1.2.1 等差数列的概念及其通项公式 课件-2025-2026学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

学习目标 情境引入 探求新知 典例铺路 随堂演练 课堂小结 当堂检测 第一章 数列 互动设计 1.2.1 等差数列的概念及其通项公式 互动设计课程 1 学 习 目 标 理解等差数列的概念，能准确判断一个数列是否为等差数列。。。 返回主页 1 理解等差数列的概念，能准确判断一个数列是否为等差数列掌握等差数列的通项公式，能熟练运用公式进行计算理解等差数列与一次函数的关系 2 经历从具体实例抽象出等差数列概念的过程，体会归纳推理的思想通过推导通项公式，掌握累加法（叠加法）这一重要数学方法培养观察、分析、归纳、概括的数学思维能力 情 境 引 入 情境一：生活实例 返回主页 情境二：数学史话 情境一：生活实例 问题1： 小明从1月份开始，每月存入银行1000元，假设不计利息，他各月末的存款余额（单位：元）依次为： 1000,2000,3000,4000,5000,⋯ 这个数列有什么特点？ 问题2： 某剧场有20排座位，第一排有38个座位，从第二排起，每一排都比前一排多2个座位。各排的座位数依次为： 38,40,42,44,46,⋯ 这个数列有什么共同特征？ 问题3： 女子举重比赛有7个级别，其中较轻的4个级别体重（单位：kg）组成数列： 48,53,58,63 相邻两级别之间有什么关系？ 情境二：数学史话 高斯小时候计算 1+2+3+⋯+100 的故事。为什么高斯能快速算出答案？因为他发现了这些数排列的规律——相邻两个数的差都相等。 思考： 上述三个情境中的数列有什么共同特征？ 互 动 设 计 探究活动一：概念形成（小组讨论） 返回主页 探究活动二：公式推导（自主探究） 探究活动三：函数视角（深化理解） 探究活动一：概念形成（小组讨论） 任务： 观察下列数列，找出它们的共同特点： 数列 相邻两项的差 小组讨论问题： 1. 这些数列中，从第2项起，每一项与前一项的差有什么特点？ 2. 这个”差”可以是负数吗？可以是零吗？ 3. 尝试用自己的语言描述这类数列的特征。 师生互动： 各小组代表发言，教师引导归纳，形成等差数列的定义。 探究活动二：公式推导（自主探究） 问题： 已知等差数列 的首项为 ，公差为 ，如何求第 项 ？ 方法一：归纳法 - - - - - 猜想： 小组交流： 两种方法各有什么优点？累加法的核心思想是什么？ 探究活动三：函数视角（深化理解） 思考： 等差数列的通项公式 可以看作什么函数？ 互动探究： 当 时， 是关于 的一次函数 点 都在直线 上 公差 就是直线的斜率 探 求 新 知 一、等差数列的概念 返回主页 二、等差数列的通项公式 三、重要性质 一、等差数列的概念 定义： 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示。 符号语言： （， 为常数） 注意： 1. “从第2项起”——确保每一项都有前一项 2. “同一个常数”——这是判断的关键 3. 公差 可以是正数、负数或零 等差中项： 若 成等差数列，则 叫做 和 的等差中项，且 二、等差数列的通项公式 公式： 变形公式： - （已知第 项求第 项） 形式 意义 已知首项、公差、项数，求末项 关于 n 的一次函数形式 已知任意一项求另一项 三、重要性质 性质1： 若 是等差数列，且 ，则 性质2： 等差数列的图象是直线 上的一群孤立点 典 例 铺 路 类型一：等差数列的判断 类型二：通项公式的应用 类型三：等差数列的性质应用 类型四：实际应用 类型一：等差数列的判断 例1 判断下列数列是否为等差数列，若是，求出公差 。 解析： (1) 是等差数列， 不是等差数列（，差不相等） 是等差数列，， 是等差数列，， 方法总结： 判断等差数列的方法 - 定义法： 验证 是否为常数 - 通项法： 验证 是否为关于 的一次函数 类型二：通项公式的应用 例2 在等差数列 中： 已知 ，求 和 已知 ，求 和 已知 ，求 和 解析： 由 得 ，解得 方法一： 列方程组 解得 方法二： 利用 再由 得 ， 类型三：等差数列的性质应用 例3 已知 是等差数列，，，求 。 解析： 方法一： 基本量法 设 ，列方程求解（略） 方法二： 性质法 注意到 ，所以 方法三： 对称性 是 和 的等差中项，而 是 和 的中间项… 类型四：实际应用 例4 某市为控制汽车尾气排放，实行汽车牌照摇号制度。已知2018年投放牌照10万个，计划以后每年比上一年多投放0.5万个。问2025年投放多少个牌照？ 解析： 设第 年投放牌照 万个，则 是等差数列 - （2018年） - - 2025年是第 年 答： 2025年投放13.5万个牌照。 随 堂 演 练 返回主页 【基础训练】 1. 已知等差数列 中，，则公差 （　） A. 　B. 　C. 　D. 【基础训练】 2. 等差数列 的第 项为 ，则 （　） A. 99 　B. 100 　C. 101 　D. 102 【基础训练】 3. 在等差数列 中，，则数列的公差为（　） A. 1 　B. 2 　C. 3 　D. 4 【能力提升】 4. 已知数列 满足 ，则 ______，若 ，则 ______。 5. 在等差数列 中，，则 ______。 6. 已知 成等差数列，求证： 也成等差数列。 1. C 解析： 2. C 解析：，由 得 3. B 解析：，又 ，所以 4. ； 解析： 是首项为1，公差为2的等差数列，。令 ，得 。 5. 180 解析：，所以 ，。 。 右边 实际上： （代入 ） 左边 （当 ） 实际上直接展开： 得证。 随 堂 检 测 返回主页 【选择题】 1. 下列数列中，是等差数列的是（　） A. B. C. D. 2. 等差数列 中，，则 （　） A. 45 　B. 41 　C. 39 　D. 37 3. 《九章算术》中有这样一个问题：今有女子善织，日自倍，五日织五尺。问日织几何？若改为”日增等尺”（即每天比前一天多织相同的量），其他条件不变，则该女子第三天织（　） A. 尺 　B. 1 尺 　C. 尺 　D. 尺 4. 已知数列 的通项公式为 ，则下列结论正确的是（　） A. 该数列不是等差数列 B. 该数列是公差为4的等差数列 C. 该数列是公差为3的等差数列 D. 该数列是公差为-3的等差数列 4. 若角α满足180°<α<360°，且5α与α的始边和终边均相同，则α=______。 【填空题】（每题5分） 5. 等差数列 的第20项为 ______。 6. 在等差数列 中，，则 ______。 【填空题】（每题5分） 7. 已知 和 的等差中项是4， 和 的等差中项是5，则 和 的等差中项是 ______。 8. 在等差数列 中，，则 ______。 【解答题】（10分） 9. 已知等差数列 中，。 求数列的通项公式； 若 ，求 的值； 该数列从第几项开始大于100？ 【课堂检测答案】 一、选择题 1. B 解析：A中 ，差不等；B中 ，是等差数列；C是等比数列；D中 。 2. B 解析： 3. B 解析：设第一天织 尺，公差为 ，则 ，即 ，而 。 4. B 解析：，是公差为4的等差数列。 二、填空题 5. 解析：， 6. 解析：设公差为 ，则 ，。 7. 解析：由题意 ，即 。 解得 。 和 的等差中项为 。 8. 解析：，又 ，所以 。 9. 解： 由 得 ，解得 通项公式为 令 ，得 ， 令 ，得 ， 因为 ，所以 即从第51项开始大于100。 课 堂 小 结 1. 知识小结 返回主页 2. 方法小结 3. 课后思考 1 2 3 4 认真领会 1. 知识小结 55 2. 方法小结 方法 适用场景 基本量法 已知 中的三个，求另外两个 性质法 涉及两项或多下标和相等的情况，简化计算 函数法 研究单调性、最值，或图象相关问题 累加法 推导公式，或处理 型递推 3. 课后思考 等差数列前 n 项和 有什么公式？如何推导？ 如果三个数成等差数列，如何设元更简便？ 等差数列与一次函数、直线方程有什么内在联系？ $