，，的面积为______． 继续探究 “秦九韶”小组的同学想到借助曾经阅读的数学资料：已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积，对此问题中外数学家曾经进行过深入研究．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式，其中． 我国南宋时期数学家秦九韶，给出了著名的秦九韶公式． （2）①一个三角形边长依次为5、6、7，利用海伦公式，求得这个三角形的面积是______． ②一个三角形边长依次为，，，利用秦九韶公式，求得这个三角形的面积是______． （3）“勾股定理”小组经过合作交流，已知任意形状的三角形的三边长也可以用“勾股定理”求出其面积．如图2，在中，，，，求的面积．给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程． ①作于D，设，用含x的代数式表示； ②根据勾股定理，利用作为“桥梁”建立方程，并求出x的值； ③利用勾股定理求出的长，再计算三角形的面积． 3．（广东省江门市第二中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试题）【情境知识技能】学校数学兴趣小组活动时，小红给小波出了一道题： （）如图，在等腰中，，，点在边上，且，小红对小波说：“图中线段、和有一定的数量关系，你知道吗？” 小波毫不思索的回答道：“太简单了，把绕点逆时针转得到，连接，就能证出”．小红微笑着点了点头，并给小波竖起了大拇指． 【解决问题】 ①若，，则______； ②请你帮助小波证明他的结论． 【情境理解应用】 （）小波接着对小红说：“如图，在四边形中，度，，，若，，你知道的长吗？”，小红会意点了头．请帮小红求出的长度． 4．（24-25八年级下·江西南昌·月考）阅读嘉琪的数学日记，思考并解决问题． 2024年9月6日  星期五  天气：晴 从勾股定理到面积关系的思考经过《探索勾股定理》一节的学习，我已经知道：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，则根据勾股定理，易得出，，之间的数量关系：________．如果将正方形改成其他图形，那么这个面积关系是否仍然成立呢？对此，我展开了探究： 如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用、、表示，我发现，、、之间有如下数量关系：________． 理由如下：… 任务一：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用、、表示，请写出、、之间的数量关系：________； 任务二：如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用、、表示，请问：任务一中、、之间的数量关系是否仍然成立？并说明理由； 任务三：如图3，四边形的对角线互相垂直，现以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为、、、，请直接写出、、、之间的数量关系．          5．（24-25八年级下·河北沧州·月考）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．人们对勾股定理的证明趋之若鹜，如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，（），AB=DE=a，AC=AE=b，BC=AD=c，，显然． (1)请用a，b，c分别表示出四边形的面积，（提示：）梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)如图3，网格中小正方形边长为1， ①点P为已给网格中格点上的点，求的最大值为______． ②请利用“等面积法”解决问题：连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高的长度为______． (3)如图4，在中，是边上的高，，，，求的长． 6．（25-26八年级上·上海·月考）在中，，，，点P从点A出发，沿以1个单位每秒的速度向C运动，点Q从点C出发，沿以2个单位每秒的速度向B运动，当时，时间t的值为多少？ 【答案】2或 【分析】本题考查了勾股定理、利用平方根解方程，熟练掌握勾股定理是解题关键．先画出图形，求出的长，再在中，利用勾股定理建立方程，利用平方根解方程即可得． 【详解】解：画出图形如下： 由题意可知，，，点从点出发沿运动到点所需时间为（秒），点从点出发沿运动到点所需时间为（秒）， ∵， ∴， ∵在中，，， ∴，即， 整理得：， ∴或， ∴或，均符合题意； 综上，时间的值为2或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $