专题07 一元一次不等式章末54道压轴题型专训（9大题型）-2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学下册重难点专题提升精讲精练

专题07 一元一次不等式章末54道压轴题型专训（9大题型） 题型一 一元一次不等式的解集压轴 题型二 一元一次不等式的整数解压轴 题型三 一元一次不等式的最值压轴 题型四 一元一次不等式组的解集压轴 题型五 一元一次不等式组的整数解压轴 题型六 一元一次不等式组与方程组结合压轴 题型七 特殊不等式组压轴 题型八 一元一次不等式的新定义运算 题型九 一元一次不等式组的实际应用 【经典例题一 一元一次不等式的解集压轴】 1．（25-26七年级下·上海宝山·月考）已知关于的不等式． (1)若是该不等式的解，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，且不是该不等式的解，求的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了根据不等式的解的情况求参数，正确理解题意是解题的关键． （1）把代入原不等式中求出a的取值范围即可； （2）根据题意可得当时，，据此把代入不等式中求出a的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：∵是关于的不等式的解， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵不是关于的不等式的解， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26七年级下·上海长宁·月考）以下是圆圆解不等式组的解答过程： 解：由①，得，第一步 ．第二步 由②，得，第三步 ，第四步 ．第五步 故原不等式组的解集为． 圆圆的解答过程从哪一步开始出错？请写出正确的解答过程． 【答案】第一步   过程见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，去括号法则，掌握解不等式时去括号要应用分配律，不等式组解集取各解集的公共部分是解题的关键． 先检查圆圆的解答步骤，发现第一步去括号时漏乘，导致错误，再正确去括号求解每个不等式，最后取两个解集的公共部分． 【详解】解：圆圆的解答过程从第一步开始出错． 正确的解答过程如下： 由①，得， ， ． 由②，得， ． 故原不等式组的解集为． 3．（25-26七年级下·上海松江·开学考试）我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“梦想解”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘解”． (1)试判断组合是“梦想解”还是“无缘解”，并说明理由； (2)若关于x的组合是“梦想解”，求a的取值范围． 【答案】(1)是无缘解，理由见解析 (2) 【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式组，新定义，关键是对“梦想解”与“无缘解”的理解． （1）先分别求出一元一次方程以及一元一次不等式的解，然后根据“梦想解”和“无缘解”的定义判断即可． （2）先分别求出一元一次方程以及一元一次不等式的解，再根据“梦想解”的定义得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：无缘解，理由如下： 解方程得，， 解不等式得，， ∵， ∴方程的解不是不等式的解， ∴组合是无缘解； （2）解：解方程得， 解不等式得， ∵关于x的组合是“梦想解”， ∴， 解得， ∴a的取值范围为． 4．（24-25七年级下·上海长宁·期末）【定义】 若一元一次不等式①的解都不是一元一次不等式②的解，则称一元一次不等式①是一元一次不等式②的“相斥不等式”．例如：不等式的解都不是不等式的解，则是的“相斥不等式”． 【应用】 (1)在①、②、③这三个一元一次不等式中，是的“相斥不等式”的是_____（填序号）． (2)若关于的不等式是的“相斥不等式”，求的取值范围． (3)若（是非零常数）是的“相斥不等式”，求的取值范围． 【答案】(1)③ (2) (3)且 【分析】本题主要考查解一元一次不等式、不等式的解集等知识点，熟练掌握解一元一次不等式的技能和“相斥不等式”的定义是解题的关键． （1）根据“相斥不等式”的定义求解即可； （2）根据“相斥不等式”的定义可得到关于a的不等式，求解即可； （3）根据“相斥不等式”的定义可得到关于k的不等式，求解即可． 【详解】（1）解：①∵的解可能是的解， ∴不是的“相斥不等式”． ②∵的解有可能是的解， ∴不是的“相斥不等式”； ③∵的解都不是的解， ∴是的“相斥不等式”． 故答案为：③． （2）解：解不等式得：， 解不等式得：， ∵关于的不等式是的“相斥不等式”， ∴， 解得：． （3）解：∵（是非零常数）是的“相斥不等式”， 的解集为， ∴， 解得：且． 5．（25-26七年级下·上海长宁·周测）小明解不等式时出现了错误，他的解答过程如下： 解：去分母，得，    第一步 去括号，得，    第二步 移项、合并同类项，得，    第三步 系数化为1，得．    第四步 (1)小明的解答过程从第 步开始出现错误，其错误原因是 ． (2)写出此题正确的解答过程． (3)请你根据平时的学习经验，就解不等式需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】(1)一，不等式的右边没有乘各分母的最小公倍数（合理即可） (2)见解析 (3)解不等式需要注意不等式两边同乘或除以同一个负数时，不等号方向要发生改变（合理即可） 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，掌握解一元一次不等式的步骤，去分母时每一项都要乘，系数为负时不等号方向改变是解题的关键． （1）观察小明的步骤，第一步去分母时，不等式右边的没有乘各分母的最小公倍数，导致错误； （2）按照解一元一次不等式的正确步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为进行求解； （3）结合解不等式的易错点，给出合理建议． 【详解】（1）解：∵解不等式 时，去分母需要将不等式两边的所有项都乘以分母的最小公倍数， ∴正确的去分母结果应为 ∵小明的解答过程第一步为 ∴小明的解答过程从第一步开始出现错误，其错误原因是去分母时，不等式右边的常数项没有乘以最小公倍数． （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． （3）解：示例：解不等式需要注意不等式两边同乘或除以同一个负数时，不等号方向要发生改变（合理即可）． 6．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）【提出问题】已知，且，，试确定的取值范围． 【分析问题】先根据已知条件用去表示，然后根据题中已知的取值范围，构建的不等式，从而确定的取值范围，同理再确定的取值范围，最后利用不等式的性质即可解决问题． 【解决问题】解：，． ，，． ，， 同理，得． 由，得， 的取值范围是． 【尝试应用】（1）已知，且，，求的取值范围； （2）已知，，若成立，求的取值范围结果用含的式子表示． 【答案】（1）；（2）当时， 【分析】（1）仿照例子，运算求解即可； （2）仿照例子，注意确定不等式有解集时a的取值范围即当时，关于x、y的不等式存在解集，然后运算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，① 同理，得，② 由①+②，得， ∴的取值范围是． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，，① 同理，得，② 由①+②，得， ∴的取值范围是． 【点睛】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式．能够仿照例子结合不等式的基本性质作答是解题的关键． 【经典例题二 一元一次不等式的整数解压轴】 7．（24-25七年级下·上海嘉定·月考）已知关于x的方程的解是非负数． (1)求m的取值范围； (2)当m取最大整数时，求关于x的不等式：的最小整数解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式，熟练掌握方程和不等式的解法是解题关键． （1）先解一元一次方程求出方程的解，再根据建立不等式，解不等式即可得； （2）先根据（1）的结果求出的值，再代入解一元一次不等式即可得． 【详解】（1）解：， ， 解得， 关于的方程的解是非负数， ，即， 解得． （2）解：，且取最大整数， ， 代入得：， ， ， ， 解得， ∴不等式：的最小整数解为． 8．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）已知有理数、，定义一种新运算“*”，规定：（、均不为零）．等式右边的运算是通常的四则运算，例如．已知，． (1)求，的值． (2)求的最小整数解． 【答案】(1)， (2)最小整数解为3 【分析】本题考查新定义运算，解二元一次方程组，求一元一次不等式的整数解，理解新定义的运算法则是解题的关键． （1）根据列出关于a和b的二元一次方程组，解方程组即可； （2）将变形为，求不等式的最小整数解即可． 【详解】（1）解： ，， ，， 即， 解得，． （2）解：， ， 解得， 关于的不等式的最小整数解为3． 9．（24-25七年级下·上海静安·月考）在实数范围内定义一种新运算“★”，其运算规则为． 例如：． (1)解不等式：； (2)求不等式的最大整数解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了新定义，解一元一次不等式，关键是正确理解新定义，根据新定义列出不等式． （1）根据新定义进行列出不等式进行解答便可； （2）根据新定义列出不等式进行解答便可． 【详解】（1）解：由，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化成1，得 （2）解：根据新运算定义，化简不等式左边得， 化简不等式右边得， 所以， 解得， 所以该不等式的最大整数解为． 10．（24-25七年级下·上海松江·期末）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”． (1)不等式______（选填“是”或“不是”）的“云不等式”； (2)若关于的不等式与不等式互为“云不等式”，且有个公共的整数解，求的取值范围． 【答案】(1)不是 (2)的取值范围为 【分析】本题考查了新定义，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，理解“云不等式”是解题的关键 （1）根据“云不等式”的定义，即可解答； （2）先分别解两个不等式，然后根据题意可得，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：与没有公共解， 不等式不是的“云不等式”， 故答案为：不是； （2）解：解不等式，得； 解不等式，得； 这两个不等式互为“云不等式”， ， 又它们有个公共的整数解， 其公共整数解为和， 由题意得：， ， 的取值范围为． 11．（24-25七年级下·上海虹口·月考）材料阅读： 已知，为整数，关于的不等式的最小整数解为，关于的不等式的最大整数解为．根据材料回答以下问题： 已知，是整数，关于的不等式的最小整数解为，关于的不等式的最大整数解为． （1）求，的值； （2）在（1）的条件下，若，求符合题意的最大整数； （3）在（1）的条件下，求关于，的方程的非负整数解． 【答案】（1），；（2）最大整数是3；（3），． 【分析】（1）根据已知得出，，求出解即可； （2）根据绝对值和（1）中的 的值得出，求出即可； （3）解方程得到，于是求得符合题意的非负整数解即可． 【详解】解：（1）是整数， 、也是整数， 关于的不等式的最小整数解为，关于的不等式的最大整数解为， ，， 解得：，； （2）， ， ， ， ，符合题意的最大整数是； （3），，． ， 关于，的方程的非负整数解为，． 【点评】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，解二元一次方程组，正确的理解题意是解题的关键． 12．（24-25七年级下·上海宝山·期末）阅读下面材料： 材料一：数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作，如表示数轴上表示数的点与表示数的点的距离． 材料二：绝对值符号中含有未知数的不等式叫做绝对值不等式．求绝对值不等式的解集． 小华同学的思路如下：根据绝对值的定义，当时，，把和2在数轴上分别表示为点，，如图所示，观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分： 点左边的点表示的数的绝对值大于2； 点，之间的点表示的数的绝对值小于2； 点右边的点表示的数的绝对值大于2 因此，小华得出结论，绝对值不等式的解集为：或． 参照小华的思路，解决下列问题： (1)请你直接写出下列绝对值不等式的解集． ①的解集是　　； ②的解集是　　； (2)求绝对值不等式的整数解； (3)直接写出绝对值不等式的解集是　　． 【答案】(1)①或；② (2)整数解为，0，1，2，3 (3)或 【分析】（1）①利用绝对值的意义解答即可得到答案； ②利用绝对值的意义解答即可得到答案； （2）根据不等式的性质化简得到，由此得到，求出解集即可得到整数解； （3）分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别解不等式即可． 【详解】（1）解：根据阅读材料可知： ①的解集是或； ②的解集是． 故答案为：或；． （2）解：， ， ， ， ， 整数解为，0，1，2，3； （3）解：①当时，不等式为， 移项、合并得， 系数化为1，得； ②当时，不等式为， 移项、合并得， 不成立； ③当时，不等式为， 移项、合并得， 系数化为1，得． 故不等式的解集是或， 故答案为或． 【点睛】此题考查了解绝对值不等式，理解绝对值的意义，正确解一元一次不等式，解题的关键是理解阅读材料掌握解题的思路及方法． 【经典例题三 一元一次不等式的最值压轴】 13．（2025·河北·模拟预测）现有单价为10元和5元的笔记本共15本，总金额不足95元，根据此信息，小强列出不完整的不等式：　　　　．根据小强所列的不等式，解答以下问题． (1)请写出未知数x表示的意义． (2)单价为10元的笔记本的本数有最大值还是最小值？请判断并求出这个值． 【答案】(1)x表示单价为5元的笔记本的本数 (2)单价为10元的笔记本的本数有最大值，这个值为3 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用，正确理解题意得出不等关系是解题关键． （1）根据题意结合不等式的意义解答即可； （2）根据题意，列出不等式，求解，根据不等式的意义解答即可． 【详解】（1）解∶根据题意，x表示单价为5元的笔记本的本数； （2）解：最大值，由题意，得， 解得， ∵x为正整数， ∴x有最小值，最小值为12， ∴有最大值，最大值为3， 即单价为10元的笔记本的本数有最大值，这个值为3． 14．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中，．设点A，B，C在数轴上所对应数的和是P．    (1)若P的值不大于11，求点A表示的数x的最大值． (2)若原点O在图中数轴上点C的右边a个单位长度，且P不小于，求a的最大值． 【答案】(1)2 (2)6 【分析】（1）点A表示的数为x，点B表示的数为，点C表示的数为，根据P的值不大于11，列出不等式即可求解； （2）点C表示为，点B表示为，点A表示为，根据P不小于，列出不等式即可求解． 【详解】（1）点A表示的数为x， 点B表示的数为，点C表示的数为， 由题可得， 解得， 的最大值是2． （2）原点O在图中数轴上点C的右边a个单位长度， 点C表示为，点B表示为，点A表示为， 由题可得， 解得， 的最大值为6． 【点睛】本题考查一元一次不等式的实际应用，解题的关键是能够根据题意列出不等式． 15．（2025·山东泰安·模拟预测）今年某社区为搞好绿化，计划购买甲、乙两种树苗共计棵．有关甲、乙两种树苗的信息如下框图所示． 甲种树苗每棵元 乙种树苗每棵元 甲种树苗的成活率为； 乙种树苗的成活率为 要使这批树苗的成活率不低于，且使购买这两种树苗的总费用为元，求的最大值． 【答案】 【分析】设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，根据总费用为26000建立方程求出，根据成活率不低于建立不等式求出即可得到答案． 【详解】解：设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵， 由题意得，， ∴， ∵要使这批树苗的成活率不低于， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 解得， ∵都为正整数， ∴时不符合题意，时符合题意， ∴的最大值为． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意建立方程和不等式是解题的关键． 16．（24-25七年级下·上海宝山·开学考试）苹果寓意“平平安安”．春节里，“开心水果店”第一次用800元购进一批糖心苹果，很快售完．该店立即又用1920元第二次购进同样品种的糖心苹果，已知第二次购进数量是第一次购进数量的3倍，且第二次的进货价比第一次的进货价每千克少了1元． (1)求第一次所购进的苹果每千克多少元？ (2)店主在销售第一批苹果时，每千克的售价为8元，发现第一次购进的苹果有的损耗，但其他全部售完，售完之后购进第二批苹果．第二批苹果在购进后到售完的过程中，发现有的损耗，每千克售价比第一批的售价贵1元．若该水果店售完这两批苹果后，总获利不低于2168元，求y的最大值． 【答案】(1)第一次所购进的苹果每千克5元 (2)y的最大值为15 【分析】（1）设第一次所购进的苹果每千克x元，则第二次所购进的苹果每千克元，根据“第二次购进数量是第一次购进数量的3倍”列方程求解即可； （2）由题意得第一批苹果每千克进价5元，购进数量为千克，售价为每千克8元．第二批苹果每千克进价元，购进数量为千克，售价为每千克元．根据“该水果店售完这两批苹果后，总获利不低于2168元”列不等式求解即可． 本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出关于y的一元一次不等式． 【详解】（1）解：设第一次所购进的苹果每千克x元，则第二次所购进的苹果每千克元，根据题意，得 ， 解得， 经检验：是所列方程的解． 答：第一次所购进的苹果每千克5元． （2）解：知第一批苹果每千克进价5元，购进数量为千克，售价为每千克8元．第二批苹果每千克进价元，购进数量为千克，售价为每千克元．根据题意，得 ， 解得， ∴y的最大值为15． 17．（24-25七年级下·福建泉州·期末）为实现自然资源的可持续利用，建设“节约型社会”．某省出台阶梯电价计费方案，具体实施方案如下： 档次 月用电量x（度） 电价（元/度） 1档 0.49 2档 0.54 … … … (1)小华家2024年5月份共缴电费58.8元，求该月小华家的用电量； (2)小华家计划6月份用电量不超过400度，且使平均费用不超过0.50元/度．设小华家6月份的用电量为a度，求a的最大值． 【答案】(1)120度 (2)250 【分析】（1）根据小华家2024年4月份共缴电费58.8元判断用电量不超过200度，根据题意列出方程，解方程即可； （2）根据平均费用不超过0.50元/度列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：当时，（元）， ∵，∴． 依题意，得：，解得． 答：该月小华家的用电量为120度． （2）解：当时，，符合题意． 当时，， 解得，所以， 综上所述，，所以a的最大值为250． 【点睛】本题考查一元一次方程和不等式的应用，关键是根据题意列出方程与不等式． 18．（24-25七年级下·上海·月考）阅读下列材料： 问题：已知，且，，试确定的取值篮围 解决此问题的过程如下： 解：∵，，∴．∴ 又 ∴． 同理得：② 由①②得． ∴． 请按照上述方法，解答下列问题： (1)若，且，，求的取值范围；（写出求解过程） (2)若，且，，请直接写出的取值范围及其最大值． 【答案】(1) (2)，的最大值为25 【分析】本题考查了不等式的性质、解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是解题关键． （1）先根据，可得①，同理可得②，将①与②相加即可得； （2）先根据，可得③，同理可得④，将③与④相加即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴①， 同理可得：②， 由①②得：， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴③， 同理可得：④， 由③④得：， ∴， ∴的最大值为25． 【经典例题四 一元一次不等式组的解集压轴】 19．（25-26七年级下·上海长宁·单元测试）下图所示的是一个计算程序． (1)若输入的为，则输出的值是____________． (2)规定：程序运行到“判断结果是否大于18”为一次运算．若程序进行了三次运算才输出，求的取值范围． 【答案】(1)22 (2) 【分析】本题考查了代数式的表示和一元一次不等式组的求解，掌握将程序逻辑转化为数学不等式是解题的关键． (1) 将 代入程序，按流程计算，直到得到的结果大于； (2) 首先，根据程序流程，用代数式表示出第一次、第二次和第三次运算的结果；然后，根据程序进行了三次运算才输出这一条件，列出关于的不等式组，这个条件意味着第二次运算的结果必须不大于，而第三次运算的结果必须大于，解这个不等式组即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：当输入 时： 第一次运算： ，程序继续； 第二次运算： ，程序输出结果； 故输出的值是． （2）解：由题意可知，第一次运算结果为， 第二次运算结果为， 第三次运算结果为． 可列不等式组 解得． 20．（25-26七年级下·重庆沙坪坝·期末）解不等式组：，并写出所有整数解． 解：解不等式①得__________， 解不等式②得__________， 在同一条数轴上表示不等式①②的解集： 所以，原不等式组的解集为__________， 所以，原不等式组的整数解为__________． 【答案】，，数轴表示见解析，，、、0． 【分析】本题主要考查了解不等式、解不等式组、不等式组的整数解、在数轴上表示一元一次不等式组的解集等知识点，正确求得不等式组的解集是解决本题的关键． 先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来，然后写出整数解即可解答． 【详解】解：①， ， ， ， ； ②， ， ， ； 在同一条数轴上表示不等式①②的解集如下： ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的整数解为，，0． 21．（2025·宁夏银川·三模）淇淇在解不等式组 时，发现x的系数被墨迹覆盖了，老师用纸片挡住了部分答案给她看，如图所示． (1)被墨迹覆盖的系数■为： ． (2)解不等式②，并写出该不等式组的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查不等式的性质、解一元一次不等式、解一元一次不等式组、解分式方程，熟练掌握不等式的性质是解答的关键． （1）设被墨迹覆盖的系数是，根据不等式的性质，不等式的解集，分式方程的计算即可求解； （2）求得①②不等式的解集，再求得它们的公共部分即可得到该不等式组的解集． 【详解】（1）解：设被墨迹覆盖的系数是， ∴不等式可变形为， ∵不等式①的解集为， ∴， 解得， 经检验，是该方程的解， ∴被墨迹覆盖的系数是6； （2）解：， 解①得，， 解②得，， ∴不等式组的解集为：． 22．（25-26八年级上·福建漳州·月考）下面是嘉嘉同学解一元一次不等式组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：由①去分母，得第一步 去括号，得第二步 移项，得第三步 合并同类项，得第四步 系数化为1，得第五步 (1)任务一：以上解题过程中，第一步的依据是______；第______步开始出现错误； (2)任务二：请你帮嘉嘉同学正确求解如上不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】(1)不等式的基本性质2；三 (2)见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组解集． （1）根据不等式的基本性质和移项需要变号可知第三步出错； （2）按照解一元一次不等式的步骤求解，把解集表示在数轴上即可． 【详解】（1）解：第一步的依据是：不等式的基本性质2； 第三步移项出错，移项没有改变符号； 故答案为：不等式的基本性质2；三； （2）解：由①去分母得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得； 由②移项，得， 解得； 不等式组的解集为：； 如图： ． 23．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）若一个不等式组有解且解集为，则称为的“绝对距离”，若的绝对距离是不等式组的解，则称不等式组对于不等式组“绝对包含”． (1)已知关于的不等式组以及不等式组，判断不等式组是否对于不等式组绝对包含，并写出判断过程． (2)已知关于的不等式组和关于的不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，当时，求满足条件的所有整数的和． (3)已知关于的不等式组以及不等式组，且不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围． 【答案】(1)不等式组对于不等式组绝对包含，理由见解析； (2)； (3) 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法及新定义的应用，关键是理解新定义，将问题转化为不等式组的解集及解的判断问题． （1）先求解不等式组的解集，计算其绝对距离，再判断该绝对距离是否属于不等式组的解集即可； （2）先确定不等式组的绝对距离，求解不等式组的解集，根据“绝对包含”的定义列出关于和的不等式，结合的取值范围确定整数的取值，最后求和； （3）分别求解不等式组和的解集，计算的绝对距离，根据“绝对包含”的定义列出关于的不等式组，结合不等式组有解的条件确定的取值范围． 【详解】（1）解：解不等式组：，得， 其绝对距离为； 不等式组的解集为，且，即3是不等式组的解， 不等式组B对于不等式组绝对包含； （2）解：不等式组：有解， ，其绝对距离为； 解不等式组，得； 不等式组D对于不等式组绝对包含， 是的解，即， 由不等式①得， 解得：， ， ，此条件与不等式组C有解的条件一致， 由不等式②得； 又，且， 整数的取值为； 这些整数的和为； （3）解：解不等式组：，得， 不等式组有解， ，解得， 其绝对距离为； 解不等式组：，<x<， 不等式组有解， ，解得，该条件在时自动满足； 不等式组对于不等式组绝对包含， 是的解，即，解得， 结合， 的取值范围为. 24．（25-26八年级上·广西南宁·开学考试）阅读下述材料完成问题 利用不等式的性质说明下列结论的正确性： 如果，，那么． 解：因为，所以．① 又因为，所以．② 由数的大小比较可知，不等式关系具有传递性， 所以由①②，可得． 通过上述材料，我们可以得到不等式的同向可加性． 例如：若，，那么，即的取值范围是． (1)根据上述性质解决问题：若，，则的取值范围是___________； 若，，则的取值范围是___________； (2)【性质应用】已知，且，，求的取值范围． 解：由，得． 将代入得， ， 即． 又因为， 所以． 以上是求解的部分过程，请你在此基础上将剩余的解答过程补充完整 (3)【拓展提升】已知，且，，则的取值范围是___________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了不等式和等式的性质，解题关键是熟练掌握不等式的基本性质． （1）根据不等式的性质进行计算即可； （2）先根据已知条件把用表示出来，再根据和求出的取值范围，同理求出的取值范围，然后再根据不等式的性质进行解答即可； （3）先根据已知条件把用表示出来，再根据，求出的取值范围，同理求出的取值范围，然后再根据不等式的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：， ，即， ， ，即， 故答案为：； （2）解：由，得， 将代入得，， 即， ， ， 由，得， 将代入得，， 即， ∵， ∴， ， ． （3）解：， ∴， 将代入得，， 即， ， ， ； ， ∴， 将代入得，， 即， ， ， ， ， 故答案为：． 【经典例题五 一元一次不等式组的整数解压轴】 25．（2025七年级上·上海长宁·专题练习）若关于x的一元一次不等式组有且只有4个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，求所有满足条件的整数a的值之和． 【答案】12 【分析】本题综合考查不等式组的整数解分析与分式方程解的存在性与限制条件，关键在于准确处理边界情况及排除使分母为零的情况，同时注意整数解的个数限制与代数解之间的关系，逻辑严密才能正确求解．先解一元一次不等式组，求出x的取值范围，然后根据关于x的一元一次不等式组有且只有4个整数解，求出a的取值范围，再解分式方程，根据关于y的分式方程有非负整数解，列出关于a的不等式，求出a的值，从而求出答案即可． 【详解】解：关于x的一元一次不等式组的解集为， ∵一元一次不等式组有且只有4个整数解，即2，3，4，5， ∴， ∴, ∴或5或6或7或8或9， 关于y的分式方程的解为， ∵分式方程有非负整数解， ∴，为非负整数， 即为非负偶数， ∴或6或4或2或0， ∵， ∴, ∴， ∴， ∴或4或2或0． ∵， ∴符合条件的整数a有4，8． ∴． 26．（24-25七年级下·上海长宁·单元测试）定义：表示不大于的最大整数，如．我们把满足(为常数)的的取值范围叫作的核心范围，如的的核心范围为，的的核心范围为． (1)请直接写出：_______，若，则的核心范围是_______． (2)若关于的不等式组有且只有三个正整数解，请写出这三个正整数解，并求出的取值范围． 【答案】(1)， (2)1，2，3； 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解以及一元一次不等式组的整数解，理解新定义是解题的关键； （1）根据新定义以及核心范围的定义，即可求出结论； （2）由，可求出，结合原不等式组只有三个整数解，即可找出的取值范围； 【详解】（1）解：，若，则的核心范围是 故答案为：，． （2）解：因为，所以． 因为有且只有三个正整数解， 所以整数解应为1，2，3． 所以 27．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）下面是小亮解不等式的过程，对照答案之后他发现自己做错了． 解不等式． 解：去分母，得，…………第①步 去括号，得，…………第②步 移项，得，…………第③步 合并同类项，得，…………第④步 两边除以，得．…………第⑤步 根据过程回答问题． (1)小亮解题过程中第______步出现错误，错误的原因是______； (2)请写出该不等式正确的解答过程； (3)请在括号内补充一个不等式，使得不等式组的解集有且只有1个整数解． 【答案】(1)②；去括号时漏乘常数项 (2)见解析 (3) 【分析】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键． （1）观察解题过程，按照一元一次不等式的解题步骤，找出错误的步骤即可；根据有理数乘法分配律法则去括号，分析错误的原因即可； （2）根据解一元一次方程的步骤解答即可； （3）根据解不等式组求整数解的方法解答即可． 【详解】（1）②；去括号时漏乘常数项 （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 两边都除以，得； （3）由（2）得，不等式的解集为：， 不等式组有且只有一个整数解， ， 故答案为：． 28．（24-25七年级下·上海长宁·期末）老师黑板上出示了题目：“x取哪些非负整数时，不等式 ①与 ②都成立？”并给出了部分解答过程（如图所示）： 由①得， 已知其中“■”表示数字，“★”表示不等号． (1)请根据以上信息判断“■”表示的数字是 ； (2)请按下面的步骤完成老师出示的题目． 解：解不等式①，得 ． 解不等式②，得 ． 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：   所以不等式组的解集为 ． 所以x可取的非负整数值为 ． 【答案】(1)6 (2)；；见解析；；0，1 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集、不等式的性质等知识点，熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤和不等式的基本性质是解题的关键． （1）观察解不等式①的过程，根据不等式的基本性质求出■和★即可； （2）根据（1）中所求■得到①，按照解一元一次不等式的一般步骤，求出①②的解集，并表示在数轴上，从而求出不等式组的解集和非负整数解即可． 【详解】（1）解：（1）由①得：， ， ， ， ∴， ∴，★表示＜， ∴“■”表示的数字是6， 故答案为：6； （2）由（1）可知， ∴， 由①得：， ， ， 由②得：， ， ， 解集在数轴上表示为： ， ∴不等式组的解集为：， ∴x可取的非负整数值为0和1， 故答案为：，，，0和1． 29．（24-25七年级下·福建泉州·期末）定义：给定两个不等式组和，若不等式组的任意一个解，都是不等式组的一个解，则称不等式组为不等式组的“衍生组”．例如：不等式组P：是不等式组Q：的“衍生组”． (1)若不等式组A：，B：，则不等式组 是不等式组C：的“衍生组”（填“A”或“B”）； (2)若关于的不等式组D：是不等式组E：的“衍生组”，且不等式组有且只有4个整数解，求的取值范围； (3)若关于的不等式组M：，N：，P：，其中不等式组是不等式组的“衍生组”，不等式组是不等式组的“衍生组”，且满足，求的取值范围． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】（1）求出不C的解集，利用题中的新定义判断即可 （2）解不等式组D，根据不等式组有且只有4个整数解，确定出a的范围，再结合“衍生组”进一步缩小范围即可； （3）根据“衍生组”的定义确定出各自的解集范围，根据，代入不等式组即可求出的取值范围． 本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的解集，能求出不等式组的解集是解此题的关键． 【详解】（1）解：不等式组C：解得：，即解集为， 不等式组A：即解集为，故不等式组A不全是是不等式组C的解，不符合定义，不等式组不是不等式组的“衍生组”． 不等式组 B：，即解集为，故不等式组B的任意一个解，都是不等式组C的一个解，符合定义，不等式组为不等式组的“衍生组”， 故答案为：B； （2）解：关于的不等式组D：得， ∵不等式组有且只有4个整数解， ∴不等式组的解为，其4个整数解为，，0，1， ∴，即， 又∵关于的不等式组D：是不等式组E：的“衍生组”， 不等式组E：，即解集为， ∴，解得， 综上所述： （3）关于的不等式组M：，即解集为， N：，即解集为， P：，即解集为， 不等式组是不等式组的“衍生组”， ∴，即 ∵，即， ∵不等式组是不等式组的“衍生组”， ∴， 即 ∴， 综上所述： 30．（24-25七年级下·湖南长沙·月考）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“静待花开方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“静待花开方程”． (1)在方程①；②；③中，不等式组的“静待花开方程”是________；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“静待花开方程”，求k的最大正整数解； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“静待花开方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． 【答案】(1)② (2)7 (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组，根据不等式组的解集情况求参数等等，正确理解题意是解题的关键． （1）分别求出三个方程的解和不等式组的解集即可得到答案； （2）分别求出方程的解和不等式组的解集，再根据定义可得关于k的不等式组，解不等式组求出k的取值范围即可得到答案； （3）解方程得；解不等式组得，设不等式组的整数解为：，，，，， 则， 可求出，根据为整数，得到，则可求出，再根据定义得到，则，综上所述，． 【详解】（1）解：解方程得； 解方程得； 解方程得； 解不等式④得， 解不等式⑤得， ∴原不等式组的解集为， ∴只有方程是原不等式组的“静待花开方程”， 故答案为：②； （2）解：解方程得； 解不等式（1）得：， 解不等式（2）得：， ∴原不等式组的解集为， ∵关于x的方程是不等式组的“静待花开方程”， ∴， 解得， ∴k的最大正整数解为7； （3）解：解方程得； 解不等式（1）得， 解不等式（2）得， ∴原不等式组的解集为， ∵此时不等式组有5个整数解， ∴可设不等式组的整数解为：，，，，， ， ∴， ∴或， ∴ ∵为整数， ∴， ∴，即， 又∵关于x的方程是关于x的不等式组的“静待花开方程”， ∴， ∴， 综上所述，． 【经典例题六 一元一次不等式组与方程组结合压轴】 31．（24-25七年级下·江西宜春·期末）已知关于x，y的方程组． (1)若该方程组的解满足，求m的值； (2)若该方程组的解满足x，y均为正数，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，求m的整数值． 【答案】(1)2023 (2) (3) 【分析】（1）方程组中的两方程相加并整理可得，结合已知可得关于m的方程，解方程即可求出答案； （2）先解方程组求出方程组的解，进而可得关于m的不等式组，再解不等式组即可求出答案； （3）先解已知中的不等式得出m的一个范围，结合（2）的结果可得m总的范围，根据m为整数即可得到答案． 【详解】（1）解：方程组中的两方程相加得：，即, ∵， ∴， ∴； （2）解方程组，得：， ∵， ∴， 解得：； （3）不等式， 移项得：， ∵不等式的解为， ∴，解得：， 又∵， ∴m的取值范围为， ∴整数m的值为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组，正确理解题意、熟练掌握解二元一次方程组和一元一次不等式组的方法是解题的关键． 32．（24-25七年级下·福建厦门·期中）当方程中的系数用字母表示时，这样的方程叫做含字母系数的方程，也叫含参数的方程． （1）解关于，的二元一次方程组， （2）若关于，的二元一次方程组：的解满足不等式组，求出整数的所有值． 【答案】（1）；（2）所有自然数 【分析】（1）利用加减消元法求解； （2）将代入不等式组，求出该不等式组的解集，再求出整数a即可． 【详解】解：（1）， ①×2−②，得，代入①中， 解得：， ∴方程组的解为； （2）将代入不等式组， 得：， 解得：， 所以整数a的所有值为0，1，2，3，…等所有自然数． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，不等式组的整数解等知识点，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解（1）的关键，能求出不等式组的解集是解（2）的关键． 33．（24-25七年级下·四川乐山·期中）（1）阅读下面问题的解答过程并补充完整． 问题：实数，满足，，且，，求的取值范围． 解：列关于，的方程组，解得，又因为，，所以，解得______； （2）已知，且，，求的取值范围； （3）若，满足，，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可； （2）根据（1）阅读中的方法解题即可求解； （3）先根据求出的值，再代入中即可得到关于的二次函数，根据的取值范围，求出的取值范围． 【详解】解：（1）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 故答案为：； （2）①设，则， 解得：， ，， ， 解得：， 即； （3）由得， 则，解得， ， 将，代入中， 得， ， 当时，取最小值为； 当时，取最大值为， 的取值范围为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集． 34．（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）同学们学习了有理数乘法，不等式组与方程组的知识，它们之间有着一定的逻辑关联，请解决以下问题： (1)阅读理解：解不等式． 解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为或， 解不等式组，得；解不等式组，得 ∴原不等式的解集为或． 问题解决：根据以上材料，解不等式． (2)已知关于x，y的方程组的解满足不等式组，求满足条件的m的整数值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据阅读材料可得：当和异号时不等式成立，据此即可转化为不等式问题求解即可； （2）根据题意求出方程组的解，然后代入不等式组求解即可． 【详解】（1）解：根据两数相乘，异号得负，原不等式可以转化为：或． 解不等式组，不等式组无解； 解不等式 ，解得． 所以原不等式的解集为：． （2）解： 得：，解得， 将代入①得，， ∴方程组的解为， ∵， ∴， 解不等式组得：， ∴可取的整数值为． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法及二元一次方程组的解法，熟练掌握求不等式组的解集及二元一次方程组的解的方法是解题关键． 35．（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）阅读下列材料： 已知，且，，试确定的取值范围有如下解法： 解：，且，，又， 同理得． 由得， 的取值范围是． 按上述方法完成下列问题：关于，的方程组的解都为正数． (1)求的取值范围； (2)已知，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把方程组解出，再根据解为正数列关于的不等式组解出即可； （2）分别求、的取值范围，相加可得结论． 【详解】（1）解方程组， 得， 方程组的解都为正数， ， 解得， 的取值范围为； （2），，， ，， ，， ，， ． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法及不等式组的解的应用，解答本题的关键是仔细阅读材料，理解解题过程． 36．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②“包含”，其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解． 例如：不等式被不等式“包含”． (1)下列不等式（组）中，能被不等式“包含”的是 ． A、   B、      C、     D、 (2)若关于x的不等式被“包含”，若且，求M的最小值． (3)已知 ，，且k为整数，关于x的不等式P：，Q：，请分析是否存在k，使得P和Q存在“包含”关系，且Q被P“包含”，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)C (2)19 (3) 【分析】（1）分别求出四个选项中不等式（组）的解集，再根据“包含”关系的定义逐一判断即可； （2）根据题意可得，解得，再根据已知条件推出，由此即可得到答案； （3）先解方程组得到，再由，，求出，再根据P、Q之间的包含关系求出，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：A、不等式的解集为， ∴不等式不能被不等式“包含”，不符合题意 B、不等式的解集为， ∴不等式不能被不等式“包含”，不符合题意 C、不等式的解集为， ∴不等式能被不等式“包含”，符合题意 D、不等式组无解， ∴不等式组不能被不等式“包含”，不符合题意 故选C； （2）解：关于x的不等式被“包含”， ∴ 解得 ，    又∵， 解得． ∴， ∵， ∴ ， ∴M的最小值是19． （3）解：解方程组得 ∵，， ∴ 解得， ∵k为整数， ∴k的值为，0，1，2； 不等式P：整理得，；不等式Q：的解集为 ， ∵P和Q存在“包含”关系，且Q被P“包含” ∴不等式P：的解集为 ， ∴，且， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式（组），正确理解题意是解题的关键． 【经典例题七 特殊不等式组压轴】 37．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）先阅读，再解答:写出关于的不等式的解集， 解:利用不等式的性质，不等式两边都除以， 因不知的符号，所以应分情况讨论: 当即时， 当即时，； 当，即时，此不等式为无解． 请根据以上解不等式的思想方法，解关于的不等式． 【答案】或或无解． 【分析】按照题中的思路解不等式即可． 【详解】解:利用不等式的性质，不等式两边都除以， 因不知的符号，所以应分情况讨论: 当即时， 当即时， 当即时，此不等式为无解． 【点睛】本题考查了解不等式的问题，掌握解不等式的思想方法是解题的关键． 38．（24-25七年级下·江苏南京·开学考试）自学下面材料后，解答问题． 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式．如：；等．那么如何求出它们的解集呢？ 根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为：若，，则；若，，则；若，，则；若，，则． （1）反之：若，则或；若，则______或_______． （2）根据上述规律，求不等式的解集． （3）直接写出分式不等式的解集___________． 【答案】（1）或；（2）或；（3）或 【分析】（1）根据有理数的运算法则，两数相除，同号得正，异号得负即可解答. （2）根据不等式大于0得到分子分母同号，再分类讨论即可. （3）观察不等式后，发现分子相同且为正数，故只需要比较分母，再对分母的正负性进行分类讨论即可. 【详解】解：(1)若，则分子分母异号，故 或 故答案为： 或 . (2)∵不等式大于0，∴分子分母同号，故有： 或 解不等式组得到：或. 故答案为：或. (3)由题意知，不等式的分子为是个正数，故比较两个分母大小即可. 情况①：时，即时，，解得：. 情况②：时，即时，，解得：. 情况③：时，此时无解. 故答案为：或. 【点睛】本题借助有理数的除法法则考查了不等式的解法，题目比较新颖，需要进行分类讨论，将分式型不等式化成不等式组的形式处理是解决此题的关键；第3问中分子相同且为正数，故对分母的大小及正负性分类讨论. 39．（24-25七年级下·湖南·期末）若三个代数式满足：只要其中有两个代数式之和大于另外一个代数式的解集为大于1的实数，则称这三个代数式构成“雅礼不等式”．例如：三个代数式有：当时的解集为，则称构成“雅礼不等式”． (1)可以构成“雅礼不等式”吗？请说明理由； (2)若构成“雅礼不等式”，求a的值或取值范围； (3)若构成“雅礼不等式”，求关于x的不等式组的解集． 【答案】(1)可以，理由见解析 (2) (3)或 【分析】（1）由x-2+x+1＞1，即2x-1＞1的解集为x＞1即可得出答案； （2）分ax+a+1＞x、ax+x＞a+1、a+1+x＞ax三种情况分别求解即可； （3）分-2nx+x＞mx+m、mx+m+n＞-2nx、mx+n-2nx＞n三种情况，依据新定义得出m、n之间的数量关系及m、n的正负情况，再代入方程组消掉m或n，进一步求解即可． 【详解】（1）x-2，1，x+1可以构成“雅礼不等式”， ∵x-2+x+1＞1，即2x-1＞1的解集为x＞1， ∴x-2，1，x+1可以构成“雅礼不等式”． （2）①当时 此时要求且 无解 ②当时 此时要求 则 ③当时 此时要求且 无解 综上所述： （3）①当时 则 因为构成“雅礼不等式” ∴ 解得 代入求得 ②当时 则 因为构成“雅礼不等式” ∴ 解得 代入求得 ③当时 则 因为构成“雅礼不等式” ∴ 解得 代入求得 综上所述：或 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是根据“雅礼不等式”的定义列出对应的不等式，从中得出m、n之间的数量关系及其符号． 40．（24-25七年级下·上海闵行·期中）阅读理解题： （1）原理：对于任意两个实数、， 若，则和同号，即：或 若，则和异号，即：或 （2）分析：对不等式来说，把和看成两个数和，所以按照上述原理可知：（Ⅰ）或（Ⅱ），所以不等式的求解就转化求解不等式组（Ⅰ）和（Ⅱ）． （3）应用：解不等式 ① ② 【答案】（3）①或；② 【分析】（3）①根据题中所给方法进行分类求解不等式即可； ②先提取公因式，然后再根据题中所给方法进行求解即可． 【详解】解：（3）①， ∴当时，解得：； 当时，解得：； ∴原不等式的解集为或； ② ∴当时，解得：； 当时，不等式组无解； ∴原不等式的解集为． 【点睛】本题主要考查不等式组的求解，解题的关键是根据题中所给方法进行求解． 41．（24-25七年级上·重庆·月考）阅读：我们知道于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，， 解得， 所以； ②当，即时，， 解得， 所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，请解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查绝对值不等式的求解，熟练掌握绝对值的性质分类讨论是解题的关键． （1）仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集． （2）仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集． 【详解】（1）解：， ①当，即时，， 解得， ∴， ②当，即时，， 解得， ∴， ∴不等式的解集为； （2）解：， ①当，即时，， 解得， ∴， ②当，即时，， 解得， ∴， ∴不等式的解集为或． 42．（24-25七年级下·吉林长春·期末）我们在数学学习中，经常利用转化的思想方法解决问题，比如，我们通过“消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求解．下面我们就利用“转化”的思想方法尝试解决新的问题． 先阅读下面的例题，再按要求完成下列问题． 例：解不等式． 解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”得①或② 解不等式组①，得． 解不等式组②，得． 所以不等式的解集为或． 根据例题方法解决下面问题： (1)解不等式． 解：由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得①或②___________． 解不等式组①，得___________． 解不等式组②，得___________． 所以不等式的解集为___________． (2)应用：不等式：的解集为___________． 【答案】(1) ， ，无解，； (2)或 【分析】（1）仿照例题的方法，进行计算即可； （2）仿照例题的方法，利用有理数的除法原则“两数相除，同号得正”，进行计算即可． 【详解】（1）解：由有理数的乘法原则“两数相乘，异号得负”，得 或 解不等式组，得 解不等式组，得无解 不等式的解集为 故答案为 ， ，无解， （2）解：由有理数的除法原则“两数相除，同号得正”，得 或 解不等式组，得 解不等式组，得 故答案为或 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，熟练掌握例题的方法是解题关键． 【经典例题八 一元一次不等式的新定义运算】 43．（24-25七年级下·上海奉贤·期末）对于任意实数x，y定义一种新运算“#”：．例如，． (1)解不等式：； (2)若，且该不等式组的解集中恰有两个整数解，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)x＜0.5 (2)6≤m＜7 【分析】（1）根据新定义列出不等式3x+3-x＜4，解之即可； （2）由新定义得出，解之得出x＞m-2且x＜7，结合不等式组的整数解个数得出4≤m-2＜5，解之即可． 【详解】（1）解：∵3#x＜4， ∴3x+3-x＜4， 解得x＜0.5； （2）解：∵m＜2#x＜9， ∴ 解不等式①，得：x＞m-2， 解不等式②，得：x＜7， ∵不等式组有2个整数解， ∴4≤m-2＜5， ∴6≤m＜7． 【点睛】本题主要考查新定义运算，列一元一次不等式（组），解一元一次不等式（组），求不等式组的整数解，解题的关键是根据新定义列出关于x的不等式和不等式组． 44．（24-25七年级下·福建泉州·期末）对x，y定义一种新运算，规定：（其中a，b均为非零常数）．例如：． (1)已知，． ①求a，b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2024个整数解，求实数p的取值范围； (2)若不论m，n取何值时，的值都是一个定值，请求出该定值． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】题考查了一元一次不等式组的整数解，实数的运算，解二元一次方程组： （1）①利用题中的新定义化简已知两式，得到关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值； ②把a与b的值代入确定出，表示不等式组，变形后表示出解集，根据解集恰有2024个整数解确定出p的范围即可； （2）利用新定义，变形后得出，由不论m，n取何值时，的值都是一个定值，即可得出，解得，代入，即可求得． 【详解】（1）解：①，，    解得： ，．    ②由①得：，    解得：    ∵关于m的不等式组恰好有2024个整数解， ，    ． （2）解： ， ∵且不论m，n取何值，的值都是一个定值，     解得：     ， ∴该定值为． 45．（24-25七年级下·福建泉州·期末）给出新定义：对非负数“四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负整数时，若，则．如：，，，，试解决下列问题： (1)填空：若，则实数a的取值范围为_______． (2)已知关于x的不等式组的整数解恰有2个，求b的取值范围． (3)求满足的所有非负实数c的值． 【答案】(1) (2) (3)，， 【分析】（1）根据题意列不等式即可得到结论； （2）首先将看作一个整体，解不等式组进而根据整数解的个数得出b的取值范围； （3）利用，设，为整数，得出关于的不等关系求出即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解不等式组，得：， 由不等式组整数解恰有2个得，，则， 故； （3）∵，为整数，设，为整数， 则， ∴， ∴，， ∴， ∴，1，2， 则，，． 【点睛】此题主要考查了新定义以及一元一次不等式组的应用，根据题意正确理解的意义是解题关键． 46．（24-25七年级下·上海·期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是 ；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围． 【答案】(1)①② (2) 【分析】本题考查解一元一次不等式组、解一元一次方程等知识，读懂题意，理解“关联方程”是解决问题的关键． （1）先解一元一次不等式组，再解一元一次方程，最后由“关联方程”的定义求解即可得到答案； （2）先解一元一次不等式组，再解一元一次方程，最后由“关联方程”的定义求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， 由①得； 由②得； 不等式组的解集为； 解方程得， ， 方程①是不等式组的“关联方程”； 解方程得， ， 方程②是不等式组的“关联方程”； 解方程得， 方程③不是不等式组的“关联方程”； 故答案为：①②； （2）解：， 由①得； 由②得； 不等式组的解集为； 解方程得， 关于的方程是不等式组的“关联方程”， ， 解得． 47．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如果x是一个有理数，我们定义表示不小于 x 的最小整数．如，，由定义可知，任意一个有理数都能写成的形式（）． (1)直接写出与x，的大小关系； 提示1：用“不完全归纳法”推导与x，的大小关系； 提示2：用“代数推理”的方法推导与x，的大小关系． (2)根据（1）中的结论解决下列问题： ①直接写出满足的m取值范围； ②直接写出方程的解． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）提示1：通过举例子的形式进行推导即可；提示2：根据得到，进一步推出，则； （2）①根据（1）的结论可得，解不等式组即可；②根据（1）的结论可得，求出，再由为整数即可得到答案． 【详解】（1）解：提示1：当时，，， 则， 当时，，， 则， 当时，，， 则， 当时，，， 则， 由“不完全归纳法”可得：； 提示2：，且， ； （2）解：①由（1）的结论得： ， ， 解得； ②由（1）的结论得：， ， ， 解得， ， ， 为整数， 则或， 解得或． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，不等式的性质，理解新定义，正确求解不等式组是解题关键． 48．（25-26八年级上·浙江杭州·开学考试）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①；②；③中， 不等式组的“相依方程”是 ；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求m的取值范围． 【答案】(1)② (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“相依方程”是解题的关键． （1）分别解三个一元一次方程与不等式组，再根据新定义作判断即可； （2）分别解不等式组与方程，再根据新定义列不等式组解不等式组可得答案； （3）先解不等式组可得， 再根据此时不等式组有4个整数解，求出；解得到，根据“相依方程”的含义求出；进而可得答案． 【详解】（1）解：①， 解得： ②， 整理得： 解得： ③， 解得： 解不等式可得： 解不等式可得： 所以不等式组的解集为： 根据新定义可得：方程②是不等式组的“相依方程”． 故答案为：②； （2）解： 由①得： 由②得： 所以不等式组的解集为： ， 根据“相依方程”的含义可得： 解得： （3）解： 由①得： 由②得： ∴不等式组的解集为： 此时不等式组有4个整数解， ∴整数解为2，3，4，5， ∴ 解得； 因为， 解得： 根据“相依方程”的含义可得： 即 解得：， 即 综上： 【经典例题九 一元一次不等式组的实际应用】 49．（24-25八年级上·浙江温州·期末）深圳文博会期间，某展商展出了A、两种商品，已知用120元可购得的A种商品比种商品多2件，种商品的单价是A种商品的1.5倍． (1)求A、两种商品的单价各是多少元？ (2)小亮用不超过330元购买A、两种商品共13件，并且A种商品的数量不超过种商品数量的2倍，那么他有哪几种购买方案？要使购买这两种商品所需费用尽可能少，应选用哪种方案？ 【答案】(1)A种商品的单价为20元，B种商品的单价为30元 (2)方案一：购买A种商品6件，B种商品7件；方案二：购买A种商品7件，B种商品6件；方案三：购买A种商品8件，B种商品5件；应选用方案三 【分析】（1）设种商品的单价为元，则种商品的单价为元，由题意：用120元购买种商品的数量比购买种商品的数量多2件，列出方程，解方程即可； （2）设购买商品的件数为件，则购买商品的件数为件，根据不等关系：①购买种商品的数量不超过种商品数量的2倍，②购买的、两种商品的总费用不超过330元可分别列出不等式，联立求解可得出的取值范围，进而讨论各方案即可． 【详解】（1）解：设种商品的单价为元，则种商品的单价为元，由题意得：． 解得． 经检验是原方程的解． ∴． 答：A种商品的单价为20元，B种商品的单价为30元． （2）解：设购买商品的件数为件，则购买商品的件数为件，由题意得：． 解得． ∴整数，7，8． ∴共有三种方案． 方案一：购买A种商品6件，B种商品7件，所需费用为元； 方案二：购买A种商品7件，B种商品6件，所需费用为元； 方案三：购买A种商品8件，B种商品5件，所需费用为元； 答：共有三种购买方案．其中方案三所需费用最少，所以应选用方案三． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用等知识；解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程或不等式． 50．（2025·河南平顶山·模拟预测）某校原有600张旧课桌急需维修，经过A、B、C三个工程队的竞标得知，A、B的工作效率相同，且都为C队的2倍，若由一个工程队单独完成，C队比A队要多用10天．学校决定由三个工程队一齐施工，要求至多6天完成维修任务．三个工程队都按原来的工作效率施工2天时，学校又清理出需要维修的课桌360张，为了不超过6天时限，工程队决定从第3天开始，各自都提高工作效率，A、B队提高的工作效率仍然都是C队提高的2倍．这样他们至少还需要3天才能完成整个维修任务． （1）求工程队A原来平均每天维修课桌的张数； （2）求工程队A提高工作效率后平均每天多维修课桌张数的取值范围． 【答案】（1）A队原来平均每天维修课桌60张；（2）6≤2y≤28． 【分析】中考中的不等式一般是和方程一块考查的．类型有方案等．一般为利用方程求量，然后用所求的量在自变量取值范围内求解． 【详解】解：⑴ 设C队原来平均每天维修课桌x张， 根据题意得：， 解这个方程得：x=30， 经检验x=30是原方程的根且符合题意， 2x=60 答：A队原来平均每天维修课桌60张． ⑵ 设C队提高工效后平均每天多维修课桌x张， 施工2天时，已维修（60+60+30）×2=300（张）， 从第3天起还需维修的张数应为（300+360）=660（张） 根据题意得：3(2x+2x+x+150)≤660≤4(2x+2x+x+150) 解这个不等式组得:3≤x≤14 ∴6≤2x≤28 答：A队提高工效后平均每天多维修的课桌张数的取值范围是：6≤2x≤28 51．（24-25七年级下·上海长宁·课后作业）应用意识 用甲、乙两种原料配制成某种饮料，设所需甲种原料的质量为．已知这两种原料中维生素C的含量及购买这两种原料的价格如表所示： 甲种原料 乙种原料 维生素C的含量/（单位/千克） 600 100 原料价格/（元/千克） 8 4 现配制这种饮料，要求含有4200单位以上的维生素C． (1)请列出x应满足的不等式； (2)如果要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，那么请列出x应满足的所有不等式． 【答案】(1) (2)且且． 【分析】本题考查了列不等式，正确找出不等量关系是解题关键． （1）先求出所需乙种原料的质量为，再根据要求含有4200单位以上的维生素列出不等式即可得； （2）先求出所需乙种原料的质量为，再根据含有4200单位以上的维生素，购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，列出不等式即可得． 【详解】（1）解：∵现配制这种饮料，所需甲种原料的质量为， ∴所需乙种原料的质量为， ∵要求含有4200单位以上的维生素， ∴． （2）解：∵现配制这种饮料，所需甲种原料的质量为， ∴所需乙种原料的质量为， ∵要求含有4200单位以上的维生素，购买甲、乙两种原料的总费用低于72元， ∴且且． 52．（24-25八年级上·湖北随州·期末）随着技术的飞速发展，人工智能已经成为商场中不可或缺的一部分，大大提升了购物效率和顾客的满意度．某商场计划购进一批智能机器人，其计划单中部分信息如下： 型号 单价（元） 数量（台） 总金额（元） 型 27000 型 12000 已知计划购进型机器人比购进型机器人多2台，且型机器人的进价比型机器人的进价每台高50%． (1)求，两种型号的机器人的进价各是多少？ (2)春节将至，为应对购物高峰，商场决定用不超过20000元再次购买这两种型号的机器人共5台，并要求再次购买的型机器人的数量不少于型机器人的数量，问该商场如何采购这批机器人？总费用是多少？ 【答案】(1)型机器人的进价为4500元；型机器人的进价为3000元； (2)商场应购买型机器人3台，型机器人2台，总费用为19500元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确的列出二元一次方程组和一元一次不等式组并求解是解题的关键． （1）设型机器人的进价为元，则型机器人进价为元，设购进型机器人台，则购进型机器人台，根据题意列出方程组，解方程即可． （2）设再次购买型机器人台，则购买型机器人台，根据题意列出不等式组，解不等式即可． 【详解】（1）解：设B型机器人进价为元，购进B型机器人台，则型机器人进价为元，购进型机器人台， 根据题意，可列方程， 解得， 即B型机器人进价为3000元，型机器人进价为元． （2）解：设再次购买型机器人a台，则购买型机器人台， 根据题意，得， 解得， 由于为整数，所以， 总费用为元， 故商场应购买型机器人3台，B型机器人2台，总费用为19500元． 53．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）随着人工智能与互联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某企业使用A、B两种型号的机器人搬运货物．相关信息如下：若买3台A型机器人、4台B型机器人，共需480万元；若买4台A型机器人、3台B型机器人，共需500万元．A型机器人每天可以搬运货物75吨；B型机器人每天可以搬运货物50吨． (1)求A、B两种型号机器人的单价； (2)该企业计划用不超过1000万元购买A、B两种型号机器人共15台，且每天搬运货物不低于825吨，请通过计算，说明该企业有哪几种采购方案； (3)购买时发现，A型机器人价格不变，B型机器人价格每台上涨了n万元，在（2）的采购方案中，若最低费用为972万元，求n的值． 【答案】(1)型号智能机器人每台分别为80万元，B型号智能机器人每台为60万元 (2)有3种采购方案．方案一：购买A型机器人3台，购买B型机器人12台；方案二：购买A型机器人4台，购买B型机器人11台；方案三：购买A型机器人5台，购买B型机器人10台 (3)1 【分析】此题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组的应用，根据题意正确列出方程组和不等式是关键． （1）设A型智能机器人的单价为万元，B型智能机器人的单价为万元．根据台数和总费用列方程组，解方程组即可得到答案； （2）设购进A型台，B型台，根据需要费用不超过1000万元，每天搬运货物不低于825吨列出不等式，解不等式即可得到答案； （3）根据总费用，最低费用为972万元求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设A型号智能机器人每台为x万元，B型号智能机器人每台为y万元． 由题意得，解得； 型号智能机器人每台分别为80万元，B型号智能机器人每台为60万元． （2）设A型号智能机器人购买m台，则B型号智能机器人购买台． ， 解得：． 为正整数， 可以为3，4，5，共有3种采购方案． 方案一：购买A型机器人3台，购买B型机器人12台； 方案二：购买A型机器人4台，购买B型机器人11台； 方案三：购买A型机器人5台，购买B型机器人10台； （3）费用，， ，即涨价后每台A型智能机器人的费用大于B型智能机器人的费用． 为了降低购买费用，尽可能少购买A型智能机器人． ，此时购买A型智能机器人3台，B型智能机器人12台． ，解得：， 的值为1． 54．（24-25七年级下·上海·月考）综合与实践：猜数游戏在日常生活中有着广泛应用，与数学有着密切的关联． 小丽在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加，重复这样做，每次所得的和都是5，6，7，8中的一个数，并且这4个数都能取到．猜猜看，小丽在4张纸片上各写了什么数． 游戏分析：设小丽在4张纸片上写的正整数依次为a、b、c、d，其中． 最小的两个数的和为5，最大的两个数的和为8，，， ，解得：，正整数，2． 当时，，则，但它们的和出现的数是 ，不符合题意； 当时，，若，它们的和出现的数是 ； 当时，，若，，它们的和出现的数5，6，7，8； 给出结论：综上分析可得，纸片上的数可能是 ； 游戏拓展：小丽在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加，重复这样做，每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这4个数都能取到．模仿上述求解过程，求出小丽在4张纸片上各写了什么正整数． 【答案】游戏分析：；；给出结论：或；游戏拓展：纸片上的数可能是或 【分析】本题考查的是不等式组的应用， 游戏分析：根据题意分析计算求和进而写出结论； 给出结论：根据分析内容汇总得出结论； 游戏拓展：结合上面的分析及结论，类别写出即可． 【详解】解：游戏分析：设小丽在4张纸片上写的正整数依次为a、b、c、d，其中． 最小的两个数的和为5，最大的两个数的和为8， ，， ，解得：， 正整数，2． 当时，，则，但它们的和出现的数是，不符合题意； 当时，，若，它们的和出现的数是； 当时，，若，，它们的和出现的数5，6，7，8； 给出结论：综上分析可得，纸片上的数可能是或； 故答案为：；；或； 游戏拓展：设小丽在4张纸片上写的正整数依次为m、n、e、f，其中． 最小的两个数的和为6，最大的两个数的和为9， ，， ，解得：， 正整数，2，3． 当时，，则不满足最大的两个数的和为9这一条件，不符合题意； 当时，，若，它们的和出现的数是； 当时，，若，，但它们的和出现的数6，9，不符合题意； 当时，，若，，它们的和出现的数； 给出结论：综上分析可得，纸片上的数可能是或； 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 一元一次不等式章末54道压轴题型专训（9大题型） 题型一 一元一次不等式的解集压轴 题型二 一元一次不等式的整数解压轴 题型三 一元一次不等式的最值压轴 题型四 一元一次不等式组的解集压轴 题型五 一元一次不等式组的整数解压轴 题型六 一元一次不等式组与方程组结合压轴 题型七 特殊不等式组压轴 题型八 一元一次不等式的新定义运算 题型九 一元一次不等式组的实际应用 【经典例题一 一元一次不等式的解集压轴】 1．（25-26七年级下·上海宝山·月考）已知关于的不等式． (1)若是该不等式的解，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，且不是该不等式的解，求的范围． 2．（25-26七年级下·上海长宁·月考）以下是圆圆解不等式组的解答过程： 解：由①，得，第一步 ．第二步 由②，得，第三步 ，第四步 ．第五步 故原不等式组的解集为． 圆圆的解答过程从哪一步开始出错？请写出正确的解答过程． 3．（25-26七年级下·上海松江·开学考试）我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“梦想解”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘解”． (1)试判断组合是“梦想解”还是“无缘解”，并说明理由； (2)若关于x的组合是“梦想解”，求a的取值范围． 4．（24-25七年级下·上海长宁·期末）【定义】 若一元一次不等式①的解都不是一元一次不等式②的解，则称一元一次不等式①是一元一次不等式②的“相斥不等式”．例如：不等式的解都不是不等式的解，则是的“相斥不等式”． 【应用】 (1)在①、②、③这三个一元一次不等式中，是的“相斥不等式”的是_____（填序号）． (2)若关于的不等式是的“相斥不等式”，求的取值范围． (3)若（是非零常数）是的“相斥不等式”，求的取值范围． 5．（25-26七年级下·上海长宁·周测）小明解不等式时出现了错误，他的解答过程如下： 解：去分母，得，    第一步 去括号，得，    第二步 移项、合并同类项，得，    第三步 系数化为1，得．    第四步 (1)小明的解答过程从第 步开始出现错误，其错误原因是 ． (2)写出此题正确的解答过程． (3)请你根据平时的学习经验，就解不等式需要注意的事项给其他同学提一条建议． 6．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）【提出问题】已知，且，，试确定的取值范围． 【分析问题】先根据已知条件用去表示，然后根据题中已知的取值范围，构建的不等式，从而确定的取值范围，同理再确定的取值范围，最后利用不等式的性质即可解决问题． 【解决问题】解：，． ，，． ，， 同理，得． 由，得， 的取值范围是． 【尝试应用】（1）已知，且，，求的取值范围； （2）已知，，若成立，求的取值范围结果用含的式子表示． 【经典例题二 一元一次不等式的整数解压轴】 7．（24-25七年级下·上海嘉定·月考）已知关于x的方程的解是非负数． (1)求m的取值范围； (2)当m取最大整数时，求关于x的不等式：的最小整数解． 8．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）已知有理数、，定义一种新运算“*”，规定：（、均不为零）．等式右边的运算是通常的四则运算，例如．已知，． (1)求，的值． (2)求的最小整数解． 9．（24-25七年级下·上海静安·月考）在实数范围内定义一种新运算“★”，其运算规则为． 例如：． (1)解不等式：； (2)求不等式的最大整数解． 10．（24-25七年级下·上海松江·期末）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”． (1)不等式______（选填“是”或“不是”）的“云不等式”； (2)若关于的不等式与不等式互为“云不等式”，且有个公共的整数解，求的取值范围． 11．（24-25七年级下·上海虹口·月考）材料阅读： 已知，为整数，关于的不等式的最小整数解为，关于的不等式的最大整数解为．根据材料回答以下问题： 已知，是整数，关于的不等式的最小整数解为，关于的不等式的最大整数解为． （1）求，的值； （2）在（1）的条件下，若，求符合题意的最大整数； （3）在（1）的条件下，求关于，的方程的非负整数解． 12．（24-25七年级下·上海宝山·期末）阅读下面材料： 材料一：数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作，如表示数轴上表示数的点与表示数的点的距离． 材料二：绝对值符号中含有未知数的不等式叫做绝对值不等式．求绝对值不等式的解集． 小华同学的思路如下：根据绝对值的定义，当时，，把和2在数轴上分别表示为点，，如图所示，观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分： 点左边的点表示的数的绝对值大于2； 点，之间的点表示的数的绝对值小于2； 点右边的点表示的数的绝对值大于2 因此，小华得出结论，绝对值不等式的解集为：或． 参照小华的思路，解决下列问题： (1)请你直接写出下列绝对值不等式的解集． ①的解集是　　； ②的解集是　　； (2)求绝对值不等式的整数解； (3)直接写出绝对值不等式的解集是　　． 【经典例题三 一元一次不等式的最值压轴】 13．（2025·河北·模拟预测）现有单价为10元和5元的笔记本共15本，总金额不足95元，根据此信息，小强列出不完整的不等式：　　　　．根据小强所列的不等式，解答以下问题． (1)请写出未知数x表示的意义． (2)单价为10元的笔记本的本数有最大值还是最小值？请判断并求出这个值． 14．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中，．设点A，B，C在数轴上所对应数的和是P．    (1)若P的值不大于11，求点A表示的数x的最大值． (2)若原点O在图中数轴上点C的右边a个单位长度，且P不小于，求a的最大值． 15．（2025·山东泰安·模拟预测）今年某社区为搞好绿化，计划购买甲、乙两种树苗共计棵．有关甲、乙两种树苗的信息如下框图所示． 甲种树苗每棵元 乙种树苗每棵元 甲种树苗的成活率为； 乙种树苗的成活率为 要使这批树苗的成活率不低于，且使购买这两种树苗的总费用为元，求的最大值． 16．（24-25七年级下·上海宝山·开学考试）苹果寓意“平平安安”．春节里，“开心水果店”第一次用800元购进一批糖心苹果，很快售完．该店立即又用1920元第二次购进同样品种的糖心苹果，已知第二次购进数量是第一次购进数量的3倍，且第二次的进货价比第一次的进货价每千克少了1元． (1)求第一次所购进的苹果每千克多少元？ (2)店主在销售第一批苹果时，每千克的售价为8元，发现第一次购进的苹果有的损耗，但其他全部售完，售完之后购进第二批苹果．第二批苹果在购进后到售完的过程中，发现有的损耗，每千克售价比第一批的售价贵1元．若该水果店售完这两批苹果后，总获利不低于2168元，求y的最大值． 17．（24-25七年级下·福建泉州·期末）为实现自然资源的可持续利用，建设“节约型社会”．某省出台阶梯电价计费方案，具体实施方案如下： 档次 月用电量x（度） 电价（元/度） 1档 0.49 2档 0.54 … … … (1)小华家2024年5月份共缴电费58.8元，求该月小华家的用电量； (2)小华家计划6月份用电量不超过400度，且使平均费用不超过0.50元/度．设小华家6月份的用电量为a度，求a的最大值． 18．（24-25七年级下·上海·月考）阅读下列材料： 问题：已知，且，，试确定的取值篮围 解决此问题的过程如下： 解：∵，，∴．∴ 又 ∴． 同理得：② 由①②得． ∴． 请按照上述方法，解答下列问题： (1)若，且，，求的取值范围；（写出求解过程） (2)若，且，，请直接写出的取值范围及其最大值． 【经典例题四 一元一次不等式组的解集压轴】 19．（25-26七年级下·上海长宁·单元测试）下图所示的是一个计算程序． (1)若输入的为，则输出的值是____________． (2)规定：程序运行到“判断结果是否大于18”为一次运算．若程序进行了三次运算才输出，求的取值范围． 20．（25-26七年级下·重庆沙坪坝·期末）解不等式组：，并写出所有整数解． 解：解不等式①得__________， 解不等式②得__________， 在同一条数轴上表示不等式①②的解集： 所以，原不等式组的解集为__________， 所以，原不等式组的整数解为__________． 21．（2025·宁夏银川·三模）淇淇在解不等式组 时，发现x的系数被墨迹覆盖了，老师用纸片挡住了部分答案给她看，如图所示． (1)被墨迹覆盖的系数■为： ． (2)解不等式②，并写出该不等式组的解集． 22．（25-26八年级上·福建漳州·月考）下面是嘉嘉同学解一元一次不等式组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：由①去分母，得第一步 去括号，得第二步 移项，得第三步 合并同类项，得第四步 系数化为1，得第五步 (1)任务一：以上解题过程中，第一步的依据是______；第______步开始出现错误； (2)任务二：请你帮嘉嘉同学正确求解如上不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 23．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）若一个不等式组有解且解集为，则称为的“绝对距离”，若的绝对距离是不等式组的解，则称不等式组对于不等式组“绝对包含”． (1)已知关于的不等式组以及不等式组，判断不等式组是否对于不等式组绝对包含，并写出判断过程． (2)已知关于的不等式组和关于的不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，当时，求满足条件的所有整数的和． (3)已知关于的不等式组以及不等式组，且不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围． 24．（25-26八年级上·广西南宁·开学考试）阅读下述材料完成问题 利用不等式的性质说明下列结论的正确性： 如果，，那么． 解：因为，所以．① 又因为，所以．② 由数的大小比较可知，不等式关系具有传递性， 所以由①②，可得． 通过上述材料，我们可以得到不等式的同向可加性． 例如：若，，那么，即的取值范围是． (1)根据上述性质解决问题：若，，则的取值范围是___________； 若，，则的取值范围是___________； (2)【性质应用】已知，且，，求的取值范围． 解：由，得． 将代入得， ， 即． 又因为， 所以． 以上是求解的部分过程，请你在此基础上将剩余的解答过程补充完整 (3)【拓展提升】已知，且，，则的取值范围是___________． 【经典例题五 一元一次不等式组的整数解压轴】 25．（2025七年级上·上海长宁·专题练习）若关于x的一元一次不等式组有且只有4个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，求所有满足条件的整数a的值之和． 26．（24-25七年级下·上海长宁·单元测试）定义：表示不大于的最大整数，如．我们把满足(为常数)的的取值范围叫作的核心范围，如的的核心范围为，的的核心范围为． (1)请直接写出：_______，若，则的核心范围是_______． (2)若关于的不等式组有且只有三个正整数解，请写出这三个正整数解，并求出的取值范围． 27．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）下面是小亮解不等式的过程，对照答案之后他发现自己做错了． 解不等式． 解：去分母，得，…………第①步 去括号，得，…………第②步 移项，得，…………第③步 合并同类项，得，…………第④步 两边除以，得．…………第⑤步 根据过程回答问题． (1)小亮解题过程中第______步出现错误，错误的原因是______； (2)请写出该不等式正确的解答过程； (3)请在括号内补充一个不等式，使得不等式组的解集有且只有1个整数解． 28．（24-25七年级下·上海长宁·期末）老师黑板上出示了题目：“x取哪些非负整数时，不等式 ①与 ②都成立？”并给出了部分解答过程（如图所示）： 由①得， 已知其中“■”表示数字，“★”表示不等号． (1)请根据以上信息判断“■”表示的数字是 ； (2)请按下面的步骤完成老师出示的题目． 解：解不等式①，得 ． 解不等式②，得 ． 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：   所以不等式组的解集为 ． 所以x可取的非负整数值为 ． 29．（24-25七年级下·福建泉州·期末）定义：给定两个不等式组和，若不等式组的任意一个解，都是不等式组的一个解，则称不等式组为不等式组的“衍生组”．例如：不等式组P：是不等式组Q：的“衍生组”． (1)若不等式组A：，B：，则不等式组 是不等式组C：的“衍生组”（填“A”或“B”）； (2)若关于的不等式组D：是不等式组E：的“衍生组”，且不等式组有且只有4个整数解，求的取值范围； (3)若关于的不等式组M：，N：，P：，其中不等式组是不等式组的“衍生组”，不等式组是不等式组的“衍生组”，且满足，求的取值范围． 30．（24-25七年级下·湖南长沙·月考）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“静待花开方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“静待花开方程”． (1)在方程①；②；③中，不等式组的“静待花开方程”是________；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“静待花开方程”，求k的最大正整数解； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“静待花开方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． 【经典例题六 一元一次不等式组与方程组结合压轴】 31．（24-25七年级下·江西宜春·期末）已知关于x，y的方程组． (1)若该方程组的解满足，求m的值； (2)若该方程组的解满足x，y均为正数，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，求m的整数值． 32．（24-25七年级下·福建厦门·期中）当方程中的系数用字母表示时，这样的方程叫做含字母系数的方程，也叫含参数的方程． （1）解关于，的二元一次方程组， （2）若关于，的二元一次方程组：的解满足不等式组，求出整数的所有值． 33．（24-25七年级下·四川乐山·期中）（1）阅读下面问题的解答过程并补充完整． 问题：实数，满足，，且，，求的取值范围． 解：列关于，的方程组，解得，又因为，，所以，解得______； （2）已知，且，，求的取值范围； （3）若，满足，，求的取值范围． 34．（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）同学们学习了有理数乘法，不等式组与方程组的知识，它们之间有着一定的逻辑关联，请解决以下问题： (1)阅读理解：解不等式． 解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为或， 解不等式组，得；解不等式组，得 ∴原不等式的解集为或． 问题解决：根据以上材料，解不等式． (2)已知关于x，y的方程组的解满足不等式组，求满足条件的m的整数值． 35．（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）阅读下列材料： 已知，且，，试确定的取值范围有如下解法： 解：，且，，又， 同理得． 由得， 的取值范围是． 按上述方法完成下列问题：关于，的方程组的解都为正数． (1)求的取值范围； (2)已知，且，求的取值范围． 36．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②“包含”，其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解． 例如：不等式被不等式“包含”． (1)下列不等式（组）中，能被不等式“包含”的是 ． A、   B、      C、     D、 (2)若关于x的不等式被“包含”，若且，求M的最小值． (3)已知 ，，且k为整数，关于x的不等式P：，Q：，请分析是否存在k，使得P和Q存在“包含”关系，且Q被P“包含”，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由． 【经典例题七 特殊不等式组压轴】 37．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）先阅读，再解答:写出关于的不等式的解集， 解:利用不等式的性质，不等式两边都除以， 因不知的符号，所以应分情况讨论: 当即时， 当即时，； 当，即时，此不等式为无解． 请根据以上解不等式的思想方法，解关于的不等式． 38．（24-25七年级下·江苏南京·开学考试）自学下面材料后，解答问题． 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式．如：；等．那么如何求出它们的解集呢？ 根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为：若，，则；若，，则；若，，则；若，，则． （1）反之：若，则或；若，则______或_______． （2）根据上述规律，求不等式的解集． （3）直接写出分式不等式的解集___________． 39．（24-25七年级下·湖南·期末）若三个代数式满足：只要其中有两个代数式之和大于另外一个代数式的解集为大于1的实数，则称这三个代数式构成“雅礼不等式”．例如：三个代数式有：当时的解集为，则称构成“雅礼不等式”． (1)可以构成“雅礼不等式”吗？请说明理由； (2)若构成“雅礼不等式”，求a的值或取值范围； (3)若构成“雅礼不等式”，求关于x的不等式组的解集． 40．（24-25七年级下·上海闵行·期中）阅读理解题： （1）原理：对于任意两个实数、， 若，则和同号，即：或 若，则和异号，即：或 （2）分析：对不等式来说，把和看成两个数和，所以按照上述原理可知：（Ⅰ）或（Ⅱ），所以不等式的求解就转化求解不等式组（Ⅰ）和（Ⅱ）． （3）应用：解不等式 ① ② 41．（24-25七年级上·重庆·月考）阅读：我们知道于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，， 解得， 所以； ②当，即时，， 解得， 所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，请解下列不等式： (1)； (2)． 42．（24-25七年级下·吉林长春·期末）我们在数学学习中，经常利用转化的思想方法解决问题，比如，我们通过“消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求解．下面我们就利用“转化”的思想方法尝试解决新的问题． 先阅读下面的例题，再按要求完成下列问题． 例：解不等式． 解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”得①或② 解不等式组①，得． 解不等式组②，得． 所以不等式的解集为或． 根据例题方法解决下面问题： (1)解不等式． 解：由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得①或②___________． 解不等式组①，得___________． 解不等式组②，得___________． 所以不等式的解集为___________． (2)应用：不等式：的解集为___________． 【经典例题八 一元一次不等式的新定义运算】 43．（24-25七年级下·上海奉贤·期末）对于任意实数x，y定义一种新运算“#”：．例如，． (1)解不等式：； (2)若，且该不等式组的解集中恰有两个整数解，请直接写出m的取值范围． 44．（24-25七年级下·福建泉州·期末）对x，y定义一种新运算，规定：（其中a，b均为非零常数）．例如：． (1)已知，． ①求a，b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2024个整数解，求实数p的取值范围； (2)若不论m，n取何值时，的值都是一个定值，请求出该定值． 45．（24-25七年级下·福建泉州·期末）给出新定义：对非负数“四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负整数时，若，则．如：，，，，试解决下列问题： (1)填空：若，则实数a的取值范围为_______． (2)已知关于x的不等式组的整数解恰有2个，求b的取值范围． (3)求满足的所有非负实数c的值． 46．（24-25七年级下·上海·期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是 ；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围． 47．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如果x是一个有理数，我们定义表示不小于 x 的最小整数．如，，由定义可知，任意一个有理数都能写成的形式（）． (1)直接写出与x，的大小关系； 提示1：用“不完全归纳法”推导与x，的大小关系； 提示2：用“代数推理”的方法推导与x，的大小关系． (2)根据（1）中的结论解决下列问题： ①直接写出满足的m取值范围； ②直接写出方程的解． 48．（25-26八年级上·浙江杭州·开学考试）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①；②；③中， 不等式组的“相依方程”是 ；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求m的取值范围． 【经典例题九 一元一次不等式组的实际应用】 49．（24-25八年级上·浙江温州·期末）深圳文博会期间，某展商展出了A、两种商品，已知用120元可购得的A种商品比种商品多2件，种商品的单价是A种商品的1.5倍． (1)求A、两种商品的单价各是多少元？ (2)小亮用不超过330元购买A、两种商品共13件，并且A种商品的数量不超过种商品数量的2倍，那么他有哪几种购买方案？要使购买这两种商品所需费用尽可能少，应选用哪种方案？ 50．（2025·河南平顶山·模拟预测）某校原有600张旧课桌急需维修，经过A、B、C三个工程队的竞标得知，A、B的工作效率相同，且都为C队的2倍，若由一个工程队单独完成，C队比A队要多用10天．学校决定由三个工程队一齐施工，要求至多6天完成维修任务．三个工程队都按原来的工作效率施工2天时，学校又清理出需要维修的课桌360张，为了不超过6天时限，工程队决定从第3天开始，各自都提高工作效率，A、B队提高的工作效率仍然都是C队提高的2倍．这样他们至少还需要3天才能完成整个维修任务． （1）求工程队A原来平均每天维修课桌的张数； （2）求工程队A提高工作效率后平均每天多维修课桌张数的取值范围． 51．（24-25七年级下·上海长宁·课后作业）应用意识 用甲、乙两种原料配制成某种饮料，设所需甲种原料的质量为．已知这两种原料中维生素C的含量及购买这两种原料的价格如表所示： 甲种原料 乙种原料 维生素C的含量/（单位/千克） 600 100 原料价格/（元/千克） 8 4 现配制这种饮料，要求含有4200单位以上的维生素C． (1)请列出x应满足的不等式； (2)如果要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，那么请列出x应满足的所有不等式． 52．（24-25八年级上·湖北随州·期末）随着技术的飞速发展，人工智能已经成为商场中不可或缺的一部分，大大提升了购物效率和顾客的满意度．某商场计划购进一批智能机器人，其计划单中部分信息如下： 型号 单价（元） 数量（台） 总金额（元） 型 27000 型 12000 已知计划购进型机器人比购进型机器人多2台，且型机器人的进价比型机器人的进价每台高50%． (1)求，两种型号的机器人的进价各是多少？ (2)春节将至，为应对购物高峰，商场决定用不超过20000元再次购买这两种型号的机器人共5台，并要求再次购买的型机器人的数量不少于型机器人的数量，问该商场如何采购这批机器人？总费用是多少？ 53．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）随着人工智能与互联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某企业使用A、B两种型号的机器人搬运货物．相关信息如下：若买3台A型机器人、4台B型机器人，共需480万元；若买4台A型机器人、3台B型机器人，共需500万元．A型机器人每天可以搬运货物75吨；B型机器人每天可以搬运货物50吨． (1)求A、B两种型号机器人的单价； (2)该企业计划用不超过1000万元购买A、B两种型号机器人共15台，且每天搬运货物不低于825吨，请通过计算，说明该企业有哪几种采购方案； (3)购买时发现，A型机器人价格不变，B型机器人价格每台上涨了n万元，在（2）的采购方案中，若最低费用为972万元，求n的值． 54．（24-25七年级下·上海·月考）综合与实践：猜数游戏在日常生活中有着广泛应用，与数学有着密切的关联． 小丽在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加，重复这样做，每次所得的和都是5，6，7，8中的一个数，并且这4个数都能取到．猜猜看，小丽在4张纸片上各写了什么数． 游戏分析：设小丽在4张纸片上写的正整数依次为a、b、c、d，其中． 最小的两个数的和为5，最大的两个数的和为8，，， ，解得：，正整数，2． 当时，，则，但它们的和出现的数是 ，不符合题意； 当时，，若，它们的和出现的数是 ； 当时，，若，，它们的和出现的数5，6，7，8； 给出结论：综上分析可得，纸片上的数可能是 ； 游戏拓展：小丽在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加，重复这样做，每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这4个数都能取到．模仿上述求解过程，求出小丽在4张纸片上各写了什么正整数． 学科网（北京）股份有限公司 $