专题02 一元一次不等式组重难点题型专训（4个知识点+7大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学下册重难点专题提升精讲精练

专题02 一元一次不等式组重难点题型专训 （4个知识点+7大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 一元一次不等式组的定义 题型二 求不等式组的解集 题型三 求一元一次不等式组的整数解 题型四 由一元一次不等式组的解集求参数 题型五 由不等式组解集的情况求参数 题型六 不等式组和方程组结合的问题 题型七 列一元一次不等式组 拓展训练一 已知解集，求参数范围 拓展训练二 解特殊不等式组 拓展训练三 一元一次不等式组的新定义计算 拓展训练四 一元一次不等式组有解问题 知识点一：什么是一元一次不等式组 由同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一元一次不等式组。 例： 【即时训练】 1．（25-26七年级下·上海闵行·单元测试）下列各式不是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的定义，准确判断是解题的关键．根据一元一次不等式组的定义：由几个含有相同未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式叫做一元一次不等式组，判断即可得到结果． 【详解】解：A、，是一元一次不等式组，故不符合题意； B、，是一元一次不等式组，故不符合题意； C、，是一元一次不等式组，故不符合题意； D、，含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级下·甘肃庆阳·月考）下列不等式组：① ② ③ ④ ⑤．其中是一元一次不等式组的有 个． 【答案】2 【分析】利用一元一次不等式组定义解答即可． 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ③是一元一次不等式组； ④不是一元一次不等式组； ⑤，未知数的最高次数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有2个， 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组，关键是掌握几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 知识点二：一元一次不等式组的解法 1．分别求出不等式组中各个不等式的解集； 2．利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集 【即时训练】 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）关于的不等式组的解集为（   ） A． B． C． D．无解 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式组的解集，利用“大小小大中间找”的规律求解即可． 【详解】解：关于的不等式组的解集为． 故选：C． 2．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）某关于的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，根据图示该不等式组的解集为 ； 【答案】 【分析】本题考查的是利用数轴表示不等式组的解集，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．由图形信息可得：符合条件的数在的右边，且能等于，在1的左边，不等于1，从而可得答案． 【详解】解：关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组的解集为； 故答案为：． 知识点三：一元一次不等式(组）之含参问题 【即时训练】 1．（24-25七年级下·福建厦门·月考）若不等式组无解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的解集大于大的，不等式的解集小于小的，不等组无解，可得答案． 【详解】解： 解不等式①得：， ∵不等式组无解， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)． 2．（2025七年级下·上海闵行·专题练习）写出一个解集为的一元一次不等式组 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】只需要构造两个不等式，一个不等式的解集为，另一个不等式的解集为即可． 【详解】解：当解集为时，可以构造的不等式组为． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了根据不等式组的解构造不等式，掌握求不等式组的解集的口诀：“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”是解题关键．． 知识点四：一元一次不等式组的解集 几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集． 当任何未知数都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解． 一元一次不等式组的解法及解集表示： 不等式组（a＞b) 解集 在数轴上表示 口诀 x＞a 同大取大 x＜b 同小取小 b＜x＜a 大小、小大中间找 无解 大大、小小取不小 【即时训练】 1．（2025·湖北·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解题的关键． 先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集即可得到答案． 【详解】解： 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示为：， 故选：． 2．（24-25七年级下·河南周口·月考）不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】题考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练运用解一元一次不等式组的方法进行准确计算． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得， ∴不等式组的解集为：， 故答案为：． 【经典例题一 一元一次不等式组的定义】 【例1】（25-26七年级上·上海·假期作业）下列选项中是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的识别，掌握一元一次不等式组的定义是解题的关键． 由几个含有相同未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式叫做一元一次不等式组，据此逐项分析即可求解． 【详解】解：根据一元一次不等式组的定义，可知， A、第二个不等式为分式不等式，不是一元一次不等式组，故选项A不符合题目要求； B、不等式组中含有两个未知数x和y，不是一元一次不等式组，故选项B不符合题目要求； C、第一个不等式没有未知数，不是一元一次不等式组，故选项C不符合题目要求； D、两个不等式都是关于x的一次不等式，是一元一次不等式组，故选项D符合题目要求． 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·河北沧州·月考）我们把两个（或两个以上）的 ，就组成了一个一元一次不等式组． 【答案】一元一次不等式合在一起 【分析】本题考查了一元一次不等式组的概念，直接根据一元一次不等式组的定义解答． 【详解】解：把两个（或两个以上）的一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 故空中填：一元一次不等式合在一起． 1．（24-25七年级下·上海闵行·单元测试）下列不等式组中，不是一元一次不等式组的是（ ） （） ()()() A．() B．() C．()、() D．()、() 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义进行判断即可，正确理解一元一次不等式组的定义是解题的关键． 【详解】解：根据一元一次不等式组的概念，可知（）、（）、（）是一元一次不等式组，（）中含有两个未知数，且最高次数为，故不是一元一次不等式组， 故选：． 2．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次停止，那么为求x的取值范围可列不等式组为 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次不等式组，熟练掌握程序图的计算规则和步骤是解题的关键，结合程序图的计算规则和步骤列出不等式组，即可作答． 【详解】解：依题意，结合程序图的信息，可列不等式组为， 故答案为： 3．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）判断下列不等式组是否为一元一次不等式组． （1）    （2）    （3） 【答案】（1）是；（2）不是；（3）不是 【分析】（1）由题意根据一元一次不等式组的定义即几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来组成的不等式组进行分析作答； （2）由题意根据一元一次不等式组的定义即几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来组成的不等式组进行分析作答； （3）由题意根据一元一次不等式组的定义即几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来组成的不等式组进行分析作答． 【详解】解：（1），符合一元一次不等式组的定义，是一元一次不等式组； （2）中，是一元二次不等式，故不是一元一次不等式组； （3）中，是方程，不是不等式，故不是一元一次不等式组． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的定义，注意掌握把几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来组成的不等式组叫做一元一次不等式组． 【经典例题二 求不等式组的解集】 【例1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）下列不等式组的解为的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组解集的确定，需根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则，分别计算各选项不等式组的解集，再与题目给定解集对比即可． 【详解】解：A选项：，解集为，不符合要求； B选项：，解集为，不符合要求； C选项：，解集为，不符合要求； D选项：，解集为，符合要求． 故选：D． 【例2】（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）代数式的值 （填“能”或“不能”）同时大于和的值． 【答案】不能 【分析】通过解两个不等式，判断代数式是否同时大于给定表达式，发现不等式组无解． 本题考查了解不等式组，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键． 【详解】解：由题可知，列不等式组为：； 代数式化简为 ， 解不等式 ， 两边乘2得 ， 移项得 ， 两边除以得 ． 解不等式 ； 两边乘6得 ， 移项得 ， 两边除以11得 ； 不等式组 和 无公共解， ∴不能同时大于； 故答案为：不能． 1．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在数轴上表示其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（向右画；向左画），在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示，据此求解即可． 【详解】解：在数轴上表示如下所示： 故选：A． 2．（25-26八年级上·浙江衢州·期末）按照如下程序，输入的值并计算．若规定从“输入一个值”到“判断结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查程序流程图与一元一次不等式组，根据流程图结合程序操作进行了两次才停止列出不等式组进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 3．（25-26八年级上·山东聊城·期末）解不等式组： 【答案】 【分析】本题考查了解不等式组，先分别算出每个不等式的解集，再得出公共部分的解集，即可作答． 【详解】解： 解不等式①，得：． 解不等式②，得：． 该不等式组的解集为． 【经典例题三 求一元一次不等式组的整数解】 【例1】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）不等式组的整数解是（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出不等式组的整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的整数解为， 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·陕西西安·自主招生）若关于的不等式组的解集中，整数解仅有1，2，3，则满足题意的整数对的组数是 ． 【答案】 6 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，首先解不等式组，得到解集为 . 由整数解仅为1，2，3，即可确定a，b的范围，即可确定a，b的整数解，即可求解． 【详解】解：解不等式 得 ， 解不等式 得 ， 所以不等式组的解集为 ； ∵不等式组的整数解仅为 1，2，3， ∴， ∴，， ∵、为整数， ∴可取1，2，3，可取7，8． 所以，整数对共有 组． 故答案为：6． 1．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）不等式组的正整数解的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次不等式组及其整数解，先分别解两个不等式，求出解集的公共部分，再确定其中的正整数解的个数即可． 【详解】解：解不等式： 展开得： 移项合并同类项： 解得：； 解不等式： 移项得： 两边乘以，得 ∴不等式组的解集为， 则正整数解为 即不等式组的正整数解的个数为1个， 故选：A． 2．（2025·甘肃武威·一模）不等式组的整数解 ． 【答案】0，1 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及整数解的确定，解题的关键是正确求解每个一元一次不等式的解集，再通过找两个解集的公共部分得到不等式组的解集，进而找出整数解． 先解第一个不等式，通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1求出其解集；再解第二个不等式，同样通过移项、合并同类项、系数化为1求出其解集；然后找出两个解集的公共部分，即为不等式组的解集；最后在该解集中筛选出所有整数，得到不等式组的整数解． 【详解】解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； 解， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； 则不等式组的解集为， 其中的整数为0、1． 故答案为：0，1． 3．（2026七年级下·重庆·专题练习）解不等式组，并写出该不等式组的所有整数解． 【答案】，整数解为 【分析】本题考查了解不等式组，解决本题的关键是先计算出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集． 分别解出每个不等式的解集，确定不等式组的解集,然后在解集中确定所有整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为，整数解为． 【经典例题四 由一元一次不等式组的解集求参数】 【例1】（25-26八年级上·陕西西安·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法． 先解两个不等式，再依据不等式组无解可以得出a的取值范围． 【详解】解：∵不等式组为， 解不等式①，得 解不等式②，， ∵关于的不等式组无解， ∴时， 解得． ∴不等式组无解时，． 故选：A． 【例2】 （25-26八年级上·河南郑州·期末）关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”的规则即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的不等式组的解集是， ∴， 故答案为：． 1．（2025八年级上·浙江·模拟预测）一元一次不等式组的解集为，且，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．根据在确定一元一次不等式组的解集时，“同大取大”解答即可得． 【详解】解：∵一元一次不等式组的解集为，且， ∴， 故选：A． 2．（25-26七年级下·陕西西安·开学考试）若不等式组的解集为， 则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解，根据不等式组的解集得出故m，n的值，进而解答即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组的解集为， ∴，， 解得， ． 故答案为：8． 3．（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）（1）已知关于x的不等式组的解集是．求m的值． （2）已知关于x的不等式组无解．求a的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了根据不等式组的解集情况求参数，熟练掌握不等式组的解法是解答本题的关键． （1）根据解集为列方程求解即可； （2）先求出不等式组两个不等式的解集，再根据解集为列不等式求解即可． 【详解】解：（1）∵关于x的不等式组的解集是，且， ， 解得：； （2）， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵关于x的不等式组无解， ， 解得：． 【经典例题五 由不等式组解集的情况求参数】 【例1】（25-26八年级上·浙江金华·期末）若不等式组的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次不等式组的解集确定，需根据不等式组解集的取法原则，结合已知解集反推参数的取值范围． 【详解】解：∵不等式组的解集为． ∴要使两个不等式的公共解集为，需的所有解都满足． ∴需满足 当时，不等式组的解集为，不符合题意，故舍去 因此 两边同乘，不等号方向改变，得． 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·湖南株洲·期末）不等式组只有两个不同的整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由不等式组的解的情况求参数，由不等式组可得，整数解为和，从而确定的取值范围，即可作答． 【详解】解：由可得， ∵不等式组只有两个不同的整数解， ∴这两个整数解为和， ∴， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·浙江绍兴·自主招生）若关于的不等式组的解集中只有三个正整数，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先把连不等式化成一般形式的不等式组，然后按照解一元一次不等式组的一般步骤求出不等式组的解集，再按照不等式组有三个正整数解，列出关于a的不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：关于x的不等式组 化为：， 由①得：， ， 由②得：， ， ∵不等式组有解， ∴， ∵关于x的不等式组的解集中只有三个正整数， ∴， ， ∴， 故选：D． 2．（24-25七年级下·江苏南通·期末）若关于的不等式组，的所有整数解的和为，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于的不等式组是解此题的关键. 先求出不等式组的解集，再根据已知得出关于的不等式组，求出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 关于的不等式组的所有整数解的和为， 不等式组的解集为， 当时，这两个整数解一定是和，此时， ， ， 当时，有， ， ， 的取值范围是或． 故答案为：或． 3．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）若一个不等式组有解且解集为，则称为的“绝对距离”，若的绝对距离是不等式组的解，则称不等式组对于不等式组“绝对包含”． (1)已知关于的不等式组以及不等式组，判断不等式组是否对于不等式组绝对包含，并写出判断过程． (2)已知关于的不等式组和关于的不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，当时，求满足条件的所有整数的和． (3)已知关于的不等式组以及不等式组，且不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围． 【答案】(1)不等式组对于不等式组绝对包含，理由见解析； (2)； (3) 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法及新定义的应用，关键是理解新定义，将问题转化为不等式组的解集及解的判断问题． （1）先求解不等式组的解集，计算其绝对距离，再判断该绝对距离是否属于不等式组的解集即可； （2）先确定不等式组的绝对距离，求解不等式组的解集，根据“绝对包含”的定义列出关于和的不等式，结合的取值范围确定整数的取值，最后求和； （3）分别求解不等式组和的解集，计算的绝对距离，根据“绝对包含”的定义列出关于的不等式组，结合不等式组有解的条件确定的取值范围． 【详解】（1）解：解不等式组：，得， 其绝对距离为； 不等式组的解集为，且，即3是不等式组的解， 不等式组B对于不等式组绝对包含； （2）解：不等式组：有解， ，其绝对距离为； 解不等式组，得； 不等式组D对于不等式组绝对包含， 是的解，即， 由不等式①得， 解得：， ， ，此条件与不等式组C有解的条件一致， 由不等式②得； 又，且， 整数的取值为； 这些整数的和为； （3）解：解不等式组：，得， 不等式组有解， ，解得， 其绝对距离为； 解不等式组：，<x<， 不等式组有解， ，解得，该条件在时自动满足； 不等式组对于不等式组绝对包含， 是的解，即，解得， 结合， 的取值范围为. 【经典例题六 不等式组和方程组结合的问题】 【例1】（24-25七年级下·江苏无锡·月考）若方程组的解，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法与一元一次不等式组的解法，熟练通过方程组变形求出的表达式，再建立不等式组求解是解题的关键．先将方程组中的两个方程相加，求出关于的表达式，再根据列出不等式组，求解得出的取值范围． 【详解】解： ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得：． 故选：B ． 【例2】（25-26七年级上·四川成都·月考）我们把对非负数x“四舍五入”到个位的值记为《x》，即当n为非负整数时，若，则．例如，⋯下列结论中：①；②当m为非负整数时，；③满足的非负数x只有两个．其中结论正确的是 ．（填序号） 【答案】②③ 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，根据题目中的结论，错误的举出反例或说明理由． 【详解】解：①当时，此时，，故结论①不正确； ②注意到都是非负数，令左边， 则，， ∴， ∴， 移项得， 即，结论②正确； ③，则 ，解得, 为非负整数， 或，故结论③正确． 故答案为：②③． 1．（2025·广东广州·二模）若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组和一元一次不等式，掌握二元一次方程组的解法是解题关键．将方程组中的两个方程相加可得，再根据方程组解的情况得到关于的不等式，求最小整数解即可． 【详解】解：， 由得：， 方程组的解满足， ， 解得：， 整数m的最小值为2， 故选：B． 2．（24-25七年级下·湖北·期末）已知方程组的解满足，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程组和不等式组相结合的问题，把方程组中的两个方程相减可得，则可得到，解不等式组即可得到答案． 【详解】解： 得：， ∵方程组的解满足， ∴， 解得， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）已知关于x，y的方程组（是常数） (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，当为何整数时，不等式解集为． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将得，求出，结合题意计算即可得解； （2）将得，结合题意可得，计算即可得解； （3）由不等式的性质可得，从而结合题意求出，即可得解． 【详解】（1）解：将得：， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：将得：， ∵， ∴， 解得； （3）额：由不等式解集为可知：， 解得：， 综合可得：， 符合条件的整数为：或或． 【经典例题七 列一元一次不等式组】 【例1】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元一次不等式组，理解题意，正确找出不等关系是解题关键． 设有间宿舍，根据总人数不变和“每间住6人时还有一间不空也不满”的条件，列不等式组．总人数为人，当每间住6人时，前间住满6人，最后一间住的人数大于0且小于6，从而得到． 【详解】解：设有x间宿舍，则总人数为人， 当每间住6人时，有一间不空也不满， ∴， 即不等式组为． 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·上海·期中）“与的积是非负数，且与的和不小于6”用不等式（组）表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查了列不等式组，正确表示出不等式是解题关键． 根据题中的不等关系列出不等式组即可． 【详解】解：根据题意得，． 故答案为：． 1．（24-25七年级下·上海长宁·期末）某种药品的说明书上有如图所示的文字，设每日服用药品的剂量为，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，根据给出的用量、找出x的取值范围是解题的关键． 据说明书上的用法用量即可得出关于x的取值范围． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 2．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）如图，某长方体形状的容器长，宽，高．容器内原有水的高度为，现准备向它继续注水，用（单位：）表示新注入水的体积，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】直接利用长方体的体积公式得出答案． 【详解】解：∵某长方体形状的容器长5cm，宽3cm，高8cm， ∴长方体容器的体积为：5×3×8＝120（立方厘米）， ∵容器内原有水的高度为2cm， ∴容器内原有水的体积为：5×3×2＝30（立方厘米）， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式组的应用，正确求出立体图形的体积是解题关键． 3．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）应用意识 用甲、乙两种原料配制成某种饮料，设所需甲种原料的质量为．已知这两种原料中维生素C的含量及购买这两种原料的价格如表所示： 甲种原料 乙种原料 维生素C的含量/（单位/千克） 600 100 原料价格/（元/千克） 8 4 现配制这种饮料，要求含有4200单位以上的维生素C． (1)请列出x应满足的不等式； (2)如果要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，那么请列出x应满足的所有不等式． 【答案】(1) (2)且且． 【分析】本题考查了列不等式，正确找出不等量关系是解题关键． （1）先求出所需乙种原料的质量为，再根据要求含有4200单位以上的维生素列出不等式即可得； （2）先求出所需乙种原料的质量为，再根据含有4200单位以上的维生素，购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，列出不等式即可得． 【详解】（1）解：∵现配制这种饮料，所需甲种原料的质量为， ∴所需乙种原料的质量为， ∵要求含有4200单位以上的维生素， ∴． （2）解：∵现配制这种饮料，所需甲种原料的质量为， ∴所需乙种原料的质量为， ∵要求含有4200单位以上的维生素，购买甲、乙两种原料的总费用低于72元， ∴且且． 【拓展训练一 已知解集，求参数范围】 【例1】 （2025·贵州铜仁·模拟预测）关于的不等式组恰好有2个整数解，则满足的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先求出不等式的解集，再根据不等式组恰好有2个整数解即可得到答案． 【详解】解：解不等式得， ∵关于的不等式组恰好有2个整数解， ∴， 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·山东日照·期末）关于的不等式的解集中恰有四个非负整数，则的范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤和不等式的基本性质．由得，根据解集中恰有四个非负整数，知，解之即可得出答案． 【详解】解：由得， 解集中恰有四个非负整数， ， 解得， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·江苏常州·期末）已知关于的不等式组． （1）当时，求不等式组的解集； （2）若不等式组的解集是，求的范围； （3）若不等式组有3个整数解，求的范围． 【答案】（1）；（2）；（2） 【分析】（1）把k的值代入不等式中，然后分别求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可； （2）先解出每个不等式的解集，然后根据不等式组解集是求解即可； （3）先解出每个不等式的解集，然后根据不等式组只有3个整数解，求解即可. 【详解】解：（1）当时，不等式组为 ∴不等式组额解集为： （2）∵不等式组的解集为 ∴ 解得 （3）∵不等式组的有3个整数解 当不等式的解集为时，此时有4个整数解，不符合题意 ∴不等式的解集必须为：，且整数解为：0，1，2 ∴ 解得： 【点睛】本题主要考查了解不等式组和不等式组的整数解情况，解题的关键在于能够熟练掌握解不等式的相关知识. 2．（24-25七年级下·上海闵行·单元测试）定义：表示不大于的最大整数，如．我们把满足(为常数)的的取值范围叫作的核心范围，如的的核心范围为，的的核心范围为． (1)请直接写出：_______，若，则的核心范围是_______． (2)若关于的不等式组有且只有三个正整数解，请写出这三个正整数解，并求出的取值范围． 【答案】(1)， (2)1，2，3； 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解以及一元一次不等式组的整数解，理解新定义是解题的关键； （1）根据新定义以及核心范围的定义，即可求出结论； （2）由，可求出，结合原不等式组只有三个整数解，即可找出的取值范围； 【详解】（1）解：，若，则的核心范围是 故答案为：，． （2）解：因为，所以． 因为有且只有三个正整数解， 所以整数解应为1，2，3． 所以 3．（24-25七年级下·湖南长沙·月考）如果一个不等式（组）的解集中包含一个方程（组）的解，那么就称这个不等式（组）的解集为这个方程（组）的“青一范围”，例如：不等式的解集是，它包含了方程方程的解，因此是的“青一范围”． (1)判断：①；②；③，中哪个不等式的解集是方程的“青一范围”； (2)已知是方程的解，不等式组的解集是方程的“青一范围”，求的最小值； (3)若不等式组的解集是方程的“青一范围”，求的取值范围． 【答案】(1)不等式①的解集是方程 的“青一范围” (2)5 (3) 【分析】本题主要考查了方程组及不等式组， （1）分别解不等式和解一元一次方程，再根据“青一范围”的定义即可判断； （2）解不等式组得出，再根据“青一范围”的定义得出，由可知，代入的得，结合的取值可得答案； （3）解不等式组得出，再解一元一次方程得出方程的解，根据不等式组整数解的确定可得答案． 【详解】（1）由题意，方程的解为：， ①不等式的解集为：，②不等式的解集为：，③不等式的解集为：， 不等式①的解集是方程 的“青一范围”． （2）由题意，解不等式组的得：． 是方程的解，不等式组的解集是方程的“青一范围”， ， ， ， ， ， ， ， 当时，有最小值为5． （3）由题意，不等式组， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：． 不等式组的解集为． 又方程的解为， ． ，且． ． ． ． 【拓展训练二 解特殊不等式组】 【例1】（2025·山东淄博·一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集． 【详解】 解不等式①得：x≤﹣1，解不等式②得：x＞2，在数轴上表示为： 则不等式组的为空集． 故选B． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【例2】（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知的解集为，则的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查求不等式组的解集，利用换元法，求出不等式组的解集即可． 【详解】解：∵的解集为， ∴则的解集为， ∴； 故答案为：． 1．（24-25七年级下·安徽六安·期中）已知，若，则称x为a，b的偏小值；若，则称x为a，b的偏大值． (1)已知x为和3的偏小值，且x为整数，求x的值； (2)若m为整数，且在和m的所有偏大值x中，仅存在一个整数，请直接写出所有符合条件的m的值． 【答案】(1)0 (2)，，1，2 【分析】题目主要考查新定义的不等式的计算，理解新定义是解题关键． （1）根据题意得出，然后求解即可； （2）分两种情况：当时，当时，根据题意列出不等式，结合题意求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， ∴； （2）当时，根据题意得：， 当时，即，不成立； ∴，即， ∵在和m的所有偏大值x中，仅存在一个整数， ∴， ∵m为整数， ∴或， ∴或； 当时，根据题意得：， 当时，即，不成立； ∴，即， 当时，，不成立； 当时，，此时，成立； 当时，，此时，成立； 当时，，不成立； 综上可得：或2或或． 2．（24-25七年级下·陕西安康·期末）阅读下列关于不等式的解题思路： 由两实数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得： ①或②， 解不等式组①得， 解不等式组②得， 等式的解集为或 请利用上面的解题思路解答下列问题： (1)求出的解集； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据实数的乘法法则以及解一元一次不等式组解决此题． （2）根据实数的除法法则以及解一元一次不等式组解决此题． 【详解】（1）由两数相乘，异号为负，得： ①或②， 解不等式组①，无解；解不等式组②， 的解集为 （2）由两数相除，同号为正，得： ①或②， 解不等式组①，；解不等式组②， 不等式的解集为或 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解决本题的关键． 3．（24-25七年级上·重庆·月考）阅读：我们知道于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，， 解得， 所以； ②当，即时，， 解得， 所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，请解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查绝对值不等式的求解，熟练掌握绝对值的性质分类讨论是解题的关键． （1）仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集． （2）仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集． 【详解】（1）解：， ①当，即时，， 解得， ∴， ②当，即时，， 解得， ∴， ∴不等式的解集为； （2）解：， ①当，即时，， 解得， ∴， ②当，即时，， 解得， ∴， ∴不等式的解集为或． 【拓展训练三 一元一次不等式组的新定义计算】 【例1】（24-25七年级下·四川巴中·期末）对于任意实数m，n，定义一种新运算，等式的右边是通常的定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义解决问题：若，且解集中有3个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查解不等式，准确理解新定义是解题的关键．根据新定义将不等式转化为关于的一元一次不等式组，求出解集后根据整数解的个数确定的范围。 【详解】解：， 即， 解得， 解集中有3个整数解， 故整数解为， 故， 解得． 故选C． 【例2】（24-25七年级下·甘肃陇南·期末）定义一种新运算：，例如：．根据上述定义，不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组、新定义，根据，可以将不等式组不等式组可以转化为，然后求解即可．解答本题的关键是明确新定义，会利用新定义转化不等式组． 【详解】解：由题意可得，不等式组可以转化为， 解得， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·上海闵行·周测）新定义  题定义新运算：对于任意实数，，都有．例如：．若的值大于而小于，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，新定义的运算，解题的关键是掌握新定义的运算法则．根据新定义得出关于的一元一次不等式组， 解不等式即可得出答案． 【详解】解：． 根据题意得， 解得：． 2．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）对于任意实数，，定义一种新运算．例如：．请根据上述定义解决以下问题： (1)若，求实数的取值范围． (2)若，且的解集中有3个整数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了定义新运算，解一元一次不等式，根据不等式组的解集求参数，理解新定义运算的运算法则是本题的关键． （1）根据新定义列出不等式，根据一元一次不等式的解法解出不等式即可； （2）根据新定义列出不等式组，根据一元一次不等式组的解法解出不等式组，然后根据“的解集中有3个整数解”求出的取值范围． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ， 的解集中有3个整数解， 的整数解为，，， ， ． 3．（24-25七年级下·山东滨州·期末）新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记作，即：当x为非负整数时，如果，则；反之，当n为非负整数时，如果，则，如，，，， 试解决下列问题 (1)填空：①___________， ②如果，则实数x的取值范围为___________； (2)求满足的所有非负实数x的值； (3)若关于x的不等式组的整数解恰有3个，求a的取值范围． 【答案】(1)①，② (2)， (3) 【分析】此题考查的是新定义类问题和解不等式组，理解新定义和掌握不等式组的解法是解决此题的关键． （1）①根据新定义，即可求出；②根据新定义，即可求出实数的取值范围． （2）根据新定义，设，k为整数，则，求出k的取值范围，即可求出k的整数值，从而求出x的值． （3）解不等式组得，根据不等式的整数解即可求出的值，从而求出a的取值范围． 【详解】（1）解：①由题意可得． 故答案为：3． ②， ， ． 故答案为：． （2）解：，且为整数， ∴设，k为整数，则， ∴， ，， ， ，1， ，． （3）解：， 解不等式组得， 由不等式组的整数解恰有3个，得， ∵为非负整数， ∴， ∴． 【拓展训练四 一元一次不等式组有解问题】 【例1】（24-25七年级下·广西桂林·期中）已知关于的不等式组有解，则实数应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．根据解一元一次不等式组的步骤，首先分别解两个不等式，得到各自的解集，再根据不等式组有解的条件确定实数的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组有实数解， ， 解得：，即， 故选：B． 【例2】 （24-25七年级下·上海青浦·月考）定义：若x为有理数，则表示不大于x的最大整数，例如：，，，对任意的有理数x，则满足的所有解为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了新定义、解一元一次不等式组等知识点，明确题意、正确列出一元一次不等式是解答本题的关键．根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得的取值范围即可解答． 【详解】解：∵表示不大于x的最大整数， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵表示不大于x的最大整数， ∴为整数， ∴或， ∴或； 故答案为：或． 1．（24-25七年级下·上海闵行·假期作业）关于x，y的方程组的解满足，且关于x的不等式组有解，求符合条件的整数k的值． 【答案】k的值为，0，1，2，3． 【详解】解： ①＋②，得，∴． ∵，∴，解得． 解不等式③，得．解不等式④，得． ∵关于x的不等式组有解，∴． 综上所述，． 故符合条件的整数k的值为，0，1，2，3． 2．（24-25七年级下·河南开封·期中）含参不等式之有解问题． (1)若关于的不等式组有解，求的取值范围． (2)已知关于的不等式组有5个整数解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，正确理解题意是解题的关键． （1）先分别求每一个不等式的解集，再根据有解得到新的不等式即可求解； （2）先求出不等式组的解集，进而根据不等式组的整数解得到新的不等式组，求出未知数的取值范围即可． 【详解】（1）解： 由①得，； 由②得，， ∵关于的不等式组有解， ∴， 解得：； （2）解： 由①得，， 由②得，， ∴原不等式组的解集为：， ∵关于的不等式组有5个整数解， ∴， 解得：． 3．（24-25七年级下·上海普陀·月考）若一个不等式组A有解且解集为，则称为不等式组A的解集中点值，若不等式组A的解集中点值是不等式（组）B的解，则称不等式（组）B对于不等式组A中点包含． (1)已知关于x的不等式组A：和不等式B：， ①不等式组A的解集中点值为________． ②不等式B对于不等式组A________（填“是”或“不是”），中点包含． (2)已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若不等式组D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围． 【答案】(1)①5，②是 (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，由不等式组的解集情况求参数，理解新定义是解题的关键． （1）①求出不等式组A的解集，再根据解集中点值的定义求出的解集中点值即可；②根据不等式组B的解集判断即可求解； （2）求出不等式组C和D的解集，进而得到，据此即可求解． 【详解】（1）解：①， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∴不等式组A的解集中点值为； 故答案为：5 ②∵在的范围内， ∴不等式B对于不等式组A是中点包含． 故答案为：是 （2）解：， 解得：， ∴不等式组A的解集中点值为， ， 解得：， ∵不等式组D对于不等式组C中点包含， ∴， ∴． A基础训练 1．（24-25七年级下·河北保定·月考）若，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解不等式组，不等式的性质，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键． 首先由得到，然后由得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴． 故选：D． 2．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）若关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式组解集的情况求参数的取值范围，正确求解不等式的解集是关键；先解不等式组，求得其解集，再根据解集恰有3个整数解，得关于a的不等式，从而求得a的取值范围． 【详解】解：解第一个不等式得：； 解第二个不等式得：； 由题意知，不等式组有解，则； 由于不等式组恰有3个整数角，则， 解得：； 故选：C． 3．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和为（　　） A．5 B．8 C．9 D．15 【答案】D 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组的解集求参数范围，解一元一次方程． 首先解不等式组，确定k的范围；再解方程，根据正整数解的条件筛选k的值，最后求和即可． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∵关于的一元一次不等式组的解集是， ∴． 由可知， ∵关于的方程有正整数解， ∴为正整数且为2的倍数， ∴，1，3，5，7， ∴所有整数的和为， 故选：D． 4．（2025七年级下·上海闵行·专题练习）若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有个整数解，则满足条件的所有整数的和是（　　） A．12 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式的整数解等知识点，掌握解方程组和不等式组的方法是解题的关键． 根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出的取值范围，再进行求解即可． 【详解】解：解法一：， ，得：， ∵， ∴， 解得，， 解不等式组得，， ∵不等式组只有个整数解， ∴， 解得，， ∴， ∴的值有：， ∴符合条件的整数m的值的和为； 解法二：， ，得：， 解得， ，得：， 解得， ∵， ∴， 解得， 解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组只有3个整数解， ∴， 解得， ∴，即的值有：， ∴符合条件的整数m的值的和为， 故选：D． 5．（2025·广东汕头·模拟预测）用表示三种不同的物体，现放在天平上比较两次，情况如图所示，那么这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．根据图示三种物体的质量列出不等关系式是关键． 【详解】解：依据第一个图得，则， 依据第二个图得：， 则， 故， 故选A． B 提高训练 6．（2025·海南海口·模拟预测）不等式组的解集为 ． 【答案】 ​​​​​​​​​​​​​​ 【分析】此题考查了一元一次不等式组的求法，先求出每个不等式的解集，再求出不等式解集的公共部分即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知关于x的不等式组． （1）若该不等式组的解集是，则的值是 ； （2）若，该不等式组的整数解有5个，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）先求出不等式组的解集可得，结合题意，即可得出结果； （2）根据不等式组的整数解有5个，得到，求出k的取值范围即可． 【详解】解：（1） 解不等式得， 解不等式得； ∵该不等式组的解集是， 则， 即 ； 故答案为： （2）当时，不等式组的整数解有5个， ∴不等式组有5个整数解， ， 解得． 故答案为： 8．（24-25七年级下·山东日照·月考）已知关于x的不等式组，下列四个结论：①若它的解集是，则；②当，不等式组有解；③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是；④若不等式的最大整数解为1，则a的取值范围是．其中正确的结论有 ． 【答案】①④/④① 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组、根据不等式组的解求参数等知识点．先解出不等式组求得解集，然后再根据不等式组解集逐个判断即可． 【详解】 解：∵， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵若它的解集是， ∴ ，解得：，故①正确， 当时，，则该不等式组无解；故②错误； ∵若它的整数解仅有3个，即， ∴a的取值范围是，故③错误； ∵解不等式可得：，且不等式的最大整数解为1， ∴， 解得：．故④正确． 综上，正确的有①④． 故答案为：①④． 9．（24-25七年级下·北京通州·期中）已知关于x，y的方程组，其中，给出下列结论： ①当时，x，y的值互为相反数； ②是方程组的解； ③无论a取何值，x，y恒有关系式； ④若，则． 其中正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填上） 【答案】③④/④③ 【分析】①先求出方程组的解，把代入求出x、y即可；②把代入，求出a的值，再根据判断即可；③根据原方程组的解，计算即可；④根据和求出，求出，再求出（）的范围即可． 【详解】解：解方程组， 得， ①当时， ，， 故结论①错误； ②把代入， 得， 解得， ∵， ∴此时不符合题意，故结论②错误； ③由原方程组的解可知， ，故结论③正确； ④∵， ∴，即， 由∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故结论④正确． 故答案为：③④． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程解的定义、解二元一次方程组和解不等式组等知识，根据条件分别求得方程组的解是解题关键． 10．（24-25七年级下·上海闵行·期中）小明用18克咖啡粉冲泡了300毫升的咖啡液（假设咖啡粉完全溶解，体积忽略不计）．他认为浓度过高，决定先倒掉一部分咖啡液，然后加入一定量的水进行稀释，倒掉咖啡液的量与加入的水量相等．调整后的咖啡浓度既不低于又不超过．设加入的水量为x毫升，请列出符合题意的一元一次不等式组 ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式组．先求得调整后咖啡浓度为，再根据“调整后的咖啡浓度既不低于又不超过”列出不等式组即可． 【详解】解：由题意倒掉了x毫升咖啡液，此时剩余的咖啡质量为克， 调整后咖啡浓度为， 根据题意得， 故答案为：． C 培优训练 11．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）解一元一次不等式组 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共解集即可得到不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：； 所以，不等式组的解集为． 12．（25-26七年级下·重庆·期中）求不等式组：的所有整数解． 【答案】不等式组的所有整数解为 ，，，． 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，掌握知识点是解题的关键． 求出每个不等式的解集，找出不等式组的解集，找出整数解即可． 【详解】解：解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ， ∴原不等式组的解集为， ∴不等式组的所有整数解为 ，，，． 13．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”________；“整点”为________； (2)若不等式组的“长度”，求的值； (3)若不等式组的“长度，求的值； (4)关于的不等式组恰有4个“整点”，直接写出的取值范围________________． 【答案】(1)；，； (2) (3)或 (4) 【分析】本题考查解一元一次不等式组及求不等式组的整数解，正确理解“长度”与“整点”的定义，并分类讨论是解题关键． （1）先解不等式组，求出不等式组的解集，根据及“整点”的定义即可得答案； （2）先解不等式组确定解集为，然后根据题意求解即可； （3）分情况，根据确定不等式的解集，建立方程求解即可； （4）用表示不等式组的解集，根据恰有4个“整点”列不等式组求出解集即可得答案． 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴，整点为， 故答案为：；，； （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∵， ∴， 解得：， （3） 当时，不等式的解集为， ∴，不符合， 当时，不等式的解集为， ∵， ∴， 解得：，符合题意； 当时，不等式的解集为， ∴， 解得：，符合题意； 当，不等式的解集为， ∴， 解得：， 当或，方程组无解， 综上所述：或； （4） 解得：， ∵关于y的不等式组恰有4个“整点”， ∴， 解得：． 14．（24-25七年级下·河南周口·期末）阅读材料：形如的不等式，我们称之为双连不等式，求解这类不等式的方法之一：转化为不等式组求解，如上面的不等式转化为再求解；方法二：利用不等式的性质直接求解，双连不等式的左、中、右同时减去3，得，然后再同时除以2，得． (1)解决问题：请你将双连不等式转化为不等式组； (2)解决问题：利用不等式的性质解双连不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据把双连不等式化为不等式组的方法可得答案； （2）先在双连不等式中的左边，中间，右边都减去2，再在左边，中间，右边都除以，从而可得答案． 【详解】（1）解：双连不等式转化为不等式组为： （2）∵， ∴ 即 ∴左边，中间，右边都除以得： 【点睛】本题考查的是双连不等式的定义，双连不等式与一元一次不等式组之间的联系，利用不等式的性质解双连不等式，掌握解双连不等式的方法与步骤是解本题的关键． 15．（24-25七年级下·北京昌平·期中）若关于x的一个一元一次不等式组的解集为（为常数，且），则称为这个不等式组的“解集中点”.若一个一元一次方程的解与一个一元一次不等式组的“解集中点”相等，则称这个一元一次方程为此一元一次不等式组的“中点关联方程”. (1)在方程①，②中，不等式组的“中点关联方程”是______（填序号）. (2)已知不等式组，请写出这个不等式组的一个“中点关联方程”：______. (3)若关于x的不等式组的“解集中点”大于方程的解且小于方程的解，m的取值范围为______. 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次不等式(组)，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“中点关联方程”是解题的关键． （1）先分别求出三个方程的解和不等式组的解集，再根据“中点关联方程”的定义即可判断； （2）先求出不等式组的解集，根据关联方程的定义即可求解； （3）先求出不等式组的解集和两个一元一次方程的解，再根据题意列出不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：解方程①得：； 解方程②得：； 解不等式组得：， ， 故答案为：①； （2）解：解不等式组得：， ， 故答案为：，答案不唯一； （3）解：解不等式组得：， 这个不等式组的“解集中点”为：， 解方程得：， 解方程的解为：， 由题意得：， 解得：， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元一次不等式组重难点题型专训 （4个知识点+7大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 一元一次不等式组的定义 题型二 求不等式组的解集 题型三 求一元一次不等式组的整数解 题型四 由一元一次不等式组的解集求参数 题型五 由不等式组解集的情况求参数 题型六 不等式组和方程组结合的问题 题型七 列一元一次不等式组 拓展训练一 已知解集，求参数范围 拓展训练二 解特殊不等式组 拓展训练三 一元一次不等式组的新定义计算 拓展训练四 一元一次不等式组有解问题 知识点一：什么是一元一次不等式组 由同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一元一次不等式组。 例： 【即时训练】 1．（25-26七年级下·上海闵行·单元测试）下列各式不是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·甘肃庆阳·月考）下列不等式组：① ② ③ ④ ⑤．其中是一元一次不等式组的有 个． 知识点二：一元一次不等式组的解法 1．分别求出不等式组中各个不等式的解集； 2．利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集 【即时训练】 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）关于的不等式组的解集为（   ） A． B． C． D．无解 2．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）某关于的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，根据图示该不等式组的解集为 ； 知识点三：一元一次不等式(组）之含参问题 【即时训练】 1．（24-25七年级下·福建厦门·月考）若不等式组无解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·上海闵行·专题练习）写出一个解集为的一元一次不等式组 ． 知识点四：一元一次不等式组的解集 几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集． 当任何未知数都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解． 一元一次不等式组的解法及解集表示： 不等式组（a＞b) 解集 在数轴上表示 口诀 x＞a 同大取大 x＜b 同小取小 b＜x＜a 大小、小大中间找 无解 大大、小小取不小 【即时训练】 1．（2025·湖北·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河南周口·月考）不等式组的解集为 ． 【经典例题一 一元一次不等式组的定义】 【例1】（25-26七年级上·上海·假期作业）下列选项中是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·河北沧州·月考）我们把两个（或两个以上）的 ，就组成了一个一元一次不等式组． 1．（24-25七年级下·上海闵行·单元测试）下列不等式组中，不是一元一次不等式组的是（ ） （） ()()() A．() B．() C．()、() D．()、() 2．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次停止，那么为求x的取值范围可列不等式组为 3．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）判断下列不等式组是否为一元一次不等式组． （1）    （2）    （3） 【经典例题二 求不等式组的解集】 【例1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）下列不等式组的解为的是（） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）代数式的值 （填“能”或“不能”）同时大于和的值． 1．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在数轴上表示其中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江衢州·期末）按照如下程序，输入的值并计算．若规定从“输入一个值”到“判断结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，那么的取值范围是 ． 3．（25-26八年级上·山东聊城·期末）解不等式组： 【经典例题三 求一元一次不等式组的整数解】 【例1】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）不等式组的整数解是（    ） A．1 B．0 C． D． 【例2】（24-25七年级下·陕西西安·自主招生）若关于的不等式组的解集中，整数解仅有1，2，3，则满足题意的整数对的组数是 ． 1．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）不等式组的正整数解的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 2．（2025·甘肃武威·一模）不等式组的整数解 ． 3．（2026七年级下·重庆·专题练习）解不等式组，并写出该不等式组的所有整数解． 【经典例题四 由一元一次不等式组的解集求参数】 【例1】（25-26八年级上·陕西西安·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2】 （25-26八年级上·河南郑州·期末）关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是 ． 1．（2025八年级上·浙江·模拟预测）一元一次不等式组的解集为，且，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·陕西西安·开学考试）若不等式组的解集为， 则的值为 ． 3．（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）（1）已知关于x的不等式组的解集是．求m的值． （2）已知关于x的不等式组无解．求a的取值范围． 【经典例题五 由不等式组解集的情况求参数】 【例1】（25-26八年级上·浙江金华·期末）若不等式组的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·湖南株洲·期末）不等式组只有两个不同的整数解，则的取值范围是 ． 1．（24-25七年级下·浙江绍兴·自主招生）若关于的不等式组的解集中只有三个正整数，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏南通·期末）若关于的不等式组，的所有整数解的和为，则的取值范围是 ． 3．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）若一个不等式组有解且解集为，则称为的“绝对距离”，若的绝对距离是不等式组的解，则称不等式组对于不等式组“绝对包含”． (1)已知关于的不等式组以及不等式组，判断不等式组是否对于不等式组绝对包含，并写出判断过程． (2)已知关于的不等式组和关于的不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，当时，求满足条件的所有整数的和． (3)已知关于的不等式组以及不等式组，且不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围． 【经典例题六 不等式组和方程组结合的问题】 【例1】（24-25七年级下·江苏无锡·月考）若方程组的解，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·四川成都·月考）我们把对非负数x“四舍五入”到个位的值记为《x》，即当n为非负整数时，若，则．例如，⋯下列结论中：①；②当m为非负整数时，；③满足的非负数x只有两个．其中结论正确的是 ．（填序号） 1．（2025·广东广州·二模）若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级下·湖北·期末）已知方程组的解满足，则m的取值范围为 ． 3．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）已知关于x，y的方程组（是常数） (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，当为何整数时，不等式解集为． 【经典例题七 列一元一次不等式组】 【例1】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·上海·期中）“与的积是非负数，且与的和不小于6”用不等式（组）表示为 ． 1．（24-25七年级下·上海长宁·期末）某种药品的说明书上有如图所示的文字，设每日服用药品的剂量为，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）如图，某长方体形状的容器长，宽，高．容器内原有水的高度为，现准备向它继续注水，用（单位：）表示新注入水的体积，则的取值范围是 ． 3．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）应用意识 用甲、乙两种原料配制成某种饮料，设所需甲种原料的质量为．已知这两种原料中维生素C的含量及购买这两种原料的价格如表所示： 甲种原料 乙种原料 维生素C的含量/（单位/千克） 600 100 原料价格/（元/千克） 8 4 现配制这种饮料，要求含有4200单位以上的维生素C． (1)请列出x应满足的不等式； (2)如果要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，那么请列出x应满足的所有不等式． 【拓展训练一 已知解集，求参数范围】 【例1】 （2025·贵州铜仁·模拟预测）关于的不等式组恰好有2个整数解，则满足的范围是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·山东日照·期末）关于的不等式的解集中恰有四个非负整数，则的范围为 ． 1．（24-25七年级下·江苏常州·期末）已知关于的不等式组． （1）当时，求不等式组的解集； （2）若不等式组的解集是，求的范围； （3）若不等式组有3个整数解，求的范围． 2．（24-25七年级下·上海闵行·单元测试）定义：表示不大于的最大整数，如．我们把满足(为常数)的的取值范围叫作的核心范围，如的的核心范围为，的的核心范围为． (1)请直接写出：_______，若，则的核心范围是_______． (2)若关于的不等式组有且只有三个正整数解，请写出这三个正整数解，并求出的取值范围． 3．（24-25七年级下·湖南长沙·月考）如果一个不等式（组）的解集中包含一个方程（组）的解，那么就称这个不等式（组）的解集为这个方程（组）的“青一范围”，例如：不等式的解集是，它包含了方程方程的解，因此是的“青一范围”． (1)判断：①；②；③，中哪个不等式的解集是方程的“青一范围”； (2)已知是方程的解，不等式组的解集是方程的“青一范围”，求的最小值； (3)若不等式组的解集是方程的“青一范围”，求的取值范围． 【拓展训练二 解特殊不等式组】 【例1】（2025·山东淄博·一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知的解集为，则的解集为 ． 1．（24-25七年级下·安徽六安·期中）已知，若，则称x为a，b的偏小值；若，则称x为a，b的偏大值． (1)已知x为和3的偏小值，且x为整数，求x的值； (2)若m为整数，且在和m的所有偏大值x中，仅存在一个整数，请直接写出所有符合条件的m的值． 2．（24-25七年级下·陕西安康·期末）阅读下列关于不等式的解题思路： 由两实数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得： ①或②， 解不等式组①得， 解不等式组②得， 等式的解集为或 请利用上面的解题思路解答下列问题： (1)求出的解集； (2)求不等式的解集． 3．（24-25七年级上·重庆·月考）阅读：我们知道于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，， 解得， 所以； ②当，即时，， 解得， 所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，请解下列不等式： (1)； (2)． 【拓展训练三 一元一次不等式组的新定义计算】 【例1】（24-25七年级下·四川巴中·期末）对于任意实数m，n，定义一种新运算，等式的右边是通常的定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义解决问题：若，且解集中有3个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·甘肃陇南·期末）定义一种新运算：，例如：．根据上述定义，不等式组的解集是 ． 1．（24-25七年级下·上海闵行·周测）新定义  题定义新运算：对于任意实数，，都有．例如：．若的值大于而小于，求的取值范围． 2．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）对于任意实数，，定义一种新运算．例如：．请根据上述定义解决以下问题： (1)若，求实数的取值范围． (2)若，且的解集中有3个整数解，求实数的取值范围． 3．（24-25七年级下·山东滨州·期末）新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记作，即：当x为非负整数时，如果，则；反之，当n为非负整数时，如果，则，如，，，， 试解决下列问题 (1)填空：①___________， ②如果，则实数x的取值范围为___________； (2)求满足的所有非负实数x的值； (3)若关于x的不等式组的整数解恰有3个，求a的取值范围． 【拓展训练四 一元一次不等式组有解问题】 【例1】（24-25七年级下·广西桂林·期中）已知关于的不等式组有解，则实数应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【例2】 （24-25七年级下·上海青浦·月考）定义：若x为有理数，则表示不大于x的最大整数，例如：，，，对任意的有理数x，则满足的所有解为 ． 1．（24-25七年级下·上海闵行·假期作业）关于x，y的方程组的解满足，且关于x的不等式组有解，求符合条件的整数k的值． 2．（24-25七年级下·河南开封·期中）含参不等式之有解问题． (1)若关于的不等式组有解，求的取值范围． (2)已知关于的不等式组有5个整数解，求的取值范围． 3．（24-25七年级下·上海普陀·月考）若一个不等式组A有解且解集为，则称为不等式组A的解集中点值，若不等式组A的解集中点值是不等式（组）B的解，则称不等式（组）B对于不等式组A中点包含． (1)已知关于x的不等式组A：和不等式B：， ①不等式组A的解集中点值为________． ②不等式B对于不等式组A________（填“是”或“不是”），中点包含． (2)已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若不等式组D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围． A基础训练 1．（24-25七年级下·河北保定·月考）若，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）若关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和为（　　） A．5 B．8 C．9 D．15 4．（2025七年级下·上海闵行·专题练习）若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有个整数解，则满足条件的所有整数的和是（　　） A．12 B．6 C． D． 5．（2025·广东汕头·模拟预测）用表示三种不同的物体，现放在天平上比较两次，情况如图所示，那么这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为（ ） A． B． C． D． B 提高训练 6．（2025·海南海口·模拟预测）不等式组的解集为 ． 7．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知关于x的不等式组． （1）若该不等式组的解集是，则的值是 ； （2）若，该不等式组的整数解有5个，则a的取值范围是 ． 8．（24-25七年级下·山东日照·月考）已知关于x的不等式组，下列四个结论：①若它的解集是，则；②当，不等式组有解；③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是；④若不等式的最大整数解为1，则a的取值范围是．其中正确的结论有 ． 9．（24-25七年级下·北京通州·期中）已知关于x，y的方程组，其中，给出下列结论： ①当时，x，y的值互为相反数； ②是方程组的解； ③无论a取何值，x，y恒有关系式； ④若，则． 其中正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填上） 10．（24-25七年级下·上海闵行·期中）小明用18克咖啡粉冲泡了300毫升的咖啡液（假设咖啡粉完全溶解，体积忽略不计）．他认为浓度过高，决定先倒掉一部分咖啡液，然后加入一定量的水进行稀释，倒掉咖啡液的量与加入的水量相等．调整后的咖啡浓度既不低于又不超过．设加入的水量为x毫升，请列出符合题意的一元一次不等式组 ． C 培优训练 11．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）解一元一次不等式组 12．（25-26七年级下·重庆·期中）求不等式组：的所有整数解． 13．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”________；“整点”为________； (2)若不等式组的“长度”，求的值； (3)若不等式组的“长度，求的值； (4)关于的不等式组恰有4个“整点”，直接写出的取值范围________________． 14．（24-25七年级下·河南周口·期末）阅读材料：形如的不等式，我们称之为双连不等式，求解这类不等式的方法之一：转化为不等式组求解，如上面的不等式转化为再求解；方法二：利用不等式的性质直接求解，双连不等式的左、中、右同时减去3，得，然后再同时除以2，得． (1)解决问题：请你将双连不等式转化为不等式组； (2)解决问题：利用不等式的性质解双连不等式． 15．（24-25七年级下·北京昌平·期中）若关于x的一个一元一次不等式组的解集为（为常数，且），则称为这个不等式组的“解集中点”.若一个一元一次方程的解与一个一元一次不等式组的“解集中点”相等，则称这个一元一次方程为此一元一次不等式组的“中点关联方程”. (1)在方程①，②中，不等式组的“中点关联方程”是______（填序号）. (2)已知不等式组，请写出这个不等式组的一个“中点关联方程”：______. (3)若关于x的不等式组的“解集中点”大于方程的解且小于方程的解，m的取值范围为______. 学科网（北京）股份有限公司 $