3.9弧长及扇形的面积 达标练习2025-2026学年北师大版数学九年级下册

3.9弧长及扇形的面积 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=BC=2，在以AB的中点O为坐标原点、AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴正半轴上的处，则图中阴影部分面积为（ ） A． B． C． D． 2．若圆锥的底面积为16πcm2，母线长为12cm，则它的侧面展开图的圆心角为(    ) A．240° B．120° C．180° D．90° 3．如图，已知□ABCD的对角线BD=4cm，将□ABCD绕其对称中心O旋转180°，则点D所转过的路径长为（    ） A．4π cm B．3π cm C．2π cm D．π cm 4．已知圆锥的侧面积是3π，母线是3，则圆锥的高为（　　） A．2 B．2 C． D． 5．如图，点、、、都在边长为1的网格格点上，以为圆心，为半径画弧，弧经过格点，则扇形的面积是（   ） A． B． C． D． 6．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，则的长为（　　） A．π B．π C．π D．π 7．. 如图，图中正方形ABCD的边长为4，则图中阴影部分的面积为（   ） A．16-4 B．32-8 C．8-16 D．无法确定 8．如图，直线，直线分别交于点，以为圆心，长为半径画弧，分别交于直线同侧的点，，，则的长等于（   ） A． B． C． D． 9．如图，在矩形ABCD中，CD=1，∠DBC=30°．若将BD绕点B旋转后，点D落在DC延长线上的点E处，点D经过的路径，则图中阴影部分的面积是（ ） A． B． C． D． 10．如图，是一圆锥的左视图，根据图中所标数据，圆锥侧面展开图的扇形圆心角的大小为(　　)    A．90° B．120° C．135° D．150° 11．如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边，分别以点A，B，C为圆心，以长为半径作，，，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果一个曲边三角形的周长为，则此曲边三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 12．如图所示，在中，，，.分别以，，为直径作半圆（以为直径的半圆恰好经过点，则图中阴影部分的面积是（   ） A．4 B．5 C．7 D．6 二、填空题 13．75°的圆心角所对的弧长是2.5cm，则此弧所在圆的半径是 cm． 14．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OB＝2，则图中阴影部分的面积为 ． 15．已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为 ． 16．若圆锥底面的半径为4，它的侧面展开图的面积为，则它的母线长为 ． 17．如图，两圆半径均为1，且图中两块阴影部分的面积相等，那的长度是　 　． 三、解答题 18．如图，已知扇形AOB的半径为10cm，圆心角为，求此扇形的面积（结果保留π）． 19．如图，是的直径，点是延长线上的一点，点在上，且AC=CD,． 求证：是的切线； 若的半径为，求图中阴影部分的面积． 20．如图，在中，，以边为直径的与边分别交于点D、E．求的长． 21．如图，圆形铁皮的半径为，从中剪出一个圆心角的扇形，点都在上． (1)求扇形的面积； (2)将这个扇形围成一个圆锥，直接写出圆锥的底面半径和高． 22．用一根长为40的铁丝围成一个半径为的扇形，设扇形的面积为，求扇形的面积与它的半径之间的函数解析式.这个函数是二次函数吗？请写出半径的取值范围. 23．如图，在中，，点D为上一点，以为直径的交于点E，连接，且平分． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为5，求图中阴影部分的面积． 24．如图，在中，经过两点的与边交于点，圆心在上，过点作交于点，连接交于点，且． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 《3.9弧长及扇形的面积》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C B D B C C B B 题号 11 12 答案 A D 1．C 【分析】先证明△ABC是等腰直角三角形，得到AB＝2，进一步求得旋转角为60°，由即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴AB＝2AO＝2OB＝AC＝2， ∵△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴正半轴上的处， ∴△ABC≌， ∴， ∴， 即sin， ∴， ∴， 即旋转角为60°， ， 故选：C 【点睛】此题考查了扇形面积、旋转的性质、等腰直角三角形的判定和性质、特殊角的三角函数等知识点，推导出是解题的关键． 2．B 【详解】解：设圆锥地面半径为r，则16π=πr2，r=4， 所以底面周长为2π×4=8π， 设侧面展开图扇形圆心角为n， 则8π=，解得n=120°. 故选B. 3．C 【分析】点D所转过的路径长是一段弧，是一段圆心角为180°，半径为OD的弧，故根据弧长公式计算即可． 【详解】解：BD=4， ∴OD=2 ∴点D所转过的路径长==2π． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了弧长公式：． 4．B 【分析】设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面积公式得到•2πr•3＝3π，然后解方程求出r，再利用勾股定理可求出圆锥的高． 【详解】设圆锥的底面圆的半径为r， 根据题意得•2πr•3＝3π，解得r＝1， 所以圆锥的高＝． 故选B． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 5．D 【分析】本题考查了网格的特点，勾股定理，扇形面积，根据网格的特点求得圆心角和半径是解题的关键． 根据题意以及网格的特点求得，圆弧的半径为，进而根据扇形面积公式进行计算即可． 【详解】解：依题意，点A、B、C、D都在边长为1的网格格点上， ,， 扇形的面积． 故选D． 6．B 【分析】直接利用等腰三角形的性质得出∠A的度数，再利用圆周角定理得出∠BOC的度数，再利用弧长公式求出答案． 【详解】解：∵∠OCA＝50°，OA＝OC， ∴∠A＝50°， ∴∠BOC＝2∠A＝100°， ∵AB＝4， ∴BO＝2， ∴的长为：π． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了弧长公式应用以及圆周角定理，正确得出∠BOC的度数是解题关键． 7．C 【详解】：根据图形，得 阴影部分的面积=2×π×22-4×4=8π-16． 故选C． 8．C 【分析】本题主要考查了弧长计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握相关的判定和性质是解题的关键．连接，先根据平行线的性质求出，，，根据平行线的性质得出，根据弧长公式求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， 根据作图可知：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 故选：C． 9．B 【详解】试题分析：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD=90°，∵CD=1，∠DBC=30°，∴BD=2CD=2，由勾股定理得BC==，∵将BD绕点B旋转后，点D落在DC延长线上的点E处，∴BE=BD=2， ∵S扇形DBE==，S△BCD=•BC•CD==， ∴阴影部分的面积=S扇形DBE﹣S△BCD=．故选B． 考点：扇形面积的计算． 10．B 【详解】解：∵圆锥的底面半径为3， ∴圆锥的底面周长为6π， ∵圆锥的高是6， ∴圆锥的母线长为 设扇形的圆心角为n∘， ∴ =6π， 解得n=120. 答：圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为120°. 故选B. 点睛：本题考查了圆锥的计算，根据圆锥的底面半径得到圆锥的底面周长，也就是圆锥的侧面展开图的弧长，根据勾股定理得到圆锥的母线长，利用弧长公式可求得圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角． 11．A 【分析】根据此三角形是由三段弧组成，所以根据弧长公式可得半径，即正三角形的边长，根据曲边三角形的面积等于三角形的面积与三个弓形的面积和，边长为的等边三角形的面积为，即可求解． 【详解】解：设等边三角形ABC的边长为r， 解得，即正三角形的边长为2， 此曲边三角形的面积为 故选A 【点睛】本题考查了扇形面积的计算．此题的关键是明确曲边三角形的面积等于三角形的面积与三个弓形的面积和，然后再根据所给的曲线三角形的周长求出三角形的边长． 12．D 【分析】先利用勾股定理计算BC的长度，然后阴影部分的面积=以AB为直径的半圆面积+以BC为直径的半圆面积+-以AC为直径的半圆面积. 【详解】解：在中 ∵，, ∴, ∴BC=3, ∴阴影部分的面积=以AB为直径的半圆面积+以BC为直径的半圆面积+-以AC为直径的半圆面积=6.故选D. 【点睛】本题考查扇形面积的计算和勾股定理.在本题中解题关键是用重叠法去表示阴影部分的面积. 13．6 【分析】由弧长公式：计算． 【详解】解：由题意得：圆的半径． 故本题答案为：6． 【点睛】本题考查了弧长公式． 14．π﹣2 【分析】先根据圆周角定理证得∠BOC=90°，从而得出△OBC是等腰直角三角形，然后根据S阴影=S扇形OBC-S△OBC即可求得． 【详解】解：∵∠BAC=45°， ∴∠BOC=90°， ∴△OBC是等腰直角三角形， ∵OB=2， ∴S阴影=S扇形OBC-S△OBC=π×22-×2×2=π-2． 故答案为π﹣2 【点睛】本题考查的是圆周角定理及扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键． 15． 【分析】本题考查扇形面积公式，根据扇形面积公式直接代入求解即可得到答案． 【详解】解：∵一个扇形的面积是，弧长是， ∴， 解得：， 故答案为：． 16．4 【分析】设圆锥的母线长为l，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到•2π•4•l=16π，然后解方程即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为l， 根据题意得•2π•4•l=16π， 解得l=4π， 即圆锥的母线长为4． 故答案为4． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 17． 【分析】根据，再根据图中两块阴影部分的面积相等，得到，最后根据矩形和扇形的面积公式进行计算可得解． 【详解】根据题意得，， ∵两块阴影部分的面积相等， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式：，其中n为扇形的圆心角的度数，R为圆的半径，或，l为扇形的弧长，R为半径，读懂题意，根据条件得出是解题的关键． 18． 【分析】此题考查了扇形面积公式的求解方法，此题比较简单，解题的关键是注意熟记扇形面积公式． 直接根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：此扇形的面积为． 19．（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据圆周角定理和等腰三角形的性质，即可得到答案； （2）根据扇形面积公式进行计算，即可得到答案. 【详解】证明：连接． ， ． ， ． ．即， 是的切线． 解：， ． ， 在中，， ， ， 图中阴影部分的面积． 【点睛】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质和扇形面积公式，解题的关键是掌握圆周角定理、等腰三角形的性质和扇形面积公式 20．的长为 【分析】本题考查圆周角定理，三线合一，求弧长，连接，根据圆周角定理和三线合一，推出，进而利用弧长公式进行求解即可． 【详解】解：连接，则． 是直径， ，即． ， ． ， ． ， ． 的长． 21．(1) (2)圆锥的底面半径为，高为 【分析】（1）先判断过圆心O，，然后由勾股定理求扇形的半径，再根据面积公式求解即可； （2）利用底面周长等于展开图的弧长，可求得半径径的长度，然后利用勾股定理即可求出圆锥的高． 【详解】（1）连接，， ∵， ∴过圆心O， ∴， ∵从中剪出一个圆心角的扇形， ∴． ∵， ∴， ∴扇形半径为； ∴； （2）设围成圆锥的底面半径为r，则， 解得， ∵圆锥的母线长， ∴圆锥的高为． 【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：①圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；②圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇形面积公式求出是解题的关键． 22．是的二次函数，其中. 【分析】根据题意和扇形的面积公式将扇形的面积与它的半径之间的关系式表示出来即可. 【详解】由题意，得弧长为， 则. 解得 故是的二次函数，其中. 【点睛】本题主要考查扇形面积公式及二次函数的应用，掌握扇形的面积公式是解题的关键. 23．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，先根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得到，证明得到，然后利用切线的判定定理可证得结论； （2）先根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，，进而根据求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：在中，，， ∴，， ∴， ∴图中阴影部分的面积 ． 【点睛】本题考查切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定、角平分线的定义、含30度角的直角三角形的性质、扇形面积等知识，熟练掌握切线的判定定理是解答的关键． 24．(1)与的相切，理由见解析 (2)图中阴影部分的面积为 【分析】本题考查了切线的判定定理，扇形的面积计算公式，勾股定理，熟练掌握切线的判定方法和扇形面积计算公式是解题的关键． （1）由得，由得，根据可得，即可证明结论； （2）根据勾股定理求出，进而得出，，再分别计算，根据，可得答案． 【详解】（1）解：与的相切，理由如下， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 与的相切； （2）解：， ， 设， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 作于点， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $