2.3垂径定理课后培优提升训练 2025—2026学年湘教版九年级数学下册

2.3垂径定理课后培优提升训练湘教版2025一2026学年九年级数学下册 一、选择题 1.如图，⊙0为ABC的外接圆，半径0C⊥AB,垂足为点D,∠ACB=120,OD=6,则AB 的长为() D B A.12V5 B.6W5 C.12 D.24 2.如图，圆O的直径是AB,点P和点Q均是半圆上一点，连接BP和OQ交于点C,若 AB=10,BC=PC=4,CO=() P A.2 B.3 C.√5 D.V10 3.如图，O0的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,连接BC,∠ABC=22.5°，若AB=4, 则CD的长是() A.√2 B.2 C.22 D.3 4.如图，AD是⊙0的直径，弦BC⊥AD于点E,若AB=BC=12,则OC的长为() B D A.2 B.2√5 C.4 D.4V3 5.如图，己知AB是O0的直径，且AB平分弦CD,交CD于点E,若∠ACD=30°， 试卷第1页，共3页 BC=2,则CD的长为() E A.1 B.2 C.3 D.4 6.赵州桥（图①）建于1460年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧 形.如图②，桥的跨度（弧所对的弦长）AB=37.4m,拱高（弧的中点到弦的距离） CD=7.2m,则赵州桥桥拱所在圆的半径R约为()m. A 图① 图② A.55.8 B.27.9 C.21.4 D.10.7 7.如图，AB为OO的直径，弦CD交AB于点E,连接AD、OC、BC,若AB=4,点B 是CD的中点，∠BAD=I5°，则△OBC的面积为() rS B E D A. B.1 c D.2 8.如图①，是折叠状态下的可折叠圆桌，将其展开就是一个直径为1米的圆形桌面，其示 意图如图②所示，AB、CD为可折叠部分，AB=CD,在劣弧CD上取一点E,连接BE、 AE,用量角器测得∠AEB=60°，则CD的长为() 0 H 图① 图② A.√5米 B,5米 C. 2 3米 D.号米 二、填空题 9.如图，AB是⊙0的弦，OC1AB于点C.若AB=6,0C=4,则半径OB的长是」 试卷第1页，共3页 A B 10.如图，ABC是⊙0的内接三角形，AB=AC,半径OD交AC于点E,AE=CE,若 BC=16,0E=5,则DE的长为 D 11.如图，⊙0的弦AB=8,M是AB的中点，且CM=2,则O0的直径等于 M C 12.如图，O0是锐角三角形ABC的外接圆，OD⊥AB,OE⊥BC,0F⊥AC,垂足分别为 D,E,F,连接DE,EF,FD,若DE+DF=6.5,ABC的周长为21，则EF的长 为 三、解答题 I3.如图，OO的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,M是弦AD上一点，连接CM交AB于 点F,连接BC,∠BCD=∠DCM. (I)求证：CM⊥AD: (2)若AB=12,0F=2,求CD的长 试卷第1页，共3页 14.如图，⊙0是ABC的外接圆，AB是O0的直径.半径OD⊥AC,垂足为点E,连接 BD. D B (I)求证：BD平分∠ABC; (2)若AC=8,DE=2,求O0的半径。 (3)在(2)的条件下，设AC与BD交与点F,求cos∠DB0. 15.已知A,B,C是O0上的点，AD⊥BC,垂足为D. 图1 图2 (1)如图1，当AD过O时，求证：AB=AC; (②)如图2，当AD不过O时，过C作CF⊥A0延长线于F,AD交0C于E, ①求证：∠DEC=∠BAC; ②若n∠ABC25,AE0A,米m∠BA0 试卷第1页，共3页 16.如图，AB为O0的直径，弦CD⊥AB于点E,G是AC上一点，连接AG并延长，交 DC的延长线于点F,连接AD,CG,GD,其中GD与AB交于点H, G D D 备用图 (I)求证：LADC=LAGD; (2)若BC=GC,请判断△AHG的形状，并说明理由； (3)在(2)的条件下，已知AG=6,CG=25,求DF的长. 17.如图，在⊙O中，AB是直径，AB⊥CD,点E在OO上，∠BDC=∠CDE,AE与BC的 延长线交于点F. E B D (I)求证：AB=AF: (2)若AB=10,BD=4,求AE的长. 试卷第1页，共3页 18.如图，AB为O0的直径，弦DE⊥AB于点C(C为线段OB上一点)，F为CD上一点 (点C,F均不与端点重合)，连接BD,BE,射线AF交BD于点H,与射线EB交于点G, 且∠EAF=∠ADE. F D H (I)求证：AF=EF. ②若4C=3,CE=2,求 DF的值 (3)当点B为EG中点时， ①求证：△DHF∽△GHB; ②求。m的值. SAGBH 试卷第1页，共3页 参考答案 一、选择题 1.A 2.A 3.C 4.D 5.B 6.B 7.B 8.B 二、填空题 9.5 1a.号 11.10 12.4 三、解答题 13.【详解】(1)证明：：AB是⊙0的直径，AB⊥CD, LCEF=90°. ∠BCD=∠DCM,∠BCD=∠A, LDCM=∠A. 又：∠AFM=∠CFE, LAMF=∠CEF=90, :CM⊥AD. (2)解：连接0C. M 在△CEF与△CEB中， ∠FCE=∠BCE CE=CE ∠CEF=∠CEB=90° ACEF≌△CEB(ASA :EF EB. 0B=AB=x12=6,0F=2, 1 2 2 .EF=EB=2, .0E=0F+EF=4. 试卷第1页，共3页 在Rt△0EC中，CE=V0C2-0E2=V62-42=2V5, CD =2CE =45. 14.【详解】(1)证明：：半径0D⊥AC, :AD=CD, .∠ABD=∠CBD, .BD平分∠ABC (2)解：：半径0D⊥AC,DE=2 4E=24C=4: 设0A=r,则0E=r-2, 在Rt△AOE中，由勾股定理得， 0A2=0E2+AE2即r2=(r-2)2+42, 解得r=5, (3)由(1)得∠DB0=∠CBD, 连接AD,，则∠CBD=∠CAD, D .LDBO=∠CAD, :OD⊥AC, .LCED=90°， :AD=VDE2+AE2=V22+42=2V5, ·Cos∠DB0=cos∠CAD=AE=4-2W5 AD 25 5 15.【详解】(1)证明：当AD经过圆心0时， :OD⊥BC, :BD=CD AD垂直平分BC, ∴.AB=AC: (2)①证明：连接OB,过点O作OH1BC于点H, 试卷第1页，共3页 HD 则∠BAC= ∠BOC, 2 :0B=0C, ∴.△OBC是等腰三角形， :OH 1 BC, ∠C0H=∠BOC' .ZBAC ZCOH, :AD⊥BC, AD∥OH, :ZDEC ZCOH .∠DEC=∠BAC; ②解：作OM⊥AC,EN⊥AC, :0A=0C, B∠A0M=∠COM)∠A0C=∠ABC :sin∠A0M=sin∠coM=sin∠ABc-2y5 :4M-25 A0 5 设A0=5a,则AM=2√5a, :OM⊥AC, :AC=2AM=45a, AE=50A, 5 .AE =6a, :AD⊥BC,EN⊥AC, :∠ENA=∠ADC=90°， 又：∠DAC=∠DAC, ∴.△ENA∽△CDA, 器0 :.CD=25.EN 3 :OM⊥AC,EN⊥AC, 试卷第1页，共3页 :.EN∥OM, .∠CEN=∠COM, :sin∠CEN=sin∠CoM=25 :CW_25 CE 5 设CN=25m,则CE=5m, 由勾股定理得EN=VCE2-CN2=√5m, .CE=5.EN .EN=5m,CD=2 5 EN=10m 3 31 在Rt△CDE中， 1 sin LDEC=CD=3" 2, CE 5m3 由①证得∠DEC=∠BAC, ·sin∠BAC=2 图2 16.【详解】(1)解：：AB为O0的直径，弦CD⊥AB, :AC=AD,BC=BD, .∠ADC=∠AGD: (2)解：△AHG是等腰三角形，理由如下， 连接AC, 试卷第1页，共3页