专题 20.2 勾股定理的逆定理及其应用（知识梳理 + 题型精析 +中考模拟真题）- 2025-2026学年人教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 20.2 勾股定理的逆定理及其应用（知识梳理+题型精析+中考模拟真题） 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】勾股定理的逆定理 1 【知识点二】勾股数 1 二.题型精析 2 【基础篇】 2 ★【题型 1】判断三边能否构成直角三角形 2 ★【题型 2】勾股数的判断 2 ★【题型 3】网格上判断直角三角形 3 ★【题型 4】利用勾股定理的逆定理求解 4 ★【题型 5】勾股定理逆定理实际应用 5 【培优篇】 6 ★★【题型 6】勾股数规律问题探究 6 ★★★【题型 7】勾股定理逆定理综合求值证明 7 ★★★【题型 8】勾股定理逆定理拓展问题 8 三.中考模拟真题 9 （一）单选题（5题） 9 （二）填空题（4题） 10 （三）解答题（2题） 11 一.知识梳理 【知识点一】勾股定理的逆定理 如果三角形三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形。 【要点提示】（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 【知识点二】勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 【要点提示】熟悉下列勾股数，对解题有很大帮助：　 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41…… 二.题型精析 【基础篇】 【题型】前带★表示基础题，带★★表示中档题，带★★★表示拨高题 ★【题型 1】判断三边能否构成直角三角形 【例题1】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，是上一点，连接，，，，． (1)求证：； (2)求的长． 【变式1】（25-26八年级上·山东青岛·期末）下列各组数，能构成直角三角形的一组是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】（25-26八年级上·广东佛山·期末）边长为a，，5的三角形是直角三角形，则 ． 【变式3】（25-26八年级上·重庆北碚·期末）已知的三边分别是a、b、c． (1)若，且a、b、c都是正整数，求周长的最大值． (2)若，判断的形状并说明理由． ★【题型 2】勾股数的判断 【例题2】（25-26七年级上·全国·单元测试）判断下列各组数是不是勾股数． (1)3，4，7； (2)5，12，13； (3)； 【变式1】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）下列各组数是勾股数的是（    ） A．13，14，15 B．3，4，6 C．0.3，0.4，0.5 D．6，8，10 【变式2】（24-25八年级下·陕西商洛·期末）若5、m、13是一组勾股数，则m的值为 ． 【变式3】（23-24七年级下·全国·假期作业）判断下列各组数是不是勾股数． (1)3，4，7； (2)5，12，13； (3)； (4)3，，5． ★【题型 3】网格上判断直角三角形 【例题3】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的面积． 【变式1】（25-26八年级上·河南新乡·期末）在如图所示的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图所示，在边长为1的小正方形网格中，若的顶点都在格点上，则 ． 【变式3】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点均在网格线的交点上． (1)直接写出三边的长度． (2)判断的形状，并说明理由． ★【题型 4】利用勾股定理的逆定理求解 【例题4】（25-26八年级上·福建·期末）如图，四边形，，，，连接，且． (1)求的长； (2)若，求的长． 【变式1】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，若的周长为28，则的长为（   ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【变式2】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知一个三角形的三边长分别为，，3，则其最短边上中线的长为 ． 【变式3】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，D为边上一点，且，． (1)求证：； (2)求的面积． ★【题型 5】勾股定理逆定理实际应用 【例题5】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图所示，池底某点反射的光从水中斜射向空气时会发生偏折，人眼看去，就会感觉点O的位置升高到处，即池水看起来比实际的浅，这是光的折射现象．已知O，，B三点共线，，，，，池水看起来变浅了多少？（即求的长度） 【变式1】（25-26八年级下·全国·周测）如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路，经测量，，．现需修建一条小路从学校到公路，则这条小路的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）为了增强学生的环保意识和生态意识，阳明中学在植树节当天组织了植树活动．这次植树活动中，小洛所在班级一共植树12棵，按图中所示的方式进行分布，已知每相邻的两棵树之间的距离是，则小洛所在班级植树围成的区域（）的面积为 ． 【变式3】（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图是某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架，，两轮中心的距离． (1)判断支架，是否垂直； (2)求点C到的距离 【培优篇】 ★★【题型 6】勾股数规律问题探究 【例题6】（25-26八年级上·江苏南京·期中）如果满足等式的a，b，c是三个正整数，我们称a，b，c为勾股数． (1)已知m，n是正整数且，证明：，，是勾股数． (2)请写出任意一组含有68的“勾股数”： ． 【变式1】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）观察以下的等式，等式左边为直角三角形两直角边长的平方和，等式右边为直角三角形斜边长的平方，现有一个一条直角边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数（满足图中等式关系），则这个直角三角形的周长为（    ） A．56 B．82 C．112 D．144 【变式2】（24-25八年级下·湖北孝感·期中）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：．分析上面勾股数组可以发现，，分析上面规律，第9个勾股数组为 ． 【变式3】（25-26八年级上·广东清远·期中）（1）我们知道像3，4，5这样三个整数是一组勾股数，那么，，（k是正整数）是一组勾股数吗？请说明理由； （2）如果a，b，c是一组勾股数，那么，，（k是正整数）也是一组勾股数吗？请说明理由． （3）如果m表示大于1的整数，，，，请说明a，b，c为勾股数． ★★★【题型 7】勾股定理逆定理综合求值证明 【例题7】（2025九年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形． (1)如图1，在中，，垂直平分交于点，垂足为，且，，为上一点，求证：四边形是邻余四边形； (2)如图2，在邻余四边形中，（和均为钝角），为的中点，，，时，求的长． 【变式1】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，，，，．则_____°． A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·云南昭通·月考）如图，在中，点为的中点，，，，则边上的高为 ． 【变式3】（25-26八年级上·陕西·期中）如图，在中，点是边的中点，交于点，连接，且． (1)求证： (2)若，，求的长度． ★★★【题型 8】勾股定理逆定理拓展问题 【例题8】（23-24八年级下·福建莆田·月考）定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 【变式1】（24-25八年级下·湖南湘西·月考）在中，，则（    ） A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．都有可能 【变式2】（20-21八年级上·河北承德·期末）阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是 ； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为 ； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是 三角形． 【变式3】（20-21八年级上·江西吉安·期末）先观察下列各组数，然后回答问题： 第一组：，，； 第二组：，，； 第三组：，，； 第四组：，，； （1）根据各组数反映的规律，用含的代数式表示第组的三个数； （2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由； （3）如图，，，，若，，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且，，求的长． 三.中考模拟真题 （一）单选题（5题） 1．（2025·云南文山·模拟预测）下列各组数中，不能组成直角三角形的是（   ） A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．7，9，13 2．（2023·山东·中考真题）的三边长a，b，c满足，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 3．（2025·四川南充·二模）在网格中，三角形的顶点在格点上，求的值（      ） A． B． C． D．不确定 4．（2025·安徽芜湖·二模）如图，中为上的中线，，垂足为，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·云南丽江·模拟预测）如图，在平行四边形中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，若，，，则的长为（　　） A．15 B．6 C．6 D．4 （二）填空题（4题） 6．（2025·江苏盐城·一模）如图所示的网格是由相同的小正方形组成的网格，点是网格线的交点，则 ． 7．（2025·江西·模拟预测）如图，在中，，D，E两点分别在直线和直线上运动（点E不与点C重合）．若与全等，则线段的长为 ． 8．（2023·广东东莞·模拟预测）如图，在四边形中，，，四边形的面积是 ． 9．（2025·湖南·中考真题）已知，，，是的三条边长，记，其中为整数． （1）若三角形为等边三角形，则 ； （2）下列结论正确的是 （写出所有正确的结论） ①若，，则为直角三角形 ②若，，，则 ③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为7 （三）解答题（2题） 10．（2023·吉林·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．    11．（2025·江苏常州·中考真题）在四边形中，对角线、相交于点O，，． (1)若是等腰三角形，则_______； (2)已知，． ①若，判断四边形是怎样的特殊四边形，并说明理由； ②如图，在中，，求的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 20.2 勾股定理的逆定理及其应用（知识梳理+题型精析+中考模拟真题） 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】勾股定理的逆定理 1 【知识点二】勾股数 1 二.题型精析 2 ★【题型 1】判断三边能否构成直角三角形 2 ★【题型 2】勾股数的判断 5 ★【题型 3】网格上判断直角三角形 7 ★【题型 4】利用勾股定理的逆定理求解 9 ★【题型 5】勾股定理逆定理实际应用 13 ★★【题型 6】勾股数规律问题探究 16 ★★★【题型 7】勾股定理逆定理综合求值证明 19 ★★★【题型 8】勾股定理逆定理拓展问题 24 三.中考真题 29 （一）单选题（5题） 29 （二）填空题（4题） 33 （三）解答题（2题） 38 一.知识梳理 【知识点一】勾股定理的逆定理 如果三角形三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形。 【要点提示】（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 【知识点二】勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 【要点提示】熟悉下列勾股数，对解题有很大帮助：　 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41…… 二.题型精析 【基础篇】 【题型】前带★表示基础题，带★★表示中档题，带★★★表示拨高题 ★【题型 1】判断三边能否构成直角三角形 【例题1】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，是上一点，连接，，，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）根据勾股定理逆定理证明为直角三角形，即可得出； （2）根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， ∴为直角三角形， ， ； （2）解：， ． 【变式1】（25-26八年级上·山东青岛·期末）下列各组数，能构成直角三角形的一组是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理． 利用勾股定理的逆定理，验证每组数中两较小边的平方和是否等于最长边的平方，若相等则能构成直角三角形． 【详解】解：对于选项，，，，以，，为边不能组成直角三角形，故不符合题意； 对于选项，，，，以，，为边不能组成直角三角形，故不符合题意； 对于选项，，，，以，，为边不能组成直角三角形，故不符合题意； 对于选项，，，，以，，为边能组成直角三角形，故符合题意； 故选：． 【变式2】（25-26八年级上·广东佛山·期末）边长为a，，5的三角形是直角三角形，则 ． 【答案】3或12 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解决本题的关键． 根据勾股定理，分三种情况讨论哪条边为斜边，解方程即可得解． 【详解】解：当斜边为5时，则 解得或（舍去）， 此时边长为3，4，5，满足三角形条件． 当斜边为时，则 解得， 此时边长为12，13，5，满足三角形条件． 当斜边为时，则 解得（舍去）． 故或． 故答案为：3或12． 【变式3】（25-26八年级上·重庆北碚·期末）已知的三边分别是a、b、c． (1)若，且a、b、c都是正整数，求周长的最大值． (2)若，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)25 (2)等腰三角形或直角三角形 【分析】本题考查了完全平方公式的应用、平方的非负性、三角形三边关系及因式分解的应用． （1）先将已知等式通过完全平方公式变形，再根据平方的非负性求出a、b的值，最后根据三角形三边关系求出c的取值范围，进而求出周长的最大值； （2）先对已知等式进行移项，然后通过因式分解将等式变形，再根据因式分解的结果判断的形状． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴且， 解得，， 根据三角形三边关系，可得，即， ∵c是正整数， ∴c的最大值为12， ∴周长的最大值为． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵a，b，c是三角形的三边， ∴， ∴或， 当时，，此时是等腰三角形； 当时，，此时是直角三角形， ∴是等腰三角形或直角三角形． ★【题型 2】勾股数的判断 【例题2】（25-26七年级上·全国·单元测试）判断下列各组数是不是勾股数． (1)3，4，7； (2)5，12，13； (3)； 【答案】(1)不是 (2)是 (3)不是 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．根据勾股数的定义（可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数．）及勾股定理的逆定理计算判断即可． （1）分别计算三边的平方，即可完成判断； （2）分别计算三边的平方，即可完成判断； （3）根据勾股数不能为分数完成判断． 【详解】（1）解：因为， 所以3，4，7不是勾股数； （2）解：因为， 所以5，12，13是勾股数； （3）解：因为勾股数不能为分数， 所以不是勾股数． 【变式1】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）下列各组数是勾股数的是（    ） A．13，14，15 B．3，4，6 C．0.3，0.4，0.5 D．6，8，10 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股数的定义．根据能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即可求解． 【详解】解：A、∵，∴13，14，15不是勾股数，该选项不符合题意； B、∵，∴3，4，6不是勾股数，该选项不符合题意； C、∵0.3，0.4，0.5都不是整数，∴0.3，0.4，0.5不是勾股数，该选项不符合题意； D、∵，∴6，8，10是勾股数，该选项符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·陕西商洛·期末）若5、m、13是一组勾股数，则m的值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股数．勾股数是正整数且满足较大的数的平方等于较小的两个数的平方和，理解题意，先分情况讨论m是斜边或13是斜边，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，当m为斜边时，由勾股定理得， 即， 解得，不是正整数，舍去； 当13为斜边时，由勾股定理得， 即， ∴， 解得（负值已舍去）， 故答案为：12． 【变式3】（23-24七年级下·全国·假期作业）判断下列各组数是不是勾股数． (1)3，4，7； (2)5，12，13； (3)； (4)3，，5． 【答案】(1)不是 (2)是 (3)不是 (4)不是 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．根据勾股数的定义(凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数.)及勾股定理的逆定理计算判断即可． （1）分别计算三边的平方，即可完成判断； （2）分别计算三边的平方，即可完成判断； （3）根据勾股数不能为分数完成判断； （3）根据勾股数不能为负数完成判断； 【详解】（1）解：因为, 所以3，4，7不是勾股数； （2）因为, 所以5，12，13是勾股数； （3）因为勾股数不能为分数，所以不是勾股数； （4）因为勾股数不能为负数，所以3，-4，5不是勾股数． ★【题型 3】网格上判断直角三角形 【例题3】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的面积． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的三边长，再利用勾股定理的逆定理求解即可； （2）根据（1）可得，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： 由勾股定理和网格的特点可得，， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：由（1）可得， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·河南新乡·期末）在如图所示的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 由勾股定理推出，再由勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，即可得出结论． 【详解】解：由勾股定理得：，，， ，且， 是等腰直角三角形，且， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图所示，在边长为1的小正方形网格中，若的顶点都在格点上，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理．延长至点D，连接，根据勾股定理逆定理可得为等腰直角三角形，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，延长至点D，连接， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 【变式3】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点均在网格线的交点上． (1)直接写出三边的长度． (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题关键． （1）根据网格特点，利用勾股定理求解即可得； （2）利用勾股定理的逆定理求解即可得． 【详解】（1）解：由网格可知，， ， ． （2）解：由（1）已得：，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． ★【题型 4】利用勾股定理的逆定理求解 【例题4】（25-26八年级上·福建·期末）如图，四边形，，，，连接，且． (1)求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理及逆定理，解题关键是通过构造全等三角形，将求线段的长度转化为直角三角形的边长计算． （1）根据勾股定理求出即得； （2）延长，过点作，垂足为点，证明；得，得，即得． 【详解】（1）解：在中，， ； ， ． （2）解：如图，延长，过点作，垂足为点， ； ， ， ， ， ； ， ， ； ， ， ， ． 【变式1】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，若的周长为28，则的长为（   ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【答案】A 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理．根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到，再利用勾股定理的逆定理求得，设，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长为28， ∴， ∴，又， ∴， 设，， ∵，，，， ∴， ∴， 在中，，，， 由勾股定理得，即， 解得， 即， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知一个三角形的三边长分别为，，3，则其最短边上中线的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形的中线，先由勾股定理逆定理得出该三角形为直角三角形，得出最短边为，从而可得最短边的一半为，再由勾股定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴该三角形为直角三角形， ∵， ∴， ∴最短边为， ∴最短边的一半为， 故由勾股定理可得：其最短边上中线的长为， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，D为边上一点，且，． (1)求证：； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)84 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据，，，得，证明； （2）根据勾股定理，得，求得，计算的面积即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴. （2）解：∵， ，， ∴， ∴， ∴的面积为：． ★【题型 5】勾股定理逆定理实际应用 【例题5】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图所示，池底某点反射的光从水中斜射向空气时会发生偏折，人眼看去，就会感觉点O的位置升高到处，即池水看起来比实际的浅，这是光的折射现象．已知O，，B三点共线，，，，，池水看起来变浅了多少？（即求的长度） 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，利用勾股定理的逆定理可得，利用勾股定理可得的长，再求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ， 答：池水看起来变浅了． 【变式1】（25-26八年级下·全国·周测）如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路，经测量，，．现需修建一条小路从学校到公路，则这条小路的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理与三角形面积公式，解题关键是先判定直角三角形，再利用面积法求点到直线的最短距离．先通过勾股定理的逆定理判断的形状，再利用三角形面积公式求出点到 （公路）的最短距离（即高）． 【详解】解：∵，， ∴． ∴是直角三角形，． 点到公路的最短距离是中边上的高，根据三角形面积公式： 解得：． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）为了增强学生的环保意识和生态意识，阳明中学在植树节当天组织了植树活动．这次植树活动中，小洛所在班级一共植树12棵，按图中所示的方式进行分布，已知每相邻的两棵树之间的距离是，则小洛所在班级植树围成的区域（）的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据题意可知，m，m，m，根据勾股定理的逆定理可得到，再由三角形面积公式计算即可． 【详解】解：由题意可知，m，m，m， ∵ ∴ ∴小洛所在班级植树围成的区域的面积为． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图是某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架，，两轮中心的距离． (1)判断支架，是否垂直； (2)求点C到的距离 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理逆定理，进行求解即可； （2）过C作于D，利用等面积法进行计算即可． 【详解】（1）解：， 理由：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴． （2）解：如图，过C作于D， ∵， ∴，解得， 即点C到的距离为． 【培优篇】 ★★【题型 6】勾股数规律问题探究 【例题6】（25-26八年级上·江苏南京·期中）如果满足等式的a，b，c是三个正整数，我们称a，b，c为勾股数． (1)已知m，n是正整数且，证明：，，是勾股数． (2)请写出任意一组含有68的“勾股数”： ． 【答案】(1)见解析 (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查勾股数，熟练掌握勾股数，是解题的关键： （1）证明，即可； （2）由（1）将分解为，由（1）得到与，可以构成勾股数，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵m，n是正整数且， ∴，，均是正整数， ∵； 故，，是勾股数． （2）， 由（1）可知，与可以构成勾股数； 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）观察以下的等式，等式左边为直角三角形两直角边长的平方和，等式右边为直角三角形斜边长的平方，现有一个一条直角边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数（满足图中等式关系），则这个直角三角形的周长为（    ） A．56 B．82 C．112 D．144 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，勾股数，根据题干等式得到其规律是解题的关键． 根据给定的等式模式，直角三角形三边可表示为 、 和 ，其中 为整数．已知一条直角边为 14，分别令 和 求解 ，从而得到直角三角形三边长度，进而计算周长，即可解题． 【详解】解：∵ 等式模式为 （的整数）， 且一条直角边为 14， 情况一：令 ， 解得 ， 则另一条直角边为 ，斜边为 ， 三边为 14， 48， 50，满足勾股定理， 周长为 ． 情况二：令 ， 解得 ， 非整数，不符合勾股数为整数的要求． 综上所述，这个直角三角形的周长为 112， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·湖北孝感·期中）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：．分析上面勾股数组可以发现，，分析上面规律，第9个勾股数组为 ． 【答案】（19，180，181） 【分析】本题主要考查了勾股数，解题的关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理． 由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，，…可得第9组勾股数中间的数为：，进而得出（19，180，181）． 【详解】解：由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，，…可得第9组勾股数中间的数为：，进而得出（19，180，181）． 故答案为（19，180，181）． 【变式3】（25-26八年级上·广东清远·期中）（1）我们知道像3，4，5这样三个整数是一组勾股数，那么，，（k是正整数）是一组勾股数吗？请说明理由； （2）如果a，b，c是一组勾股数，那么，，（k是正整数）也是一组勾股数吗？请说明理由． （3）如果m表示大于1的整数，，，，请说明a，b，c为勾股数． 【答案】（1）是勾股数，见解析；（2）是勾股数，见解析；（3）是勾股数，见解析 【分析】本题考查了勾股数的定义，欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和等于最长边的平方； （1）直接利用勾股数的定义去验证即可； （2）根据勾股数的定义得出，推出的成立即可； （3）得到即可得到这是一组勾股数． 【详解】解：（1），，（k是正整数）， ， ，，是一组勾股数； （2）a，b，c是一组勾股数， ∴，，（k是正整数）也是一组正整数， ， ， ∴，，（k是正整数）也是一组勾股数； （3）表示大于1的整数， 由，，得到、、均为正整数； 又， 而， ， 、、为勾股数． ★★★【题型 7】勾股定理逆定理综合求值证明 【例题7】（2025九年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形． (1)如图1，在中，，垂直平分交于点，垂足为，且，，为上一点，求证：四边形是邻余四边形； (2)如图2，在邻余四边形中，（和均为钝角），为的中点，，，时，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）先结合垂直平分线的性质，得，再结合，，运用勾股逆定理得是直角三角形，则根据直角三角形的两个锐角互余，得是直角三角形，即可作答． （2）先理解题意，运用倍长中线法证明，根据邻余四边形的定义，得出，根据勾股定理，得，又因为，证明，即可作答． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵垂直平分交于点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴四边形是邻余四边形； （2）解：延长至点，使得，连接 ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∵四边形是邻余四边形，且和均为钝角， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，勾股逆定理，新定义，垂直平分线的性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式1】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，，，，．则_____°． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理、全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造直角三角形，结合全等三角形转化角的关系是解题的关键． 过点作，垂足为，，在和中，以为桥利用勾股定理列方程得，即可得，由得，由，可证，可得，由即可得． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ∴，，， ∴， 设，则， ∴， 解得，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ 故选：C． 【变式2】（23-24八年级下·云南昭通·月考）如图，在中，点为的中点，，，，则边上的高为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理等知识，综合性强．延长到E，使得，连接，作于点F，先证明，得到，根据勾股定理逆定理得到，进而得到，，即可得到，，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，延长到E，使得，连接，作于点F， 则． ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴． 故答案为： 【变式3】（25-26八年级上·陕西·期中）如图，在中，点是边的中点，交于点，连接，且． (1)求证： (2)若，，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用、线段垂直平分线的性质，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键，还需注意方程思想在这类问题中的应用． （1）由线段垂直平分线的性质得，再根据勾股定理公式的变形可求得是直角三角形，即可证明． （2）先求出的长度，设所求线段为，利用（1）的结论，根据勾股定理列出方程即可求解． 【详解】（1）证明：点是边的中点，， 垂直平分， ， ， ， ， 是直角三角形， ． （2）解：点是边的中点，， ， 在中，，，， ， 设，则， ， ， 解之得：． 即：． ★★★【题型 8】勾股定理逆定理拓展问题 【例题8】（23-24八年级下·福建莆田·月考）定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 【答案】(1)A (2) 【分析】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质． （1）根据“方倍三角形”定义可得，等边三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”进而可以判断； （2）根据题意可得，根据“方倍三角形”定义可得为等边三角形，从而证明为等腰直角三角形，可得，延长交于点，根据勾股定理求出的长，根据为等腰直角三角形，可得，进而可以求的面积． 【详解】（1）解：对于①等边三角形，三边相等， 设边长为， 则， 根据“方倍三角形”定义可知： 等边三角形一定是“方倍三角形”； 对于②直角三角形，三边满足关系式： ， 根据“方倍三角形”定义可知： 直角三角形不一定是“方倍三角形”； 故答案为：； （2）由题意可知： ， ，， 根据“方倍三角形”定义可知： ， ， 为等边三角形，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 延长交于点，如图， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 【变式1】（24-25八年级下·湖南湘西·月考）在中，，则（    ） A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．都有可能 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形边角关系，由已知条件入手，把进行变形，变形为，再利用三角形边角关系得,把其代入可得关系式，再利用完全平方公式得，可得，可得一定是锐角． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是三角形的三边， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴一定是锐角． 故选：A． 【变式2】（20-21八年级上·河北承德·期末）阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是 ； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为 ； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是 三角形． 【答案】 锐角三角形 或 钝角 【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案； （2）直接利用勾股定理得出x的值； （3）直接利用已知结合三边关系得出答案． 【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角三角形； （2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边， ∴52+122=x2， ∴x=13， 当12是斜边， 则52+x2=122， 解得：x=， 综上所述：x=13或． 故答案为：13或； （3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=(x-)2+(y-1)2+3z2+＞0， ∴a2＞b2+c2， ∴该三角形是钝角三角形． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确进行相关计算是解题关键． 【变式3】（20-21八年级上·江西吉安·期末）先观察下列各组数，然后回答问题： 第一组：，，； 第二组：，，； 第三组：，，； 第四组：，，； （1）根据各组数反映的规律，用含的代数式表示第组的三个数； （2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由； （3）如图，，，，若，，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且，，求的长． 【答案】（1），，；（2）直角三角形，见解析；（3） 【分析】（1）根据已知数据即可得到结果； （2）根据勾股定理判断即可； （3）根据题意可得出，，，在根据勾股定理计算即可； 【详解】（1）∵第一组：，，； 第二组：，，； 第三组：，，； 第四组：，，； ， ∴第组：，，． （2）直角三角形； 证明：为正整数， ． 以，，为三边的三角形是直角三角形． （3），，为上列按已知方式排列顺序的某一组数， 这组数为第九列：，，， 即，，． ， ． ，， ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和找规律，准确分析计算是解题的关键． 三.中考真题 （一）单选题（5题） 1．（2025·云南文山·模拟预测）下列各组数中，不能组成直角三角形的是（   ） A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．7，9，13 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题关键是掌握判定一个三角形是直角三角形的方法：①先确定最长边，算出最长边的平方；②计算另两边的平方和；③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，选项错误； B、，能构成直角三角形，选项错误； C、，能构成直角三角形，选项错误； D、，不能构成直角三角形，选项正确； 故选：D． 2．（2023·山东·中考真题）的三边长a，b，c满足，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由的关系，可推导得到为直角三角形． 【详解】解∵ 又∵ ∴， ∴ 解得 ， ∴，且， ∴为等腰直角三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，和勾股定理逆定理． 3．（2025·四川南充·二模）在网格中，三角形的顶点在格点上，求的值（      ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】该题考查了勾股定理和勾股定理逆定理，三角形内角和定理，根据勾股定理和勾股定理逆定理得出，即可求解． 【详解】解：根据题意可得， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．（2025·安徽芜湖·二模）如图，中为上的中线，，垂足为，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，能得出是直角三角形是解此题的关键． 首先由勾股定理的逆定理可判定是直角三角形，再根据勾股定理即可求得的长，最后根据三角形的面积公式即可求出． 【详解】解：∵，中为上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ， ∴， 故选：D． 5．（2025·云南丽江·模拟预测）如图，在平行四边形中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，若，，，则的长为（　　） A．15 B．6 C．6 D．4 【答案】B 【分析】利用基本作图得到，再根据平行四边形的性质得到，，，再证明，则，接着利用勾股定理的逆定理判断为为直角三角形，，然后在中利用勾股定理计算的长． 【详解】解：由作法得平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，， 故选：B． 【点睛】本题考查了作图-基本作图，熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行四边形的性质和勾股定理及其逆定理． （二）填空题（4题） 6．（2025·江苏盐城·一模）如图所示的网格是由相同的小正方形组成的网格，点是网格线的交点，则 ． 【答案】 【分析】延长交格点于，连接，在网格中求出相关线段长度，再根据勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，且，由等腰直角三角形性质求出，由邻补角求解即可得到答案． 【详解】解：延长交格点于，连接，如图所示： ，， 则， 即是等腰直角三角形，且， ， ， 故答案为：. 【点睛】本题考查求角度，涉及勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定和性质、邻补角等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 7．（2025·江西·模拟预测）如图，在中，，D，E两点分别在直线和直线上运动（点E不与点C重合）．若与全等，则线段的长为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，先利用勾股定理的逆定理证明，再分，，三种情况根据全等三角形的性质求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 如答图1所示，当时，， ∴， ∴； 如答图2所示，当且E在B的右边时，， ∴， ∴． 如答图3所示，当且E在B的左边时，． ∴． ∴． 综上所述，的长为或或． 故答案为：或或． 8．（2023·广东东莞·模拟预测）如图，在四边形中，，，四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理．连接，根据勾股定理可得的长，再利用勾股定理逆定理可得为直角三角形，再根据四边形的面积等于，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 在中，， ∴， 在中，∵， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴四边形的面积是． 故答案为： 9．（2025·湖南·中考真题）已知，，，是的三条边长，记，其中为整数． （1）若三角形为等边三角形，则 ； （2）下列结论正确的是 （写出所有正确的结论） ①若，，则为直角三角形 ②若，，，则 ③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为7 【答案】 2 ①②/②① 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解一元一次不等式组，三角形三边的关系，等边三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质可得，据此求解即可； （2）当，时，可证明，由勾股定理的逆定理可判断①；当，，时，可得；当时，可得，当时，可得，则可求出，据此求出t的取值范围即可判断②；当时，则，则可得到；根据题意不妨设，则剩下两个数分别为（n为正整数），则可得，解不等式组求出整数n即可判断③． 【详解】解：（1）∵，，是的三条边长，且是等边三角形， ∴， ∴ ， 故答案为；2； （2）①当，时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形，故①正确； ②当，，时， ∵， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴t随b的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴，故②正确； ③当时，则， ∵， ∴， ∴； ∵a、b、c是三个相邻的正整数，， ∴不妨设，则剩下两个数分别为（n为正整数）， ∵， ∴， 解得， ∴符合题意的n的值有2、3、4、5、6、7，共6个， ∴符合题意的a、b、c的取值一共有6组， ∴满足条件的的个数为6，故③错误； 故答案为：①②． （三）解答题（2题） 10．（2023·吉林·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．    【答案】见解析 【分析】根据勾股定理可得，结合题意与网格的特点分别作图即可求解． 【详解】解：如图所示，    如图①，，则是等腰三角形，且是锐角三角形， 如图②，，，则，则是等腰直角三角形， 如图③，，则是等腰三角形，且是钝角三角形， 【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，等腰三角形的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 11．（2025·江苏常州·中考真题）在四边形中，对角线、相交于点O，，． (1)若是等腰三角形，则_______； (2)已知，． ①若，判断四边形是怎样的特殊四边形，并说明理由； ②如图，在中，，求的长． 【答案】(1) (2)①四边形是矩形，理由见解析；② 【分析】（1）由是等腰三角形，，，分别讨论：当时和当时，利用三角形的三边关系判断是否成立即可； （2）①利用，，得出四边形是平行四边形，再利用，即可判定四边形是矩形；②过点作于点，利用，得出是直角三角形，且，证明，得出，，利用勾股定理求出，得出，再利用勾股定理求出，得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵是等腰三角形，，， ∴当时，此时满足三角形三边关系，符合题意； 当时，，此时不满足三角形三边关系，不符合题意； 综上，， 故答案为：； （2）解：①四边形是矩形，理由如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； ②过点作于点， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，三角形的三边关系，等腰三角形的定义，矩形的判定，二次根式的运算等，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $