专题04 一元一次不等式48道含参问题专项训练（8大题型）-2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学下册重难点专题提升精讲精练

专题04 一元一次不等式48道含参问题专项训练（8大题型） 题型一 根据一元一次不等式解的情况求参数 题型二 一元一次不等式中的整数解个数问题 题型三 一元一次不等式的最值问题 题型四 一元一次不等式与二元一次方程组结合的参数问题 题型五 根据一元一次不等式组有解的情况求参数 题型六 根据一元一次不等式组无解的情况求参数 题型七 根据一元一次不等式组整数解的个数求参数 题型八 一元一次不等式组与方程组结合求参数 【经典例题一 根据一元一次不等式解的情况求参数】 1．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）x取什么值时，代数式的值不小于的值？ 2．（25-26七年级下·上海嘉定·期中）已知整数同时满足不等式和，并且满足方程，求的值． 3．（24-25七年级下·上海宝山·月考）整式的值为P． (1)当m取什么值时，P的值是正数？ (2)当m取什么值时，P的取值范围如图所示？ 4．（24-25七年级下·上海松江·月考）已知不等式组． (1)求k的取值范围； (2)在第（1）小题的取值范围内，当k取何整数时，不等式的解集为？ 5．（2025·河北保定·二模）如图，小明为 “小鱼”设计了一个计算程序．输入值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到m，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到n．如：输入，得到，．    (1)若得到，求输入的值及相应n的值； 6．（2025·河北石家庄·二模）淇淇设计了一个运算程序，如图，输入值，由上面的一条运算路线从左至右进行运算得到，由下面的一条运算路线从左至右进行运算得到．如：输入，得到． (1)若输入，求m，n的值； (2)若得到，求输入的的值及相应的的值； (3)若得到的的值比值小，求的取值范围． 【经典例题二 一元一次不等式中的整数解个数问题】 7．（2025七年级下·江苏·专题练习）的整数解有且仅有1，2，3，问整数对个数． 8．（25-26七年级下·重庆·开学考试）（1）先化简，然后在、0、2三个数中任选一个合适的数代入求值； （2）解不等式，并写出它的所有负整数解． 9．（2025七年级下·江苏·专题练习）已知两个数和a（a为负整数）． (1)设整式的值为P．当时，求P的值； (2)已知，a，5的和的取值范围如图所示，求a的值． 10．（2025·河北石家庄·一模）约定：上方相邻两个数之和等于这两个数下方箭头共同指向的数． 例如： (1)___________，___________（用含的代数式表示） (2)若，求的最小整数值． 11．（24-25七年级下·江西鹰潭·月考）【阅读材料】 我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或式子的大小，解决问题时一般要进行一定的转化，“求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过求差，变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较两个数a，b的大小，只要求出它们的差：若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)已知，试比较，的大小； (2)若，，，求和的取值范围． 12．（24-25七年级下·北京海淀·期末）对给定的，考虑如下5个数：，，0，n，m，如果这5个数中有k个数是某不等式（组）的解，则称此不等式（组）为关于的“k阶不等式（组）”． 例如，给定，，考虑不等式，解得：，因为，，0，2，3这五个数中有，0，2，3是该不等式的解，所以为关于的“4阶不等式”． (1)对，，在下列不等式（组）中，关于的“3阶不等式（组）”有_______（填写所有正确结论的序号）； ①，②，③ (2)已知m，n满足方程组，则有_____，_____（结果用含t的式子表示）； (3)在（2）的条件下，若关于x的不等式是关于的“4阶不等式”，求t的取值范围． 【经典例题三 一元一次不等式的最值问题】 13．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）若2a+b=12，其中a≥0，b≥0，又P=3a+2b．试确定P的最小值和最大值． 14．（24-25七年级下·河南信阳·期末）已知、满足和，求的最小值． 15．（24-25七年级下·山东淄博·月考）已知、、是非负实数，且，，求的最小值． 16．（2025七年级下·上海闵行·专题练习）计算 (1)求不等式的最大整数解； (2)已知关于x的不等式只有3个负整数解，求m的取值范围． 17．（2025·河北秦皇岛·一模）嘉淇在解一道数学计算题时，发现有一个数被污染了． (1)嘉淇猜污染的数为1，请计算； (2)老师说，嘉淇猜错了，正确的计算结果不小于，求被污染的数最大是几？ 18．（24-25七年级下·河北唐山·月考）如图，珍珍同学利用计算器设计了一个计算程序，输入一个正整数值，相应地会输出一个值． (1)若输入的值为偶数，且输出的值不大于6，求输入的值； (2)若输出的值大于52，求输入的最小值．     19．（24-25七年级下·河北唐山·期末）关于，的二元一次方程组． 若方程组的解满足，则的取值范围为_________． 20．（24-25七年级下·河北唐山·月考）已知关于、的二元一次方程组的解满足，求满足条件的的最大整数值． 21．（24-25七年级下·北京海淀·期末）已知关于x，y的二元一次方程组． （1）若该方程组的解是，求关于x，y的二元一次方程组的解． （2）若y0，且mn，求x的最小值． 【经典例题四 一元一次不等式与二元一次方程组结合的参数问题】 22．（2025七年级下·江苏·专题练习）已知关于x、y的二元一次方程组（k为常数）． (1)求这个二元一次方程组的解（用含k的代数式表示）； (2)若方程组的解x、y满足，求k的取值范围； (3)若，直接写出k的值； (4)若，设，且m为正整数，求m的值． 23．（25-26八年级上·上海闵行·假期作业）已知关于x，y的二元一次方程组． (1)若该方程组的解是，那么关于x，y的二元一次方程组的解是多少？ (2)若，且，试求x的最小值． 24．（25-26七年级下·上海奉贤·月考）先阅读下列材料，再完成任务： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数、满足①，②，求和的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则 ， ； (2)若关于、的二元一次方程组的解满足．求的取值范围； (3)某班级组织活动购买小奖品，买18支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需40元，买53支铅笔、8块橡皮、5本日记本共需109元，求购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元？ 【经典例题五 根据一元一次不等式组有解的情况求参数】 25．（2025·天津·模拟预测）已知关于 x的不等式组 有解， 求 a的取值范围． 26．（24-25七年级下·河南开封·期中）含参不等式之有解问题． (1)若关于的不等式组有解，求的取值范围． (2)已知关于的不等式组有5个整数解，求的取值范围． 27．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）关于x的不等式组． (1)当时，解该不等式组； (2)当时，解该不等式组； (3)若该不等式组有解，但无整数解，则m的取值范围是多少？ 28．（24-25七年级下·辽宁沈阳·月考）若一个不等式组A有解且解集为，则称为不等式组A的解集中点值，若不等式组A的解集中点值是不等式（组）B的解，则称不等式（组）B对于不等式组A中点包含． (1)已知关于x的不等式组A：和不等式B：， ①不等式组A的解集中点值为________． ②不等式B对于不等式组A________（填“是”或“不是”），中点包含． (2)已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若不等式组D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围． 29．（24-25七年级下·福建厦门·期末）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②“容纳”，其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解．例如：不等式被不等式“容纳”； (1)下列不等式（组）中，能被不等式“容纳”的是（    ） A．　B．　C．　D． (2)若关于的不等式被“容纳”，求的取值范围． (3)若能被关于的不等式“容纳”，直接写出一个符合条件的无理数． 30．（24-25七年级下·湖南长沙·月考）已知一个不等式组有解，是它的解集中的解，若存在一个实数，使得成立，我们把叫做不等式组的“立信幸运数”．例如，不等式组的解集为，任取它的解，则均比大，则它的“立信幸运数”也比要大，若取，则，则是该不等式组的“立信幸运数”． (1)下列不等式组中，“立信幸运数”可能等于的是（　　） A．    B．    C． (2)已知关于的不等式组有解，若是它的解，求它的“立信幸运数”的取值范围． (3)已知，由以上条件可以得到一个关于的不等式组，且该不等式组有解，是该不等式组的解，是该不等式组的“立信幸运数”，，，求的取值范围． 【经典例题六 根据一元一次不等式组无解的情况求参数】 31．（24-25七年级下·上海·月考）若关于的不等式组无解，求的取值范围． 32．（25-26七年级下·上海闵行·周测）已知关于x的不等式组 (1)若这个不等式组有解，求a的取值范围． (2)若这个不等式组无解，求a的取值范围． 33．（2025八年级上·上海闵行·专题练习）含参不等式之有、无解问题． (1)若关于的不等式组有解，求的取值范围； (2)已知关于的不等式组无解，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组无解，求的取值范围． 34．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）定义运算：．已知，． (1)直接写出： ， ； (2)若关于的不等式组无解，求的取值范围； (3)若的解集为，求不等式：的解集． 35．（24-25七年级下·山东德州·期末）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②覆盖．特别地，若一个不等式（组）无解，则它被其他任意不等式（组）覆盖．例如：不等式被不等式覆盖：不等式组无解，被其他任意不等式（组）覆盖． (1)下列不等式（组）中，能被不等式覆盖的是______ ①；    ②；    ③；    ④； (2)若关于的不等式被覆盖，求的取值范围； (3)若关于的不等式被覆盖，直接写出的取值范围． 36．（24-25七年级下·四川内江·期中）数学乐园：解二元一次方程组，，得，当时，，同理：； 符号称之为二阶行列式，规定：． 设，，，那么方程组的解就是． (1)求二行列式的值； (2)解不等式：； (3)用二阶行列式解方程组； (4)若关于的二元一次方程组无解，求的值． 【经典例题七 根据一元一次不等式组整数解的个数求参数】 37．（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）三个数，，在数轴上从左到右依次排列，求的取值范围． 38．（2025七年级下·上海闵行·专题练习）已知关于m、n的二元一次方程组的解满足，且关于x的不等式组恰好有4个整数解． (1)求方程组的（用含有y的式子表示）； (2)求所有符合上述条件的整数y的个数______． 39．（24-25七年级下·北京海淀·期末）甲、乙两位同学玩填数游戏，每人各自从左到右依次填写四个实数，，，，如下表所示． 所填的四个数满足：从第二个数开始，每一个数都大于或等于前面填写的任意一个数的2倍． (1)若甲同学填写的四个数中，，，，请写出一个符合要求的的值：______； (2)若乙同学填写的前两个数满足，，求的取值范围； (3)若甲、乙两位同学各自填写的四个数都是非零整数，且他们所填写的第一个数互为相反数，则这两位同学填写的这八个数之和的最小值为______． 40．（24-25八年级·广东深圳·期中）阅读理解题： (1)原理：对于任意两个实数a、b， 若ab＞0，则a和b同号，即：或； 若ab＜0，则a和b异号，即：或； (2)分析：对不等式(x+1)(x﹣2)＞0来说，把(x+1)和(x﹣2)看成两个数a和b，所以按照上述原理可知：(Ⅰ)或(Ⅱ)，所以不等式(x+1)(x﹣2)＞0的求解就转化求解不等式组(I)和(Ⅱ)． (3)应用：解不等式x2﹣x﹣12＞0 41．（24-25七年级下·北京顺义·月考）定义：我们把不等式组解集中的整数叫做这个不等式组的“核”，把解集中整数的个数称为该不等式组的“核数”．例如，不等式组的解集中存在0，1，2，3这4个“核”，这个不等式组的“核数”为4． (1)下列不等式组中，“核数”为2的有________（只填序号） ①    ②    ③ (2)不等式组的“核数”为a，不等式组的“核数”为b． ①若，求整数k的值． ②若关于m，y，z的三元一次方程组的解是正数，直接写出整数k的值． 42．（24-25七年级下·四川南充·期末）如图，数轴上两点A、B对应的数分别是－1，1，点P是线段AB上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q，满足|PQ|＝2，那么我们把这样的点Q表示的数称为连动数，特别地，当点Q表示的数是整数时我们称为连动整数． （1）在－2.5，0，2，3.5四个数中，连动数有　　　　　　；（直接写出结果） （2）若k使得方程组中的x，y均为连动数，求k所有可能的取值； （3）若关于x的不等式组的解集中恰好有4个连动整数，求这4个连动整数的值及a的取值范围． 【经典例题八 一元一次不等式组与方程组结合求参数】 43．（25-26七年级下·上海闵行·周测）已知关于x，y的二元一次方程组若该方程组中x，y满足，求k的取值范围． 44．（2026七年级下·上海闵行·专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组回答下列问题： (1)若方程组的解满足，求a的取值范围． (2)若方程组的解均为正数，则a的取值范围为___________． 45．（24-25七年级下·四川乐山·期末）已知关于、的方程组 (1)若，求这个方程组的解； (2)若该方程组的解满足、均为正数，求的取值范围． 46．（25-26七年级下·上海闵行·周测）已知关于，的二元一次方程组的解满足不等式． (1)求实数的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，请求出整数的值． 47．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）已知关于x，y的方程组． (1)若该方程组的解满足，求m的值； (2)若不等式组的解集满足，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，求m的整数值． 48．（24-25八年级上·湖南·开学考试）方程（组）与不等式（组）是代数的重要组成部分，也是解决数学问题的重要工具；请利用所学，解决以下3个问题： (1)当为何整数时关于，的方程组的解满足且； (2)已知正整数使得关于，的方程的解是整数，解关于的不等式； (3)已知，，为3个非负实数，且满足，，记，对于符合题意的任意实数，不等式始终成立，试确定的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一元一次不等式48道含参问题专项训练（8大题型） 题型一 根据一元一次不等式解的情况求参数 题型二 一元一次不等式中的整数解个数问题 题型三 一元一次不等式的最值问题 题型四 一元一次不等式与二元一次方程组结合的参数问题 题型五 根据一元一次不等式组有解的情况求参数 题型六 根据一元一次不等式组无解的情况求参数 题型七 根据一元一次不等式组整数解的个数求参数 题型八 一元一次不等式组与方程组结合求参数 【经典例题一 根据一元一次不等式解的情况求参数】 1．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）x取什么值时，代数式的值不小于的值？ 【答案】 【分析】本题考查列不等式，求不等式的解集，根据题意，列出不等式，根据根据解不等式的步骤进行求解即可． 【详解】解：由题意：， ， ， ， ∴． 2．（25-26七年级下·上海嘉定·期中）已知整数同时满足不等式和，并且满足方程，求的值． 【答案】的值为或1 【分析】先按照解一元一次不等式的步骤求出解集，并得到整数解，然后代入方程求出的值． 【详解】解：解不等式，得． 解不等式，得． 同时满足不等式和， ． 是整数，或0． 将代入方程， 得， 解得； 将代入方程，得，解得． 综上所述，的值为或1 【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，方程的解，解题的关键是准确熟练地进行计算． 3．（24-25七年级下·上海宝山·月考）整式的值为P． (1)当m取什么值时，P的值是正数？ (2)当m取什么值时，P的取值范围如图所示？ 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤． （1）根据题意列出不等式求解即可； （2）根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）由题意得， 去括号得， 移项得， 系数化为1得，； （2）由题意得， 去括号得， 移项得， 系数化为1得，． 4．（24-25七年级下·上海松江·月考）已知不等式组． (1)求k的取值范围； (2)在第（1）小题的取值范围内，当k取何整数时，不等式的解集为？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键，也考查了不等式的性质． （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集； （2）根据不等式的性质可得，求出的取值范围，再结合（1）即可得解． 【详解】（1）解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴k的取值范围为； （2）解：∵不等式的解集为， ∴， ∴， 由（1）可得，， ∵k为整数， ∴． 5．（2025·河北保定·二模）如图，小明为 “小鱼”设计了一个计算程序．输入值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到m，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到n．如：输入，得到，．    (1)若得到，求输入的值及相应n的值； 【答案】(1) 【分析】（1）根据程序图可得，从而得到，即可求解； 【详解】（1）解：由题意得： 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，理解程序图是解题的关键． 6．（2025·河北石家庄·二模）淇淇设计了一个运算程序，如图，输入值，由上面的一条运算路线从左至右进行运算得到，由下面的一条运算路线从左至右进行运算得到．如：输入，得到． (1)若输入，求m，n的值； (2)若得到，求输入的的值及相应的的值； (3)若得到的的值比值小，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，有理数的四则混合计算，正确理解流程图是解题的关键． （1）仿照题意计算求解即可； （2）根据题意可得方程，解方程求出x的值，进而求出n的值即可； （3）分别用含x的式子表示出m、n，再根据题意建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ； （2）解：由题意得，，解得， ∴； （3）解：由题意得，， ； ∵得到的的值比值小， ∴， 解得． 【经典例题二 一元一次不等式中的整数解个数问题】 7．（2025七年级下·江苏·专题练习）的整数解有且仅有1，2，3，问整数对个数． 【答案】整数对有、、、、、，共6对 【分析】先求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组的整数解情况得到关于a、b的不等式，求出a、b的取值范围即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的整数解有且仅有1，2，3， ∴ 解得： 整数对有、、、、、，共6对． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，正确得到关于a、b的不等式是解题的关键． 8．（25-26七年级下·重庆·开学考试）（1）先化简，然后在、0、2三个数中任选一个合适的数代入求值； （2）解不等式，并写出它的所有负整数解． 【答案】（1），当时，原式的值为；当时，原式的值为；（2），它的所有负整数解为 【分析】本题主要考查分式的化简求值及一元一次不等式的解法，熟练掌握分式的运算及一元一次不等式的解法是解题的关键； （1）先对分式进行化简，然后根据分式有意义的条件把代入进行求解即可； （2）先得出不等式的解集，然后再得到它的所有负整数解即可． 【详解】解：（1）原式 ； ∵，即， ∴当时，则原式； 当时，则原式； （2） ， ∴它的所有负整数解为． 9．（2025七年级下·江苏·专题练习）已知两个数和a（a为负整数）． (1)设整式的值为P．当时，求P的值； (2)已知，a，5的和的取值范围如图所示，求a的值． 【答案】(1)P的值为 (2)a的值为． 【分析】（1）直接把代入整式求解即可； （2）根据数轴信息列出不等式，结合a为负整数求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：由题意，得， ， 解得， 因为a为负整数，所以a的值为． 【点睛】本题考查了在数轴上求不等式的解集以及代数式求值，根据题意列出不等式是解答本题的关键． 10．（2025·河北石家庄·一模）约定：上方相邻两个数之和等于这两个数下方箭头共同指向的数． 例如： (1)___________，___________（用含的代数式表示） (2)若，求的最小整数值． 【答案】(1)， (2)的最小整数值为 【分析】（1）根据上方相邻两个数之和等于这两个数下方箭头共同指向的数即可得到答案； （2）根据题意求出，由得到，解不等式求出最小整数解即可． 【详解】（1）解：由题意得到，， 故答案为：， （2）由题意得，， ∵， ∴， 解得， ∴的最小整数值为． 【点睛】此题主要考查了整式的加减和求一元一次不等式的特殊解，理清题意和正确计算是解题的关键． 11．（24-25七年级下·江西鹰潭·月考）【阅读材料】 我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或式子的大小，解决问题时一般要进行一定的转化，“求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过求差，变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较两个数a，b的大小，只要求出它们的差：若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)已知，试比较，的大小； (2)若，，，求和的取值范围． 【答案】(1) (2)a为任意实数， 【分析】本题主要考查了利用不等式的性质比大小、解不等式，整式的混合运算． （1）根据题意用作差法得出，再结合，利用不等式的性质即可得出结论． （2）把，代入，解一元一次不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴，即， ∴． （2）解：∵ ， 又∵， ∴， ∴， 解得， ∵的值与的取值无关， ∴a为任意实数． 12．（24-25七年级下·北京海淀·期末）对给定的，考虑如下5个数：，，0，n，m，如果这5个数中有k个数是某不等式（组）的解，则称此不等式（组）为关于的“k阶不等式（组）”． 例如，给定，，考虑不等式，解得：，因为，，0，2，3这五个数中有，0，2，3是该不等式的解，所以为关于的“4阶不等式”． (1)对，，在下列不等式（组）中，关于的“3阶不等式（组）”有_______（填写所有正确结论的序号）； ①，②，③ (2)已知m，n满足方程组，则有_____，_____（结果用含t的式子表示）； (3)在（2）的条件下，若关于x的不等式是关于的“4阶不等式”，求t的取值范围． 【答案】(1)①③ (2)， (3)． 【分析】该题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式及不等式组，解题的关键是理解新定义． （1）根据“3阶不等式（组）”的定义求解即可； （2）根据加减消元法解方程即可； （3）由②知，，根据关于的“k阶不等式（组）”定义可知，则，，解得，且，，根据关于x的不等式是关于的“4阶不等式”，得出，即，求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ①，解不等式得， ∵因为，，0，3，，这五个数中有，，0是该不等式的解， 所以为关于的“3阶不等式”，符合题意； ②，解不等式得， ∵因为，，0，3，，这五个数中有，0，3，是该不等式的解， 所以为关于的“4阶不等式”，不符合题意； ③，解不等式组得， ∵因为，，0，3，，这五个数中有0，3，是该不等式的解， 所以为关于的“3阶不等式”，符合题意； 故答案为：①③； （2）解：， 得：， 将代入②得：， 故答案为：，． （3）解：由②知，， ∵， ∴，， 故，，， ∵关于x的不等式是关于的“4阶不等式”， ∴， 即， 解得：， 综上，． 【经典例题三 一元一次不等式的最值问题】 13．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）若2a+b=12，其中a≥0，b≥0，又P=3a+2b．试确定P的最小值和最大值． 【答案】当a=0时，P有最大值，最大值为p=24;当a=6时，P有最小值，最小值为P=18． 【分析】由2a+b=12，其中a≥0，b≥0，可知0≤a≤6，由2a+b=12得；b=12-2a，然后代入P=3a+2b得；p=24-a，最后根据a的范围即可求得p的范围． 【详解】∵2a+b=12，a≥0，b≥0， ∴2a≤12． ∴a≤6． ∴0≤a≤6． 由2a+b=12得；b=12﹣2a， 将b=12﹣2a代入P=3a+2b得： p=3a+2（12﹣2a）=24﹣a． 当a=0时，P有最大值，最大值为p=24． 当a=6时，P有最小值，最小值为P=18． 【点睛】本题主要考查的解一元一次不等式和整式的加减，由已知条件确定出a的范围以及得出p=24-a是解题的关键． 14．（24-25七年级下·河南信阳·期末）已知、满足和，求的最小值． 【答案】3 【分析】解方程组得出，再根据知，解之即可． 【详解】解方程组，得， ∵， ∴，即， 解得：， ∴的最小值为3． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，正确解方程组和不等式是解题的关键． 15．（24-25七年级下·山东淄博·月考）已知、、是非负实数，且，，求的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的解法，正确的理解题意是解题的关键． 解方程组，用含的式子表示出、的值，根据，求得的取值范围而求得的最小值． 【详解】解：由得， ∵、、是非负实数， ∴， 解得． ∴． ∵， ， ∴， ∴的最小值为． 16．（2025七年级下·上海闵行·专题练习）计算 (1)求不等式的最大整数解； (2)已知关于x的不等式只有3个负整数解，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式（组），解一元一次不等式（组）是解题的关键． （1）解出不等式的解集即可求解； （2）先根据题干表达出关于m的一元一次不等式组，然后计算即可． 【详解】（1）解：原式去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化成1，得， 不等式的最大整数解为． （2）解：原式去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得． 关于x的不等式只有3个负整数解， ，解得． 17．（2025·河北秦皇岛·一模）嘉淇在解一道数学计算题时，发现有一个数被污染了． (1)嘉淇猜污染的数为1，请计算； (2)老师说，嘉淇猜错了，正确的计算结果不小于，求被污染的数最大是几？ 【答案】(1)； (2)-2 【分析】（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，按照从左到右的顺序依次计算； （2）根据题意列出一元一次不等式，先求出不等式的解，再进一步得到最大的数. 【详解】（1）解： （2）解：设污染了的实数为x，则有 解之得， 所以被污染的实数最大是-2． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次不等式，能够根据题意列出不等式是解决问题的关键. 18．（24-25七年级下·河北唐山·月考）如图，珍珍同学利用计算器设计了一个计算程序，输入一个正整数值，相应地会输出一个值． (1)若输入的值为偶数，且输出的值不大于6，求输入的值； (2)若输出的值大于52，求输入的最小值． 【答案】(1) (2)18 【分析】本题考查了列不等式以及分类讨论思想；，熟练运用分类讨论思想是关键． （1）正确列出不等式，然后根据条件计算即可； （2）运用分类讨论思想正确列出不等式，然后根据条件计算即可；． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得，     为正整数，且为偶数， ； （2）解：当输入的为奇数时，， 解得， 则的最小值为19；     当输入的为偶数时，， 解得， 则的最小值为18；     综上所述，符合条件的的最小值为18． 19．（24-25七年级下·河北唐山·期末）关于，的二元一次方程组． 若方程组的解满足，则的取值范围为_________． 【答案】． 【分析】将二元一次方程组的两式相加，左边化成，右边小于2列不等式，解不等式即可． 【详解】解：， ①+②得：，所以， 因为， 所以，解得， 故的取值范围为． 【点睛】本题考查了了不等式的解法，选择正确的方法解题是解决本题的关键． 20．（24-25七年级下·河北唐山·月考）已知关于、的二元一次方程组的解满足，求满足条件的的最大整数值． 【答案】满足条件的的最大整数值为 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，一元一次不等式的整数解，熟练掌握解方程组和不等式的方法是解题的关键． 方程组两方程相加表示出，代入已知不等式求出的范围，确定出的最大整数解即可． 【详解】解： ，得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：满足条件的的最大整数值为． 21．（24-25七年级下·北京海淀·期末）已知关于x，y的二元一次方程组． （1）若该方程组的解是，求关于x，y的二元一次方程组的解． （2）若y0，且mn，求x的最小值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据两个方程组中各项系数的对应关系可知，解出此方程组的解即可； （2）先分别求出m和n的值，再根据可得不等式，然后解不等式即可得结论． 【详解】（1）∵二元一次方程组的解是， ∴， 解得：； （2）， 由①得：， 由②得：， ∵， ∴， 又∵， ∴， 解得：， 故x的最小值是． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式等知识点，熟练掌握方程组和不等式的解法是解题关键． 【经典例题四 一元一次不等式与二元一次方程组结合的参数问题】 22．（2025七年级下·江苏·专题练习）已知关于x、y的二元一次方程组（k为常数）． (1)求这个二元一次方程组的解（用含k的代数式表示）； (2)若方程组的解x、y满足，求k的取值范围； (3)若，直接写出k的值； (4)若，设，且m为正整数，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)1或2 【分析】（1）利用加减消元法求解即可； （2）根据（1）所求结合，得到关于k的不等式，解不等式即可得到答案； （3）根据1的任何次方为1，负1的偶次方为1，非零底数的零指数幂结果为1，三种情况讨论求解即可； （4）根据已知条件式推出，由，得到，再由m为正整数，即可得到m的值为1或2． 【详解】（1）解： 得，解得， 得，解得， ∴方程组的解为； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得； （3）解：当，即时，此时，此时， ∴此时； 当，即时，，此时， ∴此时； 当，即时，，此时，则 ∴此时，不满足题意； 综上所述，或 （4）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵m为正整数， ∴m的值为1或2． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，零指数幂和有理数的乘方，熟知加减消元法和解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 23．（25-26八年级上·上海闵行·假期作业）已知关于x，y的二元一次方程组． (1)若该方程组的解是，那么关于x，y的二元一次方程组的解是多少？ (2)若，且，试求x的最小值． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查换元法解二元一次方程组，二元一次方程组与不等式： （1）根据的解为，得到的解满足，进行求解即可； （2）分别用含的式子表示出，结合，且，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵的解为， ∴的解满足， 解得． （2）解：， 由①得：， 由②得：， ∵， ∴， ∵， ∴，解得， ∴x的最小值是5． 24．（25-26七年级下·上海奉贤·月考）先阅读下列材料，再完成任务： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数、满足①，②，求和的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则 ， ； (2)若关于、的二元一次方程组的解满足．求的取值范围； (3)某班级组织活动购买小奖品，买18支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需40元，买53支铅笔、8块橡皮、5本日记本共需109元，求购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元？ 【答案】(1)5， (2) (3)购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需11元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法、三元一次方程组的应用及一元一次不等式的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法、三元一次方程组的应用及一元一次不等式的解法是解题的关键； （1）根据整体思想可进行求解； （2）将两方程相加可得到，然后可得不等式，进而求解即可； （3）设购买1支铅笔需x元，1块橡皮需y元，1本日记本需z元，由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：， 得：， ∴； 得：； 故答案为5，； （2）解：由可得：， 则， ∵， ∴， 解得：； （3）解：设购买1支铅笔需x元，1块橡皮需y元，1本日记本需z元，由题意得： ， 得：； 答：购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需11元． 【经典例题五 根据一元一次不等式组有解的情况求参数】 25．（2025·天津·模拟预测）已知关于 x的不等式组 有解， 求 a的取值范围． 【答案】a的取值范围为全体实数． 【分析】先分析不等式①的解集，需要考虑a的不同取值（如、、）对解集的影响，再分析不等式②的解集，同样需考虑a的不同取值对解集的影响，最后确定两个解集有解时的公共部分，即找到a的取值范围． 【详解】解：∵有解， ∴将①因式分解得：， 将②因式分解得：， ∴此时有三种情况： ①当时，，解得：， ②当时，不等式的根为和， 由于，则有，因此解集为， ③当时，不等式的根为和， 由于，则有： （i）若，即，解集为或， （ii）若，即，此时，解得：， ∴解集为或， （iii）若，即，解集为或． 同理，此时有三种情况： ①当时，此时，即，解得：， ∴解集为或， ②当时，不等式的根为和， 由于，解集为：或， ③当时，不等式的根为和， 由于，解集为：或， 结合两个不等式，当时，不等式①的解集为：，不等式②的解集为：或，公共解集为或； 当时，不等式①解集为：，不等式②的解集为：或， 若，不等式组解集为：， 若，不等式组解集为：或， 若，不等式组解集为：， ∴对于，不等式组有解集， 当时，不等式①的解集分三种情况： 若，解集为或， 若，解集为或， 若，解集为或， 而不等式②的解集分两种情况： 若，解集为或， 若，解集为或， 此时时，不等式组有解集， 综上所述，a的取值范围为全体实数． 【点睛】本题考查解含参数的一元一次不等式组的取值范围，此题需进行分类讨论，难度较大． 26．（24-25七年级下·河南开封·期中）含参不等式之有解问题． (1)若关于的不等式组有解，求的取值范围． (2)已知关于的不等式组有5个整数解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，正确理解题意是解题的关键． （1）先分别求每一个不等式的解集，再根据有解得到新的不等式即可求解； （2）先求出不等式组的解集，进而根据不等式组的整数解得到新的不等式组，求出未知数的取值范围即可． 【详解】（1）解： 由①得，； 由②得，， ∵关于的不等式组有解， ∴， 解得：； （2）解： 由①得，， 由②得，， ∴原不等式组的解集为：， ∵关于的不等式组有5个整数解， ∴， 解得：． 27．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）关于x的不等式组． (1)当时，解该不等式组； (2)当时，解该不等式组； (3)若该不等式组有解，但无整数解，则m的取值范围是多少？ 【答案】(1) (2)不等式组无解 (3) 【分析】（1）先求出两个不等式的解集，再代入m的值利用夹逼原则求解即可； （2）同（1）求解即可； （3）同（1）求出两个不等式的解集，再根据该不等式组有解，但无整数解，列出关于m的不等式组进行求解即可． 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 当时，， ∴不等式组的解集为； （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 当时，， ∴不等式组无解； （3）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式有解，但没有整数解， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集，然后利用夹逼原则求出不等式组的解集是解题的关键． 28．（24-25七年级下·辽宁沈阳·月考）若一个不等式组A有解且解集为，则称为不等式组A的解集中点值，若不等式组A的解集中点值是不等式（组）B的解，则称不等式（组）B对于不等式组A中点包含． (1)已知关于x的不等式组A：和不等式B：， ①不等式组A的解集中点值为________． ②不等式B对于不等式组A________（填“是”或“不是”），中点包含． (2)已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若不等式组D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围． 【答案】(1)①5，②是 (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，由不等式组的解集情况求参数，理解新定义是解题的关键． （1）①求出不等式组A的解集，再根据解集中点值的定义求出的解集中点值即可；②根据不等式组B的解集判断即可求解； （2）求出不等式组C和D的解集，进而得到，据此即可求解． 【详解】（1）解：①， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∴不等式组A的解集中点值为； 故答案为：5 ②∵在的范围内， ∴不等式B对于不等式组A是中点包含． 故答案为：是 （2）解：， 解得：， ∴不等式组A的解集中点值为， ， 解得：， ∵不等式组D对于不等式组C中点包含， ∴， ∴． 29．（24-25七年级下·福建厦门·期末）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②“容纳”，其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解．例如：不等式被不等式“容纳”； (1)下列不等式（组）中，能被不等式“容纳”的是（    ） A．　B．　C．　D． (2)若关于的不等式被“容纳”，求的取值范围． (3)若能被关于的不等式“容纳”，直接写出一个符合条件的无理数． 【答案】(1)C (2) (3)（只要是小于3的无理数数就行）； 【分析】（1）分别解出不等式比较即可得到答案； （2）解出不等式列不等式即可得到答案； （3）解出不等式根据能被关于的不等式“容纳”列式即可得到答案； 【详解】（1）解：分别解不等式得， 选项A：；选项B：；选项C：；选项D：无解． 故选：C； （2）解：解不等式得， ， ∵关于的不等式被“容纳”， ∴， 解得：； （3）解：解不等式得， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， ∵能被关于的不等式“容纳”， ∴， 故答案为：（只要是小于3的无理数数就行）； 【点睛】本题考查不等式参数解问题及解不等式，解题的关键是注意参数不等式的分类讨论． 30．（24-25七年级下·湖南长沙·月考）已知一个不等式组有解，是它的解集中的解，若存在一个实数，使得成立，我们把叫做不等式组的“立信幸运数”．例如，不等式组的解集为，任取它的解，则均比大，则它的“立信幸运数”也比要大，若取，则，则是该不等式组的“立信幸运数”． (1)下列不等式组中，“立信幸运数”可能等于的是（　　） A．    B．    C． (2)已知关于的不等式组有解，若是它的解，求它的“立信幸运数”的取值范围． (3)已知，由以上条件可以得到一个关于的不等式组，且该不等式组有解，是该不等式组的解，是该不等式组的“立信幸运数”，，，求的取值范围． 【答案】(1)C (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次不等式组，弄清定义，根据不等式组的解集情况，确定关于~的不等式组是解题的关键， （1）结合“立信幸运数”的定义进行分析，即可作答． （2）先由不等式组有解，得，故，再结合“立信幸运数”的定义进行分析，得，即，再化简，即可作答． （3）因为，得，因为，，得，因为该不等式组有解，则，再根据是该不等式组的解，是该不等式组的“立信幸运数”，，，得，建立不等式组，再解出，再进行整理，得，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， ∴， 故A选项不符合题意； ∵， ∴， 即， ∴， 故B选项不符合题意； ∵ ∴ 即， ∴， ∴的“立信幸运数”可能等于， 故答案为：C （2）解：依题意， 由解得， 由解得， ∵关于的不等式组有解， ∴， 解得， ∵是它的解， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． （3）解：∵， 整理得， 解得， 解得， ∵ ∴ 整理得 ∵ ∴ ∵， ∴ 整理得 ∵ ∴， ∵该不等式组有解， ∴， ∵， ∴，， ∵是该不等式组的解，是该不等式组的“立信幸运数”，，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴ 整理得 解得， ∴， 即， ∵， ∴． 【经典例题六 根据一元一次不等式组无解的情况求参数】 31．（24-25七年级下·上海·月考）若关于的不等式组无解，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 先求出两个不等式的解集，再根据原不等式组无解得到关于的一元一次不等式求解即可． 【详解】解： 由①得：； 由②得：， ∵关于的不等式组无解， ∴， 解得：． 32．（25-26七年级下·上海闵行·周测）已知关于x的不等式组 (1)若这个不等式组有解，求a的取值范围． (2)若这个不等式组无解，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集，掌握不等式组有解和无解的判定条件，即大小小大中间找、大大小小找不到是解题的关键． （1）先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据有解则两个解集有公共部分，建立关于的不等式，从而求出的取值范围； （2）先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据无解则两个解集无公共部分的原则，建立关于的不等式，从而求出的取值范围． 【详解】（1）解：解不等式，得， 解不等式，得． ∵这个不等式组有解， ∴， 解得， ∴的取值范围为． （2）解：由（1）得： ∵这个不等式组无解， ∴， 解得， ∴的取值范围为． 33．（2025八年级上·上海闵行·专题练习）含参不等式之有、无解问题． (1)若关于的不等式组有解，求的取值范围； (2)已知关于的不等式组无解，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组无解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了不等式组有无解集的问题， 对于（1），根据不等式组有解集，即两个不等式有交集； 对于（2），（3），根据不等式组中的两个不等式没有交集解答. 【详解】（1）解：关于的不等式组有解， 即的取值范围是； （2）解：关于的不等式组无解， ， 解得， 即的取值范围是； （3）解： 解不等式①，得，解不等式②，得． 关于的不等式组无解， ， 即的取值范围是． 34．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）定义运算：．已知，． (1)直接写出： ， ； (2)若关于的不等式组无解，求的取值范围； (3)若的解集为，求不等式：的解集． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查二元一次方程组的解法、一元一次不等式的解法和一元一次不等式组的解法． （1）根据定义的新运算，列出二元一次方程组，解方程组可求出，的值； （2）根据（1）求出的，的值和新运算列出一元一次不等式组，解不等式组并根据不等式组解集的情况可求出的取值范围； （3）根据（1）求出的，的值和新运算列出一元一次不等式，根据解集为可得出与的数量关系；再根据，的值和新运算列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：把，代入， 得：， 解得：； 故答案为：，； （2）根据题意得； 解得： ∵关于的不等式组无解， ∴； （3）根据题意得， 整理得：， 此不等式解集为， ，且， 整理得：， 所求不等式化简得：，即， 把代入得： ，解得：， ∴ 解得：． 35．（24-25七年级下·山东德州·期末）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②覆盖．特别地，若一个不等式（组）无解，则它被其他任意不等式（组）覆盖．例如：不等式被不等式覆盖：不等式组无解，被其他任意不等式（组）覆盖． (1)下列不等式（组）中，能被不等式覆盖的是______ ①；    ②；    ③；    ④； (2)若关于的不等式被覆盖，求的取值范围； (3)若关于的不等式被覆盖，直接写出的取值范围． 【答案】(1)③④ (2) (3)当时，不等式被覆盖 【分析】本题主要考查不等式的性质，解不等式（组）的方法，理解题目中的含义，掌握解不等式（组）的方法是解题的关键． （1）根据不等式的性质，分别求出①②③④的解集，再根据材料提示的信息即可求解； （2）先解不等式得，再根据覆盖的定义即可求解； （3）根据题意，分类讨论：当有解时，； 当无解时，；根据不等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：①， 解得，； ②， 解得，； ③， 解得，； ④， 解第一个不等式得，，解第二个不等式得，， ∴不等式组无解； ∴被不等式覆盖的是③④， 故答案为：③④； （2）解：， 移项得， 合并同类项得，， 系数化为1得，， ∵不等式被覆盖， ∴， 解得，； （3）解：∵不等式被覆盖， ∴当有解时，， 解得，无解，此情况不存在； 当无解时，， 解得，； 综上所述，当时，不等式被覆盖． 36．（24-25七年级下·四川内江·期中）数学乐园：解二元一次方程组，，得，当时，，同理：； 符号称之为二阶行列式，规定：． 设，，，那么方程组的解就是． (1)求二行列式的值； (2)解不等式：； (3)用二阶行列式解方程组； (4)若关于的二元一次方程组无解，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，解题的关键是理解题意新定义算法，根据二阶行列式计算． （1）根据，即可求出； （2）根据，得，求解即可； （3）根据，，，那么方程组的解就是，即可求出方程组的解； （4）根据得：，再代入，得：，令时，方程无解，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得：； （3）解：根据题意可得， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴方程组的解：； （4）解：由得：， 把代入得：， 整理得：， 当时，方程无解， ∴． 【经典例题七 根据一元一次不等式组整数解的个数求参数】 37．（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）三个数，，在数轴上从左到右依次排列，求的取值范围． 【答案】． 【分析】本题考查了一元一次不等式组及用数轴来比较实数的大小，先根据三个数在数轴上的位置关系可列出不等式组，再解这个不等式组即可，解题的关键是根据这三个数在数轴上的位置列出不等式组． 【详解】解：由题意得 解得， 解得， ∴的取值范围是． 38．（2025七年级下·上海闵行·专题练习）已知关于m、n的二元一次方程组的解满足，且关于x的不等式组恰好有4个整数解． (1)求方程组的（用含有y的式子表示）； (2)求所有符合上述条件的整数y的个数______． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组等知识点，掌握由不等式组的解集情况求参数的解决方法是解题的关键． （1）利用加减法解方程组; （2）由得，解不等式组得，利用恰好有4个整数解得，由此求出y的取值范围，得到答案． 【详解】（1）解：解方程组， ①＋②可得：得，即：， 将代入①，得， ∴，得：． （2）解：∵， ∴，解得：， 解不等式组，得：， ∵关于x的不等式组的解集中，恰好有4个整数解， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴符合条件的整数y只有0， ∴只有1个． 故答案为：． 39．（24-25七年级下·北京海淀·期末）甲、乙两位同学玩填数游戏，每人各自从左到右依次填写四个实数，，，，如下表所示． 所填的四个数满足：从第二个数开始，每一个数都大于或等于前面填写的任意一个数的2倍． (1)若甲同学填写的四个数中，，，，请写出一个符合要求的的值：______； (2)若乙同学填写的前两个数满足，，求的取值范围； (3)若甲、乙两位同学各自填写的四个数都是非零整数，且他们所填写的第一个数互为相反数，则这两位同学填写的这八个数之和的最小值为______． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3) 【分析】（1）依据题意，可得，从而，且，故，进而可以判断得解； （2）依据题意，，再由，从而，可得，进而可以判断得解； （3）依据题意，设甲填写的四个数为，，，，乙填写的四个数为，，，，再设，则，，，又与互为相反数，则，则，，，结合，，即，继而得到，进而可得，故可判断得解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∵，， ∴， ∴， ∴可以取此范围内的任一值，如， 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：由题意得：， ∵，， ∴，， ∴， 即的取值范围为； （3）由题意，设甲填写的四个数为，，，，乙填写的四个数为，，，，设（，且为整数），则，，， ∵与互为相反数， ∴，则，，， 又∵，，，， 即，，，， ∴， ∵，，，，，，，，都是非零整数， 当时，为最小值， ∴这八个数之和的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义，求不等式组的解集，列代数式，无理数的估算，整式的加减等知识，理解题中游戏规则是解题的关键． 40．（24-25八年级·广东深圳·期中）阅读理解题： (1)原理：对于任意两个实数a、b， 若ab＞0，则a和b同号，即：或； 若ab＜0，则a和b异号，即：或； (2)分析：对不等式(x+1)(x﹣2)＞0来说，把(x+1)和(x﹣2)看成两个数a和b，所以按照上述原理可知：(Ⅰ)或(Ⅱ)，所以不等式(x+1)(x﹣2)＞0的求解就转化求解不等式组(I)和(Ⅱ)． (3)应用：解不等式x2﹣x﹣12＞0 【答案】(3)x＜﹣3或x＞4． 【分析】由x2﹣x﹣12＞0知（x+3）（x﹣4）＞0，根据题意得出①或②，再分别求解可得． 【详解】∵x2﹣x﹣12＞0， ∴（x+3）（x﹣4）＞0， 则①或②， 解不等式组①，得：x＞4， 解不等式组②，得：x＜﹣3， 所以原不等式得解集为x＜﹣3或x＞4． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是根据有理数乘法的符号法则列出关于x的一元一次不等式组． 41．（24-25七年级下·北京顺义·月考）定义：我们把不等式组解集中的整数叫做这个不等式组的“核”，把解集中整数的个数称为该不等式组的“核数”．例如，不等式组的解集中存在0，1，2，3这4个“核”，这个不等式组的“核数”为4． (1)下列不等式组中，“核数”为2的有________（只填序号） ①    ②    ③ (2)不等式组的“核数”为a，不等式组的“核数”为b． ①若，求整数k的值． ②若关于m，y，z的三元一次方程组的解是正数，直接写出整数k的值． 【答案】(1)① (2)①整数的值为；②整数的值为2 【分析】本题考查了新定义，一元一次不等式组的应用，理解题意，得到正确的不等式组是解题的关键． （1）根据“核数”的定义即可解答； （2）①得到不等式组的“核数”为，再根据即可解答； ②解三元一次方程组得到，，再根据三元一次方程组的解是正数，即可解答． 【详解】（1）解：的解集中存在0，1这2个“核”，这个不等式组的“核数”为2； 的解集中存在无数个“核”，这个不等式组的“核数”为无限； 的解集中存在2这1个“核”，这个不等式组的“核数”为1； 故答案为：①； （2）解：①， 不等式组的解集中有3个“核”，这个不等式组的“核数”为3； 故， ， 不等式组的“核数”为3，即不等式组的整数解有3个， ， 解得， 则整数的值为； ②根据题意可得， ①+③得，， 解得， 把代入③得，， 得， 把，代入②可得，即， 由，得， 关于m，y，z的三元一次方程组的解是正数， 则， ， ， 即， 是不等式组的“核数”，为整数， ， 不等式组的整数解有6个， ， 解得， 则整数的值为2． 42．（24-25七年级下·四川南充·期末）如图，数轴上两点A、B对应的数分别是－1，1，点P是线段AB上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q，满足|PQ|＝2，那么我们把这样的点Q表示的数称为连动数，特别地，当点Q表示的数是整数时我们称为连动整数． （1）在－2.5，0，2，3.5四个数中，连动数有　　　　　　；（直接写出结果） （2）若k使得方程组中的x，y均为连动数，求k所有可能的取值； （3）若关于x的不等式组的解集中恰好有4个连动整数，求这4个连动整数的值及a的取值范围． 【答案】（1）-2.5，2；（2）k=-8或-6或-4；（3）2，1，-1，-2， 【分析】（1）根据连动数的定义即可确定； （2）先表示出x，y的值，再根据连动数的范围求解即可； （3）求得不等式的解，根据连动整数的概念得到关于a的不等式，解不等式即可求得． 【详解】解：（1）∵点P是线段AB上一动点，点A、点B对应的数分别是－1，1， 又∵|PQ|＝2， ∴连动数Q的范围为：或， ∴连动数有-2.5，2； （2）， ②×3-①×4得：， ①×3-②×2得：， 要使x，y均为连动数， 或，解得或 或，解得或 ∴k=-8或-6或-4； （3）解得： ， ∵解集中恰好有4个解是连动整数， ∴四个连动整数解为-2，-1，1，2， ∴， ∴ ∴a的取值范围是． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的整数解，一元一次方程的解，根据新定义得到不等式组是解题的关键， 【经典例题八 一元一次不等式组与方程组结合求参数】 43．（25-26七年级下·上海闵行·周测）已知关于x，y的二元一次方程组若该方程组中x，y满足，求k的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了方程组与含参不等式，熟练掌握相关解法是解题的关键； 将二元一次方程组中两等式相加代入到不等式中，解出的取值范围． 【详解】解：，得 ． ∵方程组中，满足， ∴， 解得． 44．（2026七年级下·上海闵行·专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组回答下列问题： (1)若方程组的解满足，求a的取值范围． (2)若方程组的解均为正数，则a的取值范围为___________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法与不等式（组）的应用，掌握整体代入求、解方程组后根据解的正负列不等式组是解题的关键． （1）将两个方程相加，整体求出的表达式，代入不等式求解的范围； （2）先解方程组得到的表达式，再根据解为正数列不等式组求解的范围． 【详解】（1）解： ，得，③ ，得． ∵， ∴， 解不等式，得， ∴的取值范围为． （2）解：由（1）可知，．④ ，得． 将代入④中， 解得， ∴方程组的解是 ∵方程组的解均为正数， ∴ 解不等式组，得， ∴的取值范围为． 45．（24-25七年级下·四川乐山·期末）已知关于、的方程组 (1)若，求这个方程组的解； (2)若该方程组的解满足、均为正数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组，熟练掌握解二元一次方程组的一般方法，是解题的关键． （1）将m看作已知数，x、y看作未知数解方程组，得出，然后将代入得出方程组的解即可； （2）根据方程组的解为且该方程组的解满足、均为正数，列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：由方程组得：， 把代入得：； （2）解：∵方程组的解为， 又、均为正数， ， 解不等式组得：． 46．（25-26七年级下·上海闵行·周测）已知关于，的二元一次方程组的解满足不等式． (1)求实数的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，请求出整数的值． 【答案】(1) (2)整数的值为， 【分析】本题考查了二元一次方程组的整体解法、一元一次不等式的解法及解集与系数的关系，掌握整体相加求解的技巧和不等式系数正负与解集方向的关系是解题的关键． （1）通过将方程组的两个方程整体相加，直接得到的表达式，无需单独解出，再根据建立关于的不等式求解范围； （2）先整理不等式，根据解集判断不等式系数的正负，得到 m 的新范围，并结合（1）中所得结果确定的取值范围，然后确定其整数解即可． 【详解】（1）解： ①+②，得， 解得． ， ， ，． （2）解：移项，得． 的解集为， ， ． ， ， ∴整数的值为，． 47．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）已知关于x，y的方程组． (1)若该方程组的解满足，求m的值； (2)若不等式组的解集满足，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，求m的整数值． 【答案】(1) (2) (3)5、6、7 【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组，熟练掌握计算方法是解此题的关键． （1）由加减消元法解二元一次方程组得出，结合题意得出，计算即可得解； （2）利用加减消元法得出，根据，得出，解不等式组即可得出答案； （3）根据题意得出，求解并结合（2）得出，即可得解． 【详解】（1）解：， 由得：， ∴， ∵该方程组的解满足， ∴， ∴； （2）解：， 由得：， ∵方程组的解集满足， ∴， 解得：； （3）解：∵ ∴， ∵不等式的解为， ∴， 解得：， 由（2）可得， ∴， ∴的整数值为5或6或7． 48．（24-25八年级上·湖南·开学考试）方程（组）与不等式（组）是代数的重要组成部分，也是解决数学问题的重要工具；请利用所学，解决以下3个问题： (1)当为何整数时关于，的方程组的解满足且； (2)已知正整数使得关于，的方程的解是整数，解关于的不等式； (3)已知，，为3个非负实数，且满足，，记，对于符合题意的任意实数，不等式始终成立，试确定的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）将看作已知数求出方程组的解表示出与，根据题意列出不等式组，求出不等式组的解集即可； （2）将看作已知数求出方程组的解表示出与，代入不等式，解不等式即可； （3）解方程组得到，，，再解不等式组，得到，代入不等式解答即可． 【详解】（1）解：解方程组得， ∵且， ∴， 解得：， ∵为整数， ∴， ∴当时，原题意成立； （2）解：解方程组得，， ∵为正整数，、为整数， ∴， 把代入得， 解得：； （3）解：解方程组得，， ∵，，为3个非负实数， ∴，解得：， ∴的最小值，的最大值， ∵始终成立， ∴， ∴， 解得：． 学科网（北京）股份有限公司 $