21.2.2平行四边形的判定精析精练 2025-2026学年人教版八年级数学下册

2025-2026学年人教版八年级数学下精析精练 21.2.2平行四边形的判定 知识点1两组对边分别相等（或分别平行）的四边形是平行四边形 1．如图，以的顶点为圆心，长为半径作弧，再以顶点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，．由此得到的四边形是 ，依据是 ． 2．如下图，在四边形ABCD中，，，，，，．试判断四边形ABCD的形状，并说明理由． 3．如图，在四边形中，，的平分线交于点F，交的延长线于点E，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，，求四边形的面积． 4．如下图，在四边形中，，．求证：四边形是平行四边形． 5．如图，已知，分别以的三边为边在的同侧作三个等边三角形，，．当点，，不共线时，判断四边形的形状，并说明理由． 知识点2两组对角分别相等的四边形是平行四边形 1．下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．下列∶∶∶的值中，能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．∶∶∶ B．∶∶∶ C．∶∶∶ D．∶∶∶ 3．下列选项中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（    ） A．AB//CD，AD＝BC B．∠A＝∠D，∠B＝∠C C．AB//CD，∠A＋∠B＝180° D．∠A＝∠C，∠B＋∠D＝180° 4．已知四边形，有下列条件：①，；②；③，；④，．其中能判定四边形是平行四边形的是 （填序号） 知识点3对角线互相平分的四边形是平行四边形 1．在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．如图，在四边形中，对角线，相交于点．下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 3．如图，在四边形中，对角线、相交于点，，，，，则四边形的面积为 ． 4．如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作于点N，过点C作于点M，连接AM，CN．求证：四边形ANCM为平行四边形． 5．如图，的对角线，相交于点O，点E，F在对角线上，且，连接，，，． 求证：四边形是平行四边形． 6．如下图，在中，对角线，相交于点，，，为直线上的两个点（点，始终在的外面），且，，连接，，，． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若，，则四边形是平行四边形吗？请说明理由．由此你能得出什么结论？ (3)若平分，，求四边形的周长． 知识点4一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 1．如图，点，是平行四边形对角线上两点，在条件；；；中，添加一个条件，使四边形是平行四边形，可添加的条件是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，对角线，相交于点，且． (1)求证： ． 四边形为平行四边形． (2)过点作，交于点，交于点，连结若，，求的度数． 3．如图，在四边形中，，，，，是的中点，连接并延长，交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，求的长． 4．已知：如图，在中，分别是边和上的点，且．求证：四边形是平行四边形． 5．如下图，点，，，在同一条直线上，，，． (1)求证：． (2)连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 6．如图，在中，点，在对角线上，连接，，，，．求证： (1)求证：． (2)求证：四边形是平行四边形． 1．如图，中，，，．，，都是等边三角形，则四边形的面积为 ． 2．如图，平行四边形中，是对角线，过A，C两点分别作，，E、F是垂足． (1)求证：； (2)连接，与互相平分吗？为什么？ 3．如图，，，均为等边三角形，且两两共用一个顶点．求证：与互相平分． 4．如图，点E、F分别为线段上的点，且，，连接，分别交于点G、H，连接，． (1)证明：； (2)证明：四边形为平行四边形． 5．如下图，E，F分别是的AD，BC边上的点，且． (1)求证：． (2)若M，N分别是BE，DF的中点，连接MF，EN，求证：四边形MFNE是平行四边形． 6．如图，等边中，点在上，点在上，且，与交于点，在上方作等边，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)不添加任何辅助线，直接写出与相等的角（不包括）． 7．在学习了平行四边形的相关知识后，小丽进行了进一步的研究，她发现过平行四边形不相邻的两个顶点作一组对边的垂线，两条垂线与另外两顶点所连对角线产生两个交点，若这两个顶点和两个交点形成四边形，则可证该四边形是平行四边形，其证明思路是利用三角形的全等得到此结论．根据她的想法与思路，完成以下作图和填空：第一步：构造垂线． 如图，在平行四边形中，过点作交对角线于点，连接． 请你利用尺规作图，过点作交对角线于点，连接（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：四边形是平行四边形 ，， _____①_____， ∴_____②_____ 在与中， ，_____③____ _____④____． 四边形是平行四边形． 8．已知，在中，点是边的中点． (1)【问题解决】 如图1，将沿折叠得到，请直接写出与的数量关系___________； (2)【问题探究】 如图2，在（1）的条件下，连接，请判断与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 如图3，点是边上一点，将沿折叠得到，点落在边下方，连接，当时，请探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 9．如图在中，点D是中点，连接，点E为的中点，过点A作交线段的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有面积是面积2倍的三角形． 10．如图，和都是等边三角形，点D在边上，边上有一点F，且，连接、． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 1．如图，的对角线和相交于点，，分别为的中点，过点任意作直线，分别交，于点，，连接，．求证：． 2．如图，在中，，点在边所在的直线上，过点作交直线于点，交直线于点． (1)当点在边上时，如图①，求证：． (2)当点在边的延长线上时，如图②；当点在边的反向延长线上时，如图③．请分别写出图②、图③中，，之间的数量关系，不需要证明． (3)若，，则____________． 3．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是．过点作于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 4．已知：如图，在梯形中，，平分，，的延长线交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若的周长为，，求梯形的面积． 中档 提分训练 基础 分点训练 拓展 素养训练 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版八年级数学下精析精练 21.2.2平行四边形的判定（解析版） 知识点1两组对边分别相等（或分别平行）的四边形是平行四边形 1．如图，以的顶点为圆心，长为半径作弧，再以顶点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，．由此得到的四边形是 ，依据是 ． 【答案】 平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，尺规作图的性质，掌握两组对边分别相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 根据尺规作图的结果，得到四边形两组对边分别相等，再依据平行四边形的判定定理得出结论． 【详解】解：以顶点为圆心， 的长度为半径作弧， 以顶点为圆心， 的长度为半径作弧， 两弧相交于点D，连接AD、CD； 此时的长度等于半径的长度，的长度等于半径的长度 即， ∵在四边形中，， ∴四边形是平行四边形． ∴依据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 故答案为：平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 2．如下图，在四边形ABCD中，，，，，，．试判断四边形ABCD的形状，并说明理由． 【答案】四边形ABCD是平行四边形．理由见解析 【分析】根据垂直利用勾股定理即可求得的值，然后就可知道四边形的边长，即可判断四边形的形状； 本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】，，，， ， 即， 解得， ∴，，， ，， ∴四边形ABCD是平行四边形． 3．如图，在四边形中，，的平分线交于点F，交的延长线于点E，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查等边三角形的性质与判定、勾股定理、等腰三角形的性质及平行四边形的判定等知识点，熟练掌握等边三角形的性质与判定、勾股定理、等腰三角形的性质及平行四边形的判定是解题的关键； （1）由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由题意易得是等边三角形，，则有，，然后根据勾股定理可得，进而证明得到四边形的面积等于的面积，则问题可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，，，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．如下图，在四边形中，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键； 根据角相等得到平行关系，再根据三角形内角和定理得到角相等，进而得证． 【详解】解：证明：， ． 又，且， ， ， ， 四边形是平行四边形． 5．如图，已知，分别以的三边为边在的同侧作三个等边三角形，，．当点，，不共线时，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】四边形是平行四边形，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，掌握利用等边三角形的边、角性质寻找全等条件，进而推导出四边形对边相等是解题的关键． 要判断四边形的形状，可通过证明两组对边分别相等来判定平行四边形，利用等边三角形的性质，找到全等三角形的条件，从而推导出对边相等． 【详解】解：四边形是平行四边形．理由如下： ，都是等边三角形， ，，． ，， ． 在和中， ， ． 是等边三角形， ， ． 同理可得， 四边形为平行四边形． 知识点2两组对角分别相等的四边形是平行四边形 1．下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定．需根据平行四边形的判定定理逐一分析选项． 【详解】解：A、，，相邻角相等无法保证对边平行或对角相等，不能判定为平行四边形，本选项不符合题意； B、，，邻边相等可能形成筝形或菱形，但无法保证对边相等或平行，不能判定为平行四边形，本选项不符合题意； C、，，两组对边分别相等，符合“两组对边相等的四边形是平行四边形”的判定定理，可判定为平行四边形，本选项符合题意； D、，，一组对边平行且另一组对边相等可能形成等腰梯形，而非平行四边形，本选项不符合题意； 故选：C． 2．下列∶∶∶的值中，能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．∶∶∶ B．∶∶∶ C．∶∶∶ D．∶∶∶ 【答案】D 【分析】两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以和是对角，和是对角，对角的份数应相等，据此即可求解． 【详解】解：根据平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以只有D符合条件． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法． 3．下列选项中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（    ） A．AB//CD，AD＝BC B．∠A＝∠D，∠B＝∠C C．AB//CD，∠A＋∠B＝180° D．∠A＝∠C，∠B＋∠D＝180° 【答案】C 【分析】平行四边形的判定定理：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定定理逐个分析即可解答． 【详解】解：A、AB//CD，AD＝BC不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误； B、∠A＝∠D，∠B＝∠C不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误； C、因为∠A＋∠B＝180°，所以AD//BC，又因为AB//CD，所以四边形ABCD是平行四边形，故此选项正确； D、∠A＝∠C，∠B＋∠D＝180°不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误； 故选C． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定定理，解决本题的关键是要熟练掌握平行四边形的判定定理. 4．已知四边形，有下列条件：①，；②；③，；④，．其中能判定四边形是平行四边形的是 （填序号） 【答案】①② 【分析】根据平行四边形的判定方法即可求解． 【详解】解：如图所示，四边形， ①，能证明四边形是平行四边形，故①正确； ②， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形，故②正确； ③，， ∴，且， ∵， ∴， ∴， ∴不能证明四边形是平行四边形，故③错误； ④， ∴， ∴不能证明四边形是平行四边形，故④错误； 综上所述，正确的有①②， 故答案为：①②． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，理解并掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 知识点3对角线互相平分的四边形是平行四边形 1．在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是记住平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．对角线互相平分的四边形是平行四边形． 根据平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，即需满足且，由此即可得到结论. 【详解】解：A、，，，，不能判定这个四边形是平行四边形，不符合题意； B、，，，，不能判定这个四边形是平行四边形，不符合题意； C、∵，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形，能判定这个四边形是平行四边形，符合题意； D、，，，，不能判定这个四边形是平行四边形，不符合题意； 故选：C． 2．如图，在四边形中，对角线，相交于点．下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定方法即可判断. 【详解】解：A、，不能判定这个四边形是平行四边形，不符合题意； B、，不能判定这个四边形是平行四边形，不符合题意； C、，不能判定这个四边形是平行四边形，不符合题意； D、，能判定这个四边形是平行四边形，符合题意. 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的判断、解题的关键是根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判定． 3．如图，在四边形中，对角线、相交于点，，，，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的判定，利用勾股定理证得对角线互相平分是解题的关键． 利用勾股定理得出的长度，可发现四边形对角线互相平分，可证四边形为平行四边形，利用平行四边形公式计算面积即可． 【详解】在中，∵，，， 由勾股定理得，解得， 又∵， ∴，故对角线互相平分， ∴四边形为平行四边形， ， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 4．如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作于点N，过点C作于点M，连接AM，CN．求证：四边形ANCM为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 方法：通过平行四边形的性质得到，由垂直的定义得到，即可通过证明，通过全等三角形的性质得到，最后根据对角线互相平分的四边形为平行四边形进行证明即可；方法：通过平行四边形的性质得到，，，，两直线平行内错角相等可得到，由垂直的定义得到，即可通过证明，通过全等三角形的性质得到，再通过线段的和差关系得到，最后根据对角线互相平分的四边形为平行四边形进行证明即可． 【详解】方法：证明：∵四边形为平行四边形， ． ，， ． 在和中， ， ， ∴四边形为平行四边形． 方法：∵四边形为平行四边形， ，，，， ． ，， ． 在和中， ， ， ，即， ∴四边形为平行四边形． 5．如图，的对角线，相交于点O，点E，F在对角线上，且，连接，，，． 求证：四边形是平行四边形． 【答案】见详解 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的性质和判定是解题的关键． 根据平行四边形的性质，得，，再根据，可得，利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可求证． 【详解】证明：， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形． 6．如下图，在中，对角线，相交于点，，，为直线上的两个点（点，始终在的外面），且，，连接，，，． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若，，则四边形是平行四边形吗？请说明理由．由此你能得出什么结论？ (3)若平分，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是平行四边形．理由结论见解析 (3) 【分析】（1）先利用平行四边形对角线互相平分的性质得，再由的关系推出，结合对角线互相平分的四边形是平行四边形证明结论； （2）同理（1），通过推出，结合判定平行四边形，再总结一般比例下的结论； （3）利用角平分线和平行线的性质得，结合平行四边形性质推出垂直平分，进而得，再由判定为等边三角形，求出边长后计算周长． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，． ，， ， ，即， 四边形为平行四边形． （2）解：四边形是平行四边形， ，． ，， ， ，即， 四边形为平行四边形． 由此可得出结论：若，，则四边形为平行四边形． （3）解：在中，， ． 平分， ， ， ． ， ， 垂直平分， ． ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定、等边三角形的判定，掌握平行四边形的对角线性质、对角线互相平分的四边形是平行四边形及角平分线与平行线结合得等腰三角形的技巧是解题的关键． 知识点4一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 1．如图，点，是平行四边形对角线上两点，在条件；；；中，添加一个条件，使四边形是平行四边形，可添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 连接，交于点O，根据四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，逐个分析判断即可解答． 【详解】解：连接，交于点O，如图 ∵四边形是平行四边形， ∴，，， 当时，不能证明对角线互相平分，不符合题意； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故②符合题意； ③当时， ∵， ∴， 即， ∵， ∴四边形是平行四边形，故③符合题意； 当时， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故④符合题意； 综上所述，②③④符合题意， 故选：D． 2．如图，在四边形中，，对角线，相交于点，且． (1)求证： ． 四边形为平行四边形． (2)过点作，交于点，交于点，连结若，，求的度数． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】（1）根据，可得，利用可证； （2）根据，可得，又因为，则可得四边形为平行四边形； （3）可证是的垂直平分线，则，根据等腰三角形三线合一可知，再由平行线的性质可求． 【详解】（1）证明：， ． 在和中， 同理可证， ． 又， 四边形为平行四边形； （2）解：， ， ， ， ， ． ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 3．如图，在四边形中，，，，，是的中点，连接并延长，交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)根据平行线的性质可知，根据中点的定义可知，可证，根据全等三角形的性质可证，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证结论成立； (2)利用勾股定理可得，过点作，根据三角形的面积公式可以求出，利用勾股定理可以求出，根据平行四边形的对边相等可知． 【详解】（1）证明：， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：如下图所示，过点作， 平分，， ， ，，， ， ， ， ， ， ， , 四边形是平行四边形， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行四边形的判定、勾股定理． 4．已知：如图，在中，分别是边和上的点，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形的性质证明，得到，，再根据平行四边形的判定即可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 5．如下图，点，，，在同一条直线上，，，． (1)求证：． (2)连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是平行四边形，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定知识点，掌握全等三角形的判定方法和平行四边形的判定定理是解题的关键． （1）先由推出，再用证明，从而得到， （2）由推出，结合，证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：， ， 即． 在与中， ， ． （2）解：四边形是平行四边形．理由： ， ． 又， 四边形是平行四边形． 6．如图，在中，点，在对角线上，连接，，，，．求证： (1)求证：． (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟知平行四边形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得到，则，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质可得，则可证明，得到，据此可证明结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 1．如图，中，，，．，，都是等边三角形，则四边形的面积为 ． 【答案】24 【分析】先证出，，根据全等三角形的性质可得，，则可得四边形是平行四边形，再过点作于点，利用含30度角的直角三角形的性质可得的长，最后利用平行四边形的面积公式求解即可得． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∵，都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 如图，过点作于点， ∴， ∴四边形的面积为， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理的逆定理等知识，正确找出全等三角形是解题关键． 2．如图，平行四边形中，是对角线，过A，C两点分别作，，E、F是垂足． (1)求证：； (2)连接，与互相平分吗？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)与互相平分，理由见解析 【分析】此题考查平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定与性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，④两组对角分别相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形． （1）根据平行四边形的性质证明，，结合，，即可得出结论； （2）连接，由，得到，由，推出，得到四边形是平行四边形，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∴. （2）解：与互相平分．理由： 连接， ∵, ∴, ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 3．如图，，，均为等边三角形，且两两共用一个顶点．求证：与互相平分． 【答案】证明见解析 【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 由等边三角形的性质得，，再证明，得，进而得，再证明，然后证明四边形是平行四边形，即可得出结论． 【详解】证明：∵，，均为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 4．如图，点E、F分别为线段上的点，且，，连接，分别交于点G、H，连接，． (1)证明：； (2)证明：四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，直线平行的判定与性质，平行四边形的判定，掌握相关定理与性质是解题的关键． （1）由，得到，接着证明即可得到； （2）根据题意可得，即，再证明，得到，进而根据对边平行且相等的四边形为平行四边形即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：，， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， 又， 所以四边形为平行四边形． 5．如下图，E，F分别是的AD，BC边上的点，且． (1)求证：． (2)若M，N分别是BE，DF的中点，连接MF，EN，求证：四边形MFNE是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质，证得； （2）由（1）的结论和中点的性质可得，，根据平行四边形的性质可得，进而得到，由此可证，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，． 在和中， ． （2）证明：由（1）得， ，． 又，分别是，的中点， ，， ． ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ，即， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定和全等三角形的判定，学会在已知条件中多次证明三角形全等，寻求角边的转化，从而求证结论．掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 6．如图，等边中，点在上，点在上，且，与交于点，在上方作等边，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)不添加任何辅助线，直接写出与相等的角（不包括）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，关键是根据证明． （1）根据等边三角形的性质和证明，再证明，最后利用平行四边形的判定进行证明即可； （2）根据平行四边形的性质、全等三角形的性质，等边三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ．在和中， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， ． ， ， ．， ， ． 是等边三角形， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 与相等的角有 7．在学习了平行四边形的相关知识后，小丽进行了进一步的研究，她发现过平行四边形不相邻的两个顶点作一组对边的垂线，两条垂线与另外两顶点所连对角线产生两个交点，若这两个顶点和两个交点形成四边形，则可证该四边形是平行四边形，其证明思路是利用三角形的全等得到此结论．根据她的想法与思路，完成以下作图和填空：第一步：构造垂线． 如图，在平行四边形中，过点作交对角线于点，连接． 请你利用尺规作图，过点作交对角线于点，连接（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：四边形是平行四边形 ，， _____①_____， ∴_____②_____ 在与中， ，_____③____ _____④____． 四边形是平行四边形． 【答案】第一步：见解析；第二步：①，②，③，④． 【分析】本题考查尺规作图-垂线，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，垂直的定义，掌握知识点是解题的关键． 第一步：根据尺规作图-垂线的作图法作图即可；第二步：根据平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，垂直的定义等进行解答即可． 【详解】解：第一步：作图如图，如图为所作的图形； 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：四边形是平行四边形 ，， ∴， ∴， 在与中， ， ． 四边形是平行四边形． 故答案为：①，②，③，④． 8．已知，在中，点是边的中点． (1)【问题解决】 如图1，将沿折叠得到，请直接写出与的数量关系___________； (2)【问题探究】 如图2，在（1）的条件下，连接，请判断与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 如图3，点是边上一点，将沿折叠得到，点落在边下方，连接，当时，请探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了折叠的性质、平行线的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）由折叠的性质和中点直接可得出； （2）观察和，发现它们是一组内错角，所以证出即可，折叠会出现边相等、角相等，特别是有平角的关系需要利用，由折叠得到，由平角得，再利用关系推导即可得证； （3）由折叠可知，所以过C作构造平行四边形，从而再证即可得证. 【详解】（1）解：由折叠的性质得， ∵点是边的中点， ∴， ∴. （2）解：，理由如下： 设，则， 由折叠的性质得：， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴， ∴. （3）解：，理由如下： 过C作，交于点G， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由（2）知， ∴， ∴，， ∵折叠性质， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴. 9．如图在中，点D是中点，连接，点E为的中点，过点A作交线段的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有面积是面积2倍的三角形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查的是全等三角形的判定及性质、平行四边形的判定及性质、三角形中线的性质： （1）首先由E是的中点，，证明，即可得，即可； （2）易证四边形是平行四边形，得到，再根据三角形中线的性质可得，，，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点D是中点，点E为的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴； ∴． ∵， ∴； （2）解：由（1）知， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点D是中点， ∴， ∵点E为的中点， ∴，， ∴． 10．如图，和都是等边三角形，点D在边上，边上有一点F，且，连接、． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，等边三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，利用即可证明； （2）由全等三角形的性质和等边三角形的性质，结合，可推出，，即为等边三角形，进而得到，，推出，最后由对边相等且平行即可判定四边形为平行四边形． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ，即， ； （2）证明：， ，， 又， 是等边三角形， ， ， 为等边三角形． ， 是等边三角形， ， ， ，即， ，， ， 四边形是平行四边形． 1．如图，的对角线和相交于点，，分别为的中点，过点任意作直线，分别交，于点，，连接，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，关键是证明三角形全等．连接，，根据平行四边形的性质得，再证明，得，再根据平行四边形的判定得四边形为平行四边形，进而由平行四边形性质得结论． 【详解】证明：连接， 四边形是平行四边形， ，，， ． 在和中， ， ， ． ，分别为和的中点， ，． ， ， 四边形为平行四边形， ． 2．如图，在中，，点在边所在的直线上，过点作交直线于点，交直线于点． (1)当点在边上时，如图①，求证：． (2)当点在边的延长线上时，如图②；当点在边的反向延长线上时，如图③．请分别写出图②、图③中，，之间的数量关系，不需要证明． (3)若，，则____________． 【答案】(1)见解析 (2)图②中，．图③中， (3)5或11 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，且和是等腰三角形即可证得； （2）由平行四边形的性质得到，根据等腰三角形的性质，平行线的性质，可得结论； （3）分两种情况讨论，结合（1）（2）可求解． 【详解】（1）解：证明：，， ∴四边形是平行四边形， ． ， ． 又， ， ， ， ． （2）解：图②中，．图③中，． 【提示】如图②，，， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图③，，， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， （3）解：或． 【提示】如图①，； 如图②，； 如图③，若，，，不符合题意． 故或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，平行四边形的性质，平行线的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 3．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是．过点作于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)或时，为直角三角形 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质及含角的直角三角形的性质，熟练掌握角所对的直角边是斜边的一半是解题关键． （1）由题意可知，，，根据含角的直角三角形的性质得出，根据，得出，即可证明四边形是平行四边形； （2）分和两种情况，画出图形，根据含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：由题意得：，，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图所示：当时，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：； 如图所示，当时， 由（1）可得：四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得：； 综上所述：或，为直角三角形． 4．已知：如图，在梯形中，，平分，，的延长线交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若的周长为，，求梯形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用边角边论证三角形全等； （2）延长交于，则四边形为平行四边形，进而论证，利用等量代换即可得到结论； （3）通过论证是直角三角形得到梯形的高为，利用梯形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）证明：延长交于， ∵， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，即：， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 又∵， 在中 ∵， ∴， ∴， ∴ ． 【点评】本题考查了梯形性质的应用，求梯形的面积时关键是证明为直角三角形． 中档 提分训练 拓展 素养训练 基础 分点训练 学科网（北京）股份有限公司 $