专题05 一元一次不等式72道计算题专项训练（8大题型）-2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学下册重难点专题提升精讲精练

第05讲 一元一次不等式72道计算题专项训练（8大题型） 题型一 利用不等式的性质解不等式 题型二 解一元一次不等式 题型三 解一元一次不等式组 题型四 在数轴上表示不等式(组)的解集 题型五 一元一次不等式(组)的含参计算 题型六 一元一次不等式(组)的整数解计算 题型七 不等式组和方程相结合的计算 题型八 一元一次不等式新定义计算 【经典计算题一 利用不等式的性质解不等式】 1．（24-25七年级下·上海宝山·月考）利用不等式的性质将不等式化为或的形式． 2．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）解下列不等式： (1) (2) 3．（25-26七年级下·上海长宁·周测）将下列不等式化成“”或“”的形式． (1)． (2)． (3)． 4．（24-25七年级下·上海长宁·课后作业）已知，利用不等式的性质写出下列各式的取值范围： (1) (2) (3) (4) 5．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）已知，用“”或“”填空，并说明依据： (1)________ (2)_________ (3)_________ (4)________ (5)________ (6)________ 6．（24-25七年级下·上海长宁·课后作业）比较大小： (1)当时，a________；（填“”“”或“”） (2)说明第（1）题中结论的正确性． 7．（24-25七年级下·上海长宁·假期作业）小明在利用不等式的性质对不等式进行变形时，由于看错了b的符号，从而得到的解集为，求b的值． 8．（24-25八年级上·上海长宁·课后作业）某品牌计算机键盘的单价在60元至70元之间（包括60元和70元），买3个这样的键盘需要多少钱（用适当的不等式表示）？ 9．（24-25七年级上·广东深圳·期中）（1）若a＜0，则a 2a；（用“＞”“＜”“＝”填空） （2）若a＜c＜b＜0，则abc　 　0；（用“＞”“＜”“＝”填空） （3）若a＜c＜0＜b，化简：4（c﹣a）﹣2（2c﹣b），并判断化简结果的正负． 【经典计算题二 解一元一次不等式】 10．（25-26八年级上·浙江台州·期末）解不等式： 11．（2025七年级下·山西·专题练习）解不等式：． 12．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）解下列一元一次不等式． (1)； (2)． 13．（24-25七年级下·山东青岛·月考）解下列不等式： (1)； (2)． (3)； (4)． 14．（25-26七年级下·上海长宁·课后作业）已知．请确定的最大值． 15．（2026七年级下·上海长宁·专题练习）解下列一元一次不等式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)； (11)； (12)； (13)； (14)； (15)； (16)． 16．（25-26七年级下·上海长宁·单元测试）阅读理解：我们令．如：．如果有，求的取值范围． 17．（25-26八年级上·浙江台州·期中）定义一种新运算，例如：． (1)计算：； (2)请根据上述定义解不等式． 18．（25-26八年级上·浙江台州·期末）在解不等式时，小聪给出如下解法： 解：去括号，得 移项，得 合并同类项，得______ 两边同除以，得______ (1)请帮小聪把剩余的步骤补充完整； (2)其中第二步“移项”的依据是______． 【经典计算题三 解一元一次不等式组】 19．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）解不等式组 20．（2025七年级下·山西·专题练习）解不等式组： 21．（2025-2026学年上学期七年级数学期末试卷）解不等式组，并求出它的所有整数解的和． 22．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）解不等式组：，并写出满足不等式组的整数解． 23．（25-26八年级上·山东聊城·期末）解不等式组并写出非负整数解． 24．（25-26七年级下·上海长宁·课后作业）解下列不等式组： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 25．（25-26七年级下·上海长宁·周测）已知关于x的不等式组 (1)若这个不等式组有解，求a的取值范围． (2)若这个不等式组无解，求a的取值范围． 26．（25-26七年级上·四川绵阳·月考）按要求完成各题： (1)解不等式组：． (2)已知，求的取值范围． 27．（25-26七年级下·上海长宁·单元测试）解不等式组请按下列步骤完成解答： (1)解不等式①，得________； (2)解不等式②，得________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； (4)不等式组的解集为________． 【经典计算题四 在数轴上表示不等式(组)的解集】 28． （25-26八年级上·浙江舟山·期末）解不等式组，并把解集表示在数轴上． 29．（2025·浙江舟山·一模）解不等式组，把解表示在数轴上，并求出不等式组的整数解． 30．（25-26七年级下·上海长宁·课后作业）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．观察在数轴上表示的解集，直接写出该不等式的正整数解． 31．（24-25七年级下·上海长宁·课后作业）用不等式表示下列语句并写出解集，并在数轴上表示解集： (1)的与5的和大于6； (2)的3倍与2的差不小于4． 32．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）解不等式，并在数轴上表示解集． (1)         (2) 33．（24-25七年级下·山西晋城·期中）解下列不等式（组），并将解集表示在数轴上． (1)； (2) 34．（25-26八年级上·重庆万州·开学考试）已知不等式组： ．求不等式组的解集并将解集表示在数轴上，且直接写出满足这个不等式组的所有偶数解的和． 35．（24-25七年级上·山东东营·月考）（）解不等式，并在数轴上表示不等式的解集． （）解不等式：，并将它的解集在数轴上表示出来． （）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． （）解不等式组，并求出它的所有整数解． 36．（2025·宁夏银川·二模）下面是小林同学解一元一次不等式组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：由①去分母，得．………………第一步 去括号，得．…………………………第二步 移项，得．………………………… 第三步 合并同类项，得．…………………………………第四步 系数化为1，得．…………………………………第五步 任务一： （1）以上解题过程中，第一步的依据是_____________________________； （2）第_______________步开始出现错误，错误的原因是_______________________； 任务二： （1）解不等式②得___________________； （2）把一元一次不等式组的解集表示在数轴上，并写出该不等式组的正确解集_____________． 【经典计算题五 一元一次不等式(组)的含参计算】 37．（24-25七年级下·广东广州·月考）整式的值为． (1)当时，求的值； (2)若的取值范围如图所示，求的负整数值． 38．（25-26七年级下·上海长宁·课后作业）若是不等式组的最大整数解，求的值． 39．（25-26七年级下·上海长宁·周测）已知关于x，y的二元一次方程组若该方程组中x，y满足，求k的取值范围． 40．（25-26七年级下·上海长宁·课后作业）如果关于的不等式组的解集为，且整数使得关于，的二元一次方程组的解为整数（，均为整数）．求所有符合条件的整数的值． 41．（25-26七年级下·上海长宁·单元测试）明明在解一元一次不等式组时，发现“□”里的常数看不清楚，但知道这个不等式组的解集为．若用字母表示“□”里的常数，试求字母的取值范围． 42．（25-26七年级下·上海长宁·课后作业）（1）已知关于x的不等式组的解集是．求m的值． （2）已知关于x的不等式组无解．求a的取值范围． 43．（25-26七年级下·上海长宁·课后作业）已知不等式①． (1)求不等式①的解集． (2)求不等式①的负整数解． (3)若关于x的不等式②的解集与不等式①的解集相同，求a的值． (4)若不等式①的解都是关于x的不等式的解，求m的取值范围． 44．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，这是一个计算程序示意图. 规定：从“输入x”到“加上5”为一次运算. 例如：输入“x=3”，则“，6+5=11.”（完成一次运算） 因为，所以输出结果y=11. （1）当x=2时，y= ；当x=-3时，y= . （2）若程序进行了一次运算，输出结果y=7，则输入的x值为 . （3）若输入x后，需要经过两次运算才输出结果y，求x的取值范围. 45．（24-25七年级下·湖南长沙·月考）如果一个不等式（组）的解集中包含一个方程（组）的解，那么就称这个不等式（组）的解集为这个方程（组）的“青一范围”，例如：不等式的解集是，它包含了方程方程的解，因此是的“青一范围”． (1)判断：①；②；③，中哪个不等式的解集是方程的“青一范围”； (2)已知是方程的解，不等式组的解集是方程的“青一范围”，求的最小值； (3)若不等式组的解集是方程的“青一范围”，求的取值范围． 【经典计算题六 一元一次不等式(组)的整数解计算】 46．（24-25七年级下·北京·期中）求不等式组的整数解： 47．（24-25八年级上·河北保定·期末）解不等式组，并求出最小整数解与最大整数解的和． 48．（24-25七年级下·吉林·期末）解不等式组，并写出它的所有正整数解． 49．（2025七年级下·上海长宁·专题练习）（1）解不等式，并写出它的负整数解； （2）解不等式，并写出它的正整数解． 50．（24-25七年级下·上海长宁·期中）若不等式的最小整数解是关于的方程的解，求式子的值． 51．（24-25七年级下·山东青岛·月考）（1）解不等式：，并写出所有符合条件的正整数解． （2）求不等式的非正整数解． 52．（24-25七年级下·山东青岛·期中）（1）、 解不等式，并在数轴上表示其解集． （2）、 解不等式，并写出它的最小整数解． （3）、解不等式组 ，并写出它的整数解． 53．（24-25七年级下·山东潍坊·月考）解不等式组． (1)把解集表示在数轴上，并求出整数解； (2)若是此不等式组的最大整数解，求的值． 54．（2025·江苏南京·一模）解不等式组并写出整数解． 请结合题意，完成本题的解答． 解：解不等式①，得 ，依据是： ． 解不等式②，得， 解不等式③，得 ． 将不等式①②和③的解集在数轴上表示出来． 所以不等式组的解集为 ，整数解为 ． 【经典计算题七 一元一次不等式(组)的整数解计算】 55．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）若关于、y的方程组的解满足，求的取值范围． 56．（24-25九年级·浙江温州·周测）由方程组得到的x、y的值都不大于1，求a的取值范围． 57．（24-25七年级下·上海长宁·课后作业）已知关于x，y的方程组的解是一对正数，求a的取值范围． 58．（24-25七年级下·上海长宁·课后作业）已知关于x、y的方程组的解满足，化简． 59．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． （1）求m的取值范围； （2）化简：． 60．（24-25七年级下·四川成都·月考）已知方程组的解为正数， 求（1）a的取值范围； （2）化简． 61．（24-25七年级下·广东梅州·期中）已知方程的解满足为非正数，为负数． （1）求的取值范围； （2）化简：； （3）在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解集为． 62．（24-25七年级下·广东梅州·期中）（1）【情境再现】如下是某种八年级课下册数学课外巩固练习《数学作业设计》的部分内容． 已知关于的方程：的解是负数，求的取值范围． （2） 【拓展】若关于、的方程组 的解满足 ，求的最小整数值． 63．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②“包含”，其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解． 例如：不等式被不等式“包含”． (1)下列不等式（组）中，能被不等式“包含”的是 ． A、   B、      C、     D、 (2)若关于x的不等式被“包含”，若且，求M的最小值． (3)已知 ，，且k为整数，关于x的不等式P：，Q：，请分析是否存在k，使得P和Q存在“包含”关系，且Q被P“包含”，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由． 【经典计算题八 一元一次不等式新定义计算】 64．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为，如：．求不等式的正整数解． 65．（24-25七年级下·河南南阳·期末）在实数范围内规定新运算“@”，其规则是：，已知不等式的解集在数轴上表示如图所示，求的值． 66．（24-25七年级下·上海长宁·单元测试）定义：若不等式组的解集是，且满足，则称该不等式组的解集是一个“对称集”．若关于x的不等式组的解集是一个“对称集”，求m的值． 67．（25-26八年级上·陕西西安·期末）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)若，则的取值范围是________． (2)已知，求的取值范围． 68．（24-25七年级下·安徽亳州·月考）在实数范围内定义一种新运算“★”，其运算规则为． 例如：． (1)解不等式：； (2)求不等式的最大整数解． 69．（24-25七年级下·吉林·期末）在实数范围内定义一种新运算“”．其运算规则为：，如． (1)______． (2)解不等式； (3)求不等式的最大整数解． 70．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）新定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组解集范困内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)在方程①；②；③中，关于x的不等式组的“关联方程”是____________；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“关联方程”求k的取值范围． 71．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“慧泉数”．将一个“慧泉数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与的商记为． 例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数，新两位数与原两位数的和为，和与的商为，所以． 根据以上定义，回答下列问题： (1)填空：下列两位数：，，中，“慧泉数”为________； (2)计算： ①；②； (3)如果一个“慧泉数”的十位数字是，个位数字是，另一个“慧泉数”的十位数字是，个位数字是，且满足，求． 72．（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）新定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“友好方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“友好方程”． (1)在方程①；②；③中，关于的不等式组的“友好方程”是__________；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“友好方程”求k的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“友好方程”，且此时不等式组恰好有个整数解，试求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 一元一次不等式72道计算题专项训练（8大题型） 题型一 利用不等式的性质解不等式 题型二 解一元一次不等式 题型三 解一元一次不等式组 题型四 在数轴上表示不等式(组)的解集 题型五 一元一次不等式(组)的含参计算 题型六 一元一次不等式(组)的整数解计算 题型七 不等式组和方程相结合的计算 题型八 一元一次不等式新定义计算 【经典计算题一 利用不等式的性质解不等式】 1．（24-25七年级下·上海宝山·月考）利用不等式的性质将不等式化为或的形式． 【答案】 【分析】本题主要考查不等式的性质，理解并掌握不等式的基本性质是解题关键．不等式的基本性质：（1）不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；（2）不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．据此即可求解． 【详解】解： ∴． 2．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）解下列不等式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法步骤是解答的关键． （1）根据去括号、移项、合并同类项、化系数为1的求解步骤解答即可； （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1的求解步骤解答即可． 【详解】（1）解：去括号，得 移项、合并同类项，得 化系数为1，得； （2）解：去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 化系数为1，得． 3．（25-26七年级下·上海长宁·周测）将下列不等式化成“”或“”的形式． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次不等式的变形，掌握移项、合并同类项的步骤，以及系数化为时，若系数为负数，不等号方向要改变是解题的关键． （1）通过移项合并同类项，将不等式化为形式，再系数化为； （2）先移项合并同类项，再系数化为； （3）移项合并同类项后，系数化为． 【详解】（1）解：两边同时减去，得， 两边同时除以，得． （2）解：两边同时减去，得， 两边同时除以，得． （3）解：两边同时减去，得， 两边同时减去，得， 两边同时除以，得． 4．（24-25七年级下·上海长宁·课后作业）已知，利用不等式的性质写出下列各式的取值范围： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了不等式的性质“性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，熟练掌握不等式的性质是解题关键． （1）根据不等式的性质1即可得； （2）根据不等式的性质2即可得； （3）根据不等式的性质3即可得； （4）根据不等式的性质2和性质1即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴． （4）解：∵， ∴，即， ∴， ∴． 5．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）已知，用“”或“”填空，并说明依据： (1)________ (2)_________ (3)_________ (4)________ (5)________ (6)________ 【答案】(1)，依据是：不等式的性质1 (2)，依据是：不等式的性质1 (3)，依据是：不等式的性质1 (4)，依据是：不等式的性质3 (5)，依据是：不等式的性质2 (6)，依据是：不等式的性质2和性质1 【分析】本题考查了不等式的性质“性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，熟练掌握不等式的性质是解题关键． （1）根据不等式的性质1即可得； （2）根据不等式的性质1即可得； （3）根据不等式的性质1即可得； （4）根据不等式的性质3即可得； （5）根据不等式的性质2即可得； （6）根据不等式的性质2和性质1即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴，依据是：不等式的性质1， 故答案为：． （2）解：∵， ∴，依据是：不等式的性质1， 故答案为：． （3）解：∵， ∴，依据是：不等式的性质1， 故答案为：． （4）解：∵， ∴，依据是：不等式的性质3， 故答案为：． （5）解：∵， ∴，依据是：不等式的性质2， 故答案为：． （6）解：∵， ∴，依据是：不等式的性质2， ∴，依据是：不等式的性质1， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·上海长宁·课后作业）比较大小： (1)当时，a________；（填“”“”或“”） (2)说明第（1）题中结论的正确性． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）根据不等式的性质求解即可； （2）根据不等式的性质解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 7．（24-25七年级下·上海长宁·假期作业）小明在利用不等式的性质对不等式进行变形时，由于看错了b的符号，从而得到的解集为，求b的值． 【答案】 【分析】本题主要考查不等式的性质，能够从题干中找到关键性信息是解题的关键． 根据“看错了b的符号”将其变形，然后利用不等式的性质解答即可． 【详解】解：根据题意可得小明解的不等式为： 则 不等式的解集为： ∴ 解得 8．（24-25八年级上·上海长宁·课后作业）某品牌计算机键盘的单价在60元至70元之间（包括60元和70元），买3个这样的键盘需要多少钱（用适当的不等式表示）？ 【答案】（答案不唯一） 【分析】设一个计算机键盘的单价为x元，则，再根据不等式的性质，即可求解． 【详解】解：设一个计算机键盘的单价为x元，则， ∴买3个这样的键盘需要的钱为． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 9．（24-25七年级上·广东深圳·期中）（1）若a＜0，则a 2a；（用“＞”“＜”“＝”填空） （2）若a＜c＜b＜0，则abc　 　0；（用“＞”“＜”“＝”填空） （3）若a＜c＜0＜b，化简：4（c﹣a）﹣2（2c﹣b），并判断化简结果的正负． 【答案】(1) ＞;(2) ＜;(3) -4a+2b,结果为正 【分析】(1)根据不等式的基本性质即可求解; (2)根据有理数的乘法法则即可求解; (3)先化简,再根据根据不等式的基本性质即可求解; 【详解】解:∵a＜0 ∴a＞2a (2) ∵a＜c＜b＜0， ∴ac>0（同号两数相乘得正）， ∴abc＜0（不等式两边乘以同一个负数，不等号的方向改变）． (3) 4（c﹣a）﹣2（2c﹣b）=4c-4a-4c+2b=-4a+2b ∵a＜c＜0＜b ∴-4a＞0, 2b＞0 ∴-4a+2b＞0 故结果为正 【点睛】主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【经典计算题二 解一元一次不等式】 10．（25-26八年级上·浙江台州·期末）解不等式： 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤，并能正确的计算是解题的关键．根据解一元一次不等式的步骤，进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 11．（2025七年级下·山西·专题练习）解不等式：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的步骤． 根据去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1的运算步骤求解即可． 【详解】解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，． ∴原不等式的解集为． 12．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）解下列一元一次不等式． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题考查一元一次不等式的解法，关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤：对于不含分母的不等式，通过移项、合并同类项、系数化为1求解；对于含分母的不等式，需先去分母，再依次进行去括号、移项、合并同类项、系数化为1的操作，注意系数化为1时，若系数为负数，不等号方向要改变． （1）是不含分母的一元一次不等式，直接通过移项、合并同类项、系数化为1即可得到解集； （2）是含分母的一元一次不等式，先去分母消除分母，再按步骤逐步化简求解． 【详解】（1）解：， 移项得，即， 系数化为1，两边同时除以2得． （2）解：， 两边同时乘以6去分母得， 去括号得， 合并右边常数项得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1，两边同时除以5得． 13．（24-25七年级下·山东青岛·月考）解下列不等式： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查了解不等式，熟练掌握解不等式的基本步骤，是解题的关键． （1）先移项，然后不等式两边同除以，即可得出答案； （2）先去分母，然后去括号，再移项合并同类项，最后系数化为1即可； （3）先去分母，然后去括号，再移项合并同类项，最后系数化为1即可； （4）先去分母，然后去括号，再移项合并同类项，最后系数化为1即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 两边同时除以得：； （2）解：， 两边同时乘以12得：， 去括号：， 移项得：， 合并同类项得：， 两边同时除以得：； （3）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以，得； （4）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以，得． 14．（25-26七年级下·上海长宁·课后作业）已知．请确定的最大值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．先去括号，再移项合并同类项，可得到，即可求解． 【详解】解：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， ∴， 即的最大值为． 15．（2026七年级下·上海长宁·专题练习）解下列一元一次不等式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)； (11)； (12)； (13)； (14)； (15)； (16)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键 （1）~（16）所有题目均为一元一次不等式，解题核心是通过去分母、去括号、移项、合并同类项，将不等式化为 的标准形式，再根据系数的正负决定不等号方向，最终求出解集 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： （7）解： （8）解： （9）解： （10）解： ​ （11）解： （12）解： （13）解： （14）解： （15）解： （16）解： 16．（25-26七年级下·上海长宁·单元测试）阅读理解：我们令．如：．如果有，求的取值范围． 【答案】 【分析】此题考查了新定义的运算和解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．根据题目给的运算法则，列出不等式求解即可． 【详解】解：， ， ． 17．（25-26八年级上·浙江台州·期中）定义一种新运算，例如：． (1)计算：； (2)请根据上述定义解不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义与一元一次不等式，理解题意后按要求进行计算是解题关键． （1）根据题意，展开后计算即可； （2）按照新定义将不等式左边展开，然后按照一元一次不等式的要求解不等式即可． 【详解】（1）解：， （2）解：， 由题意得，， 去括号得，， 移项后合并同类项得，， 解得，． 18．（25-26八年级上·浙江台州·期末）在解不等式时，小聪给出如下解法： 解：去括号，得 移项，得 合并同类项，得______ 两边同除以，得______ (1)请帮小聪把剩余的步骤补充完整； (2)其中第二步“移项”的依据是______． 【答案】(1)， (2)不等式的基本性质1 【分析】本题考查了解一元一次不等式．根据解一元一次不等式的一般步骤即可判断和求解． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以，得； （2）解：第二步“移项”的依据是不等式的基本性质1． 故答案为：不等式的基本性质1． 【经典计算题三 解一元一次不等式组】 19．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）解不等式组 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，关键是一元一次不等式的求解步骤以及不等式组解集的确定规则．先分别求出不等式组中两个一元一次不等式的解集，再根据“大小小大中间找”的口诀确定两个解集的公共部分，即为原不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，； 原不等式组的解集为． 20．（2025七年级下·山西·专题练习）解不等式组： 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，再取解集的公共部分作为不等式组的解集即可． 【详解】解： 由①得，； 由②得，； ∴原不等式组的解集为：． 21．（2025-2026学年上学期七年级数学期末试卷）解不等式组，并求出它的所有整数解的和． 【答案】，它的所有整数解的和为 【分析】本题考查了求不等式组的解集，求一元一次不等式组的整数解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先分别求出两个不等式的解，再求出不等式组的解，然后求得它的所有整数解，再求和即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 所以不等式组的解为， 它的所有整数解为，，0，1， 它的所有整数解的和为． 22．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）解不等式组：，并写出满足不等式组的整数解． 【答案】不等式组的解集为，不等式组的整数解是，，，， 【分析】此题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，然后确定整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 则不等式组的解集是， 则不等式组的整数解是． 23．（25-26八年级上·山东聊城·期末）解不等式组并写出非负整数解． 【答案】不等式组的解集为，非负整数解为0，1 【分析】本题考查了一元一次不等式组的求解，先分别求出不等式①②的解集，再求出不等式组的解集，从而得出非负整数解即可 【详解】解：， 解不等式①：，，得， 解不等式②：，，得， 不等式组的解集为，非负整数解为0，1 24．（25-26七年级下·上海长宁·课后作业）解下列不等式组： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组， （1）先分别求出两个不等式的解集，取解集的公共部分即可求出不等式组的解集． （2）先分别求出两个不等式的解集，取解集的公共部分即可求出不等式组的解集． （3）先分别求出两个不等式的解集，取解集的公共部分即可求出不等式组的解集． （4）先分别求出两个不等式的解集，取解集的公共部分即可求出不等式组的解集． （5）先分别求出两个不等式的解集，取解集的公共部分即可求出不等式组的解集． （6）先分别求出两个不等式的解集，取解集的公共部分即可求出不等式组的解集． 【详解】（1）解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集是； （2）解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集是； （3）解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集是； （4）解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集是； （5）解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集是； （6）解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集是． 25．（25-26七年级下·上海长宁·周测）已知关于x的不等式组 (1)若这个不等式组有解，求a的取值范围． (2)若这个不等式组无解，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集，掌握不等式组有解和无解的判定条件，即大小小大中间找、大大小小找不到是解题的关键． （1）先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据有解则两个解集有公共部分，建立关于的不等式，从而求出的取值范围； （2）先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据无解则两个解集无公共部分的原则，建立关于的不等式，从而求出的取值范围． 【详解】（1）解：解不等式，得， 解不等式，得． ∵这个不等式组有解， ∴， 解得， ∴的取值范围为． （2）解：由（1）得： ∵这个不等式组无解， ∴， 解得， ∴的取值范围为． 26．（25-26七年级上·四川绵阳·月考）按要求完成各题： (1)解不等式组：． (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）分别解两个不等式，综合即可求得不等式组无解． （2）对方程可变形为，分别代入两个不等式中，分别求解后，综合答案即可． 【详解】（1）解：解不等式， 解得：； 解不等式：， 解得：； 故不等式组无解． （2）解：对方程去分母，即， 整理得：， 解不等式， 整理得：， 将代入上式，即， 解得：， 解不等式， 整理得：， 将代入上式，即， 解得：， 综上可得，的取值范围为． 27．（25-26七年级下·上海长宁·单元测试）解不等式组请按下列步骤完成解答： (1)解不等式①，得________； (2)解不等式②，得________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； (4)不等式组的解集为________． 【答案】(1) (2) (3)数轴表示如答图． (4) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及数轴表示解集，掌握解一元一次不等式的步骤、数轴表示解集的规则，以及确定不等式组解集的公共部分方法是解题的关键． （1）按照解一元一次不等式的步骤，依次去括号、合并同类项、移项、系数化为，求解不等式①的解集； （2）依次去分母，去括号、合并同类项、移项、系数化为，求解不等式②的解集； （3）根据不等式的解集，确定数轴上对应点的虚实及线的方向，画出两个解集的区域； （4）找出不等式①和②解集的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】（1）解：去括号得：， 合并同类项得：， 移项得：， 系数化为得：． （2）解：两边乘去分母得：， 去括号得：， 合并同类项得：， 移项得：， 系数化为得：． （3）解：数轴如图所示： （4）解：不等式①的解集是， 不等式②的解集是， 两者的公共部分为， 不等式组的解集为． 【经典计算题四 在数轴上表示不等式(组)的解集】 28．（25-26八年级上·浙江舟山·期末）解不等式组，并把解集表示在数轴上． 【答案】；解集在数轴上表示见解析 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键；因此此题可根据一元一次不等式组的解法进行求解即可． 【详解】解： 由①可得：， 由②可得：， 所以原不等式组的解集为； 解集在数轴上表示如图所示： 29．（2025·浙江舟山·一模）解不等式组，把解表示在数轴上，并求出不等式组的整数解． 【答案】，见解析，不等式组的整数解为：，0，1， 【分析】按照解一元一次不等式组的一般步骤求出不等式组的解集，然后把解集表示在数轴上，并求出不等式组的整数解即可． 本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ， ， ， 不等式组的解集为：， 不等式组的解集表示在数轴上为： 不等式组的整数解为：，0，1， 30．（25-26七年级下·上海长宁·课后作业）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．观察在数轴上表示的解集，直接写出该不等式的正整数解． 【答案】解集为，在数轴上见解析，正整数解为，，． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示解集，求一元一次不等式的整数解，通过移项和合并同类项解不等式，得到解集，然后在数轴上表示解集，观察得到正整数解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 在数轴上表示解集如图， ∴正整数解为，，． 31．（24-25七年级下·上海长宁·课后作业）用不等式表示下列语句并写出解集，并在数轴上表示解集： (1)的与5的和大于6； (2)的3倍与2的差不小于4． 【答案】(1)，，数轴见解析 (2)，，数轴见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集： （1）先根据题意得到不等式，再解不等式，最后在数轴上表示不等式的解集即可； （2）先根据题意得到不等式，再解不等式，最后在数轴上表示不等式的解集即可． 【详解】（1）解：的与5的和大于6可以表示为， 解得， 数轴表示如下： （2）解：的3倍与2的差不小于4可以表示为， 解得， 数轴表示如下： 32．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）解不等式，并在数轴上表示解集． (1)         (2) 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式， 对于（1），根据移项，合并同类项，系数化为1，求出解集，并在数轴上表示； 对于（2），根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出解集，并在数轴上表示即可. 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都乘以，得. 在数轴上表示为： （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 两边都除以，得. 在数轴上表示为： 33．（24-25七年级下·山西晋城·期中）解下列不等式（组），并将解集表示在数轴上． (1)； (2) 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式以及不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得，然后在数轴上表示即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，然后在数轴上表示即可． 【详解】（1）解： 移项，合并同类项，得，     两边都除以4，得；     在数轴上表示： （2）解： 解不等式①，得，     解不等式②，得，     所以不等式组的解集为：．     在数轴上表示： 34．（25-26八年级上·重庆万州·开学考试）已知不等式组： ．求不等式组的解集并将解集表示在数轴上，且直接写出满足这个不等式组的所有偶数解的和． 【答案】不等式组的解集为：，数轴见解析，所有偶数解的和为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的求解，关键是准确求出不等式解集并表示在数轴上．分别求出两个一元一次不等式的解，将解集表示在数轴上，求出解集中的偶数解，再把偶数解相加即可． 【详解】， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为：， 将解集表示在数轴上为： 当时，满足题意的偶数有0，2， 所以，所有偶数解的和为：2． 35．（24-25七年级上·山东东营·月考）（）解不等式，并在数轴上表示不等式的解集． （）解不等式：，并将它的解集在数轴上表示出来． （）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． （）解不等式组，并求出它的所有整数解． 【答案】（），数轴表示见解析；（），数轴表示见解析；（），数轴表示见解析；（），所有整数解为，， 【分析】（）根据解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再把解集在数轴上表示出来即可； （）根据解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再把解集在数轴上表示出来即可； （）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分得到不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可； （）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分得到不等式组的解集，进而得到它的所有整数解； 本题考查了解一元一次不等式和不等式组，在数轴上表示不等式（组）的解集，求不等式组的整数解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：（）去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 不等式的解集在数轴上表示为： （）去分母得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 不等式的解集在数轴上表示为： （）由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示为： （）， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的所有整数解为，，． 36．（2025·宁夏银川·二模）下面是小林同学解一元一次不等式组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：由①去分母，得．………………第一步 去括号，得．…………………………第二步 移项，得．………………………… 第三步 合并同类项，得．…………………………………第四步 系数化为1，得．…………………………………第五步 任务一： （1）以上解题过程中，第一步的依据是_____________________________； （2）第_______________步开始出现错误，错误的原因是_______________________； 任务二： （1）解不等式②得___________________； （2）把一元一次不等式组的解集表示在数轴上，并写出该不等式组的正确解集_____________． 【答案】任务一：（1）不等式的性质；（2）三，移项没变号； 任务二：（1）；（2），在数轴上表示见解析 【分析】本题考查不等式的性质，解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 任务一：（1）根据不等式的性质作答即可； （2）根据移项可判断第三步错误； 任务二：（1）根据解一元一次不等式的步骤求解即可； （2）根据解一元一次不等式的步骤求解①，从而得解． 【详解】解：任务一：（1）以上解题过程中，第一步的依据是不等式的性质， 故答案为：不等式的性质； （2）第三步开始出现错误，错误的原因是移项没变号， 故答案为：三，移项没变号； 任务二：解不等式②：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 故答案为：； （2）由①去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 把一元一次不等式组的解集表示在数轴上，如图： 故不等式组的解集为：， 故答案为：． 【经典计算题五 一元一次不等式(组)的含参计算】 37．（24-25七年级下·广东广州·月考）整式的值为． (1)当时，求的值； (2)若的取值范围如图所示，求的负整数值． 【答案】(1)； (2)，，． 【分析】本题考查了求代数式的值，解一元一次不等式的解集，不等式的解集的应用． （1）把代入代数式中进行计算便可； （2）根据数轴列出m的不等式进行解答便可． 【详解】（1）解：根据题意得； （2）解：由数轴知，，即 解得， ∵m为负整数， ∴，，． 38．（25-26七年级下·上海长宁·课后作业）若是不等式组的最大整数解，求的值． 【答案】0 【分析】先分别解出不等式组中的两个不等式，求出它们的公共解集，从而确定最大整数解；再将的值代入等比数列求和式，利用等比数列求和公式计算最终结果． 【详解】解：①解第一个不等式： ． ②解第二个不等式： ． ③确定不等式组的解集： 两个不等式的解集分别为和， ∴不等式组的解集为． ④ 求最大整数解： 在范围内的整数有，，最大整数解为． ⑤代入求和： ． ∵项数是偶数，且和交替出现，两两相加为，∴总和为． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，解题关键是正确求解不等式组，确定最大整数解，并利用规律简化求和计算． 39．（25-26七年级下·上海长宁·周测）已知关于x，y的二元一次方程组若该方程组中x，y满足，求k的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了方程组与含参不等式，熟练掌握相关解法是解题的关键； 将二元一次方程组中两等式相加代入到不等式中，解出的取值范围． 【详解】解：，得 ． ∵方程组中，满足， ∴， 解得． 40．（25-26七年级下·上海长宁·课后作业）如果关于的不等式组的解集为，且整数使得关于，的二元一次方程组的解为整数（，均为整数）．求所有符合条件的整数的值． 【答案】的值为4或2或 【分析】本题考查了不等式 (组) 中字母参数的取值或范围，熟练掌握解不等式（组）的方法是解题的关键； 解不等式组得到的一个取值条件，解方程组得到的一个取值条件，再把的值代入到、中，保证、也符合题干要求，即可得解． 【详解】解：将原不等式组整理，得 原不等式组的解集为， ． 对于方程组 ①－②，得， 解得． ， ， 且． 把代入②，得， 解得． 与都为整数， 或，解得或或（舍去）或， 的值为或或． 41．（25-26七年级下·上海长宁·单元测试）明明在解一元一次不等式组时，发现“□”里的常数看不清楚，但知道这个不等式组的解集为．若用字母表示“□”里的常数，试求字母的取值范围． 【答案】 【分析】先解出第一个不含参数的不等式，再用参数表示第二个不等式的解集，最后结合已知的不等式组解集，利用“同大取大”的原则来确定参数的取值范围． 【详解】解：由题意，得 解不等式①，得， 解不等式②，得． 不等式组的解集为， ， ． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法与含参数不等式组的解集分析，解题关键是熟练掌握不等式组解集法则，并能结合已知解集反向推导参数的取值范围． 42．（25-26七年级下·上海长宁·课后作业）（1）已知关于x的不等式组的解集是．求m的值． （2）已知关于x的不等式组无解．求a的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了根据不等式组的解集情况求参数，熟练掌握不等式组的解法是解答本题的关键． （1）根据解集为列方程求解即可； （2）先求出不等式组两个不等式的解集，再根据解集为列不等式求解即可． 【详解】解：（1）∵关于x的不等式组的解集是，且， ， 解得：； （2）， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵关于x的不等式组无解， ， 解得：． 43．（25-26七年级下·上海长宁·课后作业）已知不等式①． (1)求不等式①的解集． (2)求不等式①的负整数解． (3)若关于x的不等式②的解集与不等式①的解集相同，求a的值． (4)若不等式①的解都是关于x的不等式的解，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)－1，－2． (3) (4) 【分析】（1）通过去分母、移项、合并同类项、系数化为的步骤，解一元一次不等式； （2）在第（1）问的解集里，找出所有负整数； （3）先解不等式②，根据解集相同的条件，令两个解集的边界相等，列方程求的值； （4）根据不等式①的解都是​的解，说明①的解集是​解集的子集，通过边界的大小关系列不等式求的范围． 【详解】（1）解：去分母得， 移项得， 合并同类项，得， 系数化为，得． （2）解：由（1）得，不等式①的解集为， ∴不等式①的负整数解为－1，－2． （3）解：去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为，得． ∵不等式②的解集与不等式①的解集相同， ∴， 解得． （4）解：解不等式，可得． ∵不等式①的解都是的解， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法、解集的包含关系及方程思想的应用，掌握解一元一次不等式的步骤，以及通过解集的包含关系确定参数范围是解题的关键． 44．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，这是一个计算程序示意图. 规定：从“输入x”到“加上5”为一次运算. 例如：输入“x=3”，则“，6+5=11.”（完成一次运算） 因为，所以输出结果y=11. （1）当x=2时，y= ；当x=-3时，y= . （2）若程序进行了一次运算，输出结果y=7，则输入的x值为 . （3）若输入x后，需要经过两次运算才输出结果y，求x的取值范围. 【答案】（1）9,3；（2）1；（3）＜-2． 【分析】（1）把x=2和-3输入，求出结果，看结果是否大于等于1，不大于1，把求出的结果再代入代数式，求出结果，直到符合条件，就是输出结果； （2）把y=7代入代数式，计算即可； （3）根据运算流程结合需要经过两次运算可得出关于x的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论． 【详解】（1）当x=2时，y=2×2+5=9＞1，所以输出9； 当x=-3时，y=-3×2+5=-1＜1，把x=-1代入， 得-1×2+5=3＞1，所以输出3． （2）y=7时，2x+5=7， 解得，x=1. （3）根据题意    由①得：x＜-2， 由②得：. ∴＜-2． 【点睛】考查了一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据运算流程代入数据求值；（2）根据运算流程得出关于x的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练掌握一元一次不等式组的解法是关键． 45．（24-25七年级下·湖南长沙·月考）如果一个不等式（组）的解集中包含一个方程（组）的解，那么就称这个不等式（组）的解集为这个方程（组）的“青一范围”，例如：不等式的解集是，它包含了方程方程的解，因此是的“青一范围”． (1)判断：①；②；③，中哪个不等式的解集是方程的“青一范围”； (2)已知是方程的解，不等式组的解集是方程的“青一范围”，求的最小值； (3)若不等式组的解集是方程的“青一范围”，求的取值范围． 【答案】(1)不等式①的解集是方程 的“青一范围” (2)5 (3) 【分析】本题主要考查了方程组及不等式组， （1）分别解不等式和解一元一次方程，再根据“青一范围”的定义即可判断； （2）解不等式组得出，再根据“青一范围”的定义得出，由可知，代入的得，结合的取值可得答案； （3）解不等式组得出，再解一元一次方程得出方程的解，根据不等式组整数解的确定可得答案． 【详解】（1）由题意，方程的解为：， ①不等式的解集为：，②不等式的解集为：，③不等式的解集为：， 不等式①的解集是方程 的“青一范围”． （2）由题意，解不等式组的得：． 是方程的解，不等式组的解集是方程的“青一范围”， ， ， ， ， ， ， ， 当时，有最小值为5． （3）由题意，不等式组， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：． 不等式组的解集为． 又方程的解为， ． ，且． ． ． ． 【经典计算题六 一元一次不等式(组)的整数解计算】 46．（24-25七年级下·北京·期中）求不等式组的整数解： 【答案】，0，1，2，3，4 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，最后写出符合条件的整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：． ∴不等式组的整数解为：，0，1，2，3，4． 47．（24-25八年级上·河北保定·期末）解不等式组，并求出最小整数解与最大整数解的和． 【答案】， 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 先求解每一个不等式的解集，从而得出不等式组解集，即可求得不等式组的整数解，即可得到不等式组的最小整数解与最大整数解，从而求解． 【详解】解：由①得，， 由②得，， ∴原不等式组的解集为：， ∴最小整数解为，最大整数解为1， ∴最小整数解与最大整数解的和为：． 48．（24-25七年级下·吉林·期末）解不等式组，并写出它的所有正整数解． 【答案】不等式组的解是，不等式组的正整数解为1，2，3 【分析】本题考查求不等式组的解集，求不等式组的整数解，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即为不等式组的解集，进而确定正整数解即可． 【详解】解：， 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：； ∴不等式组的正整数解为1，2，3． 49．（2025七年级下·上海长宁·专题练习）（1）解不等式，并写出它的负整数解； （2）解不等式，并写出它的正整数解． 【答案】（）该不等式的负整数解为，；（）该不等式的正整数解为，，，． 【分析】（）根据去括号，移项，合并同类项，化系数为，求出不等式解集，然后根据解集写出负整数解即可； （）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为，求出不等式解集，然后根据解集写出负整数解即可； 本题考查了解一元一次不等式，求一元一次不等式的整数解，解题的关键是掌握一元一次不等式的求解方法． 【详解】解：（）去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 故该不等式的负整数解为，； （）去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 故该不等式的正整数解为，，，． 50．（24-25七年级下·上海长宁·期中）若不等式的最小整数解是关于的方程的解，求式子的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，一元一次方程的解，代数式求值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 先解一元一次不等式得到，得出不等式的最小整数解为，代入一元一次方程求出，再代入中计算即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式，得， 不等式的最小整数解为． 不等式的最小整数解是关于的方程的解， 将代入方程，得， 解得， 则． 51．（24-25七年级下·山东青岛·月考）（1）解不等式：，并写出所有符合条件的正整数解． （2）求不等式的非正整数解． 【答案】（1）；1，2，3，4；（2）；，0． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，利用解一元一次不等式的一般解法即可求解，熟练掌握一元一次不等式的一般解法是解题的关键． （1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式，并求得正整数解，即可求解； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式，并求得非正整数解，即可求解；． 【详解】解：（1） 去分母， 去括号， 移项， 合并同类项， 系数化为1， ∴正整数解为：1，2，3，4； （2） 去分母，得：． 去括号，得：． 移项、合并同类项，得：． 系数化为1，得． 所以不等式的非正整数解为，0． 52．（24-25七年级下·山东青岛·期中）（1）、 解不等式，并在数轴上表示其解集． （2）、 解不等式，并写出它的最小整数解． （3）、解不等式组 ，并写出它的整数解． 【答案】（1），数轴表示解集见详解；（2），最小整数解为0；（3），整数解为． 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，一元一次不等式组的解法，掌握“解不等式与不等式组的步骤与方法”是解本题的关键． （1）直接去括号，移项，合并同类项，系数化1，注意变号，再在数轴上表示出； （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化1，注意变号，最后写出它的最小整数解； （3）分别计算两个不等式，两个不等式的解集公共部分就是不等式组的解集，再写出整数解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得：， ∴原不等式的解集为：． 数轴表示为： （2）解： ， ， ， 解得：， ∴原不等式的解集为：， ∴最小整数解为0． （3）解： 解①得：， 解②得：， ∴ 原不等式组的解集为：， ∴整数解为． 53．（24-25七年级下·山东潍坊·月考）解不等式组． (1)把解集表示在数轴上，并求出整数解； (2)若是此不等式组的最大整数解，求的值． 【答案】(1)不等式组的解集为：，整数解为； (2)0 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用． （1）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集； （2）求出最大整数解，代入求出即可． 【详解】（1）解：， 由不等式，得， 由不等式，得， 所以不等式组的解集为：， 整数解为； （2）解：∵m是此不等式组的最大整数解， 由（1）解集中最大的整数解为：， 则， ∴ ． 54．（2025·江苏南京·一模）解不等式组并写出整数解． 请结合题意，完成本题的解答． 解：解不等式①，得 ，依据是： ． 解不等式②，得， 解不等式③，得 ． 将不等式①②和③的解集在数轴上表示出来． 所以不等式组的解集为 ，整数解为 ． 【答案】见解析 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集即可． 本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，不等式组的整数解的应用，能根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集是解此题的关键． 【详解】解：解不等式①，得，依据是：不等式的基本性质1． 解不等式②，得， 解不等式③，得． 将不等式①②和③的解集在数轴上表示出来． 所以不等式组的解集为，整数解为3和4． 故答案为：，不等式的基本性质1，，，3和4． 【经典计算题七 一元一次不等式(组)的整数解计算】 55．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）若关于、y的方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题是二元一次方程组与一元一次不等式组的综合．解方程组求得x与y的值，根据，即可求得a的取值范围． 【详解】解：， 解得：， ∵， ∴， 解得：， 即的取值范围为． 56．（24-25九年级·浙江温州·周测）由方程组得到的x、y的值都不大于1，求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法和一元一次不等式组的解法，解题关键是准确求解含参数的方程组并根据题意列不等式组．先解方程组，根据解x、y的值都不大于1，得到关于a的不等式组，求解即可． 【详解】解： ①②得：，解得：， ①②得：，解得：， ∴ 解不等式③得：， 解不等式④得：， 不等式组的解集为： 故a的取值范围是． 57．（24-25七年级下·上海长宁·课后作业）已知关于x，y的方程组的解是一对正数，求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查方程组和不等式组的综合，先求出方程组的解，根据方程组的解的情况，列出关于的不等式组，进而求出a的取值范围即可． 【详解】解：由，得：， ∵方程组的解是一对正数， ∴， 解得：． 58．（24-25七年级下·上海长宁·课后作业）已知关于x、y的方程组的解满足，化简． 【答案】当时，原式=，当时，原式 【分析】先解方程组，根据建立不等式组求解集，然后分情况讨论，去掉绝对值化简即可． 【详解】解：解方程组得， 由题意得， 解得． ． 令，则． ①当时，原式， ②当时，原式． 综上，当时，原式=，当时，原式． 【点睛】本题考查方程组与不等式组，以及绝对值化简，分类讨论是解题的关键． 59．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． （1）求m的取值范围； （2）化简：． 【答案】（1）-2＜m≤3；（2）2-4m 【分析】（1）首先对方程组进行化简，根据方程的解满足x为非正数，y为负数，就可以得出m的范围； （2）根据（1）中m的范围化简即可求解． 【详解】解：（1）解原方程组得， ∵x≤0，y＜0， ∴， 解得-2＜m≤3． 故m的取值范围是-2＜m≤3； （2） = = = = 【点睛】此题考查了解二元一次方程组、解不等式组以及化简绝对值方程，有一定的综合性，把方程组、不等式组及绝对值的化简结合起来，对于学生的要求比较高，平时应该注意这方面的培养． 60．（24-25七年级下·四川成都·月考）已知方程组的解为正数， 求（1）a的取值范围； （2）化简． 【答案】（1）；（2）5a+1． 【分析】（1）首先解方程组求得方程组的解，在根据条件得到不等式组，即可求得a的范围； （2）根据正数的绝对值是正数，负数的绝对值是它的相反数即可去掉绝对值符号，化简． 【详解】解：（1）解方程组得：， 根据题意得：， 解得：. （2）∵4a+5＞0，a-4＜0， ∴． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式及绝对值的性质，根据题意列出关于a的不等式组是解题的关键． 61．（24-25七年级下·广东梅州·期中）已知方程的解满足为非正数，为负数． （1）求的取值范围； （2）化简：； （3）在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解集为． 【答案】（1）；（2）；（3）0 【分析】（1）把看成常数，求出二元一次方程组的解，结合解满足为非正数，为负数求解一元一次不等式即可得出答案； （2）根据（1）中的m的取值范围化简绝对值即可得出答案； （3）对进行分类讨论，求出的取值范围结合不等式的解集为即可得出答案. 【详解】解：（1）由方程组，得， ∵方程组的解满足为非正数，为负数， ∴， 解得，， 即的取值范围是； （2）∵， ∴ ； （3）由不等式得，当时，，当时，，当时，该不等式无解， ∵不等式的解集为， ∴，得， ∵， ∴， ∴当为整数时，， 即在的取值范围内，当时，不等式的解集为． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式和解二元一次方程组，解答本题的关键是把看成常数进行求解. 62．（24-25七年级下·广东梅州·期中）（1）【情境再现】如下是某种八年级课下册数学课外巩固练习《数学作业设计》的部分内容． 已知关于的方程：的解是负数，求的取值范围． （2） 【拓展】若关于、的方程组 的解满足 ，求的最小整数值． 【答案】（1）；（2）的最小整数值为 【分析】本题考查了一元一次方程的解，二元一次方程组的解，解一元一次不等式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先解一元一次方程，可得，然后题意可得，进行计算即可解答； （2）先利用加减消元法解方程组，求出、的值，然后根据题意可得关于的不等式，解不等式即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， 关于的方程的解是负数， ， 解得：； （2） 得：， 解得：， 得：， 解得：， ， ， 解得：， 的最小整数值为． 63．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②“包含”，其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解． 例如：不等式被不等式“包含”． (1)下列不等式（组）中，能被不等式“包含”的是 ． A、   B、      C、     D、 (2)若关于x的不等式被“包含”，若且，求M的最小值． (3)已知 ，，且k为整数，关于x的不等式P：，Q：，请分析是否存在k，使得P和Q存在“包含”关系，且Q被P“包含”，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)C (2)19 (3) 【分析】（1）分别求出四个选项中不等式（组）的解集，再根据“包含”关系的定义逐一判断即可； （2）根据题意可得，解得，再根据已知条件推出，由此即可得到答案； （3）先解方程组得到，再由，，求出，再根据P、Q之间的包含关系求出，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：A、不等式的解集为， ∴不等式不能被不等式“包含”，不符合题意 B、不等式的解集为， ∴不等式不能被不等式“包含”，不符合题意 C、不等式的解集为， ∴不等式能被不等式“包含”，符合题意 D、不等式组无解， ∴不等式组不能被不等式“包含”，不符合题意 故选C； （2）解：关于x的不等式被“包含”， ∴ 解得 ，    又∵， 解得． ∴， ∵， ∴ ， ∴M的最小值是19． （3）解：解方程组得 ∵，， ∴ 解得， ∵k为整数， ∴k的值为，0，1，2； 不等式P：整理得，；不等式Q：的解集为 ， ∵P和Q存在“包含”关系，且Q被P“包含” ∴不等式P：的解集为 ， ∴，且， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式（组），正确理解题意是解题的关键． 【经典计算题八 一元一次不等式新定义计算】 64．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为，如：．求不等式的正整数解． 【答案】1，2，3 【分析】本题主要考查了实数范围内新的运算、求一元一次不等式的整数解等知识，正确理解新定义运算是解题关键．根据新定义运算列出关于的一元一次不等式，求解即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可得， 解得， ∴不等式的正整数解为1，2，3． 65．（24-25七年级下·河南南阳·期末）在实数范围内规定新运算“@”，其规则是：，已知不等式的解集在数轴上表示如图所示，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式．根据新运算法则得到不等式，通过解不等式即可求的取值范围，结合图象可以求得的值． 【详解】解：， ， ， ， 根据图示知，已知不等式的解集是， ， ． 的值为4． 66．（24-25七年级下·上海长宁·单元测试）定义：若不等式组的解集是，且满足，则称该不等式组的解集是一个“对称集”．若关于x的不等式组的解集是一个“对称集”，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，掌握“对称集”的定义是解答此题的关键．解每个不等式得出，根据“对称集”的定义得出，解方程即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵该不等式组的解集是一个“对称集”， ∴， 解得． 67．（25-26八年级上·陕西西安·期末）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)若，则的取值范围是________． (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围是 【分析】本题考查了新定义运算与一元一次不等式（组）的综合应用． （1）由等式右边运算形式确定，解不等式； （2）分和两种情况，分别用对应公式列不等式，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 解得， 故答案为：； （2）解：当，即时，， 解得，即， 故； 当，即时，， 解得，，无解； 综上，， 答：的取值范围是． 68．（24-25七年级下·安徽亳州·月考）在实数范围内定义一种新运算“★”，其运算规则为． 例如：． (1)解不等式：； (2)求不等式的最大整数解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了新定义，解一元一次不等式，关键是正确理解新定义，根据新定义列出不等式． （1）根据新定义进行列出不等式进行解答便可； （2）根据新定义列出不等式进行解答便可． 【详解】（1）解：由，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化成1，得 （2）解：根据新运算定义，化简不等式左边得， 化简不等式右边得， 所以， 解得， 所以该不等式的最大整数解为． 69．（24-25七年级下·吉林·期末）在实数范围内定义一种新运算“”．其运算规则为：，如． (1)______． (2)解不等式； (3)求不等式的最大整数解． 【答案】(1) (2) (3)最大整数解是 【分析】本题考查的是解一元一次方程，解一元一次不等式，根据所给的新运算列出关于x的一元一次（方程）不等式是解答此题的关键． （1）根据所给的运算列出关于x的方程，解方程即可； （2）根据所给的运算列出关于x的一元一次不等式，求出x的取值范围即可； （3）根据所给的运算列出关于x的一元一次不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：， ． 故答案为：． （2）解：，， 则， 解得：． （3）解：，， 则， 解得：， 所以最大的整数解为． 70．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）新定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组解集范困内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)在方程①；②；③中，关于x的不等式组的“关联方程”是____________；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“关联方程”求k的取值范围． 【答案】(1)①②； (2)． 【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式组，理解材料中的不等式组的“关联方程”是解题的关键． （1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出，最后根据“关联方程”的定义列出关于的不等式组并求解即可． 【详解】（1）解：①， 解得：， ②， 解得：， ③， 解得：， ， 解不等式④得：， 解不等式⑤得：， 该不等式组的解集为：， 和在的范围内， 不等式组的“关联方程”是①②， 故答案为：①②． （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为：， ， 解得：， 关于的方程是不等式组的“关联方程”， ， 解得：， 的取值范围是． 71．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“慧泉数”．将一个“慧泉数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与的商记为． 例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数，新两位数与原两位数的和为，和与的商为，所以． 根据以上定义，回答下列问题： (1)填空：下列两位数：，，中，“慧泉数”为________； (2)计算： ①；②； (3)如果一个“慧泉数”的十位数字是，个位数字是，另一个“慧泉数”的十位数字是，个位数字是，且满足，求． 【答案】(1)51 (2)①；② (3)或 【分析】（1）根据“慧泉数”的定义分析即可； （2）根据的定义求解即可； （3）根据（2）中②的结论可写出与的表达式，代入解不等式，结合“慧泉数”个位数字与十位数字的特点可得的值． 【详解】（1）解：的个位数字与十位数字不同，且都不为，为“慧泉数”． （2）解：，． （3）解：，均为慧泉数， ，解得或或． 由，得的值等于的个位数字与十位数字之和， ，， ， ，解得． 或． 【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式，充分理解新定义的概念是解题的关键． 72．（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）新定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“友好方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“友好方程”． (1)在方程①；②；③中，关于的不等式组的“友好方程”是__________；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“友好方程”求k的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“友好方程”，且此时不等式组恰好有个整数解，试求的取值范围． 【答案】(1)； (2)k的取值范围：； (3)的取值范围是：． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，熟练掌握解不等式组是关键． （1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出最后根据“友好方程”的定义列出关于的不等式组，进行计算即可； （3）先求出不等式组的解集，不等式组有个整数解，即可得出的范围，然后求出方程的解为根据“友好方程”的定义得出关于的不等式，最后取公共部分即可． 【详解】（1）解： 解得：； 解得： 解得：， 解不等式，得： 解不等式，得：， 的解集为： 在范围内， ∴不等式组 的“友好方程”是； 故答案为：． （2）解：解不等式，得：， 解不等式，得： 的解集为： 关于的方程的解为： ∵关于的方程是不等式组的“友好方程”， 在范围内， 解得：． （3）解：解不等式，得： 解不等式 ，得： 的解集为： ∵此时不等式组有个整数解， 解得： 关于的方程 的解为： ∵关于的方程是不等式组 的“友好方程”， 在范围内， 解得： 综上所述，的取值范围是：． 学科网（北京）股份有限公司 $